Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων
|
|
- Καπανεύς Κόρακας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση 4 5 Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων
2 25 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
3 Περιεχόμενα Μη-γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Υπολογισμός Σημείων Ισορροπίας Ανάλυση Διαγράμματος Φάσεων Γραμμικοποίηση Μη-γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων Εκτίμηση Ευστάθειας Σημείου Ισορροπίας Παράδειγμα
4 Πότε ένα δυναμικό σύστημα είναι μη γραμμικό? Μη-γραμμικά Δυναμικά Συστήματα
5 Επανάληψη: Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων Ένα μοντέλο μπορεί να περιγραφεί με δύο είδη Δυναμ. Εξισώσεων. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς τους Βαθμούς Ελευθερίας q q = h q (q, q, f(t)) Σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης Περιγράφουν πως οι Μ εξωτερικές διεγέρσεις f επιδρούν στους Ν βαθμούς ελευθερίας q 2. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς τις Μεταβλητές Κατάστασης x x = h x (x, f(t)) Σύστημα S ΣΔΕ ης τάξης Περιγράφουν πως οι Μ εξωτερικές διεγέρσεις f επιδρούν στις S μεταβλητές κατάστασης x
6 Επανάληψη: Μορφές Δυναμικών Εξισώσεων. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Βαθμούς Ελευθερίας q Γενική μορφή (μη-γραμμικές δυν. εξισώσεις) M(q) q + C(q) q + K(q) q = G(q) f(t) Ειδική περίπτωση (γραμμικές δυν εξισώσεις) M q + C q + K q = G f(t) Τα μητρώα M, C, K, G δεν εξαρτώνται από τους Β.Ε. 2. Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Μεταβλητές Κατάστασης x Γενική μορφή (μη-γραμμικές δυν. εξισώσεις) x = h x (x, f t ) Ειδική περίπτωση (γραμμικές δυν. εξισώσεις) x = Α x + Β f(t)
7 Μη-Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Περιγράφονται από μη-γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις Είτε ως προς τους Β.Ε. q είτε ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ως προς τις Μ.Κ. x. Εδώ, η περιγραφή θα χρησιμοποιήσει κυρίως ΣΔΕ ως προς τις x Εξωτερικές Διεγέρσεις f(t) q = h q (q, q, f(t)) Έξοδοι y(t) Εξωτερικές Διεγέρσεις f(t) Ισοδύναμα x = h x (x, f t ) Έξοδοι y(t)
8 Πηγές μη-γραμμικότητας. Ένα σύστημα περιέχει μη-γραμμικά στοιχεία Η τιμή της παραμέτρου του στοιχείου εξαρτάται από την κατάσταση του Παραδείγματα: Μη γραμμικό ελατήριο: f(x) = k x sign(x) Μη γραμμική πτώση πίεσης σε ακροφύσιο: δp(q) = c O Q Q 2. Ένα μηχανικό σύστημα περιέχει μόνο γραμμικά στοιχεία αλλά λόγω κινητικής διάφοροι όροι στις εξισώσεις Lagrange είναι μη-γραμμικοί Μ q q + C q + Κ q = ξ nonlin (q, q) + ξ grav (q) + G f(t)
9 Ανάλυση Μη-γραμμικών Συστημάτων Τα περισσότερα συστήματα είναι μη-γραμμικα Μπορούν να περιγραφούν από πολύπλοκα μη-γραμμικά μοντέλα Και όμως, πολλές φορές ένα απλό γραμμικό μοντέλο μπορεί να τα αναλύσει ικανοποιητικά Πολύ πιο πολύπλοκη και πλούσια συμπεριφορά συγκριτικά με τα γραμμικά Αντικείμενο για άλλα πιο προηγμένα μαθήματα Συνήθως δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά η απόκριση τους ακόμα και σε απλές διεγέρσεις Εδώ: Βασικά αλλά ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΑ εργαλεία ανάλυσης
10 Πως υπολογίζονται στην γενική περίπτωση Υπολογισμός Σημείων Ισορροπίας
11 Σημεία Ισορροπίας Για την γενική μορφή των δυναμικών εξισώσεων ως προς τις Μ.Κ. x x = h x (x, f(t)) σημείο ισορροπίας (Σ.Ι.) θεωρείται μια σταθερή (χρονικά αμετάβλητη) κατάσταση x όπου μπορεί να καταλήξει το σύστημα για κάποια σταθερή διέγερση f : x = = h x (x, f ) Σημειώσεις: Συνήθως τα Σ.Ι. υπολογίζονται για την περίπτωση f = Ένα μη γραμμικό δυν. σύστημα μπορεί να έχει,, ή παραπάνω από ένα Σ.Ι. Ένα γραμμικό δυν. σύστημα έχει πάντα σημείο ισορροπίας!!
12 Υπολογισμός Σημείων Ισορροπίας Τα σημεία ισορροπίας x (για δεδομένη f ) υπολογίζονται λύνοντας το ακόλουθο μη-γραμμικό σύστημα S εξισώσεων h x x, f h x x, f = = h xs x, f Για συστήματα με λίγες Μ.Κ. οι λύσεις x των παραπάνω S εξισώσεων υπολογίζονται αναλυτικά, αριθμητικά, ή γραφικά Για συστήματα με πολλές Μ.Κ. η επίλυση των παραπάνω S εξισώσεων γίνεται μόνο αριθμητικά και είναι αρκετά δύσκολη
13 Γραφικός Υπολογισμός Σημείων Ισορροπίας Σε συστήματα με S = 2 Μ.Κ. x = x T Ο υπολογισμός των Σ.Ι. x μπορεί να γίνει λύνοντας γραφικά μέσω του διαγράμματος φάσης το εξής σύστημα: h x x, f = h x x,, f = h x2 x,, f = Η μέθοδος αυτή εκτός από τον υπολογισμό των Σ.Ι. x μπορεί να βοηθήσει στην εκτίμηση της ευστάθειας τους (βλέπε παρακάτω).
14 Περιγράφοντας την δυναμική με γραφικό τρόπο Ανάλυση Δυναμικών Εξισώσεων 2 ης Τάξης Μέσω Διαγράμματος Φάσεων
15 Διαγράμματα Φάσεων σε Γραμμικές ΣΔΕ 2 ης Τάξης Μια γραμμική ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς διέγερση έχει ως μοναδικό σημείο ισορροπίας το x =. Αυτό που αλλάζει είναι ο τρόπος απόκρισης γύρω από το x.5 =, = 2.5 =, =.4 5 =, = rad/sec =, = 2 rad/sec =, = 4 rad/sec =.5, =. dy(t)/dt -.5 dy(t)/dt -.5 u(t) -5 dy(t)/dt y(t) y(t) y(t) y(t)
16 Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Μ.Κ. Οι δυναμικές εξισώσεις για ενα γραμμικό σύστημα 2 ης τάξης q + 2 ζ ω q + ω 2 q = f(t) Μια δυνατή επιλογή για Μ.Κ. x είναι x = x x = q 2 q Οι δυναμικές εξισώσεις ως προς τις Μ.Κ. x είναι: d q dt q = ω 2 2 ζ ω q q + f(t) Οπότε ως προς την μορφή x = h x (x, f(t)) οι δύο συναρτήσεις h x είναι: h x (x, f(t)) = q h x2 x, f t = 2 ζ ω q ω 2 q + f(t)
17 Αναλυτικός Υπολογισμός Σημειών Ισορροπίας Το σημείο ισορροπίας x για f = υπολογίζεται θέτωντας h x x, = h x2 x, = ω 2 2 ζ ω q q = To παραπάνω 2 2 γραμμικό σύστημα έχει σαν μοναδική λύση x = q q = Η λύση παριστάνει την αρχή των αξόνων των Μ.Κ., ανεξάρτητα από τις παραμέτρους ζ και ω του συστήματος
18 Γραφικός Υπολογισμός Σημειών Ισορροπίας Λύνοντας την h x x, = ως προς προκύπτει μια ευθεία στο Δ.Φ.: q = Η οποία χωρίζει το επίπεδο των Μ.Κ. σε δύο περιοχές Στην μια h x x, > M.K. q αυξάνεται Στην άλλη h x x, < η M.K. q μειώνεται q > q < * Το σχήμα παρουσιάζει την ένταση h x x, = dq/dt h (x,) η η η x = q
19 Γραφικός Υπολογισμός Σημειών Ισορροπίας Λύνοντας την h x2 x, = ως προς προκύπτει μια ευθεία στο Δ.Φ.: 2 ζ ω q ω 2 q = q = ω 2 ζ q Η οποία χωρίζει το Δ.Φ. σε δύο περιοχές Στην μια h x2 x, > M.K. q αυξάνεται (ζ>) Στην άλλη h x2 x, < 2 η M.K. q μειώνεται (ζ>) q > q < * Το σχήμα παρουσιάζει την ένταση h x2 x, = dq/dt h 2 (x,)= η 2 η η x = q
20 Γραφικός Υπολογισμός Σημειών Ισορροπίας Αναπαριστώντας τις δύο παραπάνω καμπύλες h x x, = και h x2 x, = στο επίπεδο των Μ.Κ. Οι δύο καμπύλες τέμνονται στο μοναδικό Σ.Ι. q = = rad/sec, =.5 q = = dq/dt h (x,) h 2 (x,)= x = q
21 Γραφική Περιγραφή Απόκρισης Αναπαριστώντας τις δύο παραπάνω καμπύλες h x x, = και h x2 x, = στο επίπεδο των Μ.Κ. προκύπτουν τέσσερεις περιοχές που περιγράφουν την απόκριση = rad/sec, =.5 Η απόκριση x(t) στο Δ.Φ. εφάπτεται του διανυσματικού πεδίου h x x, = dq/dt h (x,) h 2 (x,)= Απόκριση σε αρχικές συνθήκες (f =, x =.9, x = ) σε σύστημα 2 ης τάξης x = q
22 Διαγράμματα Φάσεων σε Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Απόκριση ευσταθών γραμμικών συστημάτων 2 ης τάξης (ζ > ): = rad/sec, = 2 = rad/sec, =.5 h 2 (x,)= = dq/dt.5 h 2 (x,)= h (x,) = dq/dt.5 h (x,) x = q x = q
23 Διαγράμματα Φάσεων σε Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Απόκριση γραμμικών συστημάτων 2 ης χωρίς απόσβεση (ζ = ):.5 = rad/sec, = h 2 (x,)= = dq/dt -.5 h (x,) x = q
24 Διαγράμματα Φάσεων σε Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Απόκριση ασταθών γραμμικών συστημάτων 2 ης τάξης (ζ < ) : = rad/sec, = -.5 h 2 (x,)= = rad/sec, = -2 = dq/dt.5 h (x,) = dq/dt.5 h (x,) h 2 (x,)= x = q x = q
25 Διαγράμματα Φάσεων σε Μη-Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Σε μη-γραμμικά συστήματα Οι συναρτήσεις h xi x, f δεν είναι γραμμικές. Τα συστήματα έχουν πολύ μεγαλύτερη ποικιλία συμπεριφορών σε σύγκριση με τα γραμμικά Οι καμπύλες h xi x, = δεν είναι αναγκαστικά ευθείες Μπορούν να έχουν,, ή > σημεία ισορροπίας
26 Παράδειγμα Ανάλυσης Διαγράμματος Φάσεων σε Μη-Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης Κίνηση εκρεμούς (μη-γραμμικό σύστημα 2 ης τάξης) m L 2 θ + c T θ + m g L sin(θ) = τ(t) Μη-γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις ως προς Μ.Κ. x = θ θ T : d θ dt θ = h x x, f θ = h x2 x, f c T m L 2 θ g L sin(θ) + m L 2 τ(t)
27 Διάγραμμα φάσεων στην περίπτωση = και τ = c T m L 2 = g L Παράδειγμα Ανάλυσης Διαγράμματος Φάσεων σε Μη-Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης 2 Σημεία ισορροπίας: h 2 (x,)= Οι καμπύλες h x x, = και h x2 x, = τέμνονται σε δύο σημεία ισορροπίας: = d /dt x h (x,)= x = και = π x =
28 Διάγραμμα φάσεων στην περίπτωση = και τ = c T m L 2 = g L Παράδειγμα Ανάλυσης Διαγράμματος Φάσεων σε Μη-Γραμμικά Συστήματα 2 ης Τάξης 2 = dq/dt h (x,) = rad/sec, =.5 h 2 (x,)= = dq/dt h (x,) = rad/sec, = -.5 h 2 (x,)= Γύρω από τα σημεία ισορροπίας, η μορφή του διανυσματικού πεδίου θυμίζει γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξης Θυμίζει περίπτωση ζ > κοντά στο x Θυμίζει περίπτωση ζ < κοντά στο = d /dt x = q x x = q h 2 (x,)= h (x,)= x =
29 Επεκτάσεις Η παραπάνω ανάλυση δίνει μια ποιοτική εκτίμηση για την συμπεριφορά μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων 2 ης τάξης Παράδειγμα «διακόπτη» bistable switch d dt x = x + a + β + a 2 +x γ a, a 2, β, γ παράμετροι a =a 2 =2, = = a =a 2 =2, = = a =a =2 x, = = x
30 Μέθοδος κλειδί.. Γραμμικοποίηση Μη-γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων Γύρω από ένα Σημείο Ισορροπίας
31 Γραμμικοποίηση: Γενική Ιδέα Ξεκινώντας από το σετ S μη-γραμμικών δυναμικών εξισώσεων που περιγράφουν ένα μη-γραμμικό σύστημα x = h x (x, f t ) Προκύπτει ένα σετ S γραμμικών δυναμικών εξισώσεων δ x = Α δx + Β δf(t) δx(t) = x(t) x είναι η απόκλιση των Μ.Κ. από το σημείο ισορροπίας x δf(t) = f(t) f είναι η απόκλιση της διέγερσης από την σταθερή διέγερση f για την οποία προέκυψε το σημείο ισορροπίας x Το παραπάνω σετ των γραμμικοποιημένων εξισώσεων περιγράφει ικανοποιητικά το σύστημα «γύρω» από ένα σημείο ισορροπίας Ισχύει για σχετικά «μικρές» τιμές των δx και δf Η απόκριση γύρω από κάθε σημείο περιγράφεται από διαφορετικό σετ γραμμικοποιημένων εξισώσεων
32 Γραμμικοποίηση: Γενική Ιδέα Το εκρεμμές περιγράφεται από τις μηγραμμικές δυναμικές εξισώσεις Κοντά στο Σ.Ι. x = το δυναμικό σύστημα περιγράφεται από τις δ x = Α δx + Β δf(t) Οι γραμμικές δυν. εξισώσεις δεν ισχύουν όταν απομακρυνόμαστε από το x Αντίστοιχα, κοντά στο Σ.Ι. = π το δυν. σύστημα περιγράφεται από τις -2 δ = Α 2 δ + Β 2 δf(t) = d /dt = dq/dt h (x,) x = q x = rad/sec, =.5 h 2 (x,)= δx x = h 2 (x,)= h (x,)=
33 Γραμμικοποίηση: Πράξεις To σετ των γραμμικοποιημένων δυναμικών εξισώσεων δ x = Α δx + Β δf(t) γύρω από το σημείο ισορροπίας x που προκύπτει για διέγερση f Α = h x (x,f) x x,f και Β = όπου δx(t) = x(t) x και δf(t) = f(t) f h x (x,f) f x,f Τα μητρώα Α και Β είναι ιακωβιανοί πίνακες A i,j = h xi(x,f) x j και B i,j = h xi(x,f) f j
34 η μέθοδος του Lyapunov Εκτίμηση Ευστάθειας Σημείου Ισορροπίας σε Μη-γραμμικές Δυναμικές Εξισώσεις
35 Ευστάθεια Σημείου Ισορροπίας Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές αν μετά από μια μικρή απόκλιση δx από το Σ.Ι., το σύστημα θα επιστρέψει στο ΣΙ (καθώς t τότε δx ) Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασταθές αν μετά από μια μικρή απόκλιση δx από το Σ.Ι., το σύστημα απομακρίνεται περισσότερο από το Σ.Ι. όσο περνά ο χρόνος (καθώς t τότε δx αυξάνεται) Η ευστάθεια είναι ιδιότητα του συστήματος και μπορεί να διαφέρει για κάθε σημείο ισορροπίας
36 Ευστάθεια Σημείου Ισορροπίας Ασυμπτωτικά ευσταθές Σ.Ι. Μετά από μια μικρή απόκλιση από το Σ.Ι., το σύστημα επιστρέφει στο ΣΙ 2 Ασταθές Σ.Ι. Μετά από μια μικρή απόκλιση από το Σ.Ι., το σύστημα απομακρυνεται ακόμα περισσότερο από το Σ.Ι. h 2 (x,)= = d /dt x h (x,)= x =
37 Σημεία Ισορροπίας και Ευστάθεια σε Γραμμικοποιημένα Δυναμικά Συστήματα Το γραμμικοποιημένο σύστημα (Γ.Σ.) δ x = Α δx + Β δf(t) έχει (εξ ορισμού) μοναδικό Σ.Ι. το δx = Επειδή ένα γραμμικό δυν. σύστημα έχει ένα σημείο ισορροπίας, η ευστάθεια του μοναδικού Σ.Ι. περιγράφει ολόκληρο το Γ.Σ. Αντίθετα σε ένα μη-γραμμικό σύστημα κάθε Σ.Ι. μπορεί να έχει άλλο τύπο ευστάθειας Η ευστάθεια του Γ.Σ. εξαρτάται από τις ιδιοτιμές λ i του πίνακα Α Αν Re λ i <, i τo Γ.Σ. είναι ασυμπτωτικά ευσταθές Αν Re λ i i τo Γ.Σ. είναι οριακά ευσταθές Αν Re λ i > έστω και για μια ιδιοτιμή τo Γ.Σ. είναι ασταθές
38 Εκτίμηση Ευστάθειας Σ.Ι. Μέσω του Γραμμικοποιημένού Δυναμικού Συστήματος Έστω το Σ.Ι. x του δυναμικού συστήματος x = h x (x, f t ) για f Οι αντίστοιχες γραμμικοποιημένες δυν. εξισώσεις γύρω από το x : δ x = Α δx + Β δf(t) Η πρώτη μέθοδος του Lyapunov εκτιμά την ευστάθεια του Σ.Ι. x με βάση την ευστάθεια του γραμμικοποιημένου συστήματος Ιδιοτιμές λ i του πίνακα Α Ευστάθεια γραμμικοποιημ. συστήματος Ευστάθεια του Σ.Ι. x Re λ i <, i Ασυμπτωτικά ευσταθές Ασυμπτωτικά ευσταθές Re λ i, i Οριακά ευσταθές Η μέθοδος αυτή δεν μπορεί να δώσει συμπέρασμα Re λ i > για κάποια ιδιοτιμή Ασταθές Ασταθές
39 Παράδειγμα Μέθοδος κλειδί..
40 Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Βαθμός ελευθερίας: q = θ Μεταβλητές κατάστασης: x = θ θ T Κατάστρωση δυν. Εξισώσεων μέσω Lagrange T = 2 m L2 θ 2 V = m g L cos(θ) δw = δq (τ t c T θ) Δυναμικές εξισώσεις ως προς τον Β.Ε.: m L 2 θ + c T θ + m g L sin(θ) = τ(t) Δυναμικές εξισώσεις ως προς τα Μ.Κ.: d dt θ θ = h x x, f θ h x2 x, f = c T m L 2 θ g L sin(θ) + m L 2 τ(t)
41 Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Διάγραμμα φάσεων 2 h 2 (x,)= = d /dt x h (x,)= Σημεία ισορροπίας (για f = ): Οι καμπύλες h x x, = και h x2 x, = τέμνονται σε δύο σημεία ισορροπίας: x = x = και = π
42 Γραμμικοποίηση: Α = h x (x, f) x Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς x,f = h x θ h x2 θ Β = h x θ h x2 θ x,f h x (x, f) f = x,τ = g L cos θ c T m L 2 h x τ h x2 τ x,f = x,f = x,f = g L cos θ c T m L 2
43 Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Γραμμικοποιημένες δυν. εξισώσεις γύρω από το πρώτο Σ.Ι. x = : δ x = Α δx + Β δτ(t) d δθ dt δθ = g c T L m L 2 Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι: c T δθ δθ + m L 2 δτ(t) λ,2 = 2 m L 2 ± 2 ( c T m L 2)2 4 g L Επειδή Re λ i < το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές το Σ.Ι. x = είναι ασυμπτωτικά ευσταθές
44 Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Κοντά στο Σ.Ι. x = το δυναμικό σύστημα περιγράφεται από τις δ x = Α δx + Β δτ(t) = dq/dt h (x,) = rad/sec, =.5 h 2 (x,)= x = q h 2 (x,)= = d /dt x δx h (x,)= x =
45 Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Γραμμικοποιημ. δυν. εξισώσεις γύρω από το δεύτερο Σ.Ι. = π : d δθ dt δθ = g L c T m L 2 Οι ιδιοτιμές του πίνακα Α είναι: δ = Α 2 δ + Β 2 δτ(t) c T δθ δθ + m L 2 δτ(t) λ,2 = 2 m L 2 ± 2 ( c T m L 2)2 +4 g L Επειδή Re λ > το γραμμικοποιημένο σύστημα είναι ασταθές το Σ.Ι. = π είναι ασταθές
46 Παράδειγμα: Κίνηση εκκρεμούς Κοντά στο Σ.Ι. = π το δυναμικό.5 = rad/sec, = -.5 h 2 (x,)= σύστημα περιγράφεται από τις δ = Α 2 δ + Β 2 δτ(t) 2 = dq/dt -.5 h (x,) x = q h 2 (x,)= = d /dt x δ h (x,)= x =
Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς
Δυναμική Μηχανών I 7 2 Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων
Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης
Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης
Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση
Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin
Δυναμική Μηχανών I 8 2 Προσέγγιση Galerkin Χειμερινό Εξάμηνο 214 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ,
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση
Δυναμική Μηχανών I 3 2 Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 21 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink
Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά
Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας
Δυναμική Μηχανών I 7 3 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Απόκριση
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος
Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική
Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Ιδιομορφές
Δυναμική Μηχανών I 6 2 Ιδιομορφές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιομορφές σε Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου
Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότερα= x. = x1. math60.nb
MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 13 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Iδιότητες Ιδιοανυσμάτων Συστήματα χωρίς απόσβεση Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Συστήματα χωρίς απόσβεση
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή
Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας
Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 9 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Η διάλεξη σε MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή θα γίνει στις 16/1/2014 στο PC LAB Δεν θα γίνει διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2018-2019 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία, 2018-2019 1. ώστε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 5 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών- Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων Επανάληψη: Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα
Διαβάστε περισσότεραυναµ α ι µ κή τ ων Ρ οµ ο π µ ο π τ ο ικών Βραχιόνων
υναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η υναµική u Ροµποτική υναµική q, q& Ροµποτική Κινηµατική Περιβάλλον Θέση, Προσανατολισµός & και αλληλε ίδραση Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 10 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Προσομοίωση απόκρισης συστήματος στο MATLAB μέσω της συνάρτησης ode45 (Runge-Kutta) Προσομοίωση απόκρισης
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος
Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ» Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 011-1 Μάθημα: Ρομποτικός Έλεγχος Αυτόματος Έλεγχος Ρομπότ (Μη-Γραμμικός Ρομποτικός Έλεγχος Κων/νος Τζαφέστας
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 1. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Εισαγωγή στην Δυναμική Μηχανών Φιλοσοφία του μαθήματος Περίληψη του μαθήματος Αντικείμενο Εφαρμογές Δυναμικής
Διαβάστε περισσότεραΤο ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς
Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι
Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας Αναλογικών Σ.Α.Ε Διαγράμματα BODE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων
Δυναμική Μηχανών I 8 3 H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή
Διαβάστε περισσότερα,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:
ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:
1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣυζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα
ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 2: Μαθηματική αναπαράσταση φυσικών συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'
Διαβάστε περισσότεραE = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,
Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,
Διαβάστε περισσότεραTheory Greek (Cyprus) Μη γραμμική δυναμική σε Ηλεκτρικά Κυκλώματα (10 μονάδες)
Q2-1 Μη γραμμική δυναμική σε Ηλεκτρικά Κυκλώματα (10 μονάδες) Παρακαλείστε, να διαβάσετε τις Γενικές Οδηγίες που βρίσκονται σε ξεχωριστό φάκελο πριν ξεκινήσετε την επίλυση αυτού του προβλήματος. Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Αν Καθ: Δ ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επικ Καθ: Σ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 2013 lika@biology.uoc.gr Συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα περιγράφουν φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο
Διαβάστε περισσότεραΌταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε
Διαβάστε περισσότεραΥποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.
ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής
Διαβάστε περισσότεραΛ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14
1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική Κατηγορίες f.p. σε γραμμικά διαφορικά συστήματα 1 ης τάξης Έστω το γενικό
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Θεωρία Δικτύων
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικά και μη γραμμικά συστήματα Αριθμητική προσέγγιση
Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα Αριθμητική προσέγγιση k m F(t)=F o cos(ωt) K=σταθερά ή όχι c Θέση ισορροπίας Ιδιοσυχνότητα του συστήματος ω 0 x Συχνότητα εξωτερικής διέγερσης Ω Παραδείγματα (γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Ιδιότητες της Συνέλιξης Η συνέλιξη μετατοπισμένων σημάτων
Διαβάστε περισσότεραx (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,
Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.
Διαβάστε περισσότεραΠαραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί
Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου-Εργαστήριο
1.1. ΜΕΛΕΤΗ ΣΑΕ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (ΠΟΛΙΚΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ) 1.1.1. Γενικά Το κριτήριο Nyquist είναι μια γραφική μέθοδος με την οποία προσδιορίζεται η συμπεριφορά ενός συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου. Το κριτήριο
Διαβάστε περισσότεραΣτο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής
Κεφάλαιο 9 ΔΙΑΚΛΑΔΩΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε δυναμικά συστήματα της μορφής ẋ = f (x, µ), (9.0.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f εξαρτάται από μία παράμετρο µ και είναι αρκούντως
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΣΑΕ 2. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II. Σημειώσεις από τις παραδόσεις *
ΣΑΕ 2 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Σημειώσεις από τις παραδόσεις * Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes Φεβρουάριος 218 Τελευταία ενημέρωση:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΕργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE έκδοση DΥΝI-TFLT_016b
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16. Ανάστροφο εκκρεμές (ανάδραση κατάστασης) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΠροσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB
Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη
Διαβάστε περισσότερα( ) = Ae + ω t + Be ω t ασταθές σημείο ισορροπίας ( ) = Asin( ωt) + Bcos( ωt) ευσταθής ισορροπία
Ταλαντώσεις ΦΥΣ 211 - Διαλ.20 1 q Για μονοδιάστατο σύστημα το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία στο q 0 : V ( q) dv dq q=q0 = 0 B A C q q Αναπτύσοντας γύρω από το q 0, η δυναμική του συστήματος είναι αυτή του
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ 4.1 Εισαγωγή Η μέθοδος Euler, η οποία παρουσιάστηκε στο Kεφάλαιο 3 και εφαρμόστηκε για την παρουσίαση προβλημάτων γεωμετρικά μη γραμμικής συμπεριφοράς,
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα : ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15. Ευστάθεια Συστημάτων (Ευστάθεια Lyapunov - Ασυμπτωτική Ευστάθεια) Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #7: Αρμονικά Κριτήρια Ευστάθειας Κατά Nyquist και BODE Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Μαθηματικά Μοντέλα Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΑυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα