Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικα A Γυμνασιου"

Transcript

1 Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu

2 σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 5 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Η ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 6 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 8 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ 9 ΠΡΩΤΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ 9 ΠΡΩΤΟΙ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ 9 ΆΡΤΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ 10 ΕΥΡΕΣΗ ΔΙΑΙΡΕΤΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΠ ΚΑΙ ΜΚΔ 10 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 11 ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΑΝΑΓΩΓΑ, ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ & ΟΜΩΝΥΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 13 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 14 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ 16 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 17 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 17 ΜΕΙΚΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 17 Η ΦΥΣΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 18 ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 19 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ 19 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΩΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 19 ΔΙΑΤΑΞΗ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ 19 ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΚΑΙ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 0 Η (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ) ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 1 ΘΕΤΙΚΟΙ & ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΔΙΑΤΑΞΗ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ & ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 3 ΔΥΝΑΜΕΙΣ 4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 5 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΒΑΣΗ 6 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 7 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΕΚΘΕΤΗ 8

3 σελ. 3 απο 45 ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (1) 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ () 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (3) 31 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (4) 31 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (5) 3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 33 ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ 33 ΚΛΙΜΑΚΕΣ 33 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ (ΕΥΘΕΙΑ) 34 ΠΟΣΟΣΤΑ 35 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ 35 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΟΣΟΣΤΩΝ 35 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 36 ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ 36 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ (ΥΠΕΡΒΟΛΗ) 36 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 37 ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ 37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤA ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ 38 ΚΥΚΛΟΣ 39 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 40 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 41 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 41 ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 4 ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ 44 ΤΡΑΠΕΖΙΑ 45

4 σελ. 4 απο 45 Φυσικοι αριθμοι Ορισμος φυσικων αριθμων Προσθεση φυσικων αριθμων Οι φυσικοι αριθμοι ειναι ολοι οι γνωστοι μας αριθμοι: 0,1,,3,4,5,6,... Το συνολο των φυσικων αριθμων συμβολιζεται ως { 0,1,,3,4,5,6,... } Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους προσθεσουμε και να βρουμε το αθροισμα τους τον γνωστο τροπο: Μπορουμε να διαταξουμε ολους τους φυσικους πανω σε μια ευθεια γραμμη, ξεκινωντας απο τα αριστερα προς τα δεξια σε αυξουσα σειρα (απο τον μικροτερο προς τον μεγαλυτερο): Για την προσθεση φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Η προσθεση αριθμου με το 0 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε να αποφασισουμε αν ειναι ισοι η αν ο ενας ειναι μικροτερος απο τον αλλον. Για παραδειγμα: Αφαιρεση φυσικων αριθμων Αντιμεταθετικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι με οποια σειρα και αν προσθεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Προσεταιριστικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι αν υπαρχουν παρενθεσεις, με οποια σειρα και αν προσθεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Στρογγυλοποιηση φυσικων αριθμων Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους αφαιρεσουμε (τον μικροτερο απο τον μεγαλυτερο) και να βρουμε τη διαφορα τους με τον γνωστο τροπο: Μπορουμε να στρογγυλοποιησουμε εναν φυσικο αριθμο σε μια συγκεκριμενη ταξη ψηφιων. Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να στρογγυλοποιησουμε τον αριθμο στις εκατονταδες: Ελεγχουμε το αμεσως δεξια ψηφιο, δηλαδη το 4. Επειδη 4 5 η στρογγυλοποιηση θα γινει ως εξης: Για την αφαιρεση φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Η αφαιρεση αριθμου με το 0 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Προσεταιριστικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι αν υπαρχουν παρενθεσεις, με οποια σειρα και αν αφαιρεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Για να στρογγυλοποιησουμε τον ιδιο αριθμο στις χιλιαδες: Ελεγχουμε ξανα το αμεσως δεξια ψηφιο, δηλαδη το 8. Επειδη 8 5 η στρογγυλοποιηση θα γνει ως εξης:

5 σελ. 5 απο 45 Πολλαπλασιασμος φυσικων αριθμων Επιμεριστικη ιδιοτητα Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους πολλαπλασιασουμε και να βρουμε το γινομενο τους με τον γνωστο τροπο: Για τον πολλαπλασιασμο φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Ο πολλαπλασιασμος αριθμου με το 0 ισουται παντα με 0: Ο πολλαπλασιασμος αριθμου με 1 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Αντιμεταθετικη ιδιοτητα: Προσεταιριστικη ιδιοτητα: Επιμεριστικη ιδιοτητα: Ειναι απο τις σημαντικοτερες ιδιοτητες των φυσικων αριθμων. Μπορουμε να την καταλαβουμε με ενα απλο παραδειγμα: Οταν πολλαπλασιαζουμε εναν αριθμο με 10, 100, 1000 κλπ τοτε τα ψηφια του αριθμου μενουν ιδια μονο που στο τελος προσθετουμε τα αντιστοιχα μηδενικα: Ως ασκηση καντε τις παρακατω πραξεις χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα: (0 ) Δυναμεις φυσικων αριθμων Αν, φυσικοι αριθμοι οριζουμε τον αριθμο ως εξης: φορες 4 Ο αριθμος ονομαζεται βαση και ο αριθμος ονομαζεται εκθετης. Ως ασκηση, συμπληρωστε τις παρακατω ισοτητες:

6 σελ. 6 απο 45 Η σειρα των πραξεων Οταν θελουμε να βρουμε την τιμη μιας αλγεβρικης παραστασης ακολουθουμε την παρακατω σειρα των πραξεων: παρενθεσεις (απο μεσα προς τα εξω) δυναμεις πολλαπλασιασμοι & διαιρεσεις (απο τα αριστερα προς τα δεξια) προσθεσεις & αφαιρεσεις Ως ασκηση υπολογιστε τις παρακατω παραστασεις: : 6 : (1 : 6) : 1 : (6 : ) (9 8) : 5 15:34 : : (3 9) : : 1

7 σελ. 7 απο 45 Διαιρεση φυσικών Ευκλείδεια διαίρεση Η διαίρεση δύο φυσικών ονομάζεται Ευκλείδια διαίρεση. Αν μας δωθούν δύο φυσικοί αριθμοί, π.χ. το 14 και το 3, ειναι χρησιμο να ξερουμε πόσες φορές χωράει ο ένας στον άλλον. Μπορουμε λοιπον να γράψουμε «το 3 χωράει 4 φορές στο 14 και περισσεύουν» : Διαιρετέος (Δ) = διαιρέτης (δ) πηλίκο (π) + υπόλοιπο (υ) Σε μια ευκλειδεια διαιρεση ο διαιρετης απαγορευεται να ειναι 0. Σε μια ευκλειδεια διαιρεση το υπόλοιπο μπορεί να είναι 0. Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε το 6 με το 3: Τότε λέμε ότι το 3 δαιρεί (ακριβώς) το 6 και εχουμε τελεια διαιρεση. Σε κάθε ευκλείδια διαίρεση το υπόλοιπο είναι παντα μεγαλύτερο ή ίσο του 0 και (αυστηρα) μικρότερο από το διαιρέτη: 0 υπόλοιπο διαιρέτης Ως ασκηση, συμπληρωστε τις παρακατω Ευκλειδειες διαιρεσεις:

8 σελ. 8 απο 45 Διαιρεση τυχαιων αριθμων Μπορουμε να χρησιμοποιησουμε την Ευκλειδεια διαιρεση για να βρουμε το αποτελεσμα της διαιρεσης δυο οποιωνδηποτε αριθμων. Για παραδειγμα, ας προσπαθησουμε να κανουμε τη διαιρεση 741:3. 1. Ξεκιναμε απο το πρωτο αριστερα ψηφιο και γραφουμε την Ευκλειδεια διαιρεση του 7 με το 3: Κατεβαζουμε το υπολοιπο (το 1), δεξια του τοποθετουμε το επομενο ψηφιο του αριθμου (το 4) και ξανακανουμε Ευκλειδεια διαιρεση (παντα με διαιρετη το 3): Συνεχιζουμε τη διαδικασια μεχρι να φτασουμε σε υπολοιπο 0: Αν φτασουμε σε υπολοιπο 0 εχουμε τελεια διαιρεση και η διαδικασια τελειωνει. Τα πηλικα (με κοκκινο χρωμα) που εμφανιζονται ειναι το αποτελεσμα που ψαχνουμε: 741:3 47 Ως ασκηση, βρειτε τα αποτελεσματα των παρακατω διαιρεσεων: 5934 :3 873 : :1 5395: : :5

9 σελ. 9 απο 45 Πολλαπλασια και διαιρετες Καθε φυσικος αριθμος εχει διαιρετες και πολλαπλασια. Οι διαιρετες ενος αριθμου ειναι ολοι οι αριθμοι που τον διαιρουν ακριβως. Για παραδειγμα, οι διαιρετες του 8 ειναι οι αριθμοι 1,, 4, 8. Οι διαιρετες του 15 ειναι οι αριθμοι 1, 3, 5, 15 και οι διαιρετες του 11 ειναι μονο το 1 και το 11. Τα πολλαπλασια ενος αριθμου ειναι ολοι οι αριθμοι που διαιρουνται ακριβως με τον. Για παραδειγμα, τα πολλαπλασια του 4 ειναι οι αριθμοι 4, 8, 1, 16,... και τα πολλαπλασια του 15 ειναι οι αριθμοι 15, 30, 45, 60, 75,... Παρατηρησεις: Καθε αριθμος εχει σιγουρα ως διαιρετες το 1 και τον εαυτο του. Τα πολλαπλασια ενος αριθμου ειναι απειρα ενω οι διαιρετες πεπερασμενοι. Παραδειγματα: Βρειτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα τρια πολλαπλασια των αριθμων 1, 0, 36. Βρειτε τους διαιρετες των αριθμων, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Καταγραψτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα 5 πολλαπλασια του αριθμου 16. Καταγραψτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα 5 πολλαπλασια του αριθμου 40. Βρειτε τον μεγαλυτερο απο τους κοινους διαιρετες των 16 και 40, δηλαδη τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) των αριθμων. Βρειτε το μικροτερο απο τα κοινα πολλαπλασια των 16, 40, δηλαδη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών. Πρώτοι και σύνθετοι Αν ένας φυσικός αριθμός έχει ως μοναδικούς διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του, τότε λέγεται πρώτος αριθμός. Όλοι οι φυσικοί που δεν είναι πρώτοι λέγονται σύνθετοι. Πρωτοι:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9,... Συνθετοι: 4, 6, 8, 9, 10, 1, 14, 16, 18, 0, 1,... Επιπλεον: Καθε σύνθετος αριθμος μπορεί να γραφτεί με μοναδικο τροπο ως γινόμενο πρώτων αριθμων: Πρώτοι μεταξυ τους Δυο αριθμοι λεγονται πρωτοι μεταξυ τους αν ο ΜΚΔ τους ειναι ισος με 1. Ως ασκηση, εξεταστε αν τα παρακατω ζευγαρια αριθμων ειναι πρωτοι μεταξυ τους: 1, 16 13, 15 6, 14 1, 5 11, 10 18, 5

10 σελ. 10 απο 45 Άρτιοι και περιττοί Άρτιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το : Περιττοί είναι οι φυσικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται ακριβώς με το :, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18,... κλπ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,... κλπ Ευρεση διαιρετων και υπολογισμός ΕΚΠ και ΜΚΔ Έστω ότι μας δίνονται δύο ή περισσότεροι φυσικοι αριθμοί, π.χ. οι 1800 και Για να βρούμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Αναλύουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: Για να βρούμε το ΜΚΔ διαλέγουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες (που στο παράδειγμά μας είναι οι, 3 και 5) και τους υψώνουμε στη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Για να βρούμε το ΕΚΠ διαλέγουμε όλους τους παράγοντες (κοινούς και μη κοινούς) και τους υψώνουμε στη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: , Ως ασκηση βρειτε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παρακατω αριθμων: 360, , , 50 Για να βρουμε τους διαιρετες ενος αριθμου τον αναλυουμε σε πρωτους παραγοντες και στη συνεχεια παιρνουμε ολους τους δυνατους συνδυασμους. Ως παραδειγμα, ας βρουμε τους διαιρετες του 315: 1) Αναλυουμε τον αριθμο σε γινομενο πρωτων: ) Παιρνουμε ολους τους δυνατους συνδυασμους: 3) Καθαρογραφουμε τους διαιρετες: , 5, 7 33, 35, , 337, , 3, 5, 7, 9, 15, 1, 35, 45, 63, 105, 315

11 σελ. 11 απο 45 Κριτήρια διαιρετότητας Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 τότε διαιρείται με το 10, αν ένας αριθμός τελειώνει σε 00 τότε διαιρείται με το 100, κ.ο.κ. Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0,, 4, 6 ή 8 τότε διαιρείται με το. Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 ή 5 τότε διαιρείται με το 5. Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού διαιρείται με το 3 ή με το 9 τότε και ο αριθμός ο ίδιος διαιρείται με το 3 ή με το 9 αντίστοιχα. Αν τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή το 5, τότε και ο αριθμός ο ίδιος διαιρείται με το 4 ή το 5 αντίστοιχα. Εξεταστε αν οι παρακατω αριθμοι διαιρουνται ακριβως με το 10, το, το 3, το 4, το 5, το 9 και το 5:

12 σελ. 1 απο 45 Κλασματα Μετατροπη κλασματων αναγωγα, ισοδυναμα & ομωνυμα κλασματα Κανονας 1 ος : Ενα κλασμα δεν αλλαζει αν διαιρεσουμε τον αριθμητη και τον παρονομαστη του με τον ιδιο αριθμο (οποιον αριθμο θελουμε εκτος απο 0). Για να απλοποιησουμε ενα κλασμα συνηθως βολευει να διαιρεσουμε αριθμητη και παρονομαστη με εναν κοινο τους διαιρετη. Για παραδειγμα: 4 4: 10 10: 5 Ενα κλασμα που δεν απλοποιειται αλλο με την παραπανω μεθοδο λεγεται αναγωγο. Με αλλα λογια, αναγωνο ειναι ενα κλασμα του οποιου ο αριθμητης και ο παρονομαστης ειναι αριθμοι πρωτοι μεταξυ τους. Ως ασκηση, βρειτε ποια απο τα παρακατω κλασματα ειναι αναγωγα: ,,,,,,,, Δυο κλασματα λεγονται ισοδυναμα αν μετα την απλοποιηση τους σε αναγωγα κλασματα ο αριθμητης του ενος ειναι ισος με τον αριθμητη του αλλου και ο παρονομαστης του ενος ειναι ισος με τον παρονομαστη του αλλου. Για παραδειγμα, τα παρακατω κλασματα ειναι ισοδυναμα: 4 4: : : :3 3 Κανονας ος : Ενα κλασμα δεν αλλαζει αν πολλαπλασιασουμε τον αριθμητη και τον παρονομαστη του με τον ιδιο αριθμο (οποιον αριθμο θελουμε εκτος απο 0). Για παραδειγμα: Συχνα ειναι χρησιμη η μετατροπη ενος κλασματος με παρονομαστη το 100. Ως ασκηση εφαρμοστε καταλληλα τους δυο κανονες και μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε ισοδυναμα με παρονομαστη το 100: Δυο κλασματα λεγονται ομωνυμα αν εχουν τον ιδιο παρονομαστη και ετερωνυμα αν εχουν διαφορετικους παρονομαστες. Δυο ετερωνυμα κλασματα παντα μπορουμε να τα μετατρεψουμε σε ισοδυναμα ετερωνυμα αν εφαρμοσουμε καταλληλα τους δυο κανονες. Για παραδειγμα:

13 σελ. 13 απο 45 Συγκριση κλασματων Για να συγκρινουμε δυο ή περισσοτερα κλασματα ακολουθουμε τους παρακατω κανονες: Ενα κλασμα ειναι μεγαλυτερο του 1 αν ο αριθμητης του ειναι μεγαλυτερος απο τον παρονομαστη του. Ενα κλασμα ειναι μικροτερο του 1 αν ο αριθμητης του ειναι μικροτερος του παρονομαστη του. Ενα κλασμα ειναι ισο με 1 αν ο αριθμητης του ειναι ισος με τον παρονομαστη του. Αν δυο κλασματα εχουν τον ιδιο παρονομαστη τοτε μεγαλυτερο ειναι εκεινο με το μεγαλυτερο αριθμητη. Αν δυο κλασματα εχουν τον ιδιο αριθμητη τοτε μεγαλυτερο ειναι εκεινο με το μικροτερο παρονομαστη. Αν δυο κλασματα δεν εχουν ουτε ιδιο παρονομαστη ουτε ιδιο αριθμητη τοτε τα κανουμε ομωνυμα και μετα τα συγκρινουμε. Συγκρινετε τα παρακατω κλασματα με το 1: Συγκρινετε τα παρακατω κλασματα μεταξυ τους ( <, >, = ):

14 σελ. 14 απο 45 Εξασκηση στην απλοποιηση κλασματων Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε αναγωγα:

15 σελ. 15 απο 45 Προσθεση κλασματων Αν δυο κλασματα ειναι ομωνυμα μπορουμε να τα προσθεσουμε απευθειας ως εξης: Αν τα κλασματα δεν ειναι ομωνυμα τοτε πρεπει να τα μετατρεψουμε σε ομωνυμα και επειτα να τα προσθεσουμε οπως παραπανω. Ως ασκηση, προσθεστε τα παρακατω κλασματα: Πολλαπλασιασμος κλασματων Δυο κλασματα μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε απευθειας (χωρις να χρειαζεται να τα κανουμε ομωνυμα) ως εξης: Ως ασκηση καντε τους παρακατω πολλαπλασιασμους: Διαιρεση κλασματων Δυο κλασματα μπορουμε να τα διαιρεσουμε απευθειας (χωρις να χρειαζεται να τα κανουμε ομωνυμα) ως εξης: : Ως ασκηση καντε τις παρακατω διαιρεσεις: : : : :

16 σελ. 16 απο 45 Παραστασεις με κλασματα :5 1 3:

17 σελ. 17 απο 45 Κλασματα και επιμεριστικη ιδιοτητα Κλασματα και δυναμεις Μεικτοι αριθμοι Μετατρεψτε τους παρακατω μεικτους αριθμους σε κλασματα: Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε μεικτους αριθμους:

18 σελ. 18 απο 45 Η φυσικη σημασια των κλασματων Ενα σετ περιεχει 4 πιατα και κοστιζει 1. Ποσο κοστιζει το καθε πιατο; Ενα αεροπλανο μπορει να διανυσει 1800 χιλιομετρα σε 3 ωρες. Ποσα χιλιομετρα διανυει το αεροπλανο σε 1 ωρα; Μια ταξη εχει 5 μαθητες και τα 5 9 ειναι αγορια. Ποσα ειναι τα αγορια και ποσα τα κοριτσια; Ποιο απο τα παρακατω εκφραζει τα περισσοτερα χρηματα; Τα των 100 Τα 3 5 των 00 Το 1 8 των 500 Τα των 80 Ta 0 kg πατατες κοστιζουν 1. Ποσο κοστιζει το 1 kg πατατες; Τα 6 kg ντοματες κοστιζουν 1. Ποσο κοστιζει 1 κιλο ντοματες; Ποσο κοστιζουν τα 3 5 του κιλου ντοματες; Ενας υπαλληλος ξοδευει το μηνα απο το μισθο του τα 3 8 για φαγητο, το 1 5 για ενοικιο και το 1 10 για προσωπικα του εξοδα. Βρειτε τα εξης: Ποιο μερος του μισθου περισσευει. Αν του περισσευουν 390, ποιος ειναι ο μηνιαιος μισθος του. Ποσα χρηματα ξοδευει για φαγητο.

19 σελ. 19 απο 45 Δεκαδικοι αριθμοι Τα κλασματα ως δεκαδικοι αριθμοι Πραξεις μεταξυ δεκαδικων Καθε δεκαδικος ισουται με με ενα κλασμα αλλα και αντιστροφα, καθε κλασμα ισουται με εναν δεκαδικο. Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε δεκαδικους αριθμους: ,110 4, , , , , , : ,76 : : ,00001:100 Τι παρατηρειτε ως προς το δεκαδικο μερος των παραπανω κλασματων; Διαταξη δεκαδικων Τοποθεστηστε το σωστο συμβολο ( <, >, = ): 1,0 1,1,03,04 6,0 6,05 1,11 0,99 5,66 5,661 3,9 3,90,54,45 0,98 1,001 4,3487 4,3486 9,000 9,0 1,4 1,3 0,67 0,76 0,1 0,01 0, ,3 0, 0,0010, 1, 0,7 15,8,3 0,0049,1 1 0, , ,01 6 0,75 0,003 0,5

20 σελ. 0 απο 45 Δεκαδικοι και επιμεριστικη ιδιοτητα 10 0,1 1,1 10 1,1 1, 1, ,0 0, ,00017,14 (0,78 0,65) , , , , ,9 100, ,5 99 3, , ,1 7,5 0,99 3 3,1 50,001 1,1 9 1,1 1 8,, 8,9 5 1,1 5 1,4 7 0, , 0, 6 5,4 98 5,4 10,4 0,3 10,4 1,7 1,7 1,7 5 1,7 3 0,113 0,015 0,0135 1,6 10 1,6 1 1,6 8 0,7 75 0,7 0,7 7

21 σελ. 1 απο 45 Θετικοι & αρνητικοι αριθμοι Η (ανανεωμένη) σειρά των πράξεων παρενθεσεις (απο μεσα προς τα εξω) απολυτες τιμες δυναμεις πολλαπλασιασμοι & διαιρεσεις (απο αριστερα προς τα δεξια) προσθεσεις & αφαιρεσεις Διαταξη 1. Παρενθέσεις (από τις εσωτερικές προς τις εξωτερικές) Τοποθετηστε σε φθινουσα σειρα τους. Απολυτες τιμες παρακατω αριθμους: 3. Δυνάμεις 0, 3, 9, 4, 3, 10, 8, 5, 7 4. Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις 5. Προσθέσεις & αφαιρέσεις Τοποθετηστε το σωστο σημα <, >, = ,65, Αν, να βρειτε ποσοι και ποιοι αριθμοι ικανοποιουν τις παρακατω σχεσεις: Προσθεση μεταξυ θετικων & αρνητικων αριθμων ,14 8,18 7,14 1,18 10,86 5, 45 13,86 1, 45,98 4, 4 1,0 0,

22 σελ. απο 45 Πολλαπλασιασμος & διαιρεση μεταξυ θετικων & αρνητικων αριθμων ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( 3) ( 5) ( 5) ( 1) ( 5) ( 8) ( 9) ( 1) ( 1) ( 7) ( 7) ( 4) ( 9) ( ) ( 10) ( 4) ( 5) ( 9) ( 8) ( ( 3)) ( ( 5)) ( 13) ( 4) ( 13) ( 4) ( 1) ( 6) ( ) ( 8) ( ) ( 3) ( 7) ( 5) ( 3) ( ) ( 0) : ( 5) ( 6) : ( 6) : : Απολυτη τιμη θετικων και αρνητικων αριθμων ( 6) 3 5 ( 6) ( ) 3 ( 5) ( 6)

23 σελ. 3 απο 45 Επιμεριστικη ιδιοτητα ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) (1 500) , ,54 ( ) 0, ( 4) ( ) , ,6 5,9 0, ,4 0,3 10,4 1, ,451 6,

24 σελ. 4 απο 45 Δυναμεις Ιδιοτητες των δυναμεων Ιδιοτητες των δυναμεων με παραδειγματα, ακεραιοι, y, 0 (1) () (3) (4) (5) (6) 0 (7) 1 y y y 1 y Τις δυο τελευταιες ιδιοτητες μπορουμε να τις εξηγησουμε ως εξης: ( 44) ,,

25 σελ. 5 απο 45 Βασικες ιδιοτητες των δυναμεων ( 10) ( 10) (10 5) 10 5

26 σελ. 6 απο 45 Δυναμεις με αρνητικη βαση ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 10) ( 10) 3 ( ) 0 9 ( ) ( 9) 4 5 ( 4) ( 4) ( 5) ( 3) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) Σ / Λ

27 σελ. 7 απο 45 Δυναμεις και ανισοτητες 1,3 1 1, ,1 1 4,5 1 0, 1 3 0, 1 0, , , , ,1 0, ,1 0, ,0 0, 1 1 1,0 0, 3 0,6 1, ,5 1, ,1 1, ,1 1,5 0,5 0,99 1 0,5 0, ( 4) ( 6) ( ) ( ) 4 5 ( 0,) ( 0,8) ( 0,1) ( 0,) 4 4 0,99 0, ,99 0,1,

28 σελ. 8 απο 45 Δυναμεις με αρνητικο εκθετη ( 10) 9 3 ( 35) (35) 3 3 ( 5) ( 5) ( 10) ( 10) ( 4) ( 1) ( 1) ( 1)

29 σελ. 9 απο 45 Παραστασεις 3 5 (8 3 1 ) ( 4 5) Εξασκηση στις παραστασεις ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 4 ( ) ( 3) ( 6) ( 5) ( 8) 3 10 ( 5) ( 1) ( ) 1 ( 4) 3 4 ( 3) ( 5) ( ) 1 5 ( 1) ( 1) 6 : : ( 5) 5 9 :3 ( ) ( 3) 1 ( 3) ( 5) 1 ( ) ( 19) : ( 3) ( ) ( 15) : ( 3) ( 1) ( ) ( ) : :

30 σελ. 30 απο 45 Εξισωσεις Εξασκηση στις εξισωσεις (1) , 0, Εξασκηση στις εξισωσεις () , , ,

31 σελ. 31 απο 45 Εξασκηση στις εξισωσεις (3) Εξασκηση στις εξισωσεις (4) ,

32 σελ. 3 απο 45 Εξασκηση στις εξισωσεις (5)

33 σελ. 33 απο 45 Αναλογα ποσα Ορισμος αναλογων ποσων Δυο μεταβαλλομενα ποσα y, λεγονται αναλογα αν το κλασμα τους ειναι σταθερο: Κατα συνεπεια, αν δυο ποσα ειναι αναλογα τοτε η αυξηση του ενος συνεπαγεται αυξηση του αλλου. y a, οπου a καποιος αριθμος (συντελεστης αναλογιας). Για παραδειγμα, τα χρηματα που θα πληρωσουμε για εμφιαλωμενο νερο ειναι αναλογα με τον αριθμο των μπουκαλιων που θα αγορασουμε. Αν αγορασουμε 1 μπουκαλι νερο θα πληρωσουμε 1, για μπουκαλια θα πληρωσουμε, για 3 μπουκαλια 3 κ.ο.κ. Ενας καρπουζοπαραγωγος πουλαει καρπουζια προς 0,5 / kg. Αν ειναι η ποσοτητα που πουλησε σε κιλα και y το κερδος του σε ευρω, γραψτε τη σχεση μεταξυ του και του y και στη συνεχεια συμπληρωστε τον παρακατω πινακα: ποσοτητα που πουλησε (kg) κερδος ( ) y 7, Στον παρακατω πινακα φαινεται το βαρος ενος ανθρωπου ως προς την ηλικια του. Ειναι τα ποσα αναλογα; ηλικια (ετη) βαρος (kg) y Κλιμακες Η κλιμακα ειναι μια αναλογια μεταξυ αποστασεων. Για παραδειγμα, αν ενας χαρτης εχει κλιμακα 1:1000 αυτο σημαινει οτι 1 cm στο χαρτη αντιστοιχει σε 1000 cm στην πραγματικοτητα. Για να λυσουμε προβληματα με κλιμακες σχηματιζουμε καταλληλη ισοτητα κλασματων. Παραδειγματα: Με βαση τον διπλανο χαρτη υπολογιστε την πραγματικη αποσταση που αντιστοιχει στο κοκκινο ευθυγραμμο τμημα: Ένα πεζοπόρος βλεπει στον οριζοντα το ορος Βόρας. Ως καλος γεωγραφος γνωριζει οτι το βουνο εχει υψος περίπου 500 m. Στο σακιδιο του διαθετει μια μετροταινια. Αν κρατήσει το χέρι του 0 cm από τα μάτια του και μετρήσει το εικονικό ύψος του βουνού θα το βρεί 5 cm. Βρειτε την κλιμακα υπο την οποια βλεπει τις αποστασεις. Βοηθηστε τον πεζοπορο να βρει ποσο περιπου απεχει απο τους προποδες του βουνου.

34 σελ. 34 απο 45 Γραφικη παρασταση αναλογων ποσων (ευθεια) Ενα κουτι χυμος κοστιζει. Αν ειναι τα κουτακια που αγοραζουμε και y τα που πρεπει να πληρωσουμε γραψτε την ισοτητα που συνδεει το με το y και επειτα συμπληρωστε τον παρακατω πινακα: y y, Εντοπιστε ολα τα παραπανω σημεια y, στο παρακατω συστημα ορθογωνιων αξονων: Η γραφικη παρασταση των αναλογων ποσων ειναι μια στους αξονες.

35 σελ. 35 απο 45 Ποσοστα Ορισμος ποσοστων Προβληματα με ποσοστα Το ποσοστό επί τοις εκατό (%) είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή το 100. Κάθε κλάσμα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε ποσοστό επί τοις εκατό, αλλα και αντιστροφα, καθε δεκαδικο αριθμο μπορουμε να τον μετατρεψουμε σε κλασμα: % , , ,81% , 0, , 0% Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα και δεκαδικους σε ποσοστα επι τοις εκατο ( % ): 0,7315 0,0945 0,0001, Το εισητηριο του λεωφορειου κοστιζε 0,4 το 010 και η τιμη του διπλασιαστηκε μεσα σε 4 χρονια. Βρειτε την ποσοστιαια αυξηση στην τιμη του εισητηριου. Σε ενα κυλικειο η τυροπιτα κοστιζει 1, και ενα μπουκαλι νερο 0,5. Την επομενη χρονια η τιμη της τυροπιτας εχει μειωθει κατα 5 % και το μπουκαλι νερο κοστιζει 0,6. Ποια θα ειναι η νεα τιμη της τυροπιτας; Ποιο ειναι το ποσοστο αυξησης του ενος μπουκαλιου νερου; Η μηνιαια καρτα απεριοριστων διαδρομων κοστιζει και η τιμη της προκειται να αυξηθει κατα 75 %. Ενα εισητηριο μιας διαδρομης κοστιζει 0,7 και η τιμη του προκειται να αυξηθει κατα 50 %. Καποιος εργαζομενος παιρνει το λεωφορειο για να παει και να γυρισει απο τη δουλεια του καθε μερα, για 0 φορες το μηνα. Ποια θα ειναι η νεα τιμη της καρτας και ποια η νεα τιμη του εισητηριου; Τι συμφερει τον εργαζομενο, η καρτα ή τα εισητηρια; Καποιος καταθετει στην τραπεζα με ετησιο επιτοκιο 1%. Ποσος θα ειναι ο τοκος στο τελος του ετους και ποιο το τελικο κεφαλαιο; Το θαλασσινο νερο εχει περιεκτικοτητα σε αλατι 3 %. Βρειτε ποσα kg αλατι περιεχονται σε 100 kg θαλασσινο νερο.

36 σελ. 36 απο 45 Αντιστροφως αναλογα ποσα Ορισμος αντιστροφως αναλογων ποσων Δυο μεταβαλλομενα ποσα, y λεγονται αντιστροφως αναλογα αν το γινομενο τους ειναι σταθερο: y a οπου a καποιος σταθερος αριθμος. Αν δυο ποσα ειναι αντιστροφως αναλογα, τοτε η αυξηση του ενος συνεπαγεται μειωση του αλλου, ετσι ωστε το γινομενο τους να μενει σταθερο. Ενας αγροτης θελει να γεμισει μια δεξαμενη χωρητικοτητας 150 lt με νερο χρησιμοποιωντας διαφορες παροχες. Αν αυξησει την παροχη του νερου τοτε ο χρονος που χρειαζεται για να γεμισει η δεξαμενη μειωνεται. Γραψτε τη σχεση που συνδεει το με το y και στη συνεχεια βοηθηστε τον αγροτη να συμπληρωσει τον παρακατω πινακα: ροη νερου ( lt / h ) χρονος γεμισματος ( h ) y y, Γραφικη παρασταση αντιστροφως αναλογων ποσων (υπερβολη) Για τις τιμες του πινακα που βρηκατε παραπανω, εντοπιστε τα αντιστοιχα σημεια στους αξονες: Η γραφικη παρασταση δυο αντιστροφως αναλογων ποσων ειναι μια καμπυλη που ονομαζεται υπερβολη.

37 σελ. 37 απο 45 Γεωμετρια Ειδη γωνιων

38 σελ. 38 απο 45 Ασκησεις στa ειδη γωνιων

39 σελ. 39 απο 45 Κυκλος

40 σελ. 40 απο 45 Παραλληλες ευθειες που τεμνονται απο μια ευθεια Εστω δυο παραλληλες ευθειες που τεμνονται απο μια τριτη ευθεια. Τοτε θεωρουμε τους παρακατω ορισμους: Αν μια γωνια βρισκεται αναμεσα στις παραλληλες τοτε την ονομαζουμε εντος. Για παραδειγμα, οι γωνιες 3, 4, 5, 6 ειναι ολες εντος. Αν μια γωνια βρισκεται εξω απο τις παραλληλες την λεμε εκτος. Για παραδειγμα, οι γωνιες 1,, 7, 8 ειναι ολες εκτος. Αν δυο γωνιες «κοιτουν» προς την ιδια μερια τις λεμε επι ταυτα. Για παραδειγμα οι γωνιες 4, 5 ειναι επι ταυτα και οι γωνιες 1, 8 ειναι επι ταυτα. Αν δυο γωνιες «κοιτουν» προς διαφορετικες μεριες τις λεμε εναλλαξ. Για παραδειγμα οι γωνιες 3, 5 ειναι εναλλαξ και οι γωνιες, 8 ειναι εναλλαξ. Απο το σχημα ειναι ξεκαθαρο οτι: Δυο εντος και εναλλαξ γωνιες ειναι ισες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 3, 5 ειναι ισες ως εντος και εναλλαξ. Δυο εντος, εκτος και επι ταυτα γωνιες ειναι ισες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 1, 5 ειναι μεταξυ τους ισες ως εντος, εκτος και επι ταυτα. Δυο εντος και επι ταυτα γωνιες ειναι παραπληρωματικες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 4, 5 ειναι παραπληρωματικες ως εντος και επι ταυτα. Ως ασκηση χαρακτηριστε τα παρακατω ζευγαρια γωνιων (συμφωνα με το παραπανω σχημα) και αποφασιστε αν ειναι ισες ή παραπληρωματικες: 1, 6 : 4, 6 : 1, 7 : 3, 6 : 1, : 3, 7 :, 8 : 5, 7 : 4, 8 :, 5 : 7, 8 :, 7 : 1, 8 : 4, 7 :, 6 :

41 σελ. 41 απο 45 Συμμετρικο σημειου ως προς μια ευθεια Αν μας δωθει ενα σημειο και μια ευθεια ε μπορουμε να βρουμε το συμμετρικο ' του σημειου αυτου ως προς την ευθεια: Συμμετρικο σχηματος ως προς μια ευθεια Αν μας δωθει ενα επιπεδο σχημα και μια ευθεια ε μπορουμε να βρουμε το συμμετρικο του σχηματος ως προς την ευθεια:

42 σελ. 4 απο 45 Αξονες συμμετριας Ενα επιπεδο σχημα εχει αξονα συμμετριας μια ευθεια αν η ευθεια το χωριζει σε δυο μερη τα οποια συμπιπτουν αν το σχημα διπλωθει κατα μηκος της ευθειας. Ενα ευθυγραμμο τμημα εχει εναν αξονα συμμετριας, τη μεσοκαθετο του. Μια γωνια εχει εναν αξονα συμμετριας, τη διχοτομο της. Καθε διαμετρος ενος κυκλου ειναι και αξονας συμμετριας του. Οι κατακορυφην γωνιες εχουν δυο αξονες συμμετριας, τις διχοτομους των γωνιων. Καποια σχηματα δεν εχουν αξονες συμμετριας, πχ: Οι εντος εναλλαξ γωνιες Ενα τυχαιο τριγωνο Ενα τυχαιο τετραπλευρο. Κεντρο συμμετριας Ενα σχημα εχει κεντρο συμμετριας καποιο σημειο Ο αν μετα την περιστροφη του σχηματος κατα γωνια γυρω απο το Ο, το τελικο σχημα συμπιπτει με το αρχικο. Το μεσο ενος ευθυγραμμου τμηματος ειναι κεντρο συμμετριας του. Η (κοινη) κορυφη δυο κατακορυφην γωνιων ειναι κεντρο συμμετριας τους. Δυο παραλληληλες ευθειες που τεμνονται απο μια τριτη εχουν κεντρο συμμετριας το σημειο τομης της μεσοπαραλληλης με την τεμνουσα. Το κεντρο ενος κυκλου ειναι κεντρο συμμετριας του. Καθε σημειο μιας ευθειας ειναι κεντρο συμμετριας της. Καποια σχηματα δεν εχουν κεντρο συμμετριας, πχ: Οι γωνιες Τα τριγωνα Τα τυχαια τετραπλευρα

43 σελ. 43 απο 45 Στοιχεια τριγωνου Ειδη τριγωνου Ιδιοτητες ισοσκελους τριγωνου Ιδιοτητες ισοπλευρου τριγωνου Οι γωνιες της βασης ειναι ισες Η διαμεσος που αντιστοιχει στη βαση ειναι και υψος και διχοτομος. Η διαμεσος ειναι ο μοναδικος αξονας συμμετριας. Ολες οι γωνιες ειναι ισες με 60 0 Καθε διαμεσος ειναι και υψος και διχοτομος. Καθε διαμεσος ειναι και αξονας συμμετριας.

44 σελ. 44 απο 45 Παραλληλογραμμα

45 σελ. 45 απο 45 Τραπεζια

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Να γραφεί ο τύπος της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το, πότε με το, το, και πότε με το 9. ( Δώστε παράδειγμα) Ποιοι αριθμοί καλούνται πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/0/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/05/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού

Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού Λογισμικό: Μαθηματικά Α ΣΤ Δημοτικού Κατηγορία αναπηρίας: Κώφωση Βαρηκοΐα Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη/εις: Α Στ Δημοτικού Παρουσίαση Λογισμικού: Κατερίνα Αραμπατζή Προμηθευτής: Postscriptum Advanced Communication

Διαβάστε περισσότερα

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά

Mαρία Πριοβόλου. Οδηγός προετοιμασίας. για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια. Μαθηματικά Mαρία Πριοβόλου Οδηγός προετοιμασίας για τα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια Μαθηματικά Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ & ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΡΕΘΥΜΝΟΥ & ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Λ. ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-14 3 η Φάση Η συλλογή αυτή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Όλες οι απαντήσεις. Μαθηματικά Στ Δημοτικού Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Όλες οι απαντήσεις Μαθηματικά Στ Δημοτικού Σειρά: Τα εκπαιδευτικά μου βιβλία / Δημοτικό / Μαθηματικά Γιάννης Ζαχαρόπουλος, Όλες οι απαντήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127

Α. 27 Β. 29 Γ. 45 Δ. 105 Ε. 127 Α - Β Γυμνασίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 0. Αν = M = 60, η τιμή του M + N είναι: 5 45 N Α. Β. 9 Γ. 45 Δ. 05 Ε.. Ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο έχουν ίσες περιμέτρους. Το μήκος των τριών

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4%

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4% Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αγοράς ===================================================================================== Κώστας Γ. Σάλαρης - Μάνια Κ. Σάλαρη Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 6 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Σελίδα 17: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΒΑΘΜΟΣ : ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικά.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/6/015 ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Α Ολογράφως:... ΧΡΟΝΟΣ: ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ A ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ A ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ A ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ A ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Δείκτες Επιτυχίας Α3.2 Κατανοούν την έννοια της μεταβλητής, ερμηνεύουν και επεξηγούν σχέσεις μεταξύ μεταβλητών.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί. Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 1, Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί. Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 1, Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 1 Περιεχόμενα Σελίδα 4: Σελίδα 16: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1, Οι φυσικοί αριθμοί Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας

ΕΝΟΤΗΤΑ 6. Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας Μονοψήφια διαίρεση Προβλήματα αναλογίας ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.13 Αναπτύσσουν και εφαρμόζουν αλγόριθμους της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού με τριψήφιους

Διαβάστε περισσότερα

C Y M B ȦIJȠıIJȠȚȤİȚȠșİıȓĮ Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ %ȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ (.ǻ2ȉ(,ȉ =+7+ ĭȧijƞıijƞțȥițƞșiıȓį Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ

C Y M B ȦIJȠıIJȠȚȤİȚȠșİıȓĮ Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ %ȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ (.ǻ2ȉ(,ȉ =+7+ ĭȧijƞıijƞțȥițƞșiıȓį Ȇ =+7+ ȈȚĮ 2( (țijȫʌȧıș ǺȚȞȜȚȠįİıȓĮ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ www.ziti.gr www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια υπεύθυνη και εμπεριστατωμένη προσέγγιση της ύλης των δύο τελευταίων τάξεων Εʹ και Στʹ του Δημοτικού σχολείου, στα βασικά μαθήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Π.ΦΥΛΑΧΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Π.ΦΥΛΑΧΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Π.ΦΥΛΑΧΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α.1. Να γράψετε τις παρακάτω εκφράσεις με τη βοήθεια μιας μεταβλητής: i) Το πενταπλάσιο ενός αριθμού. ii) Το διπλάσιο

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα