Aparati i uređaji za merenje srčane i moždane aktivnosti ELEKTROKARDIOGRAFIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Aparati i uređaji za merenje srčane i moždane aktivnosti ELEKTROKARDIOGRAFIJA"

Transcript

1 Aparati i uređaji za merenje srčane i moždane aktivnosti ELEKTROKARDIOGRAFIJA Ritmička aktivnost srca Srčani mišić (miokard) radi ritmično (periodično). Periodičnost se može posmatrati kroz dva aspekta: hidrodinamički i elektrofiziološki. Posmatrano sa aspekta hidrodinamike, kontrakcije srčanog mišića stvaraju priraštaj (gradijent) pritiska unutar krvnih sudova, koji uspostavlja kretanje krvi iz oblasti većeg u oblast manjeg pritiska. Tako, srce funkcioniše kao pumpa kroz koordinisan rad svih struktura: zidovi komora i pretkomora, vezivno tkivo, krvni sudovi srca, nervno-provodni aparat, zalisci. Ista ova ritmičnost se prepoznaje i u električnoj aktivnosti mišićnih vlakana. Električna ritmičnost prethodi kontrakcionoj ritmičnosti i uslovljava je. Pobudno-sprovodni aparat srca Srce sadrži specijalizovane mišićne ćelije koje formiraju tzv. pobudno-sprovodni aparat srca. Uloga pobudno-sprovodnog aparata jeste: Generisanje električnih impulsa Sprovođenje električnih impulsa u sve delove mišićnog tkiva Pobudno-sprovodni aparat srca jeste ''glavni organizator'' aktivnosti srca. Čine ga tri strukture specijalizovanih mišićnih vlakana: 1

2 1. Sinusni čvor ili sinoatrijalni čvor (eng. sino-atrial node SA node). Impuls koji pokreće rad srca potiče od sinusnog čvora. Sinusni čvor je naziv za grupu specijalizovanih mišićnih ćelija koje se nalaze u zidu desne pretkomore blizu samog ulaza glavne vene (gornja šuplja vena). Iako pripadaju grupi mišićnih ćelija one se vrlo slabo kontrakuju jer su specijalizovane za funkciju generisanja impulsa. Sinusni čvor generiše približno 100 impulsa u minuti. Međutim, on je takođe povezan i sa vlaknima autonomnog nervnog sistema koja prilagođavaju rad sinusnog čvora usporavajući ga na oko 70 otkucaja u minuti. Kada je u pitanju aktivnost mišića, impulsi iz sinusnog čvora se direktno prenose u mišiće pretkomore i dovode do njihovog grčenja. 2. Atrioventrikularni čvor (eng. atrial-ventricular node AV node). Kada bi došlo do prestanka rada sinusnog čvora tada bi njegovu funkciju preuzeo atrioventrikularni čvor koji takođe ima sposobnost samostalnog generisanja impulsa. Međutim, signali generisani u sinusnom čvoru se generišu brže od signala koje je u stanju da generiše atrioventrikularni čvor (AV čvor) tako da AV čvor, u toku normalnog rada sinusnog čvora, jednostavno prihvata prinudni rad na frekvenciji sinusnog čvora i sprovodi ga dalje ka komorama. Prirodna frekvencija AV čvora je oko 40 do 60 otkucaja u minuti. Zbog toga se sinusni čvor naziva primarni pejsmejker dok se AV čvor naziva sekundarni pejsmejker. Pored sporijeg ritma, u AV čvoru je i provođenje signala nešto sporije zbog slabije konstante provodnosti ovih ćelija. Upravo se ovim sporijim provođenjem AV čvora ostvaruje pomenuto kašnjenje signala odnosno koordinacija rada pretkomora i komora. U strukturama koje slede iza AV čvora (Hisov snop i Purkinjeova vlakna) brzina provođenja signala ponovo postaje velika zbog neophodnosti istovremene stimulacije svih mišićnih vlakana. 3. Purkinjeova vlakna i Hisov snop. Nakon AV čvora signali putuju ka Hisovom snopu koji se nalazi u okviru vezivnog tkiva koje razdvaja pretkomore, levu od desne, kao i pretkomore od komora (i u fizičkom i u električnom smislu). Purkinjeova vlakna se nadovezuju na Hisov snop i po ulasku u komorski deo srca ona se granaju i tako razdvajaju sprovodne puteve za levu i desnu pretkomoru. I Purkinjeova vlakna poseduju svojstvo samonadražljivosti, ali njihova funkcija ne može poslužiti kao adekvatan pejsmejker ukoliko dođe do gubitka funkcije sinusnog čvora i AV čvora jer je njihov rad znatno sporiji. Ipak Purkinjeova vlakna nose naziv tercijarni pejsmejker. Njihova frekvencija je oko 30 do 40 otkucaja u minuti. 2

3 Mehanizam merenja srčane aktivnosti - elektrokardiografija Elektrokardiografija je neinvazivna klinička dijagnostička metoda koja pruža dragocene podatke o pravilnosti rada srčanog mišića. Elektrokardiografiju je prvi put uveo u medicinu holandski lekar Willem Einthoven godine i za to otkriće je dobio Nobelovu nagradu godine. Elektrokardiogram je zapis vremenskih promena akcionih potencijala koje se odvijaju u srčanom mišiću. EKG merenje nije direktan postupak zato što se elektrode ne postavljaju direktno na mišićna vlakna niti na vlakna sprovodnog aparata (Purkinje, AV čvor, Hisov snop itd.) već je indirektan, jer se elektrode postavljaju na površinu kože u oblasti grudnog koša i ekstremiteta. Sila koja pokreće srce je biološki elektricitet. EKG je zapis električne aktivnosti srca, a na osnovu promena njegovog osnovnog izgleda u stanju smo da dijagnostikujemo veliki broj srčanih poremećaja. Elektricitet i srce U stanju mirovanja srčane ćelije su polarizovane, što znači da je njihova unutrašnjost elektronegativna u odnosu na spoljašnjost. Ovaj električni polaritet održavaju membranske pumpe koje obezbeđuju da raspored jona (prvenstveno kalijuma, natrijuma, hlora i kalcijuma) bude takav da unutrašnjost ćelije postane negativno, a spoljašnjost pozitivno naelektrisana. Srčane ćelije mogu da izgube svoj negativni unutrašnji naboj u procesu koji se naziva depolarizacija. Depolarizacija je osnovni električni proces u srcu. Depolarizacija se širi sa ćelije na ćeliju stvarajući depolarizacioni talas koji se prenosi kroz celo srce. Ovaj depolarizacioni talas predstavlja protok elektriciteta tj. električnu struju koju mogu da registruju elektrode postavljene na površini tela. Pošto se depolarizacija završi, srčane ćelije ponovo uspostavljaju svoj potencijal mirovanja u procesu koji se naziva repolarizacija. Elektrode na površini tela registruju i taj proces. Svi talasi koji se vide na EKG-u su manifestacija procesa depolarizacije i repolarizacije. Ukoliko snimimo jedan depolarizaciono-repolarizacioni električni ciklus izolovane ćelije, dobićemo dijagram njene električne aktivnosti zvani akcioni potencijal. Naponi koji se mere na površini kože imaju vrednosti od oko 1 mv, a frekvencijski pripadaju opsegu vrlo malih učestanosti, od 0.1 Hz do oko 100 Hz. Ovi naponi imaju karakterističan oblik koji je vremenski i amplitudno povezan sa aktivnostima pojedinih funcionalnih celina srca. EKG uređaj EKG uređaj se sastoji od sledećih delova: 1. Elektroda 2. Kola za zaštitu 3. Birača kanala 4. Predpojačavača 5. Kola za izolaciju 6. Pojačavača 7. Sistema za memorisanje i prikaz EKG signala 3

4 Elektrode za EKG uređaje i većinu drugih elektrofizioloških merenja se izrađuju od kombinacije srebro/srebro-hlorid (Ag/AgCl) zato što se tada ne javlja površinska kontaktna polarizacija tkiva usled dodira provodnika različitog tipa. Od velike je važnosti da elektrode budu postavljene na naznačena mesta i da ostvare dobar kontakt sa kožom kako ne bi došlo do pojave nepotrebnih smetnji u signalu (interferencija). Razlikujemo više tipova površinskih elektroda koje se koriste za merenja EKG signala. Za standardna klinička merenja koriste se višekratne EKG usisne elektrode koje se postavljaju na grudni koš prilikom snimanja kao i EKG elektrode štipaljke koje se postavljaju blizu desne i leve šake i na levom članku. Postoje i površinske elektrode za jednokratnu upotrebu koje se koriste za monitoring vitalnih funkcija, defibrilaciju, holtere i slično. EKG površinske elektrode za jednokratnu upotrebu Kolo za zaštitu i izolaciju služi da zaštiti pacijenta od struje koja može da dođe na elektrode i štiti uređaj od slučajnih velikih signala. Birač kanala. U uređajima koji prikazuju manje od 12 kanala (jednokanalni, trokanalni, šestokanalni), postoji prekidački sistem koji povezuje pojedine elektrode na ulaze instrumentacionog pojačavača. Ako se primenjuje trokanalni EKG, onda prekidač istovremeno povezuje bipolarne odvode, ogmentirane i po tri prekordijalna odvoda. Ako je uređaj šestokanalni, onda se istovremeno povezuju frontalni odvodi i prekordijalni odvodi. Predpojačavač je instrumentacioni pojačavač sa pojačanjem reda A=2000, sa velikom ulaznom impendansom za diferencijalni i zajednički signal (većom od 10 MΩ i 100 MΩ respektivno). Pojačavač služi za prilagođenje izlaznog napona ulaznom kolu primenjenog monitora ili računara. Prikazivanje signala se vrši pomoću osciloskopa, pisača sa termalnom glavom, ili računara. 4

5 Raspored elektroda pri merenju EKG signala Holandski naučnik Ajnthoven, koji je objavio prve rezultate u oblasti elektrokardiografije, predložio je merni sistem od tri elektrode koje su postavljene blizu desne i leve šake i na levom članku. Ovaj sistem je po njemu i nazvan Ajnthovenov raspored. Na osnovu ove tri elektrode se formira zamišljeni trougao koji obuhvata srce. Na osnovu ovih elektroda se mere razlike potencijala (naponi) koji se izračunavaju i obeležavaju na sledeći način: Ui = Vleva ruka Vdesna ruka Uii = Vleva noga Vdesna ruka Uiii = Vleva noga Vleva ruka Ajnthovenov raspored Trougao potencijala Na osnovu ove tri veličine se može konstruisati zamišljeni trougao potencijala na način prikazan na slici. Crtež se dobija na sledeći način: 1. najpre se formira trougao linija: desna ruka leva ruka (DR-LR), leva ruka leva noga (LR-LN) i desna ruka leva noga (DR-LN) 2. konstruišu se simetrale stranica trougla koje se seku u tački koja će predstavljati početak glavnog vektora srčanog potencijala 3. vektori prethodno izračunatih napona (Ui, Uii, Uiii) se nanose duž stranica trougla počev od sredine stranice i oni predstavljaju komponente glavnog vektora srčanog potencijala 4. iz vrhova vektora Ui, Uii, Uiii povlačimo normale na stranice trougla i dobijamo presečnu tačku koja je vrh glavnog vektora srčanog potencijala koji sa horizontalnom osom zaklapa ugao α. Ovim postupkom se rekonstruiše, na osnovu potencijala merenih sa površine kože i vektora napona, vektor srčanog potencijala. Za potrebe modeliranja ovih procesa, srce se predstavlja kao dipol koji generiše polje čija se jačina menja u prostoru i vremenu i koja se obeležava kao vektorska veličina koju smo opisali. Komponente glavnog vektora se menjaju u prostoru i vremenu. Tako se i glavni vektor menja u prostoru i vremenu pa prema tome se i ugao α menja u prostoru i vremenu. Za vrednosti ugla α se pokazalo da imaju direktnu dijagnostičku vrednost. Tako se zna da je kod zdravih osoba vrednost ovog ugla 10 < α < 90, gde je smer merenja ugla u smeru kazaljke na satu. Ukoliko se vrednosti ugla smanje 5

6 ispod 10 tada se govori o ''devijaciji ose u levo''; odnosno kod uglova većih od 90 govori se o ''devijaciji ose u desno'' (misli se na osu glavnog vektora). Primetimo još i da se ovaj crtež nalazi u vertikalnoj ravni. Da bi smo u potpunosti odredili prostorni položaj vektora potencijala neophodna su dodatna merenja odnosno dodatne koordinate. Dopunske informacije se dobijaju pomoću dodatnih šest elektroda koje se postavljaju na grudni koš (videti sliku u nastavku) i koje se obeležavaju sa V1, V2, V3. V4, V5 i V6. Na ovim elektrodama se očitavaju potencijali koji se upoređuju sa referentnom tačkom i tako se dobijaju naponi u tih šest tačaka. Referentna tačka se dobija tako što se tri elektrode na levoj i desnoj ruci i levoj nozi povežu u zajedničku tačku preko otpornika čija otpornost iznosi Ω. Ta referentna tačka se naziva Vilsonov centralni priključak (eng. Wilson central terminal). U standardnom EKG snimanju se koriste i tri dodatna naponska signala. Tri preostala signala se dobijaju na osnovu prve tri elektrode. Oznake i način dobijanja ovih napona je prema sledećem: avr eng. augmented Voltage Right arm pomoćni napon desne ruke predstavlja napon između desne ruke i referentn tačke dobijene spajanjem preostale dve tačke trougla preko otpornika od Ω. Istovetnim principom se dobijaju i dva preostala napona za koja dajemo samo objašnjenje oznake: avl augmented Voltage Left arm pomoćni napon leve ruke avf augmented Voltage Feet pomoćni napon noge (leve). Uobičajeno je da se ovaj raspored elektroda naziva Goldbergerov raspored (Goldberger). Dakle, u kliničkom EKG snimanju: koristimo ukupno 9 elektroda za merenje potencijala na površini kože na osnovu vrednosti potencijala sa devet elektroda dobijamo ukupno 12 naponskih signala (pomoću razlika potencijala) naponske vrednosti se sastoje iz devet glavnih napona Ui-iii i V1-6 i tri pomoćna napona avl, avf i avr svih 12 naponskih vrednosti predstavljaju ulazne parametre matematičkog modela kojime se rekonstruiše prostorni položaj i intenzitet glavnog vektora srca. Vektorski kardiogram Vektorski kardiogram je sličan prethodno opisanim EKG merenjima ali na drugačiji način predstavlja rad srca. Ovde se pažnja posvećuje upravo prostorno-vremenskom predstavljanju glavnog vektora srca. U vektorskoj kardiografiji se koristi ukupno sedam elektroda od kojih 6

7 se pet postavlja na grudni koš (slika), a dodaju se još i elektroda na vratu i elektroda na članku leve noge (tačka M se nalazi na leđima). EKG signal EKG signal je ponovljiv, složenoperiodičan signal sa karakterističnom morfologijom na kojoj se razlikuju karakteristični pikovi koji se nazivaju talasi. Pojava i oblik pojedinih talasa su posledica prostiranja akcionog potencijala kroz srce. U sinoatrijalnom čvoru nastaje električni impuls, koji se širi kao talas, nadražujući obe pretkomore. Dok taj talas depolarizacije teče kroz pretkomore, on istovremeno izaziva i talas pretkomorne kontrakcije. Ovaj električni impuls širi se kroz pretkomoru i daje P talas na EKG-u. Talas depolarizacije koji se širi kroz pretkomore može da bude prenet do osetljivih delova kože na koje se stavljaju elektrode. Prema tome, P talas predstavlja električnu aktivnost kontrakcije obeju pretkomora. Impuls se zatim prenosi, kroz internodalni put, do AV čvora, za šta je potrebno oko 30 ms gde nastane pauza od približno 90 ms, koja omogućava da krv uđe u komore. Posle te pauze, čvor je nadražen i električni impuls kreće do Hisovog snopa. QRS kompleks predstavlja električni impuls na putu od AV čvora preko Purkinijevih vlakana do miokardnih ćelija. Purkinjeova vlakna sprovode električne impulse ka miokardnim ćelijama izazivajući simultanu kontrakciju komora. Postoji pauza posle QRS kompleksa, a zatim se pojavljuje T talas. T talas predstavlja repolarizaciju komora tako da one mogu ponovo da budu nadražene. Jedan srčani ciklus sačinjavaju P talas, QRS kompleks i T talas. Taj se ciklus neprekidno ponavlja. Vremenski dijagrami potencijala izmerenih na tkivu srca su od 50 mv do +20 mv i prikazani su na slici: 7

8 Vidimo da u pretkomorskom aparatu (tri dijagrama u prvom redu) potencijali nastaju i nestaju sporije nego u komorskom aparatu kod koga se uočava i pojava platoa (tri dijagrama u drugom redu). Artefakti pri snimanju 1. Smetnje usled interferencije sa poljem koje se stvara usled prisustva signala koji potiče od napajanja (50 Hz ili 60 Hz) predstavlja najveći problem u svim merenjima. Ova smetnja se smanjuje korišćenjem dobrog uzemljenja i smanjenjem impendansi elektroda. 2. Smetnje usled interferencije sa drugim fiziološkim signalom (najčešće sa EMG signalom koji potiče od mišića). Ova smetnja se ne može ukloniti filtriranjem, jer su oba signala delimično u istom frekvencijskom opsegu i rešenje je postavljanje elektroda na mesta na kojima ne stoji na strujnom putu mišić koji generiše ovu smetnju. 3. Smetnje usled pokreta se manifestuje pomeranjem bazne linije i mogu se smanjiti postavljanjem predpojačavača veoma blizu elektroda. 4. Smetnje koje se javljaju u slučaju kada je pacijent kome se snima EKG priključen i na stimulator, na primer defibrilator, koji generiše strujni impuls velikog intenziteta koji treba da spreči fibrilacije i omogući normalan rad srca. Primenjeni napon je reda kv, što je nekoliko redova veličine veće od merenog signala. 5. Smetnje usled lošeg kontakta elektroda sa kožom. Ponekad ni antidrift funkcija nije u mogućnosti da kompenzuje loš položaj elektroda kada se javljaju visoke razlike potencijala i tada će se umesto EKG potencijala pojaviti ravna linija. Primena EKG-a EKG prikazuje trenutno stanje srca i promene koje su nastupile na srcu pre snimanja, ali ima ulogu u predviđanju potencijalnih problema koji se mogu javiti u budućnosti. U slučajevima kada je potrebno otkriti povremene promene u radu srca koje se ne jave u toku kliničke analize, EKG se snima u dužim periodima. Snimanje tada traje 24h i realizuje se pomoću EKG uređaja koji je integrisan u prenosni uređaj za memorisanje signala koji se naziva Holter monitor. Pomoću EKG-a vrše se i snimanja uporedo sa merenjem krvnog pritiska i srčanog ritma u toku vežbanja pod kontrolisanim opterećenjem kako bi se dijagnostifikovale slabosti srčanog mišića. U nastavku dajemo primere nekih najuočljivijih poremećaja u radu srca: Ventrikularna tahikardija ( VT ) je pojava kada je srčani ritam isuviše brz u fazi odmora organizma. Za vreme tahikardije srce ne pumpa krv dovoljno efikasno kao što je to slučaj kod normalnog sinusnog ritma. Brzi ritam onemogućava pravilno punjenje i pražnjenje komora krvlju i kao rezultat toga dolazi do slabije prokrvljenosti celog organizma. VT je često posledica ishemije. Ventrikularna fibrilacija (VF) je veoma brzi i nepravilni srčani ritam u komorama. VF je opasnija od VT zato što je celokupni sistem pumpanja krvi dezorganizovan. Krv se gotovo uopšte ne pumpa u organizam i u takvoj situaciji veoma često može doći do 8

9 iznenadne srčane smrti. Ljudi ovakvo stanje najčašće nazivaju infarktom. Ukoliko dođe do infarkta, veštačkim putem tj. reanimacijom ( CPR ) se može izbeći smrt i ukoliko se u veoma kratkom vremenu iskoristi eksterni defibrilator za ponovno uspostavljanje rada srca čoveka. Sinus aritmija je pojava kada је sinusni ritam nepravilan tako da se intervali talasa pojavljuju u neravnomernim intervalima. Ova pojava je vrlo česta u svim starosnim grupama. Sinus tahikardija je pojava kada je sinusni ritam veći od 100/min. Javlja se najčešće kao fiziološki odgovor na fizičku aktivnost ili psihički stres, ali može biti i rezultat srčane insuficijencije. ELEKTROENCEFALOGRAFIJA Bioelektrična i elektrohemijska aktivnost nervnih ćelija Suština bioelektrične aktivnosti nervnih ćelija jeste njihova nadražljivost ili ekscitabilnost. U čovečijem telu postoje ekscitabilna i neekscitabilna tkiva, sa aspekta bioelektrične aktivnosti. Ekscitabilna tkiva su ona koja imaju sposobnost da sama stvaraju oblike električne aktivnosti dok su ostala pasivni provodnici električnih čestica i struja. Objasnićemo poreklo ekscitabilnosti na primeru nervne ćelije. Nervna ćelija prima nadražaje koji su talasne promene električnog potencijala sa suprotnih strana ćelijske membrane. Prijem takvih nadražaja se odvija kroz veći broj kratkih nastavaka koji se nazivaju dendriti, a odgovor (odziv) na datu draž neuron sprovodi preko, najčešće jedinstvenog, dugačkog nastavka, koji se naziva akson, i to takođe u vidu talasnih promena električnih potencijala. Prikaz veze između dva neurona 9

10 Nervne ćelije međusobno prenose električne signale preko svojih nastavaka (dendrita i aksona) tako što aksoni ćelije koja odašilje signal predaju signal dendritima ćelija prijemnika. Između ovih aksona i dendrita se obrazuju specifične strukture koje se nazivaju sinapse. Aktivnost moždane kore Različite regije mozga imaju različiti nivo aktivnosti i odgovaraju im različiti ritmovi na EEG dijagramu. Primera radi, temporalno-parijetalno-okcipitalni deo mozga je integrativna oblast njoj ''odgovara'' viši ritam. U ovoj regiji se integrišu modaliteti velikog broja različitih draži kojima smo izloženi u svakom trenutku. Osnovne regije mozga Indikacije za EEG pregled su trovanja, tumori, upale, poremećaji sna itd. Matematičko modeliranje. Direktran i indirektan (inverzan) problem elektroencefalografije Pojmovi direktnog i inverznog problema su širi od same metode EEG i odnose se uopšteno na sva biomedicinska merenja. Pojam direktan problem elektroencefalografije konkretno označava situaciju u kojoj nam je poznato stanje i osobine izvora bioelektrične aktivnosti a na osnovu njega traži se rešenje za način prostiranja signala (u ovom slučaju kroz tkiva glave do površine kože). Direktan problem bilo kog biomedicinskog merenja jeste vrsta problema sa kojom se, u praksi, sreću prvenstveno naučnici i inženjeri tokom razvoja biomedicinske opreme. Direktan problem je zapravo postupak modeliranja ponašanja izvora električnog polja (dipol) u uslovima okruženja koja se sreću u čovečijem mozgu. Na osnovu fizioloških saznanja o osobina tkiva, formiraju se fizičke zakonitosti koje potpuno opisuju problematiku i daju matematičko fizičke zavisnosti koje potpuno određuju sudbinu biofizičkih signala od izvora kroz celo telo. Suprotno njemu, pojam inverznog problema elektroencefalografije se odnosi na 10

11 suprotnu situaciju u kojoj potupno poznajemo stanje i osobine biomedicinskih signala, na osnovu izvršenih merenja, a pokušavamo da rekonstruišemo stanje, lokalitet i osobine izvora tog signala. Ovo je vrsta problema sa kojom se, u praksi, najčešće susreću lekari i predstavlja, ukratko, postupak dijagnoze stanja ili oboljenja. Mehanizam merenja moždane aktivnosti elektroencefalografija Elektroencefalografija je klinička dijagnostička metoda za utvrđivanje funkcija mozga. Začetnikom elektroencefalografije smatra se nemački naučnik Hans Berger koji je godine napravio prve snimke α- talasa. Encefalogram predstavlja relativno niskofrekventnu spontanu električnu aktivnost mozga, koja je rezultat ne jednog već hiljade neurona u mozgu. Amplituda snimljenih signala je oko 50 mikrovolti kada se snima sa površine lobanje, a kada se snima sa površine kore mozga ona je reda 1-2 milivolti. Moždani talasi Električna registrovanja sa površine mozga ili sa površine glave demonstriraju kontinualnu električnu aktivnost u mozgu. Intenzitet i oblik ove električne aktivnosti su određeni do znatnog obima sveukupnim nivoom eksitacije mozga koji je posledica budnosti, spavanja i bolesti mozga kao što je epilepsija. Talasi u registrovanim električnim potencijalima nazvani su moždani talasi, a celokupni zapis je nazvan elektroencefalogram (EEG). Intenzitet moždanih talasa na površini lobanje kreće se od 0 do 200 mikrovolti, a njihove frekvencije se kreću od jednog talasa svakih nekoliko sekundi do više od 50 u sekundi. Moždani talasi su uglavnom iregularni, međutim ipak postoje neki posebni oblici EEG-a. Neki od njih su karakteristični za specifične bolesti mozga, kao što je epilepsija, dok drugi nastaju kod zdravih osoba i mogu se klasifikovati kao alfa, beta, teta i delta talasi. Alfa talasi su ritmički talasi koji se javljaju na frekvencijama između 8 Hz i 13 Hz i nalaze se u EEG-u gotovo svih zdravih odraslih osoba u budnom stanju u mirovanju mozga. U toku dubokog spavanja alfa talasi potpuno iščezavaju. Beta talasi postoje na frekvenciji višoj od 14 Hz. Javljaju se pri aktivaciji centralnog nervnog sistema ili u toku napetosti. Teta talasi imaju frekvenciju između 4 i 7 Hz. Javljaju se najčešće kod dece, ali se mogu javiti i kod odraslih osoba u toku emocionalnih stresova. Ima ih takođe u mnogim bolestima mozga. Delta talasi se javljaju na frekvencijama ispod 3.5 Hz. Postoje u vrlo dubokom spavanju, u ranom detinjstvu i u ozbiljnim bolestima mozga. 11

12 EEG uređaj Aparatura za merenje EEG signala se sastoji iz elektroda, predpojačavačkih kola i računara koji rezultate merenja obrađuje i prikazuje. Principijelna šema je data na slici. Šematski prikaz konfiguracije sistema za snimanje EEG aparatom ELEKTRODE Merenja se vrše postavljanjem sistema elektroda na kožu glave uz prethodnu pripremu odnosno dodavanje elektroprovodnog gela koji služi za pospešivanje kontakta elektroda sa kožom. Sistem elektroda koji se postavlja na glavu ispitanika se naziva montaža. Sistem koji se najčešće koristi se obeležava kao Ova oznaka se ne odnosi na stvaran broj elektroda već na međusobna rastojanja između njih koja se nalaze u odnosu 10 % 20 % 20 % 10 % od ukupnog puta kojim se postavljaju elektrode. Svaka moždana oblast je označena posebnim slovom, a broj ili slovo u indeksu označavaju lokaciju hemisfere. Slova F, T, O i P predstavljaju frontalni, temporalni, ocipitalni i parijetalni region. Parni brojevi se odnose na desnu hemisferu, a neparni na levu hemisferu. Slovo z se odnosi na elektrodu postavljenu na srednjoj liniji. Dok sistem sadrži 19 12

13 elektroda, postoje i drugi sistemi koji sadrže 32, 64, 128, pa i 256 elektroda. Povezivanje elektroda može biti unipolarno i bipolarno. Unipolarno podrazumeva snimanje razlike potencijala u odnosu na jednu ili više referentnih elektroda koje mogu da se postave na neutralnu tačku kao što su nos ili uvo. Bipolarno povezivanje elektroda omogućava nam snimanje razlike potencijala između dve tačke na površini lobanje. Sam način obezbeđenja referentne vrednosti je trajno rešen uvođenjem digitalne tehnologije gde referentnu elektrodu predstavlja propisan deo uređaja čiji se potencijalni status održava na strogo kontrolisanoj projektovanoj vrednosti koja se atestira i kalibriše, i na osnovu koje se vrše svi proračuni merenih veličina. Signal sa elektroda se pojačava pomoću diferencijalnog pojačavača. Pojačanje diferencijalnog pojačavača se kreće u opsegu od do puta. Nakon njega se signal obrađuje u dvema različitim vrstama elektronskih kola, visoko-propusnim filterima i nisko-propusnim filterima, kako bi se mereni signal dodatno oslobodio šumova raznovrsnog porekla i kao takvog ga mi vidimo na ekranu računara. POSTUPAK SNIMANjA Postupak snimanja se sastoji iz tri etape: Postavljanje merne kape i provera otpora Kalibracija merne kape i dodavanje gela na mestima na kojima je potrebno izjednačiti provodnost Snimanje. ARTEFAKTI Artefakti su signali koji se javljaju u EEG snimku ali ne potiču od aktivnosti mozga. Razlikujemo biološke i spoljašnje artefakte. U biološke artefakte spadaju aktivnost ostalih ekscitabilnih tkiva, mišića u prvom redu. Aktivnost očnih mišića stvara potencijale čiji red veličine odgovara aktivnosti mozga. Pored očnih mišića imamo i rad srca. Srce ima snažniju bioelektričnu aktivnost od mozga i struje koje se prostiru kroz srce delom prolaze i kroz ostale organe i putem vrata se mogu pojaviti i u glavi i biti registrovane na EEG snimku. U nebiološke ili spoljašnje artefakte spadaju tehnološke karakteristike opreme (promene u kvalitetu kontakta elektroda, neispravno izvedeno uzemljenje uređaja itd.). SUZBIJANJE UTICAJA ARTEFAKATA Suzbijanje uticaja artefakata počinje upoznavanjem karakterističnog signala artefakta koji želimo da eliminišemo. Zatim se takvi karakteristični signali lociraju u EEG snimku da bi se potom izvršila kritička analiza trenutka nastanka artefakta u rezultatu koje sledi odluka o poreklu signala (fiziološki ili artefakt). Mere za sprečavanje pojave artefakta se razlikuju od slučaja do slučaja. Tehnološki problemi se sprečavaju redovnom kalibracijom i atestiranjem opreme. Artefakti nastali od srca i ostalih unutrašnjih organa se mogu suzbiti postavljanjem provodne trake na vrat ispitanika tokom snimanja koja dovodi do lokalnog pražnjenja bilo kog naelektrisanja koje se pojavi iz donjeg dela tela. 13

14 Pored ovih metoda razvijaju se i matematički modeli za razlaganje EEG signala koje treba da pokaže sve komponente snimka nakon čega se može ukazati na nefiziološko poreklo određenih komponenti koje se tada mogu izostaviti iz snimka i dalje analize. Ove metode su još u fazi razvoja obzirom da poteškoću predstavlja i sama priroda EEG signala koja je u izvesnom stepenu nepredvidiva (stohastička). 14

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA.   Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA

OTPORNOST MATERIJALA 3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE ODSEK ZA SOFTVERSKO INŽENJERSTVO LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 2 DIODA I TRANZISTOR 1. 2. IME I PREZIME BR. INDEKSA GRUPA

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

FIZIOLOŠKE OSNOVE SILE I SNAGE. Prof. dr Dušan Perić

FIZIOLOŠKE OSNOVE SILE I SNAGE. Prof. dr Dušan Perić FIZIOLOŠKE OSNOVE ISPOLJAVANJA SILE I SNAGE Prof. dr Dušan Perić Mehanizam mišićne kontrakcije Struktura mišića i mišićnih ovojnica MOTORNA JEDINICA } TELO (SOMA) NERVNE ĆELIJE AKSON TELODENDRON MIŠIĆNA

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI. Prof. dr Vladan Radulović

BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI. Prof. dr Vladan Radulović FAKULTET ZA POMORSTVO OSNOVNE STUDIJE BRODOMAŠINSTVA BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI Prof. dr Vladan Radulović ELEKTRIČNA ENERGIJA Električni sistem na brodu obuhvata: Proizvodnja Distribucija Potrošnja Sistemi

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα