Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην αριθµητική των ϑετικών ακεραίων αριθµών. Απο τώρα και στο εξής σταθεροποιούµε µια κυκλική οµάδα G = a µε γεννήτορα το στοιχείο a G. Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείχνει ότι οι κυκλικές οµάδες συµπεριφέρονται καλά ως προς τις υποο- µάδες. Θεώρηµα 5.1. Κάθε υποοµάδα µιας κυκλικής οµάδας είναι κυκλική οµάδα. Απόδειξη. Εστω όπως παραπάνω G = a µια κυκλική οµάδα, και έστω H G µια υποοµάδα της G. Αν H = {e}, τότε προφανώς H = e και η H είναι κυκλική. Εστω H {e}, και εποµένως υπάρχει g H \ {e}. Θα έχουµε g = a k για κάποιο k Z. Τότε k 0 διότι διαφορετικά g = a 0 = e το οποίο είναι άτοπο. Αν k < 0, τότε επειδή η H είναι υποοµάδα ϑα έχουµε ότι g 1 = (a k ) 1 = a k H και k > 0. Εποµένως η G περιέχει ϑετικές δυνάµεις a k, k > 0, του γεννήτορα a. Εστω ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος µε την ιδιότητα g H. Θα δείξουµε ότι : H = g Επειδή g H και η H είναι υποοµάδα, έπεται ότι g H. Εστω h H. Τότε h = a m, για κάποιο m Z. Από την Ευκλείδεια ιαίρεση, ϑα έχουµε τότε : m = q + r, 0 r < και εποµένως : a m = a q+r = a q a r = (a ) q a r = a r = (a ) q a m Επειδή a H εκ κατασκευής, ϑα έχουµε (a ) q H. Επιπλέον επειδή a m H, ϑα έχουµε a r = (a ) q a m H διότι η H είναι υποοµάδα. Επειδή είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος µε την ιδιότητα g H, και επειδή a r H, όπου 0 r <, έπεται ότι αναγκαστικά : r = 0. Εποµένως h = a m = a q = (a ) q a Συµπεραίνουµε ότι H a. Άρα H = a και εποµένως η H είναι κυκλική Υποοµάδες και Γεννήτορες Απειρων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα υπο- ϑέτουµε ότι η κυκλική οµάδα G = a είναι άπειρης τάξης, ή ισοδύναµα ο γεννήτορας a έχει άπειρη τάξη o(a) =. Τότε : G = a = {, a, a 2, a 1, a, a 2,, a, } Θεώρηµα 5.2. Εστω G µια άπειρη κυκλική οµάδα. (1) Η G έχει µόνον δύο γεννήτορες : αν a είναι ένας γεννήτορας τότε ο µοναδικός διαφορετικός γεννήτορας της G είναι ο a 1. (2) Αν G = a, τότε οι υποοµάδες της G είναι οι ακόλουθες και µόνον αυτές : H G H = a, 0, a, a 1,, a 2, a = G, {e}

4 237 (3) Αν H = a και H m = a m είναι δύο υποοµάδες της G = a, τότε : H H m m Απόδειξη. (1) Εστω a ένας γεννήτορας της G, δηλαδή G = a. Εστω b ένας άλλος γεννήτορας : G = b. Θα έχουµε b = a k για κάποιο Z. Ετσι ϑα έχουµε : a = a Τότε a a και εποµένως a = (a ) k = a k για κάποιο k Z. Τότε όµως ϑα έχουµε : a = a k = aa k = e = a 1 k = e = 1 k = 0 διότι το ατοιχείο a έχει πεπερασµένη τάξη. Ετσι 1 = k. Επειδή όµως, k Z, ϑα έχουµε ότι είτε = k = 1, ή = k = 1. Στην πρώτη περίπτωση b = a = a και στην δεύτερη περίπτωση b = a = a 1. (2) Εστω H G µια υποοµάδα της G. Από το Θεώρηµα 5.1 έπεται ότι η H είναι κυκλική και εποµένως H = a. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι 0, διότι αν 0, τότε από το (1) έπεται ότι H = (a ) 1 = a και 0. Εποµένως δείξαµε ότι η H είναι υποοµάδα της G αν και µόνον αν η H είναι της µορφής H = a, 0, και έτσι µένει να δείξουµε ότι :, m 0, m = a a m Υποθέτουµε ότι η παραπάνω συνεπαγωγή δεν είναι αληθής και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Θα έχουµε : a = a m = a a m και a m a = k, l Z : a = a mk και a m = a l = a mk = e = a m l Επειδή ο γεννήτορας a της G έχει πεπερασµένη τάξη, έπεται ότι : mk = 0 = m l = = mk και m = l = m και m = = m Άρα οι διακεκριµµένες υποοµάδες της G είναι H = a, 0. (3) Εστω H = a H m = a m. Τότε όπως είδαµε και στο (2), ϑα έχουµε : a a m και τότε m. Αντίστροφα αν m, τότε = mk για κάποιο k Z και τότε a = a mk = (a m ) k a m. Αυτό όµως σηµαίνει ότι H = a H m = a m. Πόρισµα 5.3. Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε οι απεικόνισεις Φ : N { Υποοµάδες της G }, Φ() = a Ψ : {1, 1} { Γεννήτορες της G }, Ψ(k) = a είναι 1-1 και επί. Επιπλέον m Φ() Φ(m). Υπενθυµίζουµε ότι η τοµή H K υποοµάδων H, K µιας οµάδας G είναι υποοµάδα, και το γινόµενο H K των H, K είναι υποοµάδα, όταν η G είναι αβελιανή ή γενικότερα αν ισχύει : HK = KH. Στην περίπτωση κατά την οποία η G είναι (άπειρη) κυκλική, και οι οµάδες H K και H K ϑα είναι κυκλικές. Η επόµενη Πρόταση δίνει ακριβείς πληροφορίες γι αυτές τις κυκλικές υποοµάδες. Πρόταση 5.4. Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. (1) (2) a a m = a (m,) a a m = a [,m]

5 238 Απόδειξη. (1) Εστω d = (m, ). Τότε και εποµένως : Άρα d = = dk και d m = = dl, όπου k, l Z a = a dk = (a d ) k a d και a m = a dl = (a d ) l a d a a d a m = a a d a m Επειδή η a d είναι υποοµάδα, προφανώς ϑα έχουµε ότι a a m a d ( ) Από την άλλη πλευρά, επειδή d = (m, ), έπεται ότι υπάρχουν ακέραιοι r, s Z, έτσι ώστε d = r + ms. Τότε : a d = a r+ms = a r a ms = (a ) r (a m ) s a a m Αυτό όµως σηµαίνει ότι Από τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : a a m = a d. (2) Εστω δ = [m, ]. Τότε : a d a a m ( ) δ = mk = l = a δ = a l = (a ) l a και a δ = a mk = (a m ) k a m Εποµένως a δ a a m το οποίο προφανώς σηµαίνει ότι : a δ a a m ( ) Αντίστροφα έστω x a a m. Τότε x = (a ) p και x = (a m ) q, όπου p, q Z. Εποµένως, χρησιµοποιώντας ότι το στειχείο a έχει άπειρη τάξη, ϑα έχουµε : x = (a ) p = (a m ) q = a p = a mq = a p mq = e = p = mq Θέτοντας t := p = mq, ϑα έχουµε ότι : x a t. Επιπλέον m t και t. Τότε όµως δ t, και εποµένως από το Θεώρηµα 5.2 ϑα έχουµε : το οποίο σηµαίνει ότι : x a t a δ a a m a δ ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : a a m = a δ. Συνοψίζουµε τα παραπάνω αποτελέσµατα εφαρµοσµένα στην άπειρη κυκλική (προσθετική) οµάδα (Z, +). Παράδειγµα 5.5. Θεωρούµε την άπειρη κυκλική οµάδα (Z, +). Οπως ϑα δούµε αργότερα κάθε άλλη άπειρη κυκλική οµάδα είναι «ισόµορφη», δηλαδή δοµικά ίδια, µε την οµάδα (Z, +). (1) Οι µόνοι γεννήτορες της (Z, +) είναι το 1 και το 1. (2) Οι διακεκριµµένες υποοµάδες της (Z, +) είναι οι εξής Z = { z Z z Z }, 0 (3) (4) Z mz m Z mz = [, m]z και Z + mz = (, m)z

6 Υποοµάδες και Γεννήτορες Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα υποθέτουµε ότι η κυκλική οµάδα G = a είναι πεπερασµένης τάξης : o(g) =, ή ισοδύναµα ο γεννήτορας a έχει πεπερασµένη τάξη o(a) =. Τότε : G = a = { e, a, a 2,, a 1} Σκοπός µας είναι να αποδείξουµε ένα Θεώρηµα για την G το οποίο να είναι ανάλογο µε το Θεώρηµα 5.2. Για την διατύπωση και απόδειξη αυτού του ανάλογου αποτελέσµατος, Θα χρειασθούµε µια σειρά από ϐοηθητικές προτάσεις. Λήµµα 5.6. Εστω H = a m µια υποοµάδα της G = a, όπου o(a) =. Τότε : H = a d, όπου d = (, m), και o(h) = o(a m ) = d Απόδειξη. Επειδή d = (, m), ϑα έχουµε m = dk και τότε : a m = a dk = (a d ) k a d = a m a d Επίσης επειδή d = (, m), ϑα έχουµε d = x + my για κάποια x, y Z. Τότε επειδή o(a) = : a d = a x+my = a x a my = (a ) x (a m ) y = e x (a m ) y = (a m ) y a m = a d a m = a d a m Από τις παραπάνω σχέσεις ϐλέπουµε ότι a m = a d. Τέλος χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.11, ϑα έχουµε : o(h) = o( a m ) = o(a) (o(a), m) = (, m) = d Λήµµα 5.7. Εστω G = a, όπου o(a) =, και r, s 1. Τότε : a r = a s (, r) = (, s) Απόδειξη. «=» Θα έχουµε : a r = a s = o(a r ) = o(a s ) o(a) (o(a), r) = o(a) (o(a), s) (, r) = (, s) (, r) = (, s) «=» Θα έχουµε όπως και παραπάνω : (, r) = (, s) = o(a r ) = o(a s ). Οµως χρησιµοποιώντας το Λήµµα 5.6, και την υπόθεση (, r) = (, s), ϑα έχουµε : a r = a (,r) και a s = a (,s) = a r = a s Λήµµα 5.8. Εστω G = a, όπου o(a) =. Το στοιχείο a m είναι γεννήτορας της G αν και µόνον αν (m, ) = 1: a = a m (, m) = 1 Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα 5.7, Θα έχουµε : a m είναι γεννήτορας της G a m = a (, m) = (, 1) (, m) = 1 Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα το οποίο είναι ανάλογο του Θεωρήµατος 5.2. Θεώρηµα 5.9. Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =.

7 240 (1) Σύνολο γεννητόρων της G = { a m G (, m) = 1 } Πλήθος γεννητόρων της G = ϕ() = { 1 m (, m) = 1 } (2) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (α ) m. (ϐ ) Υπάρχει υοοµάδα H G έτσι ώστε : o(h) = m. Αν m, τότε υπάρχει µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη m η οποία είναι η εξής : H m = a m (3) Εστω m, k δύο διαιρέτες της τάξης της G, και έστω H m και H k οι µοναδικές υποοµάδες της G µε τάξεις m και k αντίστοιχα. Τότε : Απόδειξη. (1) Προκύπτει άµεσα από το Λήµµα 5.8. H m H k m k (2) Αν υπάρχει υποοµάδα H της G µε τάξη o(h) = m, τότε από το Θεώρηµα του Lagrage έπεται ότι m o(g) και άρα m. Αντίστροφα αν m, τότε ϑεωρούµε την υποοµάδα H = a m της G. Τότε επειδή έπεται ότι o(h) = m. o(a m ) = (, m ) = m Εστω ότι m και έστω H 1 και H 2 υποοµάδες της G έτσι ώστε : o(h 1 ) = m = o(h 2 ). Από το Θεώρηµα 5.1 ϑα έχουµε = m H 1 = a k 1 και H 2 = a k 2 όπου 1 k 1, k 2 Εποµένως (, k 1 ) = o(ak 1 ) = o(h 1 ) = m = o(h 2 ) = o(a k 2 ) = (, k 2 ) = (, k 1 ) = (, k 2 ) Τότε από το Λήµµα 5.7 έπεται ότι ϑα έχουµε H 1 = a k 1 = a k 2 = H 2. Άρα για κάθε διαιρέτη m, υπάρχει µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη m. Από το Λήµµα 5.6, µοναδική υποοµάδα είναι η H m = a m. (3) Εστω m, k δύο διαιρέτες της τάξης της G, και έστω H m και H k οι µοναδικές υποοµάδες της G µε τάξεις m και k αντίστοιχα. Τότε από το (2) ϑα έχουµε : H m H k a m a k o(a m ) o(a k ) m k Το ακόλουθο αποτέλεσµα είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 5.9. Πόρισµα Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Οι απεικονίσεις Φ : D() = { d 1 d } { Υποοµάδες της G }, Φ() = a d Ψ : { 1 k (, k) = 1 } { Γεννήτορες της G }, Ψ(k) = a k είναι 1-1 και επί. Επιπλέον : o(φ(d)) = d και d 1 d 2 Φ(d 1 ) Φ(d 2 ).

8 241 Πόρισµα ( ιαδικασία εύρεσης Υποοµάδων Πεπερασµένης Κυκλικής Οµάδας) Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Υπολογίζουµε τους ϑετικούς διαιρέτες του, έστω ότι αυτοί είναι : d 1, d 2,, d τ(). Για κάθε ϑετικό διαιρέτη d i του, ϑεωρούµε την κυκλική υποοµάδα H di = a d i η οποία παράγεται από το στοιχείο a d i. Τότε η H di είναι η µοναδική υποοµάδα τάξης d i της G. Οι υποοµάδες H d1, H d2,, H dτ() είναι όλες οι διακεκριµµένες υποοµάδες της G. Ισχύει : ιαιρέτης του Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας d 1 H d1 = a d 1 d 1 d 2 H d1 = a d 2 d 2... d τ() H dτ() = a d τ() d τ() i, j = 1, 2,, τ() : H di H dj d i d j Παράδειγµα Η κυκλική οµάδα (Z 18, +) = [1] = { [0], [1], [2],, [17] }, όπου [k] = [k] 18, 0 k 17. Οι διαιρέτες του 18 είναι : 1, 2, 3, 6, 9, 18 και άρα τ(18) = 6. Εποµένως ϑα έχουµε ακριβώς 6 υποοµάδες H 1, H 2, H 3, H 6, H 9, H 18 στην Z 18, ακριβώς µια για κάθε διαιρέτη του 18, µε τάξη αντίστοιχα : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Αυτές οι υποοµάδες περιγράφονται στον ακόλουθο πίνακα : ιαιρέτης του 18 Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας 1 H 1 = 18 1 [1] = 18[1] = [18] = [0] = {[0]} 1 2 H 2 = 18 2 [1] = 9[1] = [9] 2 3 H 3 = 18 3 [1] = 6[1] = [6] 3 6 H 6 = 18 6 = 3[1] = [3] 6 9 H 9 = 18 9 [1] = 2[1] = [2] 9 18 H 18 = [1] = [1] = Z Για παράδειγµα : H 6 = [3] = { [3], [6], [9], [12], [15], [0] } Οι αριθµοί k µε 1 k 18 και (18, k) = 1 είναι Πραγµατικά : ϕ(18) = ϕ(23 2 ) = 18(1 1 2 )(1 1 3 ) = = 6 { 1 k 18 και (18, k) = 1 } = { 1, 5, 7, 11, 13, 17 } Εποµένως οι γεννήτορες της Z 18 είναι οι ακόλουθοι : 1[1] = [1], 5[1] = [5], 7[1] = [7], 11[1] = [11], 13[1] = [13], 17[1] = [17]

9 242 Επειδή µεταξύ των διαιρετών d = 1, 2, 3, 6, 9, 18 του 18 έχουµε τις ακόλουθες, εκτός από τις προφανείς d 18, σχέσεις διαιρετότητας : 2 6, 3 6, 3 9 µεταξύ των υποοµάδων H 1, H 2, H 3, H 6, H 9, H 18 ϑα έχουµε τις ακόλουθες εγκλείσεις (εκτός από τις προ- ϕανείς H d Z 18 = H 18 και H 1 = {[0]} H d ): H 2 H 6, H 3 H 6, H 3 H 9 δηλαδή : [9] [3], [6] [3], [6] [2] Ασκηση 280. ιατυπώστε και αποδείξτε την ανάλογη εκδοχή της Πρότασης 5.4 για πεπερασµένες κυκλικές οµάδες Η Οµάδα των -οστών ϱιζών της µονάδας. Υπενθυµίζουµε ότι η οµάδα του κύκλου είναι η υποοµάδα T = { z C z = 1 } C της πολλαπλασιαστικής οµάδας C των µη-µηδενικών µιγαδικών αριθµών. Θα δούµε ότι η οµάδα T περιέχει κυκλικές οµάδες τάξης, για κάθε 1. Υπενθυµίζουµε ότι, 1, ο µιγαδικός αριθµός z C καλείται µια -οστή ϱίζα της µονάδας αν : z = 1. Τότε : z = 1 = z = 1 = z = 1 και θ [0, 2π] : z = e iθ και εποµένως : Άρα : z = 1 = e iθ = 1 = k Z : θ = k2π = θ = 2πk z = 1 = z = e 2πik, όπου k Z Παρατηρούµε ότι η τιµή e 2πik εξαρτάται µόνο από την κλάση ισοδυναµίας του k modulo : και άρα ϑα έχουµε : [k] = [k ] = k k = k k = r, όπου r Z e 2πik = e 2πi(k +r) = e 2πik +2πir = e 2πik 2πir e = e 2πik e 2πir = e 2πik Εποµένως ϑέτοντας : ϑα έχουµε ζ := e 2πi ζ q+r = ζ q ζ r = (ζ ) q ζ r = 1ζ r = ζ r και άρα το σύνολο των διακεκριµµένων -οστών ϱιζών της µονάδας είναι : U = { ζ k = e 2πik C 0 k 1 } = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1} Επειδή προφανώς το σύνολο U είναι κλειστό στον πολλαπλασιασµό µηιγαδικών αριθµών, έπεται ότι το σύνολο U είναι µια υποοµάδα της οµάδας T του κύκλου, και ιδιαίτερα η U είναι κυκλική διότι προφανώς : U = ζ = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1} Μια -οστή ϱίζα της µονάδας καλείται πρωταρχική -οστή ϱίζα της µονάδας αν είναι γεννήτορας της U.

10 243 Συνδυάζοντας τις παραπάνω παρατηρήσεις µε τα αποτελέσµατα της υπο-ενότητας 5.2, ϑα έχουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα. Πρόταση Το σύνολο U των -οστών ϱιζών της µονάδας είναι µια κυκλική υποοµάδα τάξης της οµάδας του κύκλου T: U = ζ = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1}, όπου ζ = e 2πi Υπάρχουν ακριβώς ϕ() πρωταρχικές -οστές ϱίζες της οµάδας, οι ακόλουθες : { z k U 1 k & (, k) = 1 } = { e 2πik U 1 k & (, k) = 1 } 5.4. Κυκλικές Οµάδες - Ευθέα Γινόµενα. Υπενθυµίζουµε ότι αν G και H είναι δύο οµάδες, τότε το ευθύ γινόµενο G H των G και H είναι το σύνολο G H = { (g, h) G H g G & h H } το οποίο αποτελεί οµάδα όταν εφοδιασθεί µε την πράξη : (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) := (g 1 g 2, h 1 h 2 ) Σηµειώνουµε ότι γράφοντας g 1 g 2 υπονοούµε την πράξη της G και γράφοντας h 1 h 2 υπονοούµε την πραξη της H. Το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G H είναι το Ϲεύγος (e G, e H, όπου e G είναι το ουδέτερο στοιχείο της G και e H είναι το ουδέτερο στοιχείο της H. Τέλος το αντίστροφο του στοιχείου (g, h) G H είναι το στοιχείο (g 1, h 1 ), όπου g 1 είναι το αντίστροφο του στοιχείου g στην G και h 1 είναι το αντίστροφο του στοιχείου h στην H. Θεώρηµα Εστω G και H δύο κυκλικές οµάδες. (1) Αν µια από τις G και H είναι άπειρη κυκλική, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H δεν είναι ποτέ κυκλική. (2) Αν G και H είναι πεπερασµένες κυκλικές, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H είναι κυκλική αν και µόνον αν : (o(g), o(h)) = 1 Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι : G = a = { a k G k Z } και H = b = { b l H l Z } (1) Εστω ότι η οµάδα G H είναι κυκλική και έστω (x, y) G H ένας γεννήτορας της : G H = (x, y). Τότε : (x, y) = (a i, b j ), όπου i Z και j Z Εστω (a k, b l ) G H ένα τυχσίο στοιχείο της G H, δηλαδή τα k, l είναι τυχαίοι ακέραιοι αριθµοί. Τότε ϑα έχουµε : (a k, b l ) = (x, y) r = (a i, b j ) r = ((a i ) r, (b j ) r ) = (a ir, b jr ) = a k = a ir και b l = b jr = a k ir = e G και b l jr = e H Αν µια από τις G και H είναι άπειρη οµάδα, για παράδειγµα η G, τότε επειδή ο γεννήτορας a της G έχει άπειρη τάξη ϑα έχουµε k ir = 0 και άρα k = ir, δηλαδή i k. Επειδή ο ακέραιος i είναι σταθερός και ο ακέραιος k είναι τυχαίος, έπεται ότι το i διαιρεί κάθε ακέραιο. Τότε προφανώς i = 1 και άρα ϑα έχουµε : k = r. Ετσι : (a k, b l ) = (a k, b jk ) = b l jk = e H

11 244 Αν η H είναι άπειρη, τότε το b έχει άπειρη τάξη και άρα l = kj, δηλαδή το j διαιρεί κάθε ακέραιο l και εποµένως j = 1. Τότε l = k. ιαλέγοντας k l, καταλήγουµε σε άτοπο. Αν η H είναι πεπερασµένη, έστω o(h) = o(b) = m. Τότε b l jk = e H = m l kj = s Z : l kj = ms = l = kj + ms = l = (k, m) ιαλέγοντας το l έτσι ώστε : l (k, m), καταλήγουµε σε άτοπο. Εποµένως η οµάδα ευθύ γινόµενο G H δεν µπορεί να είναι κυκλική. (2) Υποθέτουµε ότι οι κυκλικές οµάδες G και H είναι πεπερασµένες, και έστω : o(g) = o(a) = και o(h) = o(b) = m Υποθέτουµε πρώτα ότι (, m) = 1. Θα δείξουµε ότι το στοιχείο (a, b) είναι γεννήτορας της G H. Επειδή η G H έχει τάξη m <, έπεται ότι το στοιχείο (a, b) ϑα έχουε πεπερασµένη τάξη, έστω o((a, b)) = r. Τότε r m, (a, b) r = (e G, e H ) και εποµένως (a r, b r ) = (e G, e H ). Τότε a r = e G και b r = e H. Τότε όµως ϑα έχουµε o(a) r και o(b) r, δηλαδή : r και m r. Τότε όµως [, m] r και επειδή (, m) = 1, έπεται ότι [, m] = m και άρα Θα έχουµε m r. Ετσι o((a, b)) = r = m = o(g H) και εποµένως η κυκλική υποοµάδα της G H η οποία παράγεται από το στοιχείο (a, b) συµπίπτει µε την G H, δηλαδή : G H = (a, b) και η G H είναι κυκλική. Αντίστροφα υποθέτουµε ότι η G H είναι κυκλική και έστω G H = (x, y). Τότε o((x, y)) = m. Υποθέτουµε ότι (, m) = d 1. Τότε d και d m και άρα : d, m d N. Τότε επειδή x G και o(g) =, ϑα έχουµε x = e G, και επειδή x G και o(h) = m, ϑα έχουµε y m = e H. Εποµένως ϑα έχουµε : (x, y) m d = (x m m ( d, y d ) = (x ) m d, (y m ) ( ) ) d = (eg ) m d, (eh ) d = (eg, e H ) m m και άρα m d, δηλαδή m d d = (m, ) = 1. και επειδή d 1 καταλήγουµε στο άτοπο m < m d. Άρα Παράδειγµα Η κυκλική οµάδα Z p r Z q s, p q πρώτοι αριθµοί, r, s 1. Επειδή οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί και p q, έπεται ότι (p r, q s ) = 1. Εποµένως η οµάδα ευθύ γινόµενο Z p r Z q s είναι κυκλική µε τάξη p r q s : Z p r Z q s = ([1] p r, [1] q s) Επειδή οι διαιρέτες του p r q s είναι σε πλήθος τ(p r q s ) = (1 + r)(1 + s), δηλαδή οι αριθµοί 1, p, p 2,, p r, q, q 2,, q s, pq, pq 2,, pq s,, p r q, p r q 2,, p r q s έπεται ότι η κυκλική οµάδα Z p r Z q s έχει (1 + r)(1 + s) υποοµάδες, µια και µόνον µια υποοµάδα τάξης p i q j, οπου 0 i r και 0 j s. Από την άλλη πλευρά, επειδή ϕ(p r q s ) = p r q s (1 1 p )(1 1 q ) = pr 1 (p 1)q s 1 (q 1) έπεται ότι η κυκλική οµάδα Z p r Z q s ϑα έχει p r 1 (p 1)q s 1 (q 1) το πλήθος γεννήτορες Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα δούµε την ταξινόµηση των κυκλικών οµάδων, µέσω οικείων µοντέλων. Υπενθυµίζουµε ότι : (1) Η οµάδα (Z, +) είναι µια άπειρη κυκλική οµάδα. (2) 2, η οµάδα (Z, +) είναι κυκλική τάξης.

12 245 Ιδιαίτερα ϑα δούµε ότι κάθε άπειρη κυκλική οµάδα είναι «ισόµορφη» µε την (Z, +), και κάθε πεπε- ϱασµένη κυκλική οµάδα τάξης είναι «ισόµορφη» µε την (Z, +). Ορισµός Μια απεικόνιση f : G G µεταξύ δύο οµάδων G και G καλείται ισοµορφισµός αν : (1) Η f είναι 1-1 και επί. (2) x, y G: f(xy) = f(x)f(y). Η δεύτερη συνθήκη του παραπάνω ορισµού δείχνει ότι ένας ισοµορφισµός f : G G στέλνει γινόµενα xy στοιχείων x, y της G σε γινόµενα f(x)f(y) των εικόνων f(x), f(y) των στοιχείων x, y µέσω της f στην G. Σηµειώνουµε ότι, χάριν ευκολίας του συµβολισµού, συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο την πράξη στις οµάδες G και G. Γενικά αν είναι η πράξη της G και η πράξη της G, τότε η συνθήκη (2) του Ορισµού 5.16 γράφεται : f(x y) = f(x) f(y). Ασκηση 281. Εστω f : G H ένας ισοµορφισµός µεταξύ δύο οµάδων G και H. Τότε να δείξετε ότι η απεικόνιση f 1 : H G είναι ισοµορφισµός. Συµβολίζουµε µε Grp τη συλλογή όλων των οµάδων. Ασκηση 282. Να δείξετε ότι η ακόλουθη σχέση στη συλλογή Grp: G 1, G 2 Grp : G 1 = G2 υπάρχει ισοµορφισµός f : G 1 G 2 είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί της συλλογής Grp. ύο οµάδες G 1 και G 2 καλούνται ισόµορφες αν G 1 = G2. Οπως ϑα δούµε αργότερα ισόµορφες οµάδες έχουν τις ίδιες δοµικές ιδιότητες και το µόνο που τις διαφοροποιεί είναι η ενδεχόµενη διαφορετική ϕύση, όνοµα, συµβολισµός, των στοιχείων τους ή της πράξης µε την οποία είναι εφοδιασµένη η κάθε µια. Θεώρηµα Εστω G µια κυκλική οµάδα. (1) Αν η G είναι άπειρη, τότε η G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των ακεραίων : G = (Z, +) (2) Αν η G είναι πεπερασµένη τάξης, τότε η G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των ακεραίων modulo : G = (Z, +) (3) ύο κυκλικές οµάδες είναι ισόµορφες αν και µόνιν αν έχουν την ίδια τάξη : G 1 = G2 o(g 1 ) = o(g 2 ) Απόδειξη. Βλέπε Θεωρήµατα 14.1, 14.4, και Για περισσότερες λεπτοµέρειες αναφορικά µε τις ϐασικές ιδιότητες οµοµορφισµών και ισοµορφισµών οµάδων, παραπέµπουµε στις ενότητες 13, 14, και 15.

13 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

14 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης «Αλγεβρικές Δομές Ι». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommos.org/liceses/by-sa/4.0/.

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Αφηρημένη Άλγεβρα Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9.6: Θεωρία δακτυλίων:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα