ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συγγραφική Οµάδα : ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ

2 2 Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός εισαγωγικού πανεπιστηµιακού µαθήµατος δύο εξαµήνων, που αφορά στη ϐασική ύλη της Γραµµικής Άλγεβρας Στην Ελλάδα κυκλοφορούν ήδη πολλά εισαγωγικά ϐιβλία Γραµµικής Άλγεβρας Τα τελευταία όµως χρόνια έχει υπάρξει µια ϱιζική αλλαγή της ύλης των Μαθηµατικών που διδάσκονται στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση Είναι αναγκαίο λοιπόν ένα σύγγραµµα που λαµβάνει υπ όψιν αυτήν την αλλαγή Αθήνα, Ιούνιος 2008 Η Συγγραφική Οµάδα

3 3 Εισαγωγή

4 4

5 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγικές Εννοιες 7 11 Σύνολα 7 12 Καρτεσιανά Γινόµενα Σχέσεις Ισοδυναµίας Απεικονίσεις Μαθηµατική Επαγωγή 20 2 Πίνακες Ορισµοί και Παραδείγµατα Άθροισµα και Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός Γινόµενο Πινάκων Αντιστρέψιµοι Πίνακες 42 3 Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Γραµµικά Συστήµατα Γραµµοϊσοδυναµία Πινάκων Επίλυση ενός Γραµµικού Συστήµατος Ορίζουσα ενός Τετραγωνικού Πίνακα Ορίζουσες και Γραµµικά Συστήµατα 89 4 ιανυσµατικοί Χώροι Ορισµοί και Παραδείγµατα Υπόχωροι και Χώροι Πηλίκο Γραµµικοί Συνδυασµοί Η Εννοια της Βάσης ιάσταση ιανυσµατικού Χώρου Ιδιότητες ιάστασης και Βάσεων Γραµµικές Απεικονίσεις Ορισµοί και Παραδείγµατα Γραµµικές Απεικονίσεις και Βάσεις Ο Πυρήνας και η Εικόνα Άλγεβρα Γραµµικών Απεικονίσεων 149 5

6 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6 Γραµµικές Απεικονίσεις και Πίνακες Πίνακας Γραµµικής Απεικόνισης Ισοδυναµία και Οµοιότητα Πινάκων Ιδιότητες Οριζουσών Εφαρµογή στην Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 183

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις σηµαντικές µεθόδους απόδειξης ϑεωρηµάτων της Γραµµικής Άλγεβρας και των Μαθηµατικών γενικότερα 11 Σύνολα Η έννοια του συνόλου είναι µια πρωταρχική ϑεµελιώδης έννοια στη Μαθηµατική επιστήµη Η ϑεωρία των συνόλων εισάγεται από τον Georg Cantor ( ) περί το 1900 µχ και αποτελεί τη ϐάση πάνω στην οποία ενοποιείται και ϑεµελιώνεται η Μαθηµατική επιστήµη Ενα σύνολο είναι µια συλλογή διακεκριµένων αντικειµένων Τα αντικείµενα αυτά λέγονται στοιχεία του συνόλου Για κάθε σύνολο υπάρχει µια σαφής περιγραφή µε ϐάση την οποία µπορούµε να αποφανθούµε κατά πόσο ένα δεδοµένο στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο αυτό Τα παραπάνω ασφαλώς δεν αποτελούν ένα µαθηµατικό ορισµό του συνόλου Η έννοια του συνόλου, όπως αυτή του σηµείου, είναι ϑεµελιακή και δεν µπορεί να αναχθεί σε απλούστερες έννοιες Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται να δει µια αξιωµατική έκθεση της ϑεωρίας των συνόλων ϑα πρέπει να ανατρέξει σε ειδικά συγγράµµατα Τα σύνολα και τα στοιχεία τους συνήθως συµβολίζονται µε γράµµατα Ετσι, αν A είναι ένα σύνολο και a ένα στοιχείο του, τότε εκφράζουµε το γεγονός αυτό µε το συµβολισµό «a A», ο οποίος διαβάζεται «το a ανήκει στο A» Ο συµβολισµός «y A» διαβάζεται «το y δεν ανήκει στο A» και σηµαίνει ότι το y δεν είναι στοιχείο του A Επίσης, αναφέρουµε ότι ένα στοιχείο ενός συνόλου A πολλές ϕορές λέγεται και µέλος του A Ενα σύνολο καθορίζεται από τα στοιχεία του ηλαδή, Ορισµός 111 ύο σύνολα A, B λέγονται ίσα αν και µόνο αν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία Για να περιγράψουµε ένα σύνολο γράφουµε τα δύο άγκιστρα { } και στον χώρο µεταξύ αυτών περιγράφουµε τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Υπάρχουν τρεις κυρίως τρόποι να περιγραφεί ένα σύνολο (i) Πλήρης αναφορά όλων των στοιχείων του Κάτι τέτοιο µπορεί να γίνει αν το σύνολο έχει λίγα στοιχεία Για παράδειγµα, γράφουµε A = {1, 2, 3} και B = {Αθήνα, Θεσσαλονίκη} 7

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ (ii) Με αναγραφή αρκετών στοιχείων του συνόλου (όχι απαραίτητα όλων), έτσι ώστε να γίνει σαφής η ιδιότητα που χαρακτηρίζει τα στοιχεία του συνόλου Εδώ χρησιµοποιούνται και οι τρεις τελείες, τα λεγόµενα αποσιωπητικά Για παράδειγµα, γράφουµε {1, 2, 3,, n}, {1, 2, 3,, n, }, {2, 4, 6,, 2n} και {2, 4, 6,, 2n, }, όπου n είναι ένας ϑετικός ακέραιος (iii) Εστω S ένα σύνολο και P µια ιδιότητα Τότε το {x S το x έχει την ιδιότητα P } παριστά το σύνολο όλων των στοιχείων του S που έχουν την ιδιότητα P Παράδειγµα 112 Στα ακόλουθα σύνολα, τα οποία ϑεωρούµε γνωστά, ϑα αναφερθούµε πολλές ϕορές στη συνέχεια : N = {0, 1, 2, } = το σύνολο των ϕυσικών αριθµών Z = το σύνολο των ακεραίων αριθµών Q = το σύνολο των ϱητών αριθµών R = το σύνολο των πραγµατικών αριθµών C = το σύνολο των µιγαδικών αριθµών Ορισµός 113 Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία λέγεται κενό και συµβολίζεται µε Ορισµός 114 Αν A, B είναι δυο σύνολα και κάθε στοιχείο του A είναι στοιχείο του B, τότε το A λέγεται υποσύνολο του B και γράφουµε A B Αν επιπλέον υπάρχει κάποιο στοιχείο του B που δεν ανήκει στο A, τότε το A λέγεται γνήσιο υποσύνολο του B και γράφουµε A B Εύκολα ϐλέπουµε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, ενώ κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του Τέλος, δυο σύνολα A και B είναι ίσα αν και µόνο αν A B και B A Παράδειγµα 115 Παρατηρούµε ότι N Z Q R C Παράδειγµα 116 Εχουµε ότι (i) {x Z το x είναι πολλαπλάσιο του 2} είναι το σύνολο των αρτίων ακεραίων αριθµών (ii) {x R 2x 2 4x + 1 = 0} = { , } (iii) {x Q x 2 = 3} = Ορισµός 117 Καλούµε ένωση δύο συνόλων A, B το σύνολο που έχει ως στοιχεία του εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν στο A ή το B, και το συµβολίζουµε µε A B Ορισµός 118 Καλούµε τοµή δύο συνόλων A, B το σύνολο που έχει ως στοιχεία του εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν και στο A και στο B, και το συµβολίζουµε µε A B Από τους ορισµούς έπεται ότι αν A, B είναι δύο σύνολα τότε A A B και B A B Επίσης, αν Γ είναι ένα σύνολο µε A Γ και B Γ τότε A B Γ Αν δεν υπάρχουν στοιχεία που ανήκουν και στο A και στο B, τότε A B = Ας ϑεωρήσουµε σύνολα A 1, A 2,, A ν Τότε, η ένωση των A i, i {1, 2, ν}, είναι το σύνολο µε στοιχεία εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα A i, 1 i ν, και συµβολίζεται µε ν i=1 A i ή µε A 1 A 2 A ν Η τοµή των A i, i {1, 2, ν}, είναι το

9 11 ΣΥΝΟΛΑ 9 σύνολο µε στοιχεία εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε όλα τα A i, 1 i ν, και συµβολίζεται µε ν i=1 A i ή µε A 1 A 2 A ν Ανάλογα, αν Λ είναι ένα σύνολο συνόλων, τότε το σύνολο που περιλαµβάνει εκείνα ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα µέλη του Λ λέγεται ένωση των συνόλων που ανήκουν στο Λ και συµβολίζεται µε A Λ A Αν Λ, τότε η τοµή των συνόλων που ανήκουν στο Λ είναι το σύνολο που περιλαµβάνει εκείνα ακριβώς τα στοιχεία που ανήκουν σε όλα τα µέλη του Λ, και συµβολίζεται µε A Λ A Ορισµός 119 Η διαφορά ενός συνόλου Y από ένα σύνολο X είναι το σύνολο που περιλαµ- ϐάνει ακριβώς εκείνα τα στοιχεία του X που δεν ανήκουν στο Y, και συµβολίζεται µε X\Y Αν το Y είναι ένα υποσύνολο του X τότε η διαφορά του Y από το X λέγεται συµπλήρωµα του Y στο X και συµβολίζεται µε Y c Παράδειγµα 1110 Εστω A το σύνολο των αρτίων ακεραίων Τότε Z\A = {x Z x A} είναι το σύνολο των περιττών ακεραίων Ορισµός 1111 Το σύνολο µε στοιχεία τα υποσύνολα ενός συνόλου S λέγεται δυναµοσύνολο του S και συµβολίζεται µε P(S) Παράδειγµα 1112 Εστω S = {1, 2} Τότε P(S) = {, {1, 2}, {1}, {2}} Πρόταση 1113 (Η άλγεβρα των συνόλων) Εστω S ένα σύνολο και A, B, Γ P(S) Τότε ισχύουν τα εξής : A A = A A A = A A B = B A A B = B A (A B) Γ = A (B Γ) (A B) Γ = A (B Γ) A (B Γ) = (A B) (A Γ) A (B Γ) = (A B) (A Γ) A (A B) = A A (A B) = A A = A A S = A A S = S A = A A c = S A A c = (A c ) c = A (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Οι τελευταίες δύο ισότητες λέγονται νόµοι του De Morgan Απόδειξη Η απόδειξη της πρότασης είναι άµεση από τους ορισµούς Ενδεικτικά, επαλη- ϑεύουµε την τελευταία ισότητα Για να δείξουµε ότι (A B) c = A c B c αρκεί να δείξουµε ότι (A B) c A c B c και A c B c (A B) c Πράγµατι, αν x (A B) c τότε x S και x A B και άρα ένα ακριβώς από τα ακόλουθα ισχύει : (i) x A και x B (ii) x A και x B (iii) x A και x B

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην περίπτωση (i) έχουµε ότι x B c, στην περίπτωση (ii) έχουµε ότι x A c και στην περίπτωση (iii) έχουµε ότι x A c B c Άρα, σε κάθε περίπτωση, έχουµε x A c B c είξαµε ότι (A B) c A c B c Εστω τώρα ότι x A c B c Τότε x A c ή x B c, συνεπώς x A ή x B και άρα x A B, δηλαδή x (A B) c ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να επαληθευτούν όλες οι ισότητες της Πρότασης Αν A είναι ένα πεπερασµένο σύνολο τότε µε A συµβολίζουµε το πλήθος των στοιχείων του Να δειχτεί ότι αν A, B είναι πεπερασµένα σύνολα τότε : A B = A + B A B 3 Εστω S ένα σύνολο και A, B P(S) Να δειχτεί ότι A B c = αν και µόνο αν A B 4 Εστω S ένα σύνολο και A, B P(S) µε A c και B c πεπερασµένα σύνολα Να δειχτεί ότι το σύνολο (A B) c είναι επίσης πεπερασµένο 5 Εστω S ένα σύνολο και X, Y P(S) Η συµµετρική διαφορά των συνόλων X και Y ορίζεται ως (X\Y ) (Y \X) και συµβολίζεται µε X +Y Να δειχτεί ότι αν A, B, Γ P(S), τότε (i) A +B = B +A (ii) A +(B +Γ) = (A +B) +Γ (iii) A +A = (iv) A (B +Γ) = (A B) +(A Γ) 6 Εστω S, I µη-κενά σύνολα και έστω ότι για κάθε i I µας δίνεται ένα σύνολο A i µε A i P(S) Η τοµή των συνόλων A i, i I, είναι το σύνολο µε στοιχεία τα στοιχεία που ανήκουν σε όλα τα A i, i I, και συµβολίζεται µε i I A i Η ένωση των συνόλων A i, i I, είναι το σύνολο µε στοιχεία τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα A i, i I, και συµβολίζεται µε i I A i Να δειχτεί ότι : (i) ( i I A ) c i = i I Ac i (ii) ( i I A ) c i = i I Ac i 12 Καρτεσιανά Γινόµενα Εστω A, B δυο σύνολα Το σύµβολο (α, β) µε α A και β B λέγεται διατεταγµένο εύγος µε πρώτη συντεταγµένη το α και δεύτερη συντεταγµένη το β Αν (α, β) και (α, β ) είναι δύο διατεταγµένα εύγη, τότε (α, β) = (α, β ) αν και µόνο αν α = α και β = β Ορισµός 121 Το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων A και B είναι το σύνολο µε στοιχεία τα διατεταγµένα εύγη (α, β) µε α A και β B, και συµβολίζεται µε A B

11 12 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ 11 Παράδειγµα 122 Αν A = {1, 2, 3} και B = {1, 4}, τότε A B = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4)} B A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} A A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} B B = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4)} Η έννοια του καρτεσιανού γινοµένου µπορεί να γενικευθεί για περισσότερα από δύο σύνολα Ετσι, αν A 1, A 2,, A ν είναι σύνολα, τότε το σύµβολο (α 1, α 2,, α ν ) µε α i A i, 1 i ν, λέγεται διατεταγµένη ν-άδα µε i-συντεταγµένη το α i για κάθε i = 1, 2,, ν Αν (α 1, α 2,, α ν ) και (α 1, α 2,, α ν) είναι δύο διατεταγµένες ν-άδες, τότε (α 1, α 2,, α ν ) = (α 1, α 2,, α ν) αν και µόνο αν α i = α i για κάθε i = 1, 2,, ν, δηλαδή αν και µόνο αν η i-συντεταγµένη της ν-άδας (α 1, α 2,, α ν ) ισούται µε την i-συντεταγµένη της ν-άδας (α 1, α 2,, α ν) για κάθε i = 1, 2,, ν Ορισµός 123 Το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων A 1, A 2,, A ν είναι το σύνολο µε σ- τοιχεία τις διατεταγµένες ν-άδες (α 1, α 2,, α ν ), όπου α i A i, 1 i ν, και συµβολίζεται µε A 1 A 2 A ν Στην περίπτωση που A 1 = A 2 = = A ν = A, τότε το καρτεσιανό γινόµενο των A 1, A 2,, A ν συµβολίζεται µε A ν, δηλαδή A 1 A 2 A ν = A ν Ετσι, το σύνολο A ν ορίζεται για κάθε ϑετικό ακέραιο ν Θεωρούµε ότι A 1 = A Για παράδειγµα, το σύνολο R 2 είναι το σύνολο των διατεταγµένων ευγών πραγµατικών αριθµών, το σύνολο R 3 είναι το σύνολο των διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών και το σύνολο R ν είναι το σύνολο των διατεταγµένων ν-άδων πραγµατικών αριθµών Παρατήρηση εν ϑεωρήσαµε σκόπιµο να δώσουµε έναν αυστηρό ορισµό του καρτεσιανού γινοµένου Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται µπορεί να συµβουλευτεί οποιοδήποτε ϐιβλίο της ϑεωρίας συνόλων ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Εστω A = {1, 2, 3} και B = {1, 4} Να ϐρεθεί το (A B) (B A) 2 Εστω A, B, Γ, σύνολα Να δειχτεί ότι (i) A B = αν και µόνο αν A = ή B = (ii) Αν A και B τότε (α) A B = B A αν και µόνο αν A = B (β) A Γ και B αν και µόνο αν A B Γ (iii) (A B) Γ = (A Γ) (B Γ) (iv) (A B) (Γ ) = (A Γ) (B ) (v) (A\B) Γ = (A Γ)\(B Γ)

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 3 Εστω A, B δύο σύνολα Να δειχτεί ότι A B = α A B α = β B A β, όπου B α = {α} B και A β = A {β} 4 Εστω I, J, S µη-κενά σύνολα και έστω ότι για κάθε i I µας δίνεται ένα σύνολο A i µε A i P(S) και για κάθε j J ένα σύνολο B j µε B j P(S) Να δειχτεί ότι : ( ( ) A i ) B j = A i B j i I 13 Σχέσεις Ισοδυναµίας j J (i,j) I J Ορισµός 131 Εστω A, B δύο σύνολα Μια διµελής σχέση από το A στο B είναι ένα υποσύνολο R του καρτεσιανού γινοµένου A B Ιδιαίτερα, ένα υποσύνολο R A A λέγεται µια διµελής σχέση στο A Αν (x, y) R, τότε συνήθως γράφουµε xry Παράδειγµα 132 Εστω A ένα σύνολο (i) R = {(x, y) A A x = y} είναι µια διµελής σχέση στο A (ii) R = {(x, Y ) A P(A) x Y } είναι µια διµελής σχέση από το A στο P(A) (iii) R = {(X, Y ) P(A) P(A) X Y } είναι µια διµελής σχέση στο P(A) Ορισµός 133 Εστω A ένα σύνολο και R A A µια διµελής σχέση στο A Τότε (i) Η R λέγεται αυτοπαθής αν (x, x) R για κάθε x A (ii) Η R λέγεται συµµετρική αν έχει την ακόλουθη ιδιότητα : αν (x, y) R, τότε (y, x) R (iii) Η R λέγεται µεταβατική αν έχει την ακόλουθη ιδιότητα : αν (x, y) R και (y, z) R, τότε (x, z) R Μία διµελής σχέση στο A, η οποία είναι αυτοπαθής, συµµετρική και µεταβατική λέγεται σχέση ισοδυναµίας στο A Για τις σχέσεις ισοδυναµίας χρησιµοποιούµε συνήθως το σύµ- ϐολο Ετσι, αν R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο A τότε αντί για xry γράφουµε x y Οι τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες της εκφράζονται ως εξής : Αυτοπαθής : x x για κάθε x A Συµµετρική : Αν x y τότε y x Μεταβατική : Αν x y και y z, τότε x z Παράδειγµα 134 Εστω A ένα σύνολο (i) Η ισότητα στο σύνολο A είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο A (ii) Αν A, τότε η σχέση X Y στο σύνολο P(A) δεν είναι σχέση ισοδυναµίας, καθώς δεν είναι συµµετρική

13 13 ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ 13 Ορισµός 135 Εστω A ένα σύνολο και µια σχέση ισοδυναµίας στο A Αν α A τότε η κλάση ισοδυναµίας του α είναι το σύνολο K α = {x A α x} Παρατηρούµε ότι, λόγω της συµµετρικής ιδιότητας, K α = {x A x α} Το σύνολο {K α α A} των κλάσεων ισοδυναµίας συµβολίζεται µε A/ Παράδειγµα 136 Θεωρούµε το σύνολο X των σηµείων του επιπέδου και σταθεροποιούµε ένα σηµείο O X Ορίζουµε µια σχέση στο X, ως εξής : Αν P, Q X τότε ϑέτουµε P Q αν και µόνο αν τα σηµεία P, Q ισαπέχουν από το O Είναι εύκολο να δειχτεί ότι η σχέση αυτή είναι µια σχέση ισοδυναµίας Η κλάση ισοδυναµίας ενος στοιχείου P X είναι το σύνολο των σηµείων του κύκλου µε κέντρο O, ο οποίος διέρχεται από το P (Αν P = O τότε ο κύκλος αυτός εκφυλίζεται σε ένα σηµείο) Το σύνολο X/ είναι το σύνολο όλων των κύκλων του επιπέδου µε κέντρο O Πρόταση 137 Εστω A ένα σύνολο και µια σχέση ισοδυναµίας στο A Τότε : (i) Αν α, β A τότε K α = K β αν και µόνο αν α β (ii) Αν α, β A τότε K α = K β ή K α K β = (iii) α A K α = A Απόδειξη (i) Αν K α = K β τότε, επειδή β K β, έπεται ότι β K α και άρα α β Εστω τώρα α β Θα δείξουµε ότι K α K β και K β K α Αν x K α τότε x α Αλλά από υπόθεση έχουµε ότι α β και άρα από τη µεταβατική ιδιότητα έπεται ότι x β Ετσι, x K β και άρα δείξαµε ότι K α K β Ανάλογα δείχνουµε ότι K β K α Οι αποδείξεις των (ii) και (iii) αφήνονται ως ασκήσεις στον αναγνώστη Ορισµός 138 Εστω A ένα σύνολο Ενα υποσύνολο S P(A) λέγεται διαµέριση του A αν (i) S, (ii) Γ S Γ = A και (iii) αν X, Y S τότε X = Y ή X Y = Ετσι, µια διαµέριση ενός συνόλου A είναι ένα σύνολο µη-κενών υποσυνόλων του A, τα οποία ανά δύο έχουν τοµή το κενό σύνολο ή συµπίπτουν και η ένωσή τους είναι το A Άπό την Πρόταση 137 έπεται ότι άν είναι µια σχέση ισοδυναµίας σε ένα σύνολο A, τότε το σύνολο A/ των κλάσεων ισοδυναµίας είναι µια διαµέριση του A Στην επόµενη πρόταση ϑα δείξουµε ότι ισχύει και το αντίστροφο Πρόταση 139 Εστω A ένα σύνολο και S µια διαµέριση του A Τότε, υπάρχει µια σχέση ισοδυναµίας στο A, έτσι ώστε οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας να είναι ακριβώς τα στοιχεία του S (δηλαδή, A/ = S)

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Απόδειξη Ορίζουµε µια σχέση στο A ως εξής : Για x, y A ϑέτουµε x y αν και µόνο αν υπάρχει Γ S µε x, y Γ Είναι εύκολο να δούµε ότι η σχέση είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο A και αν x A µε x Γ, τότε K α = Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να εξεταστεί ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις είναι σχέσεις ισοδυναµίας 1 Στο σύνολο των ακεραίων Z: Αν α, β Z τότε α β αν ο ακέραιος β α είναι πολλαπλάσιο του 2 2 Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R: Αν α, β R τότε α β αν ο ο πραγµατικός αριθµός β α είναι ϱητός 3 Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R: Αν α, β R τότε α β αν αβ 0 4 Στο σύνολο Z Z: Αν (α 1, α 2 ), (β 1, β 2 ) Z Z τότε (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) αν α 1 β 2 = α 2 β 1 14 Απεικονίσεις Ορισµός 141 Εστω X, Y δύο σύνολα Μια απεικόνιση f από το X στο Y είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο x του X ακριβώς ένα στοιχείο f(x) του Y Το σύνολο X λέγεται το πεδίο ορισµού της απεικόνισης f και το σύνολο Y το πεδίο τιµών της Για συντοµία, γράφουµε f : X Y Το στοιχείο f(x) του Y λέγεται η εικόνα του x µέσω της απεικόνισης f Τις απεικονίσεις ονοµάζουµε επίσης και συναρτήσεις Ορισµός 142 Εστω f : X Y µια απεικόνιση και A X, B Y Τότε, το σύνολο {f(x) Y x A} λέγεται η εικόνα του A µέσω της f και συµβολίζεται µε f(a) Ιδιαίτερα, το f(x) λέγεται η εικόνα της f Το σύνολο {x X f(x) B} λέγεται η αντίστροφη εικόνα του B µέσω της f και συµβολίζεται µε f 1 (B) Παράδειγµα 143 (i) Η πρόσθεση των πραγµατικών αριθµών είναι µια απεικόνιση πρ : R R R µε (x, y) x + y (ii) Ο πολλαπλασιασµός των πραγµατικών αριθµών είναι µια απεικόνιση πoλ : R R R µε (x, y) xy (iii) Μια απεικόνιση δεν είναι απαραίτητο να ορίζεται µέσω { κάποιου τύπου Ετσι, µπορούµε 1 αν ο x είναι ϱητός να ϑεωρήσουµε την απεικόνιση f : R R µε f(x) = 0 αν ο x είναι άρρητος (iv) Η π 1 : R R R µε (x, y) x είναι µια απεικόνιση

15 14 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 15 { κ αν ν = 2κ (v) Η σ : N Z µε σ(0) = 0 και σ(ν) = κ αν ν = 2κ 1 απεικόνιση για κάθε ν > 0 είναι µια (vi) Η ϱ : N Z µε ν ν είναι µια απεικόνιση Ορισµός 144 ύο απεικονίσεις f : X Y και g : A B λέγονται ίσες αν X = A, Y = B και f(x) = g(x) για κάθε x X Παράδειγµα 145 Οι απεικονίσεις f : Z Z µε f(ν) = g : Z Z µε g(ν) = συν(νπ) είναι ίσες { 1 αν ο ν είναι περιττός 1 αν ο ν είναι άρτιος και Ορισµός 146 Εστω f : X Y µια απεικόνιση (i) Η f λέγεται ένα προς ένα, και γράφουµε 1-1, αν για κάθε x, x X µε x x είναι f(x) f(x ) ή, ισοδύναµα, αν για κάθε x, x X µε f(x) = f(x ) είναι x = x (ii) Η f λέγεται επί αν για κάθε y Y υπάρχει x X µε f(x) = y ή, ισοδύναµα, αν f(x) = Y Παράδειγµα 147 Για τις απεικονίσεις στο Παράδειγµα 143 έχουµε : (i) Η πρ είναι επί, αφού αν r R τότε πρ((r, 0)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού πρ((1, 3)) = 4 = πρ((2, 2)) (ii) Η πoλ είναι επί, αφού αν r R τότε πoλ((r, 1)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού πολ((3, 4)) = 12 = πoλ((2, 6)) (iii) Η f δεν είναι επί, αφού f(r) = {1, 0} R, ούτε 1-1, αφού f(2) = 1 = f(3) (iv) Η π 1 είναι επί, αφού αν r R τότε π 1 ((r, 2)) = r, αλλά δεν είναι 1-1, αφού π 1 ((1, 2)) = 1 = π 1 ((1, 3)) (v) Εύκολα ϐλέπουµε ότι η σ είναι 1-1 και επί (vi) Η ϱ είναι 1-1, αφού αν ϱ(x) = ϱ(y), τότε x = y και άρα x = y, αλλά δεν είναι επί, αφού ϱ(n) Z Ορισµός 148 Εστω M ένα σύνολο Η απεικόνιση M M που αντιστοιχεί το x στο x για κάθε x X λέγεται η ταυτοτική απεικόνιση του M και συµβολίζεται µε 1 M ή id M Ορισµός 149 Εστω f : X Y και g : Y Z δύο απεικονίσεις απεικόνιση g f : X Z µε (g f)(x) = g(f(x)) για κάθε x X, η οποία λέγεται σύνθεση των f και g Τότε ορίζεται η Παράδειγµα 1410 Εστω f : Z Z και g : Z Z οι συναρτήσεις µε f(ν) = 2ν + 1 και g(ν) = 2ν για κάθε ν Z Τότε, για τις συνθέσεις g f και f g είναι (g f)(ν) = 4ν + 2 και (f g)(ν) = 4ν + 1 Παρατηρούµε ότι f g g f

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πρόταση 1411 Αν f : A B είναι µια απεικόνιση, τότε 1 B f = f = f 1 A Απόδειξη Είναι άµεση και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη Πρόταση 1412 (Η προσεταιριστική ιδιότητα της σύνθεσης απεικονίσεων) Εστω f : A B, g : B Γ και h : Γ απεικονίσεις Τότε, οι απεικονίσεις h (g f) : A και (h g) f : A είναι ίσες Απόδειξη Εστω φ = h (g f) : A και ψ = (h g) f : A Τότε, για κάθε α A έχουµε φ(α) = (h (g f))(α) = h((g f)(α)) = h(g(f(α))) και ψ(α) = ((h g) f)(α) = (h g)(f(α)) = h(g(f(α))) Άρα φ(α) = ψ(α) για κάθε α A, δηλαδή φ = ψ Πρόταση 1413 Εστω f : X Y και g : Y Z δυο απεικονίσεις (i) Αν οι f και g είναι 1-1, τότε η g f είναι επίσης 1-1 (ii) Αν οι f και g είναι επί, τότε η g f είναι επίσης επί (iii) Αν οι f και g είναι 1-1 και επί τότε η g f είναι επίσης 1-1 και επί Απόδειξη (i) Εστω x 1, x 2 X µε x 1 x 2 Επειδή η f είναι 1-1, έπεται ότι f(x 1 ) f(x 2 ) Τώρα, επειδή η g είναι 1-1, έπεται ότι g(f(x 1 )) g(f(x 2 )) Άρα, η g f είναι 1-1 (ii) Εστω z Z Επειδή η g είναι επί, έπεται ότι z = g(y) για κάποιο y Y Τώρα, επειδή η f είναι επί, έχουµε ότι y = f(x) για κάποιο x X Άρα, έχουµε z = g(y) = g(f(x)) = (g f)(x) είξαµε ότι για κάθε z Z υπάρχει κάποιο x X µε z = (g f)(x) Άρα, η g f είναι επί (iii) Αυτό έπεται άµεσα από τα (i) και (ii) Εστω f : A B και g : B A δυο απεικονίσεις Τότε, ορίζονται οι απεικονίσεις g f : A A και f g : B B Στην περίπτωση που g f = 1 A και f g = 1 B, η g λέγεται µια αντίστροφη της f (και η f µια αντίστροφη της g) Θα εξετάσουµε παρακάτω πότε µια απεικόνιση f έχει αντίστροφη και ϑα δούµε ότι αυτή, αν υπάρχει, είναι µοναδική Πρόταση 1414 Μια απεικόνιση f : A B έχει αντίστροφη αν και µόνο αν είναι 1-1 και επί Απόδειξη Εστω ότι η f έχει µια αντίστροφη g : B A Ετσι, έχουµε g(f(α)) = α για κάθε α A και f(g(β)) = β για κάθε β B Θα δείξουµε ότι η f είναι 1-1 και επί Πράγµατι, έστω α 1, α 2 A µε f(α 1 ) = f(α 2 ) Τότε, έχουµε α 1 = g(f(α 1 )) = g(f(α 2 )) = α 2 και έτσι η f είναι 1-1 Εστω τώρα β B Τότε f(g(β)) = β, δηλαδή το β είναι η εικόνα του στοιχείου g(β) A µέσω της f Άρα, η f είναι επί Ας υποθέσουµε τώρα ότι η f είναι 1-1 και επί Θα δείξουµε ότι υπάρχει απεικόνιση g : B A µε f g = 1 B και g f = 1 A Εστω β B Καθώς η f είναι επί, υπάρχει τουλάχιστον ένα α A µε f(α) = β Αν κάποιο στοιχείο α A είναι τέτοιο ώστε f(α ) = β,

17 14 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 17 τότε f(α) = β = f(α ) Επειδή όµως η f είναι 1-1, έπεται ότι α = α Άρα, αν β B τότε υπάρχει ένα µοναδικό α A µε f(α) = β Συνεπώς, µπορούµε να ορίσουµε µια απεικόνιση g : B A, ώς εξής : Αν β B τότε η εικόνα g(β) του β µέσω της g είναι το µοναδικό στοιχείο α A το οποίο έχει την ιδιότητα f(α) = β ηλαδή, g(β) = α, όπου α το µοναδικό στοιχείο του A µε την ιδιότητα f(α) = β Εύκολα τώρα ϐλέπουµε ότι f(g(β)) = β για κάθε β B και g(f(α)) = α για κάθε α A Άρα, έχουµε f g = 1 B και g f = 1 A Πρόταση 1415 Αν µια απεικόνιση f : A B είναι 1-1 και επί τότε έχει µοναδική αντίστροφη, την οποία συµβολίζουµε µε f 1 Απόδειξη Είδαµε στην Πρόταση 1414 ότι αν µια απεικόνιση f : A B είναι 1-1 και επί τότε έχει αντίστροφη Εστω g 1, g 2 : B A δυο αντίστροφες της f Τότε, έχουµε g 1 f = 1 A = g 2 f και f g 1 = 1 B = f g 2 Ετσι, µε ϐάση τις Προτάσεις 1411 και 1412, συµπεραίνουµε ότι g 1 = 1 A g 1 = (g 2 f) g 1 = g 2 (f g 1 ) = g 2 1 B = g 2 Από τα παραπάνω έπεται ότι αν µια απεικόνιση f : A B είναι 1-1 και επί τότε η αντίστροφη απεικόνιση f 1 : B A είναι επίσης 1-1 και επί, ενώ η αντίστροφη της f 1 είναι η f Παράδειγµα 1416 Από τις απεικονίσεις του Παραδείγµατος 143 µόνο η απεικόνιση σ στο (v) είναι 1-1 και επί και άρα µόνο αυτή έχει αντίστροφη Η σ 1 : Z N 0 ορίζεται ϑέτοντας σ 1 (0) = 0 και { σ 1 2κ αν κ ϑετικός ακέραιος (κ) = 2κ 1 αν κ αρνητικός ακέραιος Πρόταση 1417 Αν οι απεικονίσεις f : A B και g : B Γ έχουν αντίστροφες, τότε η απεικόνιση g f : A Γ έχει επίσης αντίστροφη και µάλιστα ισχύει (g f) 1 = f 1 g 1 Απόδειξη Εχουµε τις σχέσεις f 1 f = 1 A και f f 1 = 1 B, όπως επίσης και τις σχέσεις g 1 g = 1 B και g g 1 = 1 Γ Με ϐάση τις Προτάσεις 1411 και 1412, έχουµε ότι (g f) (f 1 g 1 ) = g (f (f 1 g 1 )) = g ((f f 1 ) g 1 ) = g (1 B g 1 ) = g g 1 = 1 Γ Ανάλογα δείχνουµε ότι (f 1 g 1 ) (g f) = 1 A Ετσι, δείξαµε ότι η g f έχει µια αντίστροφη, την f 1 g 1 Καθώς γνωρίζουµε ότι αν µια απεικόνιση έχει αντίστροφη, τότε αυτή είναι µοναδική, έπεται ότι (g f) 1 = f 1 g 1 Ορισµός 1418 Εστω f : X Y µια απεικόνιση και M ένα υποσύνολο του X Η απεικόνιση M Y µε x f(x) λέγεται περιορισµός της f στο M και συµβολίζεται µε f M Ορισµός 1419 Εστω ρ : A B µία απεικόνιση και Γ ένα σύνολο µε A Γ σ : Γ B είναι µια απεικόνιση τέτοια ώστε ρ = σ A, τότε η σ λέγεται επέκταση της ρ Αν Παράδειγµα 1420 Θεωρούµε την απεικόνιση ρ : N Z µε { ν ν Τότε, οι απεικονίσεις σ 1 : Z Z µε ν ν και σ 2 : Z Z µε σ 2 (ν) = ν αν ο ν είναι ϑετικός ν αν ο ν είναι αρνητικός είναι επεκτάσεις της ρ µε σ 1 σ 2

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισµός 1421 Εστω A, B δυο σύνολα Η απεικόνιση π 1 : A B A µε (α, β) α λέγεται προβολή στον πρώτο παράγοντα του καρτεσιανού γινοµένου A B Ανάλογα ορίζεται η προβολή π 2 : A B B στον δεύτερο παράγοντα του A B Παρατήρηση 1422 Ο ορισµός της απεικόνισης που δώσαµε (Ορισµός 141) δεν είναι διατυπωµένος αυστηρά στη γλώσσα των συνόλων Ενας αυστηρός ορισµός είναι ο ακόλουθος : Μια απεικόνιση f είναι µια διατεταγµένη τριάδα (X, Y, R) όπου X, Y είναι σύνολα και R ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινοµένου X Y, το οποίο έχει τις επόµενες δύο ιδιότητες : (i) για κάθε x X υπάρχει y Y ώστε (x, y) R και (ii) αν x X και y, y Y είναι στοιχεία µε (x, y) R και (x, y ) R, τότε y = y Ετσι, µια απεικόνιση f = (X, Y, R) είναι µια διµελής σχέση ειδικής µορφής από το X στο Y ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 (i) Ποιες από τις ακόλουθες απεικονίσεις είναι 1-1;, ποιες είναι επί ; f 1 : N N, x x 2 f 2 : Z Z, x x 2 f 3 : Z Z, x x 3 f 4 : R R, x x 3 f 5 : N N, x x + 1 (ii) Είναι οι συναρτήσεις f 5 f 1 και f 1 f 5 ίσες ; 2 Εστω π 1 : R R R η προβολή στον πρώτο παράγοντα Αν r 1, r 2 R να δειχτεί ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση απο το σύνολο π1 1 (r 1 ) στο π1 1 (r 2 ) 3 Εστω f : A B µια απεικόνιση, X, Y A και Γ, B Να δειχτεί ότι : (i) Αν X Y τότε f(x) f(y ) (ii) Αν Γ τότε f 1 (Γ) f 1 ( ) (iii) X f 1 (f(x)) (iv) f(f 1 (Y )) Y 4 Εστω f : A B µια απεικόνιση, X, Y A και Γ, B Να δειχτεί ότι : (i) f(x Y ) = f(x) f(y ) (ii) f 1 (Γ ) = f 1 (Γ) f 1 ( ) (iii) f(x Y ) f(x) f(y ) (iv) f 1 (Γ ) = f 1 (Γ) f 1 ( ) Να δειχτεί επίσης ότι στο (iii) έχουµε ισότητα για κάθε X, Y P(A) αν και µόνο αν η f είναι 1-1

19 14 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 19 5 Εστω f : X Y µια απεικόνιση Θεωρούµε ένα µη-κενό σύνολο I και υποθέτουµε ότι για κάθε i I µας δίνεται ένα σύνολο A i µε A i P(X) και ένα σύνολο B i µε B i P(Y ) Να δειχτεί ότι : (i) f ( 1 i I B ) i = i I f 1 (B i ) (ii) f ( 1 i I B ) i = i I f 1 (B i ) (iii) f ( i I A ) i = i I f(a i) (iv) Αν η f είναι 1-1 τότε f ( i I A ) i = i I f(a i) 6 Εστω f : A B και ϱ : B Γ δυο απεικονίσεις Να δειχτεί ότι : (i) Αν η ϱ f είναι επί, τότε η ϱ είναι επί (ii) Αν η ϱ f είναι 1-1, τότε η f είναι Εστω f : A X µια απεικόνιση και B, Γ υποσύνολα του A, τέτοια ώστε οι περιορισ- µοί f B και f Γ είναι 1-1 Μπορούµε να συµπεράνουµε ότι ο περιορισµός f B Γ είναι επίσης 1-1; 8 Εστω f : A B µια απεικόνιση Να δειχτεί ότι : (i) Η f είναι 1-1 αν και µόνο αν f 1 ({β}) = 1 για κάθε β f(a) (ii) Η f είναι επί αν και µόνο αν f 1 ({β}) για κάθε β B 9 Εστω f : X Y µια απεικόνιση Τότε ορίζονται οι απεικονίσεις f : P(X) P(Y ) µε A f(a) και f 1 : P(Y ) P(X) µε B f 1 (B) Να δειχτεί ότι : (i) Αν η f είναι επί τότε f f 1 = 1 P(Y ) (ii) Αν η f είναι 1-1 τότε f 1 f = 1 P(X) 10 (i) Εστω A, B δυο σύνολα και S το σύνολο των απεικονίσεων f : {1, 2} A B µε f(1) A και f(2) B Να δειχτεί ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση από το S στο A B (ii) Εστω A ένα σύνολο και ν ένας ϕυσικός αριθµός Αν M είναι το σύνολο όλων των απεικονίσεων f : {1, 2, 3,, ν} A, τότε να δειχτεί ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση από το A στο A ν = A } A {{ A } ν ϕορές 11 Μια απεικόνιση f : A B λέγεται σταθερή αν f(α) = f(α ) για κάθε α, α A Να δειχτεί ότι αν f, ϱ : A A είναι σταθερές απεικονίσεις και f ϱ, τότε ϱ f f ϱ 12 Εστω f : X Y µια απεικόνιση Να δειχτεί ότι η f είναι σταθερή αν και µόνο αν για κάθε απεικόνιση g : X X έχουµε f g = f 13 Να ϐρεθεί µια 1-1 και επί απεικόνιση f : N M, όπου M N 14 Εστω f : X Y µια απεικόνιση Να δειχτεί ότι το σύνολο {f 1 ({y}) y f(x)} είναι µια διαµέριση του X

20 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 15 (i) Εστω f : X Y µια 1-1 απεικόνιση Να ορίσετε µια απεικόνιση ϱ : Y X µε ϱ f = 1 X (ii) ώστε παράδειγµα απεικονίσεων σ, τ : A A µε τ σ = 1 A και σ τ 1 A 16 Εστω f, g : X Y δυο απεικονίσεις Να δειχτεί ότι : (i) f = g αν και µόνο αν για κάθε απεικόνιση h : Y {3, 7} ισχύει h f = h g (ii) f = g αν και µόνο αν για κάθε απεικόνιση σ : {3} X ισχύει ότι f σ = g σ 17 Εστω A = A 1 A 2 και R 1, R 2 σχέσεις ισοδυναµίας στα A 1 και A 2 αντίστοιχα Εστω R η σχέση στο A που ορίζεται ϑέτοντας (α 1, α 2 )R(β 1, β 2 ) αν α 1 R 1 β 1 και α 2 R 2 β 2 Να δειχτεί ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας στο A και υπάρχει µια 1-1 και επί αντιστοιχία από το σύνολο A/R στο καρτεσιανό γινόµενο (A 1 /R 1 ) (A 2 /R 2 ) 15 Μαθηµατική Επαγωγή Θα αποδείξουµε την αρχή της επαγωγής χρησιµοποιώντας την ακόλουθη ιδιότητα των ϕυσικών αριθµών Αξίωµα του ελαχίστου ή Αξίωµα καλής διάταξης: Κάθε µη-κενό υποσύνολο M του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο ηλαδή, υπάρχει m 0 M τέτοιο ώστε m 0 m για κάθε m M Θεώρηµα 151 (Μαθηµατική επαγωγή ή αρχή της επαγωγής) Εστω ότι σε κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά το ν, µε τέτοιον τρόπο ώστε : (i) η p(1) αληθεύει και (ii) αν η p(µ) αληθεύει για κάποιο ϕυσικό αριθµό µ, τότε η p(µ + 1) αληθεύει Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν Απόδειξη Εστω S το υποσύνολο του N που έχει ως στοιχεία του εκείνους τους ϑετικούς ακέραιους αριθµούς ν, για τους οποίους η πρόταση p(ν) δεν αληθεύει Θα δείξουµε ότι S = Εστω ότι S Τότε, από το αξίωµα ελαχίστου, το S περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο, έστω µ Από την υπόθεση (i), έχουµε ότι µ > 1 Από τον ορισµό του µ, έχουµε ότι µ 1 / S και άρα η πρόταση p(µ 1) αληθεύει Τότε όµως, από την υπόθεση (ii), έπεται ότι και η p(µ) αληθεύει, που είναι άτοπο καθώς µ S Μια άλλη µορφή της µαθηµατικής επαγωγής είναι η ακόλουθη : Θεώρηµα 152 ( εύτερη µορφή της επαγωγής) Εστω ότι σε κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά το ν, µε τέτοιον τρόπο ώστε : (i) η p(1) αληθεύει και (ii) αν µ N και η p(r) αληθεύει για κάθε r µ, τότε η p(µ + 1) αληθεύει

21 15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 21 Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν Απόδειξη Αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο S = {ν N ν 1 και η p(ν) δεν αληθεύει} είναι κενό Αν το S δεν είναι κενό, τότε λόγω του αξιώµατος του ελαχίστου, ϑα περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο, έστω µ Από την υπόθεση (i), έχουµε ότι µ > 1 Από τον ορισµό του µ προκύπτει ότι η πρόταση p(r) αληθεύει για κάθε r µ 1 Από την υπόθεση (ii), έχουµε ότι η p(µ) αληθεύει, που είναι άτοπο Παρατήρηση 153 Η υπόθεση (i) στα προηγούµενα δύο ϑεωρήµατα λέγεται συνήθως «αρχικό ϐήµα της επαγωγής», ενώ η υπόθεση (ii) «επαγωγικό ϐήµα» Επίσης, η υπόθεση «αν η p(ν) αληθεύει» στην (ii) του Θεωρήµατος 151 (αντίστοιχα «αν η p(r) αληθεύει για κάθε r µ» στην (ii) του Θεωρήµατος 152) λέγεται «υπόθεση επαγωγής» Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα, είναι χρήσιµο να εξετάσουµε µια ιδιότητα που αφορά την πρόσθεση πραγµατικών αριθµών : Παρατήρηση 154 Γνωρίζουµε ότι αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε (α + β) + γ = α+(β +γ) ηλαδή, αν προσθέσουµε το άθροισµα των α και β µε το γ, τότε το αποτέλεσµα είναι το ίδιο µε αυτό που ϐρίσκουµε αν προσθέσουµε το α µε το άθροισµα των β και γ Συνεπώς, δεν έχει σηµασία πώς µπαίνουν οι παρενθέσεις Ετσι, µπορούµε να παραστήσουµε χωρίς κίνδυνο σύγχυσης τον αριθµό (α + β) + γ = α + (β + γ) ως α + β + γ Γενικότερα, αν α 1, α 2,, α ν είναι πραγµατικοί αριθµοί τότε µπορεί να αποδειχτεί µε επαγωγή ως προς ν ότι µε όποιον τρόπο και να προσθέσουµε τα α 1, α 2,, α ν, δηλαδή µε όποιον τρόπο και να ϐάλουµε τις παρενθέσεις, το αποτέλεσµα είναι πάντα το ίδιο και το συµβολίζουµε µε α 1 + α α ν ή ν i=1 α i Ετσι, για παράδειγµα, έχουµε (α 1 + α 2 ) + (α 3 + α 4 ) = α 1 + (α 2 + (α 3 + α 4 )) = ((α 1 + α 2 ) + α 3 ) + α 4 = (α 1 + (α 2 + α 3 ) + α 4 ) Εστω B ένα πεπερασµένο υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών µε στοιχεία τους αριθµούς β 1, β 2,, β ν Χρησιµοποιώντας την αντιµεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης των πραγµατικών αριθµών (δηλαδή τη σχέση r 1 + r 2 = r 2 + r 1, r 1, r 2 R), µπορεί να αποδειχτεί µε επαγωγή ως προς ν ότι για κάθε 1-1 και επί απεικόνιση φ : {1, 2,, ν} {1, 2,, ν} ισχύει β 1 + β β ν = β φ(1) + β φ(2) + + β φ(ν) Αρα, χωρίς κίνδυνο σύγχυσης, µπορούµε να παραστήσουµε το άθροισµα β 1 + β β ν µε β B β Παράδειγµα 155 Για κάθε ν N µε ν 1 ισχύει ( ) ν i 2 = ν 2 = i=1 ν(ν + 1)(2ν + 1) 6 Απόδειξη Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή Η p(ν) είναι η ισότητα ( ) Η p(1) αληθεύει, αφού 1 i=1 = 12 = 1 1 (1 + 1) ( ) Υποθέτοντας ότι ισχύει η p(µ), ϑα δείξουµε ότι 6 ισχύει η p(µ + 1) Εστω λοιπόν ότι µ i 2 = µ 2 = i=1 µ(µ + 1)(2µ + 1) 6

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τότε µ+1 i=1 i2 = µ i=1 i2 + (µ + 1) 2 µ(µ + 1)(2µ + 1) + (µ + 1)2 = 1 6 = 1 6 (µ + 1)[µ(2µ + 1) + 6(µ + 1)] = 1(µ + 6 1)(2µ2 + 7µ + 6) = 1 (µ + 1)(µ + 2)(2µ + 3) 6 και άρα ισχύει η p(µ + 1) Συνεπώς, από την αρχή της επαγωγής έπεται ότι η ( ) ισχύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν Παράδειγµα 156 Εστω x ένας πραγµατικός αριθµός µε x 1 Τότε, για κάθε ν N µε ν 1 ισχύει ν ( ) x i = 1 + x + x x ν = 1 xν+1 1 x i=0 Απόδειξη Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή Η p(ν) είναι η ισότητα ( ) Η p(1) αληθεύει, αφού 1 i=0 xi = 1 + x = 1 x2 1 x Υποθέτοντας ότι ισχύει η p(µ), ϑα δείξουµε ότι ισχύει η p(µ + 1) Εστω λοιπόν ότι Τότε µ i=0 x i = 1 + x + x x µ = 1 xµ+1 1 x µ+1 x i = i=0 µ i=0 x i + x µ+1 = 1 xµ+1 1 x + xµ+1 = 1 xµ+1 + x µ+1 (1 x) 1 x = 1 xµ+2 1 x και άρα ισχύει η p(µ + 1) Συνεπώς, από την αρχή της επαγωγής έπεται ότι η ( ) αληθεύει για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν Παρατήρηση 157 Συχνά οι επαγωγικές αποδείξεις δεν αρχίζουν από τον αριθµό 1, αλλά από κάποιον άλλο µεγαλύτερο Ισχύουν τα αντίστοιχα των Θεωρηµάτων 151 και 152 και στην περίπτωση αυτή Για παράδειγµα, αναφέρουµε το παρακάτω : Θεώρηµα 158 ( εύτερη µορφή της επαγωγής µε αρχικό ϐήµα στο κ) Εστω κ ένας ϕυσικός αριθµός και έστω ότι σε κάθε ϕυσικό αριθµό ν µε ν κ αντιστοιχεί µια πρόταση p(ν) που αφορά το ν Εστω επιπλέον ότι (i) Η p(κ) αληθεύει και (ii) Αν µ είναι ένας ϕυσικός αριθµός µε µ κ και η p(r) αληθεύει για κάθε κ r µ, τότε η p(µ + 1) αληθεύει Τότε, η p(ν) αληθεύει για κάθε ϕυσικό αριθµό ν κ Απόδειξη Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη

23 15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 23 Παράδειγµα 159 Ενας ϕυσικός αριθµός p 2 λέγεται πρώτος αν δε µπορεί να γραφτεί ως γινόµενο δύο µικρότερών του ϕυσικών αριθµών Θα δείξουµε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός ν 2 µπορεί να γραφτεί ως γινόµενο (ενός ή περισσοτέρων) πρώτων αριθµών Η απόδειξη ϑα γίνει µε επαγωγή Θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα 158 Για ν = 2 ο ισχυρισµός ισχύει, αφού ο 2 είναι πρώτος Εστω ότι ο ισχυρισµός ισχύει για όλους τους ϕυσικούς r µε 2 r µ Θα δείξουµε ότι ο ισχυρισµός ισχύει για τον µ + 1 Αν ο µ + 1 είναι πρώτος, τότε έχουµε τελειώσει Αν ο µ + 1 δεν είναι πρώτος, τότε µ + 1 = µ 1 µ 2 µε µ 1 < µ + 1 και µ 2 < µ + 1 Αλλά τότε, από την υπόθεση της επαγωγής, οι αριθµοί µ 1 και µ 2 είναι πρώτοι ή γινόµενα πρώτων Συνεπώς, το γινόµενό τους, δηλαδή ο αριθµός µ + 1, είναι επίσης γινόµενο πρώτων Το αποτέλεσµα τώρα έπεται από το Θεώρηµα 158 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να δειχτεί ότι (i) Ο ϕυσικός αριθµός 8 ν ν 1 είναι ένα πολλαπλάσιο του 73 για κάθε ν N (ii) ν i=1 ( 1)i i 2 = 1 2 ( 1)ν ν(ν + 1) για κάθε ν N (iii) 2ν 2 ν για κάθε ν N (iv) ν i=1 i! < (ν + 1)! για κάθε ν N 2 Εστω A ένα πεπερασµένο σύνολο µε ν στοιχεία Να δειχτεί ότι το πλήθος των στοιχείων του P(A) είναι 2 ν 3 Εστω κ ένας ϕυσικός αριθµός και M {1, 2,, κ}, τέτοιο ώστε : (i) 1 M και (ii) αν λ {1, 2,, κ 1} και λ M, τότε λ + 1 M Να δειχτεί ότι M = {1, 2,, κ} 4 (i) Εστω A, B δυο πεπερασµένα υποσύνολα των πραγµατικών αριθµών µε A B = Να δειχτεί ότι x A B x = α A α + β B β (ii) Εστω A 1, A 2,, A ν πεπερασµένα υποσύνολα των πραγµατικών αριθµών µε A i A j = για κάθε i j Να δειχτεί ότι x ν i=1 A x = i x A 1 x + x A 2 x + + x A ν x Το άθροισµα x A 1 x + x A 2 x + + x A ν x το συµβολίζουµε µε ν ( i=1 x A i x ) 5 Εστω A, B δυο πεπερασµένα σύνολα και f : A B R µια απεικόνιση Αν A = {α 1, α 2,, α ν } και B = {β 1, β 2,, β µ }, να δειχτεί ότι (i) x A B f(x) = β B f(α 1, β) + β B f(α 2, β) + + β B f(α ν, β) (ii) x A B f(x) = α A f(α, β 1) + α A f(α, β 2) + + α A f(α, β µ)

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Το δεύτερο µέλος της (i) το γράφουµε και ως ( ) α A β B f(α, β), ενώ το δεύτερο µέλος της (ii) το γράφουµε και ως ( β B α A f(α, β)) Ετσι, από τις (i) και (ii), έπεται ότι f(x) = ( ) f(α, β) = ( ) f(α, β) x A B α A β B β B α A

25 Κεφάλαιο 2 Πίνακες 21 Ορισµοί και Παραδείγµατα Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ορίσουµε την έννοια του πίνακα και ϑα µελετήσουµε ορισµένες ϐασικές τεχνικές του λογισµού των πινάκων Στο επόµενο κεφάλαιο ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία των πινάκων για την επίλυση ενός συστήµατος γραµµικών εξισώσεων Ξεκινάµε µε µια αναφορά σε ορισµένα ϐασικά σύµβολα Ορισµός 211 Θα συµβολίζουµε µε F το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών ή το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών Ορισµός 212 Για κάθε ϑετικό ακέραιο αριθµό ν ϑα συµβολίζουµε µε F ν το καρτεσιανό γινόµενο ν αντιτύπων του F Ετσι, τα στοιχεία του F ν είναι οι διατεταγµένες ν-άδες (α 1, α 2,, α ν ), όπου α 1, α 2,, α ν F Μια διατεταγµένη ν-άδα (α 1, α 2,, α ν ) F ν είναι ουσιαστικά η παράθεση ν στοιχείων του F σε µια σειρά Πολλές ϕορές είναι χρήσιµο να παραθέτουµε στοιχεία του F όχι σε µια σειρά, αλλά σε περισσότερες Ετσι, οδηγούµαστε στον επόµενο ορισµό Ορισµός 213 Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί Ενας πίνακας A µε ν γραµµές και µ στήλες επί του F (ή, απλούστερα, ένας ν µ πίνακας επί του F) είναι µια παράθεση στοιχείων του F σε µια διάταξη σχήµατος ορθογωνίου παραλληλογράµµου, η οποία τοποθετείται µέσα σε δύο µεγάλες παρενθέσεις a 11 a 12 a 1µ a 21 a 22 a 2µ A = a ν1 a ν2 a νµ Εδώ, το στοιχείο a ij F ϐρίσκεται στην ϑέση που καθορίζει η i-γραµµή και η j-στήλη του πίνακα, για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε 1 i ν και 1 j µ Θα συµβολίζουµε έναν πίνακα A όπως παραπάνω µε (a ij ) ν µ ή, στην περίπτωση που οι διαστάσεις ν και µ εννοούνται, µε (a ij ) ύο ν µ πίνακες A = (a ij ) και B = (b ij ) επί του F καλούνται ίσοι αν a ij = b ij για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε 1 i ν και 1 j µ Θα συµβολίζουµε µε F ν µ το σύνολο των ν µ πινάκων επί του F 25

26 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Παράδειγµα 214 Ο 3 3 πίνακας A = a ij = 3 i j Παράδειγµα 215 Ο 3 4 πίνακας B = όπου b ij = 4i + j 4 για κάθε εύγος (i, j) µε 1 i 3 και 1 j 4 Παράδειγµα 216 Ο 2 3 πίνακας C = c ij = i 2 + ij ( γράφεται και ως A = (aij ) 3 3, όπου ) γράφεται και ως B = (bij ), γράφεται και ως C = (c ij ), όπου Ορισµός 217 Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός τετραγωνικός πίνακας διάστασης ν Ενας πίνακας A F ν ν λέγεται Αν A = (a ij ) F ν ν είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε τα στοιχεία a ii, i = 1, 2,, ν, ονοµάζονται διαγώνια στοιχεία του πίνακα Ενας τετραγωνικός πίνακας A = (a ij ) λέγεται διαγώνιος άν a ij = 0 για κάθε i j Στην περίπτωση αυτή, γράφουµε A = D(a 11, a 22,, a νν ) Ενας τετραγωνικός πίνακας A = (a ij ) λέγεται άνω τριγωνικός άν a ij = 0 για κάθε i > j και κάτω τριγωνικός άν a ij = 0 για κάθε i < j Παράδειγµα 218 Ο πίνακας A = πίνακας B = κάτω τριγωνικός είναι διαγώνιος και A = D(1, 4, 6), ο είναι άνω τριγωνικός, ενώ ο πίνακας C = είναι Ορισµός 219 Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί Ενας ν 1 πίνακας επί του F λέγεται πίνακας-στήλη, ενώ ένας 1 µ πίνακας επί του F λέγεται πίνακας-γραµµή Ετσι, ένας πίνακας-στήλη A F ν 1 είναι µια παράθεση ν στοιχείων του F σε µια στήλη, ενώ ένας πίνακας-γραµµή B F 1 µ είναι µια παράθεση µ στοιχείων του F σε µια γραµµή : A = a 1 a 2 a ν και B = ( ) b 1 b 2 b µ Είναι ϕανερό από τους παραπάνω ορισµούς ότι τα σύνολα F 1 µ και F µ είναι ίσα

27 21 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 27 Ορισµός 2110 Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A = (a ij ) ένας ν µ πίνακας µε στοιχεία από το F Ο πίνακας-γραµµή r i = ( a i1 a i2 a iµ ) λέγεται i-γραµµή του πίνακα A για κάθε i {1, 2,, ν} Ο πίνακας-στήλη a 1j a 2j c j = a νj λέγεται j-στήλη του πίνακα A για κάθε j {1, 2,, µ} Ετσι, ένας ν µ πίνακας A επί του F προκύπτει παραθέτοντας τις µ στήλες του c 1, c 2,, c µ σε µια σειρά ή, ισοδύναµα, τις ν γραµµές του r 1, r 2,, r ν σε µια στήλη : r 1 A = ( ) r 2 c 1 c 2 c µ = Παράδειγµα 2111 ϑεωρούµε τον πίνακα A = F Τότε, η δεύτερη γραµµή και η τρίτη στήλη του A είναι αντίστοιχα r 2 = ( ) 3 και c 3 = 7 11 Ορισµός 2112 Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί και A = (a ij ) ένας ν µ πίνακας µε στοιχεία από το F Τότε, ο µ ν πίνακας A t = (b ij ) που ορίζεται ϑέτοντας b ij = a ji για κάθε εύγος (i, j) µε 1 i µ και 1 j ν, λέγεται ανάστροφος του A Ετσι, ο ανάστροφος ενός πίνακα-γραµµή είναι ένας πίνακας-στήλη και αντίστροφα Γενικά, ο ανάστροφος A t ενός ν µ πίνακα A είναι ο µ ν πίνακας που προκύπτει γράφοντας την πρώτη γραµµή του A ως πρώτη στήλη του A t, τη δεύτερη γραµµή του A ως δεύτερη στήλη του A t, κοκ Αν λοιπόν r 1, r 2,, r ν και c 1, c 2,, c µ είναι οι γραµµές και οι στήλες του A αντίστοιχα, τότε c t A t = ( 1 ) r1 t r2 t rν t c t 2 = Βλέπουµε λοιπόν ότι οι γραµµές του A t είναι οι ανάστροφοι c t 1, c t 2,, c t µ των στηλών του A, ενώ οι στήλες του A t είναι οι ανάστροφοι r1, t r2, t, rν t των γραµµών του A r ν c t µ

28 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Παράδειγµα 2113 Ο ανάστροφος του πίνακα A = ( A t = ) F F4 2 είναι ο πίνακας Ορισµός 2114 Εστω ν ένας ϑετικός ακέραιος αριθµός και A = (a ij ) ένας τετραγωνικός ν ν πίνακας µε στοιχεία από το F Ο πίνακας A λέγεται συµµετρικός αν A = A t Παράδειγµα 2115 Ο πίνακας A = ( ) δεν είναι συµµετρικός είναι συµµετρικός, ενώ ο πίνακας B = ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Εστω A ένας ν µ πίνακας µε στοιχεία από το F Να δειχτεί ότι A = (A t ) t 2 Εστω A ένας τετραγωνικός πίνακας επί του F Να δειχτεί ότι : (i) Αν ο A είναι διαγώνιος, τότε ο A είναι συµµετρικός (ii) Ο A είναι άνω τριγωνικός αν και µόνο αν ο ανάστροφός του A t είναι κάτω τριγωνικός 3 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω πίνακες είναι συµµετρικοί : (i) A = (a ij ) F ν ν µε a ij = i + j + ij (ii) B = (b ij ) F ν ν µε b ij = i + j ij (iii) C = (c ij ) F ν ν µε c ij = i j + ij 22 Αθροισµα και Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός Θα δούµε στην παράγραφο αυτή ότι στο σύνολο F ν µ των ν µ πινάκων µε στοιχεία από το F µπορούν να οριστούν πράξεις, οι οποίες οδηγούν στην ανάπτυξη ενός λογισµού που είναι ανάλογος µε τον αριθµητικό λογισµό των στοιχείων του F (δηλαδή, των πραγµατικών ή µιγαδικών αριθµών) Ορισµός 221 Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί Αν A = (a ij ) και B = (b ij ) είναι δύο ν µ πίνακες επί του F, τότε ο πίνακας A + B = (a ij + b ij ) F ν µ λέγεται άθροισµα των A και B Αν A = (a ij ) είναι ένας ν µ πίνακας επί του F και κ F, τότε ο πίνακας κa = (κa ij ) F ν µ λέγεται ϐαθµωτό γινόµενο του κ µε τον A

29 22 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΒΑΘΜΩΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ 29 Ετσι, αν A = a 11 a 12 a 1µ a 21 a 22 a 2µ a ν1 a ν2 a νµ και B = b 11 b 12 b 1µ b 21 b 22 b 2µ b ν1 b ν2 b νµ, τότε A + B = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1µ + b 1µ a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2µ + b 2µ a ν1 + b ν1 a ν2 + b ν2 a νµ + b νµ και κa = κa 11 κa 12 κa 1µ κa 21 κa 22 κa 2µ κa ν1 κa ν2 κa νµ για κάθε κ F Ορισµός 222 Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί Ο ν µ πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα µε 0 F λέγεται µηδενικός πίνακας και συµβολίζεται µε O ν µ ή, όταν οι διαστάσεις ν και µ εννοούνται, µε O Αν A = (a ij ) είναι ένας ν µ πίνακας επί του F, τότε ο πίνακας A = ( a ij ) F ν µ λέγεται αντίθετος του A τότε Ετσι, αν A = A = a 11 a 12 a 1µ a 21 a 22 a 2µ a ν1 a ν2 a νµ, a 11 a 12 a 1µ a 21 a 22 a 2µ a ν1 a ν2 a νµ Ας δούµε τώρα µερικές ϐασικές ιδιότητες των πράξεων που ορίστηκαν παραπάνω Θεώρηµα 223 Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί Τότε, για κάθε A, B, C F ν µ και κ, λ F ισχύουν τα εξής : 1 A + (B + C) = (A + B) + C (προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης) 2 A + O ν µ = A (ύπαρξη µηδενικού στοιχείου) 3 A + ( A) = O ν µ (ύπαρξη αντίθετου στοιχείου) 4 A + B = B + A (µεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης) 5 1A = A

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ 6 (κλ)a = κ(λa) 7 (κ + λ)a = κa + λa (επιµεριστική ιδιότητα) 8 κ(a + B) = κa + κb (επιµεριστική ιδιότητα) Απόδειξη Ολες οι παραπάνω ιδιότητες αποδεικνύονται µε ϐάση αντίστοιχες ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού στοιχείων του F Ενδεικτικά, ϑα δείξουµε τις ιδιότητες 1 και 8, αφήνοντας την απόδειξη των υπολοίπων ως άσκηση στον αναγνώστη 1 Εστω λοιπόν ότι A = (a ij ), B = (b ij ) και C = (c ij ) Για να δείξουµε ότι οι πίνακες (A + B) + C και A + (B + C) είναι ίσοι, ϑα πρέπει να δείξουµε ότι τα στοιχεία του F που ϐρίσκονται στην (i, j)-ϑέση των δύο αυτών πινάκων είναι ίσα για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε 1 i ν και 1 j µ Σταθεροποιούµε ένα τέτοιο εύγος δεικτών και παρατηρούµε ότι το στοιχείο που ϐρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα A + B είναι το a ij + b ij Συνεπώς, το στοιχείο που ϐρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα (A+B)+C είναι το (a ij +b ij )+c ij Με τον ίδιο τρόπο, ϐλέπουµε ότι το στοιχείο που ϐρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα A + (B + C) είναι το a ij +(b ij +c ij ) Καθώς όµως (a ij +b ij )+c ij = a ij +(b ij +c ij ) F, έπεται το ητούµενο 8 Εστω ότι A = (a ij ) και B = (b ij ) Σταθεροποιούµε ένα εύγος δεικτών (i, j) µε 1 i ν και 1 j µ Τότε, το στοιχείο που ϐρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα A + B είναι το a ij + b ij και άρα το στοιχείο που ϐρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα κ(a + B) είναι το κ(a ij + b ij ) Ανάλογα, ϐλέπουµε ότι το στοιχείο που ϐρίσκεται στην (i, j)-ϑέση του πίνακα κa + κb είναι το κa ij + κb ij Οµως κ(a ij + b ij ) = κa ij + κb ij F και άρα συµπεραίνουµε ότι κ(a + B) = κa + κb Ως λογική συνέπεια των ιδιοτήτων του προηγούµενου ϑεωρήµατος, µπορούµε να δείξουµε και ορισµένες άλλες ιδιότητες των πράξεων που ορίστηκαν στο σύνολο των πινάκων Πρόταση 224 Εστω ν, µ δύο ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί, A, B δύο ν µ πίνακες επί του F και κ F Τότε : 1 Ο πίνακας A είναι ο µοναδικός µε την ιδιότητα A + ( A) = O F ν µ (µοναδικότητα του αντιθέτου) 2 ( A) = A 3 (A + B) = ( A) + ( B) 4 0A = O F ν µ 5 κo = O F ν µ 6 ( κ)a = κa = κ( A) Απόδειξη 1 Εστω ότι ο πίνακας B F ν µ είναι τέτοιος ώστε A + B = O Τότε, χρησιµοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης, συµπεραίνουµε ότι B = O + B = (( A) + A) + B = ( A) + (A + B) = ( A) + O = A

31 22 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΒΑΘΜΩΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ 31 2 Με ϐάση το 1, η σχέση A + ( A) = O δείχνει ότι ο A είναι ο αντίθετος του πίνακα A, δηλαδή ότι A = ( A) 3 Αρχικά παρατηρούµε ότι Ετσι, µε ϐάση το 1, η σχέση (A + B) + ( B) = A + (B + ( B)) = A + O = A (A + B) + (( B) + ( A)) = ((A + B) + ( B)) + ( A) = A + ( A) = O δείχνει ότι ο πίνακας ( A) + ( B) = ( B) + ( A) είναι ο αντίθετος του A + B, δηλαδή ότι ( A) + ( B) = (A + B) 4 Χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα, έπεται ότι 0A = (0 + 0)A = 0A + 0A και άρα 0A = O + 0A = (( 0A) + 0A) + 0A = ( 0A) + (0A + 0A) = ( 0A) + 0A = O 5 Εδώ έχουµε κo = κ(o + O) = κo + κo και άρα κo = O + κo = (( κo) + κo) + κo = ( κo) + (κo + κo) = ( κo) + κo = O 6 Με ϐάση το 4, έχουµε ( κ)a + κa = ( κ + κ)a = 0A = O και άρα ο πίνακας ( κ)a είναι ο αντίθετος του κa, δηλαδή ( κ)a = κa Χρησιµοποιώντας τώρα το 5, έπεται ότι κ( A) + κa = κ(( A) + A) = κo = O και άρα ο πίνακας κ( A) είναι ο αντίθετος του κa, δηλαδή κ( A) = κa Οπως συµβαίνει και µε την αριθµητική των στοιχείων του F, έτσι και στην περίπτωση των πινάκων µπορούµε να ορίσουµε την πράξη της αφαίρεσης Αν A, B F ν µ, τότε ορίζουµε A B = A + ( B) Ετσι, αν A = (a ij ) και B = (b ij ), τότε B = ( b ij ) και άρα A B = A + ( B) = (a ij + ( b ij )) = (a ij b ij ) Είναι ϕανερό ότι ο αντίθετος πίνακας του A B είναι ο B A = (b ij a ij ), δηλαδή έχουµε (A B) = B A = B + ( A) = ( A) + B Σε σχέση µε το ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό, η αφαίρεση ικανοποιεί ιδιότητες ανάλογες µε αυτές που ικανοποιεί η πρόσθεση, οι οποίες γενικεύουν τις αντίστοιχες ιδιότητες της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού στο F (πρβλ την Άσκηση 2 στο τέλος αυτής της παραγράφου) Παράδειγµα 225 Θεωρούµε τους 3 2 πίνακες A = 3 5, B = και C = Τότε, υπολογίζουµε A + 2B 3C = =

32 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Παράδειγµα 226 Ας ϑεωρήσουµε δύο ν µ πίνακες A, B επί του F Τότε για τον πίνακα C = 2(3A 4B) + (A + 5B) 2(2A 9B) είναι C = (6A 8B) + (A + 5B) (4A 18B) = 6A 8B + A + 5B 4A + 18B = 6A + A 4A 8B + 5B + 18B = ( )A + ( )B = 3A + 15B Εχουµε δει ότι ένας τετραγωνικός πίνακας A επί του F λέγεται συµµετρικός αν είναι ίσος µε τον ανάστροφό του A t Με άλλα λόγια, ο τετραγωνικός πίνακας A = (a ij ) είναι συµµετρικός αν ισχύει a ij = a ji για κάθε εύγος δεικτών (i, j) Ορισµός 227 Ενας τετραγωνικός πίνακας A επί του F λέγεται αντισυµµετρικός αν A t = A Ετσι, ένας τετραγωνικός πίνακας A = (a ij ) είναι αντισυµµετρικός αν ισχύει a ji = a ij για κάθε εύγος δεικτών (i, j) Παράδειγµα 228 Ο πίνακας A = είναι αντισυµµετρικός, ενώ ο πίνακας B = δεν είναι αντισυµµετρικός Παράδειγµα 229 Θεωρούµε έναν τετραγωνικό πίνακα A = (a ij ) επί του F καθώς και τους πίνακες B = 1 2 (A + At ) και C = 1 2 (A At ) Για τους πίνακες B = (b ij ) και C = (c ij ) ισχύει b ij = 1 2 (a ij + a ji ) και c ij = 1 2 (a ij a ji ) Από τις τελευταίες σχέσεις έπεται εύκολα ότι ο πίνακας B είναι συµµετρικός και ο C αντισυµµετρικός Καθώς είναι εύκολο να δούµε ότι A = B + C, συµπεραίνουµε ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι το άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντισυµµετρικού πίνακα ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να αποδείξετε τις ιδιότητες της πρότασης 224, χρησιµοποιώντας τις αντίστοιχες ιδιότητες των στοιχείων του F, όπως στην απόδειξη του ϑεωρήµατος Να δείξετε ότι αν A, B, C είναι ν µ πίνακες επί του F και κ, λ F, τότε ισχύουν οι επόµενες σχέσεις : (i) A (B C) = (A B) + C

33 23 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΩΝ 33 (ii) κ(a B) = κa κb (iii) (κ λ)a = κa λa 3 Να δειχτεί ότι για κάθε A, B, C F ν µ ισχύει ότι 2(A B + 3C) + 3(2A + 6B 6C) 4(2A + 4B 3C) = O 4 Εστω A, B, C τρεις τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας διάστασης, τέτοιοι ώστε A = B + C Αν ο B είναι συµµετρικός και ο C αντισυµµετρικός, να δειχτεί ότι B = 1(A + 2 A t ) και C = 1(A 2 At ) ( Ετσι, η ανάλυση ενός τετραγωνικού πίνακα σε άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντισυµµετρικού πίνακα που περιγράφεται στο παράδειγµα 229 είναι µοναδική) 5 Να δειχτεί ότι τα διαγώνια στοιχεία ενός αντισυµµετρικού (τετραγωνικού) πίνακα είναι ίσα µε 0 6 Εστω A, B δύο τετραγωνικοί πίνακες επί του F και κ F Να δειχτεί ότι : (i) Αν οι A, B είναι συµµετρικοί, τότε οι πίνακες A + B, κa είναι επίσης συµµετρικοί (ii) Αν οι A, B είναι αντισυµµετρικοί, τότε οι πίνακες A + B, κa είναι επίσης αντισυµ- µετρικοί (iii) Αν οι A, B είναι άνω τριγωνικοί, τότε οι πίνακες A + B, κa είναι επίσης άνω τριγωνικοί (iv) Αν οι A, B είναι κάτω τριγωνικοί, τότε οι πίνακες A + B, κa είναι επίσης κάτω τριγωνικοί 23 Γινόµενο Πινάκων Ορίσαµε στην προηγούµενη παράγραφο το γινόµενο ενός στοιχείου του F µε έναν ν µ πίνακα επί του F, που έχει ως αποτέλεσµα έναν άλλο ν µ πίνακα Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε ένα διαφορετικό τρόπο µε τον οποίο µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε δύο πίνακες (κατάλληλων διαστάσεων) και ϑα µελετήσουµε ορισµένες ιδιότητες του γινοµένου αυτού Ορισµός 231 Εστω ν, µ, σ τρεις ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί, A = (a ij ) ν σ ένας ν σ πίνακας και B = (b ij ) σ µ ένας σ µ πίνακας Τότε, ο ν µ πίνακας C = (c ij ) ν µ, που είναι τέτοιος ώστε σ c ij = a is b sj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a iσ b σj s=1 για κάθε εύγος δεικτών (i, j) µε 1 i ν και 1 j µ, ονοµάζεται γινόµενο των A και B και συµβολίζεται µε A B ή, απλόυστερα, µε AB Βλέπουµε λοιπόν ότι το γινόµενο AB δύο πινάκων A και B ορίζεται µόνον όταν το πλήθος των στηλών του A είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του B Επιπλέον, στην περίπτωση αυτή, το πλήθος των γραµµών του AB είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του A, ενώ το πλήθος των στηλών του AB είναι ίσο µε το πλήθος των στηλών του B

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων Περιεχόµενα 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων 3 11 Ο Χώρος των Ελευθέρων ιανυσµάτων 3 12 Εσωτερικές και Εξωτερικές Πράξεις 8 13 Η έννοια του σώµατος 9 2 ιανυσµατικοι Χωροι 13 21 ιανυσµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ. x Σ και. x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». ΕΙΣΑΓΩΓΗ :

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ. x Σ και. x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Η έννοια του συνόλου στα µαθηµατικά είναι έννοια πρωταρχική και έτσι δεν ορίζεται αυστηρά µαθηµατικά. Μπορούµε όµως επεξηγηµατικά αντί ορισµού να πούµε: Σύνολο, είναι µια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα

Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Κεφάλαιο 0 Χρήσιµα στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη κάπως εξοικειωµένος µε τον συνηθισµένο καθηµερινό συνολοθεωρητικό εξοπλισµό. Παρ όλα αυτά, θα παρουσιάσουµε συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

{ } { / αρτιος 10} ΣΥΝΟΛΑ. N, σύνολο των φυσικών αριθμών, { 1, 2, 3, }

{ } { / αρτιος 10} ΣΥΝΟΛΑ. N, σύνολο των φυσικών αριθμών, { 1, 2, 3, } ΣΥΝΟΛΑ Ένα σύνολο είναι µία συλλογή διακεκριµένων αντικειµένων, τα δε αντικείµενά του οµάζονται στοιχεία του συνόλου. Γράφουµε S { a, b, } =, όταν θέλουμε να δηλώσουµε ότι το σύνολο που ονοµάζεται είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα