Μαθηματικα A Γυμνασιου

Transcript

1 Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu

2 σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 5 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Η ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 6 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 8 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ 9 ΠΡΩΤΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ 9 ΠΡΩΤΟΙ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ 9 ΆΡΤΙΟΙ ΚΑΙ ΠΕΡΙΤΤΟΙ 10 ΕΥΡΕΣΗ ΔΙΑΙΡΕΤΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΠ ΚΑΙ ΜΚΔ 10 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 11 ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΑΝΑΓΩΓΑ, ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ & ΟΜΩΝΥΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 13 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 14 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 15 ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ 16 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 17 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 17 ΜΕΙΚΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 17 Η ΦΥΣΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 18 ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 19 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ 19 ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΩΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 19 ΔΙΑΤΑΞΗ ΔΕΚΑΔΙΚΩΝ 19 ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΚΑΙ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 0 Η (ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ) ΣΕΙΡΑ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 1 ΘΕΤΙΚΟΙ & ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΔΙΑΤΑΞΗ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ & ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 3 ΔΥΝΑΜΕΙΣ 4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 5 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΒΑΣΗ 6 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 7 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΕΚΘΕΤΗ 8

3 σελ. 3 απο 45 ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (1) 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ () 30 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (3) 31 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (4) 31 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (5) 3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 33 ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ 33 ΚΛΙΜΑΚΕΣ 33 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ (ΕΥΘΕΙΑ) 34 ΠΟΣΟΣΤΑ 35 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ 35 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΟΣΟΣΤΩΝ 35 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 36 ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ 36 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ (ΥΠΕΡΒΟΛΗ) 36 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 37 ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ 37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤA ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ 38 ΚΥΚΛΟΣ 39 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 40 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 41 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ 41 ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 4 ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 43 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ 44 ΤΡΑΠΕΖΙΑ 45

4 σελ. 4 απο 45 Φυσικοι αριθμοι Ορισμος φυσικων αριθμων Προσθεση φυσικων αριθμων Οι φυσικοι αριθμοι ειναι ολοι οι γνωστοι μας αριθμοι: 0,1,,3,4,5,6,... Το συνολο των φυσικων αριθμων συμβολιζεται ως { 0,1,,3,4,5,6,... } Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους προσθεσουμε και να βρουμε το αθροισμα τους τον γνωστο τροπο: Μπορουμε να διαταξουμε ολους τους φυσικους πανω σε μια ευθεια γραμμη, ξεκινωντας απο τα αριστερα προς τα δεξια σε αυξουσα σειρα (απο τον μικροτερο προς τον μεγαλυτερο): Για την προσθεση φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Η προσθεση αριθμου με το 0 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε να αποφασισουμε αν ειναι ισοι η αν ο ενας ειναι μικροτερος απο τον αλλον. Για παραδειγμα: Αφαιρεση φυσικων αριθμων Αντιμεταθετικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι με οποια σειρα και αν προσθεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Προσεταιριστικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι αν υπαρχουν παρενθεσεις, με οποια σειρα και αν προσθεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Στρογγυλοποιηση φυσικων αριθμων Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους αφαιρεσουμε (τον μικροτερο απο τον μεγαλυτερο) και να βρουμε τη διαφορα τους με τον γνωστο τροπο: Μπορουμε να στρογγυλοποιησουμε εναν φυσικο αριθμο σε μια συγκεκριμενη ταξη ψηφιων. Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να στρογγυλοποιησουμε τον αριθμο στις εκατονταδες: Ελεγχουμε το αμεσως δεξια ψηφιο, δηλαδη το 4. Επειδη 4 5 η στρογγυλοποιηση θα γινει ως εξης: Για την αφαιρεση φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Η αφαιρεση αριθμου με το 0 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Προσεταιριστικη ιδιοτητα, που σημαινει οτι αν υπαρχουν παρενθεσεις, με οποια σειρα και αν αφαιρεσουμε θα καταληξουμε στο ιδιο αποτελεσμα: Για να στρογγυλοποιησουμε τον ιδιο αριθμο στις χιλιαδες: Ελεγχουμε ξανα το αμεσως δεξια ψηφιο, δηλαδη το 8. Επειδη 8 5 η στρογγυλοποιηση θα γνει ως εξης:

5 σελ. 5 απο 45 Πολλαπλασιασμος φυσικων αριθμων Επιμεριστικη ιδιοτητα Αν μας δωθουν δυο φυσικοι αριθμοι μπορουμε παντα να τους πολλαπλασιασουμε και να βρουμε το γινομενο τους με τον γνωστο τροπο: Για τον πολλαπλασιασμο φυσικων ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες: Ο πολλαπλασιασμος αριθμου με το 0 ισουται παντα με 0: Ο πολλαπλασιασμος αριθμου με 1 ισουται παντα με τον ιδιο τον αριθμο: Αντιμεταθετικη ιδιοτητα: Προσεταιριστικη ιδιοτητα: Επιμεριστικη ιδιοτητα: Ειναι απο τις σημαντικοτερες ιδιοτητες των φυσικων αριθμων. Μπορουμε να την καταλαβουμε με ενα απλο παραδειγμα: Οταν πολλαπλασιαζουμε εναν αριθμο με 10, 100, 1000 κλπ τοτε τα ψηφια του αριθμου μενουν ιδια μονο που στο τελος προσθετουμε τα αντιστοιχα μηδενικα: Ως ασκηση καντε τις παρακατω πραξεις χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα: (0 ) Δυναμεις φυσικων αριθμων Αν, φυσικοι αριθμοι οριζουμε τον αριθμο ως εξης: φορες 4 Ο αριθμος ονομαζεται βαση και ο αριθμος ονομαζεται εκθετης. Ως ασκηση, συμπληρωστε τις παρακατω ισοτητες:

6 σελ. 6 απο 45 Η σειρα των πραξεων Οταν θελουμε να βρουμε την τιμη μιας αλγεβρικης παραστασης ακολουθουμε την παρακατω σειρα των πραξεων: παρενθεσεις (απο μεσα προς τα εξω) δυναμεις πολλαπλασιασμοι & διαιρεσεις (απο τα αριστερα προς τα δεξια) προσθεσεις & αφαιρεσεις Ως ασκηση υπολογιστε τις παρακατω παραστασεις: : 6 : (1 : 6) : 1 : (6 : ) (9 8) : 5 15:34 : : (3 9) : : 1

7 σελ. 7 απο 45 Διαιρεση φυσικών Ευκλείδεια διαίρεση Η διαίρεση δύο φυσικών ονομάζεται Ευκλείδια διαίρεση. Αν μας δωθούν δύο φυσικοί αριθμοί, π.χ. το 14 και το 3, ειναι χρησιμο να ξερουμε πόσες φορές χωράει ο ένας στον άλλον. Μπορουμε λοιπον να γράψουμε «το 3 χωράει 4 φορές στο 14 και περισσεύουν» : Διαιρετέος (Δ) = διαιρέτης (δ) πηλίκο (π) + υπόλοιπο (υ) Σε μια ευκλειδεια διαιρεση ο διαιρετης απαγορευεται να ειναι 0. Σε μια ευκλειδεια διαιρεση το υπόλοιπο μπορεί να είναι 0. Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε το 6 με το 3: Τότε λέμε ότι το 3 δαιρεί (ακριβώς) το 6 και εχουμε τελεια διαιρεση. Σε κάθε ευκλείδια διαίρεση το υπόλοιπο είναι παντα μεγαλύτερο ή ίσο του 0 και (αυστηρα) μικρότερο από το διαιρέτη: 0 υπόλοιπο διαιρέτης Ως ασκηση, συμπληρωστε τις παρακατω Ευκλειδειες διαιρεσεις:

8 σελ. 8 απο 45 Διαιρεση τυχαιων αριθμων Μπορουμε να χρησιμοποιησουμε την Ευκλειδεια διαιρεση για να βρουμε το αποτελεσμα της διαιρεσης δυο οποιωνδηποτε αριθμων. Για παραδειγμα, ας προσπαθησουμε να κανουμε τη διαιρεση 741:3. 1. Ξεκιναμε απο το πρωτο αριστερα ψηφιο και γραφουμε την Ευκλειδεια διαιρεση του 7 με το 3: Κατεβαζουμε το υπολοιπο (το 1), δεξια του τοποθετουμε το επομενο ψηφιο του αριθμου (το 4) και ξανακανουμε Ευκλειδεια διαιρεση (παντα με διαιρετη το 3): Συνεχιζουμε τη διαδικασια μεχρι να φτασουμε σε υπολοιπο 0: Αν φτασουμε σε υπολοιπο 0 εχουμε τελεια διαιρεση και η διαδικασια τελειωνει. Τα πηλικα (με κοκκινο χρωμα) που εμφανιζονται ειναι το αποτελεσμα που ψαχνουμε: 741:3 47 Ως ασκηση, βρειτε τα αποτελεσματα των παρακατω διαιρεσεων: 5934 :3 873 : :1 5395: : :5

9 σελ. 9 απο 45 Πολλαπλασια και διαιρετες Καθε φυσικος αριθμος εχει διαιρετες και πολλαπλασια. Οι διαιρετες ενος αριθμου ειναι ολοι οι αριθμοι που τον διαιρουν ακριβως. Για παραδειγμα, οι διαιρετες του 8 ειναι οι αριθμοι 1,, 4, 8. Οι διαιρετες του 15 ειναι οι αριθμοι 1, 3, 5, 15 και οι διαιρετες του 11 ειναι μονο το 1 και το 11. Τα πολλαπλασια ενος αριθμου ειναι ολοι οι αριθμοι που διαιρουνται ακριβως με τον. Για παραδειγμα, τα πολλαπλασια του 4 ειναι οι αριθμοι 4, 8, 1, 16,... και τα πολλαπλασια του 15 ειναι οι αριθμοι 15, 30, 45, 60, 75,... Παρατηρησεις: Καθε αριθμος εχει σιγουρα ως διαιρετες το 1 και τον εαυτο του. Τα πολλαπλασια ενος αριθμου ειναι απειρα ενω οι διαιρετες πεπερασμενοι. Παραδειγματα: Βρειτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα τρια πολλαπλασια των αριθμων 1, 0, 36. Βρειτε τους διαιρετες των αριθμων, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Καταγραψτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα 5 πολλαπλασια του αριθμου 16. Καταγραψτε ολους τους διαιρετες και τα πρωτα 5 πολλαπλασια του αριθμου 40. Βρειτε τον μεγαλυτερο απο τους κοινους διαιρετες των 16 και 40, δηλαδη τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) των αριθμων. Βρειτε το μικροτερο απο τα κοινα πολλαπλασια των 16, 40, δηλαδη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών. Πρώτοι και σύνθετοι Αν ένας φυσικός αριθμός έχει ως μοναδικούς διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του, τότε λέγεται πρώτος αριθμός. Όλοι οι φυσικοί που δεν είναι πρώτοι λέγονται σύνθετοι. Πρωτοι:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9,... Συνθετοι: 4, 6, 8, 9, 10, 1, 14, 16, 18, 0, 1,... Επιπλεον: Καθε σύνθετος αριθμος μπορεί να γραφτεί με μοναδικο τροπο ως γινόμενο πρώτων αριθμων: Πρώτοι μεταξυ τους Δυο αριθμοι λεγονται πρωτοι μεταξυ τους αν ο ΜΚΔ τους ειναι ισος με 1. Ως ασκηση, εξεταστε αν τα παρακατω ζευγαρια αριθμων ειναι πρωτοι μεταξυ τους: 1, 16 13, 15 6, 14 1, 5 11, 10 18, 5

10 σελ. 10 απο 45 Άρτιοι και περιττοί Άρτιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το : Περιττοί είναι οι φυσικοί αριθμοί που δεν διαιρούνται ακριβώς με το :, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18,... κλπ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,... κλπ Ευρεση διαιρετων και υπολογισμός ΕΚΠ και ΜΚΔ Έστω ότι μας δίνονται δύο ή περισσότεροι φυσικοι αριθμοί, π.χ. οι 1800 και Για να βρούμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Αναλύουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: Για να βρούμε το ΜΚΔ διαλέγουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες (που στο παράδειγμά μας είναι οι, 3 και 5) και τους υψώνουμε στη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Για να βρούμε το ΕΚΠ διαλέγουμε όλους τους παράγοντες (κοινούς και μη κοινούς) και τους υψώνουμε στη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: , Ως ασκηση βρειτε τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παρακατω αριθμων: 360, , , 50 Για να βρουμε τους διαιρετες ενος αριθμου τον αναλυουμε σε πρωτους παραγοντες και στη συνεχεια παιρνουμε ολους τους δυνατους συνδυασμους. Ως παραδειγμα, ας βρουμε τους διαιρετες του 315: 1) Αναλυουμε τον αριθμο σε γινομενο πρωτων: ) Παιρνουμε ολους τους δυνατους συνδυασμους: 3) Καθαρογραφουμε τους διαιρετες: , 5, 7 33, 35, , 337, , 3, 5, 7, 9, 15, 1, 35, 45, 63, 105, 315

11 σελ. 11 απο 45 Κριτήρια διαιρετότητας Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 τότε διαιρείται με το 10, αν ένας αριθμός τελειώνει σε 00 τότε διαιρείται με το 100, κ.ο.κ. Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0,, 4, 6 ή 8 τότε διαιρείται με το. Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 0 ή 5 τότε διαιρείται με το 5. Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού διαιρείται με το 3 ή με το 9 τότε και ο αριθμός ο ίδιος διαιρείται με το 3 ή με το 9 αντίστοιχα. Αν τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 ή το 5, τότε και ο αριθμός ο ίδιος διαιρείται με το 4 ή το 5 αντίστοιχα. Εξεταστε αν οι παρακατω αριθμοι διαιρουνται ακριβως με το 10, το, το 3, το 4, το 5, το 9 και το 5:

12 σελ. 1 απο 45 Κλασματα Μετατροπη κλασματων αναγωγα, ισοδυναμα & ομωνυμα κλασματα Κανονας 1 ος : Ενα κλασμα δεν αλλαζει αν διαιρεσουμε τον αριθμητη και τον παρονομαστη του με τον ιδιο αριθμο (οποιον αριθμο θελουμε εκτος απο 0). Για να απλοποιησουμε ενα κλασμα συνηθως βολευει να διαιρεσουμε αριθμητη και παρονομαστη με εναν κοινο τους διαιρετη. Για παραδειγμα: 4 4: 10 10: 5 Ενα κλασμα που δεν απλοποιειται αλλο με την παραπανω μεθοδο λεγεται αναγωγο. Με αλλα λογια, αναγωνο ειναι ενα κλασμα του οποιου ο αριθμητης και ο παρονομαστης ειναι αριθμοι πρωτοι μεταξυ τους. Ως ασκηση, βρειτε ποια απο τα παρακατω κλασματα ειναι αναγωγα: ,,,,,,,, Δυο κλασματα λεγονται ισοδυναμα αν μετα την απλοποιηση τους σε αναγωγα κλασματα ο αριθμητης του ενος ειναι ισος με τον αριθμητη του αλλου και ο παρονομαστης του ενος ειναι ισος με τον παρονομαστη του αλλου. Για παραδειγμα, τα παρακατω κλασματα ειναι ισοδυναμα: 4 4: : : :3 3 Κανονας ος : Ενα κλασμα δεν αλλαζει αν πολλαπλασιασουμε τον αριθμητη και τον παρονομαστη του με τον ιδιο αριθμο (οποιον αριθμο θελουμε εκτος απο 0). Για παραδειγμα: Συχνα ειναι χρησιμη η μετατροπη ενος κλασματος με παρονομαστη το 100. Ως ασκηση εφαρμοστε καταλληλα τους δυο κανονες και μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε ισοδυναμα με παρονομαστη το 100: Δυο κλασματα λεγονται ομωνυμα αν εχουν τον ιδιο παρονομαστη και ετερωνυμα αν εχουν διαφορετικους παρονομαστες. Δυο ετερωνυμα κλασματα παντα μπορουμε να τα μετατρεψουμε σε ισοδυναμα ετερωνυμα αν εφαρμοσουμε καταλληλα τους δυο κανονες. Για παραδειγμα:

13 σελ. 13 απο 45 Συγκριση κλασματων Για να συγκρινουμε δυο ή περισσοτερα κλασματα ακολουθουμε τους παρακατω κανονες: Ενα κλασμα ειναι μεγαλυτερο του 1 αν ο αριθμητης του ειναι μεγαλυτερος απο τον παρονομαστη του. Ενα κλασμα ειναι μικροτερο του 1 αν ο αριθμητης του ειναι μικροτερος του παρονομαστη του. Ενα κλασμα ειναι ισο με 1 αν ο αριθμητης του ειναι ισος με τον παρονομαστη του. Αν δυο κλασματα εχουν τον ιδιο παρονομαστη τοτε μεγαλυτερο ειναι εκεινο με το μεγαλυτερο αριθμητη. Αν δυο κλασματα εχουν τον ιδιο αριθμητη τοτε μεγαλυτερο ειναι εκεινο με το μικροτερο παρονομαστη. Αν δυο κλασματα δεν εχουν ουτε ιδιο παρονομαστη ουτε ιδιο αριθμητη τοτε τα κανουμε ομωνυμα και μετα τα συγκρινουμε. Συγκρινετε τα παρακατω κλασματα με το 1: Συγκρινετε τα παρακατω κλασματα μεταξυ τους ( <, >, = ):

14 σελ. 14 απο 45 Εξασκηση στην απλοποιηση κλασματων Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε αναγωγα:

15 σελ. 15 απο 45 Προσθεση κλασματων Αν δυο κλασματα ειναι ομωνυμα μπορουμε να τα προσθεσουμε απευθειας ως εξης: Αν τα κλασματα δεν ειναι ομωνυμα τοτε πρεπει να τα μετατρεψουμε σε ομωνυμα και επειτα να τα προσθεσουμε οπως παραπανω. Ως ασκηση, προσθεστε τα παρακατω κλασματα: Πολλαπλασιασμος κλασματων Δυο κλασματα μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε απευθειας (χωρις να χρειαζεται να τα κανουμε ομωνυμα) ως εξης: Ως ασκηση καντε τους παρακατω πολλαπλασιασμους: Διαιρεση κλασματων Δυο κλασματα μπορουμε να τα διαιρεσουμε απευθειας (χωρις να χρειαζεται να τα κανουμε ομωνυμα) ως εξης: : Ως ασκηση καντε τις παρακατω διαιρεσεις: : : : :

16 σελ. 16 απο 45 Παραστασεις με κλασματα :5 1 3:

17 σελ. 17 απο 45 Κλασματα και επιμεριστικη ιδιοτητα Κλασματα και δυναμεις Μεικτοι αριθμοι Μετατρεψτε τους παρακατω μεικτους αριθμους σε κλασματα: Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε μεικτους αριθμους:

18 σελ. 18 απο 45 Η φυσικη σημασια των κλασματων Ενα σετ περιεχει 4 πιατα και κοστιζει 1. Ποσο κοστιζει το καθε πιατο; Ενα αεροπλανο μπορει να διανυσει 1800 χιλιομετρα σε 3 ωρες. Ποσα χιλιομετρα διανυει το αεροπλανο σε 1 ωρα; Μια ταξη εχει 5 μαθητες και τα 5 9 ειναι αγορια. Ποσα ειναι τα αγορια και ποσα τα κοριτσια; Ποιο απο τα παρακατω εκφραζει τα περισσοτερα χρηματα; Τα των 100 Τα 3 5 των 00 Το 1 8 των 500 Τα των 80 Ta 0 kg πατατες κοστιζουν 1. Ποσο κοστιζει το 1 kg πατατες; Τα 6 kg ντοματες κοστιζουν 1. Ποσο κοστιζει 1 κιλο ντοματες; Ποσο κοστιζουν τα 3 5 του κιλου ντοματες; Ενας υπαλληλος ξοδευει το μηνα απο το μισθο του τα 3 8 για φαγητο, το 1 5 για ενοικιο και το 1 10 για προσωπικα του εξοδα. Βρειτε τα εξης: Ποιο μερος του μισθου περισσευει. Αν του περισσευουν 390, ποιος ειναι ο μηνιαιος μισθος του. Ποσα χρηματα ξοδευει για φαγητο.

19 σελ. 19 απο 45 Δεκαδικοι αριθμοι Τα κλασματα ως δεκαδικοι αριθμοι Πραξεις μεταξυ δεκαδικων Καθε δεκαδικος ισουται με με ενα κλασμα αλλα και αντιστροφα, καθε κλασμα ισουται με εναν δεκαδικο. Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα σε δεκαδικους αριθμους: ,110 4, , , , , , : ,76 : : ,00001:100 Τι παρατηρειτε ως προς το δεκαδικο μερος των παραπανω κλασματων; Διαταξη δεκαδικων Τοποθεστηστε το σωστο συμβολο ( <, >, = ): 1,0 1,1,03,04 6,0 6,05 1,11 0,99 5,66 5,661 3,9 3,90,54,45 0,98 1,001 4,3487 4,3486 9,000 9,0 1,4 1,3 0,67 0,76 0,1 0,01 0, ,3 0, 0,0010, 1, 0,7 15,8,3 0,0049,1 1 0, , ,01 6 0,75 0,003 0,5

20 σελ. 0 απο 45 Δεκαδικοι και επιμεριστικη ιδιοτητα 10 0,1 1,1 10 1,1 1, 1, ,0 0, ,00017,14 (0,78 0,65) , , , , ,9 100, ,5 99 3, , ,1 7,5 0,99 3 3,1 50,001 1,1 9 1,1 1 8,, 8,9 5 1,1 5 1,4 7 0, , 0, 6 5,4 98 5,4 10,4 0,3 10,4 1,7 1,7 1,7 5 1,7 3 0,113 0,015 0,0135 1,6 10 1,6 1 1,6 8 0,7 75 0,7 0,7 7

21 σελ. 1 απο 45 Θετικοι & αρνητικοι αριθμοι Η (ανανεωμένη) σειρά των πράξεων παρενθεσεις (απο μεσα προς τα εξω) απολυτες τιμες δυναμεις πολλαπλασιασμοι & διαιρεσεις (απο αριστερα προς τα δεξια) προσθεσεις & αφαιρεσεις Διαταξη 1. Παρενθέσεις (από τις εσωτερικές προς τις εξωτερικές) Τοποθετηστε σε φθινουσα σειρα τους. Απολυτες τιμες παρακατω αριθμους: 3. Δυνάμεις 0, 3, 9, 4, 3, 10, 8, 5, 7 4. Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις 5. Προσθέσεις & αφαιρέσεις Τοποθετηστε το σωστο σημα <, >, = ,65, Αν, να βρειτε ποσοι και ποιοι αριθμοι ικανοποιουν τις παρακατω σχεσεις: Προσθεση μεταξυ θετικων & αρνητικων αριθμων ,14 8,18 7,14 1,18 10,86 5, 45 13,86 1, 45,98 4, 4 1,0 0,

22 σελ. απο 45 Πολλαπλασιασμος & διαιρεση μεταξυ θετικων & αρνητικων αριθμων ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( 3) ( 5) ( 5) ( 1) ( 5) ( 8) ( 9) ( 1) ( 1) ( 7) ( 7) ( 4) ( 9) ( ) ( 10) ( 4) ( 5) ( 9) ( 8) ( ( 3)) ( ( 5)) ( 13) ( 4) ( 13) ( 4) ( 1) ( 6) ( ) ( 8) ( ) ( 3) ( 7) ( 5) ( 3) ( ) ( 0) : ( 5) ( 6) : ( 6) : : Απολυτη τιμη θετικων και αρνητικων αριθμων ( 6) 3 5 ( 6) ( ) 3 ( 5) ( 6)

23 σελ. 3 απο 45 Επιμεριστικη ιδιοτητα ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8) (1 500) , ,54 ( ) 0, ( 4) ( ) , ,6 5,9 0, ,4 0,3 10,4 1, ,451 6,

24 σελ. 4 απο 45 Δυναμεις Ιδιοτητες των δυναμεων Ιδιοτητες των δυναμεων με παραδειγματα, ακεραιοι, y, 0 (1) () (3) (4) (5) (6) 0 (7) 1 y y y 1 y Τις δυο τελευταιες ιδιοτητες μπορουμε να τις εξηγησουμε ως εξης: ( 44) ,,

25 σελ. 5 απο 45 Βασικες ιδιοτητες των δυναμεων ( 10) ( 10) (10 5) 10 5

26 σελ. 6 απο 45 Δυναμεις με αρνητικη βαση ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 10) ( 10) 3 ( ) 0 9 ( ) ( 9) 4 5 ( 4) ( 4) ( 5) ( 3) ( 10) ( 10) ( 10) ( 10) Σ / Λ

27 σελ. 7 απο 45 Δυναμεις και ανισοτητες 1,3 1 1, ,1 1 4,5 1 0, 1 3 0, 1 0, , , , ,1 0, ,1 0, ,0 0, 1 1 1,0 0, 3 0,6 1, ,5 1, ,1 1, ,1 1,5 0,5 0,99 1 0,5 0, ( 4) ( 6) ( ) ( ) 4 5 ( 0,) ( 0,8) ( 0,1) ( 0,) 4 4 0,99 0, ,99 0,1,

28 σελ. 8 απο 45 Δυναμεις με αρνητικο εκθετη ( 10) 9 3 ( 35) (35) 3 3 ( 5) ( 5) ( 10) ( 10) ( 4) ( 1) ( 1) ( 1)

29 σελ. 9 απο 45 Παραστασεις 3 5 (8 3 1 ) ( 4 5) Εξασκηση στις παραστασεις ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 4 ( ) ( 3) ( 6) ( 5) ( 8) 3 10 ( 5) ( 1) ( ) 1 ( 4) 3 4 ( 3) ( 5) ( ) 1 5 ( 1) ( 1) 6 : : ( 5) 5 9 :3 ( ) ( 3) 1 ( 3) ( 5) 1 ( ) ( 19) : ( 3) ( ) ( 15) : ( 3) ( 1) ( ) ( ) : :

30 σελ. 30 απο 45 Εξισωσεις Εξασκηση στις εξισωσεις (1) , 0, Εξασκηση στις εξισωσεις () , , ,

31 σελ. 31 απο 45 Εξασκηση στις εξισωσεις (3) Εξασκηση στις εξισωσεις (4) ,

32 σελ. 3 απο 45 Εξασκηση στις εξισωσεις (5)

33 σελ. 33 απο 45 Αναλογα ποσα Ορισμος αναλογων ποσων Δυο μεταβαλλομενα ποσα y, λεγονται αναλογα αν το κλασμα τους ειναι σταθερο: Κατα συνεπεια, αν δυο ποσα ειναι αναλογα τοτε η αυξηση του ενος συνεπαγεται αυξηση του αλλου. y a, οπου a καποιος αριθμος (συντελεστης αναλογιας). Για παραδειγμα, τα χρηματα που θα πληρωσουμε για εμφιαλωμενο νερο ειναι αναλογα με τον αριθμο των μπουκαλιων που θα αγορασουμε. Αν αγορασουμε 1 μπουκαλι νερο θα πληρωσουμε 1, για μπουκαλια θα πληρωσουμε, για 3 μπουκαλια 3 κ.ο.κ. Ενας καρπουζοπαραγωγος πουλαει καρπουζια προς 0,5 / kg. Αν ειναι η ποσοτητα που πουλησε σε κιλα και y το κερδος του σε ευρω, γραψτε τη σχεση μεταξυ του και του y και στη συνεχεια συμπληρωστε τον παρακατω πινακα: ποσοτητα που πουλησε (kg) κερδος ( ) y 7, Στον παρακατω πινακα φαινεται το βαρος ενος ανθρωπου ως προς την ηλικια του. Ειναι τα ποσα αναλογα; ηλικια (ετη) βαρος (kg) y Κλιμακες Η κλιμακα ειναι μια αναλογια μεταξυ αποστασεων. Για παραδειγμα, αν ενας χαρτης εχει κλιμακα 1:1000 αυτο σημαινει οτι 1 cm στο χαρτη αντιστοιχει σε 1000 cm στην πραγματικοτητα. Για να λυσουμε προβληματα με κλιμακες σχηματιζουμε καταλληλη ισοτητα κλασματων. Παραδειγματα: Με βαση τον διπλανο χαρτη υπολογιστε την πραγματικη αποσταση που αντιστοιχει στο κοκκινο ευθυγραμμο τμημα: Ένα πεζοπόρος βλεπει στον οριζοντα το ορος Βόρας. Ως καλος γεωγραφος γνωριζει οτι το βουνο εχει υψος περίπου 500 m. Στο σακιδιο του διαθετει μια μετροταινια. Αν κρατήσει το χέρι του 0 cm από τα μάτια του και μετρήσει το εικονικό ύψος του βουνού θα το βρεί 5 cm. Βρειτε την κλιμακα υπο την οποια βλεπει τις αποστασεις. Βοηθηστε τον πεζοπορο να βρει ποσο περιπου απεχει απο τους προποδες του βουνου.

34 σελ. 34 απο 45 Γραφικη παρασταση αναλογων ποσων (ευθεια) Ενα κουτι χυμος κοστιζει. Αν ειναι τα κουτακια που αγοραζουμε και y τα που πρεπει να πληρωσουμε γραψτε την ισοτητα που συνδεει το με το y και επειτα συμπληρωστε τον παρακατω πινακα: y y, Εντοπιστε ολα τα παραπανω σημεια y, στο παρακατω συστημα ορθογωνιων αξονων: Η γραφικη παρασταση των αναλογων ποσων ειναι μια στους αξονες.

35 σελ. 35 απο 45 Ποσοστα Ορισμος ποσοστων Προβληματα με ποσοστα Το ποσοστό επί τοις εκατό (%) είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή το 100. Κάθε κλάσμα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε ποσοστό επί τοις εκατό, αλλα και αντιστροφα, καθε δεκαδικο αριθμο μπορουμε να τον μετατρεψουμε σε κλασμα: % , , ,81% , 0, , 0% Μετατρεψτε τα παρακατω κλασματα και δεκαδικους σε ποσοστα επι τοις εκατο ( % ): 0,7315 0,0945 0,0001, Το εισητηριο του λεωφορειου κοστιζε 0,4 το 010 και η τιμη του διπλασιαστηκε μεσα σε 4 χρονια. Βρειτε την ποσοστιαια αυξηση στην τιμη του εισητηριου. Σε ενα κυλικειο η τυροπιτα κοστιζει 1, και ενα μπουκαλι νερο 0,5. Την επομενη χρονια η τιμη της τυροπιτας εχει μειωθει κατα 5 % και το μπουκαλι νερο κοστιζει 0,6. Ποια θα ειναι η νεα τιμη της τυροπιτας; Ποιο ειναι το ποσοστο αυξησης του ενος μπουκαλιου νερου; Η μηνιαια καρτα απεριοριστων διαδρομων κοστιζει και η τιμη της προκειται να αυξηθει κατα 75 %. Ενα εισητηριο μιας διαδρομης κοστιζει 0,7 και η τιμη του προκειται να αυξηθει κατα 50 %. Καποιος εργαζομενος παιρνει το λεωφορειο για να παει και να γυρισει απο τη δουλεια του καθε μερα, για 0 φορες το μηνα. Ποια θα ειναι η νεα τιμη της καρτας και ποια η νεα τιμη του εισητηριου; Τι συμφερει τον εργαζομενο, η καρτα ή τα εισητηρια; Καποιος καταθετει στην τραπεζα με ετησιο επιτοκιο 1%. Ποσος θα ειναι ο τοκος στο τελος του ετους και ποιο το τελικο κεφαλαιο; Το θαλασσινο νερο εχει περιεκτικοτητα σε αλατι 3 %. Βρειτε ποσα kg αλατι περιεχονται σε 100 kg θαλασσινο νερο.

36 σελ. 36 απο 45 Αντιστροφως αναλογα ποσα Ορισμος αντιστροφως αναλογων ποσων Δυο μεταβαλλομενα ποσα, y λεγονται αντιστροφως αναλογα αν το γινομενο τους ειναι σταθερο: y a οπου a καποιος σταθερος αριθμος. Αν δυο ποσα ειναι αντιστροφως αναλογα, τοτε η αυξηση του ενος συνεπαγεται μειωση του αλλου, ετσι ωστε το γινομενο τους να μενει σταθερο. Ενας αγροτης θελει να γεμισει μια δεξαμενη χωρητικοτητας 150 lt με νερο χρησιμοποιωντας διαφορες παροχες. Αν αυξησει την παροχη του νερου τοτε ο χρονος που χρειαζεται για να γεμισει η δεξαμενη μειωνεται. Γραψτε τη σχεση που συνδεει το με το y και στη συνεχεια βοηθηστε τον αγροτη να συμπληρωσει τον παρακατω πινακα: ροη νερου ( lt / h ) χρονος γεμισματος ( h ) y y, Γραφικη παρασταση αντιστροφως αναλογων ποσων (υπερβολη) Για τις τιμες του πινακα που βρηκατε παραπανω, εντοπιστε τα αντιστοιχα σημεια στους αξονες: Η γραφικη παρασταση δυο αντιστροφως αναλογων ποσων ειναι μια καμπυλη που ονομαζεται υπερβολη.

37 σελ. 37 απο 45 Γεωμετρια Ειδη γωνιων

38 σελ. 38 απο 45 Ασκησεις στa ειδη γωνιων

39 σελ. 39 απο 45 Κυκλος

40 σελ. 40 απο 45 Παραλληλες ευθειες που τεμνονται απο μια ευθεια Εστω δυο παραλληλες ευθειες που τεμνονται απο μια τριτη ευθεια. Τοτε θεωρουμε τους παρακατω ορισμους: Αν μια γωνια βρισκεται αναμεσα στις παραλληλες τοτε την ονομαζουμε εντος. Για παραδειγμα, οι γωνιες 3, 4, 5, 6 ειναι ολες εντος. Αν μια γωνια βρισκεται εξω απο τις παραλληλες την λεμε εκτος. Για παραδειγμα, οι γωνιες 1,, 7, 8 ειναι ολες εκτος. Αν δυο γωνιες «κοιτουν» προς την ιδια μερια τις λεμε επι ταυτα. Για παραδειγμα οι γωνιες 4, 5 ειναι επι ταυτα και οι γωνιες 1, 8 ειναι επι ταυτα. Αν δυο γωνιες «κοιτουν» προς διαφορετικες μεριες τις λεμε εναλλαξ. Για παραδειγμα οι γωνιες 3, 5 ειναι εναλλαξ και οι γωνιες, 8 ειναι εναλλαξ. Απο το σχημα ειναι ξεκαθαρο οτι: Δυο εντος και εναλλαξ γωνιες ειναι ισες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 3, 5 ειναι ισες ως εντος και εναλλαξ. Δυο εντος, εκτος και επι ταυτα γωνιες ειναι ισες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 1, 5 ειναι μεταξυ τους ισες ως εντος, εκτος και επι ταυτα. Δυο εντος και επι ταυτα γωνιες ειναι παραπληρωματικες. Για παραδειγμα, οι γωνιες 4, 5 ειναι παραπληρωματικες ως εντος και επι ταυτα. Ως ασκηση χαρακτηριστε τα παρακατω ζευγαρια γωνιων (συμφωνα με το παραπανω σχημα) και αποφασιστε αν ειναι ισες ή παραπληρωματικες: 1, 6 : 4, 6 : 1, 7 : 3, 6 : 1, : 3, 7 :, 8 : 5, 7 : 4, 8 :, 5 : 7, 8 :, 7 : 1, 8 : 4, 7 :, 6 :

41 σελ. 41 απο 45 Συμμετρικο σημειου ως προς μια ευθεια Αν μας δωθει ενα σημειο και μια ευθεια ε μπορουμε να βρουμε το συμμετρικο ' του σημειου αυτου ως προς την ευθεια: Συμμετρικο σχηματος ως προς μια ευθεια Αν μας δωθει ενα επιπεδο σχημα και μια ευθεια ε μπορουμε να βρουμε το συμμετρικο του σχηματος ως προς την ευθεια:

42 σελ. 4 απο 45 Αξονες συμμετριας Ενα επιπεδο σχημα εχει αξονα συμμετριας μια ευθεια αν η ευθεια το χωριζει σε δυο μερη τα οποια συμπιπτουν αν το σχημα διπλωθει κατα μηκος της ευθειας. Ενα ευθυγραμμο τμημα εχει εναν αξονα συμμετριας, τη μεσοκαθετο του. Μια γωνια εχει εναν αξονα συμμετριας, τη διχοτομο της. Καθε διαμετρος ενος κυκλου ειναι και αξονας συμμετριας του. Οι κατακορυφην γωνιες εχουν δυο αξονες συμμετριας, τις διχοτομους των γωνιων. Καποια σχηματα δεν εχουν αξονες συμμετριας, πχ: Οι εντος εναλλαξ γωνιες Ενα τυχαιο τριγωνο Ενα τυχαιο τετραπλευρο. Κεντρο συμμετριας Ενα σχημα εχει κεντρο συμμετριας καποιο σημειο Ο αν μετα την περιστροφη του σχηματος κατα γωνια γυρω απο το Ο, το τελικο σχημα συμπιπτει με το αρχικο. Το μεσο ενος ευθυγραμμου τμηματος ειναι κεντρο συμμετριας του. Η (κοινη) κορυφη δυο κατακορυφην γωνιων ειναι κεντρο συμμετριας τους. Δυο παραλληληλες ευθειες που τεμνονται απο μια τριτη εχουν κεντρο συμμετριας το σημειο τομης της μεσοπαραλληλης με την τεμνουσα. Το κεντρο ενος κυκλου ειναι κεντρο συμμετριας του. Καθε σημειο μιας ευθειας ειναι κεντρο συμμετριας της. Καποια σχηματα δεν εχουν κεντρο συμμετριας, πχ: Οι γωνιες Τα τριγωνα Τα τυχαια τετραπλευρα

43 σελ. 43 απο 45 Στοιχεια τριγωνου Ειδη τριγωνου Ιδιοτητες ισοσκελους τριγωνου Ιδιοτητες ισοπλευρου τριγωνου Οι γωνιες της βασης ειναι ισες Η διαμεσος που αντιστοιχει στη βαση ειναι και υψος και διχοτομος. Η διαμεσος ειναι ο μοναδικος αξονας συμμετριας. Ολες οι γωνιες ειναι ισες με 60 0 Καθε διαμεσος ειναι και υψος και διχοτομος. Καθε διαμεσος ειναι και αξονας συμμετριας.

44 σελ. 44 απο 45 Παραλληλογραμμα

45 σελ. 45 απο 45 Τραπεζια