Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu"

Transcript

1 5. TRIGONOMETRIJA 5. Definicija trigonometrijskih funkcija Naj jednostavnija definicija trigonometrijskih funkcija dobije se promatranjem pravokutnog ( ) ( r) ( ) trokuta. Svaki takav trokut, za promatrani kut α, ima: prilezecu stranicu, suprotnu stranicu i hipotenuzu. suprotna stranica prilezeca stranica sinα cosα hipotenuza r hipotenuza r suprotna stranica prilezeca stranica tanα cotα prilezeca stranica suprotna stranica hipotenuza r hipotenuza secα cosecα prilezeca stranica suprotna stranica Na donjoj slici, prikazan je jedinicna kruznica, sa radijusom r. To je pomagalo pomocu kojeg se jednostavnim putem mogu prikazati vrijednosi za trigonometrijske funkcije. Promatrajmo slijedece trokute u kruznici: Trokut OCE za kut od α i trokut OAB za kut α 6 sin CE cos OC tan DF cot JG sin 6 AB cos 6 OA tan 6 DH cot 6 JK r Triginometrija

2 Vrijednosti za kut α 45 nije nacrtana radi preglednosti. Lako je zakljuciti, da je presjeciste tangens i kotangens pravaca u tocki L. Promatrajmo kvadrat ODLJ. Dijagonala (nije nartana), je duzina OL. Nagib dijagonale kvadrata je α 45. Vrijednosti za funkcije su slijedece: sin 45 nije nacrtano cos 45 tan 45 DL cot 45 JL U praksi se najcesce koriste funkcije : sin, cos i tan. Ostale funkcije se lako izvedu iz osnovnih. 5. Trigonometrijske funkcije specificnih kuteva Promatrajmo donju jedinicnu kruznicu i odredimo pojednie trigonometrijske funkcije : ( α) Analizirajmo kut ϕ 9 + : Iz sukladnosti trokuta OCE i OPT vrijedi i OVP moze se definirati: TP OC sinϕ TP sin 9 + α OC cosα CE OT cosϕ OT cos 9 + α CE sinα DW JG tanϕ DW tan 9 + α JG cotα DF JM cotϕ JM cot 9 + α DF tanα ili nakon sto sredimo, funkcije imaju slijedeci oblik: ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) sin 9 + α cosα odnosno:sin 9 α cosα cos 9 α sinα cos 9 α sinα tan 9 α cotα tan 9 α cotα cot 9 α tanα cot 9 α tanα Slicnim putem dolazimo do slijedecih izraza: ( α) α ( α) α ( α) ( α) α ( α) α ( α) ( α) α ( α) α ( α) ( ± α) ± α ( α) α ( α) sin 8 ± sin sin 7 ± cos sin 6 sinα cos 8 ± cos cos 7 ± ± sin cos 6 cosα tan 8 ± ± tan tan 7 ± cot tan 6 tanα cot 8 cot cot 7 ± tan cot 6 cotα Triginometrija

3 5. Funkcije slozenih kuteva, duzina luka, povrsina kruznog isjecka. sin sin ( 8 + ) sin. cos 5 cos sin 45. tan tan 8 7 tan π π radijana se u pravilu ne pise π π π π 8 6 π 7. π π π 8. 5π 5π π 9. 7π 7π π. π Nadji duzinu kruznog luka koji pripada kruznici radijusa r m i kuta α 6 π π l r ϕ(u radijanima).57m 6. π Nadji radijus kruznice koja ima duzinu luka l 7. cm, koji pripada kutu od α 6 l r ϕ 5 7. π π 6. Nadji pvrsinu kruznog isjecka, odredjenog kutem α 8 i radijusa r 5.5 cm π P r ϕ cm 8. Odredi kut koji pripada kruznom isjecku povrsine 75.5 cm i radijusa r. cm P P r. π r ϕ ϕ 4. Nadji duzinu centralne crte na autoputu, koji ima radijus r m i zatvara π kut od α6 l r ϕ 6 46 m 8 Triginometrija

4 5. Nadji povrsinu koju poda koju zahvate vrata kada se otvore za α a imaju sirinu r75. cm. 76. π c P r ϕ m 8 6. Plinovod duzine l.5 km ima oblik kruznog luka radijusa r 8.5 km. Odredi koji kut zahvata taj luk. l.5 8 ϕ r 8.5 π 7. Rotirajuci rasprsivac za zalijevanje trave zahvaca kut od α5 i baca vodu na udaljenost od r5 m. Odredi povrsinu trave koju zalijeva. π P r ϕ m 8 8. Zeljeznicka pruga ima oblik luka, pod kutem od α 8.Ako je radijus unutarnjeg ruba r 8.55 m a sirina pruge.44 m, nadji razmak u duzini izmedju vanjskog i unutarnjeg dijela pruge: π lu ruϕ m 8 π lv rvϕ ( ) m 8 l m 9. Komunikacijski satelit je uvijek iznad iste tocke ekvatora, na visini od h 59 km. Ako je radijus zemlje r 67 km odredi brzinu satelita. z ( ω ) [ ], ω[ ] Odnos obodne brzine v i kutne brzine v ω r v m s rad s, je definirana sa okret π Odredimo kutnu brzinu zemlje: ω.68 rad / h dan 4sata Radijus na kome se krece satelit: r r + h km Brzina satelita je: v ω r km/ h z. Automobil napravi "U" zaokret u vremenu t 6 s. Izracunaj kutnu brzinu ω automobila. rπ Put je jednak polovici opsega kruznice, rπ: rπ v t v t rπ π π Brzina iznosi: v ω r Izjednacimo: ω r ω.5 rad/s t t 6 Triginometrija 4

5 . Dionica ceste ima oblik kruznog luka, radijusa r 85 m, i zatvara kut od α 5.6. Izracunaj kolicinu potrosenog asfalta, ako je sirina ceste 5. m a debljina asfalta δ.5 m. Povrsina isjecka iznosi: P r ϕ; Cesta ima dvije mjere: unutarnji radijus r 85 m i vanjski radijus r m u π Povrsina isjecka: P ( rv ru ) ϕ (. 85) m 8 Volumen asfalta iznosi: V P v δ m 5.4 Trigonometrijski identiteti Iz ranije izlozene jedinicne kruznice, mogu se izvesti slijedece identicnosti: α + α sinα α α α cscα secα cosα cosα sinα sin cos sin cos tan cotα tanα cotα + tan α sec α + cot α csc α Identicnosti za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija sin i cos : α + β α β α + β α β sinα + sin β sin cos sinα sin β cos sin α + β α β α + β α β cosα + cos β cos cos cosα cos β sin sin Identicnosti za produkt trigonometrijskih funkcija sin i cos : sinαcos β sin sin cos sin sin sin α + β + α β α β α + β α β cosαcos β cos( α + β) + cos( α β) sinαsin β cos( α + β) cos( α β ) Ne ulazeci u dokazivanje istinitosti, u nastavku su identiteti za gornje spomenute funkcije: sin α ± β sinαcos β ± cosαsin β cos α ± β cosαcos β sinαsin β tan tanα + tan β ± tanαtanβ ( α β) sin α sinαcosα cos α cos α sin α ta cos cos cos sin α α α α α cosα α + cosα sin ± cos ± tanα nα tan α Triginometrija 5

6 α + β α β sinα cos β sin sin sin sin sin cos α + β + α β α + β α + β α β cosα sin β sin ( α β) sin ( α β) sinα sin β cos sin + α + β α β cosα cos β cos( α + β) + cos( α β) cosα + cos β cos cos α + β α β sinα sin β cos( α + β) sin ( α β) cosα cos β sin sin cos csc. Dokazi da je: tan cot cos cos csc sin cos sin sin tan cot cos sin cos cos sin sec ϕ cotϕ. tan ϕ tan ϕ sec ϕ sec ϕ tan ϕ tan ϕ sec ϕtanϕ tan ϕ cotϕ tanϕ tanϕ sec ϕ tan ϕ tanϕ ϕ ϕ sec tan po gornjoj definiciji 4. sinϕ cosϕ sinϕcotϕ + sinϕ ( + ) ( + ) ( sinϕ) sinϕ ( sinϕ) ( + sinϕ) ( + ) ( + ) sinϕ sinϕ sin ϕ sinϕcotϕ cosϕ sinϕcosϕ cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ sinϕ sinϕ cos ϕ cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ csc 5. cos tan + cot csc sin sin tan + cot sin cos sin + cos + cos sin sin cos sin cos cos sin Triginometrija 6

7 6. sec csc sec + csc sin ( + tan ) csc csc + csc tan csc + csc + cos sin cos sec + csc 7. sin csc sin cos sin ( csc sin ) sin csc sin sin sin sin cos sin 8. sin tan + cos sec sin sin + cos sin tan + cos sin + cos sec cos cos cos 9. sec tan csc tan + sin cos csc sec tan csc sec csc sec csc sec sec tan +. tan cos + cot sin sin cos tan cos + cot sin cos + sin sin + cos cos sin ( α β) sin. cotα cot β sinαsin β ( ) sin α β sinαcos β cos βsinα sinαcos β cos βsinα cot β cot β sinαsin β sinαsin β sinαsin β sinαsin β π π. sin + cos + ( cos sin ) 4 4 π π π π π π sin + cos + sin cos + cos sin cos cos sin sin π π π π π π sin cos cos sin sin cos + cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin ( cos sin ) + Triginometrija 7

8 . sec + cos + cos + cos + cos cos cos ( ) sec sin cos cos sin cos sin cos sin cos+ cossin sin + sin 4 + sin cos sin cos sin sin ( sincos) 4cos sin α α sin + cos α α 5. sec + csc sinα α α α α sin cos sin cos α α + + sin cos + + sinα α α α α α α α α sin cos sin cos sin cos cos sin α α sec + csc sec tan 6. cos cot sec tan sec tan sec tan po definiciji sec + tan cos cot sec tan cos 7. tan cot sin cos sin cos cos cos + sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos tan cot cos sin 8. cos csc tan csc cot Triginometrija 8

9 sin po definiciji csc sin cos cos csc tan cos + cot + sin 9. sec + tan + cot sin cos sin cos sin sin cos sin sec + tan + cot + + cos cos sin sin cos sin cos cos + sin 4. cos + tan cos + sin cos + sin cos + sin cos + tan sin cos + sin + cos cos 4. tan + cot sin cos sin cos sin cos sin + cos tan + cot sin cos + sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos 4 4. sin 4 cot sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cot cos sin cos sin cos sin 4 4 sin 4 4 cos sin 4. sec ( sec cos ) + + tan sec cos cos sin sin cos sin sec sec cos + + cos + + cos cos cos cos cos sin cos + cos + cos sin + cos sin + sec cos cos cos ( + ) + ( + ) 44. cos cos sin sin cos + cos + sin + sin cos cos sin sin cos + + sin cos + cos sin sin cos cos sin sin cos + sin sin cos cos sin cos cos sin cos Triginometrija 9

10 ( π) ( π) ( ( π π) 45. sin cos cos sin sin cos π cossin π sin coscosπ + sin sinπ cos sin cos cossin sin cos+ cossin cosπ sinπ 46. sin cos cos sin sin sin cos cos 48 sin sin 48 cos + 48 cos6 π sin + cos 48. sin + 4 π π π sin + sin cos + cos sin cos + sin cos + sin cos + sin ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 49. sin sin sin sin sin + sin sin cos + cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin + sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin ( sin ) sin ( sin ) sin sin sin sin + sin sin sin sin 5. sin cos + cos sin sin + cos + csc + cos sin ( + cos) sin cos cos cos cos csc + cos sin + cos sin + cos sin sin 5. Izrazi sin sa faktorima jednostrukog kuta : sin sin + sin cos + cos sin cos cos ( sin ) sin sin cos sin cos + + sin sin sin sin + sin sin sin sin + sin sin sin 4sin Triginometrija

11 5. Dokazi identicnost: + cos α + cos 4α + cos 6α 4 cosα cos α cos α 4α + α 4α α + cos α + cos 4α + cos 6α + cos 6α + cos cos + cos cos cos cos cos cos cos cos α α + α α α + α α + α α α cosαcos cos 4cosαcos αcosα sin 4+ sin 5. Dokazi identicnost: tan cos4+ cos 4+ 4 sin cos sin 4+ sin sin cos sin tan cos 4+ cos 4+ 4 coscos cos cos cos 5. Dokazi identicnost: cos sin ( cos cos cos 5) 6 ( sin cos ) cos sin cos sin cos sin cos 4 sin sin cos sin ( sin cos ) sin ( sin + sin ) ( sin sin + sin sin ) ( c os 5 cos ) + ( cos cos ) 8 ( cos 5+ cos cos + cos ) ( cos cos cos 5) 6 6 tan sin sin 5 4. Dokazi identicnost: sin + sin + tan + cos sin tan tan sin sin + cot tan sin + sin sin cos tan tan Dokazi jednakost: cos 465 cos cos 465 cos65 cos cos cos 5 cos5 6 cos( 7 45 ) cos( 8 ) cos 45 cos Triginometrija

12 sin 75 sin Dokazi jednakost: cos 75 + cos cos sin sin 75 sin5 sin tan cos 75 + cos cos cos cos 5.5 Trigonometrijske jednadzbe Rijesiti trigonometrijsku jednadzbu podrazumijeva pronaci odgovarajuce vrijednosti funkcije za zadani interval nezavisne promijenjive, obicno zadane u radijanima. Dobijena rjesenja imaju, opcenito gledano, beskonacno mnogo rjesenja, jer su trigonometrijske funkcije periodicne, sa slijedecom periodom: Funkcije sin i cos imaju periodu π odnosno ( ) π odnosno kπ; ( k,,,... n) kπ; k,,,... n,funkcije tan i cot imaju periodu U nastavku, sva rjesenja trigonometrijskih jednadzbi, biti ce za interval < π. 5. Rijesi jednadzbu: cosϕ - π 5π cosϕ cosϕ ϕ ( 6 ), ( ) π 5π Rjesenje jednadzbe je: ϕ ( 6 ), ( ) jer zadovoljava postavljene uvjete. 5. Rijesi jednadzbu: cos - sin ϕ ( ) (-) sin sin sin sin + + sin sin sin sin π 5π 6 6 π π 5π π Rjesenje jednadzbe je:, 5, ( sin ) sin ( ), ( 5 ) ( sin + ) sin ( 7 ) 54. Rijesi jednadzbu: sec + tan 6 + tan + + tan 6 tan tan 5 ± 4 4 ± 4 tan, ±.4495 Triginometrija

13 tan , tan , Rjesenje jednadzbe je: , , , ( ) 55. Rijesi jednadzbu: 7sin sin 7sin 6 + sin sin 8 sin Rjesenje jednadzbe je: Rijesi jednadzbu: 4sin sin sin, ± 4 π π 4π 5π sin 6, sin 4, π π 4π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( 6 ), ( ), ( 4 ), ( ) 57. Rijesi jednadzbu: sin 4 cos sincos cos cos sin π π π π cos, ( 45 ), ( 5 ) 4 4 π 5π π 5π sin sin, 5, π π 4π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( 6 ), ( ), ( 4 ), ( ) 58. Rijesi jednadzbu: sin sin + cos sin cos sin + cos cos sin + π π cos 9, 7 π π Rjesenje jednadzbe je: 9, 7 sin + sin, ± Nema smisla. Rjesenje je imaginarni broj. Triginometrija

14 59. Rijesi jednadzbu: cos ( cos sin ) cos cos cos cos sin sin + π π 5π 7π sin, ± ± 45, 5 5, π π Rjesenje jednadzbe je: ( 9 ), ( 7 ) 6. Rijesi jednadzbu: cos sin + sin sin + cos sin sin sin sin k ± k k k k, sin nema smisla π 5π k sin, π 5π Rjesenje jednadzbe je: ( ), b b 4ac a 6. Rijesi jednadzbu: sin csc sin sin sin sin sin 7π π sin sin, b± b 4ac 6 6 sin, a π sin sin ( 9 ) 7π π π Rjesenje jednadzbe je: ( ), ( ) ( 9 ) Rijesi jednadzbu: tan + sin sin sin cos + sin + sin cos cos cos cos + cos sin, π ( 8 ) sin + sin cos cos sin cos + cos b± b 4ac cos cos + cos cos, a cos Triginometrija 4

15 π 5π, ( 6 ), ( ) Rjesenje jednadzbe je:, π 8 π 5π, 6, 5.6 Graficki prikaz trigonometrijskih funkcija Funkcije asin d + c acos b + c Graficki prikaz trigonometrijskih funkcija se u pravilu daje u pravokutnom koordinatnom sistemu, u radijanima, kao jedinici mjere. Na taj nacin funkcijske vrijednosti, zavisne promijenjive, poprimaju realne vrijednosti. Svaka trigonometrijska funkcija ima osnovne karakteristike, za podrucje koje se obicno zadaje u domeni nezavisne promijenjive od π : AMPLITUDA a Maksimalna vrijednost funkcije koja moze biti pozitivna ili negativna. Ta je vrijednost jednaka apsolutnoj vrijednosti a. Promatrajmo funkcije acos 4cos Amplituda funkcije iznosi a 4 asin sin Amplituda funkcije iznosi a PERIODA P Perioda funkcije je definirana kao udaljenost dviju tocaka nezavisno promijenjive, kada funkcija ponavlja svoju vrijednost. Za funkcije sin i cos, perioda iznosi π. To znaci da se vrijdn e osti funkcije ponavljaju svakih π odnosno nakon punog okretaja. π π π Promatranmo funkcije: a sin b sin 4 a, P b 4 π π a cosb cos a, P b Triginometrija 5

16 FAZNI POMAK faza Fazni pomak funkcije je definirana kao pomak pocetne tocke funkcije u odnosu na ishodiste. Taj pomak moze biti pozitivan ili negativan a izrazen je u radijanima ili stupnjevima. c Fazni pomak se racuna faza b π π c Promatrajmo funkcije: sin sin 4 π a b+ c + faza 4 b 8 c π π asin ( b+ c) sin ( π ) faza b π Za zadanu funkciju a cos( b + c) cos odredi amplitudu, periodu i fazni pomak. 6 π π π c Amplituda iznosi: a Perioda iznosi: P 4 faza 6 π π b b Triginometrija 6

17 π π Vodeni val ima oblik funkcije asin ( b+ c).7sin + 4 Odredi amplitudu, periodu i fazni pomak izrazenu u metrima. π π Amplituda iznosi: a.7 m Perioda iznosi: P 4 m b π π c faza 4.5 m b π Funkcije tan; cot; sec; csc Ove trigonometrijske funkcije imaju periodu π, sto znaci da se funkcijska vrijednost ponavlja svakih pola kruga (vidi jedinicnu kruznicu). Triginometrija 7

18 ( ϕ) ( ϕ + ϕ) ( ϕ ) ( ϕ) 6. Izraz sin + 4cos preuredi u oblik acos i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza sin + 4cos acos u intervalu π. acos a cos cos sin sin 4 a cosϕ 4 cosϕ a sin + 4cos asinϕ sinϕ a 4 cos ϕ + sin ϕ + a 5 a ± 5 a a 4 4 a 5 cosϕ ϕ cos a 5 cosϕ ϕ cos sin 4cos 5cos.645 Nase jednadzbe inaju slijedeci izgled: sin + 4cos 5cos(.785) + Triginometrija 8

19 Maksimalna vrijednost: 5cos.645 je za: i ma : 5cos 5 Minimalna vrijednost: 5cos.645 je za:.645 π.785 min : 5cosπ 5 ( ϕ) ( ϕ ϕ) ( ϕ ) 64. Izraz 5sin + sin preuredi u oblik acos i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza u intervalu π. acos a coscos + sin sin 5sin + sin 5 a cosϕ 5 cosϕ a 5 cos ϕ + sin ϕ + a a a sinϕ sinϕ a + + ± cos ϕ sin ϕ 5 44 a a 5 5 Jednadzba izgledaju ovako: acos cos.76 cosϕ ϕ cos.76 ( ϕ ) ( ).76 Ma: cos(.76 ) je za:.76.9 ma π +.76 Min: cos(.76 ) je za:.76 π.49 min Triginometrija 9

20 66. Izraz sin cos preuredi u oblik asin ( ϕ) ( ϕ ϕ ) cos ϕ + ( ϕ ) i potom izracunaj maksimalnu i minimalnu vrijednost izraza u intervalu π. asin a sin cos cos sin sin cos a cosϕ cosϕ a asinϕ sinϕ a ϕ + ϕ ± cos sin a a sin + ϕ a a π asin ( ϕ) sin ( ϕ) ϕ sin ϕ 4 π Jednadzba izgledaju ovako: asin ( ϕ ) sin 4 π π π π Maksimum: sin je za: ma π π π 7π Minimum: sin je za: min U nastavku su prikazani grafovi za razlicite kombinacije krivulja. Radi lakseg razumijevanja, svaka krivulja je prikazana drugacijom bojom. Eventualni pomak u fazi, se moze vidjeti na mjestu. Rezultirajuca funkcija nacrtana je plavom bojom. Triginometrija

21 sin cos sin + π sin sin + cos sin cos tan cos cosπ sin Triginometrija

22 sin+ cos 5.7 Inverzne trigonometrijske funkcije Za trigonometrijsku funkciju sin kazemo da je sinus luka koji zatvara kut. Inverzna funkcija toj funkciji je arcsin, Arcus sinus. To znaci, da je luk kome je sinus jednak. Trigonometrijska funkcija sin Inverzna funkcija arcsin obicno se pise, arcsin 75. arctan je kut ciji je tangens 76. arccot je kut ciji je cotangens 77. arcsin je dvaput kut ciji je sinus π 78. arccos koji luk ima cosinus α arcsin koji luk ima sinus α π ( ) α ( ) 8. arctan koji luk ima je tangens - 6 π π 8. arctan koji luk ima tangens ( ), jer je tan 6 6 π π 8. arcsin koji luk ima tangens ( 45 ), jer je tan 4 4 π 8. arccsc koji luk ima kosecans ( 45 ), jer je csc 4 sin π sin π π arcsin koji luk ima sinus ( 6 ), jer je sin 85. π cos arctan ( ) koji luk ima tangens( -) ( 45 ), 4 Triginometrija

23 π koliko iznosi cos 4 π π 86. cos( arcsin) koji luk ima je sinus ( 9 ),koliko iznosi cos 87. Rijesi zadanu jednadzbu po : arcsin sin arcsin 88. arctan arctan 4 tan 4 4 arcsec sec sec arc sec( ) 9. arccos cos cos ( ω ϕ) 9. Rijesi pomocu arcus funkcije, po t: Acos t + cos( ωt + ϕ) ( ωt+ ϕ) arccos ωt + ϕ arccos A A A ϕ ϕ t arccos t arccos ω A ω ω A ω 9. Rijesi po t: i Ima sin ωt + α cosϕ + cos ωt+ α sinϕ i i Ima sin ( ωt + α + ϕ) I sin ( ωt+ α + ϕ) i i ωt + α + ϕ arcsin t arcsin α ϕ Ima ω Ima cos 9. Rijesi na nacin koji znas: sec + tan sin ( ) ( ) ma ) ( ) ( ) sin + sin sin ( sin sec + tan + cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin sin 94. tan + tan 7 tan 6 tan tan 7 tan , Triginometrija

24 ( ) 95. sin, ± 4 π 5π 7π π sin sin sin 96. cos ( ), ( 5 ), ( ), ( ) cos cos, ±, π 8 9, cos π π π 5π 7π π ± cos cos, 5,, 98. cos sin sin cos sin sin cos π 5π sin,π 6 cos cos 6, 99. sin cos + sin cos sin + sin cos + sin sin + sin + sin + sin. Rijesi jednadzbu ako je cos : sin 4 sin 4 cos 4 4cos cos sin. Rijesi jednadzbu ako je sec : 4 tan sec 4 4sec 4 sec tan. Rijesi jednadzbu ako je tan : sin + Triginometrija 4

25 sin tan tan tan cos sin cos + + ( tan) + tan sec cos cos sin 5.8 Sinusov i kosinusov poucak Sinusov poucak: Omjer izmedju stranice trokuta i sinusa kuta suprotnog toj stranici, je konstantan. a b c sinα sin β sinγ Dodajmo jos slijedece: Zbroj stranica s a+ b+ c Povrsina trokuta Upisana kruznica Opisana kruznica Kosinusov poucak: P s s a s b s c P ρ s P abc r sinα 4P Kvadrat nad stranicom trokuta jednak je zbroju kvadrata drugih dviju stranica, umanjenog za dvostruki produkt tih dviju stranica i kosinusa kuta izmedju tih stranica. a b + c bccos( bc, ) Prilikom rjesavanja zadataka, posebno treba voditi racuna o kutu izmedju stranica, kada je kut o veci od ϕ > 9. Tada funkcija cos ϕ mijenja vrijednost i predznak pa se dvostruki produkt zbroji kvadratima drugih dviju stranica.. Dva promatraca medjusobno udaljena 7,45 m, promatraju helikopter istocno od njih, pod kutem: prvi promatrac α, drugi promatrac β v 44. Odredi udaljenost helikoptera od prvog promatraca i visinu helikoptera. α, unutarnji kut drugog promatraca iznosi β 8 β Kut na vrhu, gdje je helikopter iznosi γ 8 α + β 8 + a b c 754sin6 Iz sinusovog poucka: b sin α sin β sin γ si n Visina helikoptera iznosi: h bsin 5,9sin,9 m v 5,9 m Triginometrija 5

26 4. Rijesi trokut: a 45.7, α 65, β 49 γ 8 α + β Iz sinusovog poucka: a b c 45.7 b c sin α sin β sin γ sin65 sin49 sin sin sin 66 b 8.55 c 46.6 sin 65 sin Stol u obliku peterokuta ima dijagonalu duzine. m. Kolika je duzuna stranice. 6 Kut pri vrhu peterokuta iznosi α 7 5 a b c d a Iz sinusovog poucka: a.8 m sinα sin β sinγ sin 7 7 sin 6. Stup je usidren sa dva uzeta. Sila u desnom je 85 kp. Kut koji uzad cine na vrhu stupa je α5 a kut desnog uzeta prema zemlji iznosi β5.7. Odredi silu u lijevom uzetu. Treci kut iznosi γ 8 ( α β) a b c F 85 F kp sinα sin β sinγ sin 7.8 sin Rijesi trokut: a.76, c.54, β 9. b a + c ac β b a + c ac Iz kosinusovog poucka: cos cos9. b ac b cos a b c Iz sinusovog poucka: sin α sin β sin γ sinα sin9. sinγ.76sin9. sinα.68 α sin9. sinγ.696 γ Rijesi trokut: a 9.5, b 45., c 67.5 b + c a Iz kosinusovog poucka: a b + c bccosα cosα bc cosα.888 α a b bsinα Iz sinusovog poucka: sin β 45.sin sinα sin β a 9.5 Triginometrija 6

27 β 4.65 γ 8 α + β γ Cjevovod je zbog prirodne prepreke mijenjao pravac. Prvi dio je dug,756 km a drugi 4,675 km. Kut skretanja trase iznosi γ Koliko je povecana duzina cjevovoda zbog te prepreke. c a + b c ab 7, 48,87.5 cosγ, , 675, 765 4, 675cos68.85 Duzina zamisljene trase iznosi: c 8,9.59 km Duzina trase iznosi:, , 675 8, 4 km Razlika u duzini iznosi: l 8,4 8, km. Rijecni brod putuje brzinom.5 km/h ali zbog strujanja vode, ta je brzina.7 km/h u odnosu na obalu. Koja je brzina vode, ako brod putuje pod kutem γ.6. c a b abcosγ cos.6 c 5.87 c 5.86 Brzina vode iznosi: 5.86 km/h 5.9 Trigonometrijske funkcije u parametarskom i polarnom obliku Trigonometrijske funkcije zadane u parametarskom obliku ( ) () () Ako se tocka, moze zadati u ovisnosti o trecoj promjenjivoj t, tada se jednadzbe f t i f t zovu parametarske jednadzbe a parametar je t.. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu cos t, sin t u pravokutnom koordinatnom sistemu: cost cost t + t sint sint Rjesenje predstavlja jednadzbu elipse. cos sin. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu + t, + t u pravokutnom koordinatnom sistemu: + t t t t Rjesenje predstavlja jednadzbu pravca Triginometrija 7

28 . Izrazi parametarski zadanu jednadzbu t, t + u pravokutnom koordinatnom sistemu: + + ( ) + + t + t t t Rjesenje predstavlja jednadzbu parabole t t 4. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu e, e u pravokutnom koordinatnom sistemu: t e t t e e t e Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole 5. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu cos ϕ, sin ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: cosϕ cosϕ cos ϕ + sin ϕ + sinϕ sinϕ Rjesenje predstavlja jednadzbu kruznice Triginometrija 8

29 6. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu 4 + tan ϕ, + sec ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: 4 4+ tanϕ tanϕ 4 tan ϕ + sec ϕ secϕ secϕ ( 4) ( + ) Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole 7. Izrazi parametarski zadanu jednadzbu tan ϕ, cot ϕ u pravokutnom koordinatnom sistemu: tanϕ tanϕ cotϕ tanϕ cotϕ Rjesenje predstavlja jednadzbu hiperbole Trigonometrijske funkcije zadane u polarnim koordinatama Polarni koordinatni sistem ima dvije koordinate sa kojima je odredjen polozaj tocke u ravnini. r udaljenost tocke od ishodsta ili r radijvektor. Ishodiste se zove i pol polarnog koordinatnog sistema. ϕ kut rotacije, kut izmedju nultog polozaja r (pozitivni dio osi) Na slici je prikazan odnos velicina u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu. Za pretvaranje jednog sistema u drugi koristimo slijedece relacije: rcosϕ rsinϕ r + ϕ Arc tan Triginometrija 9

30 8. Odredi pravokutne koordinate tocke zadane u polarnom obliku. T 4, 4 r 4, ϕ4 r cosϕ 4 cos 4 4( cos 6 ) 4 rsinϕ 4sin 4 4( sin 6 ) 4 T ( 4, 4 ) T(, ) 9. Pretvori pravokutne koordinate tocke T T,, (, ) (,9 ), (, 7 ) ( ), u polarne ± ϕ tan tan ϕ 9 r r Arc Arc T T T ( ). Pretvori pravokutne koordinate tocke T, u polarne. T,, r r ± ϕ Arc tan Arc tan 5 ϕ 5 (,) (,5 ), (, ) T T T ( + i ). Pretvori u polarne koordinate:, 4 + i + i r + + ϕ Arc tan Arc tan 6 ( ϕ ) (,6 ), T(,4 ) + i + i r cos + isin ± cos6 + isin 6 + i T. Pretvori u pravokutne koordinate: rsinϕ rcosϕ Rjesenje je: T, Triginometrija

31 ( + i ). Pretvori u pravokutne koordinate: 6 cos sin rcosϕ 6 cos 6 ( sin ) 6 6 rsinϕ 6 sin 6 cos 6 8 ( + i ) ( + i ) 6 cos sin 6 Triginometrija

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

ALFA List - 1. Festival matematike Split 2013. Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013. ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

(r, φ) φ x. Polarni sustav

(r, φ) φ x. Polarni sustav olarnom u oložaj točke u ravnini možemo definirati omoću udaljenosti r od ishodišta i kuta φ koji sojnica ishodišta i točke zatvara s osi φ r (r, φ) kut φ je o konvenciji ozitivan ako ga mijenjamo u smjeru

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike PITANJA ZA MATURALNI ISPIT Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike. Dokazati da je zbroj unutarnjih kutova u trokutu 80 0,a spoljnjih 60 0.. Dokazati da je spoljnji kut trokuta jednak zbroju dva nesusjedna

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010. ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa 0.1. Trigonometrijske funkcije

Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa 0.1. Trigonometrijske funkcije 0. Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa 0.1. Trigonometrijske funkcije Sl. 0.1. Trigonometrijske funkcije su omjeri stranica u pravokutnom trokutu. Mjerenjem je utvrdeno - da medusobni -

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010. ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα