Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Στο παρόν εδάφιο ενδιαφερόµαστε κυρίως για την έννοια της υποοµάδας, δηλαδή ένα υποσύνολο H G µιας οµάδας (G, ) το οποίο αποτελεί οµάδα µε πράξη τον περιορισµό της πράξης στο υποσύνολο H. Στη συνέχεια ϑα δούµε ότι κάθε υποοµάδα H ορίζει µια ενδιαφέρουσα σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου G, και επιπλέον, όταν το σύνολο G είναι πεπερασµένο, η επαγόµενη διαµέριση του G, δέιχνει ότι το πλήθος των στοιχείων της H διαιρεί το πλήθος των στοιχείων του G. Υπενθυµίζουµε πρώτα την έννοια της οµάδας. Ορισµός 2.1. Μια οµάδα είναι ένα Ϲεύγος (G, ), όπου G είναι ένα σύνολο, και : G G G, (x, y) = x y µια πράξη επί του G, για την οποία ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώµατα : 1. Η πράξη είναι προσεταιριστική, δηλαδή ισχύει : x, y, z X : x (y z) = (x y) z 2. Υπάρχει ένα στοιχείο e G, το οποίο καλείται ουδέτερο ή ταυτοτικό στοιχείο της G, έτσι ώστε να ισχύει : x X : x e = x = e x 3. Για κάθε x G, υπάρχει ένα στοιχείο x G, το οποίο καλείται αντίστροφο ή αντίθετο στοιχείο του x, έτσι ώστε να ισχύει : x G, x G : x x = e = x x Μια οµάδα (G, ) καλείται αβελιανή ή µεταθετική αν : 4. Η πράξη είναι µεταθετική, δηλαδή ισχύει : x, y X : x y = y x Ορισµός 2.2. Η τάξη µιας οµάδας (G, ) ορίζεται να είναι το πλήθος G των στοιχείων του συνόλου G και από τώρα και στο εξής ϑα συµβολίζεται ως εξής : o(g) := G Η οµάδα (G, ) καλείται πεπερασµένη, αν o(g) <. ιαφορετικά η (G, ) καλείται άπειρη οµάδα. Συµβολισµός : Αν (G, ) είναι µια οµάδα, τότε συνήθως το αντίστροφο ή αντίθετο στοιχείο του x G ϑα το συµβολίζουµε µε x 1, δηλαδή ϑα γράφουµε : x = x 1. Επίσης για την πράξη της οµάδας συνήθως ϑα γράφουµε ή τίποτα. Για παράδειγµα ϑα γράφουµε : x y = x y 1 ή xy 1 Σε κάποιες περιπτώσεις το ουδέτερο στοιχείο e ϑα συµβολίζεται µε 1 ή 1 G προς αποφυγή σύγχυσης. Αν η οµάδα (G, ) είναι αβελιανή, τότε για την πράξη ϑα χρησιµοποιούµε (συνήθως αλλά όχι πάντα) τον συµβολισµό «+». Επίσης το αντίστροφο ή αντίθετο στοιχείο του x G ϑα το συµβολίζουµε µε x, δηλαδή ϑα γράφουµε : x = x. Για παράδειγµα ϑα γράφουµε : x y = x + ( y) := x y Τέλος το ουδέτερο στοιχείο e ϑα συµβολίζεται µε 0 ή 0 G προς αποφυγή σύγχυσης.

4 Βασικές ιδιότητες υποοµάδων. Από τώρα και στο εξής : (G, ) συµβολίζει µια οµάδα. Υπενθυµίζουµε ότι ένα υποσύνολο H της οµάδας G είναι κλειστό στην πράξη : G G G αν : a, b H : a b H Αν το υποσύνολο H είναι κλειστό στην πράξη της G, τότε η απεικόνιση επάγει µια πράξη : H H H στην H. Προφανώς η επαγόµενη πράξη είναι προσεταιριστική. Ορισµός 2.3. Εστω (G, ) µια οµάδα και H ένα υποσύνολο τής G. Το H καλείται υποοµάδα της G, αν : (1) Το υποσύνολο H G είναι κλειστό στην πράξη της G. (2) Το Ϲεύγος (H, ) αποτελεί οµάδα. Λήµµα 2.4. Εστω ότι (G, ) είναι µια οµάδα και ότι H είναι µια υποοµάδα της. (α ) Το ουδέτερο στοιχείο e H τής H συµπίπτει µε το ουδέτερο στοιχείο e G τής G. (ϐ ) Για κάθε a H, το αντίστροφό του a 1 H στην H συµπίπτει µε το αντίστροφό του a 1 στην G. Απόδειξη. (α ) Παρατηρούµε ότι e H e H = e H, επειδή το e H είναι το ουδέτερο τής H και e H e G = e H, επειδή το e G είναι το ουδέτερο τής G. Εποµένως, τα e H και e G είναι και τα δύο λύσεις τής εξίσωσης e H x = e H, ως προς x, στην οµάδα G. Αφού όµως η G είναι οµάδα, η προηγούµενη εξίσωση έχει ακριβώς µια λύση. Εποµένως, e H = e G. (ϐ ) Παρατηρούµε ότι a a 1 H = e G και a a 1 = e G. Συνεπώς, τα a 1 H και a 1 είναι και τα δύο λύσεις τής εξίσωσης a x = e G, ως προς x, στην οµάδα G. Αφού όµως η G είναι οµάδα, η προηγούµενη εξίσωση έχει ακριβώς µια λύση, εποµένως, a 1 H = a 1. Λήµµα 2.5. Εστω (G, ) µια οµάδα και H ένα υποσύνολό της. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Το H αποτελεί µια υποοµάδα τής (G, ). (2) H και : a, b H : a b 1 H Απόδειξη. (1) = (2) Εστω ότι το H είναι µια υποοµάδα. Τότε, σύµφωνα µε τον ορισµό τής υποοµάδας, το H δεν είναι το κενό σύνολο. Επιπλέον, αν το (a, b) είναι στοιχείο τού H H, τότε το b ανήκει στην H και κατόπιν το b 1 ανήκει στην H, ϐλ. Λήµµα 2.4(ϐ ) και επειδή η H είναι υποοµάδα, το a b 1 είναι επίσης στοιχείο τής H. (2) = (1) Υπάρχει κάποιο a G µε a H, αφού το H. Οµως τότε, το (a, a) είναι στοιχείο τού H H και γι αυτό, από την υπόθεση, το στοιχείο a a 1 = e G είναι στοιχείο τού H. Για κάθε a H, το στοιχείο (e G, a) είναι στοιχείο τού H H και γι αυτό, σύµφωνα µε την υπόθεση, το στοιχείο e G a 1 = a 1 είναι στοιχείο τού H. Θα δείξουµε τώρα ότι ο περιορισµός τής στο H H ορίζει µια απεικόνιση από το H H στο H, δηλαδή ότι αν (a, b) H H, τότε το a b είναι στοιχείο τού H. Οταν όµως (a, b) H H, τότε b H και όπως είδαµε παραπάνω το b 1 H. Συνεπώς, το Ϲεύγος (a, b 1 ) ανήκει στο H H και γι αυτό εφαρµόζοντας και πάλι την υπόθεση, το στοιχείο a (b 1 ) 1 ανήκει στο H. Αλλά (b 1 ) 1 = b, και εποµένως το στοιχείο a b είναι στοιχείο τού H. Τέλος, επειδή η είναι µια προσεταιριστική πράξη επί των στοιχείων τής G, είναι ϕανερό ότι παρα- µένει προσεταιριστική και επί των στοιχείων τού υποσυνόλου H. Εποµένως, η H είναι µια υποοµάδα τής G. Παράδειγµα 2.6. Είναι γνωστό ότι το σύνολο GL n (K) = { A M n (K) det(a) 0 } των n n αντιστρέψιµων πινάκων µε συνιστώσες από ένα σώµα K εφοδιασµένο µε την πράξη του πολλαπλασιασµού πινάκων αποτελεί µια οµάδα.

5 212 Θεωρούµε το υποσύνολο SL n (K) = { A GL n (K) det(a) = 1 } Θα εφαρµόσουµε το Λήµµα 2.5 για να αποδείξουµε ότι το SL n (K) είναι υποοµάδα της GL n (K). Παρατη- ϱούµε πρώτα ότι το SL n (K), αφού ο ταυτοτικός n n πίνακας I n είναι στοιχείο του συνόλου SL n (K). Τώρα σύµφωνα µε το Λήµµα 2.5, αρκεί να αποδείξουµε ότι αν A, B SL n (K), τότε και ο πίνακας A B 1 ανήκει επίσης στο SL n (K). Πράγµατικά έχουµε det(a B 1 ) = det A det(b 1 ) = det A (det B) 1 = 1 (1) 1 = 1 Σε µερικές περιπτώσεις ο έλεγχος αν ένα υποσύνολο µιας υποοµάδας αποτελεί υποοµάδα, είναι εξαιρετικά απλός, όπως δείχνει το επόµενο Λήµµα : Λήµµα 2.7. Εστω (G, ) µια οµάδα και H ένα µη κενό υποσύνολό της µε πεπερασµένο το πλήθος στοιχεία. Αν το H είναι κλειστό ως προς την πράξη τής G, τότε το H αποτελεί µια υποοµάδα τής G. Απόδειξη. Το ότι το σύνολο H είναι κλειστό ως προς την πράξη σηµαίνει ότι a, b H, το στοιχείο a b ανήκει επίσης στην H και γι αυτό ορίζεται η πράξη : H H H, (a, b) a b. Σύµφωνα µε τον Ορισµό 2.3 και το Λήµµα 2.4, για να είναι τώρα η H υποοµάδα τής G, πρέπει το ουδέτερο στοιχείο e G να ανήκει στο H και για κάθε a H, το αντίστροφό του a 1 (το οποίο υπάρχει στην G) να ανήκει επίσης στο H. Αφού το H είναι πεπερασµένο σύνολο, µπορούµε να υποθέσουµε ότι H = {a 1, a 2,..., a n } µε n N. Ας είναι a ένα οποιοδήποτε αλλά συγκεκριµένο στοιχείο τής H. Θεωρούµε την απεικόνιση l a : H H, a i l a (a i ) := a a i. Η l a είναι µια «1 1» απεικόνιση, αφού αν a i, a j είναι στοιχεία τής H µε l a (a i ) = l a (a j ), τότε a a i = a a j και εποµένως 21 a 1 (a a i ) = a 1 (a a j ), δηλαδή a i = a j. Αλλά µια «1 1» απεικόνιση από το πεπερασµένο σύνολο H στον εαυτό του είναι και «επί». Συνεπώς, υπάρχει κάποιο a j H µε a = l a (a j ), δηλαδή a = a a j. Άρα, e G = a j H. Ωστε το ουδέτερο στοιχείο τής G ανήκει στην H. Επιπλέον, αφού η l a είναι «επί» και αφού τώρα γνωρίζουµε ότι e G H, συµπεραίνουµε ότι υπάρχει a j H µε l a (a j ) = e G, δηλαδή a a j = e G. Συνεπώς, a j = a 1 και έτσι το a j H είναι το αντίστροφο τού στοιχείου a Οµάδες προερχόµενες από την οµάδα Z των ακεραίων. Θεωρούµε την οµάδα (Z, +) των ακε- ϱαίων µε πράξη την πρόσθεση. Η (Z, +) είναι µια άπειρη αβελιανή οµάδα. Στην παρούσα ενότητα ϑα δούµε κάποιες οµάδες οι οποίες προέρχονται από την οµάδα Z Η υποοµάδα (nz, +). Για κάθε n 1, το σύνολο nz = { nm Z m Z } ακεραίων πολλαπλασίων του n είναι προφανώς µια (άπειρη) υποοµάδα του Z. 21 Το αντίστροφο a 1 τού a υπάρχει στην G, αφού η G είναι οµάδα.

6 Η προσθετική οµάδα (Z n, +). Εστω n 1. Στο σύνολο Z ϑεωρούµε τη σχέση R n η οποία ορίζεται ως εξής : a, b Z : a Rn b n a b Τότε η R n είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του Z, η οποία είναι συµβιβαστή µε την πράξη της πρόσθεσης και εποµένως από την Πρόταση 1.17 το σύνολο πηλίκο Z n = { [k] Z 0 k n 1 } αποτελεί οµάδα µε πράξη την πρόσθεση η οποία επάγεται από την πρόσθεση ακεραίων. Η οµάδα (Z n, +) είναι µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα µε n το πλήθος στοιχεία Η πολλαπλασιαστική οµάδα (U(Z n ), ). Η παραπάνω σχέση ισοδυναµίας R n είναι επίσης συµβατή µε την πράξη του πολλαπλασιασµού στο σύνολο Z των ακεραίων. Ετσι αποκτούµε µιοα καλά ορισµένη πράξη πολλαπλασιασµού : Z n Z n Z n, [a] n [b] n = [ab] n Προφανώς αυτή η πράξη είναι προσεταιριστική και µεταθετική και έχει το στοιχείο [1] n ως ταυτοτικό στοιχείο. Οµως το Ϲεύγος (Z n, ) δεν αποτελεί οµάδα διότι υπάρχουν στοιχεία του Z n τα οποία δεν έχουν αντίστροφο ως προς την πράξη του πολλαπασιασµού, π.χ. το [0] n. Αυτό που πρέπει λοιπόν να κάνουµε για να αποκτήσουµε δοµή οµάδας είναι να περιορισθούµε στο σύνολο των στοιχείων του Z n τα οποία έχουν αντίστροφο ως προς την πράξη του πολλαπλασιασµού. Οµως : το στοιχείο [k] n έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο στο σύνολο Z n (k, n) = 1 Πραγµατικά : αν (k, n) = 1, τότε ως γνωστόν υπάρχουν ακέραιοι u, v Z: uk + vn = 1. Τότε στο Z n ϑα έχουµε : [u] n [k] n + [v] n [n] n = [1] n = [u] n [k] n + [v] n [0] n = [1] n = [u] n [k] n + [0] n = [1] n = [u] n [k] n = [1] n = [k] n [u] n Εποµένως το στοιχείο [k] n είναι αντιστρέψιµο µε αντίστροφο το στοιχείο [u] n. Αντίστροφα αν αυτό ισχύει, τότε [u] n [k] n = [uk] n = [1] n = n/1 uk = 1 uk = nv = uk+nv = 1 = (n, k) = 1 Εποµένως το Ϲεύγος (U(Z n ), ), όπου : U(Z n ) = { [k] n Z n (k, n) = 1 } αποτελεί µια, προφανώς πεπερασµένη αβελιανή, οµάδα. Η οµάδα U(Z n ) καλείται η οµάδα των αντιστρεψίµων στοιχείων του Z n και η τάξη της είναι ίση µε : ϕ(n) = { k Z 1 k n & (k, n) = 1 } την τιµή της συνάρτησης ϕ του Euler στο n Υποοµάδες και Σχέσεις Ισοδυναµίας. Εστω (G, ) µια οµάδα. Ως συνήθως συµβολίζουµε µε e το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G και µε a 1 το αντίστροφο του στοιχείου a G. Για κάθε υποσύνολο H G του συνόλου G, ορίζουµε τις ακόλουθες σχέσεις R H και H R επί του G: Πρόταση 2.8. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Το υποσύνολο H είναι υποοµάδα της (G, ). x, y G : x RH y x 1 y H x, y G : x H R y x y 1 H

7 214 (2) Η σχέση R H είναι σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου G. (3) Η σχέση H R είναι σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου G. Απόδειξη. (1) = (2) Θα έχουµε : x G: x RH x διότι x 1 x = e H επειδή η H είναι υποοµάδα. x, y G, έστω x RH y και άρα x 1 y H. Επειδή η H είναι υποοµάδα, έπεται ότι (x 1 y) 1 H = y 1 (x 1 ) 1 = y 1 x H και άρα y RH x. x, y, z G, έστω x RH y και y RH z. Τότε x 1 y H και y 1 z H. Επειδή η H είναι υποοµάδα ϑα έχουµε : και άρα x RH z. (x 1 y) (y 1 z) = x 1 y y 1 z = x 1 e z = x 1 z H Εποµένως η σχέση R H είναι σχέση ισοδυναµίας επί του συνόλου G. (2) = (1) Θα έχουµε : Επειδή x G: x RH x και e G, ϑα έχουµε e RH e δηλαδή e 1 e = e H. Ετσι e H και ιδιαίτερα H. Εστω x, y H. Τότε : H x = e x = e 1 x = e RH x και H y = e y = e 1 y = e RH y Επειδή η σχέση R H είναι σχέση ισοδυναµίας, ϑα έχουµε : x RH e και e RH y, δηλαδή x 1 e = x 1 H και y 1 e = y 1 H. Ιδιαίτερα : x 1 H, x H. Τέλος από τις παραπάνω σχέσεις ϑα έχουµε x 1 RH e και e RH y 1. Λόγω της µεταβατικής ιδιότητας ϑα έχουµε : x 1 RH y 1 το οποίο σηµαίνει ότι (x 1 ) 1 y 1 = x y 1 H. Απο το Λήµµα 2.5 τότε έπεται ότι το υποσύνολο H είναι υποοµάδα της G. Η απόδειξη (1) (3) είναι παρόµοια και αφήνεται ως άσκηση. Από τωρα και στο εξής υποθέτουµε ότι: το υποσύνολο H είναι µια υποοµάδα της οµάδας (G, ). Τότε γνωρίζουµε ότι οι σχέσεις R H και H R είναι σχέσεις ισοδυναµίας επί του συνόλου G. Για κάθε x G, συµβολίζουµε µε : [x] H = { y G y RH x } και H[x] = { y G y H R x } την κλάση ισοδυναµίας του x G ως προς τις σχέσεις ισοδυναµίας R H και H R αντίστοιχα. Λήµµα 2.9. x G: [x] H = x H := { x h G h H } H[x] = H x := { h x G h H } Απόδειξη. Για την πρώτη σχέση ϑα έχουµε (η δεύτερη αποδεικνύεται παρόµοια): [x] H = { y G y RH x } = { y G x RH y H } = { y G x 1 y H } = = { y G x 1 y = h H } = { y G y = x h, h H } = { x h G h H } = x H Ορισµός Η κλάση ισοδυναµίας [x] H του στοιχείου x G ως προς την σχέση ισοδυναµίας R H καλείται αριστερό σύµπλοκο του x ως προς την υποοµάδα H και συµβολίζεται ως εξής : x H. Η κλάση ισοδυναµίας H [x] του στοιχείου x G ως προς την σχέση ισοδυναµίας H R καλείται δεξιό σύµπλοκο του x ως προς την υποοµάδα H και συµβολίζεται ως εξής : H x. Λήµµα (1) x G: τα σύµπλοκα x H και H x έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων.

8 215 (2) Τα σύνολα-πηλίκα G/R H και G/ H R έχουν το ίδιο πληθος στοιχείων, δηλαδή : Το πλήθος των διακεκριµµένων αριστερών συµπλόκων της H στην G συµπίπτει µε το πλήθος των διακεκριµµένων δεξιών συµπλόκων της H στην G. Απόδειξη. (1) Για κάθε x G, ορίζοντας φ : x H H x, φ(x h) = h x ϐλέπουµε εύκολα ότι αποκτούµε µια καλά ορισµένη απεικόνιση η οποία είναι 1-1 και επί. (2) Ορίζοντας ψ : G/R H G/ H R, ψ(x H) = H x 1 ϑα δείξουµε ότι η φ είναι µια 1-1 και επί απεοκόνιση. Κατ αρχήν η ψ είναι καλά ορισµένη : έστω x H = y H και άρα x RH y. Τότε x 1 y H. Εστω x 1 y = h H. Τότε x 1 = h y 1 H y 1 = H [y 1 ]. Οπως γνωρίζουµε τότε τα στοιχεία x 1 και y 1 ορίζουν την ίδια κλάση ισοδυναµίας ως προς την σχέση ισοδυναµίας H R και εποµένως ϑα έχουµε H [x 1 ] = H [y 1 ]. Αυτό όµως σηµαίνει ότι H x 1 = H y 1 και άρα ψ(x H) = ψ(y H), δηλαδή η ψ είναι καλά ορισµένη. Εστω ψ(x H) = ψ(y H), δηλαδή H x 1 = H y 1 ή ισοδύναµα H [x 1 ] = H [y 1 ]. Τότε όµως x 1 H R y 1 και άρα x 1 (y 1 ) 1 H. ηλαδή x 1 y H και εποµένως x 1 y = h H. Τότε y = x h x H = [x] H και άρα [y] H = [x] H = y H = x H. Εποµένως η ψ είναι 1-1. Εστω H [z] = H z G/ H R. Τότε προφανώς ψ([z 1 ] H ) = ψ(z 1 H) = H (z 1 ) 1 = H z και άρα η ψ είναι επί. Από τώρα και στο εξής: εργαζόµαστε µε την σχέση ισοδυναµίας R H : x, y G : x RH y x 1 y H Ανάλογα συµπεράσµατα ισχύουν για την σχέση ισοδυναµίας H R. Λήµµα Εστω x, y G. Τότε οι κλάσεις ισοδυναµίας [x] H και [y] H έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Ακριβέστερα η απεικόνιση είναι 1-1 και επί. φ : [x] H = x H [y] H = y H, φ(x h) = y h Απόδειξη. Εστω φ(x h 1 ) = φ(x h 2 ), δηλαδή y h 1 = y h 2. Τότε προφανώς, από τον Νόµο ιαγραφής, ϑα έχουµε h 1 = h 2 και άρα x h 1 ) = x h 2. Εποµένως η ψ είναι 1-1. Αν y h y H, τότε ψ(x h) = y h και άρα η ψ είναι επί. Πόρισµα Εστω (G, ) µια οµάδα και H G µια υποοµάδα της G. Τότε : x G : o(h) = H = x H Απόδειξη. Θέτοντας y = e στο παραπάνω Λήµµα, ϑα έχουµε ότι τα σύµπλοκα e H και x H έχουνε το ίδιο πλήθος στοιχείων. Οµως προφανώς e H = { e h G h H } = { h G h H } = H και εποµένως, x G: o(h) = H = x H

9 Το Θεώρηµα του Lagrange. Εστω, όπως και πριν, (G, ) µια οµάδα και H G µια υποοµάδα της G. Συµβολίζουµε µε G/H = G/R H = { [x] H G x G } = { x H G x G } το σύνολο-πηλίκο της G ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R H. Το σύνολο G/H καλείται το σύνολο των αριστερών συµπλόκων της H στην G. Οπως γνωρίζουµε το σύνολο υποσυνόλων G/H αποτελεί µια διαµέριση του G και άρα ϑα έχουµε : G = [x] H = x H x G Ορισµός Εστω (G, ) µια οµάδα και H G µια υποοµάδα της G. Το πλήθος των στοιχείων του συνόλου G/H καλείται ο δείκτης της H στην G και συµβολίζεται µε : [G : H]. Ετσι ο δείκτης [G : H] της H στην G είναι το πλήθος των διακεκριµµένων αριστερών συµπλόκων της H στην G. Σύµφωνα µε το Λήµµα 2.11 ο δείκτης [G : H] της H στην G είναι επίσης το πλήθος των διακεκριµµένων δεξιών συµπλόκων της H στην G. Ιδιαίτερα αν η οµάδα G είναι πεπερασµένη, τότε και η υποοµάδα H ϑα είναι πεπερασµένη και το σύνολο των διακεκριµµένων κλάσεων ισοδυναµίας των στοιχείων της ως προς τη σχέση ισοδυναµίας R H ϑα είναι πεπερασµένο. ηλαδή το σύνολο-πηλίκο G/H των αριστερών συµπλόκων της H στην G ϑα είναι πεπερασµένο. Είδαµε ότι το πλήθος των αριστερών συµπλόκων µιας υποοµάδας είναι ίσο µε το πληθος των δεξιών συµπλόκων της υποοµάδας. Αυτό δεν σηµαίνει ότι ένα αριστερό σύµπλοκο είναι και δεξιό : Παράδειγµα Θεωρούµε την συµµετρική οµάδα : S 3 = { (1), (12), (13), (23), (123), (132) } Τότε H = { (1), (12) } είναι µια υποοµάδα της S 3 και τα διεκεκριµµένα αριστερά σύµπλοκα της H στην S 3 είναι : { (1), (12) }, { (13), (123) }, { (23), (132) } Βλέπουµε ότι το δεξιό σύµπλοκο H(13) = { (13), (132) } δεν συµπίπτει µε κανένα αριστερό σύµπλοκο. Γενικότερα ϐλέπουµε ότι τα δεξιά σύµπλοκα της H της S 3 είναι { } { } { } (1), (12), (13), (132), (23), (123) x G άρα είναι όπως περιµένουµε τρία και κανένα δεξιό σύµλοκο (εκτός του H) δεν συµπίπτει µε κανένα αριστερό σύµλοκο. Εστω τώρα (G, ) µια πεπερασµένη οµάδα και H µια υποοµάδα της G. Εστω : (1) o(g) = n (2) o(h) = m (3) [G : H] = k και έστω G/H = { [x 1 ] H, [x 2 ] H,, [x k ] H } = { x1 H, x 2 H,, x k H }. Επειδή τα υποσύνολα [x 1 ] H, [x 2 ] H,, [x k ] H αποτελούν µια διαµέριση του G, έπεται ότι ϑα έχουµε : G = [x 1 ] H [x2 ] H [xk ] H και [x i ] H [xj ] H =, 1 i j k Το ακόλουθο Θεώρηµα, το οποίο οφείλεται στον Lagrange και είναι ϑεµελιώδες στην Θεωρία Οµάδων, δείχνει ότι µε τους παραπάνω συµβολισµούς : n = m k, δηλαδή η τάξη της H διαιρεί την τάξη της G:

10 217 Θεώρηµα (Lagrange (1771)) Εστω G µια πεπερασµένη οµάδα και H µια υποοµάδα της G. Τότε : o(g) = o(h) [G : H] Εποµένως η τάξη µιας υποοµάδας H µιας πεπερασµένης οµάδας G διαιρεί την τάξη της οµάδας : o(h) / o(g) Απόδειξη. Επειδή G = [x 1 ] H [x2 ] H [xk ] H είναι µια διαµέριση του συνόλου G, σύµφωνα µε την Παρατήρηση 1.6, ϑα έχουµε : k k G = [x i ] H = x i H i=1 i=1 Από το Πόρισµα 2.13, έχουµε : x i H = o(h), i = 1, 2,, k. Ετσι η παραπάνω σχέση δίνει : k o(g) = G = x i H = k H = k o(h) = [G : H] o(h) i= Οι Υποοµάδες της S 3. Υπενθυµίζουµε ότι : S 3 = { (1), (12), (13), (23), (123), (132) } Πίνακας πολλαπλασιασµού της S 3 (1) (12) (13) (23) (123) (132) (1) (1) (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) (1) (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) (1) (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) (1) (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) (1) (132) (132) (23) (12) (13) (1) (123) Τα ακόλουθα υποσύνολα είναι όλες οι υποοµάδες της S 3 : (1) Υποµοάδες Τάξης 1: H 0 = {(1)}. (2) Υποµοάδες Τάξης 2: H 1 = {(1), (12)}, H 2 = {(1), (13)}, H 3 = {(1), (23)}. (3) Υποµοάδες Τάξης 3: H 4 = {(1), (123), (132)}. (4) Υποµοάδες Τάξης 6: H 5 = S 3. Εποµένως ϐλέπουµε οτι για την S 3 ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange, δηλαδή για κάθε διαιρέτη της o(s 3 ) υπάρχει (τουλάχιστον µια) υποοµάδα της S 3 µε τάξη τον διαιρέτη Το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange και η Εναλλάσσουσα Οµάδα A 4. Το αντίστρο- ϕο τοθ Θεωρήµατος του Lagrange γενικά δεν ισχύει. Οπως ϑα δούµε αργότερα, υπάρχουν πεπερασµένες οµάδες G και διαιρέτες k της τάξης της οµάδας έτσι ώστε η G να µην έχει υποοµάδες τάξης k. Η µικρότερη οµάδα για την οποία το αντίστροφο τοθ Θεωρήµατος του Lagrange δεν ισχύει, είναι η εναλλάσσουσα οµάδα A 4 µε τάξη 12. Η A 4 έχει υποοµάδες τάξης 1, 2, 3, 4, 12 αλλά δεν έχει καµµία υποοµάδα τάξης 6. Υπενθυµίζουµε ότι η A 4 είναι η υποοµάδα της συµµετρικής οµάδας S 4 η οποία αποτελείται από τις άρτιες µεταθέσεις : A 4 = { (1), (123), (124), (134), (234), (132), (142), (143), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }

11 218 Ειδικότερα η A 4 αποτελείται, εκτός από την ταυτοτική µετάθεση (1), από τους οκτώ 3-κύκλους και τα τρία γινόµενα των ξένων 2-κύκλων. Παρακάτω, χάριν ευκολίας και για µεταγενέστερη χρήση, δίνουµε τον πίνακα πολλαλπασιασµού της οµάδας A 4 : Πίνακας πολλαπλασιασµού της A 4 (1) (123) (124) (134) (234) (132) (142) (143) (243) (12)(34) (13)(24) (14)(23) (1) (1) (123) (124) (134) (234) (132) (142) (143) (243) (12)(34) (13)(24) (14)(23) (123) (123) (132) (13)(24) (234) (12)(34) (1) (143) (14)(23) (124) (134) (243) (142) (124) (124) (14)(23) (142) (13)(24) (123) (134) (1) (243) (12)(34) (143) (132) (234) (134) (134) (124) (12)(34) (143) (13)(24) (14)(23) (234) (1) (132) (123) (142) (243) (234) (234) (13)(24) (134) (14)(23) (243) (142) (12)(34) (123) (1) (132) (143) (124) (132) (132) (1) (243) (12)(34) (134) (123) (14)(23) (142) (13)(24) (234) (124) (143) (142) (142) (234) (1) (132) (14)(23) (13)(24) (124) (12)(34) (143) (243) (134) (123) (143) (143) (12)(34) (123) (1) (142) (243) (13)(24) (134) (14)(23) (124) (234) (132) (243) (243) (143) (14)(23) (124) (1) (12)(34) (132) (13)(24) (234) (142) (123) (134) (12)(34) (12)(34) (243) (234) (142) (124) (143) (134) (132) (123) (1) (14)(23) (13)(24) (13)(24) (13)(24) (142) (143) (243) (132) (234) (123) (124) (134) (14)(23) (1) (12)(34) (14)(23) (14)(23) (134) (132) (123) (143) (124) (243) (234) (142) (13)(24) (12)(34) (1) Πρόταση Η εναλλάσσουσα οµάδα A 4 τάξης 12: (1) έχει υποοµάδες τάξης 1, 2, 3, 4, και 12. (2) δεν έχει υποοµάδα τάξης 6. Απόδειξη. (2) Υποθέτουµε ότι H είναι µια υποοµάδα της A 4 µε o(h) = 6. Τότε προφανώς ο δείκτης [A 4 : H] = 2 και εποµένως η H έχει 2 διακεκριµµένα αριστερά σύµπλοκα στην A 4. Θα δείξουµε ότι κάθε στοιχείο της A 4 το οποίο είναι της µορφής g 2, όπου g A 4, ανήκει στην H: M = { g 2 A 4 g A 4 } H Πράγµατι : έστω g A 4. Αν g H, τότε g 2 H διότι η H είναι υποοµάδα της A 4. Αν g / H, τότε τα σύµπλοκα (1)H = H και gh, δεν συµπίπτουν, διότι διαφορετικά αν H = gh, τότε g H που είναι άτοπο. Άρα επειδή τα σύµπλοκα (1)H = H και gh είναι διαφορετικά και επειδή η H έχει 2 διακεκριµµένα αριστερά σύµπλοκα στην A 4, έπεται ότι τα σύµλοκα H και gh αποτελούν µια διαµέριση της A 4,και άρα : A 4 = H gh, H gh = Το σύµπλοκο g 2 H ϑα συµπίπτει µε ένα εκ των H και gh. Αν g 2 H = gh, τότε (g 2 ) 1 g = g 2 g = g 1 H. Επειδή η H είναι υποοµάδα, ϑα έχουµε g H το οποίο είναι άτοπο. Συµπεραίνουµε ότι : g 2 H = H κάτι το οποίο σηµαίναι ότι g 2 H. Άρα η έγκλειση ( ) ισχύει. Οµως το πλήθος των στοιχείων του συνόλου M των τετραγώνων στοιχείων της A 4 είναι, όπως ϐλέπουµε από τον πίνακα πολλαπλασιασµού της A 4 : M = { (1), (123), (124), (134), (234), (132), (142), (143), (243)} δηλαδή όλοι οι 3-κύκλοι και η ταυτοτική µετάθεση. Άρα M = 9 και εποµένως δεν µπορεί να ισχύει η σχέση ( ), διότι H = 6. Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι η A 4 έχει µια υποοµάδα τάξης 6. Άρα η εναλλάσσουσα οµάδα A 4 δεν έχει υποοµάδα τάξης 6. (1) Προφανώς η A 4 έχει υποοµάδες τάξης 1, και 12. Το στοιχείο (12)(34) παράγει µια κυκλική οµάδα τάξης 2, το στοιχείο (123) παράγει µια υποοµάδα τάξης 3, και το σύνολο είναι µια υποοµάδα τάξης 4. {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ( )

12 219 Παρατήρηση Το αµέσως επόµενο, ως προς το µέγεθος, παράδειγµα οµάδας στην οποία δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήµατος Lagrange αποτελεί η οµάδα SL 2 (Z 3 ) των 2 2 πινάκων µε ορίζουσα 1 υπεράνω του σώµατος Z 3 των ακεραίων modulo 3. Η SL 2 (Z 3 ) είναι µια µη-αβελιανή οµάδα τάξης 24 και άρα οι διαιρέτες της τάξης της είναι : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Μπορεί κανείς να δεί ότι η SL 2 (Z 3 ) υποοµάδες τάξης 1, 2, 3, 4, 6, 8, 24 αλλά δεν έχει υποοµάδες τάξης 12. Παρατήρηση Οπως ϑα δούµε κάθε κυκλική οµάδα (πεπερασµένης τάξης) ικανοποιεί το αντίστροφο του Θεωρήµατος Lagrange. Γενικότερα µπορεί να δειχθεί ότι κάθε : (α) πεπερασµένη αβελιανή οµάδα, (β) οµάδα µε τάξη δύναµη ενός πρώτου αριθµού, και (γ) «διεδρική» οµάδα, ικανοποιεί το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange Εφαρµογές του Θεωρήµατος Lagrange (I). Στην παρούσα ενότητα ϑα δούµε κάποιες άµεσες εφαρµογές του Θεωρήµατος Lagrange. Πρόταση Εστω H και K δύο υποοµάδες µιας πεπερασµένης οµάδας (G, ), και υποθέτουµε ότι : Τότε : K H G [G : K] = [G : H] [H : K] Απόδειξη. Προφανώς η K είναι υποοµάδα της H και άρα από το Θεώρηµα του Lagrange για τις υποο- µάδες H και K, ϑα έχουµε : Εποµένως o(g) = o(h) [G : H] o(g) = o(k) [G : K] o(h) = o(k) [H : K] o(g) = o(k) [H : K] [G : H] και o(g) = o(k) [G : K] = [G : K] = [G : H] [H : K] Πρόταση Εστω H και K δύο υποοµάδες µιας πεπερασµένης οµάδας (G, ), και έστω o(h) = m και o(k) = n. Αν (m, n) = 1, τότε : H K = {e} Απόδειξη. Οπως γνωρίζουµε η τοµή υποοµάδων µιας οµάδας είναι υποοµάδα και έτσι έχουµε ότι η τοµή H K είναι υποοµάδα των πεπεπερασµένων οµάδων H και K. Απο το Θεώρηµα του Lagrange ϑα έχουµε : o(h K)/o(H) = m και o(h K)/o(K) = n Τότε όµως o(h K)/(m, n), και επειδή (m, n) = 1, ϑα έχουµε o(h K) = 1 ή ισοδύναµα : H K = {e}. Θα ολοκληρώσουµε την παρούσα ενότητα µε την παρακάτω ενδιαφέρουσα πρόταση η απόδειξη της οποίας αποτελεί εφαρµογή της Πρότασης 1.9. Κατ αρχήν υπενθυµίζουµε ότι αν H, K G είναι υποσύνολα µιας οµάδας G, τότε : HK = { hk G h H, k K } Σηµειώνουµε ότι αν τα υποσύνολα H, K G είναι υποοµάδες της G, τότε γενικά το υποσύνολο HK δεν είναι υποοµάδα της G.

13 220 Πρόταση Εστω H, K δύο πεπερασµένες υποοµάδες της οµάδας G. στοιχείων του συνόλου HK είναι : o(h) o(k) HK = o(h K) Απόδειξη. Θεωρούµε την απεικόνιση f : H K HK, f(h, k) = hk Τότε το πλήθος HK των η οποία προφανώς είναι επί. Από την υπο-ενότητα 1.4, ϑα έχουµε ότι η f ορίζει µια σχέση ισοδυναµίας R f επί του συνόλου H K και υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση µεταξύ του συνόλου πηλίκο (H K)/R f και της εικόνας Im(f) = HK. Εποµένως : (H K)/R f = HK Οπως γνωρίζουµε, τα στοιχεία του συνόλου πηλίκο (H K)/R f είναι οι διακεκριµµένες κλάσεις ισοδυναµίας [(h, k)] Rf και από την Πρόταση 1.9, Θα δείξουµε ότι : [(h, k)] Rf = f 1 {f(h, k)} = f 1 {hk} f 1 {hk} = { (hr, r 1 k) G G r H K } ( ) Πραγµατικά : αν (hr, r 1 k) G G, όπου h H, k K, και r H K, τότε προφανώς (hr, r 1 k) H K, και f(hr, r 1 k) = hrr 1 k = hek = hk και εποµένως (hr, r 1 k) f 1 {hk} = [(h, k)] Rf. Αντίστροφα αν (x, y) f 1 {hk} = [(h, k)] Rf, τότε x H, y K, και f(x, y) = hk. Εποµένως hk = xy και τότε x 1 hk = y και άρα : x 1 h = yk 1 H K διότι το x 1 h H επειδή x, h H και H είναι υποµάδα, και yk 1 K επειδή y, k K και K είναι υποοµάδα. Ισοδύναµα εππειδή το υποσύνολο H K είναι υποοµάδα, ϑα έχουµε : Τότε ϑα έχουµε : (x 1 h) 1 = (yk 1 ) 1 H K = h 1 x = ky 1 := r H K (x, y) = (ex, ye) = ( (hh 1 )x, y(k 1 k) ) = ( h(h 1 x), (yk 1 )k ) = (hr, r 1 k) Άρα αποδείξαµε την σχέση ( ) µε ϐάση την οποία ορίζουµε µια απεικόνιση, h H, k K: φ : H K f 1 {hk}, φ(r) = (hr, r 1 k) Η παραπάνω ανάλυση δείχνει ότι η απεικόνιση φ είναι καλά ορισµένη και είναι απεικόνιση επί. Επιπλέον η φ είναι 1-1 διότι αν φ(r) = φ(s) τότε (hr, r 1 k) = (hs, s 1 k) και άρα : hr = hs και r 1 k = s 1 k. Τότε προφανώς ϑα έχουµε r = s και έτσι η φ είναι 1-1 και επί. Αυτό σηµαίνει ότι για κάθε κλάση ισοδυναµίας [(h, k)] Rf ϑα έχουµε : o(h K) = H K = [(h, k)] Rf Επειδή το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναµίας αποτελεί µια διαµέριση του H K, επειδή κάθε κλάση ισοδυναµίας έχει τόσα στοιχεία όσα και η υποοµάδα H K, και επειδή το πλήθος των διακεκριµµένων κλάσεων ισοδυναµίας είναι ίσο µε το πλήθος HK, ϑα έχουµε : H K = H K HK και εποµένως : HK = H K H K = H K o(h K) = o(h) o(k) o(h K)

14 221 Θα δούµε τώρα κάποιες εφαρµογές της παραπάνω Πρότασης. Πόρισµα Εστω H και K δύο υποοµάδες µιας πεπερασµένης οµάδας G. Τότε : o(h) > o(g) και o(k) > o(g) = H K {e} Απόδειξη. Από την παραπάνω πρόταση ϑα έχουµε : o(h) o(k) o(g) o(g) o(g) HK = o(h K) > o(h K) = o(g) o(h K) = o(h K) > 1 Πόρισµα Εστω G µια οµάδα τάξης o(g) = pq, όπου p, q είναι πρώτοι αριθµοί µε p > q. Τότε η G έχει το πολύ µια υποοµάδα τάξης p. Απόδειξη. Εστω H και K δύο υποοµάδες της G τάξης p. Τότε ικανοποιούνται τετριµµένα οι υποθέσεις του παραπάνω πορίσµταος και άρα H K {e}, δηλαδή o(h K) > 1. Οµως επειδή η H K είναι υποοµάδα της H και της K, και επειδή η τάξη της H και η τάξη της K είναι ο πρώτος αριθµός p, από το Θεώρηµα του Lagrange έπεται ότι o(h K) p και άρα o(h K) = p διότι όπως είδαµε o(h K) > 1. Τότε όµως H K = H και H K = K, δηλαδή H K και K H. Εποµένως H = K. Παρατήρηση Ως ειδική περίπτωση (Θεώρηµα Cauchy) ενός σηµαντικού Θεωρηµατος το οποίο οφείλεται στον Sylow, έπεται ότι κάθε οµάδα G τάξης o(g) = pq, όπου p, q είναι πρώτοι αριθµοί µε p > q, έχει τουλάχιστον µια υποοµάδα τάξης p. Ετσι σύµφωνα µε το παραπάνω πόρισµα, έπεται ότι η G έχει ακριβώς µια υποοµάδα τάξης p.

15 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

16 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Αλγεβρικές Δομές Ι». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi20/asi20.html, https://sites.google.com/site/mathsedu/home/algdom Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων

Διαβάστε περισσότερα

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων)

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων) 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων 7.1. Οι πρώτες έννοιες. Ας είναι A ένα µη κενό σύνολο και S A το σύνολο των «ένα προς ένα» και «επί» απεικονίσεων από το σύνολο A στον εαυτό του. Πρόταση 7.1. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες: Βασικές Ιδιότητες, Παραδείγµατα, και Κατασκευές

Οµάδες: Βασικές Ιδιότητες, Παραδείγµατα, και Κατασκευές Κεφάλαιο 2 Οµάδες: Βασικές Ιδιότητες, Παραδείγµατα, και Κατασκευές Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε αναλυτικά την έννοια της οµάδας. Εν συντοµία, µια οµάδα είναι ένα µονοειδές κάθε στοιχείο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα