Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων"

Δημοστρατη Λόντος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

2 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε ανηφόρα. Τι σημαίνει όμως το 10% ; Πριν απαντήσουμε, πάμε να θυμηθούμε πότε άλλοτε ακούσαμε τον όρο κλίση στα μαθηματικά. Άντε για να σας βοηθήσω τον ακούσαμε για 1 η φορά όταν μελετήσαμε τη συνάρτηση y=αχ. Βλέποντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=0.5x πιο κάτω : βλέπουμε ότι διέρχεται και από τα σημεία : Α(2,1), Β(4,2) με τις συντεταγμένες τους βέβαια να ικανοποιούν την πιο πάνω ισότητα δηλ. y = 0,5 x} 1 = 0,5 2 ΑΔ = 0,5 0Δ } 2 = 0,5 4 ΒΕ = 0,5 OΕ 0,5=a a = απέναντι κάθετη προσκείμενη κάθετη. } 0,5 = ΑΔ ΟΔ = ΒΕ OΕ Οι κάθετες που αναφέρω πιο πάνω βρίσκονται στα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΔ, ΟΒΕ. Μία άλλη ονομασία της κλίσης (α) μιας ευθείας (ε) είναι : εφαπτομένη φ = εφφ, όπου φ η γωνία που σχηματίζει ο θετικός ημιάξονας των χ (Οχ ) με την ευθεία ( ε ). Σελίδα 1

Για να επανέλθουμε λοιπόν στο αρχικό μας ερώτημα. Όταν λέμε ότι ο ανηφορικός δρόμος έχει κλίση 10%= 10 = ύψος οριζόντια απόσταση 100 = απέναντι κάθετη προσκείμενη κάθ., δηλ.

3 Για να επανέλθουμε λοιπόν στο αρχικό μας ερώτημα. Όταν λέμε ότι ο ανηφορικός δρόμος έχει κλίση 10%= 10 = ύψος οριζόντια απόσταση 100 = απέναντι κάθετη προσκείμενη κάθ., δηλ. για κάθε 100μ που μετακινούμαστε οριζόντια ( προσοχή όχι τα μέτρα που διένυσε το αυτοκίνητο, άραγε γιατί ; ) το αυτοκίνητο υψώνεται 10 μέτρα, βλέπε το παρακάτω σχήμα : Αλήθεια πόσα μέτρα διένυσε το αυτοκίνητο, από τη θέση Ζ έως τη θέση Γ ; Σελίδα 2

4 Θα ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Α Όπως ορίσαμε την εφαπτομένη πιο πάνω τώρα θα ορίσουμε και τους υπόλοιπους 3 τριγωνομετρι- κούς αριθμούς : Γ Β Στο πιο πάνω τρίγωνο έχουμε Β < 90 0 ημβ = απέναντι κάθετη υποτείνουσα = ΑΓ ΑΒ = β γ, συνβ = προσκείμενη κάθετη υποτείνουσα = ΓΒ ΑΒ = α γ, εφβ = απέναντι κάθετη = ΑΓ = β, προσκείμενη καθετη ΓΒ α σφβ = προσκείμενη κάθετη απέναντι κάθετη = ΓΒ ΑΓ = α β. Αλλά και για την A < 90 0 Συμπληρώστε τις παρακάτω ισότητες και πείτε τι παρατηρείτε : ημa = συνa = εφa = σφa = Τι σχέση έχουν οι γωνίες Β, A ;. Γράψτε εδώ το συμπέρασμα :... Σελίδα 3

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας εξαρτώνται από το μήκος των πλευρών της ; Στο ΑΒΓ αρχικά και ύστερα στο ΑΔΕ τρίγωνο να συμπληρώσετε τις ισότητες : ημα = συνα = εφα = σφα = ημα = συνα = εφα =

5 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας γωνίας εξαρτώνται από το μήκος των πλευρών της ; Στο ΑΒΓ αρχικά και ύστερα στο ΑΔΕ τρίγωνο να συμπληρώσετε τις ισότητες : ημα = συνα = εφα = σφα = ημα = συνα = εφα = σφα = Όπως παρατηρούμε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ισοδύναμοι λόγοι (κλάσματα) πλευρών ορθογωνίων τριγώνων γι αυτό και είναι ανεξάρτητοι από το μήκος των πλευρών. Σελίδα 4

Πως μεταβάλλονται όμως τα ημίτονα και τα συνημίτονα όταν μεταβάλλονται οι γωνίες; Παρατηρώντας τα 3 ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΔ, ΟΒΕ, ΟΓΖ βλέπουμε ότι

Οι γωνίες όμως : ω, φ, θ δεν είναι και ισχύει: < < Μπορείτε να κάνετε έναν ανάλογο συλλογισμό για τις απέναντι κάθετες πλευρές ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ ;.

6 Πως μεταβάλλονται όμως τα ημίτονα και τα συνημίτονα όταν μεταβάλλονται οι γωνίες; Παρατηρώντας τα 3 ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΔ, ΟΒΕ, ΟΓΖ βλέπουμε ότι έχουν ίσες αφού είναι ακτίνες. Οι γωνίες όμως : ω, φ, θ δεν είναι και ισχύει: < < Μπορείτε να κάνετε έναν ανάλογο συλλογισμό για τις απέναντι κάθετες πλευρές ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ ;. Τι ισχύει για τα : ημω, ημφ, ημθ ;. Ποιο είναι το γενικό συμπέρασμα;. Ομοίως να κάνετε έναν ανάλογο συλλογισμό για τις προσκείμενες κάθετες πλευρές ΟΔ, ΟΕ, ΟΖ ; Τι ισχύει για τα : συνω, συνφ, συνθ ;.. Ποιο είναι το γενικό συμπέρασμα;... Σελίδα 5

Πως μεταβάλλονται όμως οι εφαπτομένες και πως οι συνεφαπτομένες όταν μεταβάλλονται οι γωνίες; Παρατηρώντας τα 3 ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΑΓ, ΟΑΔ βλέπουμε ότι έχουν ίσες. τις.

7 Πως μεταβάλλονται όμως οι εφαπτομένες και πως οι συνεφαπτομένες όταν μεταβάλλονται οι γωνίες; Παρατηρώντας τα 3 ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΑΓ, ΟΑΔ βλέπουμε ότι έχουν ίσες. τις. Οι γωνίες όμως : ω, φ, θ δεν είναι και ισχύει: < < Μπορείτε να κάνετε έναν ανάλογο συλλογισμό για τις απέναντι κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ ; Τι ισχύει για τα : εφω, εφφ, εφθ;. Ποιο είναι το γενικό συμπέρασμα;. Ομοίως να κάνετε έναν ανάλογο συλλογισμό για τις : σφω, σφφ, σφθ Ποιο είναι το γενικό συμπέρασμα;... Σελίδα 6

8 Πάμε όμως να δούμε μια απλή άσκηση: ΑΣΚΗΣΗ 1 η Δίνεται ΑΒΓ τρίγωνο με Α = 90 0, ΑΒ=3μ, ΑΓ=4μ και ΒΓ=5μ. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της Β. ΛΥΣΗ Γ Σε αυτήν την άσκηση έχουμε πλεονασμό δεδομένων αφού δίνονται και οι τρεις πλευρές του ορθ. τριγ. Επειδή μπορούμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Π.Θ.) θα δίνονται οι δύο πλευρές και θα βρίσκουμε την τρίτη. 4μ 5μ ημβ = συνβ = εφβ = Α 3μ Β απεν. καθ. υποτ. προσ. καθ. υποτ. = 4 5 = 3 5 απεν. καθ. προσ. καθ. = 4 3 σφβ = προσκ.καθ. απεν.καθ. = Σελίδα 7

9 Κανονικά λοιπόν πρέπει να δωθεί η άσκηση κάπως έτσι: ΑΣΚΗΣΗ 2 η Δίνεται ΑΒΓ τρίγωνο με Α = 90 0, ΑΒ=3μ και ΒΓ=5μ.Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της Β. ΛΥΣΗ Γ Χ 5μ Α 3μ Β Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρούμε την ΑΓ: χ 2 = χ 2 = 25 χ 2 = 25 9 χ 2 = 16 χ = ± 16 χ = 4 Βάλαμε 4 και όχι -4 διότι το χ εκφράζει μήκος πλευράς. ημβ = συνβ = εφβ = απεν. καθ. υποτ. προσ. καθ. υποτ. = 4 5 = 3 5 απεν. καθ. προσ. καθ. = 4 3 σφβ = προσκ.καθ. απεν.καθ. = Σελίδα 8

10 Και λίγες ασκήσεις για να τις προσπαθήσετε μόνοι σας : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Δίνεται ΑΒΓΔ ορθογώνιο με ΑΒ=12μ και ΒΓ=5μ.Φέρνουμε τη διαγώνιο ΒΔ. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της ΑΒ Δ. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 η Δίνεται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90 0 και ΑΒ = 1. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των οξειών γωνιών. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 η Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 2 και φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των οξειών γωνιών του σχήματος. ΛΥΣΗ Σελίδα 9

11 Λαμβάνοντας υπόψη τις ασκήσεις 6 και 7 να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. ημ συν εφ σφ 30 ο 45 ο 60 ο ΑΣΚΗΣΗ 6 η Δίνεται ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με Α = 90 0, Β = 30 0 και ΒΓ=10μ. Να υπολογισθεί το εμβαδό του τριγώνου. ΛΥΣΗ Για να βρούμε το εμβαδό του ορθ. τρ. αρκεί να βρούμε τις 2 κάθετες πλευρές. Έχω όμως γνωστή μόνο την υποτείνουσα και μία γωνία την Β, άρα θα τις βρω με τα ημβ, συνβ. χ Γ 10μ Α y Β ημβ = απεν. καθ. υποτ = 2χ 2 χ = 5 συνβ = προσ. καθ. υποτ = 2y E τρ. = βάση χ ύψος 2 Ε ορθ.τρ. = Β =30 0 ημ30 0 = χ ημ30 0 = = χ 10 = 2χ 10 Β =30 0 συν30 0 = y 10 = 2y 2 y = 5 3 συν30 0 = 3 2 Ε ορθ.τρ. = κάθ. 1 χ κάθ. 2 2 Ε ορθ.τρ. = = y 10 Σελίδα 10

12 ΑΣΚΗΣΗ 7 η Δίνεται ΑΒΓ τρίγωνο με ΑΒ=12μ, Β = 30 0 και Γ = Να υπολογισθεί το εμβαδό του τριγώνου. (Υπόδειξη: Φέρνουμε το ύψος ΑΔ της πλευράς ΒΓ) ΛΥΣΗ Πάμε όμως να δούμε και μερικές δύσκολες ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ 8 η (από Γ. Λαγό Α Ευκλείδης τεύχος 52 ) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο οποίο ΑΒ=15cm και ΑΔ=20cm. Φέρνουμε από τις κορυφές Α, Γ τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ, ΓΖ προς την ΒΔ αντίστοιχα. Να βρεθεί το μήκος των ΒΔ, ΑΕ, ΓΖ, ΒΕ, ΕΖ και ΖΔ. ΑΣΚΗΣΗ 9 η (από Γ. Ωραιόπουλο Α Ευκλείδης τεύχος 54 ) Δίνεται κύκλος ( Ο, 10cm) και Α ένα σημείο εκτός αυτού, τέτοιο ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΑΓ προς τον κύκλο να σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία ΒΑ Γ=10 ο. Να υπολογιστεί η ΑΟ. ΑΣΚΗΣΗ 10 η (από Γ. Ωραιόπουλο Α Ευκλείδης τεύχος 54 ) Σε ένα κύκλο θεωρούμε τόξο 80 ο, του οποίου η χορδή έχει μήκος 5cm. Να υπολογισθεί η ακτίνα του κύκλου. Σελίδα 11

13 ΑΣΚΗΣΗ 11 η (από Σ. Τσικοπούλου Α Ευκλείδης τεύχος 48 ) Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΔ=ΒΓ έχουμε ΑΔ=10 εκ., ΑΒ=3 εκ. και Δ = 30 ο. Να υπολογίσετε το εμβαδό του τραπεζίου. ΑΣΚΗΣΗ 12 η Σε ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε συνω = 3, όπου ω μία από τις δύο 5 οξείες γωνίες. Μπορείτε να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της ω. ΑΣΚΗΣΗ 13 η (από Γ. Λυμπερόπουλος, Τ.Μπακάλης, Μ.Σίσκου Α Ευκλείδης τεύχος 59) Να βρείτε το εμβαδό παρ/μου ΑΒΓΔ που έχει ΑΒ=20 εκ., ΒΓ=30 εκ. και Β =30 Ο. ΑΣΚΗΣΗ 14 η (από Γ.Λυμπερόπουλος, Τ.Μπακάλης, Μ.Σίσκου Α Ευκλείδης τεύχος 59) Ένας δρόμος έχει κλίση 13%. Αν δύο αυτοκίνητα έχουν υψομετρική διαφορά 100 μ. να βρείτε την απόστασή τους. ΑΣΚΗΣΗ 15 η (από Γ.Λαγός, Α.Μπακάλης, Ν. Τζίφας Α Ευκλείδης τεύχος 44) Δίνεται ορθογώνιο παρ/μο ΑΒΓΔ με ΑΒ=8 και ΑΔ=4. Θεωρούμε το σημείο Ε της ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΕ=3. Αν ΑΔ Ε = α, ΒΔ Ε = β, ΒΔ Γ = γ να βρεθεί η τιμή της παράστασης : Α = 8εφα εφβ 5 ημβ συνγ Σελίδα 12

14 ΑΣΚΗΣΗ 16 η (από Γ.Λαγός, Α.Μπακάλης, Ν. Τζίφας Α Ευκλείδης τεύχος 44) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : 1 2 6συν30 ημ45 1 3συν30 συν60 Α = : 4 2 6ημ60 συν ημ30 ημ ΑΣΚΗΣΗ 17 η (από Γ. Φωτούχος Α Ευκλείδης τεύχος 46) Να τοποθετήσετε τους παρακάτω αριθμούς από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο χωρίς να χρησιμοποιήσετε τους τριγωνομετρικούς πίνακες. i. ημ72 0, 2 2, ημ840, ημ48 0, 1, ημ14 0, 1 2. ii. iii. iv. συν21 0, 2, 2 συν630, συν5 0, 1, 0, 2 συν570. εφ34 0, εφ52 0, 1, εφ12 0, εφ76 0, 3 ημ48 0, 1, συν48 0, 0, 2 2. ΑΣΚΗΣΗ 18 η (από Γ. Φωτούχος Α Ευκλείδης τεύχος 46) Να τοποθετήσετε το κατάλληλο σύμβολο >, =, < σε κάθε μία από τις επόμενες σχέσεις : i. ημ47 0 ημ ii. συν47 0 συν iii. εφ38 0 εφ iv. εφ v. vi. vii. viii. εφ87 0 εφ συν87 0 συν51 0 συν16 0 συν ημ32 0 ημ ημ συν9 0 1 ημ συν Σελίδα 13

Σχετικά έγγραφα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 9 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ 016 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε ανηφόρα.