Atmosfera. Glava Nastanak planetarne atmosfere Nastanak Sunčevog sistema

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Atmosfera. Glava Nastanak planetarne atmosfere Nastanak Sunčevog sistema"

Transcript

1 Glava 1 Atmosfera 1.1 Nastanak planetarne atmosfere Atmosfera 1 Zemlje je relativno tanak sferni gasoviti omotač koji gravitacija drži uz Zemlju. U postupku analize Zemljine atmosfere i ljudskog uticaja na nju korisno je prvo shvatiti kako je Zemlja uopšte dobila atmosferu i kako se ona menjala sa vremenom Nastanak Sunčevog sistema Najpoznatija teorija o nastanku Sunčevog sistema je poznata pod nazivom Kant-Laplasova hipoteza osa rotacije magline. Ovu hipotezu je prvi predložio filozof Emanuel Svedenberg godine a godine je Kant detaljnije razvio. Sličan model je godine predložio i Pjer-Simon Laplas davši mu čršću matematičku osnovu. Osnovna ideja ove hipoteze je da je Sunčev sistem nastao pre oko 4,6 milijardi godina gravitacionim kolapsom oblaka hladnog med uzvezdanog gasa i prašine (magline) proto-planetarni disk proto-sunce koji je vršio sporo rotaciono kretanje. Inicijalni oblakjebioprečnika nekoliko svetlosnih godina a Slika 1.1: Kolaps oblaka pretpostavlja se da je udarni talas koji je došao sa obližnje supernove u oblaku kreirao oblasti koje gasa i prašine u zvezdu i protoplanetarni disk. su bile malo gušće od ostalih i koje su inicirale njegov gravitacioni kolaps i kolaps odgovarajućih oblasti od kojih su kasnije 1 Naziv atmosfera je kovanica dve grče reči: ατµoσ (para) i σφαιρα (lopta). 5

2 6 GLAVA 1. ATMOSFERA nastala nebeska tela. 2 Maglina predstavlja izolovan sistem u kome stoga važe svi poznati zakoni održanja. Izmed u ostalog se održava i moment impulsa, tako da, što je poluprečnik oblaka manji, njegova rotacija se odvija većom brzinom 3 (kao što se brzina rotiranja klizača na ledu povećava kada priljubi ruke uz telo). Gravitaciono privlačenje, od strane cetralnog masivnijeg dela magline, je jednako zastupljeno po svim pravcima, tj. izotropno. Obzirom da svi delovi magline rotiraju oko iste ose rotacije, kao posledica njihovog ubrzanog kretanja, na njih deluje centrifugalna sila zadata relacijom F = m v2 r = mω2 r, (1.1) gde je m masa posmatranog dela magline koji se nalazi na rastojanju r od ose rotacije. Sa v je označena njegova periferijska brzina dok je ω ugaona brzina koja je ista za sve deliće magline. Kako je r manje za deliće koji su bliže osi rotacije, centrifugalna sila u potpunosti uravnotežava gravitaciju samo za deliće oblaka koji se nalaze u ekvatorijalnoj ravni (pod pravim uglom u odnosu na osu rotacije). Iznad i ispod te ravni ova sila je manja inemože da spreči materiju da se sažima ka ekvatorijalnoj ravni tako da oblak rotirajuće materije poprima oblik diska (slika 1.1). Opisanim postpupkom je u centru magline nastalo zgušnjenje koje se naziva protosunce. Pri daljem kolapsu materije protosunca ova oblast je počela još brže da rotira (opet kao posledica zakona održanja momenta impulsa). Tokom kolapsa je gravitaciona potencijalna energija čestica gasa prelazila u njihovu kinetičku energiju što je izazvalo brže kretanje delića oblaka. Učestaliji sudari čestica oblaka su dovela do povećanja njegove temperature. To je naravno bilo bilo najizraženije u centru oblaka jer se tamo, po smislu ovog procesa, nalazi najveći deo mase oblaka. Planete su formirane istim mehanizmom od protplanetarnih diskova koji su sadržali prašinu i gasove. Više temperature na mestu gde su se nalazili unutrašnji protoplanetarni diskovi su dovele do toga da su oni ostali bez lako isparljivih supstanci (gasova i leda) i dovele su do nastanka planeta Zemljinog/stenovitog, odnosno terestričnog tipa. Sa druge strane, niže 2 Nastanak oblasti koje su bile gušće od drugih je pri tome od ključne važnosti. Ukoliko bi maglina bila potpuno homogena njeno zgušnjavanje bi se takod e vršilo ravnomerno pa u tom slučaju ne bi bio moguć nastanak Sunca i planeta. 3 Moment impulsa je jednak proizvodu momenta inercije I iugaonebrzineω, takodaje zakon održanja momenta impulsa iskazan relacijom Iω = const. Iz nje sledi da, pri smanjenju momenta inercije koji je odred en raspodelom masa oko ose rotacije (proporcionalan kvadratu njihove udaljenosti od ose rotacije), raste ugaona brzina.

3 1.1. NASTANAK PLANETARNE ATMOSFERE 7 temeperature na mestima gde su se nalazili spoljašnji protoplanetarni diskovi su dovele do formiranja planeta Jovijanskog tipa (Jupiterovog/gasovitog). Unutrašnje planete su formirane u polu tečnom stanju, i usled toga su sadržale malu količinu vode i gasova Veliko bombardovanje Period od pre 3,8 do 4,6 milijardi godina za planete Zemljinog tipa (Merkur, Venera, Zemlja i Mars) je poznat kao period njihovog velikog bombardovanja od strane preostalog čvrstog materijala iz protoplanetarnog diska. Pretpostavlja se da je u tom periodu, usled sudara sa protoplanetom veličine Marsa, sa Zemlje izbačen i materijal od koga je nastao Mesec. Ovaj period bombardovanja terestričnih planeta je na njihovu atmosferu imao i pozitivne i negativne efekte. U toku bombardovanja, većina vode i mnogi drugi isparljivi elementi, važni za razvoj života (ugljenik, azot, fosfor,...) su isparili i otišli sa terestričnih protoplaneta. Isto se desilo i sa prvobitnom atmosferom Zemlje koja je u tom periodu bilo sastavljena u najvećom meri od vodonika i helijuma. Med utim, u isto vreme, visoke temperature izazvane tim bombardovanjem su dovele do stvaranja nove makar i nestabilne, atmosfere terestričnih planeta. Kad je prošao period velikog bombardovanja količina vode, azota, ugljenika i ostalih elemenata, se povećala usled sudara sa kometama i asteroidima. Neke komete i asteoridi su takod e posedovaleiorganskimaterijalkojijebio važan za kasnije formiranje života na Zemlji. Više od tona organskog materijala godišnje je u tom periodu dospevalo na Zemlju. Kao rezultat bombardovanja i toga što su vulkani izbacivali gasove, rana atmosfera terestričnih planeta je sadržala velike količine ugljen dioksida, vode (bilo u formi okeana, leda na površini ili vodene pare u atmosferi) i azota. Iz tog razloga je, u tom razdoblju evolucije, atmosfera Zemlje imala pritisak oko 60 puta veći od današnjeg, i u osnovi se sastojala od CO 2. U to vreme je luminoznost Sunca iznosila oko 70% sadašnje luminoznosti. Luminoznost zvezde je fizička veličina koja predstavlja količinu elektromagnetne energije koje ona izrači u jedinici vremena. SI jedinica je prema tome vat a današnja luminoznost Sunca iznosi L =3, W. To znači da je tada na planete dolazila manja količina energije zračenja. Svejedno, temperatura na njihovim površinama je bila veća nego danas usled izraženijeg efekta staklene bašte 4 izazvanog velikom količinom CO 2 ivodenepareu 4 Efekat staklene bašte je pojava dodatnog zadržavanja toplote u atmosferi slični kao što se dešava u staklenim baštama. Zbog njegove važnosti ovom efektu će kasnije biti posvećena veća pažnja.

4 8 GLAVA 1. ATMOSFERA njihovoj atmosferi Modifikacija primordijalnih atmosfera terestričnih planeta Da vidimo sada kako su primordijalne (prvobitne) atmosfere terestričnih planeta postale onakve kakve jesu danas. Postoje tri važna fizička procesa koja su se, u manjoj ili većoj meri, odigrala na svim terestričnim planetama i jedan važan biološki proces koji se, koliko mi znamo, odigrao samo na Zemlji. Fizički procesi su: Reakcija u kojoj CO 2 +H 2 O+Mg +2, Ca +2 daje ugljenične (krečnjačke) sedimentne stene, Disocijacija H 2 O pod dejstvom ultraljubičastog zračenja. H 2 O+UV foton H 2,H,OH,iO.H 2 i H napuštaju atmosferu, dok O i OH reaguju sa materijalom na površini planete i stvaraju okside. Odlazak delova atmosfere u kosmos Biološki proces je fotosinteza: CO 2 +sunčeva svetlost O 2 + organska jedinjenja. Venera Primordijalnu atmosferu Venere su činili: -CO 2 90P a (gas), -H 2 O 450P a (tečnost i gas) i -N 2 3P a (gas). 5 Proračuni pokazuju da je Venera verovatno imala okeane u ovom ranom stadijumu svog razvoja za razliku od današnje situacije kada je njena površina veoma suva i topla. Razlog je što je tada, kao što je napomenuto, Sunce bilo manje luminozno pa je manje energije dolazilo na Veneru. Drugo, rana Venera je verovatno imala relativno debeo sloj oblaka punih vode. Oni su, sa jedne strane, zadržavali infracrveno zračenje sa Venere i time zagrevali površinu planete ali su takod e i reflektovali kratkotalasno zračenje sa Sunca nazad i time stvarali toplotni balans na njenoj površini. Posledica toga je relativno niska temperatura rane Venere (oko C) koja je omogućila 5 U ovim izrazima je sa Pa označena vrednost standardnog atmosferskog pritiska na Zemlji P a = Pa. Treba obratiti na različito pisanje jednice za pritisak Paskal=Pa i (atmosferskog) pritiska Pa kao fizičke veličine. Fizičke veličine se naime označavaju iskošenim slovima (kurzivom) a jedinice se obavezno pišu uspravnim slovima.

5 1.1. NASTANAK PLANETARNE ATMOSFERE 9 formiranje okeana i veoma vlažne atmosfere. Na taj način je na Veneri dominirao vlažni efekat staklene bašte jer su temperaturu odred ivali oblaci vodene pare. Danas na Veneri nema vode, nema ni oblaka vodene pare pa ni negativne povratne sprege koju oni izazivaju. Kako se CO 2 iz atmosfere rastvarao u vodi kondenzovanoj u oblacima, padavine su smanjivale njegovu količinu u atmosferi i dovele do formiranja sedimentnih krečnjačkih stena u okeanima. Proračuni pokazuju da se, usled toga, pritisak CO 2 na Veneri smanjio od 90 do 1P a u tom periodu (prvih milijardu godina). Ti uslovi med utim nisu bili stabilni jer je Venera gubila veoma brzo vodu iz atmosfere usled disocijacije izazvane ultraljubičastim zračenjem. Kada je izgubila vodu, okeani su se isušili, a CO 2 sadržan u ugljeničnim sedimentnim stenama se reciklirao u atmosferi kao posledica vulkanskih aktivnosti. Na taj način je pritisak CO 2 u atmosferi vraćen na početnu vrednost. Kako je CO 2 veoma moćan gas staklene bašte, temperatura površine Venere je narasla do sadašnjih 750 K Mars Primordijalna atmosfera Marsa se sastojala od: -CO 2 10P a (gas), -H 2 O 50P a (tečnost i gas), i -N 2 0, 3P a (gas). Rezultati posmatranja Marsa letelicom Viking, sedamdesetih godina prošlog veka, kao i savremena istraživanja (uključujući podatke koje su poslala dva rovera) ukazuju na to da je Mars posedovao tečnu vodu u formi jezera i reka u veoma ranim stadijumima razvoja. To ukazuje da je njegova atmosfera bila mnogo gušća od današnje pa je i temeperatura bila mnogo viša od njene današnje srednje vrednosti -60 o C. Količina CO 2 sugeriše da je njegov atmosferski pritisak bio oko 10 puta veći od P a. Ta vrednost je dovolja da, čak i na rastojanju na kome je Mars i sa malom luminoznošću Sunca, izazove značajan efekat staklene bašte koji je temeperaturu Marsa držao znatno iznad temperature ključanja vode. Postojanje tečne vode na površini Marsa, uključujući mogućnost postojanja velikog okeana na njegovoj severnoj hemisferi ukazuje na postojanje aktivnog hidrološkog ciklusa. Današnja geološka istraživanja površine Marsa uz pomoć rovera pokazuju da je voda na Marsu bila jako kisela a u takvim uslovima krečnjačke stene ne mogu da se formiraju. I zaista, krečnjačke stene do sada nisu pronad ene ni na jednom delu površine Marsa. Sa druge strane, usled slabe gravitacije i ultraljubičaste disocijacije, Mars je izgubio veći deo svoje primordijalne atmosfere. Veći deo vode na Marsu je izgubljen u prvih nekoliko milijardi godina. Kako je

6 10 GLAVA 1. ATMOSFERA Mars mala planeta, njena unutrašnjost se hladila brže od Venere i Zemlje, usled čega su vulkanske aktivnosti na njemu mnogo ranije prestale čime je prestao i značajan izvor gasova u atmosferi. Svi ti procesi su doveli do toga da danas Mars ima suvu, hladnu i veoma tanku atmosferu. Zemlja Atmosfera mlade Zemlje je bila sastavljena od: -CO 2 60P a (gas), -H 2 O 300P a (tečnost i gas) i -N 2 2P a (gas). Zemlja je u početku imala debelu ugljen-dioksidnu atmosferu (pritiska oko 60P a ) a veliki deo njene površine je bio prekriven okeanima. Zemlja je med utim na većoj udaljenosti od Sunca nego što je to Venera pa se, usled tadašnje manje luminoznosti Sunca, samo mala količina vode nalazila u obliku vodene pare. Tako je i danas mnogo veći deo vode na Zemlji u tečnom i čvrstom agregatnom stanju. Zbog velike količine CO 2 u atmosferi, Zemlja je bila topla. Kiše su iz atmosfere donosile CO 2 na površinu Zemlje usled čega su se formirale krečnjačke sedimentne stene a nivo CO 2 u atmosferi se u velikoj meri smanjio. Život se na Zemlji razvio veoma rano, prvi dokazi potiču od pre 3,8 milijardi godina, što odgovara kraju velikog bombardovanja. Sa nastankom prvih fotosintetičkih bakterija, cijanobakterija, pre oko 3,2 milijarde godina, počinje da se više CO 2 konvertuje u biomasu i da se u atmosferu oslobad a kiseonik. Time je efekat staklene bašte na Zemlji smanjen u velikoj meri. Istovremeno je med utim luminoznost Sunca porasla tako da je temperatura površine Zemlje ostala stabilna. Količina kiseonika je, aktivnošću cijanobakterija rasla a današnji nivo je dostigla pre oko 2,1 milijardu godina. Atmosfera bogata kiseonikom je dovela do stvaranja stratosferskog ozonskog sloja koji je zaštitio niže slojeve atmosfere od UV zračenja. Time je minimizirana UV disocijacija vode i Zemlja je bila sposobna da zadrži većinu vode koju je posedovala. Isparavanje atmosfere u kosmos je u slučaju Zemlje uvek bilo mnogo manje značajno nego za Mars s obzirom na to da je na površini Zemlje uticaj gravitacije izraženiji. 6 6 U formalnom smislu se ova razlika iskazuje različitim vrednostima tzv. druge kosmičke brzine, tj. brzine koju treba da ima telo da bi napustilo gravitaciono polje datog nebeskog tela.

7 1.1. NASTANAK PLANETARNE ATMOSFERE Evolucija klime na Zemlji i nastanak ledenih doba Kaošto je poznato Isak Njutn je uveo zakone kretanja i gravitacije primenom kojihsumogledaseodredeorbitepokojimaseplanetekreću u gravitacionom polju Sunca. Takod e je, na osnovu ovih zakona moguće odrediti i uticaj drugih planeta i satelita na orbitu posmatrane planete. Polo v zaji oblik orbite Zemlje, kao i način njenog kretanja oko Sunca odred uju i klimatske uslove na Zemlji a oni su se sa vremenom menjali. Obično se smatra da je Milutin Milanković otkrio cikluse u kojima su se te promene dešavale alitonijetačno. On nije otkrio ni trajanja tih ciklusa već ih je na pravi način superponirao jedne na druge i povezao sa variranjem klime na Zemlji koje je otkriveno u okviru paleoklimatologije i, do Milanovića, nije bilo na pravi način objašnjeno. 7 Ispostavilo se naime da su u poslednjih pola miliona godina na Zemlji vladala duga ledena doba (glacijali) praćena kratkim toplijim periodima (interglacijalima). Interglacijali su se dogad ali približno svakih 100,000 godina. Taj period se naziva Milankovićev ciklus. Kao što je već rečeno, postoji dovoljno dokaza da su tečna voda i umerena temperatura postojale na Zemlji odavno. Tako se tragovi postojanja vode nalaze u sedimentnim stenama starim oko 3,8 milijardi godina. Taj podatak je u suprotnosti sa astrofizičkim modelima evolucije Sunca prema kojima je Sunce tada imalo luminoznost 75% manju od današnje jer je tako niska luminoznost morala da dovede do potpunog zaled ivanja vode ekscentricitet godina godina precesija godina godina promena nagiba ose o o 21,5-24,5 sada je 23,5 o Slika 1.2: Milankovićevi ciklusi. na površini Zemlje. To je poznato pod nazivom paradoks slabog mladog Sunca. Kao što je već izneto, rešenje ovog paradoksa verovatno leži u efektu staklene bašte izazvanog visokom koncentracijom CO 2 i vodene pare u atmosferi rane Zemlje. Na Zemlji ne postoje tragovi globalne glacijacije/ledenog doba do pre 7 Klimatskim promenama tokom čitave Zemljine prošlosti se bavi paleoklimatolija. U okviru paleoklimatologije se koriste podaci koji se nalaze u ledenim pokrivačima polova, u godovima, sedimentima i stenama a nalazi tog tipa su upućivali na odred enu periodičnost.

8 12 GLAVA 1. ATMOSFERA oko 2,5 milijardi godina dok je upravo veoma važna karakteristika klime na Zemlji u toku poslednjih milijardi godina ponavljanje globalnih ledenih doba koja karakteriše globalno zaled ivanje. Ukoliko se na Zemlju primeni princip ravnoteže energije koja na nju dolazi i one koja ona emituje ispostavlja se da klima ima dva ravnotežna stanja: jedno odgovara toploj i vlažnoj klimi u kakvoj sada uživamo i drugo koje odgovara hladnoj klimi karakterističnoj za ledena doba. Klima na Zemlji je, prema tome, prelazila iz jednog u drugo ravnotežno stanje. Početak ledenih doba je verovatno izazvan kombinacijom uzroka sa Zemlje i van nje. Spoljnji uzroci su u vezi sa količinom i distribucijom solarnog zračenja koje dolazi na Zemlju. Ciklične promene u upadnom solarnom zračenju su izazvane: (i) promenama u obliku i ekscentricitetu orbite Zemlje (period promene je oko godina), (ii) promenama u nagibu Zemljine ose rotacije u odnosu na ravan orbite/ekliptike (period oko godina) i (iii) precesijom sada precesija (19, 22, 24) nagib ose Zemlje (41) ekscentricitet (95, ) solarno forsiranje periodi glacijacije Slika 1.3: Milankovićevi ciklusi u poslednjih godina. Sve brojke na graficima predstavljaju hiljade godina. perihela (najbliža tačka na putanji oko Sunca) orbite Zemlje (period oko godina). Prvi efekat, promena ekscentriciteta orbite (otkrio ga je J. Kepler godine) se dešava na pseudocikličan način, sa periodom od oko godina. Veći ekscentricitet rezultira manjom količinom solarnog zračenja koje dolazi na Zemlju. Ova promena iznosi samo oko 0,2% tog zračenja. Kada je ekscentricitet najizraženiji seonska razlika primljene toplote je 20% a sada iznosi oko 7%. Ove varijacije se odvijaju na skali od oko godina. Promena nagiba Zemljine ose rotacije u odnosu na ravan orbite (oktrio je J. Pilgrim, god.), u rasponu od 21, 5 o do 24, 5 o,seodvijasaperiodom od godina. Kada je nagib veci, razlika godišnjih doba na višim geografskim širinama je izraženija iako nema promene u ukupnom zračenju koje Zemlja prima sa Sunca. Promena nagiba ima mali uticaj na ekvatoru, a veliki na polovima. Porastom nagiba za 1 o ukupna primljena energija hemisfere leti se poveća za 1%.

9 1.2. STRUKTURA ZEMLJINE ATMOSFERE 13 Precesiju ose rotacije Zemlje je otkrio još Hiparh, 130. godine pre nove ere. Ona se odvija sa periodom od oko do godina. Precesija utiče na orijentaciju ose a ne na njen nagib. Tako će kroz godina Zemljina osa, koja je sada usmerena ka Severnjači (Polaris) biti usmerena ka zvezdi Vega u sazvežd u Lira. Posledica složenog kretanja Zemlje je da se ravnodnevnice ne dogadjaju uvek istog datuma. 8 Svi efekti zajedno ukazuju na to da se osunčanost površine Zemlje menjala periodično što je dovodilo do toga da su leta bila malo hladnija a zime malo toplije (za oko stepen-dva). Usled toga zimski snegovi leti nisu stizali da se istope a tokom zime je bilo više padavina. Kumulativni efeat je da su se snegovi sa planina polako spuštali u doline i vremenom ih potpuno pokrili. 1.2 Struktura Zemljine atmosfere Gustina atmosfera Zemlje opada rapidno sa visinom, merenja pokazuju da se 90 % mase nalazi u prvih 20 km, a 99.9 % u prvih 50 km. Debljina atmosfere (od površine Zemlje do med uplanetarnog prostora) iznosi oko 1000 km. Pri tome treba imati u vidu da je prelazak iz atmosfere u kosmički prostor blag i neprekidan. U pored enju sa poluprečnikom Zemlje (oko 6400 km), 99.9 % atmosfere se nalazi u prstenu debljine 0.8 % poluprečnika Zemlje. Posledica toga je da je atmosfera u pogledu skoro svih karakteristika veoma anizotropna. Na primer temperatura opada sa visinom stopom 6 K/km (u prvih 15 km), dok je najjači horizontalni gradijent temperature (javlja se pri toplim ili Slika 1.4: Sav vazduh na Zemlji prikazan kao lopta poluprečnika oko 1000 km (pri standardnim uslovima). 8 Kada je sastavljao svoj katalog zvezda Hiparh je primetio nešto vrlo neobično. Zvezde se nisu nalazile na onom mestu na nebu na kom su ih ranije videli i locirali Haldejci. Sve zvezde su bile premeštene u stranu, kao da se čitavo nebo pomerilo iz svog nekadašnjeg položaja. Zapravo položaj je promenila Zemlja, malo se nakrivila u stranu. Hiparh je zaključio da je do ove promene položaja došlo usled kretanja tačaka presecanja ekliptike i nebeskog ekvatora. Ova pojava se dešava zbog toga što Zemlja nema oblik pravilne kugle. Ona je na polovima spljoštena tako da je pojas ekvatora malo ispupčen. Pošto je Zemlja nagnuta u odnosu na ravan ekliptike i u odnosu na ravan Mesečeve putanje Sunce i Mesec nejednako privlače deo ekvatorskog ispupčenja koji je okrenut ka njima i deo ispupčenja koji se nalazi sa druge strane. Zbog ovoga Zemljina osa ne ostaje nepomična već seisama kreće projektujući po nebeskoj sferi kružnicu.

10 14 GLAVA 1. ATMOSFERA hladnim frontovima) oko 0,05 K/km. Daleko od površine Zemlje, izoplete 9 su skoro horizontalne i atmosfera se sastoji od horizontalnih slojeva. U suštini atmosfera se deli na slojeve koje karakteriše odgovarajuća temperatura (ili isti trend njene promene). Svaki sloj nosi naziv sfera sa odgovarajućim predmetkom ispred a granica izmed u slojeva se naziva pauza sa predmetkom koji potiče od donjeg sloja atmosfere Slojevi atmosfere Slojevi atmosfere su: - troposfera (0-10 km). Ovo je najniži sloj atmosfere i sadrži oko 80% njene mase. Skoro sve vremenske (meteorološke) promene se dešavaju u atmosferi. U troposferi se nalaze oblaci a temperatura joj skoro linearno pada tako da na njenom vrhu iznosi oko 50 o C. - Stratosfera (10-50 km). Iznad tropopauze temperatura počinje da rastepoovoinavisiniodoko50km temperatura je oko +10 o C. U gornjem delu stratosfere se nalazi ozon - važan molekul za opstanak živog sveta na Zemlji jer filtrira štetni deo UV zračenja. kosmos egzosfera stratosfera troposfera 1000 km 500 km termosfera 200 km jonosfera 100 km mezosfera 80 km 50 km 10 km meðunarodna svemirska stanica aurora ozon oblaci Slika 1.5: Slojevi atmosfere. - Mezosfera (50-85 km). Iznad stratopauze temperatura pada naglo do oko 80 o C. To je najhladnija oblast u atmosferi. - Jonosfera ( km). To je intenzivno jonizovana oblast atmosfere u kojoj temperatura ponovo raste naglo. Solarno UV zračenje jonizuje molekule atmosfere hν + AB AB + + e. Jonosfera reflektuje radio talase a ona je takod e oblast u kojoj se stvara aurora/polarna svetlost na višim geografskim širinama, i to aurora borealis (na severnoj polulopti) i aurora australis (na južnoj polulopti). Intenzivno vidljivo i UV zračenje nastaje usled elektronskih (ili protonskih) sudara sa 9 Linije ili površi na kojima neka fizička veličina ima istu vrednost. Npr. izobare (isti pritisak) ili izoterme (ista temperatura).

11 1.2. STRUKTURA ZEMLJINE ATMOSFERE 15 molekulima e (energije E i )+AB AB + e (energije E f ) gde AB može da bude O 2 ili N 2. Energija E = E i E f koju je izgubio elektron, pobud uje molekul AB u stanje AB. Kada se on vraća u osnovno stanje oslobad a se viška energije emitujući foton frekvencije ν,čija je energija hν = E. Često se jonosfera smatra delom narednog sloja koji se naziva termosfera. - Termosfera ( km). Temperatura raste rapidno sa visinom usled zagrevanja od strane Sunca ali i dosta varira u zavisnosti od doba dana, stepena solarne aktivnosti i geografske širine. Varijacije temperature su izmed u 400 i 2000 o C. Minimum temperature je kada Sunce izlazi a maksimum oko Pritisak je med utim veoma nizak (10 11 P a na visini od oko 500 km), i veoma slabo provodi toplotu jer je retka. Naziva se još i gornja atmosfera. - Egzosfera (500 do km). Vodonik i helijum su glavni sastojci a njihovi atomi i molekuli su retki i lako mogu da odu u komsmos. - Magnetosfera (iznad km). U ovoj oblasti Zemljino magnetno polje interaguje sa solarnim vetrom i zarobljava naelektrisane čestice (elektrone i pozitrone) u takozvanom Van Alenovom pojasu. Magnetosfera je otkrivena godine kada je satelit Explorer 1 izmerio magnetno polje na tim visinama Sastav atmosfere U troposferi, stratosferi i mezosferi, mehanizmi mešanja održavaju odnos N 2 /O 2 u iznosu 4:1. Zbog tog konstantnog odnosa ova tri sloja se nazivaju jednim imenom homosfera. Na visini iznad 100 km (mezopauza) odnos N 2 /O 2 se menja i postaje funkcija visine. Iz tog razloga se slojevi iznad ovoga nazivaju heterosfera. Atmosfera sadrži i odred enu količinu gasova u tragovima čija koncentracija zavisi od visine. Najvažniji gasovi tog tipa su: - ozon - uglavnom se nalazi u stratosferi (koja se zbog toga ponekad zove ozonosfera) na visini od km - voda - promenljive koncentracije unutar homosfere, - ugljen dioksid - važan gas staklene bašte koji se uglavnom nalazi u gornjem sloju tropsfere (čini 0,03% atmosfere). Usuštini se može reći da se atmosfera sastoji od: - gasova koji su postojani i nalaze se u odred enimmed usobnim srazmerama

12 16 GLAVA 1. ATMOSFERA -aerosola-to su črste i tečne čestice nastale u prirodnim i industrijskim procesima (čestice prašine, dima, morske soli,...) čiji udeo u atmosferi je promenljiv -vodene pare čija koncentracija je takod e promenljiva. Stoga, kad se govori o sastavu atmosfere misli se na suv vazduh bez aerosola i vodene pare. Osnovne komponente suvog vazduha u jedinici zapremine su: 78,1% azota, 20,9% kiseonika, 0,9% argona, 0,03% ugljen dioksida, 0,002% neona, 0,0005% helijuma, 0,0001% metana, manje od toga ima kriptona, vodonika, azotnih oksida, ozona i ksenona Atmosfera kao idealni gas Ukoliko se pretpostavi da je atmosfera idealni gas za nju važi jednačina stanja PV = n m RT, (1.2) gde je n m broj molova gasa. Broj molova se može izraziti preko količnika mase gasa m i njegove molarne mase M. Ovaj izraz se preko gustine gasa može pisati kao P = ρ RT M. (1.3) Kako je atmosfera u stvari smeša gasova, za svaki od njih će važiti relacija analogna relaciji (1.2). Prema Daltonovom zakonu parcijalnih pritisaka, 10 ukupni pritisak u atmosferi će biti jednak P = P 1 + P 2 + = RT ρ 1 M 1 + RT ρ 2 M 2 +. (1.4) Kako se svi gasovi koji čine atmosferu nalaze u istom sudu, tj. u istoj zapremini, zbir parcijalnih gustina će biti jednak ukupnoj gustini atmosfere, tj. ρ 1 + ρ 2 + = ρ, a ukupni pritisak je P = P 1 + P 2 + = RT ρ i ρ i ρm i = RT ρ i x i M i. (1.5) Sa x i je u ovom izrazu označena takozvana specifična masa/maseni udeo koji predstavlja odnos mase datog gasa i ukupne mase atmosfere, tj. x i = ρ mi i ρ = V m V = m i m. 10 Pritisak smeše gasova koji se nalaze u nekom sudu je jednak zbiru njihovih parcijalnih pritisaka - tj. pritisaka koje bi stvarao svaki gas za sebe kada bi bio sam u sudu.

13 1.2. STRUKTURA ZEMLJINE ATMOSFERE 17 Ukoliko se preko izraza 1 = x i, (1.6) M sr M i i uvede prosečna molarna masa atmosfere, jednačina stanja je P = ρrt. (1.7) M sr Promena pritiska sa visinom Amosferski pritisak je posledica težine gasova koji čine atmosferu odnosno (gravitacione) sile kojom ih Zemlja privlači. Njihova gustina z ( P+ P) S med utim opada sa visinom što izaziva i analognu S promenu pritiska. Neka je sa ρ(z) označena z+ z gustina atmosfere na visini z iznad niova mora. z Nadalje će biti smatrano da se ubrzanje Zemljine mg teže ne menja rapidno sa visinom. 11 Ukoliko PS se posmatra sloj atmosfere debljine z i površine poprečnog preseka S (slika 1.6) pritisak atmosfere će na njegovoj donjoj strani biti P a na gornjoj P + P. Ukoliko se pretpostavi da nema vertikalnog kretanja delova vazduha onda će posmatrani deo vazduha biti u statičkoj Slika 1.6: Na neki sloj vazduha deluju po vertikali sile ravnoteži odakle sledi da su sile koje deluju na atmosferskog pritiska ali i sila Zemljine teže. njega, po vertikali, u potpunoj ravnoteži PS = mg +(P + P )S. Ukoliko se masa dela vazduha u zapremini V = S z izrazi preko gustine, prethodni izraz postaje PS = ρgs z +(P + P )S, (1.8) što nakon sred ivanja daje P = ρg z, (1.9) gde znak minus izražava činjenicu da se pritisak vazduha smanjuje sa visinom. Ukoliko atmosferu smatramo idealnim gasom svuda iste temperature T, prethodna relacija, na osnovu (1.7) dobija oblik P = P RT M srρg z. (1.10) 11 Ubrzanje Zemljine teže se ipak menja sa visinom ali je ova promena mnogo sporija nego što je promena gustine atmosfere pa se zato može zanemariti.

14 18 GLAVA 1. ATMOSFERA Ova relacija važi i za diferencijalno male promene visine dz u analognom obliku dp = P RT M srρgdz, (1.11) iz koga se standardnim metodama više matematike može pronaći zavisnost pritiska od visine. 12 Dobija se P = P 0 e Msrg RT z. (1.12) Prilikom dobijanja prethodne formule su pretpostavljene dve stvari koje nisu P =0 sasvim tačne. Jedna je da je se temperatura atmosfere ne menja sa visinom a druga da je i M sr konstantno. Iako ni jedno ni drugo nije potpuno tačno zaključci koji slede na osnovu dobijenih formula ne odstupaju mnogo od izmerenih rezultata. h P a Dobijena jednačina (1.12) pokazuje kako se menja pritisak atmosfere sa visinom. Faktor P Slika 1.7: Toričelijevo merenje atmosferskog pritiska. 0 je pri tome pritisak na nivou mora. Vrednost ovog pritiska je prvi izmerio Toričeli godine izjednačavajući ga sa hidrostatičkim pritiskom živinog stuba u cevi. Dobio je da on iznosi P 0 = P a = P a,što približno odovara sili od 10 5 N koja deluje iznad svakog kvadratnog metra Zemljine površine. Sva živa bića koja žive na površini Zemlje su evolucijom dizajnirana tako da ovaj pritisak, iako relativno veliki, ne osećaju. Iz tog razloga se ovom rezultatu nije mnogo verovalo sve dok godine Oto von Gerike, gradonačelnik Magdeburga nije demonstrirao njegovu veličinu u čuvenom ogledu sa poluoptama (prečnik polulopti je bio oko 40 cm). Iz ovih polulopti je vakuum pumpom izvukao vazduh, tako da je na njih nakon toga delovao samo atmosferski pritisak priljubljujući ih jedne uz druge. Nakon toga ni uz pomoć konja nije bilo moguće razdvojiti polulopte. 12 Potrebno je prvo razdvojiti promenljive i nakon toga izvršiti integraciju P P 0 dp P = Msrg RT z 0 dz, odakle se dobija ln P P 0 = Msrg RT z.

15 1.2. STRUKTURA ZEMLJINE ATMOSFERE 19 Ako se malo pažljivije pogleda izraz (1.12) lako se uočava da RT veličina gm sr = H ima dimenzije dužine. Ovako uvedena veličina H se naziva visinska skala i ona je karakteristika date atmosfere jer zavisi od njene temperature, sastava i vrednosti ubrzanja teže. 13 Da bi se uočio značaj veličine H zgodno je napraviti procenu njene vrednosti. Kako se naša atmosfera sastoji u najvećom meri od azota (oko 80%) i kiseonika (oko 20%) čije Slika 1.8: Ogled Oto fon Gerikea izveden u Magdeburgu. su molarne mase 28 i 32 g/mol respektivno, specifične mase su im 0,755 i 0,231. Na osnovu toga je srednja molarna masa čestica koje čine vazduh 28,96 g/mol. Kako je prosečna temeratura atmosfere u troposferi (u kojoj se nalazi najveći deo atmosfere) 288 K za visinsku skalu se dobija H = 8, 31 J/mol K 288K 9, 81 m/s 2 28, = 8400 m = 8, 4km, kg/mol Planeta Glavni M sr [g/mol] g (N/m 2 ) T (K) H(km) sastojci Zemlja N 2,O , ,4 Mars CO , ,6 Venera CO , ,9 Jupiter H , ,3 Tabela 1.1: Karakteristike atmosfere raznih planeta. što otprilike predstavlja visinu Mont Everesta. Na osnovu formule (1.12) koja može da se piše u obliku P = P 0 e z H se vidi da je H visina na kojoj atmosferski pritisak opadne e puta odnosno na oko 2/3 početne visine. 14 To znači da se oko 2/3 mase atmosfere nalazi na visini do visine Mont Everesta. 13 Iako je izraz (1.12) izveden na primeru Zemljine atmosfere on, u istom obliku, važi i za pritisak atmosfere bilo kog nebeskog tela kod koga u dovoljnoj meri važe pretpostavke koje su uvedene prikom izvod enja izraza. 14 Podsetimo se da je e =2, 718, odnosno Neperov broj koji predstavlja i osnovu prirodnih logaritama.

16 20 GLAVA 1. ATMOSFERA Potrebno je primetiti i direktnu zavisnost visinske skale od temperature atmosfere. To znači da, kada je vreme hladno, visinska skala je manja, tj. pritisak opada brže sa visinom. Usled toga su izobare oko polova na manjoj visini nekog na ekvatoru. U tabeli 1.1 su uporedno prikazane karateristike atmosfera nekih planeta sa njihovim visinskim skalama Promena temperature sa visinom u nižim slojevima atmosfere U nižim slojevima atmosfere temperatura opada sa visinom na pravilan način. Zakon ove promene se može dobiti na osnovu dosadašnjih rezultata. Pošto se taj deo atmosfere uglavnom zagreva odozdo tj. zračenjem sa zagrejane površine Zemlje prirodno je da njena temperatura opada sa visinom. Da bi se odredila ova zavisnost potrebno je analizirati šta se dešava sa nekom, relativno malom, zapreminom suvog (prisustvo vodene pare u značajnoj meri menja osobine gasa) vazduha, koji se, konvekcijom kreće uvis. Prilikom podizanja uvis, posmatrana zapremina se širi i hladi. Smatrajući da je njeno vertikalno kretanje dovoljno brzo, što je u troposferi uvek zadovoljeno, može da se zanemari njeno zagrevanje od strane Sunca. Kako je sem toga vazduh slab provodnik toplote, termodinamički procesi koji se dešavaju u njemu su adijabatski. 15 Prema prvom zakonu termodinamike je količina toplote koju sistem razmeni sa okolinom Q, povezan sa promenom njegove unutrašnje energije U i radom koji pri tome izvrši sistem A, relacijom Q = U + A. (1.13) Promena unutrašnje energije sistema se može zapisati kao U = mc V T, gde je m masa date zapremine gasa a c V njegova specifična toplotna kapacitivnost pri konstantnoj zapremini. Rad koji sistem izvrši je A = P V a za adijabatske procese je Q = 0, tako da gornja relacija postaje mc V T = P V. (1.14) Za adijabatske procese važi relacija PV γ = const gde je γ = c P /c V, odnos specifičnih toplotnih kapacitivnosti gasa pri konstantnom pritisku i konstantnoj zapremini, odakle se dobija da je P V = V P/γ Adijabatski procesi u takvi procesi prilikom kojih posmatrani sistem ne razmenjuje toplotu sa okolinom. 16 Ovaj izraz se lako dobija nakon diferenciranja izraza PV γ = const.

17 visina [km] 1.2. STRUKTURA ZEMLJINE ATMOSFERE 21 Prethodni izraz na osnovu toga postaje mc V T = 1 V P, (1.15) γ a uzimanjem u obzir izraza (1.9) se svodi na mc V T = c V c P Vρg z. (1.16) Odavde se konačno za adijabatsku promenu temeperature suve atmosfere sa visinom (Γ) dobija T z =Γ= g. (1.17) c P mezosfera stratopauza termosfera stratosfera maksimum ozona tropopauza troposfera mezopauza o temperatura [ C] Slika 1.9: Skica promene temperature atmosfere sa visinom. Uzimanjem u obzir da je za suvi vazduh c P = 1005 J/(kg K), dobija se da je T/ z = 0, 01 K/m. Iz jednačine (1.16) sledi da će na visini od 10 km (gornja granica troposfere) temperatura biti za oko 100 K manja od temperature na površini Zemlje što je skoro duplo veće smanjenje od izmerenog (50 do 60 K). Razlika u izračunatom i izmerenom postoji usled toga što je račun urad en za suv vazduh. Vazduh nikada nije suv, na svakoj temperaturi sadrži odred enu količinu vodene pare. Kada se vazduh izdiže i hladi, vodena para se kondenzuje usled čega se oslobad a latentna toplota kondenzovanja koja podiže temperaturu viših slojeva troposfere Brzina napuštanja atmosfere i njen sastav Čestice gasova koji čine atmosferu Zemlje se zadržavaju u njoj usled delovanja Zemljine teže (gravitacione sile) na njih. Sa druge strane čestice atmosfere, kao i čestice bilo kog gasa, se kreću haotično to jest brzinama koje se razlikuju po pravcu, smeru i intenzitetu. Ukoliko se atmosfera i dalje smatra idealnim gasom, te brzine su raspodeljene u skladu sa Maksvelovom raspodelom. Njen analitički oblik je N(v) v =4πN ( ) m 3/2 v 2 e mv2 2kT. (1.18) 2πkT agrafički je predstavljena na slici U gornjem izrazu je sa m označena masa jednog molekula, a N(v) je broj molekula čija brzina se nalazi u intervalu brzina v, v + v. Na slici 1.10 su prikazane i tri karakteristične

18 22 GLAVA 1. ATMOSFERA brzine svake raspodele: brzina v m pri kojoj raspodela ima maksimum koja se stoga zove najverovatnija brzina, srednja brzina molekula gasa v i koren iz srednje vrednosti kvadrata brzine v ksk : v m = 2kT m, v = Na slici 1.10 su prikazane dve raspodele za različite temperature. Maksimum raspodele se pri porastu temperature gasa pomera na desno, što znači da raste broj molekula sa većim brzinama a time i njihova srednja brzina (kao i v m i v ksk ). Krive su asimetrične što je posledica činjenice da je najmanja moguća brzina 0, dok za gornju vrednost brzine, u prinicpu, ne postoji gornja 8kT πm, v ksk = Nv ()/ v kT m. (1.19) T=300 K v m v v ksk T=900 K v (m/s) Slika 1.10: Raspodela molekula po brzinama za 10 5 molekula azota na 300 K i 900 K. granica. Treba primetiti i da raspodela molekula po brzinama zavisi i od mase. Na datoj temperaturi, broj molekula sa brzinama koje su veće od neke zadate vrednosti je to veći što je manja masa molekula gasa. Posledica je da će u datoj smeši gasova procenat bržih molekula biti veći za molekula manje mase (npr. H 2 i He). Veoma jednostavna analiza bacanja tela sa površine Zemlje pokazuje da će efekat zavisiti od početne brzine tela (slika 1.11). Ukoliko je brzina izbacivanja tela jednaka takozvanoj prvoj kosmičkoj brzini v 1 = gr, 17 telo neće pasti nazad na Zemlju većće postati njen veštački satelit. Primetimo da u ovom izrazu ne figuriše masa tela. Za Zemlju (R =6, m) je vrednost ove brzine 7,91 km/s. Baca li se telo sve većom i većom brzinom, njegova putanja će se sve više deformisati u odnosu na kružnu, tako da će ono u jedom momentu postati slobodno. U tom momentu je ukupna mehanička energija tela (zbir kinetičke i gravitacione potencijalne energije) jednaka nuli. 18 Najmanja početna brzina koja mu je pri tome potrebna (da bi postalo slobodno) se naziva druga kosmička brzina v 2.Kinetička energija 17 Na telo, koje se tad kreće po kružnoj orbiti deluju gravitaciona sila i inercijalna centrifugalna sila a iz njihove med usobne jednakosti na orbiti sledi izraz za prvu kosmičku brzinu. 18 Primetimo da je pri kretanju po orbiti, telo vezano za planetu/zemlju i da njegova ukupna energija nije jednaka nuli.

19 1.2. STRUKTURA ZEMLJINE ATMOSFERE 23 tela mase m koje se izbacuje brzinom v 2,troši se na vršenje rada protiv gravitacione sile Zemlje. Rad se pri tome vrši na putanji koja počinje na rastojanju R od centra Zemlje pa formalno do beskonačnosti, jer je tek na jako velikim rastojanjima od Zemlje, njeno polje praktično jednako nuli. Druga kosmička brzina se prema tome dobija iz uslova održanja mehaničke energije primenjenog na početno stanje na površini Zemlje i finalno na jako velikoj udaljenosti od nje na kojoj su i kinetička i potencijalna energija jednake nuli mv γmm =0+0, (1.20) R iz koga se za traženu brzinu dobija 2γM v 2 = R. (1.21) Kako je ubrzanje Zemljine teže na površini Zemlje jednako γm/r, druga kosmička brzina je povezana sa prvom kosmičkom brzinom sledećomrelacijom v 2 = 2v 1, (1.22) pa joj je vrednost v 2 = 11, 2 km/s = m/s (oko 34 puta veća od brzine zvuka u vazduhu). Ni ova brzina ne zavisi od mase tela već samo od karakteristike nebeskog tela - njegovog poluprečnika i ubrzanja gravitacije. Kako druga kosmička brzina ne zavisi od mase tela ona je jednaka i za raketu v 0 koja se lansira ali i za molekule. Da li u Zemljinoj atmosferi ima molekula čija je brzina makar jednaka drugoj kosmičkoj brzini i koji su prema tome sposobni da je napuste? Prema Maksvelovoj raspodeli ih svakako ima a njihova količina može okvirno da se proceni ako se, za datu vrstu molekula, izračuna najverovatnija brzina v m prema izrazu (1.19). Za temperaturu od 288 K, za glavne konstituente atmosfere se tako dobija v m (O 2 ) = 387 m/s i v m (N 2 ) = 414 Slika 1.11: Rezulatat bacanja m/s. Dobijeni rezultati su mnogo manji od druge kosmičke brzine za Zemlju što znači tela sa Zemlje zavisi od njegove početne brzine. da većina molekula azota i kiseonika nemaju dovoljno veliku brzinu da napuste njeno gravitaciono polje. Za vodonik i helijum, koji su manje mase, se dobija v m (H 2 ) = 1550 m/s i v m (He) = 1094

