Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ Εξισώσεις- υστήματα Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών ύνθετη μέθοδος των τριών Μερισμός Ποσοστά Σόκος Εμβαδά επιπέδων σχημάτων χέδιο υπό κλίμακα τοιχεία Σριγωνομετρίας τερεομετρία Προβλήματα κινήσεως τοιχεία τατιστικής υνδυαστική Πιθανότητες...70 Συπολόγιο...76 Θέματα Εξετάσεων...77

2 ΤΛΗ ΕΞΕΣΑΕΩΝ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Α. (α) Μέτρα και σταθμά, μονάδες μέτρησης (β) τοιχεία αριθμητικής: Διαιρετότητα. Δυνάμεις ακεραίων, κλασματικών και δεκαδικών αριθμών. Μέγιστος κοινός διαιρέτης, ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο. Κλασματικοί αριθμοί, ιδιότητες και πράξεις. Σροπή κλασμάτων σε δεκαδικούς και αντιστρόφως. Προβλήματα επί των ακεραίων, δεκαδικών και κλασματικών αριθμών. Λόγοι και αναλογίες. Ποσά ευθέως ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα. χέδιο υπό κλίμακα και σχετικά προβλήματα. Απλή και σύνθετη μέθοδος των τριών. Προβλήματα κινήσεως. ημείωση: Σα προβλήματα λύνονται είτε με πρακτική αριθμητική είτε με άλγεβρα (εξισώσεις ή συστήματα). Β. τοιχεία Γεωμετρίας: Πυθαγόρειο θεώρημα. Περίμετρος και εμβαδόν των ευθυγράμμων σχημάτων (τρίγωνο, τετράγωνο, παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο). Εμβαδόν και περίμετρος κύκλου. Εμβαδά και όγκοι του κύβου, του ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου και του κυλίνδρου. Γ. τοιχεία Σριγωνομετρίας: Σριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. Χρήση τριγωνομετρικών αριθμών για επίλυση προβλημάτων. (Οι τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών θα δίνονται). Δ.τοιχεία υνδυαστικής: Ορισμός του ν! Εφαρμογή της Αρχής της Απαρίθμησης στη λύση προβλημάτων. Τπολογισμός και εφαρμογή σε προβλήματα του αριθμού: των διατάξεων ν διαφορετικών αντικειμένων ανά κ και των συνδυασμών ν διαφορετικών αντικειμένων ανά κ. Ε.τοιχεία Πιθανοτήτων: Πείραμα τύχης, δυνατά αποτελέσματα πειράματος, ενδεχόμενο, πράξεις με ενδεχόμενα, βέβαιο ενδεχόμενο, αδύνατο ενδεχόμενο, συμπληρωματικά ενδεχόμενα, ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. Τπολογισμός της πιθανότητας ενδεχομένου. Χρήση των ιδιοτήτων 0P(A)1, P(Ω)=1, P()=0, P(A )=1- P(A), P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB), και P(A-B)=P(A) - P(AB). Σ.τοιχεία τατιστικής: (α) Βασικές έννοιες: Πληθυσμός, άτομο, δείγμα, στατιστικά δεδομένα, ποσοτική και ποιοτική μεταβλητή, (β) Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων, πίνακας κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων, (γ) Ομαδοποίηση παρατηρήσεων, (δ) Ερμηνεία γραφικών παραστάσεων συχνοτήτων: Ραβδόγραμμα, κυκλικό διάγραμμα, διάγραμμα συχνοτήτων, πολύγωνο συχνοτήτων και ιστόγραμμα. (ε) Χαρακτηριστικές τιμές μιας κατανομής: Αριθμητικός μέσος, διάμεσος, επικρατούσα τιμή, τυπική απόκλιση.

3 1.ΚΛΑΜΑΣΑ Γενικά: Σο κλάσμα είναι μέρος του όλου ( όπου α = αριθμητής και β = παρονομαστής, β ) π.χ. 1 ευρώ έχει 100 σεντς. Σα 20 σεντς είναι τα του ευρώ. 1 κιλό έχει 1000 γραμμάρια. Σα 18 γραμμάρια είναι τα του κιλού. Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή π.χ 3 7,, Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή π.χ 3 4 1,, 9 2 Μεικτός αριθμός ονομάζεται ο αριθμός που αποτελείται από ένα ακέραιο και ένα κλάσμα το οποίο είναι μικρότερο από την μονάδα π. χ 3 ½ = 3 + ½ (αποτελείται από 3 ακέραιους και από το κλάσμα ½) Οι μεικτοί αριθμοί γίνονται κλασματικοί όταν πολλαπλασιάσω τον ακέραιο επί τον παρονομαστή, προσθέσω και τον αριθμητή και τον γράψω ως αριθμητή, ο παρονομαστής μένει ο ίδιος. π.χ 2 ¾ = , ½ = Όταν το κλάσμα έχει αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή τότε το κλάσμα περιέχει ακέραιες μονάδες. Για να βρω τις ακέραιες μονάδες διαιρώ τον αριθμητή δια τον παρονομαστή, το πηλίκο της διαίρεσης είναι οι ακέραιες μονάδες και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλάσματος. π.χ 3 9 = 3 : 9 = 3, 28 8 = 3 Προτεραιότητα Πράξεων: 1. Αγκύλες / Παρενθέσεις 2. Πολλαπλασιασμός / Διαίρεση 3. Πρόσθεση / Αφαίρεση

4 Πράξεις Κλασμάτων Πρόσθεση/ Αφαίρεση Ομώνυμων Κλασμάτων : Προσθέτω/ Αφαιρώ τους αριθμητές και ο παρονομαστής μένει ο ίδιος. π.χ α) 2 1 3, β) δ) , ε) =1, γ) 1 4, Πρόσθεση/ Αφαίρεση Ετερώνυμων Κλασμάτων : Πρέπει πρώτα να μετατρέψω τα κλάσματα σε ομώνυμα. Για να μετατρέψω τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα πρέπει να βρω το Ε.Κ.Π(Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) των παρονομαστών. Εύρεση Ε.Κ.Π α) Όταν οι παρονομαστές δεν διαιρούνται μεταξύ τους, τότε το Ε.Κ.Π των κλασμάτων είναι το γινόμενο των παρονομαστών π. χ Να μετατραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα 3 Ε. Κ.Π =.2 = και και ½. β) Όταν ο ένας παρονομαστής διαιρείται από τον άλλο τότε το Ε. Κ. Π είναι ο μεγαλύτερος παρονομαστής π.χ Να μετατραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα 3/4 και 1/8. Ε.Κ.Π = γ) Όταν οι παρονομαστές διαιρούν και οι δύο τον ίδιο αριθμό τότε το Ε. Κ.Π είναι ο αριθμός αυτός. π.χ Να μετατραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα 3/4 και /6. Ε.Κ.Π = και

5 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων: Δεν γίνονται ομώνυμα!! Πολλαπλασιάζω αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή. π.χ α) , β) , 7 3 γ) , δ) Διαίρεση κλασμάτων: Δεν γίνονται ομώνυμα!! Αντιστρέφω το δεύτερο κλάσμα και κάνω πολλαπλασιασμό (πολλαπλασιάζω αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή) π.χ α) : και β) :1 : ύνθετα κλάσματα: Η διαίρεση μπορεί να γραφτεί και με την μορφή κλάσματος.. ΑΚΗΗ 1.1 Α. Να γίνουν απλά τα σύνθετα κλάσματα π.χ Β. Να γίνουν οι πράξεις :

6

7 2. ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΜΑΣΑ Οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούνται από ένα ακέραιο και ένα δεκαδικό μέρος που χωρίζονται με την υποδιαστολή(,) π. χ. 2,4, 0,23, 2,234 Για να γράψουμε ένα δεκαδικό αριθμό προσέχουμε : Αν ο δεκαδικός αριθμός έχει δέκατα, τότε το δεκαδικό μέρος έχει ένα ψηφίο, αν έχει εκατοστά τότε έχει δύο ψηφία και χιλιοστά έχει τρία ψηφία. π. χ. ο αριθμός έξι και πέντε δέκατα γράφεται 6,, ο αριθμός έξι και πέντε εκατοστά γράφεται 6,0 και ο αριθμός έξι και πέντε χιλιοστά γράφεται 6,00 Όταν στο δεκαδικό μέρος δεν έχουμε ακέραιες μονάδες βάζουμε το 0. π. χ. ο αριθμός πέντε εκατοστά γράφεται 0,0 Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού δεν αλλάζει, αν στο τέλος του προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε όσα μηδενικά θέλουμε. π. χ. 0,3 = 0,30 = 0,300 Κάθε ακέραιο μπορούμε να τον μετατρέψουμε σε δεκαδικό αν βάλουμε στο τέλος του υποδιαστολή και προσθέσουμε όσα μηδενικά θέλουμε (συνήθως βάζουμε δύο) π. χ. 23 = 23,00 Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι δυνατόν να γραφτούν και ως κλάσματα όπως και αντίθετα. Για να γράψουμε ένα δεκαδικό αριθμό ως δεκαδικό κλάσμα, γράφουμε όλο τον αριθμό, χωρίς την υποδιαστολή στην θέση του αριθμητή και παρονομαστή γράφουμε το 1 με τόσα μηδενικά όσα και τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού π. χ. α) 0,4 = 4/10 β) 0.04 = 4/100 γ) 0,004 = 4/1000 δ) 1,2 = 12/10 Σο αντίθετο κάνουμε όταν θέλουμε να μετατρέψουμε δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό. Γράφουμε μόνο τον αριθμητή του και χωρίζουμε με υποδιαστολή τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής (συμπληρώνουμε με 0 όσα ψηφία λείπουν) π. χ. α) 6/10 = 0,6 β) 6/100 = 0,06 γ) 6/1000 = 0,006 Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα δεκαδικό αριθμό με το 10, 100, μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά του αριθμού με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε.

8 π.χ α) 28,34 10 = 283,4 β) 38, = 3809,4 Όταν πολλαπλασιάζουμε με το 0,1, 0,01, 0,001 ή όταν διαιρούμε ένα δεκαδικό αριθμό με 10, 100, 1000, μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά μια, δυο, τρεις, αντίστοιχα θέσεις. π.χ 8,4 0,01 = 8,4 : 100 = 0,084 Πράξεις Δεκαδικών Πρόσθεση/Αφαίρεση Η Πρόσθεση και η Αφαίρεση δεκαδικών αριθμών γίνεται, όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα ψηφία της ίδιας τάξης, τοποθετώντας τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο έτσι, ώστε οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη. π.χ 86,907 32,000 4, , ,08-1,90 219,667 46,08 38,47 Πολλαπλασιασμός Ο Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών γίνεται, όπως και των φυσικών αριθμών. Σοποθετούμε στο αποτέλεσμα της πράξης την υποδιαστολή τόσες θέσεις από τα δεξιά προς τα αριστερά, όσα είναι συνολικά τα ψηφία στα δεκαδικά μέρη και των δύο παραγόντων π.χ 1,82 2 δεκαδικά ψηφία x 2,3 1 δεκαδικό ψηφίο ,386 3 δεκαδικά ψηφία Διαίρεση Η Διαίρεση δεκαδικού αριθμού με δεκαδικό αριθμό γίνεται, όπως και η ευκλείδεια διαίρεση. Πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη και το διαιρετέο με την κατάλληλη δύναμη του 10 έτσι, ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός αριθμός. Όταν εξαντληθεί το ακέραιο μέρος του διαιρετέου, κατεβάζουμε το μηδέν, ως πρώτο δεκαδικό ψηφίο από τον διαιρετέο και τοποθετούμε στο πηλίκο υποδιαστολή.

9 π.χ Η διαίρεση 34,28 : 3,178 γίνεται : 3178 = 168,12 (πολλαπλασιάσαμε διαιρετέο και διαιρέτη με το 1000 για να απαλείψουμε τα δεκαδικά ψηφία από το διαιρέτη) ΑΚΗΗ 2.1 Να γίνουν οι πράξεις: 1. = (0,) 2. = (20) 3.. 4, = (1) 4. ( ) ( ) = (14)