Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Transcript

1 Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές απόψεις. Μία από αυτές ήταν να γράψουμε το 3,4555 ως που είναι όμως λάθος, γιατί =3,45 3, Τα μαθηματικά είναι απλός, φυσιολογικός τρόπος σκέψης. Γι αυτό, για να μπορέσουμε να τον γράψουμε σαν κλάσμα πρέπει να τον φτιάξουμε να έχει καθαρή περίοδο. Ουσιαστικά, αυτή είναι μία διαδικασία δύο βημάτων, γιατί εάν τον πολλαπλασιάζαμε με το 10 όπως κάναμε έως τώρα δεν θα μας άφηνε καθαρή περίοδο. Προσοχή! Στόχος μας είναι να κάνουμε τους κατάλληλους πολλαπλασιασμούς ώστε να μας μείνει καθαρή περίοδος και μετά να αφαιρέσουμε κατά μέλη. Θέτουμε x = 3, x = 345,555-10x = 34, x = 311 x= 90 Γιατί α 0 =1; Βασίζεται στις ιδιότητες των δυνάμεων. Γνωρίζουμε ότι: α κ :α κ =α κ-κ =α 0 (3 4 :3 2 = = 3 2 ) Ουσιαστικά αφαιρούμε τους εκθέτες. a α κ :α κ = a =1 Άρα, από τα παραπάνω προκύπτει ότι α 0 =1.

2 Άσκηση με τα αριθμητικά συστήματα 123 (4) Δεν τον διαβάζουμε «εκατόν είκοσι τρία στη βάση τέσσερα», γιατί δεν είμαστε στο δεκαδικό σύστημα άρα δεν υπάρχει το δέκα, εκατό, δηλαδή δεν υπάρχουν δεκάδες, εκατοντάδες, Στο δεκαδικό σύστημα έχουμε μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, Στο τετραδικό έχουμε μονάδες, τετράδες, δεκαεξάδες, Η αναπτυγμένη μορφή του 123 (4) είναι: 123 (4) 1x4 2 +2x4 1 +3x4 0 =16+8+3=27 Δηλαδή το 123 στο τετραδικό σύστημα είναι ίδιο με το 27 στο δεκαδικό σύστημα. 456 (10) 4x x x10 0 SOS: Σε όλα τα συστήματα το τελευταίο είναι η μονάδα. Ο αριθμός 200 (x) =128 (10). Βρείτε την βάση x. 2x 2 +0x 1 +0x 0 = 128 2x 2 = 128 x 2 = 64 x = ±8 Αν το δούμε σαν εξίσωση, έχει δύο ρίζες. Το -8 απορρίπτεται, γιατί δεν υπάρχουν αρνητικές βάσεις συστημάτων. Άρα, είναι ο 200 (8) Πώς δημιουργούμε αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα; Στο δεκαδικό σύστημα έχουμε τις μονάδες από το 0 έως το 9. Μόλις μαζέψουμε 10 μονάδες δημιουργείται 1 δεκάδα. Μόλις μαζέψουμε 10 δεκάδες, δημιουργείται 1 εκατοντάδα. Ακριβώς το ίδιο συμβαίνει σε όλα τα συστήματα. Δηλαδή πόσες μπίλιες πρέπει να μαζέψουμε στο τετραδικό σύστημα για να έχουμε μία μονάδα ανώτερης τάξης; Πρέπει να μαζέψουμε 4 μπίλιες. Έχουμε 6 κουκίδες και θέλουμε να τις οργανώσουμε στο τετραδικό σύστημα. Στο τετραδικό κάνουμε παρέες-ομάδες κάθε φορά που έχουμε μία τετράδα. Παρατηρούμε λοιπόν ότι έχουμε μία τετράδα και περισσεύουν και 2 μονάδες. 6 (10) 1x4 1 +2x (4)

3 Σύστημα (4) Ο αριθμός 5 (10) στο τριαδικό σύστημα θα είναι μία τριάδα και θα μας περισσεύουν και 2 μονάδες. Δηλαδή τις 5 μπίλιες θα πρέπει να τις οργανώσουμε σε ομάδες των τριών, μιας και είμαστε στο τριαδικό σύστημα. Σύστημα (3) 5 (10) 1x3 1 +2x (3) Το 128 στο πενταδικό σύστημα πώς γράφεται; Όταν δεν βάζουμε βάση εννοούμε το δεκαδικό σύστημα. Επίσης στο συγκεκριμένο σύστημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4. Προσοχή! Το 128 δεν είναι στο πενταδικό σύστημα για να πούμε: 128 (5) 1x5 2 +2x5 1 +8x5 0 = =43 στο δεκαδικό. Αντιθέτως, τώρα τον έχουμε στο δεκαδικό σύστημα και θέλουμε να τον βρούμε στο πενταδικό. Το 128 έχει μέσα του ομαδούλες των 5. Έχει μονάδες, τις αντίστοιχες δεκάδες που στο πενταδικό είναι οι πεντάδες, δεκάδες (εικοσιπεντάδες), εκατοντάδες (εκατόν εικοσιπεντάδες), Αυτός ο αριθμός έχει κάποιες μονάδες, έχει κάποιες πεντάδες, πιθανώς κάποιες εικοσιπεντάδες, κάποιες εκατόν εικοσιπεντάδες και τα λοιπά. Αν τον βρίσκαμε και τον γράφαμε στο πενταδικό τότε η ανεπτυγμένη του μορφή θα ήταν αx5 3 +βx5 2 +γx5 1 +δx5 0. Το πρώτο πράγμα που σκεφτόμαστε είναι αν έχει ο αριθμός 128 μέσα του εκατόν εικοσιπεντάδες και παρατηρούμε ότι έχει μία εκατόν εικοσιπεντάδα και περισσεύουν και 3 μονάδες. Δηλαδή ούτε εικοσιπεντάδες έχει, ούτε πεντάδες και γίνεται: 1x5 3 +0x5 2 +0x5 1 +3x5 0 Άρα ο αριθμός 128 θα είναι ο 1003 στο πενταδικό σύστημα.

4 Το 250 (10) πώς γράφεται στο εξαδικό σύστημα; Ψάχνουμε να βρούμε την μεγαλύτερη δύναμη που είναι κρυμμένη μέσα στον αριθμό. Δηλαδή ο 250 έχει σίγουρα εξάδες, σίγουρα τριανταεξάδες και διακοσιοδεκαεξάδες =34 άρα δεν έχει τριανταεξάδα αλλά έχει 5 εξάδες και 4 μονάδες. 1x6 3 +0x6 2 +5x6 1 +4x6 0 Δηλαδή ο αριθμός 250 είναι ο 1054 στο εξαδικό σύστημα. Ομοίως το 440 το οποίο έχει 2 διακοσιοδεκαεξάδες. 2x6 3 +0x6 2 +1x6 1 +2x6 0 δηλαδή ο αριθμός 440 είναι ο 2012 στο εξαδικό σύστημα. Ομοίως το 14 στο εξαδικό σύστημα. Μπορείτε να μετρήσετε στο τετραδικό; Στο τετραδικό σύστημα έχουμε τους αριθμούς 0, 1, 2, (4) 1x4 1 +0x4 0 =4+0=4 (10) 11 (4) 1x4 1 +1x4 0 =4+1=5 (10) 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, Το 6 στο εξαδικό σύστημα είναι το 10, το 7 στο επταδικό σύστημα είναι το 10 και ούτω καθεξής. Από τη στιγμή που μαζεύονται τόσες μπίλιες όσες και το αριθμητικό μου σύστημα (7 για το επταδικό, 8 για το οκταδικό, ) φεύγει από τις μονάδες και έχουμε μία μονάδα ανώτερης τάξης. 14 (10) 3x4 1 +2x (4) 100 (4) 1x4 2 +0x4 1 +0x4 0 =16 (10)

5 Θέματα που αφορούν στις πράξεις Αφαίρεση ακεραίων οχτώ από 5 δεν βγαίνει και δανειζόμαστε μία δεκάδα από το 40 και γίνεται =7. Ένα το κρατούμενο συν ένα, δύο. 27 Μία ερώτηση είναι «αφού δανειστήκαμε την δεκάδα από πάνω γιατί την επιστρέψαμε κάτω;» Υπάρχουν δύο τρόποι να κάνουμε την αφαίρεση: και οι δύο έχουν ιστορικές ρίζες και βασίζονται στις μαθηματικές ιδιότητες. Ο ένας τρόπος λέει ότι δανειζόμαστε μία δεκάδα από το 4 και γίνεται 3, οπότε φαίνεται καθαρά η μονάδα που δανειστήκαμε. Η λογική είναι ότι ο αριθμός 45 γράφεται με πολλούς τρόπους, δηλαδή: 45 = = = Αναπτυγμένες μορφές: Για να έχουμε αρκετές μονάδες (-)10+8 (-)10+8 ώστε να κάνουμε την αφαίρεση Στην πραγματικότητα στηρίζεται στους διάφορους τρόπους γραφής του 45. Το ίσον παλιά είχε το νόημα «κάνε την πράξη και βρες το αποτέλεσμα»: 3+4=7 Η επιδίωξη της άλγεβρας ήδη από την πρώτη δημοτικού όπως διδάσκεται είναι τα παιδιά να μάθουν να γράφουν: 3+4 = 6+1 = 7+0 = 2+5 =, δηλαδή το ίσον δεν έχει το νόημα του βρες ποιο είναι το αποτέλεσμα, αλλά είναι ένα είδος ισότητας, ισορροπίας και κατά κάποιο τρόπο μας θυμίζει την ζυγαριά της εξίσωσης της έκτης δημοτικού. Το ίσον σημαίνει ότι «δεξιά και αριστερά έχω το ίδιο πράγμα», μπορώ να γράφω δηλαδή έναν αριθμό ή ένα σύνολο αριθμών ή μία πράξη ή μία αλγεβρική παράσταση με διάφορους τρόπους. Αυτή είναι η ουσία της άλγεβρας. Η άλγεβρα δηλαδή στηρίζεται πάνω στην έννοια της ισοδυναμίας, το ένα μέρος και το άλλο να είναι ισοβαρή. Έτσι εάν ένα παιδί έχει καταλάβει ότι 3+4 = 6+1 = 5+2 = θα καταλάβει πολύ καλά και την αφαίρεση με αυτόν τον τρόπο. Το 45 μπορούμε να το γράψουμε με διάφορους τρόπους ώστε να μπορούμε να κάνουμε την πράξη.

6 Μία ερώτηση ήταν γιατί το 40+5 να μην το γράψουμε 35+10; Μπορούμε να το γράψουμε (-) Μονάδες Αυτές οι 25 μονάδες έχουν 5 μονάδες και 2 δεκάδες. Αν το γράφαμε λοιπόν έτσι, θα έπρεπε να πάρουμε 5 μονάδες και 2 μονάδες ίσον 7 μονάδες για να έχουμε το διψήφιο αποτέλεσμα. Προφανώς και μπορούμε να το γράψουμε και έτσι αλλά στην πραγματικότητα επιλέγουμε εκείνη την γραφή που μας απαλλάσσει από επόμενα βήματα. Εάν δανειστούμε περισσότερο από εκείνο που χρειαζόμαστε (minimum) μετά θα χρειαστεί να κάνουμε και δεύτερο βήμα και τρίτο βήμα. Άρα δανειζόμαστε μία δεκάδα γιατί μας απαλλάσσει απ όλη αυτή την διαδικασία μετά: 25 μονάδες + 2 μονάδες =27 μονάδες Ο τρόπος που δανείζομαι από επάνω και το επιστρέφω κάτω, χρησιμοποιήθηκε από εμπόρους στην Ιταλία, γιατί βόλευε να κάνουν πράξεις με το μυαλό τους. 1 2 X Μονάδες Δεκάδες Πολλαπλασιασμός ακεραίων 2x5=10 μονάδες, δηλαδή 1 δεκάδα και 0 μονάδες Το 1 το κρατούμενο είναι η μία δεκάδα την οποία φυλάμε και πρόκειται να την προσθέσουμε στις δεκάδες. 1x5=5. Στην πραγματικότητα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 10x5=50. Το 5 δηλαδή είναι 5 δεκάδες. Και μία δεκάδα που φυλάξαμε προηγουμένως 6, γι αυτό και βάζουμε 6 στην στήλη των δεκάδων. Όταν πάμε στο δεύτερο ψηφίο, προχωράμε μία θέση προς τα αριστερά.

7 2 φορές τις 2 δεκάδες ή 2 δεκάδες x2 μονάδες =2x20=40 ή 4 δεκάδες άρα το βάζουμε στην στήλη των δεκάδων και γι αυτό και πάμε μία θέση προς τα αριστερά. Ουσιαστικά το 1x2 είναι λάθος έκφραση. 10x20=200 που είναι 2 εκατοντάδες και γι αυτό και πάει αριστερά-αριστερά. Δηλαδή δεκάδες x δεκάδες = εκατοντάδες. Μία ερώτηση στον Ο.Σ.Ε. ήταν: Σε μία τάξη ο δάσκαλος έδωσε σε έναν μαθητή να του κάνει τον πολλαπλασιασμό 12x25, όμως ο μαθητής έκανε τον πολλαπλασιασμό ως εξής: 1 2 X Πώς θα αντιμετωπίζατε τον συγκεκριμένο μαθητή; Οι περισσότεροι δάσκαλοι απάντησαν πως θα του έβαζαν 0 και θα τον μάλωναν. Όμως, ουσιαστικά αυτό που έγραψε ο μαθητής είναι σωστή τεχνική για τον πολλαπλασιασμό, που δείχνει ότι ο μαθητής είχε πραγματικά κατανοήσει την αξία θέσης των ψηφίων και δεν έκανε μία τεχνική χωρίς να την καταλάβει, άρα πήγε στην ουσία του πολλαπλασιασμού. Στην τρίτη Δημοτικού διδάσκεται η επιμεριστική ιδιότητα με το όνομα «ελληνικός πολλαπλασιασμός», γιατί έτσι διδάσκεται ο πολλαπλασιασμός με πολλούς τρόπους. (10+2)x(20+5)

8 Δεκαδικοί 12,35 x 10 = 123,5 Όταν πολλαπλασιάζουμε με το 10 μεταφέρουμε την υποδιαστολή μία θέση προς τα δεξιά και όταν διαιρούμε με το 10 μεταφέρουμε την υποδιαστολή μία θέση προς τα αριστερά. Τι συμβαίνει όμως στον οποιονδήποτε αριθμό όταν τον πολλαπλασιάζουμε με το 10 στο δεκαδικό σύστημα; Ο αριθμός αναβαθμίζεται, αλλάζει βαθμίδα-τάξη. Ο 3 ήταν μονάδα. Αν τον πολλαπλασιάσουμε με το 10 γίνεται 30 (3 δεκάδες). Ο 70 που ήταν 7 δεκάδες, όταν πολλαπλασιάζεται με το 10 γίνεται 7 εκατοντάδες. Κάθε φορά που πολλαπλασιάζουμε με το 10, 100, 1000, έναν αριθμό ή μία δύναμη του αριθμού, ανάλογα σε ποιο αριθμητικό σύστημα βρισκόμαστε, ο αριθμός αναβαθμίζεται. Προσοχή! Ουσιαστικά πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με το 10, 100, 1000, σημαίνει ότι τον αναβαθμίζουμε, σύμφωνα με τις αρχές λειτουργίας των αριθμητικών συστημάτων. Έτσι, όταν ένας δεκαδικός αριθμός πολλαπλασιάζεται με το 10, σύμφωνα με τις αρχές λειτουργίας των δεκαδικών: η δεκάδα γίνεται εκατοντάδα, η μονάδα γίνεται δεκάδα, το δέκατο γίνεται μονάδα, το εκατοστό γίνεται δέκατο, κ.ο.κ. Μονάδα δεκάδα Δεκάδα εκατοντάδα Εκατοντάδα χιλιάδα Όταν διαιρούμε με το δέκα αντίστοιχα υποβαθμίζουμε τον αριθμό. Τι σημαίνει 2 μονάδες x 5 μονάδες = 10 μονάδες, δηλαδή μονάδες επί μονάδες κάνουν μονάδες; Πώς πολλαπλασιάζουμε μονάδες; Μπορούμε να πούμε ότι 2 φορές επί 5 μονάδες κάνουν 10 μονάδες, αλλά η έκφραση 2 μονάδες επί 5 μονάδες τι σημαίνει; Στην πραγματικότητα αν πούμε 5 x 2 σημαίνει 5 φορές από 2 π.χ. γλειφιτζούρια είναι ίσο με 10 γλειφιτζούρια. Δηλαδή το 2 είναι μέγεθος και το 5 καθαρός αριθμός. Δηλαδή για να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό του 2 με το 5 δεν πρέπει να έχουν την ίδια υπόσταση. Άρα δεν υφίσταται η έκφραση «2 μονάδες x 5 μονάδες». Σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές 2m και 3m αντίστοιχα θα υπολογίσουμε το εμβαδόν. Άρα το Ε = 2m x 3m = 6m 2

9 Πώς πολλαπλασιάζουμε μέτρα μεταξύ τους; Ο πολλαπλασιασμός είναι μία επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, δηλαδή αν πούμε 2 φορές τα 3 μέτρα μας κάνουν 6 μέτρα. Διδάσκουμε το εμβαδόν με έναν τρόπο που κανένας δεν καταλαβαίνει, αδιαφορούμε αν έχει ανταπόκριση αυτό το πράγμα και μας ενδιαφέρει να μάθουν τα παιδιά ότι mxm = m 2. 3m 2m Αυτός ο τρόπος διδασκαλίας του εμβαδού είναι λανθασμένος και τον διαγράφουμε (σχετίζεται με τα διανύσματα). Τι μπορούμε να κάνουμε για να διδάξουμε το εμβαδόν με τρόπο ορθό και κατανοητό; Αρχικά, τι είναι εμβαδόν; Το εμβαδόν είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης μιας επιφάνειας με μία μονάδα μέτρησης. Υπάρχουν μερικές κλασικές μονάδες μέτρησης του εμβαδού. Το πιο δύσκολο πράγμα στα μαθηματικά είναι να δίνουμε ορισμούς, γιατί ο ορισμός ουσιαστικά συμπυκνώνει τις βασικές και εντελώς απαραίτητες ιδιότητες. Ο ορισμός είναι τα ελάχιστα χαρακτηριστικά που μας χρειάζονται προκειμένου να ορίσουμε κάτι. Για παράδειγμα, τι είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο; (ορισμός) Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι ένα παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. Παραλληλόγραμμο τετράπλευρο σχήμα. Η αναγωγή στο αμέσως προηγούμενο και σε μία κλιμάκωση των ιδιοτήτων έγινε από τον Αριστοτέλη (μίλησε για είδη και ταξινόμηση). Για ένα σχήμα υπάρχει ένας ορισμός ή πολλοί; Δεν υπάρχει μόνο ένας ορισμός. Το βασικό είναι ότι ο ορισμός αναφέρεται σε εκείνο το χαρακτηριστικό που είναι το άκρως ελάχιστο ώστε να μην έχουμε καμία αμφιβολία για το σχήμα για το οποίο πρόκειται.

10 Το ένα τετραγωνάκι έχει εμβαδόν 1m 2. 3m 1m 2 2m Ε = 6m 2, δηλαδή έχουμε 2 σειρές από 3 τετραγωνάκια του 1 m 2 η καθεμία ή 3 στήλες από 2 τετραγωνάκια του 1 m 2 η καθεμία. Ε= 3 x 2m 2 = 2 x 3m 2 = 6m 2 Αυτός είναι ο τρόπος υπολογισμού του εμβαδού για το δημοτικό σχολείο. Με ένα πολύ απλό σχήμα να δείξετε τη διαφορά παραλληλογράμμων, ορθογωνίων παραλληλογράμμων, τετραγώνων και ρόμβων. Παραλληλόγραμμα Ορθογώνια παραλληλόγραμμα Τετράγωνα Ρόμβοι Από το σχήμα φαίνεται ότι όλα τα τετράγωνα είναι ρόμβοι, αλλά όλοι οι ρόμβοι δεν είναι τετράγωνα. Επίσης όλα τα τετράγωνα είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα, αλλά όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα δεν είναι τετράγωνα. Τέλος τα τετράγωνα, οι ρόμβοι και τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα ανήκουν όλα στα παραλληλόγραμμα και τα τετράγωνα είναι συγχρόνως ορθογώνια και ρόμβοι. Έτσι φαίνεται η σχέση των σχημάτων με ένα πολύ απλό διάγραμμα , Διαίρεση ακεραίων 3x9 = 27, = 8 και βάζουμε υποδιαστολή και 0.

11 Το 35:9 μπορούμε να γράψουμε ότι έχει πηλίκο 3 και υπόλοιπο 8, ή μπορούμε να το στρογγυλοποιήσουμε στο 4 περίπου ή επίσης μπορούμε να το κάνουμε 3,888 Στα μαθηματικά η οποιαδήποτε πράξη απαντά-αντιστοιχίζεται σ ένα πρόβλημα. Είναι 9 άτομα σε μία καφετέρια και έρχεται λογαριασμός 35. Πόσα θα πληρώσει το κάθε άτομο; Κάθε άτομο θα πληρώσει 4 και μένει και 1 πουρμπουάρ. 9 φίλοι έχουν 35 στρέμματα. Πόσα περίπου στρέμματα αντιστοιχούν στον καθένα; Στον καθένα ανήκουν περίπου 3 στρέμματα (δεν μας ενδιαφέρουν τα ψιλά). Αν, όμως, έχουμε να μοιράσουμε 35 λίτρα σε 9 μπουκάλια, τότε μας ενδιαφέρουν τα δεκαδικά ψηφία και μάλιστα μέχρι 3 δεκαδικά ψηφία που έχουν νόημα τα γραμμάρια. 0 και κόμμα τι σημαίνει; Έχουμε 35m ξύλο για να φτιάξουμε 9 δοκάρια (με σημασία στα χιλιοστά για το μήκος κάθε δοκαριού). 35m ξύλο 9 8m=80dm 8dm=80cm 3,88 Η υποδιαστολή δείχνει ότι δεν μιλάμε πια για μέτρα αλλά για υποδιαιρέσεις των μέτρων. Το 8 που βρήκαμε είναι μέτρα. Τα 8 μέτρα δεν μπορούμε να τα κόψουμε στα 9. Για να μπορέσουμε να συνεχίσουμε την πράξη μας με ακρίβεια, πρέπει τα 8 m να τα εκφράσουμε διαφορετικά και να πούμε ότι είναι 80 dm. Δηλαδή, σημειώνοντας το 0, τα 8 m γίνονται 80 dm. Το κάθε κομμάτι τώρα θα το μετράμε σε δεκατόμετρα. Για να δείξουμε ότι παύουμε να μιλάμε για μέτρα και από δω και πέρα μιλάμε για δεκατόμετρα βάζουμε την υποδιαστολή, η οποία δείχνει ότι οτιδήποτε ακολουθήσει είναι δεκατόμετρα και θα συνεχίσουμε να μιλάμε για δεκατόμετρα. Άμα συνεχίσουμε και βάλουμε ένα μηδενικό στο δεκατόμετρο θα γίνει εκατοστόμετρο και θα πάμε σε δεύτερο δεκαδικό ψηφίο. Το δεύτερο 8 είναι δεκατόμετρο και δεν μπορούμε να το χωρίσουμε στα 9, γι αυτό το κάνουμε 80 εκατοστόμετρα. Το 0 σημαίνει ότι πηγαίνουμε σε άλλη μονάδα μέτρησης. Άσκηση Ποια είναι εκείνη η μαθηματική ιδιότητα που μας επιτρέπει από αλλού να δανειζόμαστε και αλλού να επιστρέφουμε; (λογική εξήγηση)