20 24 GLAVA 1. ATMOSFERA m/s. Dobijene su značajno veće brzine a iz njihovog pored enja sa drugom kosmičkom brzinom vidimo da postoji značajna verovatnoća da neki od molekula ovog tipa imaju brzinu veću od nje. Što je gas lakši više njegovih molekula će imati dovoljno veliku brzinu da napuste Zemljino gravitaciono polje. Kako brzine (1.19) zavise i od temperature, u višim slojevima atmosfere, gde je temperatura veće od 288 K, biće i veća verovatnoća da lakši molekuli steknu brzinu dovoljnu za napuštanje atmosfere. To je jedan od procesa koji je trajao od momenta nastanka atmosfere do danas i koji je u značajnoj meri uticao na njen sastav Vreme života molekula u atmosferi Iako je prosečan sastav atmosfere manje-više isti, molekuli koji je čine učestvuju u raznim procesima tako da usled njih jedni odlaze iz atmosfere dok drugi dolaze u nju. Poznavanje ovih procesa i dužine njihovog trajanja je podatak koji je ponekad veoma bitno poznavati, pogotovu ako je reč o molekulima koji su polutanti (zagad ivači). Za karakterizaciju dužine boravka molekula u atmosferi se uvodi veličina koja se zove vreme života koje se obično označava sa τ i definiše izrazom τ = m sr (1.23) F sr gde je m sr srednja masa datog gasa u atmosferi a F sr je srednji dolazni/odlazni fluks gasa izražen u kg/s. Ukoliko τ ima malu vrednost molekuli datog gasa egzistiraju kratko u atmosferi. Razlozi mogu da budu ili da je (i) reaktivan pa neće stići da se homogeno rasporedi po atmosferi ili da (ii) učestvuje u nekom ciklusu (npr. hidrološki ciklus tj. ciklus cirkulisanja vode izmed u hidrosfere, litosfere i atmosfere, u kome je vreme života molekula oko 10 dana). Na osnovu vrednosti vremena života molekula u atmosferi, njeni konstituenti se dele na tri kategorije: - permanentni sastojci - kod njih je τ veoma veliko (reda veličine milion godina), npr. u slučaju N 2,O 2 i retkih gasova tipa CO 2 - semipermanentni - τ je reda veličine meseca i godina, npr. CH 4,N 2 O, CO, CFC jedinjenja, i - varijabilni sastojici kod kojih je τ reda dana i nedelje, npr. ozon O 3 (ima ciklus u stratosferi), H 2 (ciklus se odigrava u tropsoferi), SO 2 ih 2 S (kisele kiše), NO 2,NH 3 (izduvni gasovi atumobila) ali i deo azotnog ciklusa.

21 1.2. STRUKTURA ZEMLJINE ATMOSFERE Ciklusi i količina glavnih elemenata u atmosferi U zavisnosti od toga o kome se elementu radi postoje sumporni, ugljenični i azotni ciklus u kojima se odvija njihovo kruženje. Cikluse je zgodno opisati tako što se prvo definišu izvori, zatim hemijske transformacije u kojima učestvuje data supstanca i na kraju načini smanjenja njene koncentracije. 1. Azotni ciklusi Većina azota u atmosferi je u obliku gasovitog N 2. On je uglavnom inertan (izvesna količina N 2 se konvertuje u azotne okside usled električnih pražnjenja). Med utim azot u obliku NH 3 (amonijak) ili NO x (azotni oksidi) se transformiše u ciklusima. 1.1 Amonijačni ciklus. Izvori su biološki raspadi materijala. NH 3 je povezan za kruženjem vode jer je rastvorljiv u vodi. Procenjuje se da se godišnje proizvede Tg (Tg=teragram=10 12 g). Iz vazduha se izdvaja kao vlažna depozicija jer se rastvara u kiši i kao suva depozicija (kao amonijak). 1.2 NO x ciklus. Glavni izvor ovog oksida u atmosferi je bakteriološka dekompozicija nitrata ali je značajan i doprinos industrije. Koncentracija u atmosferi se uglavnom smanjuje kao vlažna depozicija (NO 3 - rastvara se u kiši), i kao suva depozicija (NO, NO 2 ). Ukupna masa koja se prenese tokom ovog ciklusa iznosi oko 100 Tg po godini. 2. Sumporni ciklus. Glavni izvor sumora je H 2 S (iz raspada organske materije i vulkana, SO 2 iso 2 4 iz industrije, iz mora i manje količine iz vulkana i erozije. Količina se smanjuje suvim deponovanjem kao SO 2 ivlažnim deponovanjem (kisele kiše) a ukupna količina je oko 144 Tg po godini. 3. Ugljenični ciklus. Postoje tri ciklusa zasnovana na CH 4 (metan), CO (ugljen monoksid) i CO 2 (ugljen dioksid). Prva dva imaju uglavnom biološke izvore. Treći je kombinacija prirodnih i veštačkih izvora. I CH 4 i CO 2 su gasovi staklene bašte. Izvori CO 2 su procesi sagorevanja (prirodnog iveštačkog), disanje i raspadi organske materije. Količina u atmosferi se smanjuje u procesu fotosinteze u kome biljke, uz pomoć svetlosti stvaraju šećer i kiseonik. Okeani i sedimentne stene vezuju ugljenik iz vazduha Fotosinteza sa stanovišta fizike Vegetacija je esencijalni deo biosfere, interesantan i po tome što interaguje sa njom. Važnost biljaka za atmosferu je godine Džozef Prisli demonstrirao ogledom u kome su u jednoj posudi bili zajedno miš i nana, u drugoj samo nana a u trećom samo miš. Pokazalo se da su jedino u prvom slučaju nana i miš mogli da prežive jer je miš dišući apsorbovao O 2 i izbacivao CO 2

22 26 GLAVA 1. ATMOSFERA dokjenanavršila fotosintezu apsorbujući CO 2 astvarajući O 2. Danas znamo da je fotosinteza proces u kome biljke, alge i neke bakterije koristeći energiju Sunčevog zračenja i od ugljen dioksida i vode sintetišu hranu oslobad ajući kiseonik. Ovaj proces se odvija zahvaljujući hlorofiluzelenom pigmentu biljaka sposobnom da apsorbuje svetlost. Hlorofil se nalazi u hloroplastima (organelama-delovima ćelija). U osnovi procesa fotosinteze je reakcija koja je en- ugljen dioksid dotermna, tj. da bi se odvijala potrebna joj je solarna energija. Formalno, ova reakcija može voda da se zapiše u obliku kiseonik 2nCO 2 +2nH 2 O+fotoni 2(CH 2 O) n + no 2. Slika 1.12: Proces fotosinteze. (1.24) Interesantno je da ne može svetlost bilo koje talasne dužine da izazove fotosintezu. Deo svetlosti Sunca se tako odbija o lišće dajući mu zelenu boju. Neke druge talasne dužine se apsorbuju i zagrevaju lišće dok fotosintezu najefikasnije izaziva crvena boja. Osim nje, u procesu mogu da učestvuju takod e i plava, narandžasta i žuta boja. Postoji više vrsta hlorfila: hlorofil ajeglavnipigmentfotosintezeisadrže hlorofil b ga sve zelene biljke koje obavljaju proces fotosinteze, hlorofil b se nalazi u hlorofil a višim biljkama i zelenim algama, hlorofil c imaju mrke alge a hlorofil d je pigment crvenih algi. Eksperimenti su pokazali da hlorofili apsorbuju svetlost u plavom ( nm) i crvenom ( nm) delu spektra. Kada molekul hlorofila apsorbuje talasna du ina [nm] svetlosni kvant (foton) prelazi iz osnovnog u pobud eno (ekscitirano) stanje. Slika 1.13: Apsorpcioni spektar hlorofila a i hlorofila b. U ovom procesu zapravo dolazi do preraspodele elektrona tako da je on u višem energijskom stanju u kome je molekul nestabilniji. U pobud enom stanju može da bude veoma kratko vreme pa dolazi do deekscitacije. Viška energije molekul može da se oslobodi deekscitacijom u osnovno stanje ali i tako što će neko jedinjenje koje se nalazi blizu u tom trenutku primiti ovaj elektron, što se u procesu fotosinteze koeficijent apsorpcije

23 1.2. STRUKTURA ZEMLJINE ATMOSFERE 27 idešava. Da bi došlo do reakcije fotosinteze sa jednim molekulom CO 2 potrebna je energija od E =2, J= 14, 6 ev. Maksimalna apsorpcija u zelenim listovima biljaka se odvija za hlorofil a na talasnoj dužini λ a = 680 nm a za hlorofil b na λ b = 644 nm. Obe talasne dužine padaju u crveni deo spektra. Enerija jednog fotona talasne dužine λ a je E a = hν a = hc =2, J=1, 83 ev, λ a dok je energija fotona talasne dužine λ b E b = hν b = hc =3, J=1, 93 ev. λ b Prosečan broj fotona talasne dužine λ a potrebnih da se dostigne energija E potrebna za reakciju je E E a = 2, J 2, J =8, dok je u slučaju fotona talasne dužine λ b E = 2, J E b 3, =7, 60. J Dugo je bila misterija zašto se proces fotosinteze, opisan relacijom (1.24) odigrava sa skoro 100% efikasnošću u transferu solarne energije u hranu, tj. uz veoma male toplotne gubitke. Istraživanja koja su izvršena u laboratoriji u Berkliju publikovana godine su pokazala da je ključ u kvantnoj prirodi ovog procesa usled koga se on odvija skoro trenutno pa praktično nema vremena da se dese značajniji energetski gubici Atmosferske aerosoli Atmosferske aerosoli su tečne ili čvrste čestice koje lebde u vazduhu (npr. prašina). Izvori aerosola su - sagorevanje - šumski požari i industrija, - reagovanja gasova (sufati i nitrati), - usitnjavanje i raspršivanje čvrstih tela (vetar i voda erodiraju stene), - raspršivanje soli iz morske vode i - vulkani. Tipične koncentracije su 10 3 čestica u cm 3 (iznad okeana), 10 4 čestica u cm 3 (iznad tla), 10 5 čestica u cm 3 (iznad gradova). Veličina im se kreće od

24 28 GLAVA 1. ATMOSFERA oko1nmuslučaju kolekcije nekoliko stotina molekula do 10 µm uslučaju najvećih čestica. U zavisnosti od veličine čestica, aerosoli se dele na: 1. Sitna ili Aitkenova jezgra prečnika manjeg od 0,1 µm. Većina čestica sposobnih da budu centri kondenzacije u vazduhu. Kada nastanu broj im se jako smanjuje uzled Braunovog kretanja i koagulacije u kojima daju veće čestice. Ovaj tip jezgara čini oko 20% mase aerosola. 2. Velika jezgra (prečnika izmed u 0,1-1 µm. Iako su manje brojna od Aitkenovih jezgara ipak čine oko 50% mase aerosola. Brzina njihovog padanja kroz atmosferu je još uvek manja od sposobnosti da se izdižu što ih održava u atmosferi, ali im je koncentracija iznad oblaka mnogo manja jer su odlični centri kondenzacije za kapi kiše. 3. Džinovska jezgra (prečnika većeg od 1 µm. Iako su veoma retka čine oko 30% mase aerosola. Obično ih stvara fina prašina koju podiže vetar kada prelazi iznad suvih površina. Kao i velika jezgra i džinovska su efikasni centri kondenzovanja. Atmosferu od njih lako čisti kiša Kisele kiše Termin kisela kiša se odnosi na kišu ili bilo koju drugu padavinu koja je zagad ena sumpor dioksidom, azotnim oksidima ili nekim drugim hemijskim jedinjenjima usled kojih je kiselost padavine biti manja od uobičajene. Kiselost neke supstance se odred uje na snovu njene ph vrednosti 19 koja predstavlja meru koncentracije vodonikovih jona u rastvoru. ph se definiše u stvari kao negativan logaritam aktivnosti vodonikovih jona u rastvoru. Aktivnost vodonikovih jona je proporcionalna njihovoj koncentraciji i jednaka je koncentraciji pomnoženoj odgovarajućim koeficijentom ali za razmatranja koja će ovde biti prezentovana nije neophodno razlikovati ove dve veličine. Prema tome, ph se definiše izrazom ph = log 10 ([H + (aq)]) ukomejesa[h + (aq)] predstavljena koncentracija vodonikovih jona u vodenom rastvoru izražena u mol/l odnosno mol/dm 3. Za čistuvodusukoncentracijeoh ih + jona med usobno jednake a na temeperaturi od 25 o C njihov proizvod iznosi [H + (aq)][oh (aq)] = mol 2 /dm 3 19 Ne postoji opšta saglasnost oko značenja skraćenice ph izmed u predloga da to bude potential of hydrogen, power of hydrogen i nečeg trećeg.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Efekat staklene bašte

Efekat staklene bašte Efekat staklene bašte Sedamnaesto predavanje Temperatura tokom zadnjih 100 godina 0,5 C Globalna temperatura vazduha na Zemlji je porasla za oko 0.5oC tokom zadnjih 100 godina Zašto staklena bašta? Staklo

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

2. ZEMLJNA ATMOSFERA NASTAVNA PITANJA:

2. ZEMLJNA ATMOSFERA NASTAVNA PITANJA: 2. ZEMLJNA ATMOSFERA NASTAVNA PITANJA: 1. Podjela atmosfere 2. Sastav atmosfere 3. Toplotni procesi u atmosferi LITERATURA: 1) Brčić I., Pomorska meteorologija i okeanografija, Bar, 2007. 2) Cadez M.,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije Glava 5 Gravitacija Orbitiranje prirodnih i veštačkih satelita oko Zemlje, planeta oko Sunca, fenomen plime i oseke, prenos toplote strujanjem fluida, visoka temperatura unutrašnjosti planeta, padanje

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu.

Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu. VISKOZNOST VISKOZNOST Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu. VISKOZNOST Da li očekujete da će glicerol imati veću ili manju

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije

Elementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije Glava 14 Elementi kosmologije 14.1 Zvezde i galaksije Rane civilizacije su verovale da je Zemlja centar Univerzuma. Tek u 16. veku je primećeno da je Zemlja samo jedna mala planeta koja orbitira oko Sunca.

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje

za reverzibilan kružni proces količina toplote koju je sistem na svojoj nižoj temperaturi T 1 predao okolini i ponovo prešao u početno stanje ENROPIJA Spontani procesi u prirodi se uvek odvijaju u određenom smeru (npr. prelazak toplote sa toplijeg na hladnije telo) što nije moguće opisati termodinamičkim funkcijama do sad obrađenim. Nulti zakon

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija, snaga. Glava Rad

Rad, energija, snaga. Glava Rad Glava 4 Rad, energija, snaga Pojam energije je jedan od najvažnijih u nauci i tehnici ali se koristi i u svakodnevnom životu. U našoj svakodnevnici taj pojam se obično odnosi na gorivo za pokretanje automobila

Διαβάστε περισσότερα

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI I PRVI ZAKON TERMODINAMIKE NULTI ZAKON (princip)termodinamike ako su dva sistema A i B u međusobnom termičkom kontaktu, i u ravnoteži sa trećim sistemom C onda su u ravnoteži i jedan sa drugim Ako

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima

Διαβάστε περισσότερα

3. ATMOSFERSKI PRITISAK

3. ATMOSFERSKI PRITISAK 3. ATMOSFERSKI PRITISAK NASTAVNA PITANJA: 1. Pojam atmosferskog pritiska 2. Vertikalna raspodjela vazdušnog pritiska 3. Horizontalna raspodjela vazdušnog pritiska 4. Barometarski gradijent LITERATURA:

Διαβάστε περισσότερα

Fizička mehanika i termofizika, junski rok

Fizička mehanika i termofizika, junski rok Fizička mehanika i termofizika, junski rok 5.7.2001. 1. Po strmoj ravni, nagibnog ugla α, kotrlja se bez klizanja masivni šuplji cilindar, mase M i poluprečnika R. Po unutrašnjosti cilindra se kreće pas.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika

Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika. Molekularna fizika i termodinamika Molekularna fizika proučava strukturu i svojstva supstanci polazeći od molekularno -kinetičke teorije: supstance su sastavljene od vrlo malih čestica (molekula, atoma i jona) koji se nalaze u stalnom haotičnom

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

ATMOSFERE. Sastav atmosfere Efekti prostiranja kroz atmosferu. Zračenje atmosfere. Barbaric, MS1.TS 1

ATMOSFERE. Sastav atmosfere Efekti prostiranja kroz atmosferu. Zračenje atmosfere. Barbaric, MS1.TS 1 OPTIČKE OSOBINE ATMOSFERE Sastav atmosfere Efekti prostiranja kroz atmosferu Prozori i transmitivnost Zračenje atmosfere 1 Slojevi atmosfere 2 Promena pritiska i temperature slojeva 3 Visina slojeva i

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

SPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE

SPONTANI PROCESI II ZAKON TERMODINAMIKE SPONANI PROCESI II ZAKON ERMODINAMIKE I zakon termodinamike se bavi termodinamičkim procesom kao procesom koji je praćen ekvivalentnošću različitih oblika energije bez ikakvih ograničenja odnosno ne govori

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα