τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης ( «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει σε πόσα ισοδύναμα μέρη έχουμε μοιράσει κάτι και πόσα από αυτά έχουμε πάρει, ή σε πόσες ισοδύναμες ομάδες έχουμε μοιράσει ένα πλήθος όμοιων πραγμάτων και πόσες από αυτές έχουμε πάρει. Ως προς τη μορφή του, ένας κλασματικός αριθμός αποτελείται από τα εξής μέρη: τον αριθμητή την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή Κάθε κλάσμα αποτελεί μια μορφή διαίρεσης όπου αριθμητής έχει τον ρόλο του Διαιρετέου και ο παρανομαστής έχει τον ρόλο του διαιρέτη. Έτσι σχηματικά τα Τι εκφράζει όμως το κάθε μέρος του; o Παρανομαστής: σε πόσα ισοδύναμα μέρη έχουμε μοιράσει κάτι ή σε πόσες ισοδύναμες ομάδες έχουμε μοιράσει ένα πλήθος όμοιων πραγμάτων. o Αριθμητής: πόσα από τα ισοδύναμα μέρη που είχαμε μοιράσει κάτι έχουμε πάρει ή πόσες από τις ισοδύναμες ομάδες που είχαμε μοιράσει ένα πλήθος όμοιων πραγμάτων έχουμε πάρει. o Κλασματική γραμμή: είναι η γραμμή που χωρίζει τον παρανομαστή (τα ισοδύναμα μέρη που έχουμε μοιράσει) από τον αριθμητή (τα ισοδύναμα μέρη που έχουμε πάρει). Τι είδους κλάσματα μπορούμε να έχουμε; o Το κλάσμα να είναι μικρότερο από μια ακέραια μονάδα. Στην περίπτωση αυτή ο αριθμητής είναι πάντα μικρότερος από τον παρανομαστή. Έτσι έχουμε ένα κλάσμα σαν και αυτό o Το κλάσμα να είναι ίσο με μια ακέραια μονάδα. Στην περίπτωση αυτή ο αριθμητής είναι πάντα ίδιος με τον παρανομαστή. Έτσι έχουμε ένα κλάσμα σαν και αυτό o Το κλάσμα να είναι μεγαλύτερο από μια ακέραια μονάδα. Στην περίπτωση αυτή ο αριθμητής είναι πάντα μεγαλύτερος από τον παρανομαστή. Έτσι έχουμε ένα κλάσμα σαν και αυτό 11 &

2 Πώς ένα απλό κλάσμα το μετασχηματίζουμε σε μεικτό και πώς ένα μεικτό σε απλό; Ένα κλάσμα που έχει αριθμητή μεγαλύτερο από παρανομαστή μπορεί να εκφραστεί και με μεικτή μορφή, δηλαδή με ένα κλάσμα που αποτελείται από ακέραιο και κλασματικό μέρος. Το ακέραιο μέρος συμβολίζει πόσα κλάσματα με ίδιο αριθμητή και παρανομαστή 11 «κρύβονται» (εμπεριέχονται) σε ένα τέτοιου είδους κλάσμα. Έτσι το κλάσμα αναλύοντας το + έχει 1 ακέραιη μονάδα (τα ), όποτε με μεικτή μορφή γράφεται Τα γράφονται με μεικτή μορφή (γιατί αναλύεται σε ) Τα γράφονται με μεικτή μορφή (γιατί αναλύεται σε + + ) Το αντίστροφο: Ένα κλάσμα μεικτής μορφής όπως τα μετασχηματίζεται σε απλό με τον εξής τρόπο: Αρχικά, πολλαπλασιάζουμε το ακέραιο μέρος του κλάσματος, δηλαδή το με τον παρανομαστή του κλάσματος δηλαδή το. Στην συνέχεια στο γινόμενο αυτών των δύο προσθέτουμε τον αριθμητή του κλάσματος (x + 9). Τέλος το άθροισμα αυτών το γράφουμε ως αριθμητή του νέου κλάσματος και παρανομαστή γράφουμε αυτόν που είχαμε και πριν ( 9 ). 1 Τα 9 γράφονται (9x + 1 6) Τα γράφονται (x + 6) 6 6 x + Πώς συγκρίνουμε τα κλάσματα; o Αν τα κλάσματα που συγκρίνουμε μεταξύ τους έχουν τον ίδιο αριθμητή, τότε μικρότερο κλάσμα είναι αυτό που έχει μεγαλύτερο παρανομαστή. Τα περιγράφουν μικρότερο μέρος από τα 9 Έτσι αν έχουμε τα παρακάτω κλάσματα:, 6,, βάζοντάς τα σε σειρά θα τα τοποθετούσαμε ως εξής: < 6 < <

3 o Αν τα κλάσματα που συγκρίνουμε μεταξύ τους έχουν τον ίδιο παρανομαστή, τότε μικρότερο κλάσμα είναι αυτό που έχει μικρότερο αριθμητή. Τα περιγράφουν μικρότερο μέρος από τα Έτσι αν έχουμε τα παρακάτω κλάσματα:, 6,, βάζοντάς τα σε σειρά θα τα τοποθετούσαμε ως εξής: < < 6 < o Αν τα κλάσματα που συγκρίνουμε μεταξύ τους δεν έχουν ούτε τον ίδιο αριθμητή ούτε τον ίδιο παρανομαστή, τότε δεν μπορούμε να τα συγκρίνουμε κατευθείαν. Τα δεν έχουν κανένα κοινό χαρακτηριστικό με τα Για να συγκρίνουμε τέτοιου είδους κλάσματα υπάρχουν δύο τρόποι: α τρόπος Έτσι αν έχουμε τα παρακάτω κλάσματα:, 6, 1, βρίσκουμε τον λόγο τους. Δηλαδή διαιρούμε τους αριθμητές με τους παρανομαστές, μιας και όπως έχουμε αναφέρει παραπάνω ένα κλάσμα αποτελεί μια μορφή διαίρεσης. Έτσι εφαρμόζουμε: 0,66 6 0, 1 0, Από τα πηλίκα των διαιρέσεων παρατηρούμε ότι τα κλάσματα αν τα συγκρίναμε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο έχουν την εξής σειρά: 1 < < 6 < γιατί 0,<0,66<0,< β τρόπος Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών και στην συνέχεια τα κάνουμε ομώνυμα για να τα συγκρίνουμε. Έτσι εφαρμόζουμε: Ε.Κ.Π. (,6,,) 1 1 6,,, , 1 1, 1, 1 Κάνοντάς τα ομώνυμα παρατηρούμε ότι η σειρά έχει ως εξής: 1 10 < < 6 < γιατί 1 < 1 < 1 < 1 6

4 Πώς δημιουργούμε ισοδύναμα κλάσματα; Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος του όλου, δηλαδή όταν και τα δύο κλάσματα περιγράφουν την ίδια ποσότητα. Σχηματικά εκφράζονται ως εξής: Τα είναι ισοδύναμο με τα x 16 x 16 x 1 x : : 1 x 16 x 16 Τι ονομάζουμε ανάγωγο κλάσμα και πώς μπορούμε να το σχηματίσουμε; Ανάγωγο ονομάζουμε το κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο, δηλαδή δεν υπάρχει κάποιος αριθμός που να διαιρεί ταυτόχρονα τον αριθμητή και τον παρανομαστή του κλάσματος. (τα δεν μπορούν να απλοποιηθούν περισσότερο, δηλαδή δεν υπάρχει 1 6 κάποιος αριθμός που να διαιρεί ταυτόχρονα το και το ) Για να σχηματίσουμε γρήγορα και εύκολα ανάγωγο κλάσμα, αρκεί να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. του αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος και στη συνέχεια να διαιρέσουμε με αυτόν τον αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος. 1 Μ.Κ.Δ. (,1): 1 0 Άρα : 1 : Άρα : 6 :

5 Πώς κάνουμε πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων; o Απαραίτητη προϋπόθεση για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσματα μεταξύ τους είναι τα κλάσματα αυτά να είναι ομώνυμα, δηλαδή να έχουν στον παρανομαστή τους το ίδιο αριθμό. o Αν αυτό δε συμβαίνει, δηλαδή τα κλάσματα είναι ετερώνυμα, τα μετασχηματίζουμε σε ομώνυμα, βρίσκοντας το Ε.Κ.Π των αριθμών των παρανομαστών τους. Έτσι για να προσθέσουμε τα παρακάτω κλάσματα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών τους (,6,,) 1 6 Στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον παρανομαστή με τον αριθμό 6 που χρειάζεται για να προκύψει γινόμενο ίδιο με το Ε.Κ.Π. που 1 βρήκαμε. Στη συνέχεια το αριθμό αυτό τον πολλαπλασιάζουμε και 1 1 με τον αριθμητή για να μην αλλάξει η αξία του κλάσματος. Τέλος, προσθέτουμε τα ομώνυμα κλάσματα που δημιουργήσαμε Έτσι για να αφαιρέσουμε τα παρακάτω κλάσματα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία: - Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών τους (6,) 6 6 Στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον παρανομαστή με τον αριθμό που 6 χρειάζεται για να προκύψει γινόμενο ίδιο με το Ε.Κ.Π. που βρήκαμε. 1 Στη συνέχεια το αριθμό αυτό τον πολλαπλασιάζουμε και με τον 1 1 αριθμητή για να μην αλλάξει η αξία του κλάσματος. Τέλος, αφαιρούμε τα ομώνυμα κλάσματα που δημιουργήσαμε Πώς κάνουμε πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων; Πώς μετασχηματίζουμε έναν ακέραιο αριθμό σε κλασματικό; Μπορούμε για να διευκολυνθούμε στις πράξεις μας ένος ακεραίου αριθμού με έναν κλασματικό να μετασχηματίσουμε τον ακέραιο ως εξής: (x ) + : (x ) : x 6 1 6