Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων"

Transcript

1 Κεφάλαιο 23 ο Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Η σωστή ενέργεια Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο για να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε κλάσματα, πρέπει να είναι ομώνυμα. Τώρα μπορούμε να λύσουμε και προβλήματα με κλάσματα αρκεί να ακολουθούμε τα βήματα που θα μας οδηγήσουν στη σωστή λύση του προβλήματος.

2 23 ο Κεφάλαιο 4 Προσθέτω και αφαιρώ κλάσματα Για να προσθέσουμε κλάσματα που είναι ομώνυμα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα, έχουμε να προσθέσουμε τα κλάσματα 2 και 5. Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, δηλαδή έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Οπότε θα προσθέσουμε τους α- 3 3 ριθμητές των κλασμάτων και ως παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο. Έχουμε: Για να αφαιρέσουμε κλάσματα που είναι ομώνυμα αφαιρούμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα, έχουμε να αφαιρέσουμε τα κλάσματα 7 και 3. Τα κλάσματα είναι 5 5 ομώνυμα, δηλαδή έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Οπότε θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και ως παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο. Έχουμε: Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα. Έπειτα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Για να μετατρέψουμε ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα, ακολουθούμε τα εξής βήματα. 1. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. 2. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο.

3 Μαθηματικά Για παράδειγμα, θα προσθέσουμε τα ετερώνυμα κλάσματα και. Έχουν διαφορετικούς παρονομαστές γι αυτό πρώτα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα και μετά να 3 4 τα προσθέσουμε: Είναι: Θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: 1. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών Π 3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20,... Ε.Κ.Π. (3, 4) = Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 12 : 3 = 4 και 12 : 4 = 3 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, οπότε μπορούμε να προσθέσουμε τους α ριθμητές και να αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή. Είναι: Το κλάσμα δεν είναι ανάγωγο, απλοποιείται. Για να απλοποιήσουμε κλάσματα, διαιρούμε τους όρους των κλασμάτων με τον Μ.Κ.Δ. των όρων του. Το κλάσμα που προκύπτει είναι ανάγωγο, δηλαδή δεν υπάρχει άλλος αριθμός εκτός από το 1 που να είναι κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή.

4 23 ο Κεφάλαιο 6 Παίρνουμε τους διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή. Δ 22 : 0, 2, 11, 22 Δ 12 : 0, 2, 3, 4, 6, 12 Μ.Κ.Δ. (22, 12) = 2 Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2. Έχουμε: : : 2 6, ανάγωγο. Για να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα. Έπειτα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα Ακολουθούμε τα εξής βήματα: 9 2 και Παίρνουμε το μεγαλύτερο παρονομαστή, το 15 και ελέγχουμε αν διαιρείται ακριβώς από το 5. Έχουμε: 15 : 5 = 3 (διαιρείται ακριβώς). Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5) = Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 15 : 15 = 1 και 15 : 5 = 3 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο Τα κλάσματα Είναι: Το κλάσμα 9 6 και είναι ομώνυμα. Μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. 3 δεν είναι ανάγωγο, θα το απλοποιήσουμε. 15

5 Μαθηματικά 7 Παίρνουμε τους διαιρέτες του 3 και του 15. Δ 3 : 0, 3 Δ 15 : 0, 3, 5, 15 Μ.Κ.Δ. (3, 15) = 3 Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το : : 3 5, ανάγωγο. Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1. Να προστεθούν τα κλάσματα 2 6 5, και Λύση Τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Θα προσθέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και θα αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή. Είναι: Το κλάσμα 13 3 είναι ανάγωγο, δεν απλοποιείται άλλο. 2. Να αφαιρεθούν τα κλάσματα και Λύση Τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και θα αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή. Είναι Το κλάσμα 2 15 είναι ανάγωγο, δεν απλοποιείται άλλο. 3. Να γίνει η πρόσθεση των κλασμάτων 4 2 1, και Λύση

6 23 ο Κεφάλαιο 8 Τα κλάσματα 4 2 1, και είναι ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Θα ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία: 1. Παίρνουμε το μεγαλύτερο παρονομαστή το 8, και ελέγχουμε αν διαιρείται ακριβώς από το 2 και το 4. Έχουμε: 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 (διαιρείται ακριβώς) Άρα Ε.Κ.Π. (2, 4, 8) = ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 και 8 : 8 = 1 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο , , Άρα τα κλάσματα έγιναν ομώνυμα και μπορούμε να τα προσθέσουμε , και , ανάγωγο. 4. Να γίνει η αφαίρεση των κλασμάτων 5 και Λύση Για να αφαιρέσουμε τα κλάσματα 5 και πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Θα ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία: 1. Παίρνουμε το μεγαλύτερο από τους παρονομαστές το 6 και ελέγχουμε αν διαιρείται από το 3. Έχουμε: 6 : 3 = 2, διαιρείται ακριβώς. Άρα Ε.Κ.Π. (6, 3) = ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή.

7 Μαθηματικά 9 6 : 6 = 1 και 6 : 3 = 2 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο και Τα κλάσματα 5 2 και 6 6 Έχουμε: 5-2 = 5-2 = έγιναν ομώνυμα και μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. Το κλάσμα 3 6 δεν είναι ανάγωγο, μπορούμε να το απλοποιήσουμε. Παίρνουμε τους διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή. 3 : 0, 3 6 : 0,2, 3,6 Μ.Κ.. (3, 6) = 3 ιαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το : : 3 2, προέκυψε ανάγωγο κλάσμα. Λύνω απλά προβλήματα με δεκαδικούς, μεικτούς και κλάσματα ακολουθώντας μια σειρά από βήματα Για να λύσουμε προβλήματα με κλάσματα, αρκεί να διαβάσουμε καλά το πρόβλημα ώστε να βρούμε ποιες πράξεις πρέπει να κάνουμε ώστε να φτάσουμε στη σωστή λύση του προβλήματος. Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα με κλάσματα. Η Χρύσα από τα 5 6. Περίσσεψε καθόλου σοκολάτα; μιας σοκολάτας, έφαγε τα 4 6 Λύση

8 23 ο Κεφάλαιο 10 Έχουμε ένα πρόβλημα με κλάσματα. Εφόσον έχουμε το συνολικό μέγεθος, το οποίο είναι τα 5 6 της σοκολάτας και θέλουμε να βρούμε πόσο περίσσεψε, όταν έφαγε τα 4 6, θα κάνουμε αφαίρεση. Τα κλάσματα 5 και 4 είναι ομώνυμα. Θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές και παρονομαστή θα αφήσουμε τον 6 6 ίδιο. Έχουμε: Άρα έμεινε το 1 6 της σοκολάτας. Το παραπάνω πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί και με αφαίρεση δεκαδικών αριθμών. Για να γίνουν δεκαδικοί αριθμοί τα κλάσματα αρκεί να διαιρέσουμε τον αριθμητή του κλάσματος με τον παρονομαστή του. Έχουμε: , , Άρα η Χρύσα είχε το 0,83 μιας σοκολάτας και έφαγε το 0,66. Για να βρούμε πόση σοκολάτα της έμεινε θα κάνουμε αφαίρεση.

9 Μαθηματικά 11 Έχουμε: 0,83 0,66 = 0,17. Άρα της έμειναν της Χρύσας τα 0,17 της σοκολάτας. Συμπέρασμα: Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε καταλήξει στο ίδιο αποτέλεσμα. Γιατί αν στο κλάσμα 1 6 κάνουμε τη διαίρεση 1 : 6, θα πάρουμε τον αριθμό 0,17. Μπορούμε λοιπόν να εργαστούμε με όποιον τρόπο θέλουμε, γνωρίζοντας ότι το αποτέλεσμά μας θα είναι είτε κλάσμα, είτε ένας δεκαδικός αριθμός. Υπάρχει και μία άλλη κατηγορία προβλημάτων, στην οποία οι αριθμοί του προβλήματος δεν είναι στην ίδια μορφή. Μπορεί να υπάρχει ένα κλάσμα και ένας μεικτός αριθμός. Σ αυτή την περίπτωση πρέπει να τους μετατρέψουμε στην ίδια μορφή. Συνήθως μετατρέπουμε τον μεικτό σε κλάσμα. Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα μ ένα κλάσμα κι έναν μεικτό αριθμό. Η Σοφία έφαγε το από τις 16 8 πίτσες που παρήγγειλε η μητέρα της. όση πίτσα έμεινε; Λύση Στα δεδομένα του προβλήματος υπάρχουν δύο διαφορετικοί αριθμοί, ένας μεικτός αριθμός και ένα κλάσμα. Θα μετατρέψουμε τον μεικτό σε κλάσμα.

10 23 ο Κεφάλαιο 12 Για να μετατρέψουμε έναν μεικτό αριθμό σε κλάσμα υπάρ χουν 2 τρόποι: 1ος τρόπος: Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσματος επί τον ακέραιο αριθμό και στο γινόμενο προσθέτουμε τον αριθμητή, αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή. 2ος τρόπος: Η ακέραιη μονάδα του μεικτού δηλώνει πόσες φορές θα προσθέσουμε το κλάσμα που θα δηλώνει μια ακέραιη μονάδα και θα έχουν ως όρους του τον αριθμό του παρονομαστή. Σ αυτό το άθροισμα προσθέτουμε το κλάσμα του μεικτού αριθμού. Έχουμε: + 2 (1 8) = Άρα η Σοφία έφαγε τα από τα 8 8 έμεινε, θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα Είναι: από τις πίτσες. Για να βρούμε πόση πίτσα Άρα έμειναν τα 6 8 της πίτσας. Σε κάποιο άλλο πρόβλημα στα δεδομένα θα υπάρχουν 2 μεικτοί αριθμοί. Θα πρέπει να τους κάνουμε κλάσμα. Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα με δεδομένο 2 μεικτούς αριθμούς. Η Αγγελική και η Άννα μοιράστηκαν καραμέλες. Η Αγγελική πήρε τα Άννα τα Πόσες καραμέλες πήραν και τα δύο κορίτσια μαζί; ενώ η Λύση Στα δεδομένα του προβλήματος υπάρχουν 2 μεικτοί αριθμοί. Θα τους μετατρέψουμε σε κλάσματα.

11 Μαθηματικά 13 Θα πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή επί τον ακέραιο αριθμό και στο γινόμενο θα προσθέσουμε τον αριθμητή, αφήνοντας τον παρονομαστή ίδιο. Έχουμε: + 3 (2 4) = (4 5) = Για να βρούμε πόσες καραμέλες πήραν μαζί και τα δύο κορίτσια θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Ε.Κ.Π. (4, 5) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το Ε.Κ.Π και Τα κλάσματα και είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε:

12 23 ο Κεφάλαιο 14 ραστηριότητες του βιβλίου ραστηρι ότητα 1η ιαβάζοντας στην ιστοσελίδα της.ε.η. (www.dei.gr) στοιχεία σχετικά με την παραγωγή ενέργειας για το 2003 διαπιστώνουμε ότι η ενέργεια στη χώρα μας από ανανεώσιμες πηγές ήταν πολύ μικρή. Παρακάτω παρουσιάζονται τα στοιχεία για την ενέργεια που παράχθηκε το 2003 σε θερμοηλεκτρικούς σταθμούς: Το 0,15 της ενέργειας παράχθηκε με τη χρήση πετρελαίου. Τα 9 20 παράχθηκαν με τη χρήση λιγνίτη. Το 1 4 παράχθηκε με τη χρήση φυσικού αερίου. Η υπόλοιπη ενέργεια παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς. Είναι εύκολο να υπολογίσουμε αμέσως αυτό το μέρος της ενέργειας; Τι πρέπει να κάνουμε πριν προχωρήσουμε στις πράξεις για την επίλυση του προβλήματος;... Για να υπολογίσουμε πιο μέρος της ενέργειας παράχθηκε στους θερμοηλεκτρικούς σταθμούς, θα πρέπει να προσθέσουμε την ενέργεια που παράχθηκε με τη χρήση πετρελαίου (το 0,15), την ενέργεια που παράχθηκε με τη χρήση φυσικού αερίου (το 1 ) και την ενέργεια που παράχθηκε με τη χρήση 4

13 Μαθηματικά 15 λιγνίτη (τα 9 20 ). Παρατηρούμε ότι έχουμε αριθμούς διαφορετικής μορφής, δεκαδικό και κλάσματα. Θα πρέπει να τους μετατρέψουμε σε αριθμούς της ίδιας μορφής ώστε να τους προσθέσουμε. Μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους: 1ος τρόπος: Θα μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 0,15 σε κλάσμα. Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε. Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα βάζοντας για παρονομαστή τη μονάδα. Είναι 0,15 1 Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 10. Έχουμε: 0,15 0, , Το κλάσμα 9 20 δεν μπορούμε να το απλοποιήσουμε άλλο, είναι ανάγωγο γι αυτό θα παραμείνει όπως είναι. Το κλάσμα 1 4 δεν μπορούμε να το απλοποιήσουμε άλλο, είναι ανάγωγο γι αυτό θα παραμείνει όπως είναι. Έχουμε 3 κλάσματα ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Είναι: 1,5, 9, Παίρνουμε τον μεγαλύτερο από τους παρονομαστές το 20 αι εξετάζουμε αν διαιρείται ακριβώς από το 10 και το : 10 = 2, 20 : 4 = 5 (διαιρούνται ακριβώς) Άρα Ε.Κ.Π. (10, 20, 4) = 20 ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. με όλους τους παρονομαστές. 20 : 10 = 2, 20 : 20 = 1 και 20 : 4 = 5

14 23 ο Κεφάλαιο 16 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με τα αντίστοιχα πηλίκα. Είναι: 1,5 1, , , Τώρα μπορούμε να κάνουμε την πρόσθεση των κλασμάτων: ( ) Για να βρούμε ποιο μέρος της ενέργειας παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς, αρκεί να αφαιρέσουμε από το 20 είναι μια ακέραιη μονάδα, 20 δηλαδή η ολική ποσότητα της ενέργειας από το Είναι: = Άρα για θερμοηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε ενέργεια 17, ενώ για υ- 20 δροηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε ενέργεια ος τρόπος: Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς. Το 0,15 θα παραμείνει όπως είναι. 9 Το για να γίνει δεκαδικός θα κάνουμε τη διαίρεση του αριθμητή με 20 τον παρονομαστή , Άρα 9 =0,45 20 της ενέργειας.

15 Μαθηματικά 17 Το 1 4 για να γίνει δεκαδικός θα κάνουμε τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή , Άρα 1 =0,25 4 της ενέργειας. Για να βρούμε τη συνολική ενέργεια σε θερμοηλεκτρικούς σταθμούς θα προσθέσουμε τους 3 δεκαδικούς αριθμούς. Έχουμε: 0,15 + 0,45 + 0,25 = 0,85 της ενέργειας. Για να βρούμε πόση ενέργεια παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς θα αφαιρέσουμε από τη συνολική ενέργεια δηλαδή το 1, την ακέραιη μονάδα το 0,85. Έχουμε: 1 0,85 = 0,15 της ενέργειας. Άρα για θερμοηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε το 0,85 της ενέργειας, ενώ για υδροηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε το 0,15 της ενέργειας. ραστηρι ότητα 2η Τα παιδιά θέλησαν να φυτέψουν στον κήπο του σχολείου φράουλες (ωριμάζουν στις αρχές Ιουνίου) και ρώτησαν αν υπάρχει καθόλου ελεύθερος χώρος. Ο δάσκαλος του είπε: «Σωστή ενέργεια! Λοιπόν, το 0,1 το παρτεριού έχει γαρίφαλα, το 4 έχει μαργαρίτες και τα 5 έχουν γκαζόν. Αν υπάρχει ελεύθερος χώρος 1 2 είναι δικός σας!»

16 23 ο Κεφάλαιο 18 Πώς θα βρούμε αν υπάρχει χώρος;... Γράψτε με τη σειρά τις ενέργειες που πρέπει να κάνουν τα παιδιά για να βρουν τη λύση στο πρόβλημά τους:... Κάντε τις πράξεις. Μετά χωρίστε το σχεδιάγραμμα του παρτεριού σε όσα μέρη πρέπει να βάψετε με κίτρινο το μέρος με τις μαργαρίτες, με μοβ το μέρος με τα γαρίφαλα, με πράσινο το μέρος με το γκαζόν και με κόκκινο το μέρος με τις φράουλες. Για να βρούμε αν υπάρχει ελεύθερος χώρος θα πρέπει να προσθέσουμε τα μέρη του κήπου που είναι φυτεμένα με γαρίφαλα, μαργαρίτες και γκαζόν και να το αφαιρέσουμε από την ακέραιη μονάδα, δηλαδή τον συνολικό κήπο. Αρχικά θα μετατρέψουμε το δεκαδικό 0,1 σε μορφή κλάσματος, ώστε να μπορούμε να το προσθέσουμε με τα άλλα κλάσματα. Εφόσον δημιουργηθούν 3 κλάσματα θα προσθέσουμε και τα 3 μαζί, για να βρούμε πόσος κήπος είναι καλυμμένος από γαρίφαλα, μαργαρίτες και γκαζόν. Το αποτέλεσμα που θα βρούμε και που θα είναι ένα κλάσμα, θα το αφαιρέσουμε από την ακέραιη μονάδα, την οποία θα δημιουργούσε ένα κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή τον αριθμό που θα υπάρχει στον παρονομαστή του αποτελέσματος. Μετατρέπουμε το 0,1 σε κλάσμα. Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα, βάζοντας για παρονομαστή το 1. Είναι: 0,1 1. Θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 10. Είναι 0,1 0,

17 Μαθηματικά 19 Τώρα έχουμε 3 κλάσματα: 1 1 2, και Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 10 : 0, 10, 20, 30, 35,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 15, 16, 20,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25 Άρα Ε.Κ.Π. (10, 4, 5) = 20 ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων 20 : 10 = 2, 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο , , Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε. Είναι: Άρα είναι καλυμμένο το Θα αφαιρέσουμε από τα Έχουμε: = του κήπου του σχολείου. (τον συνολικό κήπο) το ελεύθερος χώρος για φράουλες Γαρί φαλα Μαργαρίτες Γκαζόν Φράουλες

18 23 ο Κεφάλαιο 20 Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα.. Π.χ Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Θα τα κάνουμε ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π4 : 0, 4, 8, 12, 14, 20, 24,... Π5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Άρα Ε.Κ.Π. (4, 5) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο

19 Μαθηματικά 21 και μπο Άρα τα κλάσματα έγιναν ομώνυμα ρούμε να τα προσθέσουμε Προσθέτουμε ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές του και αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή. Π.χ Αφαιρούμε ομώνυμα κλάσματα αφαιρώντας τους αριθμητές τους και αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή. Π.χ Όταν πρέπει να λύσω ένα πρόβλημα που έχει κλάσματα ή μεικτούς αριθμούς: Ελέγχω, αν οι αριθμοί του προβλήματος είναι στην ίδια μορφή. Αν δεν είναι στην ίδια μορφή, τους μετατρέπω σε αριθμούς μίας μορφής. Αποφασίζω ποιες πράξεις πρέπει να κάνω. Εκτελώ τις πράξεις και ελέγχω το αποτέλεσμα.

20 23 ο Κεφάλαιο 22 Η Μυρτώ κούρεψε τα 3 5 του γκαζόν και ο αδερφός της ο Λευτέρης το 1 4 έμεινε;. Κούρεψαν όλο το γκαζόν; Αν όχι, πόσο λύση Για να βρούμε αν τα παιδιά κούρεψαν όλο το γκαζόν θα προσθέσουμε τα κλάσματα, που το καθένα από αυτά εκφράζει το μέρος του γκαζόν που κούρεψε κάθε παιδί. Έτσι έχουμε: Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4) = 20. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 20 : 5 = 4 και 20 : 4 = 5 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο , Τα κλάσματα 12 5 και Είναι: είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε.

21 Μαθηματικά 23 Για να βρούμε πόσο γκαζόν έμεινε ακούρευτο θα αφαιρέσουμε από το κλάσμα «ακέραιη μονάδα» το Έχουμε: = , του γκαζόν έμεινε ακούρευτο. Απάντηση: Τα παιδιά κούρεψαν τα του γκαζόν και μένουν ακόμη 3 20 για κούρεμα. Ένα δοχείο χωράει 3 λίτρα. Κάποια στιγμή έχει νερό. Πόσο νερό χρειάζεται ακόμα για να γεμίσει; λύση λίτρα Οι αριθμοί του προβλήματος δεν είναι στην ίδια μορφή. Θα μετατρέψουμε τον ακέραιο σε κλάσμα αλλά σε κλάσμα θα μετατρέψουμε και τον μεικτό. Για τον ακέραιο 3 έχουμε: 1ος τρόπος: Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Άρα ο ακέραιος 3 ισούται με το κλάσμα ος τρόπος: Θα μετατραπεί σε κλάσμα με παρονομαστή το =1+1+1= Για τον μεικτό έχουμε: + 3 (1 4) = Θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα. Δηλαδή θα αφαιρέσουμε το νερό που υπάρχει από τη συνολική χωρητικότητα του δοχείου ώστε να βρούμε τη διαφορά τους.

22 23 ο Κεφάλαιο 24 1ος τρόπος: Τα κλάσματα 3 και είναι ετερώνυμα, θα τα κάνουμε ομώνυμα. Εφόσον το πρώτο κλάσμα έχει παρονομαστή τη μονάδα, Ε.Κ.Π. (1, 4) = 4. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 4 : 1 = 4 και 4 : 4 = 1 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο , Τα κλάσματα 12 7 και 4 4 Έχουμε: 2ος τρόπος: Τα κλάσματα τους. Είναι: και είναι ομώνυμα. είναι ομώνυμα. Αρκεί να αφαιρέσουμε τους αριθμητές Για να μετατρέψουμε το κλάσμα 5 4 σε μεικτό και επειδή ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή θα έχουμε: = + = Απάντηση: Το δοχείο χρειάζεται ακόμη για να γεμίσει λίτρα νερού.

23 Μαθηματικά 25 Στο κεφάλαιο αυτό μελετήσαμε την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων καθώς και τη λύση απλών προβλημάτων με κλάσματα. Σχεδίασε ένα σύντομο πρόβλημα που να λύνεται έτσι. Απάντηση Για να προσθέσουμε κλάσματα ομώνυμα, προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Π.χ Για να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, αφαιρούμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Π.χ Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών και έπειτα να προσθέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων. Π.χ Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 5 και του 10. Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20,... Π 10 : 0, 10, 20, 30,...

24 23 ο Κεφάλαιο 26 Άρα Ε.Κ.Π. (5, 10) = 10. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. Είναι: 10 : 5 = 2 και 10 : 10 = 1 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο , Τα κλάσματα Έχουμε: 4 4 και είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε: Για να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, και έπειτα να αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων. Π.χ Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 5 και του 4. Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 20 : 5 = 4 και 20 : 4 = 5. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με τα αντίστοιχα πηλίκα , Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε: Έχουμε: και

25 Μαθηματικά 27 3 Η Μαρία έφαγε τα 15 της τούρτας ενώ η Ελένη έφαγε τα 4 της τούρτας. Πόση τούρτα έφαγαν και τα δύο κορίτσια μαζί; Περίσσεψε καθόλου 5 τούρτα; Λύση Για να βρούμε πόση τούρτα έφαγαν και τα δύο κορίτσια, θα προσθέσουμε τα 3 κλάσματα 15 και 4. Πρώτα θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. 5 Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 15 και του 5. Π 15 : 0, 15, 30, 45,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20,... Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5) = 15 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 15 : 15 = 1 και 15 : 5 = 3 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο , Οπότε έχουμε: Άρα τα κορίτσια έφαγαν και τα Δηλαδή έφαγαν ολόκληρη την τούρτα. της τούρτας. Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος Η ισότητα = είναι σωστή.

26 23 ο Κεφάλαιο 28 Για να λύσω ένα πρόβλημα που οι αριθμοί του είναι φυσικοί, δεκαδικοί ή κλάσματα πρέπει πρώτα να τους μετατρέψω όλους στην ίδια μορφή. Απάντηση Σωστό Λάθος Λάθος. Η ισότητα δεν δίνει αποτέλεσμα Τα κλάσματα 2 7 και 5 5 είναι ομώνυμα Αρκεί να προσθέσουμε τους αριθμητές τους και παρονομαστή να αφήσουμε τον ίδιο Σωστό. Για να λύσουμε ένα πρόβλημα που οι αριθμοί του είναι φυσικοί, δεκαδικοί ή κλάσματα πρέπει πρώτα να τους μετατρέψουμε όλους στην ίδια μορφή. Δηλαδή όλοι οι αριθμοί να γίνουν είτε φυσικοί, είτε δεκαδικοί είτε κλάσμα, ώστε να μπορούμε να τα προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ανάλογα με τις ανάγκες του προβλήματος.

27 Μαθηματικά 29 Τετράδιο Εργασιών Ασκήσεις Άσκηση 1η Να βρεις το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων στους οποίους μπορούν να κινούνται τα παιδιά ανάμεσα στα θρανία της Στ τάξης όταν ο ένας είναι 3 μ. και ο 5 8 άλλος μ. λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Πρέπει να μετατρέψουμε τους μεικτούς σε κλάσματα, να τα κάνουμε ομώνυμα και έπειτα να τα προσθέσουμε. Θα μετατρέψουμε τους μεικτούς σε κλάσματα: + 5 (3 8) =

28 23 ο Κεφάλαιο (1 12) = Τα κλάσματα που προέκυψαν είναι ετερώνυμα. Για να βρούμε το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων θα πρέπει να προσθέσουμε τα κλάσματα. Πρώτα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Είναι Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών Π 8 : 0, 8, 16, 24, 32,... Π 12 : 0, 12, 24, 36,... Άρα Ε.Κ.Π. (8, 12) = 24 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων 24 : 8 = 3 και 24 : 12 = 2 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο , Τα κλάσματα που προέκυψαν είναι ομώνυμα. Είναι: μ. μήκος Για να κατανοήσουμε καλύτερα τα μέτρα που εκφράζει το κλάσμα αρκεί να κάνουμε τη διαίρεση ,2 μ Απάντηση: Άρα το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων είναι 5,2 μ.

29 Μαθηματικά 31 Άσκηση 2η Να υπολογίσεις την παρακάτω αριθμητική παράσταση: λύση Σύμφωνα με τη σειρά των πράξεων πρώτα θα ε- κτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε. Θα μετατρέψουμε τον μεικτό σε κλάσμα. Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να κάνουμε την αφαίρεση. Πρώτα θα εκτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. Σειρά πράξεων: 1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις. 2. Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις. 3. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Μέσα στην παρένθεση έχουμε πρόσθεση κλασμάτων. Θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,...

30 23 ο Κεφάλαιο 32 Π 8 : 0, 8, 18, 24, 32,... Π 12 : 0, 12, 24, 36,... Π 24 : 0, 24, 48,... Άρα Ε.Κ.Π. (4, 8, 12, 24) = 24. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 24 : 4 = 6, 24 : 8 = 3, 24 : 12 = 2, 24 : 24 = 1 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο ,,, Θα μετατρέψουμε το μεικτό σε κλάσμα. Έχουμε: + 2 (2 6) = Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω έχουμε: = = = - = Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παίρνοντας τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 24 : 0, 24, 48,... Π 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Άρα Ε.Κ.Π. (24, 6) = 24 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές 24 : 24 = 1 και 24 : 6 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. Είναι: ,

31 Μαθηματικά 33 Οπότε έχουμε: Το κλάσμα = απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες του 12 και του 24. Δ 12 : 0, 2, 3, 4, 6, 12 Δ 24 : 0, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Άρα Μ.Κ.Δ. (12, 24) = 12 Έχουμε: : : 12 2, ανάγωγο.

32 23 ο Κεφάλαιο 34 Προβλήματα Πρόβλημα 1ο Ποιο είναι το συνολικό βάρος που μεταφέρει το φορητό υπολογιστή του που ζυγίζει 4 2 κιλά, μια επιπλέον μπαταρία βάρους 1 κιλά και την τσάντα του που ζυγίζει κιλά; Να λύσεις το πρόβλημα με αριθμητική παράσταση. λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Πρώτα θα καταστρώσουμε την αριθμητική παράσταση. Θα μετατρέψουμε το μεικτό αριθμό σε κλάσμα. Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα. Θα εκτελέσουμε την πρόσθεση. Για να καταστρώσουμε την αριθμητική παράσταση, αρκεί να προσθέσουμε το μεικτό αριθμό και τα κλάσματα. Έχουμε: Μετατρέπουμε το μεικτό αριθμό σε κλάσμα + 4 (2 5) = Η παράσταση γίνεται:

33 Μαθηματικά Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια του 5, του 4 και του 6. Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 52, 56, 60,... Π 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,... Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4, 6) = 60. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές. 60 : 5 = 12, 60 : 4 = 15, 60 : 10 = 6 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο , , Τώρα μπορούμε να προσθέσουμε τα κλάσματα: Μπορούμε να μετατρέψουμε το αποτέλεσμα σε μεικτό εφόσον ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Είναι: Απάντηση: = = Το συνολικό βάρος είναι: Πρόβλημα 2ο Σε πολυσύχναστο χιονοδρομικό κέντρο μια συγκεκριμένη μέρα τα θλούμενων είναι γυναίκες, τα 2 5 τα παιδιά ήταν περισσότερα; παιδιά και το 1 3 λύση 4 15 των α- άντρες. Οι γυναίκες, οι άντρες ή

34 23 ο Κεφάλαιο 36 ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Θα πρέπει να συγκρίνουμε τα κλάσματα, εφόσον τα κάνουμε ομώνυμα. Θα κάνουμε τα κλάσματα 4 2 1, και ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 15 : 0, 15, 30, 45,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Π 3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5, 3) = 15 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές. 15 : 15 = 1, 15 : 5 = 3 και 15 : 3 = 5 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο ,, Μπορούμε να συγκρίνουμε τα κλάσματα ,, Για να συγκρίνουμε ομώνυμα κλάσματα συγκρίνουμε τους αριθμητές. Το κλάσμα με τον μεγαλύτερο α- ριθμητή είναι το μεγαλύτερο.

35 Μαθηματικά 37 Η διάταξη κατά αύξουσα σειρά είναι η εξής: < < δηλαδή < < Απάντηση: Περισσότερα είναι τα παιδιά. Πρόβλημα 3ο Κόψτε 3 κάρτες με τους αριθμούς 1, 2 και 4 όπως αυτές που απεικονίζονται στο διπλανό σχήμα Χρησιμοποιώντας όλες τις κάρτες και το μολύβι σου για γραμμή του κλάσματος ε- πάνω στο θρανίο να σχηματίσετε με την ομάδα σας τα εξής: Το μικρότερο δυνατό κλάσμα... Το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα... Ένα κλάσμα ισοδύναμο με το Ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3... λύση Το μικρότερο δυνατό κλάσμα είναι αυτό που έχει όσο το δυνατό μικρότερο αριθμητή και όσο το δυνατό μεγαλύτερο παρονομαστή. Το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα είναι αυτό που έχει όσο το δυνατό μεγαλύτερο αριθμητή και όσο το δυνατό μικρότερο παρονομαστή. Για να είναι ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1 3 ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ πρέπει ο παρονομαστής να είναι 3 φορές μεγαλύτερος από τον αριθμητή. Για να είναι ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 3, πρέπει ο αριθμητής να είναι 3 φορές μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.

36 23 ο Κεφάλαιο 38 Για να δημιουργήσουμε το μικρότερο δυνατό κλάσμα αρκεί να βάλουμε αριθμητή τον μικρότερο αριθμό, το 1 και σαν παρονομαστή τον μεγαλύτερο δυνατό συνδυασμό, που είναι το 42. Άρα το μικρότερο δυνατό κλάσμα είναι το Για να δημιουργήσουμε το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα αρκεί να βάλουμε αριθμητή τον μεγαλύτερο συνδυασμό, δηλαδή το 42 ενώ σαν παρονομαστή το μικρότερο α- ριθμό, δηλαδή το 1. Άρα το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα είναι το Για να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1 3 θα πρέπει να έχουμε παρονομαστή έναν αριθμό, 3 φορές μεγαλύτερο από τον αριθμητή. Π.χ. 1 4 = 4 και 3 4 = 12. Άρα ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1 3 είναι το Για να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3, δηλαδή 3 1, θα πρέπει να έ- χουμε αριθμητή έναν αριθμό 3 φορές μεγαλύτερο από τον παρονομαστή. Δηλαδή 3 4 = 12 και 1 4 = 4. Άρα ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3 είναι το 12 4.

37 Μαθηματικά 39 Σε μία εκπαιδευτική εκδρομή τα παιδιά της Στ τάξης επισκέφτηκαν ένα κατάστημα με κατοικίδια ζώα και πουλιά. Μόλις μπήκαν στο κατάστημα ο ιδιοκτήτης τους είπε: Παιδιά βοηθήστε με. Πριν από λίγο ήρθε ένας πελάτης, ο οποίος μου παρήγγειλε να του ετοιμάσω ένα πλήρες ενυδρείο και μου άφησε έναν κατάλογο με τα ψάρια που θέλει. Πού είναι η δυσκολία; ρώτησαν τα παιδιά. Να, ετοίμασα το ενυδρείο, αλλά, όταν πήγα να διαλέξω τα ψάρια απελπίστηκα. Εδώ είναι το χαρτί με τα ψάρια που θέλει ο πελάτης. Απάντησε ο καταστηματάρχης. Τα παιδιά ξαφνιάστηκαν όταν είδαν τον κατάλογο. Είναι δυνατόν να ζητάει ο πελάτης κλάσμα ψαριού; Αφού το σκέφτηκαν λίγο, ο Κώστας, ο Θωμάς και ο Δημήτρης ρώτησαν: Ψάρια Πόσα ψάρια χωράει το ενυδρείο που παρήγγειλε ο πελάτης; Είκοσι, απάντησε ο καταστηματάρχης. Το βρήκαμε! Είπαν τότε οι τρεις φίλοι. Τι βρήκαν; Συμπλήρωσε τον πίνακα: 1 χρυσόψαρα 5 1 μαύρες ρίγες 4 3 κόκκινα μαύρα 10 Είδος ψαριού Κλάσμα στο χαρτί Αριθμός ψαριών Τι σκέφτηκα για να το βρω Χρυσόψαρο

38 23 ο Κεφάλαιο 40 Ψάρι με μαύρες ρίγες Κόκκινο ψάρι Μαύρο ψάρι λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μάλιστα με παρονομαστή το 20 επειδή 20 είναι όλα τα ψάρια και θα τα προσθέσουμε. Από το 20 θα αφαιρέσουμε το παραπάνω αποτέλεσμα. Έχουμε τα κλάσματα 1, 1 και 3. Θα τα κάνουμε ομώνυμα με παρονομαστή το επειδή είναι ο συνολικός αριθμός των ψαριών. Είναι: (Πολλαπλασιάζουμε με το 4 τους όρους του κλάσματος) (Πολλαπλασιάζουμε με το 5 τους όρους του κλάσματος) (Πολλαπλασιάζουμε με το 2 τους όρους του κλάσματος) Προσθέτουμε τα κλάσματα και έχουμε: Το σύνολο των ψαριών είναι των ψαριών που έχουμε.. Άρα θα αφαιρέσουμε το σύνολο από το άθροισμα

39 Μαθηματικά 41 Είναι: = Άρα τα μαύρα ψάρια είναι τα 5 20 δηλαδή 5. Είδος ψαριού Κλάσμα στο χαρτί Χρυσόψαρο 1 5 Ψάρι με μαύρες ρίγες 1 4 Κόκκινο ψάρι 3 10 Αριθμός ψαριών Τι σκέφτηκα για να το βρω 4 Πολλαπλασιάσαμε τους όρους του κλάσματος με το 4. 5 Πολλαπλασιάσαμε τους όρους του κλάσματος με το 5. 6 Πολλαπλασιάσαμε τους όρους του κλάσματος με το 2. Μαύρο ψάρι 5 Αφαιρέσαμε από το το 15 20

40 23 ο Κεφάλαιο 42 Ποια ασυνήθιστα κατοικίδια ζώα γνωρίζεις; Τι μας προσφέρουν τα κατοικίδια; Απάντηση Ασυνήθιστα κατοικίδια ζώα είναι τα ερπετά. Δηλαδή τα φίδια, οι σαύρες, οι χελώνες, τα ποντίκια, σπάνια πουλιά κ.λπ. Με το να έχουμε κατοικίδια γινόμαστε πιο υπεύθυνοι και πιο πειθαρχημένοι άνθρωποι εφόσον τα ζώα χρειάζονται τη φροντίδα μας. Ουσιαστικά εξαρτώνται από εμάς. Βέβαια οι άνθρωποι εξοικειώνονται με τα ζώα και παίρνουν κι άλλες πληροφορίες για τα όντα της φύσης.

41 Μαθηματικά 43 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 του βαρελιού, ενώ το δεύτερο χώρεσε το 0,3 του βαρελιού. Άδειασε όλο το βαρέλι στα μπουκάλια ή του περίσσεψε για να γεμίσει 5 κι άλλα μπουκάλια; λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Στο πρόβλημα έχουμε αριθμούς που δεν είναι στην ίδια μορφή. Θα μετατρέψουμε τους αριθμούς στην ίδια μορφή. Για να βρούμε πόσο κρασί έβαλε στα μπουκάλια θα κάνουμε πρόσθεση. Για να βρούμε αν του έμεινε κι άλλο κρασί θα αφαιρέσουμε την «ακέραιη μονάδα» το προηγούμενο αποτέλεσμα. Μετατροπή των αριθμών στην ίδια μορφή θα μετατρέψουμε το δεκαδικό σε κλάσμα. Το 0,3 θεωρείται κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Έχουμε 0,3. Θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 1 το 5 ώστε να δημιουργήσουμε κατευθείαν ομώνυμο κλάσμα με το 1 5. Είναι: 0,3 0,3 5 1,

42 23 ο Κεφάλαιο 44 είναι ομώνυμα, οπότε μπορούμε να τα προσθέσου- Τα κλάσματα 1,5 και με. Έχουμε: 1,5 1 1,5 +1 2, Θα αφαιρέσουμε από την «ακέραιη μονάδα» δηλαδή το 5 με το 2,5 5 5 βρούμε πόσο κρασί έχει ακόμη το βαρέλι. Είναι: 5 2,5 2,5 - = για να Απάντηση: Το βαρέλι έχει ακόμα 2,5 κρασί. Άρα έχει γεμίσει το μισό βαρέλι 5 σε μπουκάλια και του μένει να γεμίσει το άλλο μισό (επειδή 2,5 1 0,5). 5 2 Να γίνουν οι πράξεις: λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, αρκεί να προσθέσουμε τους α- ριθμητές και να αφήσουμε παρονομαστή τον ίδιο. Είναι: Το κλάσμα 15 5 μπορεί να απλοποιηθεί. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων του κλάσματος.

43 Μαθηματικά 45 Δ 15 : 0, 3, 5, 15 Δ 5 : 0, 5 Άρα Μ.Κ.Δ. (15, 5) = 5 Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον Μ.Κ.Δ. Έχουμε: : 5 3 =3 5 5:5 1 Να υπολογιστούν τα κλάσματα λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Για να κάνουμε την αφαίρεση των κλασμάτων πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα. Οπότε θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές και παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο. Έχουμε Θα βρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 20 και του 10. Π 20 : 0, 20, 40, 60,... Π 10 : 0, 10, 20, 30, 40,... Άρα Ε.Κ.Π. (20, 10) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές 20 : 20 = 1 και 20 : 10 = 2 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο.

44 23 ο Κεφάλαιο 46 Είναι: , Τα κλάσματα 14 και Έχουμε: Το κλάσμα Δ 10 : 0, 2, 5, Δ 20 : 0, 2, 4, 5, 10, 20 Άρα Μ.Κ.Δ. (10, 20) = 10. είναι ομώνυμα. Μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων του. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 10. Είναι: : : 10 2 Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: α) β) λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Πρώτα θα εκτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και έπειτα θα κάνουμε την πρόσθεση και την αφαίρεση αντίστοιχα σε κάθε άσκηση.

45 Μαθηματικά α) = - = = = 47 Μέσα στην παρένθεση τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Προσθέτουμε τους αριθμητές και α- φήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Τα κλάσματα δεν είναι ομώνυμα. Θα τα κάνουμε με το Ε.Κ.Π. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών Π 8 : 0, 8, 16, 24,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16,... Άρα Ε.Κ.Π. (8, 4) = 8. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με κάθε παρονομαστή. 8 : 8 = 1 και 8 : 4 = 2 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τα αντίστοιχα πηλίκα , Άρα έχουμε Το κλάσμα 10 8 απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων του. Δ 10 : 0, 2, 5, 10 Δ 8 : 0, 1, 2, 4, 8 Άρα Μ.Κ.Δ. (10, 8) = 2. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2. Είναι: : :2 4, ανάγωγο κλάσμα. β) uur : su Μέσα στην παρένθεση θα μετατρέψουμε το μεικτό σε κλάσμα

46 23 ο Κεφάλαιο 48 ( ) = Κάνουμε πράξεις = = = = = = Κάνουμε πράξεις Μέσα στην παρένθεση θα κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα. Ε. Κ.Π. (5,10) =10 Κάνουμε πράξεις Αφαιρούμε τους αριθμητές και παρανομαστή αφήνουμε τον ίδιο Πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα με το 2 και το 1 ώστε να προκύψουν ομώνυμα Προσθέτουμε τους αριθμητές και παρανομαστή αφήνουμε τον ίδιο 45 = Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το 5, 20 ώστε να γίνει ανάγωγο 45 : : 5 4 Ο Μανώλης φύτεψε στον κήπο τους 3 τριανταφυλλιές ροζ. Ο Μπάμπης 5 φύτεψε 22 1 τριανταφυλλιές άσπρες. Η Δέσποινα φύτεψε 0,2 τριαντα- 4 φυλλιές κόκκινες. Πόσες τριανταφυλλιές φύτεψαν και τα 3 παιδιά μαζί; λύση

47 Μαθηματικά 49 Θα μετατρέψουμε τους αριθμούς του προβλήματος στην ίδια μορφή. Θα προσθέσουμε τους αριθμούς που θα προκύψουν. Θα μετατρέψουμε τον μεικτό και τον δεκαδικό σε κλάσμα. + 1 (22 4) = Το δεκαδικό 0,2 θα τον κάνουμε κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Θα πολλαπλασιάσουμε τους όρους του με το 5 ώστε να γίνουν ομώνυμα με το 3 5. Είναι: 0,2 0, Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε: Έχουμε: Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Άρα Ε.Κ.Π. (4, 5, 5) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές. 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τα αντίστοιχα πηλίκα ,,

48 23 ο Κεφάλαιο 50 Προσθέτουμε τα κλάσματα: Απάντηση: Τα παιδιά φύτεψαν τα

49 Μαθηματικά Να γίνουν οι πράξεις: Να υπολογιστούν τα κλάσματα: Να υπολογιστεί η παράσταση: Η κ. Φωτεινή αγόρασε μέλι και γέμισε 3 βαζάκια. Το πρώτο βαζάκι χώρεσε τα 2 6, το δεύτερο το 1 4 και το τρίτο τα 2. Περίσσεψε καθόλου μέλι; Ο Ηλίας έφαγε τα από το γλυκό του ταψιού που έκανε η μαμά του. Η 15 αδελφή του έφαγε τα 0,4 του γλυκού. Πόσο γλυκό περίσσεψε για τους γονείς τους;

50 23 ο Κεφάλαιο 52 Απαντήσεις των άλυτων ασκήσεων = Περίσσεψαν τα 3 12 από το μέλι που αγόρασε Έμειναν για τους γονείς τους τα 15 του γλυκού.

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5

Λυμένες ασκήσεις. Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 23 ο Κεφάλαιο 44 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 5 του βαρελιού, ενώ το δεύτερο χώρεσε το 0,3 του βαρελιού. Άδειασε

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητής = Παρονομαστής

Αριθμητής = Παρονομαστής Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ To κλάσμα κ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα ν Αριθμητής = Παρονομαστής Το ν α = 0 = α κ ν = κ ν ονομάζεται κλασματική μονάδα 8 = α α = Άρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα Θεωρία Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα. Πως λέγονται οι όροι ενός κλάσματος. Ο αριθμός που βρίσκεται πάνω από την γραμμή του κλάσματος λέγεται αριθμητής ενώ ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από αυτήν λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο χωριστεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται.. και συμβολίζεται : 2. Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποια κλάσματα λέγονται ισοδύναμα; Με ποιους τρόπους μπορούμε να φτιάξουμε ισοδύναμα κλάματα; Ποια διαδικασία ονομάζουμε απλοποίηση ενός κλάσματος; Πότε ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο; Ποια κλάσματα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Γνωρίζω μέχρι τώρα Στην πρόσθεση, οι προσθετέοι και το άθροισμα είναι ομοειδείς αριθμοί. Π.χ 8 κεράσια + 6 κεράσια = κεράσια

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. α. 3:8 β. 9:10 γ. 132:234 δ. 45:68. 2. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα:

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. α. 3:8 β. 9:10 γ. 132:234 δ. 45:68. 2. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κλάσματα Η έννοια του κλάσματος. Να γραφούν σαν κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων 0 δ.. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα δ.. Ένα σχολείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Στ ημοτικού ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Πέτρος Κλιάπης Όλγα Κασώτη Θωμάς Oικονόµου

Μαθηματικά Στ ημοτικού ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Πέτρος Κλιάπης Όλγα Κασώτη Θωμάς Oικονόµου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Πέτρος Κλιάπης Όλγα Κασώτη Θωμάς Oικονόµου Μαθηματικά Στ ημοτικού 2ος τόμος Κεφάλαια 16-27 Μαθηματικά Στ ημοτικού 2ος τόμος Κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών

Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών Ρητοί αριθμοί (ℚ ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν με ένα κλάσμα με ακέραιους όρους. Με

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΣΤΟΧΟΙ ΧΡΟΝΟΣ Αριθμοί και πράξειςακέραιοι 2, 3, 4, 5 2. να μπορούν να εκφράζουν αριθμούς μέχρι και το 1.000.000 με διάφορους τρόπους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Πρέπει να ξέρω ότι: Οτιδήποτε χωρίζεται σε ίσα μέρη είναι μια ακέραιη μονάδα.

Ασκήσεις. Πρέπει να ξέρω ότι: Οτιδήποτε χωρίζεται σε ίσα μέρη είναι μια ακέραιη μονάδα. Μάθημα 8 ο Ασκήσεις. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά : Η Κυριακή έκοψε ένα μήλο σε ίσα μέρη Το μήλο είναι η ακέραιη μονάδα. Χωρίστηκε σε τέσσερα () ίσα μέρη. Τι μέρος του μήλου αντιπροσωπεύει κάθε κομμάτι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Στ ημοτικού

Μαθηματικά Στ ημοτικού ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Πέτρος Κλιάπης Όλγα Κασώτη Θωμάς Oικονόµου Μαθηματικά Στ ημοτικού 2ος τόμος Κεφάλαια 19-35 Μαθηματικά Στ ημοτικού 2ος τόμος Κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη: ΣΤ Η γάτα και το ποντίκι 1. Ένα ποντίκι βρίσκεται πάνω σε έναν τοίχο ύψους 2 μέτρων και κάτω στο έδαφος, περιμένοντας το, βρίσκεται μια γάτα. Κατά τη διάρκεια της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 25 να διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3 και το 5

1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 25 να διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3 και το 5 Μαθηματικά Α' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 5 να διαιρείται ακριβώς με το, το και το 5 (β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΣΤΑ. Τι πρέπει να θυμάμαι:

ΠΟΣΟΣΤΑ. Τι πρέπει να θυμάμαι: ΠΟΣΟΣΤΑ Τι πρέπει να θυμάμαι: Ένα ποσοστό επί τοις εκατό συμβολίζεται με το σύμβολο (%) και είναι ένα δεκαδικό κλάσμα με παρονομαστή το. Θυμάμαι ότι δεκαδικά λέω τα κλάσματα που έχουν παρονομαστή το 10

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4%

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4% Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αγοράς ===================================================================================== Κώστας Γ. Σάλαρης - Μάνια Κ. Σάλαρη Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 2 Περιεχόμενα Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Σελίδα 22: Α Γυμνασίου,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Μαθηματικά Στ Δημοτικού Μαθηματικά Στ Δημοτικού Τετράδιο εργασιών β τεύχος 0-07_MATHIMATIKA_B_TEU_ST_DHM.indd // : PM ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣYΓΓPAΦEIΣ ΚΡΙΤΕΣ-ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 6 ο, Τμήμα Α Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) και Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Ε.Κ.Π. (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο) Κοινό όταν δύο άτομα έχουν ένα κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 21 26) Πηγή πληροφόρησης: e-selides 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - κεφ. 21 26 Συμπληρώνουμε σωστά τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 14 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2017 Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ 1 η ΑΣΚΗΣΗ Τρεις φίλοι, ο Γιώργος, ο Κώστας και ο Δημήτρης συνεννοήθηκαν να πηγαίνουν στο Δημοτικό στάδιο, για τρέξιμο. Λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Γ Δημοτικού 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 22. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Μαθαίνω... Ακέραιη μονάδα μπορεί να είναι ένα ολόκληρο πράγμα, μπορεί όμως να είναι και ένα ολόκληρο σύνολο. π.χ. 1 μήλο είναι ένα ολόκληρο πράγμα, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συμπέρασμα: μεγαλύτερος είναι ο δεκαδικός αριθμός γιατί, τα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές και μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει

Συμπέρασμα: μεγαλύτερος είναι ο δεκαδικός αριθμός γιατί, τα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές και μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει Κώστας Γ. Σάλαρης Στη μαθηματικ πόλη έχουν δημιουργηθεί εδώ και πολλά χρόνια, τρεις ομάδες νέων ανεξάρτητες μεταξύ τους. Τα μέλη κάθε ομάδας έχουν δικούς τους κανόνες επικοινωνίας και σκέψης. Έχουν δημιουργσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές.

ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ. ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟ ΕΥΡΩ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: Πρωτότυπες ασκήσεις και προβλήματα που θα βοηθήσουν τα παιδιά στις συναλλαγές. Αγοράζω Πληρώνω Παίρνω ρέστα Συνεργάστηκαν οι: Σπίνος Γεράσιμος, Υποδ/ντής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 20 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 20 Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ Οι ασκήσεις να λυθούν σε χαρτί Α4 η ΑΣΚΗΣΗ Τρεις φίλοι, ο Γιώργος, ο Κώστας και ο Δημήτρης συνεννοήθηκαν να πηγαίνουν στο Δημοτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα: - Εξισώσεις - Σχέσεις/μοτίβα 1 Εξισώσεις 1. Η Αντωνία διάβασε τις πρώτες 78 σελίδες ενός βιβλίου, που έχει συνολικά 130 σελίδες. Ποια μαθηματική πρόταση μπορεί να χρησιμοποιήσει η Αντωνία,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 5 η Ενότητα Κεφ. 33 38 Πηγή: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Κεφ. 33 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΤΟ,,.000. Κάνω τους

Διαβάστε περισσότερα

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4.1. Αποτελέσματα από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

TA ΚΛΑΣΜΑΤΑ ME ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ

TA ΚΛΑΣΜΑΤΑ ME ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ TA ΚΛΑΣΜΑΤΑ ME ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Τα κλάσµατα ανέκαθεν ταν ένα δύσκολο κοµµάτι κάθε µαθητ. Μπως όµως απλά έχουµε παρεξηγσει κάποια πράγµατα; Ας περιπλανηθούµε µαζί στον «παράξενο» κόσµο των κλασµάτων, µε τη βοθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Επαναληπτικό Φυλλάδιο Μαθηματικών Α Γυμνασίου uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui 3 η έκδοση 29/04/15

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 3 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 3 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ 3 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ. 15 20) Πηγή πληροφόρησης: e-selides Έμαθα ότι: Κεφάλαιο 15 «Θυμάμαι τους δεκαδικούς αριθμούς» Όταν θέλω να

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρε του έξι διαφορετικού τριψήφιου αριθμού που. Βρε όλου του διαφορετικού τριψήφιου αριθμού που. 2 11, Θυμόμαστε Η δυνατότητα αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1. Ο Τάκης και η Αριάδνη αγόρασαν ένα δώρο για τους γονείς τους, το οποίο κοστίζει 42. Πλήρωσαν μισά-μισά!

Πρόβλημα 1. Ο Τάκης και η Αριάδνη αγόρασαν ένα δώρο για τους γονείς τους, το οποίο κοστίζει 42. Πλήρωσαν μισά-μισά! Πρόβλημα 1 Ο Τάκης και η Αριάδνη αγόρασαν ένα δώρο για τους γονείς τους, το οποίο κοστίζει 42. Πλήρωσαν μισά-μισά! Ο Τάκης έδωσε τα Αριάδνη τα από το χαρτζιλίκι του και η από το δικό της. Ποιος από τους

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ης. Όνομα: Ημ/νία: 1. Βρίσκω το γινόμενο στους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς: 3 Χ 9 = 8 Χ 8 = 10 Χ 8 = 9 Χ 9 =

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ης. Όνομα: Ημ/νία: 1. Βρίσκω το γινόμενο στους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς: 3 Χ 9 = 8 Χ 8 = 10 Χ 8 = 9 Χ 9 = ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ης ΕΝΟΤΗΤΑΣ Όνομα: Ημ/νία: 1. Βρίσκω το γινόμενο στους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς: 3 Χ 9 = 8 Χ 8 = 10 Χ 8 = 9 Χ 9 = 3 Χ 5 = 6 Χ 7 = 11 Χ 9 = 8 Χ 5 = 6 Χ 5 = 7 Χ 8 = 6 Χ 11

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος Η Τζούλι και η μαμά της έχουν βγει για να αγοράσουν ένα τζιν για το σχολείο. Παρατηρούν έναν πάγκο με την εξής ταμπέλα πάνω: 40% έκπτωση των τιμών στις ετικέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου:

Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Μια πρακτική συμβουλή για τη λύση του σταυρόλεξου: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Κανόνας, για να λύσεις αυτό το μαθηματικό σταυρόλεξο. Όλα τα κενά τετράγωνα με ροζ χρώμα πρέπει συμπληρωθούν είτε με μονοψήφιους αριθμούς είτε με ένα από τα μαθηματικά σύμβολα: +, -, >,

Διαβάστε περισσότερα