Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικα A Γυμνασιου"

Transcript

1 Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu

2 σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 5 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Η ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 6 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 8 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ 9 ΠΡΩΤΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ 9 ΠΡΩΤΟΙ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ 9 ΆΡΤΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ 10 ΕΥΡΕΣΗ ΔΙΑΙΡΕΤΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΠ ΚΑΙ ΜΚΔ 10 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 11 ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΑΝΑΓΩΓΑ, ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ & ΟΜΩΝΥΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 13 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 14 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ 16 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 17 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 17 ΜΕΙΚΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 17 Η ΦΥΣΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 18 ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 19 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ 19 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΩΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 19 ΔΙΑΤΑΞΗ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ 19 ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΚΑΙ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 0 Η (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ) ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 1 ΘΕΤΙΚΟΙ & ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΔΙΑΤΑΞΗ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ & ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 3 ΔΥΝΑΜΕΙΣ 4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 5 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΒΑΣΗ 6 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 7 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΕΚΘΕΤΗ 8

3 σελ. 3 απο 45 ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (1) 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ () 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (3) 31 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (4) 31 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (5) 3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 33 ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ 33 ΚΛΙΜΑΚΕΣ 33 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ (ΕΥΘΕΙΑ) 34 ΠΟΣΟΣΤΑ 35 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ 35 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΟΣΟΣΤΩΝ 35 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 36 ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ 36 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ (ΥΠΕΡΒΟΛΗ) 36 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 37 ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ 37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤA ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ 38 ΚΥΚΛΟΣ 39 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 40 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 41 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 41 ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 4 ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ 44 ΤΡΑΠΕΖΙΑ 45

4 σελ. 4 απο 45 Φυσικοι αριθμοι Ορισμος φυσικων αριθμων Προσθεση φυσικων αριθμων Οι φυσικοι αριθμοι ειναι ολοι οι γνωστοι μας αριθμοι: 0,1,,3,4,5,6,... Το συνολο των φυσικων αριθμων συμβολιζεται ως { 0,1,,3,4,5,6,... } Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους προσθεσουμε και να βρουμε το αθροισμα τους τον γνωστο τροπο: Μπορουμε να διαταξουμε ολους τους φυσικους πανω σε μια ευθεια γραμμη, ξεκινωντας απο τα αριστερα προς τα δεξια σε αυξουσα σειρα (απο τον μικροτερο προς τον μεγαλυτερο): Για την προσθεση φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Η προσθεση αριθμου με το 0 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε να αποφασισουμε αν ειναι ισοι η αν ο ενας ειναι μικροτερος απο τον αλλον. Για παραδειγμα: Αφαιρεση φυσικων αριθμων Αντιμεταθετικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι με οποια σειρα και αν προσθεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Προσεταιριστικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι αν υπαρχουν παρενθεσεις, με οποια σειρα και αν προσθεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Στρογγυλοποιηση φυσικων αριθμων Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους αφαιρεσουμε (τον μικροτερο απο τον μεγαλυτερο) και να βρουμε τη διαφορα τους με τον γνωστο τροπο: Μπορουμε να στρογγυλοποιησουμε εναν φυσικο αριθμο σε μια συγκεκριμενη ταξη ψηφιων. Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να στρογγυλοποιησουμε τον αριθμο στις εκατονταδες: Ελεγχουμε το αμεσως δεξια ψηφιο, δηλαδη το 4. Επειδη 4 5 η στρογγυλοποιηση θα γινει ως εξης: Για την αφαιρεση φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Η αφαιρεση αριθμου με το 0 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Προσεταιριστικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι αν υπαρχουν παρενθεσεις, με οποια σειρα και αν αφαιρεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Για να στρογγυλοποιησουμε τον ιδιο αριθμο στις χιλιαδες: Ελεγχουμε ξανα το αμεσως δεξια ψηφιο, δηλαδη το 8. Επειδη 8 5 η στρογγυλοποιηση θα γνει ως εξης:

5 σελ. 5 απο 45 Πολλαπλασιασμος φυσικων αριθμων Επιμεριστικη ιδιοτητα Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους πολλαπλασιασουμε και να βρουμε το γινομενο τους με τον γνωστο τροπο: Για τον πολλαπλασιασμο φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Ο πολλαπλασιασμος αριθμου με το 0 ισουται παντα με 0: Ο πολλαπλασιασμος αριθμου με 1 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Αντιμεταθετικη ιδιοτητα: Προσεταιριστικη ιδιοτητα: Επιμεριστικη ιδιοτητα: Ειναι απο τις σημαντικοτερες ιδιοτητες των φυσικων αριθμων. Μπορουμε να την καταλαβουμε με ενα απλο παραδειγμα: Οταν πολλαπλασιαζουμε εναν αριθμο με 10, 100, 1000 κλπ τοτε τα ψηφια του αριθμου μενουν ιδια μονο που στο τελος προσθετουμε τα αντιστοιχα μηδενικα: Ως ασκηση καντε τις παρακατω πραξεις χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα: (0 ) Δυναμεις φυσικων αριθμων Αν, φυσικοι αριθμοι οριζουμε τον αριθμο ως εξης: φορες 4 Ο αριθμος ονομαζεται βαση και ο αριθμος ονομαζεται εκθετης. Ως ασκηση, συμπληρωστε τις παρακατω ισοτητες:

6 σελ. 6 απο 45 Η σειρα των πραξεων Οταν θελουμε να βρουμε την τιμη μιας αλγεβρικης παραστασης ακολουθουμε την παρακατω σειρα των πραξεων: παρενθεσεις (απο μεσα προς τα εξω) δυναμεις πολλαπλασιασμοι & διαιρεσεις (απο τα αριστερα προς τα δεξια) προσθεσεις & αφαιρεσεις Ως ασκηση υπολογιστε τις παρακατω παραστασεις: : 6 : (1 : 6) : 1 : (6 : ) (9 8) : 5 15:34 : : (3 9) : : 1

7 σελ. 7 απο 45 Διαιρεση φυσικών Ευκλείδεια διαίρεση Η διαίρεση δύο φυσικών ονομάζεται Ευκλείδια διαίρεση. Αν μας δωθούν δύο φυσικοί αριθμοί, π.χ. το 14 και το 3, ειναι χρησιμο να ξερουμε πόσες φορές χωράει ο ένας στον άλλον. Μπορουμε λοιπον να γράψουμε «το 3 χωράει 4 φορές στο 14 και περισσεύουν» : Διαιρετέος (Δ) = διαιρέτης (δ) πηλίκο (π) + υπόλοιπο (υ) Σε μια ευκλειδεια διαιρεση ο διαιρετης απαγορευεται να ειναι 0. Σε μια ευκλειδεια διαιρεση το υπόλοιπο μπορεί να είναι 0. Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε το 6 με το 3: Τότε λέμε ότι το 3 δαιρεί (ακριβώς) το 6 και εχουμε τελεια διαιρεση. Σε κάθε ευκλείδια διαίρεση το υπόλοιπο είναι παντα μεγαλύτερο ή ίσο του 0 και (αυστηρα) μικρότερο από το διαιρέτη: 0 υπόλοιπο διαιρέτης Ως ασκηση, συμπληρωστε τις παρακατω Ευκλειδειες διαιρεσεις:

8 σελ. 8 απο 45 Διαιρεση τυχαιων αριθμων Μπορουμε να χρησιμοποιησουμε την Ευκλειδεια διαιρεση για να βρουμε το αποτελεσμα της διαιρεσης δυο οποιωνδηποτε αριθμων. Για παραδειγμα, ας προσπαθησουμε να κανουμε τη διαιρεση 741:3. 1. Ξεκιναμε απο το πρωτο αριστερα ψηφιο και γραφουμε την Ευκλειδεια διαιρεση του 7 με το 3: Κατεβαζουμε το υπολοιπο (το 1), δεξια του τοποθετουμε το επομενο ψηφιο του αριθμου (το 4) και ξανακανουμε Ευκλειδεια διαιρεση (παντα με διαιρετη το 3): Συνεχιζουμε τη διαδικασια μεχρι να φτασουμε σε υπολοιπο 0: Αν φτασουμε σε υπολοιπο 0 εχουμε τελεια διαιρεση και η διαδικασια τελειωνει. Τα πηλικα (με κοκκινο χρωμα) που εμφανιζονται ειναι το αποτελεσμα που ψαχνουμε: 741:3 47 Ως ασκηση, βρειτε τα αποτελεσματα των παρακατω διαιρεσεων: 5934 :3 873 : :1 5395: : :5

9 σελ. 9 απο 45 Πολλαπλασια και διαιρετες Καθε φυσικος αριθμος εχει διαιρετες και πολλαπλασια. Οι διαιρετες ενος αριθμου ειναι ολοι οι αριθμοι που τον διαιρουν ακριβως. Για παραδειγμα, οι διαιρετες του 8 ειναι οι αριθμοι 1,, 4, 8. Οι διαιρετες του 15 ειναι οι αριθμοι 1, 3, 5, 15 και οι διαιρετες του 11 ειναι μονο το 1 και το 11. Τα πολλαπλασια ενος αριθμου ειναι ολοι οι αριθμοι που διαιρουνται ακριβως με τον. Για παραδειγμα, τα πολλαπλασια του 4 ειναι οι αριθμοι 4, 8, 1, 16,... και τα πολλαπλασια του 15 ειναι οι αριθμοι 15, 30, 45, 60, 75,... Παρατηρησεις: Καθε αριθμος εχει σιγουρα ως διαιρετες το 1 και τον εαυτο του. Τα πολλαπλασια ενος αριθμου ειναι απειρα ενω οι διαιρετες πεπερασμενοι. Παραδειγματα: Βρειτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα τρια πολλαπλασια των αριθμων 1, 0, 36. Βρειτε τους διαιρετες των αριθμων, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Καταγραψτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα 5 πολλαπλασια του αριθμου 16. Καταγραψτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα 5 πολλαπλασια του αριθμου 40. Βρειτε τον μεγαλυτερο απο τους κοινους διαιρετες των 16 και 40, δηλαδη τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) των αριθμων. Βρειτε το μικροτερο απο τα κοινα πολλαπλασια των 16, 40, δηλαδη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών. Πρώτοι και σύνθετοι Αν ένας φυσικός αριθμός έχει ως μοναδικούς διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του, τότε λέγεται πρώτος αριθμός. Όλοι οι φυσικοί που δεν είναι πρώτοι λέγονται σύνθετοι. Πρωτοι:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9,... Συνθετοι: 4, 6, 8, 9, 10, 1, 14, 16, 18, 0, 1,... Επιπλεον: Καθε σύνθετος αριθμος μπορεί να γραφτεί με μοναδικο τροπο ως γινόμενο πρώτων αριθμων: Πρώτοι μεταξυ τους Δυο αριθμοι λεγονται πρωτοι μεταξυ τους αν ο ΜΚΔ τους ειναι ισος με 1. Ως ασκηση, εξεταστε αν τα παρακατω ζευγαρια αριθμων ειναι πρωτοι μεταξυ τους: 1, 16 13, 15 6, 14 1, 5 11, 10 18, 5

10 σελ. 10 απο 45 Άρτιοι και περιττοί Άρτιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το : Περιττοί είναι οι φυσικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται ακριβώς με το :, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18,... κλπ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,... κλπ Ευρεση διαιρετων και υπολογισμός ΕΚΠ και ΜΚΔ Έστω ότι μας δίνονται δύο ή περισσότεροι φυσικοι αριθμοί, π.χ. οι 1800 και Για να βρούμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Αναλύουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: Για να βρούμε το ΜΚΔ διαλέγουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες (που στο παράδειγμά μας είναι οι, 3 και 5) και τους υψώνουμε στη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Για να βρούμε το ΕΚΠ διαλέγουμε όλους τους παράγοντες (κοινούς και μη κοινούς) και τους υψώνουμε στη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: , Ως ασκηση βρειτε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παρακατω αριθμων: 360, , , 50 Για να βρουμε τους διαιρετες ενος αριθμου τον αναλυουμε σε πρωτους παραγοντες και στη συνεχεια παιρνουμε ολους τους δυνατους συνδυασμους. Ως παραδειγμα, ας βρουμε τους διαιρετες του 315: 1) Αναλυουμε τον αριθμο σε γινομενο πρωτων: ) Παιρνουμε ολους τους δυνατους συνδυασμους: 3) Καθαρογραφουμε τους διαιρετες: , 5, 7 33, 35, , 337, , 3, 5, 7, 9, 15, 1, 35, 45, 63, 105, 315

11 σελ. 11 απο 45 Κριτήρια διαιρετότητας Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 τότε διαιρείται με το 10, αν ένας αριθμός τελειώνει σε 00 τότε διαιρείται με το 100, κ.ο.κ. Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0,, 4, 6 ή 8 τότε διαιρείται με το. Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 ή 5 τότε διαιρείται με το 5. Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού διαιρείται με το 3 ή με το 9 τότε και ο αριθμός ο ίδιος διαιρείται με το 3 ή με το 9 αντίστοιχα. Αν τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή το 5, τότε και ο αριθμός ο ίδιος διαιρείται με το 4 ή το 5 αντίστοιχα. Εξεταστε αν οι παρακατω αριθμοι διαιρουνται ακριβως με το 10, το, το 3, το 4, το 5, το 9 και το 5:

12 σελ. 1 απο 45 Κλασματα Μετατροπη κλασματων αναγωγα, ισοδυναμα & ομωνυμα κλασματα Κανονας 1 ος : Ενα κλασμα δεν αλλαζει αν διαιρεσουμε τον αριθμητη και τον παρονομαστη του με τον ιδιο αριθμο (οποιον αριθμο θελουμε εκτος απο 0). Για να απλοποιησουμε ενα κλασμα συνηθως βολευει να διαιρεσουμε αριθμητη και παρονομαστη με εναν κοινο τους διαιρετη. Για παραδειγμα: 4 4: 10 10: 5 Ενα κλασμα που δεν απλοποιειται αλλο με την παραπανω μεθοδο λεγεται αναγωγο. Με αλλα λογια, αναγωνο ειναι ενα κλασμα του οποιου ο αριθμητης και ο παρονομαστης ειναι αριθμοι πρωτοι μεταξυ τους. Ως ασκηση, βρειτε ποια απο τα παρακατω κλασματα ειναι αναγωγα: ,,,,,,,, Δυο κλασματα λεγονται ισοδυναμα αν μετα την απλοποιηση τους σε αναγωγα κλασματα ο αριθμητης του ενος ειναι ισος με τον αριθμητη του αλλου και ο παρονομαστης του ενος ειναι ισος με τον παρονομαστη του αλλου. Για παραδειγμα, τα παρακατω κλασματα ειναι ισοδυναμα: 4 4: : : :3 3 Κανονας ος : Ενα κλασμα δεν αλλαζει αν πολλαπλασιασουμε τον αριθμητη και τον παρονομαστη του με τον ιδιο αριθμο (οποιον αριθμο θελουμε εκτος απο 0). Για παραδειγμα: Συχνα ειναι χρησιμη η μετατροπη ενος κλασματος με παρονομαστη το 100. Ως ασκηση εφαρμοστε καταλληλα τους δυο κανονες και μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε ισοδυναμα με παρονομαστη το 100: Δυο κλασματα λεγονται ομωνυμα αν εχουν τον ιδιο παρονομαστη και ετερωνυμα αν εχουν διαφορετικους παρονομαστες. Δυο ετερωνυμα κλασματα παντα μπορουμε να τα μετατρεψουμε σε ισοδυναμα ετερωνυμα αν εφαρμοσουμε καταλληλα τους δυο κανονες. Για παραδειγμα:

13 σελ. 13 απο 45 Συγκριση κλασματων Για να συγκρινουμε δυο ή περισσοτερα κλασματα ακολουθουμε τους παρακατω κανονες: Ενα κλασμα ειναι μεγαλυτερο του 1 αν ο αριθμητης του ειναι μεγαλυτερος απο τον παρονομαστη του. Ενα κλασμα ειναι μικροτερο του 1 αν ο αριθμητης του ειναι μικροτερος του παρονομαστη του. Ενα κλασμα ειναι ισο με 1 αν ο αριθμητης του ειναι ισος με τον παρονομαστη του. Αν δυο κλασματα εχουν τον ιδιο παρονομαστη τοτε μεγαλυτερο ειναι εκεινο με το μεγαλυτερο αριθμητη. Αν δυο κλασματα εχουν τον ιδιο αριθμητη τοτε μεγαλυτερο ειναι εκεινο με το μικροτερο παρονομαστη. Αν δυο κλασματα δεν εχουν ουτε ιδιο παρονομαστη ουτε ιδιο αριθμητη τοτε τα κανουμε ομωνυμα και μετα τα συγκρινουμε. Συγκρινετε τα παρακατω κλασματα με το 1: Συγκρινετε τα παρακατω κλασματα μεταξυ τους ( <, >, = ):

14 σελ. 14 απο 45 Εξασκηση στην απλοποιηση κλασματων Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε αναγωγα:

15 σελ. 15 απο 45 Προσθεση κλασματων Αν δυο κλασματα ειναι ομωνυμα μπορουμε να τα προσθεσουμε απευθειας ως εξης: Αν τα κλασματα δεν ειναι ομωνυμα τοτε πρεπει να τα μετατρεψουμε σε ομωνυμα και επειτα να τα προσθεσουμε οπως παραπανω. Ως ασκηση, προσθεστε τα παρακατω κλασματα: Πολλαπλασιασμος κλασματων Δυο κλασματα μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε απευθειας (χωρις να χρειαζεται να τα κανουμε ομωνυμα) ως εξης: Ως ασκηση καντε τους παρακατω πολλαπλασιασμους: Διαιρεση κλασματων Δυο κλασματα μπορουμε να τα διαιρεσουμε απευθειας (χωρις να χρειαζεται να τα κανουμε ομωνυμα) ως εξης: : Ως ασκηση καντε τις παρακατω διαιρεσεις: : : : :

16 σελ. 16 απο 45 Παραστασεις με κλασματα :5 1 3:

17 σελ. 17 απο 45 Κλασματα και επιμεριστικη ιδιοτητα Κλασματα και δυναμεις Μεικτοι αριθμοι Μετατρεψτε τους παρακατω μεικτους αριθμους σε κλασματα: Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε μεικτους αριθμους:

18 σελ. 18 απο 45 Η φυσικη σημασια των κλασματων Ενα σετ περιεχει 4 πιατα και κοστιζει 1. Ποσο κοστιζει το καθε πιατο; Ενα αεροπλανο μπορει να διανυσει 1800 χιλιομετρα σε 3 ωρες. Ποσα χιλιομετρα διανυει το αεροπλανο σε 1 ωρα; Μια ταξη εχει 5 μαθητες και τα 5 9 ειναι αγορια. Ποσα ειναι τα αγορια και ποσα τα κοριτσια; Ποιο απο τα παρακατω εκφραζει τα περισσοτερα χρηματα; Τα των 100 Τα 3 5 των 00 Το 1 8 των 500 Τα των 80 Ta 0 kg πατατες κοστιζουν 1. Ποσο κοστιζει το 1 kg πατατες; Τα 6 kg ντοματες κοστιζουν 1. Ποσο κοστιζει 1 κιλο ντοματες; Ποσο κοστιζουν τα 3 5 του κιλου ντοματες; Ενας υπαλληλος ξοδευει το μηνα απο το μισθο του τα 3 8 για φαγητο, το 1 5 για ενοικιο και το 1 10 για προσωπικα του εξοδα. Βρειτε τα εξης: Ποιο μερος του μισθου περισσευει. Αν του περισσευουν 390, ποιος ειναι ο μηνιαιος μισθος του. Ποσα χρηματα ξοδευει για φαγητο.

19 σελ. 19 απο 45 Δεκαδικοι αριθμοι Τα κλασματα ως δεκαδικοι αριθμοι Πραξεις μεταξυ δεκαδικων Καθε δεκαδικος ισουται με με ενα κλασμα αλλα και αντιστροφα, καθε κλασμα ισουται με εναν δεκαδικο. Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε δεκαδικους αριθμους: ,110 4, , , , , , : ,76 : : ,00001:100 Τι παρατηρειτε ως προς το δεκαδικο μερος των παραπανω κλασματων; Διαταξη δεκαδικων Τοποθεστηστε το σωστο συμβολο ( <, >, = ): 1,0 1,1,03,04 6,0 6,05 1,11 0,99 5,66 5,661 3,9 3,90,54,45 0,98 1,001 4,3487 4,3486 9,000 9,0 1,4 1,3 0,67 0,76 0,1 0,01 0, ,3 0, 0,0010, 1, 0,7 15,8,3 0,0049,1 1 0, , ,01 6 0,75 0,003 0,5

20 σελ. 0 απο 45 Δεκαδικοι και επιμεριστικη ιδιοτητα 10 0,1 1,1 10 1,1 1, 1, ,0 0, ,00017,14 (0,78 0,65) , , , , ,9 100, ,5 99 3, , ,1 7,5 0,99 3 3,1 50,001 1,1 9 1,1 1 8,, 8,9 5 1,1 5 1,4 7 0, , 0, 6 5,4 98 5,4 10,4 0,3 10,4 1,7 1,7 1,7 5 1,7 3 0,113 0,015 0,0135 1,6 10 1,6 1 1,6 8 0,7 75 0,7 0,7 7

21 σελ. 1 απο 45 Θετικοι & αρνητικοι αριθμοι Η (ανανεωμένη) σειρά των πράξεων παρενθεσεις (απο μεσα προς τα εξω) απολυτες τιμες δυναμεις πολλαπλασιασμοι & διαιρεσεις (απο αριστερα προς τα δεξια) προσθεσεις & αφαιρεσεις Διαταξη 1. Παρενθέσεις (από τις εσωτερικές προς τις εξωτερικές) Τοποθετηστε σε φθινουσα σειρα τους. Απολυτες τιμες παρακατω αριθμους: 3. Δυνάμεις 0, 3, 9, 4, 3, 10, 8, 5, 7 4. Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις 5. Προσθέσεις & αφαιρέσεις Τοποθετηστε το σωστο σημα <, >, = ,65, Αν, να βρειτε ποσοι και ποιοι αριθμοι ικανοποιουν τις παρακατω σχεσεις: Προσθεση μεταξυ θετικων & αρνητικων αριθμων ,14 8,18 7,14 1,18 10,86 5, 45 13,86 1, 45,98 4, 4 1,0 0,

22 σελ. απο 45 Πολλαπλασιασμος & διαιρεση μεταξυ θετικων & αρνητικων αριθμων ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( 3) ( 5) ( 5) ( 1) ( 5) ( 8) ( 9) ( 1) ( 1) ( 7) ( 7) ( 4) ( 9) ( ) ( 10) ( 4) ( 5) ( 9) ( 8) ( ( 3)) ( ( 5)) ( 13) ( 4) ( 13) ( 4) ( 1) ( 6) ( ) ( 8) ( ) ( 3) ( 7) ( 5) ( 3) ( ) ( 0) : ( 5) ( 6) : ( 6) : : Απολυτη τιμη θετικων και αρνητικων αριθμων ( 6) 3 5 ( 6) ( ) 3 ( 5) ( 6)

23 σελ. 3 απο 45 Επιμεριστικη ιδιοτητα ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) (1 500) , ,54 ( ) 0, ( 4) ( ) , ,6 5,9 0, ,4 0,3 10,4 1, ,451 6,

24 σελ. 4 απο 45 Δυναμεις Ιδιοτητες των δυναμεων Ιδιοτητες των δυναμεων με παραδειγματα, ακεραιοι, y, 0 (1) () (3) (4) (5) (6) 0 (7) 1 y y y 1 y Τις δυο τελευταιες ιδιοτητες μπορουμε να τις εξηγησουμε ως εξης: ( 44) ,,

25 σελ. 5 απο 45 Βασικες ιδιοτητες των δυναμεων ( 10) ( 10) (10 5) 10 5

26 σελ. 6 απο 45 Δυναμεις με αρνητικη βαση ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 10) ( 10) 3 ( ) 0 9 ( ) ( 9) 4 5 ( 4) ( 4) ( 5) ( 3) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) Σ / Λ

27 σελ. 7 απο 45 Δυναμεις και ανισοτητες 1,3 1 1, ,1 1 4,5 1 0, 1 3 0, 1 0, , , , ,1 0, ,1 0, ,0 0, 1 1 1,0 0, 3 0,6 1, ,5 1, ,1 1, ,1 1,5 0,5 0,99 1 0,5 0, ( 4) ( 6) ( ) ( ) 4 5 ( 0,) ( 0,8) ( 0,1) ( 0,) 4 4 0,99 0, ,99 0,1,

28 σελ. 8 απο 45 Δυναμεις με αρνητικο εκθετη ( 10) 9 3 ( 35) (35) 3 3 ( 5) ( 5) ( 10) ( 10) ( 4) ( 1) ( 1) ( 1)

29 σελ. 9 απο 45 Παραστασεις 3 5 (8 3 1 ) ( 4 5) Εξασκηση στις παραστασεις ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 4 ( ) ( 3) ( 6) ( 5) ( 8) 3 10 ( 5) ( 1) ( ) 1 ( 4) 3 4 ( 3) ( 5) ( ) 1 5 ( 1) ( 1) 6 : : ( 5) 5 9 :3 ( ) ( 3) 1 ( 3) ( 5) 1 ( ) ( 19) : ( 3) ( ) ( 15) : ( 3) ( 1) ( ) ( ) : :

30 σελ. 30 απο 45 Εξισωσεις Εξασκηση στις εξισωσεις (1) , 0, Εξασκηση στις εξισωσεις () , , ,

31 σελ. 31 απο 45 Εξασκηση στις εξισωσεις (3) Εξασκηση στις εξισωσεις (4) ,

32 σελ. 3 απο 45 Εξασκηση στις εξισωσεις (5)

33 σελ. 33 απο 45 Αναλογα ποσα Ορισμος αναλογων ποσων Δυο μεταβαλλομενα ποσα y, λεγονται αναλογα αν το κλασμα τους ειναι σταθερο: Κατα συνεπεια, αν δυο ποσα ειναι αναλογα τοτε η αυξηση του ενος συνεπαγεται αυξηση του αλλου. y a, οπου a καποιος αριθμος (συντελεστης αναλογιας). Για παραδειγμα, τα χρηματα που θα πληρωσουμε για εμφιαλωμενο νερο ειναι αναλογα με τον αριθμο των μπουκαλιων που θα αγορασουμε. Αν αγορασουμε 1 μπουκαλι νερο θα πληρωσουμε 1, για μπουκαλια θα πληρωσουμε, για 3 μπουκαλια 3 κ.ο.κ. Ενας καρπουζοπαραγωγος πουλαει καρπουζια προς 0,5 / kg. Αν ειναι η ποσοτητα που πουλησε σε κιλα και y το κερδος του σε ευρω, γραψτε τη σχεση μεταξυ του και του y και στη συνεχεια συμπληρωστε τον παρακατω πινακα: ποσοτητα που πουλησε (kg) κερδος ( ) y 7, Στον παρακατω πινακα φαινεται το βαρος ενος ανθρωπου ως προς την ηλικια του. Ειναι τα ποσα αναλογα; ηλικια (ετη) βαρος (kg) y Κλιμακες Η κλιμακα ειναι μια αναλογια μεταξυ αποστασεων. Για παραδειγμα, αν ενας χαρτης εχει κλιμακα 1:1000 αυτο σημαινει οτι 1 cm στο χαρτη αντιστοιχει σε 1000 cm στην πραγματικοτητα. Για να λυσουμε προβληματα με κλιμακες σχηματιζουμε καταλληλη ισοτητα κλασματων. Παραδειγματα: Με βαση τον διπλανο χαρτη υπολογιστε την πραγματικη αποσταση που αντιστοιχει στο κοκκινο ευθυγραμμο τμημα: Ένα πεζοπόρος βλεπει στον οριζοντα το ορος Βόρας. Ως καλος γεωγραφος γνωριζει οτι το βουνο εχει υψος περίπου 500 m. Στο σακιδιο του διαθετει μια μετροταινια. Αν κρατήσει το χέρι του 0 cm από τα μάτια του και μετρήσει το εικονικό ύψος του βουνού θα το βρεί 5 cm. Βρειτε την κλιμακα υπο την οποια βλεπει τις αποστασεις. Βοηθηστε τον πεζοπορο να βρει ποσο περιπου απεχει απο τους προποδες του βουνου.

34 σελ. 34 απο 45 Γραφικη παρασταση αναλογων ποσων (ευθεια) Ενα κουτι χυμος κοστιζει. Αν ειναι τα κουτακια που αγοραζουμε και y τα που πρεπει να πληρωσουμε γραψτε την ισοτητα που συνδεει το με το y και επειτα συμπληρωστε τον παρακατω πινακα: y y, Εντοπιστε ολα τα παραπανω σημεια y, στο παρακατω συστημα ορθογωνιων αξονων: Η γραφικη παρασταση των αναλογων ποσων ειναι μια στους αξονες.

35 σελ. 35 απο 45 Ποσοστα Ορισμος ποσοστων Προβληματα με ποσοστα Το ποσοστό επί τοις εκατό (%) είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή το 100. Κάθε κλάσμα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε ποσοστό επί τοις εκατό, αλλα και αντιστροφα, καθε δεκαδικο αριθμο μπορουμε να τον μετατρεψουμε σε κλασμα: % , , ,81% , 0, , 0% Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα και δεκαδικους σε ποσοστα επι τοις εκατο ( % ): 0,7315 0,0945 0,0001, Το εισητηριο του λεωφορειου κοστιζε 0,4 το 010 και η τιμη του διπλασιαστηκε μεσα σε 4 χρονια. Βρειτε την ποσοστιαια αυξηση στην τιμη του εισητηριου. Σε ενα κυλικειο η τυροπιτα κοστιζει 1, και ενα μπουκαλι νερο 0,5. Την επομενη χρονια η τιμη της τυροπιτας εχει μειωθει κατα 5 % και το μπουκαλι νερο κοστιζει 0,6. Ποια θα ειναι η νεα τιμη της τυροπιτας; Ποιο ειναι το ποσοστο αυξησης του ενος μπουκαλιου νερου; Η μηνιαια καρτα απεριοριστων διαδρομων κοστιζει και η τιμη της προκειται να αυξηθει κατα 75 %. Ενα εισητηριο μιας διαδρομης κοστιζει 0,7 και η τιμη του προκειται να αυξηθει κατα 50 %. Καποιος εργαζομενος παιρνει το λεωφορειο για να παει και να γυρισει απο τη δουλεια του καθε μερα, για 0 φορες το μηνα. Ποια θα ειναι η νεα τιμη της καρτας και ποια η νεα τιμη του εισητηριου; Τι συμφερει τον εργαζομενο, η καρτα ή τα εισητηρια; Καποιος καταθετει στην τραπεζα με ετησιο επιτοκιο 1%. Ποσος θα ειναι ο τοκος στο τελος του ετους και ποιο το τελικο κεφαλαιο; Το θαλασσινο νερο εχει περιεκτικοτητα σε αλατι 3 %. Βρειτε ποσα kg αλατι περιεχονται σε 100 kg θαλασσινο νερο.

36 σελ. 36 απο 45 Αντιστροφως αναλογα ποσα Ορισμος αντιστροφως αναλογων ποσων Δυο μεταβαλλομενα ποσα, y λεγονται αντιστροφως αναλογα αν το γινομενο τους ειναι σταθερο: y a οπου a καποιος σταθερος αριθμος. Αν δυο ποσα ειναι αντιστροφως αναλογα, τοτε η αυξηση του ενος συνεπαγεται μειωση του αλλου, ετσι ωστε το γινομενο τους να μενει σταθερο. Ενας αγροτης θελει να γεμισει μια δεξαμενη χωρητικοτητας 150 lt με νερο χρησιμοποιωντας διαφορες παροχες. Αν αυξησει την παροχη του νερου τοτε ο χρονος που χρειαζεται για να γεμισει η δεξαμενη μειωνεται. Γραψτε τη σχεση που συνδεει το με το y και στη συνεχεια βοηθηστε τον αγροτη να συμπληρωσει τον παρακατω πινακα: ροη νερου ( lt / h ) χρονος γεμισματος ( h ) y y, Γραφικη παρασταση αντιστροφως αναλογων ποσων (υπερβολη) Για τις τιμες του πινακα που βρηκατε παραπανω, εντοπιστε τα αντιστοιχα σημεια στους αξονες: Η γραφικη παρασταση δυο αντιστροφως αναλογων ποσων ειναι μια καμπυλη που ονομαζεται υπερβολη.

37 σελ. 37 απο 45 Γεωμετρια Ειδη γωνιων

38 σελ. 38 απο 45 Ασκησεις στa ειδη γωνιων

39 σελ. 39 απο 45 Κυκλος

40 σελ. 40 απο 45 Παραλληλες ευθειες που τεμνονται απο μια ευθεια Εστω δυο παραλληλες ευθειες που τεμνονται απο μια τριτη ευθεια. Τοτε θεωρουμε τους παρακατω ορισμους: Αν μια γωνια βρισκεται αναμεσα στις παραλληλες τοτε την ονομαζουμε εντος. Για παραδειγμα, οι γωνιες 3, 4, 5, 6 ειναι ολες εντος. Αν μια γωνια βρισκεται εξω απο τις παραλληλες την λεμε εκτος. Για παραδειγμα, οι γωνιες 1,, 7, 8 ειναι ολες εκτος. Αν δυο γωνιες «κοιτουν» προς την ιδια μερια τις λεμε επι ταυτα. Για παραδειγμα οι γωνιες 4, 5 ειναι επι ταυτα και οι γωνιες 1, 8 ειναι επι ταυτα. Αν δυο γωνιες «κοιτουν» προς διαφορετικες μεριες τις λεμε εναλλαξ. Για παραδειγμα οι γωνιες 3, 5 ειναι εναλλαξ και οι γωνιες, 8 ειναι εναλλαξ. Απο το σχημα ειναι ξεκαθαρο οτι: Δυο εντος και εναλλαξ γωνιες ειναι ισες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 3, 5 ειναι ισες ως εντος και εναλλαξ. Δυο εντος, εκτος και επι ταυτα γωνιες ειναι ισες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 1, 5 ειναι μεταξυ τους ισες ως εντος, εκτος και επι ταυτα. Δυο εντος και επι ταυτα γωνιες ειναι παραπληρωματικες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 4, 5 ειναι παραπληρωματικες ως εντος και επι ταυτα. Ως ασκηση χαρακτηριστε τα παρακατω ζευγαρια γωνιων (συμφωνα με το παραπανω σχημα) και αποφασιστε αν ειναι ισες ή παραπληρωματικες: 1, 6 : 4, 6 : 1, 7 : 3, 6 : 1, : 3, 7 :, 8 : 5, 7 : 4, 8 :, 5 : 7, 8 :, 7 : 1, 8 : 4, 7 :, 6 :

41 σελ. 41 απο 45 Συμμετρικο σημειου ως προς μια ευθεια Αν μας δωθει ενα σημειο και μια ευθεια ε μπορουμε να βρουμε το συμμετρικο ' του σημειου αυτου ως προς την ευθεια: Συμμετρικο σχηματος ως προς μια ευθεια Αν μας δωθει ενα επιπεδο σχημα και μια ευθεια ε μπορουμε να βρουμε το συμμετρικο του σχηματος ως προς την ευθεια:

42 σελ. 4 απο 45 Αξονες συμμετριας Ενα επιπεδο σχημα εχει αξονα συμμετριας μια ευθεια αν η ευθεια το χωριζει σε δυο μερη τα οποια συμπιπτουν αν το σχημα διπλωθει κατα μηκος της ευθειας. Ενα ευθυγραμμο τμημα εχει εναν αξονα συμμετριας, τη μεσοκαθετο του. Μια γωνια εχει εναν αξονα συμμετριας, τη διχοτομο της. Καθε διαμετρος ενος κυκλου ειναι και αξονας συμμετριας του. Οι κατακορυφην γωνιες εχουν δυο αξονες συμμετριας, τις διχοτομους των γωνιων. Καποια σχηματα δεν εχουν αξονες συμμετριας, πχ: Οι εντος εναλλαξ γωνιες Ενα τυχαιο τριγωνο Ενα τυχαιο τετραπλευρο. Κεντρο συμμετριας Ενα σχημα εχει κεντρο συμμετριας καποιο σημειο Ο αν μετα την περιστροφη του σχηματος κατα γωνια γυρω απο το Ο, το τελικο σχημα συμπιπτει με το αρχικο. Το μεσο ενος ευθυγραμμου τμηματος ειναι κεντρο συμμετριας του. Η (κοινη) κορυφη δυο κατακορυφην γωνιων ειναι κεντρο συμμετριας τους. Δυο παραλληληλες ευθειες που τεμνονται απο μια τριτη εχουν κεντρο συμμετριας το σημειο τομης της μεσοπαραλληλης με την τεμνουσα. Το κεντρο ενος κυκλου ειναι κεντρο συμμετριας του. Καθε σημειο μιας ευθειας ειναι κεντρο συμμετριας της. Καποια σχηματα δεν εχουν κεντρο συμμετριας, πχ: Οι γωνιες Τα τριγωνα Τα τυχαια τετραπλευρα

43 σελ. 43 απο 45 Στοιχεια τριγωνου Ειδη τριγωνου Ιδιοτητες ισοσκελους τριγωνου Ιδιοτητες ισοπλευρου τριγωνου Οι γωνιες της βασης ειναι ισες Η διαμεσος που αντιστοιχει στη βαση ειναι και υψος και διχοτομος. Η διαμεσος ειναι ο μοναδικος αξονας συμμετριας. Ολες οι γωνιες ειναι ισες με 60 0 Καθε διαμεσος ειναι και υψος και διχοτομος. Καθε διαμεσος ειναι και αξονας συμμετριας.

44 σελ. 44 απο 45 Παραλληλογραμμα

45 σελ. 45 απο 45 Τραπεζια

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/05/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4%

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4% Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αγοράς ===================================================================================== Κώστας Γ. Σάλαρης - Μάνια Κ. Σάλαρη Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ: ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Β. ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΠΕ03 ΡΟΔΟΣ, ΣΕΠΤΕΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

TA ΚΛΑΣΜΑΤΑ ME ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ

TA ΚΛΑΣΜΑΤΑ ME ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ TA ΚΛΑΣΜΑΤΑ ME ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Τα κλάσµατα ανέκαθεν ταν ένα δύσκολο κοµµάτι κάθε µαθητ. Μπως όµως απλά έχουµε παρεξηγσει κάποια πράγµατα; Ας περιπλανηθούµε µαζί στον «παράξενο» κόσµο των κλασµάτων, µε τη βοθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 2014-2015

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 2014-2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 201-2015 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05 / 06 / 2015 ΧΡΟΝΟΣ: 2 Ώρες Βαθμός:. Ολογρ.:.. Υπογραφή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ. Στοιχεία Θεωρίας - Λυμένα Παραδείγματα. Ασκήσεις - Ερωτήσεις Θεωρίας. Νικόλαος Χονδράκης (Εκπαιδευτικός)

ΒΟΗΘΗΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ. Στοιχεία Θεωρίας - Λυμένα Παραδείγματα. Ασκήσεις - Ερωτήσεις Θεωρίας. Νικόλαος Χονδράκης (Εκπαιδευτικός) ΒΟΗΘΗΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΨΥΞΗΣ Στοιχεία Θεωρίας - Λυμένα Παραδείγματα Ασκήσεις - Ερωτήσεις Θεωρίας Νικόλαος Χονδράκης (Εκπαιδευτικός) ... Νικόλαος Γ. Χονδράκης Διπλωματούχος Μηχανολόγος Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Δ Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Περιεχόμενα Κεφάλαιο : Θυμάμαι ό,τι έμαθα από την Γ Τάξη... 5 Κεφάλαιο : Διαχειρίζομαι αριθμούς ως το 0.000... 8 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα