3 Αυτόνομα μηχανικά συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3 Αυτόνομα μηχανικά συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας"

Transcript

1 3 Αυτόνομα μηχανικά συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας 3.1 Εξισώσεις και γενικά χαρακτηριστικά Διαφορικές εξισώσεις ης τάξης και λύσεις Στη φυσική και στην μηχανολογία, πολλά απλά αλλά συνάμα ενδιαφέροντα δυναμικά συστήματα είναι αυτά της κλασσικής μηχανικής και συγκεκριμένα αυτά που περιγράφουν την κίνηση ενός υλικού σημείου στην ευθεία xox υπό την επίδραση μιας δύναμης F που εξαρτάται από τη θέση και την ταχύτητα του υλικού σημείου mx F( x, x) Γενικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα μας απασχολήσουν δυναμικά συστήματα που περιγράφονται από την ης τάξης αυτόνομη διαφορική εξίσωση x f ( x, x), x R, (3.1) η οποία γράφεται ως σύστημα δύο εξισώσεων στη μορφή x y (3.) y f ( x, y) Θα ονομάζουμε τη συνάρτηση f συνάρτηση δύναμης. Μπορεί να αποτελεί μια πραγματική συνάρτηση δύναμης ανά μονάδα μάζας αν το x εκφράζει μήκος. Γενικά θα ονομάζουμε θέση τη μεταβλητή x και ταχύτητα την μεταβλητή y. Για την ειδική περίπτωση όπου η f δεν εξαρτάται από την ταχύτητα y, θα έχουμε την διαφορική εξίσωση x f ( x) (3.3) ή το σύστημα x y, y f ( x), για το οποίο η απόκλιση του διανυσματικού του πεδίου (δες 1.4.1) θα είναι y f ( x) div f x y. Συνεπώς το σύστημα (3.3) είναι διατηρητικό. Οι διαφορικές εξισώσεις της μορφής (3.1) ή (3.3) σπάνια έχουν λύσεις οι οποίες εκφράζονται αναλυτικά με πεπερασμένο αριθμό όρων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι τυπικές (standard) συναρτήσεις, δηλαδή πολυώνυμα, εκθετικές συναρτήσεις, τριγωνομετρικές συναρτήσεις κλπ., είναι πολύ περιορισμένες για να αποδώσουν την μεγάλη ποικιλία λύσεων x x() t αυτών των διαφορικών εξισώσεων. Σε κάθε περίπτωση η γενική λύση θα συμπεριλαμβάνει δύο αυθαίρετες σταθερές c 1 και c, οι οποίες προσδιορίζονται μέσω των αρχικών συνθηκών x( t ) x, x( t ) y( t ) y (3.4) Παράδειγμα 1. Έστω η διαφορική εξίσωση x x x η x y, y xy Αφού λείπει η ανεξάρτητη μεταβλητή t (αυτόνομο σύστημα), χρησιμοποιούμε την παράγωγο dx dx dx dy x y dt dx dt dx και η διαφορική εξίσωση γράφεται y dy 1 ( y x y dy xdx y x c1 ) dx όπου c 1 αυθαίρετη σταθερά από την 1 η ολοκλήρωση. Θεωρούμε c 1 > και παίρνουμε Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 49

2 dx 1 dt tan ( x / c 1 ) c1 t c. x c1 Άρα έχουμε τελικά dx c x( t) c tan( c t c ) και y( t) ( c ) dt cos ( c1t c ) Σημείωση. Για c 1 < θα παίρναμε x( t) c1tanh( c1t c ). Παράδειγμα.. Έστω η διαφορική εξίσωση x x(1 x) Εφαρμόζοντας τη σχέση x ydy / dx, βρίσκουμε ydy 1 xdx y ln 1 y x c1 (3.5) 1 y Για να ολοκληρώσουμε μια ακόμη φορά την παραπάνω σχέση απαιτείται η επίλυσή της ως προς y, κάτι το οποίο δεν μπορεί να γίνει με τη χρήση τυπικών συναρτήσεων. [M] Χρησιμοποιώντας τo Mathematica, η αντιστροφή της συνάρτησης g( x) y ln( y 1) για την πλεγμένη συνάρτηση (3.5) μας δίνει In[1]:= Solve[y-Log[1+y]==x^/+c1,y] Out[1]:= {{y->-1-productlog[-exp[-1-c1-x^/]]}} Η ειδική συνάρτηση ProductLog(x) (ή συνάρτηση Lambert W(x)) είναι η αντίστροφη συνάρτηση της x=ye y. και η γραφική της παράσταση δίνεται στο Σφάλμα! Το αρχείο προέλευσης της αναφοράς δεν βρέθηκε.(α). Συνεπώς, αφού y=dx/dt η λύση x=x(t) θα εκφράζεται από την πεπλεγμένη συνάρτηση dx, c1 x / t c e 1 W ( ) Όπου θέσαμε c 1 στη θέση της σταθεράς 1 c 1. Σχήμα 3-1. (α) η γραφική παράσταση της συνάρτησης Lambert (β) η λύση x=x(t) της διαφορικής εξίσωσης του παραδείγματος και με αρχικές συνθήκες x()=1, y()=1. Σχόλιο. Λύσεις όπως αυτές του παραδείγματος, είναι δύσκολο να τις χειριστούμε. Επίσης είναι δύσκολο να αντιστοιχίσουμε τις αυθαίρετες σταθερές c 1 και c στις αρχικές συνθήκες (3.4). Και το Mathematica, αν και μας δίνει τη γενική λύση (π.χ. για το παράδειγμα ), δεν μπορεί να επιλύσει το πρόβλημα αρχικών τιμών. In[1]:= sol=dsolve[{x''[t]==x[t](1+x'[t]), x[]==1, x'[]==1},x,t]. DSolve::bvnul: For some branches of the general solution, the given boundary conditions lead to an empty solution. >> Out[1]= {} Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 5

3 Έτσι, καταφεύγουμε συνήθως στις αριθμητικές λύσεις Χώρος φάσεων, ολοκληρώματα και σημεία Ισορροπίας Ο χώρος των φάσεων του συστήματος (3.) είναι το επίπεδο Oxy (θέση-ταχύτητα). Η ποιοτική μελέτη της διαφορικής εξίσωσης (3.1) ή του συστήματος (3.)συνίσταται στο πως μπορούμε να εξάγουμε σημαντικές ιδιότητες για τις λύσεις χωρίς να χρειαστεί να βρούμε (ή να χρησιμοποιήσουμε) την τελική μορφή της λύσης. Οι ιδιότητες αυτές και, γενικότερα, η ποιοτική δυναμική συμπεριφορά του συστήματος μπορούν να προκύψουν από την μελέτη του φασικού διαγράμματος, δηλαδή τις φασικές τροχιές στο επίπεδο Oxy. Οι φασικές τροχιές μπορούν να αποδοθούν και αναλυτικά, εν γένει σε πεπλεγμένη μορφή, όταν μπορούμε να βρούμε ένα ολοκλήρωμα της εξίσωσης ( x, y) c (3.6) Για παράδειγμα η σχέση (3.5) αποτελεί ένα ολοκλήρωμα για την διαφορική εξίσωση του παραδείγματος. Ένα ολοκλήρωμα για το σύστημα (3.) μπορεί να βρεθεί από τη διαφορική εξίσωση 1 ης τάξης dy f ( x, y) (3.7) dx y Το ολοκλήρωμα είναι μια συνάρτηση των δυναμικών μεταβλητών η οποία παραμένει σταθερή κατά την χρονική εξέλιξη της τροχιάς. Η σταθερή τιμή c εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. Οι φασικές καμπύλες (3.6) οφείλουν να εφάπτονται στο διανυσματικό πεδίο του συστήματος (δες και 1.3.1), f y, f ( x, y) (3.8) Σημείωση. Από το διανυσματικό πεδίο (3.8) προκύπτει ότι η κατεύθυνση ροής είναι γενικά από αριστερά προς τα δεξιά για y> και από τα δεξιά προς τα αριστερά για y<. Τα σημεία ισορροπίας ή τα κρίσιμα σημεία εξίσωση f, οπότε θα έχουμε πάντα άξονα xox και στις θέσεις * y * * ( x, y ) του διανυσματικού πεδίου προκύπτουν από την, δηλαδή τα σημεία ισορροπίας θα βρίσκονται πάνω στον * x που προκύπτουν από την λύση της εξίσωσης * f( x,) (3.9) [Μ] Σχεδίαση διανυσματικού πεδίου και φασικού διαγράμματος Θα χρησιμοποιήσουμε το σύστημα του παραδείγματος x y, y x(1 y) Με ολοκλήρωμα το (3.5) 1 y ln 1 y x c Το σύστημα έχει ένα σημείο ισορροπίας στο (,). Οι φασικές τροχιές του συστήματος αποτελούν τις ισοσταθμικές καμπύλες της συνάρτησης ( x, y) y ln 1 y x /, οι οποίες στο Mathematica σχεδιάζονται άμεσα με την εντολή ContourPlot. Αυτή συντάσσεται ως εξής ContourPlot[Φ, {x, x min,x max }, {y, y min,y max }, παράμετροι επιλογών σχεδίασης] Για το σχεδιασμό του φασικού διαγράμματος αναφέρουμε τις ακόλουθες χρήσιμες παραμέτρους ContourShading False (αποτρέπει τον χρωματισμό των περιοχών μεταξύ δύο ισοσταθμικών καμπύλων) Contours Number (αριθμός ισοσταθμικών καμπύλων που θα σχεδιαστούν) Contours {c 1,c,., c N} (ισοσταθμικές καμπύλες στα δεδομένα επίπεδα τιμών) PlotPoints Number (αριθμός σημείων για την σχεδίαση της κάθε καμπύλης) Π.χ. f=y-log[abs[y+1]]-x^/; Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 51

4 ContourPlot[f,{x,-,},{y,-,}, ContourShading->False, Contours->,PlotPoints- >1] Για τον σχεδιασμό του διανυσματικού πεδίου f ( f1, f) Π.χ. f1=y;f=x (1+y); VectorPlot[{f1,f},{x,-,},{y,-,}] γίνεται χρήση της εντολής VectorPlot[{f 1,f }, {x, x min,x max }, {y, y min,y max }] Σημείωση. Για το Mathematica 5.x απαιτείται και η φόρτωση από τη βιβλιοθήκη γραφικών της PlotField, δηλαδή θα πρέπει να εισάγουμε την εντολή <<Graphics`PlotField`, και να χρησιμοποιήσουμε την εντολή PlotVectorField. Μπορούμε να γράψουμε τον παρακάτω συνολικό κώδικα για την σχεδίαση του φασικού διαγράμματος στο οποίο περιλαμβάνονται Ενδεικτικές φασικές τροχιές σε διάφορες σταθερές c i Τα σημεία ισορροπίας Το διανυσματικό πεδίο In[]:=f1=y;f=x*(1+y); Phi=y-Log[Abs[y+1]]-x^/; gr1=vectorplot[{f1,f},{x,-,},{y,-,},vectorpoints->15,vectorscale- >{.,1.5,None}, VectorStyle->Gray]; gr=listplot[{{,}},plotstyle->{pointsize[.3],red}]; gr3=contourplot[phi,{x,-,},{y,-,},contourshading->false,contours->{-,-1,-.3,,.,.5,1},plotpoints->1]; Show[{gr1,gr,gr3},Frame->True,FrameLabel->{"x","y"}] Σχήμα 3-. Το φασικό διάγραμμα του συστήματος dx/dt=y, dy/dt=x(1+y) όπως προκύπτει από τον παραπάνω κώδικα. 3. Γραμμικές περιπτώσεις Οι γραμμικές περιπτώσεις για μια αυτόνομη διαφορική εξίσωση ης τάξης της μορφής (3.1) συνοψίζονται στην γενική μορφή Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 5

5 x a, (σταθ.) 1x a x ai R (3.1) Η γενική λύση της εξαρτάται από τις ρίζες r 1, r του χαρακτηριστικού της πολυωνύμου () r r ar a1 Έχουμε τις εξής περιπτώσεις r1t rt r, r, r r, τότε x c e c e i ii. r1 r r,, τότε x ( c1 ct) e rt iii. at r1, r \ ri a bi, τότε x e c1cos( bt) csin( bt) Τα γραμμικά συστήματα (3.1) έχουν ένα σημείο ισορροπίας το (,) Ο αρμονικός ταλαντωτής (harmonic oscillator) Πρόκειται για ένα σύστημα που περιγράφεται με μια από τις πιο γνωστές εξισώσεις της φυσικής, x x R (σταθ.) (3.11) ή, ως σύστημα εξισώσεων, x y, y x. Θεωρώντας αρχικές συνθήκες x() x, y() y, η λύση θα είναι x( t) xcos t ( y/ )sint (3.1) y( t) x sint ycost Η εξίσωση για τη θέση γράφεται και ως 1 y x( t) Dcos( t ), οπου D x ( y / ), tan (3.13) x και περιγράφει αρμονικές ταλαντώσεις πλάτους D και κυκλικής συχνότητας ω ή περιόδου T, ανεξάρτητης των αρχικών συνθηκών. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση της θέσης (3.1) επί ω, υψώνοντας στο τετράγωνο τη σχέση αυτή καθώς και την σχέση της ταχύτητας και προσθέτοντας τις δυο τελευταίες σχέσεις έχουμε απαλοιφή του χρόνου και καταλήγουμε στη σχέση y( t) x( t) y x, η οποία εκφράζει ένα ολοκλήρωμα για το σύστημα, το ολοκλήρωμα της ενέργειας E y x (3.14) Το ολοκλήρωμα αυτό θα μπορούσε να προκύψει άμεσα από την ολοκλήρωση της διαφορικής εξίσωσης (3.7) Σημείωση. Αν θεωρήσουμε τις ταλαντώσεις υλικού σημείου μάζας m, το οποίο είναι στερεωμένο στο άκρο ενός 1 1 ελατηρίου σταθεράς k, τότε έχουμε την εξίσωση κίνησης mx kx και μηχανική ενέργεια E mx kx. Άρα, σε αντιστοιχία με το σύστημα (3.11), είναι k/ mκαι E E / m. M M Από το ολοκλήρωμα της ενέργειας (3.14) προκύπτει ότι οι φασικές καμπύλες είναι ελλείψεις με όρια D x D, D E / E y E και με φορά κατά τη διεύθυνση της κίνησης των δεικτών του ρολογιού (βλ. Σχήμα 3-3). Σχόλιο. Από τη γνώση του ολοκληρώματος (3.14) συμπεραίνουμε ότι οι φασικές καμπύλες είναι κλειστές για κάθε τιμή του ολοκληρώματος και συνεπώς έχουμε ταλαντώσεις της θέσης και της ταχύτητας με όρια που εξαρτώνται από την τιμή της ενέργειας. Βέβαια δεν μπορούμε να συμπεράνουμε για την αρμονική μορφή της ταλάντωσης και την περίοδό της. Τα τελευταία γίνονται αντιληπτά μόνο μέσω της αναλυτικής λύσης. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 53

6 Σχήμα 3-3. Αρμονικές ταλαντώσεις (αριστερά) με πλάτη D 1 <D αλλά με την ίδια περίοδο και το φασικό διάγραμμα (δεξιά) με τις ελλειπτικές φασικές τροχιές (είναι Ε 1 <Ε ). 3.. Το απωστικό (υπερβολικό) σύστημα Πρόκειται για το σύστημα x a x, a R (σταθ.) (3.15) ή, ως σύστημα εξισώσεων, x y, y a x. Σημείωση. Το σύστημα αυτό μπορεί να περιγράφει την ευθύγραμμη κίνηση ενός υλικού σημείου μάζας m στο οποίο δρα δύναμη ανάλογη με την απόσταση x του σημείου από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων και με φορά αντίθετη προς αυτό, δηλαδή F=kx, οπότε a =k/m. Η λύση δίνεται από την σχέση x() t c e c e at 1 at y() t ac e ac e at 1 at (3.16) όπου, αν θεωρήσουμε τις αρχικές συνθήκες x() x, y() y, θα είναι 1 1 c1 ( x y / a), c ( x y / a). Από την (3.7), η οποία γράφεται ως dy a x, dx y Προκύπτει το ολοκλήρωμα της ενέργειας E y a x (3.17) Οι φασικές καμπύλες που περιγράφει η (3.17) είναι μια οικογένεια υπερβολών, η οποία παρουσιάζεται στο Σχήμα 3-4(β). Μια ειδική περίπτωση αποτελούν οι φασικές καμπύλες για ενέργεια E, δηλαδή οι ευθείες y ax, a (3.18) όπου, χωρίς άρση της γενικότητας, θέσαμε a>. Θεωρώντας αρχικές συνθήκες πάνω στις ευθείες (3.18) έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις i. y ax, x lim x( t) και lim y( t) t t lim x( t) και lim y( t) t t ii. y ax, x lim x( t) και lim y( t) t t lim x( t) και lim y( t) t t iii. y ax, x lim x( t) και lim y( t) t t lim x( t) και lim y( t) t t Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 54

7 iv. y ax, x lim x( t) και lim y( t) t t lim x( t) και lim y( t) t t Παρατηρούμε ότι για t, οι μόνες λύσεις που δεν διαφεύγουν στο είναι αυτές που αντιστοιχούν σε αρχικές ευθείες πάνω στην ευθεία y ax, η οποία ονομάζεται ευσταθής ασύμπτωτη. Για την y ax, η οποία ονομάζεται ασταθής ασύμπτωτη, οι λύσεις τείνουν εκθετικά στο μηδέν αλλά για t. Όλες οι υπόλοιπες φασικές τροχιές διαφεύγουν στο είτε για t ή για t. Μια τέτοια τοπολογία φασικών καμπύλων γύρω από το σημείο ισορροπίας ονομάζεται σάγμα. Σχήμα 3-4. (α) χρονική εξέλιξη της δυναμικής μεταβλητής του υπερβολικού συστήματος για Ε 1 < και Ε > (β) Το φασικό διάγραμμα του υπερβολικού συστήματος (σάγμα). Η ασταθής και η ευσταθής ασύμπτωτη παρουσιάζονται με την κόκκινη και μπλε, αντίστοιχα, ευθεία Γραμμικός ταλαντωτής με απόσβεση Στα μηχανικά συστήματα θεωρούμε συνήθως ως γραμμική απόσβεση (damping) μια δύναμη ανάλογη της ταχύτητας και με φορά πάντα αντίθετη της ταχύτητας. Έτσι αν στον αρμονικό ταλαντωτή προσθέσουμε μια τέτοια απόσβεση θα έχουμε το σύστημα,, x bx x b R (σταθ.) (3.19) ή, ως σύστημα εξισώσεων, x y, y by x με απόκλιση του διανυσματικού του πεδίου y ( by x) divf b x y Άρα το σύστημα (3.19) είναι ένα σύστημα με απώλειες και η θετική παράμετρος b ονομάζεται συντελεστής απόσβεσης. Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου θα δίνονται από τη σχέση r, r b 1 όπου, b 4 1 Σχήμα 3-5. Σχηματική παράσταση μηχανικού ταλαντωτή με απόσβεση. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 55

8 Ανάλογα με την τιμή των παραμέτρων διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Α) περίπτωση μεγάλης απόσβεσης ( b ), Και οι δύο ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι πραγματικές και μάλιστα αρνητικές r r1 και η γενική λύση της (3.19) θα δίνεται από τις σχέσεις r1t rt x() t c1e ce (3.) r1t rt y() t c re c r e 1 1 όπου, για αρχικές συνθήκες x() x, x() y() y, x r y 1 1, x r c c y. r1 r r1 r Παρατηρούμε ότι για όλες τις λύσεις lim x( t), lim y( t). t t Επίσης μπορούμε να δείξουμε ότι * * t, x( t ) εαν y xr και yx και, μάλιστα, το t * είναι και μοναδικό. Σχήμα 3-6. Τυπικές λύσεις x=x(t), y=y(t) για το σύστημα (3.19) στην περίπτωση μεγάλης απόσβεσης. Β) περίπτωση μικρής απόσβεσης ( b ) Στην περίπτωση αυτή οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι μιγαδικές r i, ( b/ ) 1, 1 1 Αν θεωρήσουμε αρχικές συνθήκες x() x, y() y, η λύση θα είναι b t ( ) 1 cos1 sin1 x t e c t c t b b (3.1) b t t y( t) e c1 cos1t c sin1t e c1 1 sin1t c1 cos1t y bx/ όπου c1 x και c. 1 Η εξίσωση για τη θέση γράφεται και ως b t 1 c x( t) De cos( 1t ), οπου D c1 c, tan (3.) c1 δηλώνοντας ταλαντώσεις σταθερής περιόδου T, ανεξάρτητης των αρχικών συνθηκών, και με εκθετικά μειούμενο πλάτος D D e ( b/ ) t 1 Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 56

9 Σχήμα 3-7. Ταλαντώσεις με εκθετικά μειούμενο πλάτος για το γραμμικό σύστημα μικρής απόσβεσης. Αν θεωρήσουμε ότι η ενέργεια χωρίς την απόσβεση δίνεται από τη σχέση 1 απόσβεση μπορούμε να πούμε ότι E D() t ή E 1 D τότε κατά την E Ee bt (3.3) Σημείωση. Στην ειδική περίπτωση όπου r 1 =r =b/ οι λύσεις είναι γραφικά όμοιες με τις λύσεις (3.). Δες άσκηση Οι φασικές καμπύλες που αντιστοιχούν στις λύσεις (3.) ή (3.1) δεν μπορούν να βρεθούν εύκολα με την απαλοιφή του t από τις σχέσεις θέσης και ταχύτητας. Μπορούν όμως να βρεθούν αναλυτικά από την λύση της διαφορικής εξίσωσης (3.7), η οποία γράφεται dy by x x b (3.4) dx y y Η παραπάνω διαφορική είναι ομογενής και μπορεί να διαχωριστεί με την αντικατάσταση z y / x. Η λύσηολοκλήρωμα είναι αρκετά περίπλοκη και δεν την παραθέτουμε εδώ. Με τη βοήθεια του Mathematica σχεδιάζουμε (Σχήμα 3-8) το διανυσματικό πεδίο και το φασικό διάγραμμα για τις περιπτώσεις της μεγάλης και της μικρής απόσβεσης. Χρησιμοποιούμε τις αναλυτικές λύσεις (3.) ή (3.1) για διάφορες αρχικές συνθήκες και την εντολή ParametricPlot[{x(t),y(t)}, {t,,t max }]. Σχήμα 3-8. Φασικά διαγράμματα για τον γραμμικό ταλαντωτή με απόσβεση (α) με μεγάλη απόσβεση, κόμβος (β) με μικρή απόσβεση, εστία. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 57

10 Ασκήσεις Άσκηση Βρείτε την αναλυτική λύση για το σύστημα (3.19) αν b. Άσκηση 3... Για την λύση (3.) και με αρχικές συνθήκες x, y, βρείτε τον χρόνο t * για τον οποίο xt ( *) Άσκηση Βρείτε ένα ολοκλήρωμα για το σύστημα (3.19) λύνοντας την εξίσωση (3.4). Άσκηση Βρείτε τις αναλυτικές λύσεις και σχεδιάστε τα φασικά διαγράμματα για το σύστημα (ταλαντωτής με ενίσχυση) x bx x, b, (σταθ.) Άσκηση Βρείτε τις αναλυτικές λύσεις και σχεδιάστε τα φασικά διαγράμματα για το υπερβολικό σύστημα με απόσβεση x bx a x, b, a (σταθ.) Άσκηση Αν E x x είναι η σταθερή ενέργεια του ταλαντωτή χωρίς απόσβεση (b=), δείξτε 1 1 ότι για b ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας θα είναι de bx dt. Άσκηση Γράψτε τη λύση (3.) για τον ταλαντωτή με b 1/ 4, 1. Αντικαταστήστε τη λύση αυτή 1 1 στην παράσταση E x x και βρείτε τη μεταβολή της ενέργειας με το χρόνο E E() t. Σχεδιάστε την μεταβολή αυτή καθώς και τη μεταβολή που δίνεται από την σχέση (3.3). Παρατηρείται διαφορά; 3.3 Διατηρητικά συστήματα και δυναμική Στην παράγραφο αυτή θα αναφερθούμε σε αυτόνομα και, ταυτόχρονα, διατηρητικά συστήματα της μορφής (δες 3.1.1) x y x f ( x) η (3.5) y f ( x) Η συνάρτηση δυναμικού και το ολοκλήρωμα ενέργειας Όπως είδαμε στα γραμμικά συστήματα προκύπτει πάντα ένα ολοκλήρωμα, το οποίο είναι το ανάλογο της μηχανικής ενέργειας. Γενικότερα, για το σύστημα (3.5) μπορούμε να προχωρήσουμε σε ολοκλήρωση της εξίσωσης (3.7) αφού είναι χωριζόμενων μεταβλητών dy f ( x) ydy f ( x) dx ydy f ( x) dx dx y Ορίζουμε τη συνάρτηση δυναμικού V ( x) f ( x) dx (3.6) και η παραπάνω ολοκλήρωση μας δίνει 1 ( ) y V x c, όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, την οποία ονομάζουμε ενέργεια και την συμβολίζουμε με Ε. Έχουμε, λοιπόν, το ολοκλήρωμα της ενέργειας 1 ( ) y V x E (3.7) Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 58

11 Σε δεδομένες αρχικές συνθήκες x() x, y() y τιμή της ενέργειας 1 E y V ( x ) θα είναι η ίδια για όλη τη λύση και η φασική τροχιά x( t), y( t) οφείλει να διατηρεί αυτή την τιμή, δηλαδή E( x( t), y( t)) E t. Έτσι η (3.7) αποτελεί την εξίσωση των φασικών καμπύλων και το φασικό διάγραμμα προκύπτει από φασικές καμπύλες για διάφορες τιμές της ενέργειας. Μάλιστα μπορούμε να λύσουμε ως προς y και να πάρουμε y ( E V ) (3.8) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι φασικές καμπύλες είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y=. Το πρόσημο του y( x) δηλώνει και τη φορά της ροής του διανυσματικού πεδίου. Για y> έχουμε ροή των φασικών καμπύλων από τα αριστερά προς τα δεξιά (το x αυξάνεται) ενώ για y< έχουμε ροή των φασικών καμπύλων από τα δεξιά προς τα αριστερά (το x μειώνεται) Δεδομένου ότι y x, μπορούμε να προχωρήσουμε σε ολοκλήρωση της (3.8) με αρχική συνθήκη την x( t ) x και να προκύψει η σχέση t t 1 x dx, (3.9) x E V ( x) όπου το πρόσημο «συν» ή «πλην» λαμβάνεται ανάλογα με τη φορά της ταχύτητας (y> ή y<, αντίστοιχα). Η (3.9) αποτελεί την αναλυτική έκφραση της λύσης για το σύστημα. Όμως η λύση αυτή υποφέρει από τα μειονεκτήματα που συζητήθηκαν και στην Για παράδειγμα δεν είναι εύκολο να βρούμε και να εκφράσουμε το ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους της (3.9) με τυπικές συναρτήσεις. Ακόμα και αν γίνει αυτό η παράσταση που θα προκύψει θα πρέπει να αντιστραφεί για να λυθεί ως προς τη δυναμική μεταβλητή x. Θα περιγράψουμε την αναλυτική λύση (3.9) για το απλό εκκρεμές στην Παράδειγμα 1. Το «σκληρό ελατήριο» χαρακτηρίζεται από συντελεστή k, ο οποίος δεν είναι σταθερός αλλά εξαρτάται από την απόσταση από το σημείο ισορροπίας. Έτσι έχουμε τον ταλαντωτή που περιγράφεται από την εξίσωση x ( a x ) x, (3.3) Το δυναμικό που αντιστοιχεί στο σκληρό ελατήριο θα είναι σύμφωνα με τη σχέση (3.6) 1 a 4 V x x (3.31) 4 Σχήμα 3-9. (α) Το δυναμικό του σκληρού ελατηρίου με a. Για a= έχουμε το κλασσικό δυναμικό του Hooke (β) μη γραμμική ταλάντωση του σκληρού ελατηρίου όπως προκύπτει από τη αριθμητική ολοκλήρωση της (3.3) με κ=1, a=1 και αρχικές συνθήκες x()=1, x ()=. Το ολοκλήρωμα της σχέσης (3.9) για το δυναμικό (3.31) μπορεί να δοθεί με τη βοήθεια «ελλειπτικών συναρτήσεων» και η μορφή του είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη για να το χειριστεί κανείς αναλυτικά. Χρησιμοποιώντας αριθμητική ολοκλήρωση αναπαράγουμε τις μη γραμμικές ταλαντώσεις του «σκληρού ελατηρίου» όπως φαίνονται στο Σχήμα 3-9(β). Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 59

12 Παράδειγμα. Ένα μοντέλο δυναμικού, το οποίο περιγράφει την αλληλεπίδραση δύο ουδέτερων ατόμων ή μορίων που βρίσκονται σε απόσταση x, είναι το δυναμικό Lenard-Jones, που σε κανονικοποιημένες μονάδες γράφεται στη μορφή 1 V V 1 6, V (σταθ.), x (3.3) x x Η συνάρτηση δύναμης που αντιστοιχεί στο παραπάνω δυναμικό είναι dv 1 1 f f 7 13, f 1 V dx x x είναι ελκτική ( f ) για x 1και lim f( x). Η διαφορική εξίσωση του συστήματος (3.5) μπορεί να x λυθεί αριθμητικά. Δύο ενδεικτικές αριθμητικές λύσεις x x() t παρουσιάζονται στο Σχήμα 3-1(β). Σχήμα 3-1. (α) Το δυναμικό του δυναμικού Lenard-Jones (V =1) (β) η εξέλιξη της απόστασης των δύο ατόμων υπό την αλληλεπίδρασή τους μέσω του δυναμικού (3.3) για δύο διαφορετικές αρχικές συνθήκες, x =1.5, dx/dt()=, (μπλε) και x =.899, dx/dt()= (κόκκινη) Σημεία ισορροπίας και γραμμική ευστάθεια Σύμφωνα με τον ορισμό της παραγράφου.4, τα σημεία ισορροπίας προκύπτουν από τη λύση του συστήματος y, f ( x) Δηλαδή τα σημεία ισορροπίας αντιστοιχούν πάντα σε μηδενική ταχύτητα και στις θέσεις όπου η συνάρτηση δύναμης f(x) μηδενίζεται ή, ισοδύναμα, στα ακρότατα της συνάρτησης δυναμικού V(x). Παράδειγμα 1. Έστω το σύστημα ενός ταλαντωτή ο οποίος αλληλεπιδρά με γειτονικούς ταλαντωτές. Η αλληλεπίδραση αυτή περιγράφεται μέσω μιας δύναμης ανάλογης του κύβου της απόστασης από το σημείο ισορροπίας του ταλαντωτή x ax x 3, a (σταθ.) (3.33) Ο ταλαντωτής ισορροπεί στις θέσεις για τις οποίες ax 3 x x1 a, x, x3 a Προφανώς τα σημεία ισορροπίας x1 και x3 υπάρχουν μόνο για a. Παράδειγμα. Έστω το σύστημα με εξίσωση x x x (3.34) 4 3 Η λύση της x x 1/ 4 μπορεί να προσδιοριστεί εύκολα με την NSolve στο περιβάλλον του Mathematica 3 1 In[1]:= NSolve[x-x^3-1/4==,x] Out[1]= {{x-> , {x->.69594},{x-> }} Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 6

13 Παράδειγμα 3. Το δυναμικό Yukawa περιγράφει την αλληλεπίδραση σωματιδίων σε ατομική κλίμακα. Αν θεωρήσουμε δύο σωματίδια που το ένα περιστρέφεται γύρω από το άλλο, το δυναμικό θα έχει τη μορφή c a bx V ( x) e (3.35) x bx και η αντίστοιχη συνάρτηση δύναμης θα είναι η du c 1 1 bx f ( x) a e 3 dx x bx x Οι ρίζες τις f(x) δεν μπορούν να βρεθούν αναλυτικά. Μπορούν να προσεγγιστούν με την μέθοδο Newton- Raphson ή την FindRoot του Mathematica για δεδομένες τιμές των παραμέτρων a,b και c. Π.χ. για a=b=1, c=1/, μπορούμε να σχεδιάσουμε την f(x), ώστε να εντοπίσουμε κατά μια πρώτη προσέγγιση σε ποια σημεία μηδενίζεται (δες Σχήμα 3-11) In[1]:= FindRoot[f==,{x,.5}] Out[]= {x-> } In[3]:= FindRoot[f==,{x,3.5}] Out[4]= {x->3.3969} Σχήμα Η συνάρτηση δύναμης Yukawa και τα σημεία ισορροπίας (a=b=1, c=1/). Έστω x ένα σημείο ισορροπίας, οπότε f( x ) και x() t x, yt ( ), t. Σύμφωνα με τη μέθοδο διαταραχών, θεωρούμε μια κοντινή τροχιά στο σημείο ισορροπίας που την περιγράφουμε με την λύση x( t) x x( t), y( t) y( t), ( x() y() 1) (3.36) Η απομάκρυνση ή όχι της παραπάνω τροχιάς από το σημείο ισορροπίας εξαρτάται από την εξέλιξη των ποσοτήτων δx και δy στο χρόνο. Αν αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (3.36) στο δυναμικό σύστημα (3.5) θα πάρουμε x y, y f ( x x). Αναπτύσσοντας την f(x +δx) σε σειρά Taylor df 1 d f 3 f ( x x) f ( x) x x O( x ), dx dx x x και θεωρώντας τα δx μικρές ποσότητες, κρατάμε μόνο τους όρους πρώτης τάξης ως προς δx και παίρνουμε το γραμμικό σύστημα df x y, y k x η x k x, k (3.37) dx Η χρονική εξέλιξη των δx και δy δίνεται από την (3.37), στην οποία αντιστοιχούν δύο ποιοτικά διαφορετικές καταστάσεις: Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 61 x

14 Για k< το σύστημα (3.37) είναι το σύστημα του αρμονικού ταλαντωτή που μελετήσαμε στο παράδειγμα.1, και το οποίο μας δίνει περατωμένες φασικές τροχιές (ελλείψεις) y kx σταθ. και το φασικό πορτρέτο έχει τη μορφή που δίνεται στο Σχήμα 3-1(α) (δες, επίσης, Σχήμα 3-3). Για k> η (3.37) μας δίνει τις ανοιχτές φασικές τροχιές (υπερβολές) y kx σταθ. και το φασικό πορτρέτο έχει τη μορφή που δίνεται στο Σχήμα 3-1(β) (δες, επίσης, Σχήμα 3-4) Άρα για k=(df/dx) x < οι κινήσεις γύρω από το σημείο ισορροπίας x είναι περατωμένες (δηλαδή τροχιές που ξεκινούν κοντά στο σημείο ισορροπίας παραμένουν κοντά σε αυτό) και το σημείο ισορροπίας χαρακτηρίζεται ως γραμμικά ευσταθές. Για k>, γύρω από το σημείο ισορροπίας οι φασικές τροχιές είναι ανοιχτές (δηλαδή τροχιές που ξεκινούν κοντά στο σημείο ισορροπίας φεύγουν μακριά από αυτό με το χρόνο) και το σημείο χαρακτηρίζεται ως γραμμικά ασταθές. Θα ονομάζουμε την σταθερά k δείκτη ευστάθειας. Σχήμα 3-1. Φασικό πορτρέτο για το σύστημα (3.37) α) k< αρμονικός ταλαντωτής και ευστάθεια β) k> σύστημα «απωστικών δυνάμεων» και αστάθεια. Για κάθε σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας ο φασικός χώρος κοντά στα σημεία ισορροπίας του πρέπει να είναι τοπολογικά όμοιος με αυτόν των παραπάνω πορτρέτων ανάλογα με το είδος της ευστάθειας, η οποία υπολογίζεται άμεσα από την σχέση (3.37) με τον προσδιορισμό της σταθεράς k. dv Επειδή k διαπιστώνουμε ότι τα ευσταθή σημεία ισορροπίας αντιστοιχούν σε ελάχιστα του dx x δυναμικού V(x), ενώ τα ασταθή σε μέγιστα. Σχόλιο. Αν k= τότε έχουμε κρίσιμη ευστάθεια σε γραμμική προσέγγιση. Η γενικότερη συμπεριφορά των λύσεων γύρω από το σημείο ισορροπίας καθορίζεται από τους όρους ανώτερης τάξης της σειράς Taylor της f ( x x) ή μπορεί να δειχτεί ποιοτικά (βλ. παράδειγμα 4). Αν η f( x) είναι μια συνεχής συνάρτηση χωρίς σημεία καμπής, και μας δίνει δύο ή περισσότερα σημεία ισορροπίας, το είδος της ευστάθειας τους θα εναλλάσσεται. Παράδειγμα 1 (συνέχεια) Ο δείκτης ευστάθειας για το σύστημα (3.33) είναι k a 3x Συνεπώς για το σημείο ισορροπίας x θα είναι k a, δηλαδή ευσταθές για a και ασταθές για a. Για τα σημεία ισορροπίας x a, a, είναι k a, δηλαδή τα σημεία είναι ευσταθή. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 6

15 Σχήμα Το δυναμικό του συστήματος (3.33) για a< και a>. Τα σημεία ισορροπίας αντιστοιχούν στα ακρότατα του δυναμικού (τα μπλε σημεία είναι ευσταθή και το κόκκινο ασταθές). 4 Παράδειγμα. (συνέχεια). Το δυναμικό του συστήματος (3.34) είναι το V x / 4 x / x/ 4 και ο δείκτης ευστάθειας k 1 3x. Έτσι για τα τρία σημεία ισορροπίας θα είναι x 1 = , k= < (ευσταθές) x =.69594, k= > (ασταθές) x 3 = , k= < (ευσταθές) Παράδειγμα 3. (συνέχεια). Για a=b=1, c=1/ το δυναμικό Yukawa (3.35) παρουσιάζεται στο Σχήμα Παρουσιάζει ένα ελάχιστο το x (ευσταθές σημείο ισορροπίας με k 4. ) και ένα μέγιστο x (ασταθές σημείο ισορροπίας με k.61 ) Σχήμα Το δυναμικό Yukawa για a=b=1, c=1/ Όρια της κίνησης και ταλαντώσεις Από την σχέση (3.7) προκύπτει ότι πρέπει να πληρείται η σχέση E V( x) (3.38) Η ανισότητα (3.38) ορίζει τα όρια της κίνησης. Για μια δεδομένη τιμή της ενέργειας έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις x min x x max : περατωμένη φασική τροχιά x min x ή x x max ή x(-,+): ανοιχτή φασική τροχιά Για το σύστημα (3.5) κάθε φασική τροχιά αντιστοιχεί σε μια τιμή ενέργειας, και κατά συνέπεια για το ίδιο σύστημα κλειστές και ανοιχτές τροχιές μπορούν να συνυπάρχουν. Στα όρια της κίνησης θα είναι E V( x) y, Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 63

16 Δηλαδή στα όρια η ταχύτητα μηδενίζεται. Η λύση της ανίσωσης (3.38) μπορεί να εκτιμηθεί γραφικά με την σχεδίαση του δυναμικού και την ευθεία V E. Τα διαστήματα του άξονα x' Ox για τα οποία το δυναμικό βρίσκεται κάτω από την ευθεία V E (Σχήμα 3-15) είναι αυτά που ικανοποιούν την ανίσωση. Σχήμα Γραφική εκτίμηση ορίων της κίνησης για ενέργεια Ε. Στην ενέργεια αυτή αντιστοιχούν δύο τροχιές μια περατωμένη για x[x 1,x ] και μια ανοιχτή με x[x 3,). Τα σημεία x 1,x και x 3 αποτελούν λύσεις της εξίσωσης V(x)=E. Σημείωση. Αν το δυναμικό παρουσιάζει ένα ολικό ελάχιστο (το οποίο φυσικά θα αντιστοιχεί και σε ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας με ενέργεια Emin τότε όλες οι τροχιές θα πρέπει να έχουν ενέργεια μεγαλύτερη του E min. Μια περατωμένη φασική τροχιά περνάει από τα σημεία (x min,) και (x max,). Έτσι στο διάστημα (x min,x max ) έχουμε ένα τμήμα φασικής τροχιάς με y (από το x min στο x max ) αλλά και, σύμφωνα με την (3.8), το συμμετρικό του με y (από το x max στο x min ). Αν τα όρια της κίνησης δεν αποτελούν σημεία ισορροπίας, δηλαδή το διανυσματικό πεδίο είναι ομαλό, τα παραπάνω τμήματα δεν μπορούν να τέμνονται εγκάρσια αλλά να ενώνονται ομαλά και να αποτελούν ουσιαστικά την ίδια τροχιά. Άρα μια περατωμένη τροχιά για το αυτόνομο διατηρητικό σύστημα (3.5) αντιστοιχεί σε μια κλειστή φασική τροχιά. Έχουμε δηλαδή για την χρονική εξέλιξη των δυναμικών μεταβλητών x x() t και y y() t μια περιοδική ταλάντωση. Αν Τ είναι η περίοδος μιας περατωμένης τροχιάς ενέργειας Ε, τότε η κίνηση από τη θέση x min έως τη θέση x max, και αντίστροφα, θα διαρκεί χρόνο t=t/, οπότε από την σχέση (3.9) προκύπτει η περίοδος της ταλάντωσης T xmax dx E V ( x) (3.39) xmin Κοντά στα ευσταθή σημεία ισορροπίας x x η περίοδος μπορεί να προσεγγιστεί από το γραμμικό σύστημα (3.37), δηλαδή df T, k (3.4) k dx xx 4 Παράδειγμα. (συνέχεια). Για το δυναμικό V x / 4 x / x/ 4 το ολικό ελάχιστο παρουσιάζεται στο σημείο ισορροπίας x 1 =1.1716, το οποίο αντιστοιχεί στην τιμή ενέργειας Ε min = Έχουμε λοιπόν επιτρεπτή κίνηση για E>E min. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 64

17 Σχήμα Το δυναμικό του παραδείγματος. Οι περιοχή μεταξύ των δύο τομών, του δυναμικού και της συγκεκριμένης ενεργειακής τιμής (κόκκινες ευθείες), αποτελεί την επιτρεπτή περιοχή κίνησης. Προσδιορίζουμε τα όρια της κίνησης από την εξίσωση E V( x). Για E Emin η σχεδίαση του δυναμικού (Σχήμα 3-16) μας δείχνει ότι η παραπάνω εξίσωση μας δίνει πάντα δύο λύσεις (εκτός της ειδικής περίπτωσης E V( x) ) και η ανισότητα (3.38) ισχύει μεταξύ των δύο αυτών λύσεων. Έχουμε λοιπόν πάντα περατωμένες (περιοδικές) κινήσεις με xmin x xmax και περίοδο που δίνεται από τη σχέση (3.39). Βρίσκουμε Για E. x , x , T = min Για E. x , x , T = min max max [Μ] Με το Mathematica μπορούμε να επιχειρήσουμε να επιλύσουμε άμεσα την ανίσωση (3.38) με την χρήση της εντολής Reduce, π.χ. για το παραπάνω παράδειγμα με Ε=., In[]:= Reduce[energy-V>=,x] Out[] := <=x<= Σχόλιο. Ο υπολογισμός της περιόδου για Ε=. με το Mathematica μας δίνει In[]:= energy=.; sol=nsolve[v-energy==,x] T=*NIntegrate[(*(energy-V))^(-1/),{x,x/.sol[[1]],x/.sol[[4]]}] Out[]= {{x-> },{x-> I},{x-> I},{x->1.3516}} Out[]= *1^-1 I Σημείωση. Το πολύ μικρό φανταστικό μέρος ( i) προκύπτει λόγω αριθμητικών λαθών κατά την ολοκλήρωση της (3.39). Στα όρια της κίνησης το υπόριζο E V μηδενίζεται. Όμως ένα μικρό λάθος στον αριθμητικό υπολογισμό των x min και x max μπορεί να δώσει αρνητικές τιμές για το υπόριζο και συνεπώς να προκύψουν μιγαδικές τιμές με πολύ μικρό φανταστικό μέρος. Στο Mathematica μπορούμε να διώξουμε το αριθμητικό σφάλμα με την εντολή Chop, η οποία αντικαθιστά με μηδέν τις πολύ μικρές ποσότητες σε μια παράσταση. Γενικότερα, μπορούμε να αποφύγουμε την έξοδο μιγαδικών τιμών κατά τον υπολογισμό της (3.39) ολοκληρώνοντας στο διάστημα [x min +δx, x max +δx]. Το δx πρέπει να είναι μια μικρή ποσότητα, της τάξης του λάθους του αριθμητικού προσδιορισμού των x min και x max και η μικρότερη δυνατή ώστε να εξασφαλίζεται ότι E-V(x) στο παραπάνω διάστημα. [C]. Για τον αριθμητικό υπολογισμό του ολοκληρώματος (3.39) δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η απλή μέθοδος του τραπεζίου ή οι κλασικές μέθοδοι Simpson. Οι μέθοδοι αυτές χρησιμοποιούν τις τιμές της υπό ολοκλήρωσης συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος (κλειστοί τύποι) όπου η συνάρτησή μας πάντα απειρίζεται. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μεθόδους ανοιχτού τύπου (Newton-Cotes). Π.χ. έστω η Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 65

18 συνάρτηση f=f(x), axb. Θεωρούμε Ν διαμερίσεις του διαστήματος [a,b] με βήμα h=(b-a)/n. Το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο δοθέν διάστημα μπορεί να προσεγγιστεί από τη σχέση b ( ) ( 4 1) ( 6 ) ( 8 3) ( 4 ( 5)... a (3.41) I f x dx h f x f x f x f x f x f ( xn 5) f ( xn 4) f ( x 8 N 3) f ( x 6 N ) f ( x 4 N 1)) Όπου x k =x +kh, x =a, x N =b. Η παραπάνω ολοκλήρωση υλοποιείται με την συνάρτηση IntegrateNC( ) που παρουσιάζεται παρακάτω. double IntegrateNC(double a, double b, int N) { double h = (b - a) / N; double x = a, sum; sum = 55.*f(x + h) / 4 - f(x + * h) / *f(x + 3 * h) / 8; for (int k = 4; k <= N - 4; k++) sum += f(x + k*h); sum += 11.*f(x+(N-3)*h)/8 - f(x+(n-)*h)/ *f(x+(N-1)*h)/4; return h*sum; } Παράδειγμα 3. (συνέχεια). Θα υπολογίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων στο δυναμικό Yukawa (a=b=1, c=1/) για ενέργεια Ε=. Αρχικά βρίσκουμε τα όρια της κίνησης επιλύοντας την εξίσωση 1/ 4 1 x E V ( x) e x x Για την λύση της παραπάνω εξίσωσης εφαρμόζουμε τη μέθοδο Newton-Raphson χρησιμοποιώντας τον κώδικα codenr1.c 1 με συναρτήσεις τις x x x 1 e 1 e e f, df 3 4x x x x x Από το Σχήμα 3-14 παρατηρούμε ότι το δυναμικό έχει μηδενική τιμή στα σημεία x1.4 και x.1. Τις τιμές αυτές τις χρησιμοποιούμε ως πρώτες προσεγγίσεις των ζητούμενων ριζών. Βρίσκουμε x , x Για τον υπολογισμό της περιόδου υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα x x1 1/ 1/ 4 1 x T e dx x x Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση IntegrateNC( )και για διάφορες διαμερίσεις Ν βρίσκουμε τα εξής αποτελέσματα N T NIntegrate Σχήμα Χρονική εξέλιξη της μεταβλητής x=x(t) για το δυναμικό Yukawa (παράδειγμα 3). H εξέλιξη έχει περίοδο T Ο κώδικας codenr1.c είναι διαθέσιμος στην ιστοσελίδα του παρόντος συγγράμματος (κεφάλαιο ) στον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων ( Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 66

19 Σημείωση Η NIntegrate χρησιμοποιεί καταλληλότερες αριθμητικές μεθόδους ώστε να αντιμετωπίζει καλύτερα τις ανωμαλίες στο διάστημα ολοκλήρωσης. Έτσι στον παραπάνω πίνακα η πιο ακριβής τιμή της περιόδου είναι αυτή που μας δίνει η NIntegrate. 4 Παράδειγμα 4. Το δυναμικό V x έχει ένα ελάχιστο (σημείο ισορροπίας) το x1 σε ενέργεια Ε=, η οποία είναι η μικρότερη ενέργεια για να έχουμε τροχιές. Ο δείκτης ευστάθειας έχει τιμή k και συνεπώς έχουμε κρίσιμη γραμμική ευστάθεια. Η ανίσωση E V( x) ισχύει πάντα μεταξύ δύο ορίων, x1x x, 1/ 4 1/ 4 όπου x1 E και x E. Συνεπώς οι τροχιές είναι περιοδικές και μια τροχιά που ξεκινάει κοντά στο σημείο ισορροπίας παραμένει για πάντα κοντά σε αυτό. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι το σημείο ισορροπίας 3 x είναι ευσταθές. Αν αναπτύξουμε την αντίστοιχη συνάρτηση δύναμης f 4x γύρω από το μηδέν 1 παίρνουμε την ίδια την συνάρτηση f και συνεπώς η εξίσωση της κίνησης κοντά ή μακριά από το x1 θα δίνεται από τη διαφορική εξίσωση 3 x 4x με λύσεις που εκφράζονται με ελλειπτικές συναρτήσεις Jacobi. Σχήμα Το δυναμικό V=x 4 και οι στάθμες ενέργειας Ε=.1 και Ε=1. Δεξιά παρουσιάζονται οι ταλαντώσεις που αντιστοιχούν στις δύο στάθμες ενέργειας (περίοδοι και , αντίστοιχα). Σχόλιο. Η σχέση Ενέργειας Περιόδου σε ένα μη-γραμμικό δυναμικό μπορεί να εκτιμηθεί υπολογιστικά αν βρούμε την περίοδο T για ένα σύνολο τιμών ενέργειας στο διάστημα [E min, E max ] και με βήμα ΔΕ. Για την κάθε ενέργεια εντοπίζουμε τα όρια της κίνησης χρησιμοποιώντας ως αρχικές εκτιμήσεις τα όρια που βρέθηκαν στην προηγούμενη τιμή ενέργειας. Φυσικά θα πρέπει να εκτιμήσουμε μια προσέγγιση για τα όρια στο πρώτο βήμα του αλγορίθμου με ενέργεια E min. Επίσης για τον υπολογισμό της περιόδου ολοκληρώνουμε στο διάστημα [x 1 +δx, x +δx], για να αποφύγουμε μιγαδικά αποτελέσματα με μικρό φανταστικό μέρος (βλ. τις παρατηρήσεις που έγιναν παραπάνω). Μια εφαρμογή του αλγορίθμου σε Mathematica για το δυναμικό V=x 4 παρουσιάζεται στο κώδικα που δίνεται στο σχήμα που ακολουθεί Σχήμα Η περίοδος ως συνάρτηση της ενέργειας για το δυναμικό V=x 4. (κώδικας Mathematica και αποτέλεσμα). Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 67

20 Σημείωση. Φυσικά στο συγκεκριμένο δυναμικό τα όρια της κίνησης είναι γνωστά ως συνάρτηση της ενέργειας και δεν απαιτείται ο αριθμητικός τους υπολογισμός. Μάλιστα το ολοκλήρωμα (3.39) μπορεί να υπολογιστεί και αυτό αναλυτικά με την χρήση της ειδικής συνάρτησης Γ(x). () T E () 5 4 1/ Φασικά διαγράμματα Η δυναμική του συστήματος (3.5) χαρακτηρίζεται από τροχιές με διαφορετικά ποιοτικά χαρακτηριστικά. Ένα φασικό διάγραμμα θεωρείται πλήρες εφόσον περιέχει μια τουλάχιστον τροχιά για κάθε περίπτωση που χαρακτηρίζεται ποιοτικά από διαφορετική εξέλιξη. Αυτό επιτυγχάνεται με σωστή επιλογή ενός συνόλου τιμών ενέργειας για τις τροχιές E n { E1, E,..., En}, η οποία μπορεί να στηριχθεί στους παρακάτω κανόνες 1. Υπολογίζουμε τα σημεία ισορροπίας, την ευστάθειά τους καθώς και την τιμή της ενέργειας (δυναμικού) στο οποίο αντιστοιχούν. Κοντά στα ευσταθή σημεία ισορροπίας θα έχουμε κλειστές φασικές καμπύλες όπως σε έναν αρμονικό ταλαντωτή (βλ. Σχήμα 3-3(β)). Κοντά στα ασταθή σημεία ισορροπίας θα έχουμε μια εικόνα όπως αυτήν του υπερβολικού συστήματος (βλ. Σχήμα 3-4(β)). Οι ασύμπτωτες θα παρουσιάζονται τώρα εν γένει καμπυλωμένες αλλά θα εφάπτονται στο σημείο ισορροπίας στις ασύμπτωτες ευθείες του γραμμικού συστήματος (δες 4.4).. Στην ενέργεια Ε ο των ευσταθών σημείων ισορροπίας προσθέτουμε μια μικρή τιμή δε> διότι στην τιμή Ε ο δεν αντιστοιχεί φασική τροχιά αλλά ένα μόνο σημείο. Στην τιμή Ε ο + δε θα πρέπει να αντιστοιχεί μια έλλειψη γύρω και πολύ κοντά στο σημείο ισορροπίας. Στην ενέργεια Ε x του ασταθούς σημείου ισορροπίας αντιστοιχούν οι ασύμπτωτες. 3. Στο σύνολο Ε n συμπεριλαμβάνουμε τουλάχιστον από μια τιμή ενέργειας μεταξύ αυτών των σημείων ισορροπίας. 4. Δεν υπάρχει περιορισμός στο πόσο μεγάλη θα είναι η τιμή της ενέργειας. Όσο αυξάνει η τιμή της τόσο αυξάνονται οι ταχύτητες y στη φασική τροχιά. Μπορούμε να επιλέξουμε μια μόνο τιμή ενέργειας πάνω από το υψηλότερο τοπικό μέγιστο του δυναμικού. Όλες οι άλλες τροχιές με μεγαλύτερες ενέργειες είναι ποιοτικά ισοδύναμες. Αν το δυναμικό παρουσιάζει ολικό ελάχιστο θα πρέπει να θεωρήσουμε ενέργειες E Vmin. Αν δεν υπάρχει ολικό ελάχιστο τότε επιλέγουμε μια τιμή ενέργειας χαμηλότερη από αυτήν του χαμηλότερου τοπικού ελάχιστου. Για μικρότερες ενέργειες θα πάρουμε ποιοτικά ισοδύναμες τροχιές. Η φασική καμπύλη που αντιστοιχεί στην ενέργεια Ε x ενός ασταθούς σημείου ισορροπίας, ονομάζεται και διαχωριστική καμπύλη (separatrix), η οποία διαχωρίζει το επίπεδο xy του χώρου φάσεων σε περιοχές όπου οι τροχιές έχουν διαφορετικά ποιοτικά χαρακτηριστικά. Η διαχωριστική καμπύλη αποτελεί την σπονδυλική στήλη του διαγράμματος φάσεων. Η σχεδίαση των φασικών καμπύλων μπορεί να γίνει για κάθε τιμή ενέργειας E i Ε n αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (3.8). Είναι βέβαια πιο εύχρηστο να σχεδιάσουμε άμεσα τις ισοενεργειακές καμπύλες 1 y V ( x) E i χρησιμοποιώντας την ContourPlot του Mathematica όπως την περιγράψαμε στην Επίσης, η σχεδίαση και του διανυσματικού πεδίου συμπληρώνει το φασικό διάγραμμα δείχνοντας την φορά ροής των φασικών καμπύλων. Παράδειγμα 5. Ένα μοντέλο που περιγράφει τις ιδιο-ταλαντώσεις του τυμπάνου του αυτιού περιγράφεται από την εξίσωση x x ax (3.4) Η εξίσωση (3.4) περιγράφει σωστά το φυσικό σύστημα μόνο στην περιοχή γύρω από το x. Όμως στη συνέχεια θα μελετήσουμε τη δυναμική του σε όλο το διάστημα τιμών του x. Το δυναμικό του συστήματος είναι το Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 68

21 3 x x V a 3 (3.43) και τα σημεία ισορροπίας τα 1 x1 ( k 1, ασταθες), x ( k 1, ευσταθες) Για a 1/ 4 το δυναμικό παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα μαζί με κάποια ενδεικτικά επίπεδα ενέργειας. Σχήμα 3-. Δυναμικό και ισοενεργειακές στάθμες για το δυναμικό του παραδείγματος 5. Το ευσταθές σημείο ισορροπίας (τοπικό ελάχιστο) έχει ενέργεια Ε ο = και το ασταθές Ε x =8/3 (τοπικό μέγιστο). Οι τιμές ενέργειες που περιλαμβάνονται στο παραπάνω σχήμα αντιστοιχούν σε διαφορετικές ποιοτικά τροχιές (διαφορετικά όρια κίνησης) όπως παρουσιάζονται στο Σχήμα 3-1. Σχήμα 3-1. Φασικές τροχιές για το σύστημα του παραδείγματος 5 για ενέργειες α) Ε=-, β) Ε=1, γ) Ε=8/3 δ) Ε=4 (δες κείμενο). Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 69

22 (α) Ε=. Για Ε< έχουμε ανοιχτές φασικές καμπύλες, οι οποίες μοιάζουν με υπερβολές, στα αριστερά του διαγράμματος ( xxmax ). (β) Ε=1. Για ενέργειες Eo E Exαντιστοιχούν δύο φασικές καμπύλες : Υπερβολές στα αριστερά, όπως στην περίπτωση (α) και κλειστές φασικές τροχιές με xmin x xmax, διάστημα που οριοθετείται μέσα στην κοιλάδα του δυναμικού. Στην περίπτωση αυτή, οι αρχικές συνθήκες ( x, y) υποδεικνύουν την φασική καμπύλη κατά την οποία θα εξελιχθεί το σύστημα. (γ) Ε=Ε x. Στην τιμή αυτή αντιστοιχεί η διαχωριστική καμπύλη, η οποία σχηματίζει ένα βρόγχο δεξιά του ασταθούς σημείου ισορροπίας. Είναι x xs, όπου xs, το σημείο στο οποίο η καμπύλη τέμνει τον άξονα Οx. Παρατηρούμε ότι η διαχωριστική καμπύλη χωρίζει το επίπεδο Oxy σε τρεις διαφορετικές περιοχές Α,Β και Γ. (δ) Ε=4. Και πάλι έχουμε ανοιχτές φασικές τροχιές που περιορίζονται από τα δεξιά ( x xmax ) όπου τώρα xmax x s. Σημείωση. Για τη σχεδίαση μιας συγκεκριμένης φασικής καμπύλης y / V( x) Ei ή πολλών, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και την εντολή ContourPlot του Mathematica (δες.1.). Χρησιμοποιώντας το σύνολο ενεργειακών σταθμών n {,.1,.5,1.5,.,. 66,4,5} παίρνουμε το παρακάτω φασικό διάγραμμα μαζί με το διανυσματικό πεδίο του συστήματος. Σχήμα 3-. Tο φασικό διάγραμμα του συστήματος (3.4) με a=1/4. Στην περιοχή Α όλες οι τροχιές είναι ανοιχτές και πάντα είναι x x1. Ανοιχτές είναι και οι τροχιές της περιοχής Β αλλά φτάνουν μέχρι μια τιμή xmax x. Η περιοχή Γ αποτελείται από κλειστές φασικές καμπύλες. Για αρχικές συνθήκες ( x, yo ) η εξέλιξη θα είναι περατωμένη και περιοδική. Υπολογίζουμε την περίοδο των τροχιών στην περιοχή Γ ως συνάρτηση της ενέργειας στο διάστημα E (, E x ). Υπολογιστικά ακολουθούμε την τεχνική που περιγράψαμε στο παράδειγμα 4, δηλαδή διαμερίζουμε το διάστημα ενεργειών σε Ν τιμές και για κάθε τιμή της ενέργειας υπολογίζουμε την περίοδο από τον τύπο (3.39). Η μεταβολή της Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 7

23 περιόδου με την ενέργεια παρουσιάζεται στο Σχήμα 3-3. Παρατηρούμε ότι για την ενέργεια Ε= του ευσταθούς σημείου ισορροπίας είναι T=π, όπως προκύπτει και από τη γραμμική προσέγγιση (3.4). Επίσης η περίοδος αυξάνεται και απειρίζεται για ενέργεια ίση με αυτήν της διαχωριστικής καμπύλης, όπου η τροχιά γίνεται ασυμπτωτική. Σχήμα 3-3. Η μεταβολή της περιόδου ως προς την ενέργεια για τις περιοδικές τροχιές του συστήματος του ακουστικού τυμπάνου (παράδειγμα 5). Παράδειγμα 6. Για το δυναμικό Lenard-Jones (δες παράδειγμα, 3.3.1) 1 V, 1 6 x x x έχουμε lim V( x) και lim V( x). x x Υπάρχει ένα ελάχιστο, δηλαδή ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας στο x=1 και το οποίο έχει ενέργεια E =-1. Η τιμή αυτή αποτελεί και το ολικό ελάχιστο του δυναμικού και συνεπώς έχουμε τροχιές για E>-1. Από την γραφική παράσταση του δυναμικού διακρίνουμε δύο ποιοτικά διαφορετικές περιπτώσεις -1<E<. Η ανίσωση (3.38) ισχύει σε ένα περατωμένο διάστημα xmin x xmax, όπου lim xmax και συνεπώς οι τροχιές θα είναι περιοδικές και θα αντιστοιχούν σε κλειστές φασικές καμπύλες. E>. Η ανίσωση (3.38) ισχύει στο διάστημα xmin x και συνεπώς οι φασικές τροχιές είναι ανοιχτές από τα δεξιά. E, Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 71

24 Σχήμα 3-4. Το δυναμικό Lenard-Jones και το φασικό του διάγραμμα. Ασκήσεις Άσκηση Βρείτε το δυναμικό, τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους και σχεδιάστε το φασικό διάγραμμα για τα συστήματα x x (i) x x x (ii) x x x (iii) x x x (iv) x 3 Άσκηση Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθεια για το σύστημα 3 x x ax, a R Σχεδιάστε το φασικό διάγραμμα για a 1και a 1. Άσκηση Για τον ταλαντωτή (δυναμικό σε αλυσίδα Fermi-Pasta-Ulam) a br V e ar, a, b b βρείτε το σημείο ισορροπίας, δείξτε ότι είναι ευσταθές και βρείτε την περίοδο των ταλαντώσεων κοντά σε αυτό. 1 Άσκηση Για το σύστημα x, x βρείτε τα όρια της κίνησης και δείξτε ότι όλες οι τροχιές x είναι περατωμένες. Ποια είναι η μικρότερη τιμή ενέργειας για την οποία έχουμε τροχιές. Βρείτε την περίοδο των ταλαντώσεων για Ε=1. 4 x x Άσκηση Για το σύστημα x υπολογίστε τα όρια της κίνησης για ενέργεια Ε=1/. Για αυτήν την 3 τιμή ενέργειας και για την αρχική θέση x()=1 βρείτε την ελάχιστη ταχύτητα για την οποία οι τροχιές δεν είναι περατωμένες Άσκηση Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθεια τους για το σύστημα τη διαχωριστική καμπύλη και υπολογίστε σε ποιο σημείο τέμνει τον άξονα Ox. x 1 ln( x ) Σχεδιάστε Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 7

25 3 Άσκηση Για το σύστημα x x x x α) Εντοπίστε και σχεδιάστε τις διαχωριστικές καμπύλες του συστήματος. β) Εντοπίστε τον αριθμό των περιοχιών στο χώρο φάσεων με διαφορετικά χαρακτηριστικά κίνησης γ) Υπολογίστε το διάστημα ενεργειών E E E για το οποίο έχουμε περατωμένες τροχιές. 1 Άσκηση Για το σύστημα xarctan( x) σχεδιάστε το δυναμικό και υπολογίστε αριθμητικά την περίοδο των τροχιών ως συνάρτηση της ενέργειας. Άσκηση Για το σκληρό ελατήριο x (1 a x ) x βρείτε αναλυτικά την περίοδο των μικρών ταλαντώσεων και υπολογίστε αριθμητικά την περίοδο των ταλαντώσεων ως συνάρτηση του πλάτους της ταλάντωσης (θέστε a=1). 3.4 Το απλό εκκρεμές Το μαθηματικό εκκρεμές ή απλά εκκρεμές (pendulum) αναφέρεται στο σύστημα με διαφορική εξίσωση της μορφής sin (3.44) όπου θ εκφράζει γωνία (θmodπ) και σταθερή παράμετρος. Το σύστημα (3.44) συνδέεται συνήθως με την περιγραφή του απλού εκκρεμούς για το οποίο g/ l, όπου l το φυσικό μήκος του εκκρεμούς και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Σχήμα 3-5. Το απλό εκκρεμές. Το σύστημα έχει αναλυτική λύση () t η οποία όμως δεν δίνεται με συνήθεις συναρτήσεις (δες 3.1.1). Θα μελετήσουμε την (3.44) με βάση την αναλυτική λύση παρακάτω αφού πρώτα προβούμε σε μια ποιοτική μελέτη της δυναμικής του Σημεία ισορροπίας - φασικό διάγραμμα Το σύστημα το απλού εκκρεμούς που αποτελείται από ένα σώμα μάζας m και μια αβαρή ράβδο μήκους l είναι ένα μηχανικό σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας με γενικευμένη συντεταγμένη την γωνία θ και με δυναμική και κινητική ενέργεια: 1 T ml, V mgz mgl cos (3.45) Έτσι θα έχουμε την συνάρτηση Lagrange L T V από την οποία προκύπτει άμεσα η διαφορική εξίσωση (3.44) καθώς και το ολοκλήρωμα της ενέργειας 1 E T V ml mgl cos Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 73

26 ή, σε κατάλληλες μονάδες, 1 E cos (3.46) Τα σημεία ισορροπίας προκύπτουν από την εξίσωση sinθ= (μηδενισμός συνισταμένης δύναμης ή ακρότατο δυναμικού) δηλαδή k k, k. Η δεύτερη παράγωγος του δυναμικού είναι V '' d V / d cos οπότε και έχουμε,, 4,... V '' ευσταθεια 4 1, 3 3, 5 5,... V '' ασταθεια Το δυναμικό καθώς και το φασικό διάγραμμα του συστήματος παρουσιάζονται στο Σχήμα 3-6. Σχήμα 3-6. Το δυναμικό και το φασικό διάγραμμα του απλού εκκρεμούς. Παρατηρούμε ότι η διαφορική εξίσωση (3.44) παραμένει αναλλοίωτη κάτω από την παράλληλη μετατόπιση k, k Z και άρα το σύστημα μπορεί να μελετηθεί στο διάστημα ή. Το φασικό διάγραμμα, λοιπόν, και η δυναμική του συστήματος συνοψίζονται στο Σχήμα 3-7 για τα δύο παραπάνω διαστήματα. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 74

27 Σχήμα 3-7. Το φασικό διάγραμμα του εκκρεμούς είτε για π θ π ή για θπ. Στο Σχήμα 3-7 διακρίνουμε τρεις περιοχές για το φασικό διάγραμμα, οι οποίες αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικούς τύπους κινήσεων (περιοχές Α,Β και Γ). Οι περιοχές αυτές οριοθετούνται από την διαχωριστική φασική καμπύλη (separatrix), η οποία διέρχεται από το ασταθές σημείο ισορροπίας (ή, ισοδύναμα) και αποτελείται από τις ευσταθείς και ασταθείς ασύμπτωτες καμπύλες (ή, αλλιώς ασύμπτωτες πολλαπλότητες). Η τιμή ενέργειας Ε S στην οποία αντιστοιχεί η διαχωριστική φασική καμπύλη είναι αυτή του ασταθούς σημείου ισορροπίας ( 1, 1) (,). Έτσι από την (3.46) παίρνουμε ES cos (3.47) Οι τροχιές που αντιστοιχούν σε ενέργεια Ε<Ε S (περιοχή Γ) βρίσκονται εντός της διαχωριστικής καμπύλης, περιβάλλουν το ευσταθές σημείο ισορροπίας και αντιστοιχούν σε περιοδικές ταλαντώσεις με. Μια τέτοια είδους κίνηση ονομάζεται λίκνιση (libration) για την οποία έχουμε min max E max min arccos, E E S. (3.48) Το εύρος των ταλαντώσεων είναι arccos E / (3.49) max min Επίσης η μέγιστη διαφορά στην κυκλική ταχύτητα (για την ίδια ενέργεια) είναι αυτή που σημειώνεται πάνω στη διαχωριστική καμπύλη, δηλαδή S max 1 ES max cos max S 4 (3.5) Για ενέργεια Ε>Ε S η γωνία θ αυξάνει συνεχώς κατά απόλυτη τιμή και η κίνηση ονομάζεται περιστροφή (rotation) σε αντιστοιχία με την περιστροφική κίνηση του απλού εκκρεμούς. Στην περιοχή A είναι (αριστερόστροφη περιστροφή) και στην B είναι (δεξιόστροφη περιστροφή). Για Ε=Ε S έχουμε την κίνηση που αντιστοιχεί στην διαχωριστική καμπύλη και η οποία είναι ασυμπτωτική από και προς το ασταθές σημείο ισορροπίας, δηλαδή lim ( t) (για ) η lim ( t) (για ). t t Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 75

28 Σχήμα 3-8. H χρονική εξέλιξη της γωνίας του εκκρεμούς για διάφορες τιμές ενέργειας. Κινούμενη εικόνα 3-1. Λίκνιση του εκκρεμούς. H κινούμενη εικόνα Pendulum_Libration.gif είναι διαθέσιμη στην ιστοσελίδα του παρόντος συγγράμματος/κεφαλαίου στον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων ( Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 76

29 Κινούμενη εικόνα 3-3. Σχεδόν ασυμπτωτική κίνηση του εκκρεμούς (πολύ κοντά στη διαχωριστική καμπύλη). Κινούμενη εικόνα Περιστροφή του εκκρεμούς. Από το ολοκλήρωμα της ενέργειας (3.46) έχουμε ότι το χρονικό διάστημα για μια μετατόπιση από την θ 1 στη θ θα είναι d t 1 (3.51) 1 ( E cos ) Η περίοδος Τ των λικνίσεων προκύπτει για Ε<Ε S και για θ 1 =θ min, θ =θ max. Λόγω της συμμετρίας των λικνίσεων θα έχουμε max d T 4 ( E cos ) (3.5) H περίοδος της περιστροφής προκύπτει από την (3.51) για Ε>Ε S και θ 1 =-π, θ =π. Φυσικά για Ε=Ε S έχουμε ασυμπτωτική κίνηση από ή προς το ασταθές σημείο ισορροπίας και η περίοδος απειρίζεται. 3 H κινούμενη εικόνα Pendulum_Separatrix.gif είναι διαθέσιμη στην ιστοσελίδα του παρόντος συγγράμματος/κεφαλαίου στον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων ( 4 H κινούμενη εικόνα Pendulum_Rotation.gif είναι διαθέσιμη στην ιστοσελίδα του παρόντος συγγράμματος/κεφαλαίου στον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων ( Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 77

30 Σχήμα 3-9. Η περίοδος Τ των λικνίσεων (Ε<1) και των περιστροφών (Ε>1) για ω = Σειρά Taylor και προσεγγίσεις Την κίνηση του συστήματος σε ένα μικρό διάστημα γύρω από κάποια γωνία θ=θ, μπορούμε να τη μελετήσουμε αναπτύσσοντας το δεύτερο μέλος της διαφορικής εξίσωσης (3.44) σε σειρά Taylor και διατηρώντας έναν πεπερασμένο αριθμό όρων μέχρι κάποιας τάξης. Έχουμε 1 1 sin sin 3 4 ( )cos ( ) sin ( ) cos O ( ) (3.53) 6 Κοντά στο ευσταθές σημείο ισορροπίας έχουμε μικρές ταλαντώσεις με min max, όπου τα όρια δίνονται από τη σχέση (3.48). Αν θεωρήσουμε για αυτές τις ταλαντώσεις σημαντικό μόνο τον όρο 1 ης τάξης ως προς το η διαφορική εξίσωση (3.44) γίνεται ο αρμονικός ταλαντωτής. (3.54) με δυναμικό 1 V (3.55) Γύρω λοιπόν από το θα έχουμε σχεδόν αρμονικές ταλαντώσεις με περίοδο T (3.56) Παρόμοια για το ασταθές σημείο ισορροπίας θ=θ =π βρίσκουμε την εξίσωση (3.57) που αποτελεί το υπερβολικό (απωστικό) σύστημα (3.15). Στην περίπτωση όμως αυτή η γραμμική προσέγγιση ισχύει μόνο για t<t αφού όλες της οι τροχιές είναι ανοιχτές και το δεν είναι πλέον μικρό. Θεωρώντας την περιοχή των λικνίσεων γύρω από το ευσταθές σημείο ισορροπίας θ = και κρατώντας στη σειρά (3.53) και τους μη γραμμικούς όρους 3 ης τάξης παίρνουμε το προσεγγιστικό σύστημα 3. (3.58) 6 Το παραπάνω δεν λύνεται με γνωστές συναρτήσεις. Στην (3.58) αντιστοιχεί το δυναμικό V1 (3.59) 4 Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 78

31 Σχήμα 3-3. (α) Το δυναμικό V του εκκρεμούς και οι προσεγγίσεις του (β) Η ταλάντωση που προκύπτει για τα τρία δυναμικά με αρχικές συνθήκες θ()=π, dθ/dt()=. Μια προσεγγιστική λύση για το θ(t) προκύπτει όπως περιγράφουμε στη συνέχεια. Αναπτύσσουμε τη λύση θ(t), με αρχικές συνθήκες θ()=θ και () p, σε σειρά γύρω από το (θ,p ) μέχρι όρους 3 ης τάξης (3) () () 3 4 ( t) pt t t O( t ) (3.6) 6 Αντικαθιστώντας την λύση (3.6) στην εξίσωση (3.58) παίρνουμε 3 (3) () p p t O( t ) (3.61) 6 Για να ισχύει η παραπάνω σχέση για κάθε t θα πρέπει 3 (3) () και p p 6 δηλαδή (3) p () ( 6) και ( ) (3.6) 6 Αντικαθιστώντας τις (3.6) στην (3.6) παίρνουμε την προσεγγιστική λύση για τις αρχικές συνθήκες θ()=θ και () p p 3 4 ( t) pt ( 6) t ( ) t O( t ) (3.63) 1 1 Είναι προφανές ότι η λύση (3.63) είναι έγκυρη μόνο για ένα μικρό χρονικό διάστημα t 1 (αρκετά μικρότερο της περιόδου) και δεν μας δίνει πληροφορίες για την ταλάντωση του εκκρεμούς. Σχόλιο. Μπορούμε να εφαρμόσουμε την λύση (3.63) (και την παράγωγό της) για ένα μικρό βήμα δt. Το αποτέλεσμα που προκύπτει το χρησιμοποιούμε ως αρχική συνθήκη για να εκτελέσουμε ένα επόμενο βήμα δt. Μια τέτοια μέθοδος ολοκλήρωσης του συστήματος είναι γνωστή ως ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων με σειρές Taylor. Η (3.63) έχει αναπτυχθεί μέχρι όρους 4 ης τάξης και δίνει ένα λάθος O(δt 4 ). Θα μπορούσε όμως να έχουμε ανάπτυγμα Taylor με μεγαλύτερα αναπτύγματα και να πάρουμε πολύ ακριβείς αριθμητικές λύσεις Η Αναλυτική λύση του εκκρεμούς Έστω οι αρχικές συνθήκες (), () (3.64) με ενέργεια E cos Χρησιμοποιώντας την σχέση max max E max. Από το ολοκλήρωμα της ενέργειας θα έχουμε cos (cos cos ) cos 1 sin ( / ) παίρνουμε max 4 sin sin (3.65) Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 79

32 Θέτουμε max k sin (3.66) και χρησιμοποιούμε τη νέα μεταβλητή φ, που ορίζεται από την σχέση k sin sin, (3.67) sin( / ) Σημειώνουμε ότι 1 1 και συνεπώς ο μετασχηματισμός (3.67) είναι έγκυρος. Επίσης είναι sin( / ) και η (3.65) γράφεται max max sin sin k k sin k cos k cos (3.68) Παραγωγίζοντας την (3.67) έχουμε 1 kcos kcos cos d cos k d d d d cos( / ) 1 sin ( / ) d k cos 1 k sin d (3.69) d Η (3.68) γίνεται (1 k sin ) ( t t) 1 k sin. Για t = έχουμε θ= οπότε και φ =. Έτσι τελικά παίρνουμε t u, (3.7) Όπου d u F(, k) (3.71) 1 k sin Η συνάρτηση u F(, k) ονομάζεται ελλειπτικό ολοκλήρωμα 1 ου είδους ή ελλειπτική συνάρτηση του Jacobi. Το όρισμα k ονομάζεται modulo του u και το φ πλάτος της u. Το ολοκλήρωμα (3.71) μπορεί να προσδιοριστεί με την χρήση της συγκλίνουσας σειράς 1 x x x... ( x k sin ) 1 x 4 46 και με τη χρήση των σχέσεων sin d ( cos sin ), sin d (1 8sin sin 4 ), κλπ 3 Αντιστρέφοντας την (3.7) παίρνουμε am( t, k) (3.7) και από την (3.67) έχουμε την λύση των λικνίσεων του εκκρεμούς ( t) arcsin( ksin ), (3.73) όπου max k sin, () max, () Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 8

33 Σχήμα Η χρονική εξέλιξη της βοηθητικής μεταβλητής φ(t) και της γωνίας θ(t) του εκκρεμούς όπως προκύπτουν από τις (3.7) και (3.73), αντίστοιχα, με θ max =π/4. Σημείωση. Οι ελλειπτικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ελλειπτικό ημίτονο και ελλειπτικό συνημίτονο ορίζονται αντίστοιχα ως εξής sn(u,k)=sin(φ), cn(u,k)=cos(φ), όπου am( u, k) Η κίνηση του εκκρεμούς από την γωνία θ= μέχρι την θ=θ max (ή το αντίστροφο) γίνεται σε χρόνο t=t/4 όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης. Από την (3.67) έχουμε την αντιστοιχία, max /, και από την (3.7) προκύπτει T 4 4 (, ) ( ) K k (3.74) όπου η συνάρτηση K(k)=F(π/,k) ονομάζεται πλήρες (complete) ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους και υπολογίζεται με τη βοήθεια της σχέσης / n 135 (n 1) sin d, 46 n n1,,... [M] Η Mathematica δίνει τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (3.44) ως εξής In[1]:= sol=dsolve[θ''[t]+ω^ Sin[θ[t]]==,θ,t] During evaluation of In[1]:= Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so... Out[]= {{θ->function[{t}, JacobiAmplitude[1/ Sqrt[( ω^+c[1]) (t+c[])^],(4 ω^)/( ω^+c[1])]]}} Η συνάρτηση JacobiAmplitude είναι το πλάτος της συνάρτησης Jacobi που ορίσαμε παραπάνω. Η αναλυτική λύση των λικνίσεων (3.73) περιλαμβάνεται στην παραπάνω λύση. Η DSolve δεν μπορεί να λύσει το πρόβλημα αρχικών τιμών () max, (). Το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα K(k) (βλ. σχέση (3.74)) ορίζεται στο Mathematica ως EllipticK[k]. Ασκήσεις Άσκηση Για το απλό εκκρεμές (3.44) με 1/, υπολογίστε την ενέργεια της διαχωριστικής καμπύλης και βρείτε ποιες από τις παρακάτω αρχικές συνθήκες αντιστοιχούν σε λίκνιση και ποιες σε περιστροφή (i) (), () (ii) (), () (iii) (), () (iv) (), () Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 81

34 Βρείτε αριθμητικά τις λύσεις (με την NDSolve ή τον κώδικα RK4 με βήμα Δt=.1) και σχεδιάστε την χρονική εξέλιξη της θ=θ(t), t. Άσκηση Υπολογίστε την περίοδο της ταλάντωσης του εκκρεμούς ( 1) για αρχικές συνθήκες /, καθώς και την περίοδο της περιστροφής του για και αρχική γωνιακή ταχύτητα 5/. Κάντε τον υπολογισμό α) υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα (3.5) αριθμητικά β) χρησιμοποιώντας την αναλυτική σχέση (3.74). Άσκηση Σχεδιάστε την χρονική εξέλιξη της () t του εκκρεμούς ( 1) για αρχικές συνθήκες /, χρησιμοποιώντας α) την αναλυτική λύση (3.73) και β) την αριθμητική λύση με τον κώδικα RK4 και για βήματα ολοκλήρωσης Δt=.1 και.1. Λόγω των αριθμητικών σφαλμάτων, το πλάτος a (δηλαδή το θ max ) και η περίοδος T της ταλάντωσης αλλάζουν. Βρείτε το σφάλμα Δa και ΔΤ στο πλάτος και στην περίοδο αντίστοιχα μετά από ένα μεγάλο χρονικό διάστημα ολοκλήρωσης (π.χ. t 1 ). Άσκηση Δείξτε ότι η λύση του απλού εκκρεμούς (3.44) για την διαχωριστική καμπύλη δίνεται από τη σχέση t 4arctan e tan, () 4 Άσκηση Ένα καλό τεστ για την ακρίβεια των αριθμητικών ολοκληρωτών είναι η λύση που προκύπτει όταν οι αρχικές συνθήκες αναφέρονται σε ένα ασταθές σημείο ισορροπίας. Θεωρήστε την εξίσωση του απλού εκκρεμούς με 1και αρχικές συνθήκες () και (), οι οποίες αντιστοιχούν στην διαχωριστική καμπύλη. Μια σωστή αριθμητική λύση θα πρέπει να προσεγγίζει το ασταθές σημείο ισορροπίας (,) για πολύ χρόνο (χωρίς το υλικό σημείο να επιστρέφει κάνοντας ταλάντωση και ούτε να το ξεπερνάει κάνοντας περιστροφή, δες πχ τις οριακές περιπτώσεις του σχήματος 17). Δοκιμάστε τόσο την NDSolve του Mathematica (για διάφορες παραμέτρους ακρίβειας και διαφορετικές μεθόδους ολοκλήρωσης) καθώς και τον κώδικα RK4 για διάφορα βήματα Δt. Πόσος είναι ο μεγαλύτερος χρόνος προσέγγισης της αστάθειας που επιτύχατε? Με ποια μέθοδο και σε πόσο χρόνο CPU (sec)? Άσκηση Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθεια για το σύστημα g sin ( acos 1), a l Σχεδιάστε το φασικό διάγραμμα για a 1 και a Απωλεστικά συστήματα Στην παράγραφο αυτή θεωρούμε συστήματα που περιγράφονται από εξίσωση x f ( x) bx, b, (3.75) όπου b είναι η σταθερά απόσβεσης, ή ισοδύναμα x y, y f ( x) by. Διαπιστώνουμε εύκολα ότι η απόκλιση του διανυσματικού πεδίου του συστήματος είναι divf b και άρα το (3.75) είναι ένα σύστημα με απώλειες για κάθε συνάρτηση f( x ). Σύμφωνα, λοιπόν, με την 1.4, το εμβαδόν, μιας περιοχής του χώρου φάσεων, DE, θα απεικονίζεται, σε κάθε βήμα δt, σε μια περιοχή D μικρότερου εμβαδού, εμβαδόν το οποίο θα μηδενιστεί καθώς t. Σημείωση. Συστήματα στα οποία η παράμετρος b δεν είναι σταθερά αλλά συνάρτηση της δυναμικής μεταβλητής x, b=b(x), ονομάζονται συστήματα Lienard, και μερικά στοιχεία της δυναμικής τους θα παρουσιάσουμε στο κεφάλαιο Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 8

35 3.5.1 Σημεία ισορροπίας και γραμμική προσέγγιση Τα σημεία ισορροπίας της (3.75), συμπίπτουν με τα σημεία ισορροπίας του διατηρητικού συστήματος x f ( x), δηλαδή είναι τα σημεία (x,) για τα οποία f( x ) Γραμμικοποιώντας την (3.75) γύρω από το (x,), σύμφωνα με τη μέθοδο διαταραχών που περιγράψαμε στην 3.3., θα πάρουμε την εξίσωση df x kx bx, k (3.76) dx x x Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις k<. Θέτοντας k παίρνουμε την εξίσωση (3.19) του αρμονικού ταλαντωτή με απόσβεση. Για μεγάλη απόσβεση ( b ) έχουμε την λύση της μορφής (3.) και οι φασικές καμπύλες παρουσιάζουν την τοπολογία του κόμβου του σχήματος 7α. Για μικρή απόσβεση ( b ) έχουμε την λύση της μορφής (3.1) και οι φασικές καμπύλες παρουσιάζουν την τοπολογία της εστίας του σχήματος 7β. k>. H λύση είναι της μορφής at at x c e c e (3.77) 1 όπου a b b 4k και a b b 4k. Η (3.77) είναι ποιοτικά όμοια με τη λύση (3.16) του υπερβολικού συστήματος και οι φασικές καμπύλες παρουσιάζουν την τοπολογία του σάγματος του σχήματος 3β. Σύμφωνα με το θεώρημα Hartman-Grobman, το οποίο θα αναφέρουμε στο επόμενο κεφάλαιο και τις συνθήκες του οποίου ικανοποιεί το σύστημα (3.75) για b και k, το γραμμικό σύστημα περιγράφει ποιοτικά την συμπεριφορά του μη γραμμικού συστήματος κοντά στα σημεία ισορροπίας. Σχόλιο. Στην ιδιάζουσα περίπτωση όπου k=, το γραμμικό σύστημα παίρνει τη μορφή x y, y by με λύση για αρχικές συνθήκες για x()=x και y()=y την y (1 bt bt x x e ), y ye (3.78) b Η δυναμική μεταβλητή y τείνει ασυμπτωτικά στο ενώ η x στο x +y /b. Απαλείφοντας το χρόνο t, παίρνουμε ως φασικές τροχιές τις ευθείες y x σταθ., (3.79) b oι οποίες αντιστοιχούν σε δύο διακριτές τροχιές, μία για y> και μία για y<. Σχήμα 3-3. Ο φασικός χώρος για το ιδιάζων σύστημα dx/dt=y, dy/dt=by. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 83

36 3.5. Δυναμική εξέλιξη στο χώρο φάσεων Οι φασικές καμπύλες του συστήματος (3.75) ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση (3.7), η οποία γράφεται dy f ( x) b (3.8) dx y Για την παραπάνω διαφορική, οι τεχνικές επίλυσής της είναι περιορισμένες και μπορούν να εφαρμοστούν για συγκεκριμένες συναρτήσεις δύναμης, π.χ. f () x x. Ας θεωρήσουμε το δυναμικό που αντιστοιχεί στο σύστημα για b=, V ( x) f ( x) dx, και την ενέργειά του E y / V( x). Για b η ενέργεια Ε δεν διατηρείται, μάλιστα έχουμε de dv dv yy yx x yx f ( x) y dt dt dx και αντικαθιστώντας το x από την (3.75) βρίσκουμε de by (3.81) dt Η ενέργεια λοιπόν ελαττώνεται όσο έχουμε yx. Ας υποθέσουμε ότι το δυναμικό παρουσιάζει ένα ακρότατο και μάλιστα ελάχιστο (βλ. Σχήμα 3-33). Για το διατηρητικό σύστημα (b=) θα έχουμε περατωμένες κινήσεις μεταξύ των ορίων x 1 και x, τα οποία εξαρτώνται από την τιμή της ενέργειας. Όσο μειώνεται η ενέργεια τόσο μειώνεται και το διάστημα D x x1, το οποίο είναι το πλάτος της ταλάντωση και το οποίο μηδενίζεται όταν E E, όπου E Vmin η ενέργεια που αντιστοιχεί στο σημείο ισορροπίας, όπου y=. Στο απωλεστικό σύστημα, αν ξεκινήσουμε από μια ταλάντωση με ενέργεια Ε, τότε η ενέργεια αυτή θα μειώνεται σύμφωνα με τη σχέση (3.81) και συνεπώς θα μειώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης. Όταν πλησιάσουμε στην ενέργεια του σημείου ισορροπίας η τροχιά θα προσεγγίζεται από τη λύση του γραμμικού συστήματος (3.76) και θα τείνει ασυμπτωτικά προς το σημείο ισορροπίας. Σχήμα Αριστερά, περατωμένες ταλαντώσεις σε ένα δυναμικό που στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Δεξιά, μείωση της ενέργειας λόγω απόσβεσης και ταλαντώσεις μειούμενου πλάτους. Στην περίπτωση που το δυναμικό παρουσιάζει μέγιστο (ασταθές σημείο ισορροπίας) αναφέραμε ότι το φασικό διάγραμμα θα είναι ποιοτικά όμοιο όπως αυτό του υπερβολικού συστήματος. Αποδεικνύεται ότι οι ασύμπτωτες καμπύλες του διατηρητικού συστήματος συνεχίζουν να υπάρχουν και στο απωλεστικό σύστημα. Συνεπώς υπάρχουν λύσεις που τείνουν ασυμπτωτικά προς το σημείο ισορροπίας ή απομακρύνονται από αυτό. Παράδειγμα 1. Έστω το σύστημα (3.3) του σκληρού ελατηρίου στο οποίο εισάγουμε τον όρο της απόσβεσης x ( a x ) x bx,, b, a 1. (3.8) Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 84

37 1 a 4 Για b= το σύστημα έχει δυναμικό το V kx x, το οποίο παρουσιάζει ένα ελάχιστο στο x= (δες 4 Σχήμα 3-9) Συνεπώς στο χώρο φάσεων το σημείο (,) αποτελεί ευσταθές σημείο ισορροπίας. Η γραμμικοποίηση του συστήματος μας δίνει k. Άρα έχουμε τις περιπτώσεις b b k : μεγάλη απόσβεση (ευσταθής κόμβος) k : μικρή απόσβεση (ευσταθής εστία) Δυο τυπικά διαγράμματα του χώρου φάσεων παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα. Οι φασικές καμπύλες προκύπτουν από την αριθμητική λύση του συστήματος. y y ( α ) ( β) x x Σχήμα Το φασικό διάγραμμα του σκληρού ελατηρίου (κ=1, a=1) με απόσβεση, (α) για μικρή απόσβεση b=.5 και (β) για μεγάλη απόσβεση, b=1.5. Παράδειγμα. Έστω το σύστημα 3 x x x bx (3.83) 4 x x Το δυναμικό του διατηρητικού συστήματος V παρουσιάζεται στο Σχήμα 3-13(δεξιά). Έχουμε τρία 4 σημεία ισορροπίας, x1 1(ευσταθές), x (ασταθές) και x3 1 (ευσταθές) όπως φαίνεται άμεσα από τα ακρότατα του δυναμικού. Η ενέργεια στα σημεία ισορροπίας είναι 1/4, και 1/4 αντίστοιχα. Η τιμή 1/4 είναι και το ολικό ελάχιστο του δυναμικού και η μικρότερη επιτρεπτή τιμή ενέργειας. Το φασικό διάγραμμα για το διατηρητικό σύστημα (b=) παρουσιάζεται στο Σχήμα 3-35α. Η διαχωριστική καμπύλη (μωβ) που αντιστοιχεί στο ασταθές σημείο ισορροπίας αποτελείται από ευσταθείς και ασταθείς ασύμπτωτες που ενώνονται ομαλά, αριστερά και δεξιά, και παίρνουν το σχήμα του «8» και χωρίζει το χώρο φάσεων σε τρεις περιοχές. Για ενέργειες 1/ 4 E έχουμε ταλαντώσεις γύρω από ένα από τα δύο ευσταθή σημεία ισορροπίας. Για E έχουμε περατωμένες κινήσεις οι οποίες περνούν και από τα δύο σημεία ισορροπίας. Όταν εισάγουμε τον όρο της απόσβεσης (b>) η ενέργεια μειώνεται και τείνει προς την ελάχιστη τιμή 1/4. Η ταλαντώσεις φθίνουν και το σύστημα καταλήγει σε ένα από τα δύο σημεία ισορροπίας. Το αντίστοιχο φασικό διάγραμμα παρουσιάζεται στο Σχήμα 3-35β. Για την τιμή b=.3, που χρησιμοποιήθηκε, οι φασικές καμπύλες έχουν την μορφή ευσταθούς εστίας κοντά στα σημεία ισορροπίας. Οι ασύμπτωτες που αντιστοιχούν στο ασταθές σημείο ισορροπίας (,) συνεχίζουν να υπάρχουν αλλά δεν ενώνονται πλέον ομαλά. Οι ευσταθείς ασύμπτωτες, που ξεκινούν από το (,), εκτείνονται προς μεγαλύτερες ενέργειες για t. Οι ασταθείς ασύμπτωτες ξεκινούν από το (,) και για t τείνουν, κάθε μια, προς ένα σημείο ευσταθούς ισορροπίας. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 85

38 Σχήμα α) το φασικό διάγραμμα του συστήματος (3.83) για b=. Η μωβ καμπύλη σχήματος «8» είναι η διαχωριστική καμπύλη, που αντιστοιχεί στο ασταθές σημείο (,) β) Τα φασικό διάγραμμα μετά την εισαγωγή απόσβεσης (b=.3). Όλες οι φασικές καμπύλες τείνουν σε ένα από τα δύο σημεία ισορροπίας, όπως και η ασταθείς ασύμπτωτες (κόκκινες καμπύλες). Εξαίρεση αποτελούν οι ευσταθείς πολλαπλότητες (μπλε) που τείνουν στο ασταθές σημείο (,) καθώς t. Σχόλιο. Ένα ερώτημα που μπορούμε να θέσουμε για την δυναμική του συστήματος (3.83) είναι το εξής : Δοθείσας μιας αρχικής συνθήκης x()=x, y()=y, σε ποιο σημείο ισορροπίας, το x 1 =-1 ή το x 3 =1, θα καταλήξει η λύση; Έστω τα σύνολα αρχικών συνθηκών A 1 E και A E, για τα οποία οι τροχιές τείνουν προς το (x 1,) και το (x 3,), αντίστοιχα. Τα σύνολα A 1 και A ονομάζονται λεκάνες έλξης (basins of attraction) των αντίστοιχων σημείων ισορροπίας και για b=.3 παρουσιάζονται στο Σχήμα Το σύνορο μεταξύ των συνόλων A 1 και A είναι οι ευσταθείς ασύμπτωτες του συστήματος, οι οποίες τείνουν στο (,). Σχήμα Οι λεκάνες έλξης των σημείων ισορροπίας (-1,) και (1,) (μπλε και κόκκινη, αντίστοιχα) του απωλεστικού συστήματος (3.83) για b=.3. Ασκήσεις Άσκηση Βρείτε την αναλυτική λύση των φασικών καμπύλων του απωλεστικού συστήματος (3.75) για f () x x, όπου, σταθερές. Άσκηση Γράψτε τη διαφορική εξίσωση (3.75) του απωλεστικού συστήματος Lenard-Jones με 1 δυναμικό V 1 6, x. Προσδιορίστε την κρίσιμη τιμή του συντελεστή απόσβεσης b, βάση της οποίας x x οι απώλειες χαρακτηρίζονται μικρές ή μεγάλες. Σχεδιάστε το φασικό διάγραμμα. Εισαγωγή στα Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα, Βουγιατζής & Μελετλίδου 86

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 219 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα x με ταχύτητα,

Διαβάστε περισσότερα

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα Γωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014

4 Αρμονικές Ταλαντώσεις 1 γενικά 17/9/2014 4 Αρμονικές Ταλαντώσεις γενικά 7/9/4 Περιοδικά φαινόμενα Περιοδικά φαινόμενα Περίοδος Συχνότητα ωνιακή συχνότητα Ταλαντώσεις Απλή αρμονική ταλάντωση Περιοδικό φαινόμενο Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ο Ερώτημα Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α) ( + + ) e d β) + ( + 4)( 5) 5 89 ΘΕΜΑ d Απάντηση α) θέτω u = + +και υ = e, επομένως dυ = e και du = ( + ) d. ( + + ) e d= u dυ =

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων. Φαινομενολογικός ορισμός ταλαντώσεων Μεταβολές σε φυσικά φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από μια κανονική επανάληψη κατά ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό και Πεδίο Συντηρητικών Δυνάμεων}

Κεφάλαιο 6. Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό και Πεδίο Συντηρητικών Δυνάμεων} Κεφάλαιο 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Εννοια του Εργου { Εργο και Κινητική Ενέργεια, Εργο Μεταβλητής Δύναμης, Ισχύς} Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές, ΘΕΜΑ Β ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας

Φυσική (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου. Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Φυσική (Ε) Ενότητα 2: Θεωρία ταλαντώσεων (Συνοπτική περιγραφή) Αικατερίνη Σκουρολιάκου Τμήμα Ενεργειακής Τεχνολογίας Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση 4 5 Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων 25 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

7. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς συστήματος είναι.

7. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Η σταθερά επαναφοράς συστήματος είναι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 6α. Σφαίρα μάζας ισορροπεί δεμένη στο πάνω άκρο κατακόρυφου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση Ένα σώμα εκτελεί απλή

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 02 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 02 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Σελίδα 1 από 5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 02 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ A Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 2ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 2ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σώμα εκτελεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις 1 9 να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις 1 9 να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. ΜΑΘΗΜΑ / Προσανατολισμός / ΤΑΞΗ ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΜΗΜΑ : ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΦΥΣΙΚΗ/ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ) ΘΕΜΑ Α A1. Στις ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 Εκφώνηση άσκησης 6. Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ολική ενέργεια Ε. Χωρίς να αλλάξουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, προσφέρουμε στο σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9.. Για καθεμία από τις ανισότητες Λύσεις πρώτου φυλλαδίου ασκήσεων. x + > 2, x x +, x x+2 > x+3 3x+, (x )(x 3) (x 2) 2 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 ΦΥΣ. 211 2 η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 ΦΥΣ. 211 2 η ΠΡΟΟΔΟΣ 2-Απρίλη-2016 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 20 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέμα Α: (α) Να υπολογίσετε το βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από το κέντρο ευθύγραμμης ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

0,6 m. Οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t 0 με θετική

0,6 m. Οι πηγές ξεκινούν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t 0 με θετική ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗ Άσκηση. ΘΕΜΑ Γ Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές, ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος A 0, m, κάθετα στην ελαστική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Άσκηση 1 Ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας Τ ενός σώματος είναι ανάλογος της διαφοράς της θερμοκρασίας του σώματος και της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος Τπ. α)

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα - ( μονάδες) Ένα όχημα, μαζί με ένα κανόνι που είναι ακλόνητο πάνω σε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1.

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1. Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, (4.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m. Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 015-016 Ν. Βλαχάκης 1. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε κατακόρυφο άξονα x, δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k = mω του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Το σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) ,

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) , Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 45 και επειδή d x x = / = 7.5649 > η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: και ( x ) = ( x x ) = P P, P,.58975,.478 x =.58975 x =.58975 ( x

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI).

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). 1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). Να βρείτε: α. το πλάτος της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. β.

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 1 Μάζα m κινείται στο εσωτερικό επιφάνειας κατακόρυφου κώνου ρ=cz. Το σώμα κινείται μέσα σε ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με g προς τα κάτω. Χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΛΟΓΩ ΔΙΝΩΝ Γ. Σ. ΤΡΙΑΝΤΑΦYΛΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ Διατύπωση των εξισώσεων Θεωρούμε κύλινδρο διαμέτρου D, μήκους l, και μάζας m. Ο κύλινδρος συγκρατειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://wwwstudy4examsgr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα