P m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)

Transcript

1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LEGENDRE Τα πολυώνυμα Legendre P n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο διάστημα [ 1, +1], με συνάρτηση βάρους την w(x = 1, άρα ισχύει: +1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δn m Τα επτά πρώτα πολυώνυμα Legendre είναι τα: P (x = 1 P 1 (x = x P 2 (x = 1 2 (3x2 1 P 3 (x = 1 2 (5x3 3x P 4 (x = 1 8 (35x4 3x P 5 (x = 1 16 (231x6 315x x 2 5 P 6 (x = 1 16 (429x7 693x x 3 35x... Τα παραπάνω και όλα τα επόμενα προκύπτουν από τον αναδρομικό τύπο: ή, εναλλακτικά, P n (x = 2n 1 n xp n 1 (x n 1 n P n 2(x P n+1 (x(n + 1 = (2n + 1xP n (x np n 1 (x Κοινή ιδιότητα όλων των πολυωνύμων Legendre, για οποιαδήποτε τιμή του δείκτη n, είναι η: P n (1 = 1. Πλην της αναδρομικής, υπάρχει και η ρητή έκφραση των πολυωνύμων Legendre, η οποία είναι η: 1

2 P n (x = n ( n ( 1 k k k= 2 ( n k ( 1 + x 1 x 2 2 k όπου ( n k = n!, k n (=, αλλιώς k!(n k! Το πολυώνυμο Legendre n-οστού βαθμού P n (x αποτελεί λύση της διαφορικής εξίσωσης Legendre: (1 x 2 Y 2xY + n(n + 1Y = (όπου n=ένας μη-αρνητικός ακέραιος. Η παραπάνω εξίσωση έχει σχέση με προβλήματα σφαιρικής συμμετρίας. Άλλες χρήσιμες ιδιότητες, πέραν της P n (1 = 1: P n (x 1, x P n ( 1 = ( 1 n P n ( x = ( 1 n P n (x Επιπλέον ορίζονται και τα μετατοπισμένα (shifted πολυώνυμα Legendre ( P n (x, τα οποία είναι ορθογώνια στο [, 1], και τα οποία ορίζονται συναρτήσει των προηγούμενων ως: 1 P n (x = P n (2x 1 P m (x P n (xdx = 1 2n + 1 δn m 2

3 ή, με ρητό τρόπο, ως: P n (x = ( 1 n n k= ( n k ( n + k k ( x k Τα τέσσερα πρώτα από αυτά τα πολυώνυμα είναι: P (x = 1 P 1 (x = 2x 1 P 2 (x = 6x 2 6x + 1 P 3 (x = 2x 3 3x x 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LAGUERRE Τα πολυώνυμα Laguerre (L n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο [, ] με συνάρτηση βάρους την w(x = e x. Άρα, στην Gaussian Quadrature, χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής: f(xe x dx Η ορθογωνιότητά τους διατυπώνεται ως: L n (xl m (xe x dx =, αν n m [L n (x] 2 e x dx = c(n, c(n = Γ(n + 1 n! 3

4 Τα έξι πρώτα πολυώνυμα Laguerre είναι τα: L (x = 1 L 1 (x = x + 1 L 2 (x = 1 2 (x2 4x + 2 L 3 (x = 1 6 ( x3 + 9x 2 18x + 6 L 4 (x = 1 24 (x4 16x x 2 96x + 24 L 5 (x = 1 12 ( x5 + 25x 4 2x 3 + 6x 2 6x + 12 και προκύπτουν από τον αναδρομικό τύπο: L n+1 (x = 1 [ ] (2n + 1 xl n (x nl n 1 (x n + 1 Τα πολυώνυμα Laguerre n-οστού βαθμού L n (x αποτελούν λύση των διαφορικών εξισώσεων Laguerre xy + (1 xy + ny = όπου n είναι ένας μη-αρνητικός ακέραιος. Τα πολυώνυμα Laguerre διέπονται, μεταξύ άλλων, από τις παρακάτω ιδιότητες: x L n ( = 1 L n (tdt = L n (x L n+1 (x { x p e x, αν p < n L n (xdx = ( 1 n n!, αν p = n L n(x = L n 1(x L n 1 (x xl n(x = nl n (x nl n 1 (x 4

5 GAUSS-LAGUERRE QUADRATURE-ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Βασίζεται στην προσέγγιση του παρακάτω ολοκληρώματος από ένα άθροισμα n όρων, ως: e x f(xdx = n w i f(x i i= όπου x i είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Laguerre βαθμού n + 1. Δίνονται πινακοποιημένες οι ρίζες x i και οι συντελεστές w i των τριών πρώτων πολυωνύμων Laguerre: n = 1 n = 2 n = 3 x = x 1 = x = x 1 = x 2 = x = x 1 = x 2 = x 3 = w = w 1 = w = w 1 = w 2 = w = w 1 = w 2 = w 3 = ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ HERMITE Τα πολυώνυμα Hermite είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο (, + με συνάρτηση βάρους την e x2. Τα επτά πρώτα πολυώνυμα Hermite είναι: H (x = 1 H 1 (x = 2x H 2 (x = 4x 2 2 H 3 (x = 8x 3 12x H 4 (x = 16x 4 48x H 5 (x = 32x 5 16x x H 6 (x = 64x 6 48x x 2 12 Η ορθογωνιότητα των πολυωνύμων Hermite διατυπώνεται ως: 5

6 + H m (xh n (xe x2 dx = π2 n n!δ n m Τα πολυώνυμα Hermite παράγονται από τον αναδρομικό τύπο: H n+1 (x = 2xH n (x H n(x H n(x = 2nH n 1 (x άρα: H n+1 (x = 2xH n (x 2nH n 1 (x Ισχύει η συνθήκη συμμετρίας: H n ( x = ( 1 n H n (x ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ (PROBABILISTIC ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ HERMITE Συμβολίζονται με He n (x και δίνονται από την παρακάτω έκφραση που τα συσχετίζει με τα H n (x: He n (x = 2 n/2 H n ( x 2 Τα πέντε πρώτα τροποποιημένα πολυώνυμα Hermite είναι: 6

7 He 1 (x = x He 2 (x = x 2 1 He 3 (x = x 3 3x He 4 (x = x 4 6x He 5 (x = x 5 1x x Ενδεικτικά, το He 2 (x προέκυψε ως: ( x 2 He 2 (x = 2 1 H 2 = 1 (4 x = 1 2 (2x2 2 = x 2 1 Ισχύει: He (x = 2 H ( x 2 = 2 1 = 1 Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι 1 2π e x2 /2 είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (pdf κανονικής κατανομής με μέση τιμή και τυπική απόκλιση 1. Σε μια τέτοια εφαρμογή, η συνάρτηση βάρους γίνεται: e x2 /2. Η ορθογωνιότητά τους γράφεται: + He m (xhe n (xe x2 /2 dx = 2πn!δ m n GAUSS-HERMITE QUADRATURE - ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Χρησιμοποιείται για προσέγγιση ολοκληρωμάτων της μορφής: + e x2 f(xdx = n w i f(x i i= 7

8 όπου τα x i είναι οι ρίζες πολυωνύμων Hermite βαθμού n + 1. Πινακοποιημένες ρίζες x i και συντελεστές w i τριών πολυωνύμων: n = 1 n = 2 n = 3 x = x 1 = x = x 1 =. x 2 = x = x 1 = x 2 = x 3 = w = w 1 = w = w 1 = w 2 = w = w 1 = w 2 = w 3 = ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ CHEBYSHEV Τα πολυώνυμα Chebyshev είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο [ 1, +1] με συνάρτηση βάρους την w(x = 1 1 x 2. Τα επτά πρώτα πολυώνυμα Chebyshev είναι: T (x = 1 T 1 (x = x T 2 (x = 2x 2 1 T 3 (x = 4x 3 3x T 4 (x = 8x 4 8x T 5 (x = 16x 5 2x 3 + 5x T 6 (x = 32x 6 48x x 2 1 Τα πολυώνυμα Chebyshev παράγονται από τον αναδρομικό τύπο: T n (x = 2xT n 1 (x T n 2 (x Η μεταξύ τους ορθογωνιότητα γράφεται ως: 8

9 1 1 {, αν n m dx T n (xt m (x = π, αν n = m = 1 x 2 π/2, αν n = m Οι ρίζες του πολυωνύμου T n (x = είναι οι ( π x k = cos 2 2k 1, k = 1,..., n n Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: T n (1 = 1 T n ( 1 = ( 1 n Ολα τα μονώνυμα εκφράζονται συναρτήσει των πολυωνύμων Chebyshev. Ενδεικτικά: 1 = T x = T 1 x 2 = 1 2 (T + T 2 x 3 = 1 4 (3T 1 + T 3 x 4 = 1 8 (3T + 4T 2 + T 4 x 5 = 1 16 (1T 1 + 5T 3 + T 5 x 6 = 1 32 (1T + 15T 2 + 6T 4 + T 6 9