Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ ω Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές γωνίες ω, ω έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ ( ω)= ημω συν( ω) = συνω εφ ( ω ) = εφω Aν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και είναι από 0 0 μέχρι και 180 0, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες α) ημ150 0 = ημ0 0 β) συν15 0 = συν 45 0 γ) εφ100 0 = εφ80 0 δ ) εφ75 0 = εφ105 0 ε) συν110 0 = συν 70 0 στ ) ημ140 0 = ημ40 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ημ150 0 = ημ( )= ημ0 0, άρα είναι σωστή (Σ). β) συν15 0 =- συν( )= - συν 45 0, άρα είναι λάθος (Λ). γ) εφ100 0 = -εφ( )= - εφ80 0, άρα είναι λάθος (Λ). δ) εφ75 0 = -εφ( )= - εφ105 0, άρα είναι σωστή (Σ). ε) συν110 0 =- συν( )= - συν 70 0, άρα είναι σωστή (Σ). στ) ημ140 0 = ημ( )= ημ40 0, άρα είναι λάθος (Λ).

2 49 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ. Αν για τη γωνία x ισχύει 0 x 180 0, να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις. α) Αν ημx =ημ60 0, τότε x = β) Αν συνx= συν0 0, τότε x =... γ) Αν εφx = εφ0 0, τότε x = ΑΠΑΝΤΗΣΗ α)επειδή οι ίσες ή παραπληρωματικές γωνίες για τις οποίες ισχύει 0 x 180 έχουν ίσα ημίτονα πρέπει ή x = 60 0 ή x = 10 0 β) Από την σχέση συνx = συν0 0 = συν( ) =συν160 0 προκύπτει ότι x =160 0 γ) Από την σχέση εφx = εφ0 0 = εφ( ) = εφ150 0 προκύπτει ότι x = Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε τριγωνομετρικό αριθμό της στήλης Α τον ίσο του τριγωνομετρικό αριθμό από τη στήλη Β. Στήλη Α α. ημ β. συν γ. εφ Στήλη Β 1. η μ συν ε φ ημ συν εφ 40 0 α. 1 β. 5 γ. 6 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών α) 10 0 β) 15 0 γ) α) Είναι ημ10 0 = ημ( ) = ημ60 0 =, συν10 0 = συν( ) = συν60 0 = 1, εφ10 0 = εφ( ) = εφ60 0 = β)είναι ημ15 0 = ημ( )=ημ45 0 =, συν15 0 = συν( ) = = συν45 0 =, εφ15 0 = εφ( ) = εφ45 0 = 1

3 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 49 γ) Είναι ημ150 0 = ημ( ) = ημ0 0 = 1, συν150 0 = συν( ) = = συν0 0 =, εφ150 0 = εφ( ) = εφ0 0 = ΑΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε ότι α) ημ συν77 0 ημ7 0 + συν10 0 = 0 β) εφ1 0 εφ εφ15 = 0 α) Αντικαθιστώντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των και 10 0 με τους τριγωνομετρικούς των παραπληρωματικών τους έχουμε : ημ συν77 0 ημ7 0 + συν10 0 = ημ( ) + συν77 0 ημ7 0 + συν( ) = ημ7 0 + συν77 0 ημ7 0 συν77 0 = 0 β) Αντικαθιστώντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 1 0 και 15 0 με τους τριγωνομετρικούς των παραπληρωματικών τους έχουμε : εφ1 0 εφ εφ15 = εφ( ) εφ58 0 εφ( ) = = εφ58 εφ58 0 ( 1) = εφ58 + εφ58 0 = 0 ΑΣΚΗΣΗ Να αποδείξετε ότι α) συν συν 15 0 = 1 β) ημ ημ ημ ημ = α) Αντικαθιστώντας το συν15 0 με τον αντίστοιχο αριθμό της παραπληρωματικής γωνίας έχουμε : συν συν 15 0 = = συν συν ( ) = συν ( συν 45 0 ) = = συν συν 45 0 = συν = = = = β) Αντικαθιστώντας τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 10 0 και με τους τριγωνομετρικούς των παραπληρωματικών τους έχουμε ημ ημ ημ ημ = =ημ ημ ημ ( ) +ημ ( ) = =ημ ημ 60 +ημ ημ 0 0 =ημ ημ 60 0 = =ημ συν 0 0 = (ημ συν 0 0 ) = 1 =.

4 494 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 4 Να αποδείξετε ότι ημ( x )= ημ(40 0 x ) και συν (158 0 x ) = συν( 0 + x ) Επειδή ( x ) +(40 0 x) = x x =180 0 είναι ημ( x) = ημ[180 0 (40 0 x)] = ημ(40 0 x). Παρόμοια έχουμε (158 0 x) + ( 0 +x) = x + 0 +x = επομένως συν (158 0 x ) = συν[180 0 ( 0 + x)] = συν( 0 + x). ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρείτε τη γωνία x, όταν α) ημx = β) ημx = 1 ημx γ) συνx = 1 δ) συνx = ε) εφx = στ) εφx = 1 + εφx α) Επειδή ημx = προκύπτει ότι ή x = 45 0 ή x = = β) Από την ημx = 1 ημx έχουμε ημx +ημx = 1 ή ημx = 1 ή ημx =, οπότε πρέπει ή x = 0 0 ή x = γ) Επειδή συνx = προκύπτει ότι ή x = δ) Επειδή συνx = = συν60 0 = συν( ) = συν10 0 προκύπτει ότι x = ε)από την εφx = = εφ60 0 = εφ( ) = εφ10 0 έχουμε x = στ) Από την εφx = 1 + εφx προκύπτει ότι εφx εφx = 1 ή εφx = 1 οπότε έχουμε ότι ή x = ΑΣΚΗΣΗ 6 Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ενός παραλληλογράμμου έχουν το ίδιο ημίτονο. Ισχύει το ίδιο και για τα συνημίτονα των γωνιών του ;

5 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 495 Επειδή οι ίσες ή παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίσα ημίτονα και οι απέναντι γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες ενώ οι διαδοχικές είναι παραπληρωματικές συμπεραίνουμε ότι όλες οι γωνίες ενός παραλληλογράμμου έχουν τα ίδια ημίτονα.δεν ισχύει όμως το ίδιο για τα συνημίτονα των γωνιών του. ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Β Λ = Δ Λ = Να αποδείξετε ότι α) ημα + συνα ημγ + συνγ = 0 β) εφα + εφγ = 0 Επειδή το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι 60 0 έχουμε Α + Β+ Γ+ Δ = 60 ή Α Γ+ 90 = 60 ή Α + Γ +180 = 60 ή Α + Γ = = 180. Άρα οι γωνίες Α και Γ είναι παραπληρωματικές.τότε όμως ημα = ημγ, σχέση (1) και συνα = συνγ σχέση (). α) Θεωρούμε τώρα την παράσταση ημα + συνα ημγ + συνγ η οποία με την βοήθεια των σχέσεων (1) και () γράφεται : ημα + συνα ημγ + συνγ = = ημα +συνα ημα συνα = 0 β) Επειδή οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν αντίθετες εφαπτόμενες προκύπτει εφγ = εφα οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται : εφα + εφγ = εφα εφα = 0. ΑΣΚΗΣΗ 8 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ω και φ. Αρχικά θα υπολογίσουμε την υποτείνουσα ΒΓ του ορθογωνίου τριγώνου με την βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος. Είναι : (ΒΓ) = (ΑΒ) + (ΑΓ) = (6cm) + (8cm) ή (ΒΓ) = 6cm + 64cm = 100cm ΑΓ 8cm 4 ή ΒΓ = 10cm.Έχουμε τώρα : ημω = = =, συνω = ΒΓ 10cm 5 ΑΒ 6cm ΑΓ 8cm 4 = =, εφω = = =.Επειδή οι γωνίες ω και φ είναι ΒΓ 10cm 5 ΑΒ 6cm παραπληρωματικές βρίσκουμε : 4 4 ημφ = ημω =, συνφ = συνω = και εφφ = 5 5

6 496 ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά 6 cm και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ τέτοιο, ώστε ΒΔ = c m. Nα υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ω και φ. Ε Αρχικά φέρνουμε το ύψος ΑΕ του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ το ο- ποίο είναι και διάμεσος. Επομένως είναι ΒΕ = ΕΓ = cm.επειδή δε ΒΔ = cm προκύπτει ότι ΔΕ = ΒΕ ΒΔ = 1cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΒ με την βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος θα υπολογίσουμε το ύψος ΑΕ. Έχουμε : (ΑΕ) + (ΕΒ) = (ΑΒ) ή (ΑΕ) + (cm) = (6cm) ή (ΑΕ) + 9cm = 6cm ή (ΑΕ) = 6cm 9cm = 7cm. Από την οποία βρίσκουμε ΑΕ = 7cm = 9 cm = 9 cm = cm Από το ορθογώνιο δε τρίγωνο ΑΔΕ με την βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος θα υπολογίσουμε την ΑΔ η οποία είναι υποτείνουσα.έχουμε λοιπόν : (ΑΔ) = (ΔΕ) + (ΑΕ) = (1cm) + 7cm = 1cm + 7cm = 8cm οπότε έχουμε : ΑΔ = 8cm = 4 7cm = 4 7cm = 7cm Θα υπολογίσουμε τώρα τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ και έχουμε : ΑΕ cm 7 1 ημω = = = = = ΑΔ 7cm ΕΔ 1cm συνω = = = = = ΑΔ 7cm ΑΕ cm εφω = = =. ΔΕ 1cm Τέλος επειδή οι γωνίες ω και φ είναι παραπληρωματικές θα βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ. Είναι τώρα : ημφ = ημω = , συνφ =, εφφ = 14