K.K. Delibasis Univ. of Thessaly, Dept. of Computer Science and Biomedical Informatics, Lamia, Greece

Transcript

1 Μέθοδοι αριθμητικής παραγώγισης με κεντρικές πεπερασμένες διαφορές K.K. Delibasis Univ. of Thessaly, Dept. of Computer Science and Biomedical Informatics, Lamia, Greece

2 Εισαγωγή Ο υπολογισμός της τιμής της παραγώγου είναι βασικός για την επεξεργασία διακριτών σημάτων και εικόνων: Τμηματοποίηση Signal and Image Segmentation Ανίχνευση μεταβολών / ακμών Edge detectionand Image Enhancement Εξαγωγή χαρακτηριστικών (Feature detection -corners, blobs etc) Διαδικασίες ανάλυσης (όχι απλά επεξεργασίας) σημάτων και εικόνων περιλαμβάνουν: Υποστήριξη της διάγνωσης από βιο-σήματα και βιο-εικόνες Χωρική τα ταύτιση εικόνων, παρακολούθηση αντικειμένων σε video, υπολογιστική οραση, ρομποτική κλπ 2

3 Εφαρμογή παραγώγισης διακριτού σήματος: Τμηματοποίηση ECG 3.5 QRS segm Τμηματοποίηση QRS ενός τυπικού ΗΚΓ Δίάγραμμα τυπικού ΗΚΓ 3

4 Εφαρμογή παραγώγισης διακριτού σήματος σε δύο διαστάσεις: Ανεύρεση ακμών εικόνας

5 Παράδειγμα συμβολικής και αριθμητικής παραγώγισης Εστω διακριτό σήμα x(n)=cos(nπ/5) Συμβολική παραγώγιση: x'(n)= -(π/5)sin(nπ/5) Αριθµητική παραγώγιση: Ορίζουμε τη μάσκα M(n)=[,0,-]/2, n=-,0, Υπολογίζουμε τη γραμμική συνέλιξη( ) του σήματος x με τηm: y(n). n y n = x M n = M k x n k = x n+ x n 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k= n 5

6 Παρατηρούμε τη σύμπτωση του αποτελέσματος της συμβολικής και της αριθμητικής παραγώγισης signal x(n) symbolic derivatove of signal numaric approximation of signal derivative

7 Η εφαρμογή της Γκαουσιανής για παραγώγιση Η αριθμητική παραγώγιση εφαρμόζεται σε διακριτά σήματα τα οποία έχουν προκύψει από μέτρηση, άρα παριέχουν θόρυβο Η προηγούμενη μάσκα ενισχύει τον θόρυβο δεν είναι κατάλληλη για τα περισσότερα σήματα Συχνά χρησιμοποιείται η γκαουσιανή συνάρτηση 7

8 Η Γκαουσιανή σαν φίλτρο εξομάλυνσης Η γκαουσιανή συνάρτηση ορίζεται χρησιμοποιώντας την κανονική κατανομή με διασπορά σ, και κορυφή στο σημείο μ ( x µ ) 2 2 2σ P( x) = e 2πσ Μεγαλύτερο σ πιο ανοικτή και πιο κοντήκαμπύλη, έτσι ώστε το εμβαδό που περικλείεται από την επιφάνεια και το επίπεδο xyνα είναι ίσο με. Η γκαουσιανή υπολογίζεται σε διακριτή μορφή ως εξής: καθορίζεται το σ(δηλ. το πλάτος της) Υπολογίζονται οι τιμές σε ένα συμμετρικό πίνακα, μήκους τουλάχιστον 6σ+. Δηλ [-3σ 3σ], ώστε να περιλαμβάνονται μέχρι και πολύ χαμηλές τιμές της γκαουσιανής. Όσο μεγαλύτερο το σ, τόσο ισχυρότερη η εξομάλυνση που προκαλείται από τη συνέλιξη του σήματος με την γκαουσιανή.

9 Η Γκαουσιανή στις 2 διαστάσεις

10 Παράγωγοι της γκαουσιανής Η παραγώγιση της γκαουσιανής παράγει συναρτήσεις που είναι γινόμενο της ίδιας γκαουσιανής με πολυώνυμα που ονομάζονται Hermite 0

11 Παράγωγιση με γκαουσιανή Εστω Dακμή με μη συσχετισμένο προσθετικό λευκό θόρυβο. Εφαρμόζουμε την συνέλιξη με τις μονοδιάστατες μάσκες Sobelκαι τις μονοδιάστατες γκαουσιανές παραγώγους, με διάφορετικό πλήθος στοιχείων

12 Συνέλιξη με [,-] Συνέλιξη με η παράγωγο γκαουσιανής, σ= Συνέλιξη με [,0,-] Συνέλιξη με η παράγωγο γκαουσιανής, σ= Συνέλιξη με [,,,,0,-,-,-,-] Συνέλιξη με η παράγωγο γκαουσιανής, σ=5

13 Κατασκευή μασκών για παραγώγιση Ακολουθούν 2 θεωρήματα για κατασκευή μασκών παραγώγισης, δεδομένης της τάξης παραγώγισης και του πλήθους των σημείων που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση της τιμής της Ο όρος κεντρικές διαφορές χρησιμοποιείται διότι για τον υπολογισμό της παραγώγου στη θέση nχρησιμοποιούνται οι τιμές του σήματος σε συμμετρικές θέσεις πριν και μετά τη θέση n. We assess the spectral properties of the proposed operators We apply the operators to rotation invariant corner detection and Harris-Laplace corner detection 3

14 Εστω οι ακόλουθοι πίνακες: O n Ορισμοί 2 L n n L = M 2n 2n 2 n L n L n = M M 2n 2n 2 n DO i,k and DE i,k is the determinant of order n-, which follows by deleting the i th row, by replacing the k th column with the nth column and then deleting the nth column of O n and E n respectively. DO i,n and DE i,n is the negative of the determinant of order n-, obtained by deleting the ithrow and nth column of O n and E n respectively E n 4

15 Θεωρητικό υπόβαθρο Θεώρηµα. Η περιττής τάξης 2i- παράγωγος n- σηµείων µίας πραγµατικής ακολουθίας f(x), f (2i-) (x) µε i=,...,n-, δίνεται από: ( i ) ( ) ( i ) 2! f x DO f x kh f x kh O h 2 n 2 + = n i, k + + 2i 2i k= 2h k DOi, k k= n ( ( ) ( )) ( ) Θεώρημα2. Η άρτιας τάξης 2i παράγωγος n-σηµείων, µίας πραγµατικής ακολουθίας f(x), f (2i) (x) µεi=,...,n-, δίνεται: ( i ) ( ) ( i) 2! 2 n = 2 n DEi, k f x+ kh f x kh + f x DE, 2i 2i 2 + O h k= k= 2h k DE i, k k= f x n n+ ( ( ) ( )) ( ) i k ( ) 5

16 Θεωρώντας ομοιόμορφη δειγματοληψία της f(x) (με h=),τα προηγούμενα γράφονται σαν γραμμικές συνελίξεις f ( 2i ) ( x) = ( f M )( x) odd όπου ( i) DE, 2! Meven( k) =,,...,,,,...,,, k = i,..,0,..., i 2 2 odd ( ) M k ( 2i ) ( ) = ( )( ) f x f M x ik n 2i k DEik, k= ( ) 2i! DO even [ ] ik, = = n 2i 2 k DOik, k=,,...,,0,,...,,, k i,... i 6

17 deriv. order Num. of points in Mask Mask 3 [/2, 0, -/2] 5 [-,8,0,-8,]/2 7 [,-9,45,0,-45,9,-]/60 9 [-/280, 4/05, -/4,0,/4, -4/05,/280] [4, -5, +30, -20, +430, 0, -430, +20, -30, 5, -4]/ [,-2,] 2 5 [-/2, 4/3, -2.5, 4/3, -/2] 2 7 [/90, -3/20,.5, -49/8,.5, -3/20, /90] 2 9 [-/560, 8/35, -/5, 8/5, 205/44, 8/5, -/5, 8/35, -/560] Οι παραγόμενες μάσκες M even καιm odd st και 2 nd τάξης παραγώγισης, με μήκος έως σημεία 7

18 Παραδείγματα:Οι μάσκεςsobelκαι Laplacian The 3x3 Sobeloperator can be generated by linear convolution, using the first mask of prev. Table T = [ ] [ ] The well-known Laplacianoperator can be generated as following 0 0 T [ 2 ] + [ 2 ] =

19 Φασματικά χαρακτηριστικά μασκών παραγώγισης ης τάξης Η απόκριση συχνότητας για διάφορες μάσκες παραγώγισης 2ης τάξης, καθώς και η ιδανική 9

20 Φασματικά χαρακτηριστικά μασκών παραγώγισης 2 ης τάξης Η απόκριση συχνότητας για διάφορες μάσκες παραγώγισης 2ης τάξης, καθώς και η ιδανική. 20

21 Αριθμητική παραγώγιση: State of the Art, Βιβλιογραφία Κεντρικές διαφορές(fir masks): Sobel, Roberts, Prewitmasks: οποιοδήποτε σύγγραμα επεξεργασίας εικόνας. More formal 5-point and 7-point st deriv. order FIR masks [Farid, Simoncelli, IEEE TIP, 3 (2004)] Συμβολική κατασκευή μασκών παραγώγισης[keller, Pereyra, Mathematics of Computation, 978] Θεωρήματα και υπολογιστική υλοποίηση μασκών παραγώγισης 2

22 Αριθμητική παραγώγιση σημάτων και εικόνων με φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης, Infinite Impulse Response (IIR) filters [LeleS., J Comp. Physics, 03, 992] Belyaev, A. (20). On Implicit Image Derivatives and Their Applications. In BMVC(pp. -2). Delibasis, K. K., Kechriniotis, A., & Maglogiannis, I. (203). On centered and compact signal and image derivatives for feature extraction. InArtificial Intelligence Applications and Innovations(pp ). Springer Berlin Heidelberg. 22