Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5"

Transcript

1 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο των ακέραιων αριθμών. α ) Το Q =, με α,β Ζ καιβ 0 είναι το σύνολο των ρητών αριθμών. Άρα β ρητός είναι ο αριθμός που μπορεί να γραφεί σαν πηλίκο ακέραιων αριθμών. Π. οι αριθμοί,,0,, κ.λ.π 5 4) Το R είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών και είναι η ένωση των ρητών και των άρρητων αριθμών. N 5 Q 5 Z Q R άρρητος Σ η μ ε ί ω σ η = =. Για το σύνολο Α, συμβολίζουμε με Α το Α { 0}. Π. N Ν {} 0 {,,,... } Β Δυνάμεις ν ) α = α α α α νφορές μ ν μ ν ) α α = α + μ ν μ ν ) α : α = α μ ν μ ν 4) (α ) = α ν ν ν 5) (α β) = α β ν ν ν α α 6) = β β ν 7) α = ν α ν α β ) = β α 0 9) α =, α = α ν 5 = 5 5 5= = = = = 4 4 : = = = = 9 6 () = = = ( y ) = ( ) (y ) = 4 y 4 y (y ) (y ) 4 y = = = 9 9 = = 9 = = = =, =

2 6 yahoo.gr Οι ταυτότητες χρησιμοποιούνται για να βρούμε το ανάπτυγμα μιας παράστασης, ή για να την μετατρέψουμε σε γινόμενο. ) α β = (α+ β)(α β) 5 9 = (5) = (5 + )(5 ) ) (α+ β) = α + αβ + β ( + ) = () + () + = ) (α β) = α αβ + β ( ) = () () + = ) (α+ β) = α + α β+ αβ + β ( + ) = = ) (α β) = α α β+ αβ β ( ) = + = ) α β = (α β)(α + αβ+ β ) = = ( )( + + ) = ( )( + + 4) 7) α + β = (α+ β)(α αβ+ β ) + = () + = ( + ) () () + = ( + )(4 + ) ) Αν α+ β+ γ = 0, ή α = β = γ, τότε α + β + γ = αβγ = 0, άρα ( ) + ( + ) + ( ) = ( )( + )( ) Σ η μ ε ί ω σ η Σε κάποιες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται και οι παρακάτω ταυτότητες: 9) (α+ β+ γ) = α + β + γ + αβ + βγ + αγ 0) (α+ β+ γ) = α + β + γ + (α+ β)(β+ γ)(γ+ α) ) α + β + γ αβγ = (α+ β+ γ) (α β) + (β γ) + (γ α) ) α + β = (α+ β) αβ ή α + β = (α β) + αβ ) α + β = (α+ β) αβ(α+ β) 4) Για κάθε ν Ν ν ν ν ν ν ν : y = ( y)( + y y + y ) 5) Για ν περιττό: 6) Για ν άρτιο ισχύει: ν ν ν ν ν ν + y = ( + y)( y +... y + y ) ν ν ν ν ν ν y = ( + y)( y y y )

3 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 7 Α Εξισώσεις ου βαθμού Είναι εξισώσεις της μορφής α + β = 0, όπου α,β R. Στις εξισώσεις αυτές μετά τις πράξεις και τις αναγωγές όμοιων όρων καταλήγουμε στη μορφή α = β. ) Αν α 0, τότε διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου και η εξίσωση έχει β μια λύση, την = α 5 5 ( ) = 6 = = 6 = 5 = = 5 Άρα η εξίσωση έχει μια μόνο λύση, την = ) Αν α = 0 και β 0, η εξίσωση είναι αδύνατη. ( + ) = + 6 = = 6 0 = 7 Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ) Αν α = 0 και β = 0, η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. ( ) (+ ) = 6= + = = 0. Άρα η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις. Β Εξισώσεις ου βαθμού κλασματικές Είναι εξισώσεις που περιέχουν κλάσματα. Οι εξισώσεις αυτές μετά την απαλοιφή των παρονομαστών καταλήγουν στην προηγούμενη μορφή. + + = = 6( + ) ( ) = = 6+ = 6 9 = 7 = = Γ Εξισώσεις ου βαθμού Είναι εξισώσεις της μορφής Η διακρίνουσα είναι α + β + γ = 0, όπου α,β, γ R και α 0. Δ = β 4 α γ και έχουμε τις περιπτώσεις: ) Αν Δ < 0, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (Αδύνατη στο R). Για την εξίσωση + + = 0, η Δ = 4 = 4 = < 0, επομένως είναι αδύνατη. β ) Αν Δ = 0, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες ρ = α Για την εξίσωση 4+ 4 = 0, η Δ = ( 4) 4 4 = 6 6 = 0, άρα έχει 4 μια ρίζα διπλή ρ = =.

4 yahoo.gr β± Δ ) Αν Δ > 0, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ρ, = α Για την εξίσωση 4 = 0, η Δ = ( 4) 4 ( ) ( ) = 6 = > 0, άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: ( 4) ± 4± 4 4± (± ) ± ρ, = = = = = () Επομένως ρ = = και ρ = = Σ η μ ε ί ω σ η Αν λείπει κάποιος όρος, τότε η εξίσωση λέγεται ελλιπής. Την λύνουμε με τον ίδιο τρόπο, αφού συμπληρώσουμε τον όρο που λείπει με μηδέν. Για την εξίσωση = = 0, η Δ = ( ) 4 0 = 4 > 0, άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: ( ) ± 4 ± ρ, = = Άρα ρ = = = 0 και ρ = = =. ος τρόπος : = 0 ( ) = 0, άρα = 0 ή = 0 =. Για την εξίσωση = = 0, η Δ = 0 4 ( ) = > 0, άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες: 0± ± 4 ± ρ, = = = = ±. Άρα ρ = και ρ =. ος τρόπος : = 0 = = ±. Για την εξίσωση + = = 0, η Δ = 0 4 = 4< 0, άρα είναι αδύνατη. ος τρόπος : + = 0 =, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, διότι για κάθε R ισχύει 0. Δ Εξισώσεις ου βαθμού κλασματικές Είναι εξισώσεις που περιέχουν κλάσματα, στα οποία οι αριθμητές και οι παρονομαστές είναι πολυώνυμα. Τρέπουμε τους παρονομαστές σε γινόμενα πολυωνύμων ου βαθμού, βγάζοντας κοινό παράγοντα, χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες, ή για το τριώνυμο ου βαθμού: Αν Δ > 0, τότε α + β + γ = α( ρ )( ρ ) Αν Δ = 0, τότε α + β + γ = α( ρ) Βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών, που είναι το γινόμενο του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των αριθμών που εμφανίζονται στους παρονομαστές και των πολυωνύμων με το μεγαλύτερο εκθέτη που εμφανίζονται στους παρονομαστές.

5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 9 Γράφουμε ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός και βρίσκουμε τους περιορισμούς που πρέπει να ισχύουν ώστε να έχει λύση η εξίσωση. Μετά την απαλοιφή των παρονομαστών καταλήγουμε σε εξίσωση της προηγούμενης μορφής, οι λύσεις της οποίας καθορίζονται και από τους περιορισμούς που αναφέραμε προηγουμένως = 0 = 0 = 0 4 (+ )( ) Ε.Κ.Π = ( + )( ) 0, άρα πρέπει + 0 και 0. + Είναι ( + )( ) ( + )( ) = ( + )( ) 0 ( + )( ) (+ )( ) = = = 0 Είναι Δ = 4 4 ( 4) = = 64 > 0, άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και 4± 64 4± 4 άνισες, ρ, = = Άρα ρ = = =, απορρίπτεται, λόγω του περιορισμού και ρ = = =, δεκτή. 6 6 Ε Εξισώσεις ανωτέρου του ου βαθμού Τρέπουμε το πολυώνυμο σε γινόμενο πολυωνύμων ου και ου βαθμού, με ένα από τους παρακάτω τρόπους: ) Βγάζουμε κοινό παράγοντα από όλους τους όρους, αν υπάρχει. + + = 0 ( + + ) = 0 Άρα = 0, ή + + = 0, αδύνατη, διότι Δ = < 0. ) Βγάζουμε κοινό παράγοντα κατά ομάδες, αν είναι δυνατό. + = 0 ( ) + ( ) = 0 ( )( + ) = 0 Άρα = 0 =, ή + = 0, αδύνατη, διότι Δ = 4< 0. ) Χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες. 4 = 0 ( ) = 0 ( )( + ) = 0 Άρα = 0 = = ± = ±, ή + = 0, αδύνατη, διότι Δ = 4< ος τρόπος : = 0 = = ± 4 = ± 7= 0 = 0 ( )( + + ) = 0 ( )( + + 9) = 0 Άρα = 0 =,ή ος τρόπος : = 0, αδύνατη, διότι Δ = 7 < 0. 7= 0 = 7 = 7 = =

6 0 yahoo.gr + 5 = = 0 ( + 5)( ) = 0 ( + 5)( 5 + 5) = 0 Άρα + 5= 0 = 5, ή 5+ 5= 0, αδύνατη, διότι Δ = 75 < 0. ος τρόπος : + 5 = 0 = 5 = 5 = ( 5) = 5 Είναι = 0, άρα (λόγω της ταυτότητας ) έχουμε: ( ) + ( + ) + ( ) = 0 ( )( + )( ) = 0. Άρα = 0 =, ή + = 0 =, ή = 0 = = 4) Αν ένα πολυώνυμο P() έχει μια τουλάχιστον ακέραια ρίζα ρ, μπορούμε χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner, αφού προηγουμένως γράψουμε το πολυώνυμο στην πλήρη του μορφή συμπληρώνοντας τους όρους που λείπουν με μηδέν, να το τρέψουμε σε γινόμενο πολυωνύμων ου και ανωτέρου του ου βαθμού. Πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου. Το πολυώνυμο στο τέλος γράφεται Ρ() = ( ρ) Q(), όπου Q() πολυώνυ- μο βαθμού κατά ένα μικρότερου από το Ρ(). Για το P() = σταθερός όρος είναι το 6, πιθανές ακέραιες ρίζες οι ±, ±, ±, ± 6 και από το παρακάτω σχήμα το πολυώνυμο γράφεται P() = ( )( 5 + 6). Συντελεστής Συντελεστής Συντελεστής Σταθερός Πιθανή του του του όρος ακέραιη ρίζα (-5) (-6+) (-5) (-6+6) 6 Συντελεστής Συντελεστής Σταθερός του του αριθμός Πολυώνυμο -5+6 Πολυώνυμο - Για την εξίσωση + = = 0 πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±. Άρα, από το σχήμα Ηorner, η εξίσωση γίνεται ( + )( + ) = 0. Επομένως + = 0 =, ή ος τρόπος : ος τρόπος : = 0, αδύνατη, διότι Δ = < 0. + = 0 = = = ( ) = + = 0 + = 0 ( + )( + ) = 0 κ.λ.π

7 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις Για πολυώνυμα 4ου βαθμού και άνω, επαναλαμβάνουμε το σχήμα Horner. 4 Για την εξίσωση + + = 0, πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±, ±. Άρα, από το σχήμα Ηorner η εξίσωση γίνεται ( )( ) = Επομένως = 0 =, ή = 0 - Πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±, ±. Άρα, από το σχήμα Ηorner η εξίσωση γίνεται ( + )( + ) = Άρα + = 0 =, ή + = 0, αδύνατη διότι Δ = 4 < 0. Επομένως οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί = και =. To σχήμα Horner χρησιμοποιείται και στα πολυώνυμα ου βαθμού. Για την εξίσωση 6 7 = 0, πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±, ± 7. Άρα, από το σχήμα Ηorner η εξίσωση γίνεται ( + )( 7) = 0. Άρα + = 0 =, ή 7= 0 = ) Αν η εξίσωση είναι της μορφής α + β + γ = 0 (διτετράγωνη), θέτουμε 4 = y, οπότε = y και η εξίσωση γίνεται αy + βy + γ = 0. Λύνουμε την εξίσωση αυτή και στη συνέχεια από την ισότητα = y βρίσκουμε τις τιμές του. 4 4 Για την εξίσωση = 0, θέτω = y, οπότε = y και η εξίσωση ( ) ± 6 ± 6 γίνεται y y = 0, με Δ = 6 > 0 και ρίζες ρ, = =, οπότε ρ = = =, ρ = = = 4. Από την = y έχουμε =, αδύνατη και = 4 = ± 4 = ±. 4 4 Για την εξίσωση + = 0, θέτω = y, οπότε = y και η εξίσωση γίνεται y y+ = 0, με Δ = 0 και ρίζα ρ = = = διπλή. Από την = yέχουμε = = ± = ±. 4 4 Για την εξίσωση + + = 0, θέτω = y, οπότε = y και η εξίσωση γίνεται y + y+ = 0, με Δ = < 0, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ΣΤ Εξισώσεις ανωτέρου του ου βαθμού κλασματικές Λύνονται όπως οι κλασματικές εξισώσεις ου βαθμού.

8 yahoo.gr Α Ανισώσεις ου βαθμού Λύνονται όπως οι εξισώσεις ου βαθμού. Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι αρνητικός αριθμός, όταν διαιρέσουμε με αυτόν, η φορά της ανίσωσης αλλάζει. > > + > > > (, + ) [ 6, + ) 6 6 < 6 < + 6 < < <, 6 6 > ( + ) > > > 7, αδύνατη. 6(+ ) > (+ ) 6+ > > 0> 6 Η παραπάνω ανίσωση ισχύει για κάθε R, άρα έχει άπειρες λύσεις. Β Ανισώσεις ου βαθμού κλασματικές Λύνονται όπως οι κλασματικές εξισώσεις ου βαθμού και μετά την απαλοιφή των παρονομαστών καταλήγουν στην προηγούμενη μορφή. + + < < 6( + ) ( ) < < 4 6+ < < > >, ( ) + +, ( ) ( ) , + 7

9 Γ Ανισώσεις ου βαθμού Για α,β, γ R, και α 0, είναι της μορφής: α + β + γ 0 α + β + γ 0 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις α + β + γ > 0 α + β + γ < 0 Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου, αν έχει και κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων. Για τον πίνακα προσήμων έχουμε τις περιπτώσεις: ) Αν Δ < 0, το τριώνυμο παίρνει το πρόσημο του α (ο συντελεστής του για κάθε R. Για το τριώνυμο f() = + + έχουμε Δ = < 0, άρα δεν έχει ρίζες. Από τον πίνακα προσήμων έχουμε τις λύσεις των ανισώσεων: R, + + > > 0 R Αδύνατη + + < 0 Αδύνατη ) Αν Δ = 0, το τριώνυμο παίρνει το πρόσημο του α (ο συντελεστής του β για κάθε R, εκτός από τη ρίζα του ρ =, όπου μηδενίζεται. α ) ) Για το τριώνυμο f() = έχουμε Δ = 0, άρα έχει μια ρίζα διπλή 4 ρ = =. Από τον πίνακα προσήμων έχουμε τις λύσεις των ανισώσεων: () = + 4 4> 0 Αδύνατη R 4 4 0,, + + < ( ) ( ) ) Αν Δ > 0, το τριώνυμο παίρνει το πρόσημο του α (ο συντελεστής του ), β± Δ εκτός των ριζών και αντίθετο του α ανάμεσα στις ρίζες του ρ, = α Για το τριώνυμο f() = + έχουμε Δ = > 0, άρα έχει δύο ρίζες, τις ( ) ± ± ρ, = = + 4, οπότε ρ = = = και ρ = = =. Από τον πίνακα προσήμων έχουμε τις λύσεις των ανισώσεων: + 0 (,] [, + ) + > 0 (,) (, + ) + 0 [,] + < 0 (,) f() f() f()

10 4 yahoo.gr Δ Ανισώσεις ου βαθμού κλασματικές Οι ανισώσεις αυτές, για α,β, γ,δ,κ R και γ + δ 0, είναι της μορφής: α + β κ α + β κ α + β > κ α + β < κ γ + δ γ + δ γ + δ γ + δ Μεταφέρουμε τον αριθμό κ από το δεύτερο μέλος στο πρώτο και αφού τρέψουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα, οι παραπάνω μορφές καταλήγουν στις: α + β 0 α + β 0 α + β > 0 α + β < 0 γ + δ γ + δ γ + δ γ + δ Οι παραπάνω ανισώσεις έχουν ίδιες λύσεις με τις: (α + β)(γ + δ) 0 (α + β)(γ + δ) 0 (α + β)(γ + δ) > 0 (α + β)(γ + δ) < 0 που είναι ανισώσεις ου βαθμού (ή ου αν α = 0,ή γ = 0 ) αρκεί από τις λύσεις αυτές να εξαιρέσουμε τη ρίζα της εξίσωσης γ + δ = ( + )( ) Η τελευταία ανίσωση είναι ου βαθμού με ρίζες: + = 0 = = 0 = Από τον πίνακα προσήμων προκύπτει (+)(-) - ότι [,] και εφόσον, για την αρχική ανίσωση τελικά [,). Σ η μ ε ί ω σ η Τα πολυώνυμα ου βαθμού, δεξιά από τη ρίζα τους έχουν το πρόσημο που έχει ο συντελεστής του και αριστερά το αντίθετο. Έτσι, στην παραπάνω ανίσωση θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε το διπλανό πίνακα προσήμων. Η λύση της ανίσωσης είναι [,). Για την ανίσωση 0, εφόσον ο αριθμητής είναι θετικός αριθμός, για να ισχύει η ανίσωση, πρέπει < 0 < (,). Σ η μ ε ί ω σ η Τα πρόσημα των πολυωνύμων, στα διαστήματα που καθορίζονται από τις ρίζες τους, μπορούμε να τα βρούμε δίνοντας τιμές στο από κάθε διάστημα στο πολυώνυμο. Π. το πολυώνυμο + στο διάστημα (,) είναι θετικό εφόσον για = 0 (,) γίνεται 0+ = >

11 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ε Ανισώσεις ανωτέρου του ου βαθμού Είναι ανισώσεις που περιέχουν πολυώνυμα ανωτέρου του ου βαθμού, ή γινόμενα πολυωνύμων ου, ου και ανωτέρου του ου βαθμού. Τρέπουμε τα ανωτέρου του ου βαθμού πολυώνυμα σε γινόμενα πολυωνύμων ου και ου βαθμού, βρίσκουμε τις ρίζες των πολυωνύμων αυτών και στη συνέχεια κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων για τα πολυώνυμα αυτά και το γινόμενό τους. Για την ανίσωση , πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου είναι οι αριθμοί ±, ±, ±, ± 6. Άρα, από το σχήμα Ηorner η ανίσωση γίνεται ( )( 6) = 0 = 6= 0, με Δ = 5 > 0 και ρ=,ρ = Από τον πίνακα προσήμων προκύπτει ότι: [,] [, + ) (-) ( --6) Για την ανίσωση ( )( + )( + + )( + )( 5 + 6) < 0, έχουμε: = 0 = + = 0 = + + = 0 Δ = < 0, αδύνατη + = 0, Δ = 0 = διπλή 5+ 6 = 0 Δ = > 0 και =, = Γινόμενο Από τον πίνακα προσήμων προκύπτει ότι (,) (,). ΣΤ Ανισώσεις ανωτέρου του ου βαθμού κλασματικές Λύνονται όπως οι κλασματικές ανισώσεις ου βαθμού. ( )( ) ( )( )( )

12 6 yahoo.gr Α Συστήματα εξισώσεων α) Συστήματα εξισώσεων με ένα άγνωστο Λύνουμε την πιο εύκολη από τις εξισώσεις και στη συνέχεια εξετάζουμε ποιες από τις λύσεις που βρήκαμε επαληθεύουν τις υπόλοιπες. Αυτές είναι οι λύσεις του συστήματος. Αν καμία από τις λύσεις δεν επαληθεύει όλες τις εξισώσεις, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. 6 = 0 () 4 = 0 () 5+ 6 = 0 () Από την () έχουμε 6 = 0 = 6 =. Για την τιμή αυτή: Η () επαληθεύεται, διότι 4 = 0 = 0 0 = 0. Η () επαληθεύεται, διότι 5 + 6= = 0 0= 0. Άρα η λύση του συστήματος είναι η =. (Μπορούμε να λύσουμε όλες τις εξισώσεις και να βρούμε την κοινή λύση) β) Συστήματα δύο εξισώσεων ου βαθμού με δύο αγνώστους Η πιο συνηθισμένη μέθοδος λύσης των συστημάτων αυτών είναι η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. Στη μέθοδο αυτή επιλέγουμε ένα άγνωστο και επιδιώκουμε ο άγνωστος στις δύο εξισώσεις να έχει αντίθετους συντελεστές, πολλαπλασιάζοντας, αν χρειαστεί, με κατάλληλο αριθμό τη μια ή και τις δύο εξισώσεις. Τα συστήματα αυτού του είδους έχουν μια λύση, ή είναι αδύνατα, ή έχουν άπειρες λύσεις. α+ β= 0 α+ β= 0 Άρα α =, οπότε + β = β =. α+ β= ( ) α β= α = α β = ( ) α + 4β = 4 α 4β = α 4β = 0 = 5 αδύνατη, άρα το σύστημα είναι αδύνατο. α+ β= () α β =, άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. α + β = α + β = 0 = 0 Έστω β= κ R. Τότε α+ β= α+ κ = α = κ και οι άπειρες λύσεις είναι της μορφής ( α,β) = ( κ,κ ),κ R.

13 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 7 γ) Συστήματα δύο εξισώσεων ου βαθμού και ου βαθμού με δύο αγνώστους Αν έχουμε σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, στο οποίο η μια εξίσωση είναι ου βαθμού και η άλλη ου βαθμού, τότε λύνουμε την πρωτοβάθμια ως προς ένα άγνωστο και αντικαθιστούμε στην άλλη. y = = y+ = y+ = y+ () + y = (y+ ) + y = y + y+ + y = y + y = 0 () Από την () έχουμε: y + y = 0 y(y + ) = 0. Άρα y = 0, ή y+ = 0 y =. Τότε από την () έχουμε: Για y = 0 είναι = 0+ = και για y = είναι = + = 0. Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: (, y) = (,0) και (,y) = (0, ). Σ η μ ε ί ω σ η Αν η εξίσωση ου βαθμού που προκύπτει κατά τη λύση του συστήματος είναι αδύνατη, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, ενώ αν έχει μια μόνο ρίζα διπλή, τότε το σύστημα έχει μια μόνο λύση. Β Συστήματα ανισώσεων Λύνουμε κάθε μια ανίσωση χωριστά και στη συνέχεια βρίσκουμε τις κοινές λύσεις, αν υπάρχουν. 6 0 () 0 () 6+ 5> 0 () () [, + ) () 0 4 [ 4, + ) () Είναι Δ = 6 > 0 και ρ=, ρ = 5. Άρα (,) ( 5, + ) Από τις (), (), () έχουμε, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, ( 5, + ) Σ η μ ε ί ω σ η Οι κοινές λύσεις βρίσκονται σε εκείνα τα διαστήματα, στα οποία το πλήθος των παράλληλων γραμμών είναι ίσο με το πλήθος των ανισώσεων.

14 yahoo.gr Α Ιδιότητες των ριζών Για κάθε κ, ν Ν,κ,ν και α,β 0, ισχύει: ν ) α = β α = β, ν ) ν α νβ = να β ν ) ν ν β 0 4) = = β = > 5 = 5 μ ν μ α = α ν,α > 0,μ Ζ 5) ν κ α = ν κ α 6) νκ μκ α = ν α μ 7) ν ν α = α 5 5 = 5 = = 6 = = 6 5 = 5 = α = α Β Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός Διαίρεση ριζών α) Για να προσθέσουμε, ή να αφαιρέσουμε ρίζες, πρέπει να έχουν τον ίδιο δείκτη και την ίδια παράσταση κάτω από τη ρίζα (υπόριζη ποσότητα). Προσθέτουμε τότε, ή αφαιρούμε αντίστοιχα το πλήθος των ριζών αυτών = 4 = β) Για να πολλαπλασιάσουμε, ή να διαιρέσουμε ρίζες, πρέπει να έχουν τον ίδιο δείκτη, όπως φαίνεται στα παραπάνω παραδείγματα των ιδιοτήτων (), (). Αν δεν έχουν τον ίδιο δείκτη, τότε βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεικτών και τους πολλαπλασιάζουμε με κατάλληλο αριθμό, ώστε οι ρίζες να έχουν τον ίδιο δείκτη. Τον αριθμό αυτό με τον οποίο πολλαπλασιάσαμε, τον βάζουμε εκθέτη στην υπόριζη ποσότητα = 5 = = = 6540 Γ Εισαγωγή αριθμού σε ρίζα Εξαγωγή αριθμού από ρίζα α) Σε γινόμενο αριθμού με ρίζα, για να μπει ο αριθμός μέσα στη ρίζα υψώνεται στον δείκτη της ρίζας και πολλαπλασιάζεται με την υπόριζη ποσότητα. = = = 4 β) Για να βγει ένας αριθμός έξω από τη ρίζα, πρέπει ο αριθμός αυτός να είναι δύναμη με εκθέτη το δείκτη της ρίζας και η υπόριζη ποσότητα να είναι γινόμενο. Τότε ο αριθμός βγαίνει έξω από τη ρίζα χωρίς τον εκθέτη του. 0 = 4 5 = 5 = 5

15 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 9 Δ Μετατροπή άρρητου παρονομαστή σε ρητό. α) Ο άρρητος παρονομαστής ενός κλάσματος μετατρέπεται σε ρητό, αν πολλαπλασιάσουμε με κατάλληλη ρίζα τον αριθμητή και τον παρονομαστή, έτσι ώστε ο παρονομαστής να γίνει δύναμη με εκθέτη το δείκτη της ρίζας = = = = = = ( ) β) Αν ο παρονομαστής του κλάσματος είναι άθροισμα ή διαφορά δύο τετραγωνικών ριζών, τότε πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τη συζυγή παράσταση του παρονομαστή = = = = + ( )( + ) ( ) ( ) = = = = 5 + ( 5 + )( 5 ) ( 5) ( ) 5 Ε Εύρεση ή απλοποίηση ρίζας Για να βρούμε, αν υπάρχει, ή για να απλοποιήσουμε, εφόσον απλοποιείται, μια ρίζα, πρέπει να γράψουμε τον αριθμό στην υπόριζη ποσότητα σαν γινόμενο δυνάμεων. Αυτό γίνεται τρέποντας τον αριθμό αυτό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν μοναδικό διαιρέτη τον εαυτό τους και τη μονάδα, με εξαίρεση το, δηλαδή οι αριθμοί,, 5, 7,,, Διαιρούμε τον αριθμό στην υπόριζη ποσότητα με τον μικρότερο πρώτο αριθμό εφόσον διαιρείται ακριβώς. Αν δεν διαιρείται, δοκιμάζουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό, κ.λ.π. Τους διαιρέτες τους γράφουμε δεξιά, ενώ τα πηλίκα της διαίρεσης αριστερά. Το γινόμενο των διαιρετών είναι ίσο με τον αριθμό που αναλύσαμε. 4 4 = = = 4 00 = 5 = 5 = 0 69 = = 4 = 7 = 7 = 4 ΣΤ Εξισώσεις με ρίζες Για να λύσουμε εξισώσεις αυτής της μορφής, απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος της εξίσωσης και υψώνουμε και τα δύο μέλη στον δείκτη της ρίζας. Αν η εξίσωση περιέχει δύο ρίζες, τότε φροντίζουμε σε κάθε μέλος να υπάρχει μια ρίζα και στη συνέχεια υψώνουμε στον δείκτη της ρίζας

16 0 yahoo.gr Στο τέλος πρέπει να ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς και επαληθεύουν την εξίσωση. = = + = () 0, άρα και 0 Εφόσον για κάθε R ισχύει, + (α) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η, πρέπει 0± ± 4 ± ± Είναι Δ = > 0 και ρ, = = = = Άρα,, + (β) - Από την () έχουμε = ( ) = ( ) = = = = 0. Είναι Δ = 6 > 0 και ρ, 6± 6 6± 4 = = () Άρα ρ = = = 5 και ρ = = =. Από τις τιμές αυτές μόνο η τιμή = 5 ικανοποιεί τους περιορισμούς (α), (β), ενώ η τιμή = δεν ικανοποιεί τον περιορισμό (α), διότι, +. Παρατηρούμε ότι για = 5 η αρχική εξίσωση = 5 5= = 7 5= = επαληθεύεται. Επομένως, η λύση της εξίσωσης είναι η = 5.

17 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις Α Ιδιότητες των απολύτων τιμών Για τις απόλυτες τιμές ισχύουν τα παρακάτω: ) αν > 0 = 0 αν = 0 αν < 0 Π. = διότι > 0 0 = 0 = ( ) = διότι < 0 ν ν ) Για κάθε R και ν άρτιο, ισχύει =. Π. = ) Για κάθε R ισχύει 0 και. 4) Για κάθε α R, με α 0, ισχύει φ() = α φ() = ± α. 5) Για κάθε α R, με α > 0, ισχύει: φ() α α φ() α φ() [ α,α] φ() α { φ() αήφ() α} φ() (, α] [ α, + ) Β Εξισώσεις με απόλυτες τιμές Λύνονται όπως όλες οι εξισώσεις και στο τέλος χρησιμοποιούμε της ιδιότητα 4. 6= 0 = 6 = = ± = = ±, άρα: = = + = και = = + = 4 = 0 = 0 = + =, αδύνατη διότι για κάθε R, ισχύει = = και θέτοντας = y 0, η εξίσωση γίνεται: y y = 0, που έχει Δ = 9> 0 και ρ=, ρ =. Άρα = αδύνατη και = = ±. Γ Ανισώσεις με απόλυτες τιμές Λύνονται όπως όλες οι ανισώσεις και στο τέλος χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Άρα + και + Επομένως [,]. (Από την, μπορούμε να λύσουμε τη διπλή ανίσωση προσθέτοντας το σε όλα τα μέλη της ανίσωσης, δηλαδή )

18 yahoo.gr { ή } { + ή + } { ή } (,] [, + ) Σ η μ ε ί ω σ η Υπάρχουν και οι παρακάτω ειδικές περιπτώσεις ανισώσεων: 0 R > 0 R { } 0 = < 0 αδύνατη R, > > R αδύνατη < αδύνατη Δ Απαλοιφή του συμβόλου της απόλυτης τιμής Για την απαλοιφή του συμβόλου της απόλυτης τιμής σε μια συνάρτηση, βρίσκουμε τις ρίζες της παράστασης που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή και το πρόσημό της. Αν σε ένα διάστημα η παράσταση είναι θετική, τότε η απόλυτη τιμή της είναι η ίδια η παράσταση και αν είναι αρνητική, η απόλυτη τιμή της είναι η αντίθετη από την παράσταση που είναι μέσα στην απόλυτη τιμή. Για την f() = είναι = 0 =. +, (,] f() = +, (, + ) Για την f() = + είναι = 0 = και = 0 =. Αν (,], τότε: f() = + + = + 4 Αν (,), τότε: f() = + = Αν [, + ), τότε: f() = + = 4 ( ] ( ) [ ) + 4,, f() =,, 4,, + Για την f() = + είναι + = 0, με Δ = > 0 και ρ=, ρ =. +, (,) (, + ) f() = +, [,] f() f() - -

19 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις Α Εκθετικές εξισώσεις g() α Οι εκθετικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής = β, α,β R με α > 0. Μετατρέπουμε τον αριθμό β > 0 σε δύναμη με βάση τον αριθμό α και η εξίσωση γίνεται α = α, οπότε g() = κ, με κ R, δηλαδή γνωστή εξίσωση. g() κ Η περίπτωση ο αριθμός β να μην μπορεί να γίνει δύναμη με βάση τον αριθμό α, θα εξεταστεί στους λογαρίθμους. 4 = 6 = = 4 5 = 0 αδύνατη 5 = αδύνατη = = 7 = = = 5 = 5 = 5 = 5 = + = Είναι Δ = > 0 και ρ=, ρ =. Άρα = και =. = 7 = = = ± = = 0 = 6 = = εξίσωση γίνεται Άρα = 0 (5 ) = 0 και αν θέσουμε όπου y 6y+ 5= 0, που έχει Δ = 5 = 5 = 0 και Β Εκθετικές ανισώσεις 5 = 5 =. = > και ρ=, ρ = 5. 5 = y > 0, η Η εκθετική συνάρτηση f() = α, α R, α > 0 έχει πεδίο ορισμού το A = R. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: α) Αν α > είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για, A με < ισχύει α < α. Η ανίσωση 0 e < e < e < 0, διότι η συνάρτηση f() = e είναι γνησίως αύξουσα εφόσον έχει βάση τον αριθμό e,7>. β) Αν 0 < α < είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε για, A με < ισχύει α > α. < < > είναι γνησίως φθίνουσα εφόσον έχει βάση το και 0< <. Η ανίσωση, διότι η συνάρτηση f() =

20 4 yahoo.gr Α Εισαγωγικές έννοιες α) Λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ με βάση το θετικό αριθμό α, α, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον αριθμό α για να βρούμε το θ. Δηλαδή Iogαθ = α = θ, όπου θ > 0 και 0 < α. β) Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ με βάση το 0 λέγεται δεκαδικός λογάριθμος του θετικού αριθμού θ και συμβολίζεται με logθ και όχι lοg0θ. Δηλαδή Iogθ = 0 = θ, όπου θ > 0. γ) Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ με βάση τον άρρητο αριθμό e,7 λέγεται φυσικός ή νεπέρειος λογάριθμος του θετικού αριθμού θ και συμβολίζεται με lnθ και όχι lne θ. Δηλαδή Inθ = e = θ, όπου θ > 0. Β Ιδιότητες των λογαρίθμων θ ) Iog α(θ θ ) = Iogαθ + Iogαθ ) Iog Iog θ Iog θ θ = κ α α α κ α = κ ) Iogαθ = κ Iogαθ 4) Iog α 5) Iogα = 0 6) Iogαα = 7) Αν θ >, τότε Iogαθ > 0 ) Αν 0 < θ <, τότε Iogαθ < 0 logβ θ 9) logα θ = (Τύπος για την αλλαγή της βάσης ενός λογάριθμου) log β α 6 log + log4 log = log + log4 log = log( 6) log = log = = log4 = log = log = log0 = log = log 5 = log 5 = lne log5 > 0 log 0 < lne > 0 log 5 log7 ln7 log 5 = log 7 = log 7 = log log ln Γ Λογαριθμικές Εξισώσεις Ομάδα Α Για να βρούμε τους λογάριθμους κάποιων αριθμών, εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογάριθμου και καταλήγουμε σε εκθετική εξίσωση. 0 log = 0 = 0 = 0 = 0, άρα log = 0.

21 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 log00 = 0 = 00 0 = 0 =, άρα log00 =. 0 ln = e = e = e = 0, άρα ln = 0. lne = e = e =, άρα lne =. log 4 = = 4 = =, log 4 =. Ομάδα Β Οι παρακάτω εξισώσεις λύνονται εφαρμόζοντας τον ορισμό του λογάριθμου, ή αντικαθιστώντας τον αριθμό με λογάριθμο, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 4. Για την εξίσωση log = πρέπει > 0. Είναι log = = 0 = 0 > 0, δεκτή. ος τρόπος : log = log = log0 = 0 > 0 Για την εξίσωση log( ) =, πρέπει > 0 >. Είναι log( ) = = 0 = 0+ = > δεκτή. ος τρόπος : log( ) = log( ) = log0 = 0 = 0+ = > Για την εξίσωση ln =, πρέπει > 0. Είναι ln = = e > 0 δεκτή ( e,7). ος τρόπος : ln = ln = lne = e > 0 Για την εξίσωση log log + = 0, πρέπει > 0. Θέτω log y =, y =, άρα: = y, οπότε η εξίσωση γίνεται y y+ = 0. Είναι Δ = > 0 και log = = > 0 δεκτή και log = = = 9 > 0 δεκτή. ος τρόπος : Με την ίδια διαδικασία και καταλήγουμε στις εξισώσεις: log = log = log = > 0 log = log = log = = 9 > 0 Ομάδα Γ Στις εξισώσεις αυτές, άγνωστος είναι η βάση α του λογάριθμου, για την οποία έχουμε τον περιορισμό 0 < α. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό καταλήγουμε σε γνωστές εξισώσεις. Για την εξίσωση log = πρέπει 0<. Είναι log = = > 0 και =, άρα δεκτή. Για την εξίσωση log 5 =, πρέπει > 0 > και. Είναι log 5 = = 5 = 5 + = 7 > και = 7, άρα δεκτή. Για την εξίσωση log = πρέπει 0<. Είναι log = = = = = > 0 και =, άρα δεκτή.

22 6 yahoo.gr Σ η μ ε ί ω σ η Στις εκθετικές εξισώσεις υπάρχει μια περίπτωση που πρέπει να αναφερθεί εδώ. g() Αν για την εκθετική εξίσωση α = β, α,β R με α > 0, είναι β > 0 και ο α- ριθμός β δεν μπορεί να γίνει δύναμη με βάση τον αριθμό α, τότε παίρνουμε τους λογαρίθμους και των δύο μελών της εξίσωσης, οπότε σύμφωνα με την ιδιότητα () των λογαρίθμων η εξίσωση γίνεται: g() logβ logα = logβ g() logα = logβ g() =, οπότε καταλήγουμε σε γνωστές εξισώσεις. logα log = log = log log = log = log Δ Λογαριθμικές Ανισώσεις Η λογαριθμική συνάρτηση f() = logα, 0 < α έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A = ( 0, + ). Στις λογαριθμικές ανισώσεις χρησιμοποιούμε την ιδιότητα 4 και τα παρακάτω: α) Αν α > είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για, A με < ισχύει logα < logα. Για την ανίσωση log >, πρέπει > 0. Είναι log > log > log0 > 0, διότι η συνάρτηση f() = log είναι γνησίως αύξουσα εφόσον έχει βάση τον αριθμό 0 >. Άρα > 0. Για την ανίσωση ln <, πρέπει > 0. Είναι ln < ln < lne < e, διότι η συνάρτηση f() = ln είναι γνησίως αύξουσα εφόσον έχει βάση τον αριθμό e>. Επομένως 0< < e. β) Αν 0 < α < είναι γνησίως φθίνουσα, οπότε για, A με < ισχύει logα > logα. Για την ανίσωση log > 0, πρέπει > 0. Είναι log > log > log < <, διότι η συνάρτηση f() = log είναι γνησίως φθίνουσα εφόσον έχει βάση το και είναι 0< <. Σ η μ ε ί ω σ η Γενικά ασχολούμαστε μόνο με τους δεκαδικούς λογάριθμους, που έχουν βάση το 0 και τους φυσικούς λογάριθμους, που έχουν βάση το e.

23 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 7 Α Βασικοί τύποι της τριγωνομετρίας ημ + συν = ημ = συν συν = ημ ημ συν εφ = σφ = εφ = σφ = συν ημ σφ εφ ημ(α+ β) = ημα συνβ + ημβ συνα ημ(α β) = ημα συνβ ημβ συνα συν(α+ β) = συνα συνβ ημα ημβ συν(α β) = συνα συνβ + ημα ημβ ημ = ημ συν συν = συν ημ = ημ = συν Β Γνωστοί τριγωνομετρικοί αριθμοί Ημίτονο Συνημίτονο 45 (π /4) 60 (π /) Εφαπτομένη Συνεφαπτομένη 0 (π /6) 0 60 (π) π 90 Γ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών 0 (π) π 70 Ημίτονο Συνημίτονο 0-0 Εφαπτομένη Συνεφαπτομένη π π/ ο ο ο 4ο π/ 0 π ο ο ο 4ο Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη Συνεφαπτομένη

24 yahoo.gr Δ Κανόνες α) Αντίθετες γωνίες ημ( ) = ημ συν( ) = συν εφ( ) = εφ σφ( ) = σφ β) Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο Οι παρακάτω (πρακτικοί) κανόνες είναι πολύ χρήσιμοι όταν θέλουμε να βρούμε κάποιους τριγωνομετρικούς αριθμούς που δεν αναφέρονται στους προηγούμενους πίνακες. ) Σε γωνίες με μορφή 90 ± α, ή 70 ± α, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εναλλάσσονται, δηλαδή το ημίτονο γίνεται συνημίτονο, η εφαπτομένη γίνεται συνεφαπτομένη και το αντίστροφο. Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας. ημ5 = ημ( ) = συν45 = (ο τεταρτημόριο) συν( 40 ) = συν40 = συν(70 0 ) = ημ0 = (ο τεταρτημόριο) ) Σε γωνίες με μορφή 0 ± α, ή 60 ± α, ή 60 κ± α, (κ Ζ) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί δεν αλλάζουν. Το πρόσημο εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας. εφ( 5 ) = εφ5 = εφ( ) = εφ45 = (ο τεταρτημόριο) συν70 = συν( ) = συν60 = (ο τεταρτημόριο) Σ η μ ε ί ω σ η Για το πρόσημο ενός τριγωνομετρικού αριθμού, στους παραπάνω πρακτικούς κανόνες, θα θεωρούμε ότι η γωνία α είναι μικρότερη από 90, ώστε στον τριγωνομετρικό κύκλο να αλλάζουμε ένα τεταρτημόριο κάθε φορά. Π. ημ0 = ημ( ) = συν0 = συν(0 60 ) = συν60 = Στην πρώτη περίπτωση, η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο (θεωρούμε ότι η γωνία 0 είναι μικρότερη από 90 ), όπου το ημίτονο είναι θετικό και όχι στο ο τεταρτημόριο ( = 0 ), όπου το ημίτονο είναι αρνητικό. Ε Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με τους παρακάτω τύπους: = κπ + α εφ = εφα ) ημ = ημα (κ Ζ) ) = κπ + α (κ Ζ) = κπ + π α σφ = σφα ) συν = συνα = κπ ± α (κ Ζ) Γενικά ισχύει: ημ,συν

25 Σ η μ ε ί ω σ η Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 9 Είναι χρήσιμες και οι παρακάτω ειδικές περιπτώσεις: ημ = 0 = κπ (κ Ζ) π συν = 0 = κπ + (κ Ζ) Ομάδα Α Αντικαθιστούμε στην εξίσωση τον αριθμό που εμφανίζεται με τον αντίστοιχο τριγωνομετρικό αριθμό, από τους τριγωνομετρικούς πίνακες (Β). Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τους τύπους των τριγωνομετρικών εξισώσεων. π = κπ + (κ Ζ) π ημ = ημ = ημ 4 4 π 4π π π = κπ + π = κπ + = κπ + (κ Ζ) π π συν = συν = συν = κπ ± (κ Ζ) συν = αδύνατη, διότι γενικά ισχύει συν. π π εφ = εφ = εφ = κπ + (κ Ζ) 6 6 π π σφ = σφ = σφ = κπ + (κ Ζ) 4 4 Ομάδα Β Στις περιπτώσεις που έχουμε αρνητικό αριθμό και δεν είναι ίσος με κανένα τριγωνομετρικό αριθμό, χρησιμοποιούμε τον κανόνα των αντίθετων γωνιών για να βάλουμε το μείον μέσα στη γωνία στο ημίτονο, στην εφαπτομένη και στην συνεφαπτομένη, ενώ για το συνημίτονο γράφουμε: συν = κ συν = συνα συν = συν ( π α), όπου συνα = κ. π π ημ = ημ = ημ ημ = ημ 4 4 π π = κπ + = κπ (κ Ζ) 4 4 π π 4π+ π 5π = κπ + π = κπ + π + = κπ + = κπ + (κ Ζ) π π π π συν = συν = συν συν = συν π συν = συν π π συν = συν = κπ ± (κ Ζ) π π π εφ = εφ = εφ εφ = εφ = κπ (κ Ζ) π π π σφ = σφ = σφ σφ = σφ = κπ (κ Ζ) 4 4 4

26 0 yahoo.gr Ομάδα Γ Υπάρχουν εξισώσεις οι οποίες καταλήγουν στις προηγούμενες, αφού προηγουμένως εφαρμόσουμε σε αυτές τύπους της τριγωνομετρίας. π = κπ + (κ Ζ) π ημσυν = ημ = ημ π π = κπ + π = κπ + (κ Ζ) π π = κπ + = κπ + (κ Ζ) 4 ημ + συν ημ = 0 ημ + ημ ημ = 0 ημ ημ = 0 ημ(ημ ) = 0 Άρα ημ = 0 = κπ (κ Ζ) ή ημ = 0 ημ = > αδύνατη, διότι γενικά ισχύει ημ. Σ η μ ε ί ω σ η Σε κάποιες τριγωνομετρικές εξισώσεις, θέλουμε οι λύσεις να ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Στις περιπτώσεις αυτές δίνουμε τιμές στο κ από το σύνολο των ακέραιων αριθμών, στις λύσεις της εξίσωσης για να βρούμε ποιες από αυτές ανήκουν στο διάστημα αυτό. Για την εξίσωση εφ =, [ 0,π], έχουμε: π π εφ = εφ = εφ = κπ + (κ Ζ) () 4 4 Για κ = 0, από την () έχουμε π π = 0 π + = [ 0, π] 4 4 Για κ =, από την () έχουμε = π+ π = π+ π = 5π [ 0, π] Για κ =, από την () έχουμε = ( ) π+ π = π+ π = π [ 0, π] Γενικά, μόνο για κ = 0 η εξίσωση έχει λύση στο διάστημα [ 0, π ]. π Άρα η λύση της εξίσωσης είναι η = 4 Ένας άλλος τρόπος είναι να βρούμε για ποιες ακέραιες τιμές του κ, οι λύσεις θα ανήκουν στο διάστημα που δόθηκε. π π π π π [ 0,π] 0 π 0 κπ + π κπ + π π 4π π π κπ π κπ κ, άρα κ = π π 4π 4 4

27 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις Δίνουμε παρακάτω εισαγωγικές έννοιες, τύπους και απλές εφαρμογές για τις αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους. Α Αριθμητική Πρόοδος Είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε αριθμός προκύπτει από τον προηγούμενο, με την πρόσθεση πάντα του ίδιου αριθμού που ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου και συμβολίζεται με ω. Αν α ο πρώτος όρος και ω η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου (α ν), τότε: ) ω = αν+ αν Για την αριθμητική πρόοδο, 4, 6, είναι ω = 4 =. ) αν = α + (ν ) ω, ο νιοστός όρος (ή όρος τάξεως ν) της προόδου. Η αριθμητική πρόοδος με α = και ω =, έχει α5 = α+ 4ω = + 4 =. ) Οι αριθμοί α,β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β = α+ γ. α+ γ Ο αριθμός β = λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. Οι αριθμοί, 4, 6 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου διότι ισχύει: 4 = ) Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου δίνεται από τους (α τύπους + α ν)ν [ α + (ν ) ων ] Sν =, ή Sν = Η αριθμητική πρόοδος με α = και ω =, έχει α5 = α+ 4ω = + 4 = και το άθροισμα των 5 πρώτων όρων της είναι: (α+ α 5)5 ( + )5 70 S5 = = = = 5 Το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου με α = και ω =, είναι [ + ] [ + ] α (6 )ω 6 56 S6 = = = 7 = 5. 5) α) Αν ω > 0, η αριθμητική πρόοδος λέγεται γνησίως αύξουσα. Η αριθμητική πρόοδος, 4, 6, είναι γνησίως αύξουσα διότι ω = > 0. β) Αν ω < 0, η αριθμητική πρόοδος λέγεται γνησίως φθίνουσα. Η αριθμητική πρόοδος 4,,0,..είναι γνησίως φθίνουσα διότι ω = < 0.

28 yahoo.gr Β Γεωμετρική Πρόοδος Είναι μια ακολουθία αριθμών στην οποία κάθε αριθμός προκύπτει από τον προηγούμενο, με τον πολλαπλασιασμό πάντα του ίδιου αριθμού που ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου και συμβολίζεται με λ. Αν α ο πρώτος όρος και λ ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου (α ν), τότε: α ) λ = ν+ αν 4 Για την γεωμετρική πρόοδο, 4,, είναι λ = =. ν ) α = α λ, ο νιοστός όρος (ή όρος τάξεως ν) της προόδου. ν Η γεωμετρική πρόοδος με α = και λ =, έχει α = α λ = = 4. ) Οι αριθμοί α,β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β = α γ Ο αριθμός β = α γ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Οι αριθμοί, 4, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου διότι ισχύει: 4 =. 4) Το άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο S ν α (λ ) ν = λ Το άθροισμα των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου με α = και λ =, είναι α (λ ) ( ) 7 S = = = = 7. λ 5) α) Αν λ >, η γεωμετρική πρόοδος λέγεται απολύτως αύξουσα. Η γεωμετρική πρόοδος, 4,, είναι απολύτως αύξουσα διότι: λ = = >. β) Αν λ <, η γεωμετρική πρόοδος λέγεται απολύτως φθίνουσα. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα των απείρων όρων της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο S α = λ Η γεωμετρική πρόοδος,,,.. είναι απολύτως φθίνουσα διότι: 4 λ = = < και το άθροισμα των απείρων όρων της είναι: α S = λ = = = =

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΛΓΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Βασικά σύνολα Σύνολο φυσικών: Í {,,,L} Σύνολο ακεραίων: Æ { L,,,,,, L} Σύνολο ρητών: Q / Æ, ë Æ * ë Άρρητος λέγεται ένας αριθµός που δεν µπορεί να γραφτεί µε τη µορφή κλάσµατος ακεραίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 6 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα Ε_ΜλΓΑ(α)

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού;

3.Πώςθαλύσωμιαεξίσωσηδευτέρουβαθμού; 3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού; Βασικό! Το να έχεις τον άγνωστο x με εκθέτη 2 εξ αρχής στην εξίσωση, δεν είναι σίγουρο ότι θα δώσει εξίσωση δευτέρου βαθμού! Αυτό θα προκύψει μετά την εκτέλεση

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα