max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0"

Λαλαγη Δυοβουνιώτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } 1 n 1 st. : g ( x,..., x ) g ( x,..., x ) 0 k 1 x 0, i = 1,..., n. i n n n Αντικειμενική συνάρτηση n μεταβλητών (n 1) Ανισοτικοί περιορισμοί πλήθους k 1 Περιορισμοί μη αρνητικότητας πλήθους n - Για να λύσουμε το πρόβλημα, ακολουθούμε την εξής μεθοδολογία: 1. Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange: L = f( x) + λ g ( x) λ g ( x) 1 1 [όπου x= ( x,..., x )]. 1 n k k 1

2 2. Γράφουμε και λύνουμε τις Αναγκαίες Συνθήκες μεγιστοποίησης ή Συνθήκες 1 ης τάξης (FOCs) ή Συνθήκες Kuhn-Tucker (Κ-Τ), σύμφωνα με το παρακάτω θεώρημα: * * Θεώρημα (Κ-Τ): Αν x* = ( x1,..., x n ) είναι μια λύση του παραπάνω προβλήματος μεγιστοποίησης, τότε υπάρχουν * * πολλαπλασιαστές λ,..., 1 λ 0 k τέτοιοι ώστε το διάνυσμα * * * * ( x,..., x, λ,..., λ ) = ( x*, λ*) ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: 1 n 1 Lx (*, λ*) (1) 0, i = 1,..., n xi Lx (*, λ*) x i n * (2) i = 0, = 1,..., xi * (4) λ = 0, = 1,..., λ * (5) xi 0, i = 1,..., n. * (6) λ 0, = 1,..., k. k Lx (*, λ*) (3) = g ( x*) 0, = 1,..., k λ Lx (*, λ*) k FOCs (K-T) (Αναγκαίες Συνθήκες Μεγιστοποίησης) 2

3 Οι συνθήκες (2) και (4) ονομάζονται συνθήκες συμπληρωματικής χαλαρότητας: (2) * Lx (*, λ*) - Αν xi > 0 (χαλαρή ανισότητα) = 0 xi (4) * Lx (*, λ*) - Αν λ > 0 (χαλαρή ανισότητα) = g ( x*) = 0 λ 3. Ελέγχουμε αν ισχύουν οι συνθήκες 2 ης τάξης (SOCs) ή Ικανές Συνθήκες Μεγιστοποίησης, οι οποίες διατυπώνονται ως εξής: Αν οι f, g 1,, g k είναι κοίλες συναρτήσεις, τότε κάθε λύση x* των αναγκαίων συνθηκών (FOCs) αποτελεί ολικό μέγιστο του προβλήματος. - Μια εναλλακτική (ασθενέστερη) συνθήκη 2 ης τάξης δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα (Arrow-Enthoven): Αν οι f, g 1,, g k είναι οιονεί κοίλες συναρτήσεις, τότε κάθε λύση x* των αναγκαίων συνθηκών (FOCs) αποτελεί ολικό μέγιστο του προβλήματος. 3

4 Κριτήρια Ελέγχου Κοιλότητας Οιονεί Κοιλότητας (Κριτήρια 2 ης Παραγώγου) (1) Έλεγχος Κοιλότητας (1α) Έλεγχος Κοιλότητας για συναρτήσειςμίαςμεταβλητής(n=1) - Μια συνάρτηση f(x) (όπου f : X R R) είναι: κοίλη, αν και μόνο αν αυστηρώς κοίλη, αν και μόνο αν κυρτή, αν και μόνο αν f ( x) 0 x X. f ( x) 0 x X. αυστηρώς κυρτή, αν και μόνο αν - Παραδείγματα κοίλων συναρτήσεων: f( x) = ax+ b, a, b R (γραμμική) α f( x) = x, 0 < a 1 (εκθετική) f( x) = ln x, x> 0 (λογαριθμική) f ( x) < 0 x X. f ( x) > 0 x X. 4

5 - Αν η συνάρτηση f(x) είναι κοίλη, τότε και η g(x)=α f(x), α>0 είναι μια κοίλη συνάρτηση. - Θεώρημα: Έστω f1, f2,..., fn κοίλες συναρτήσεις. Τότε, η g = a1f1+ a2f anfn (όπου a1, a2,..., an > 0) μια κοίλη συνάρτηση. είναι επίσης (δηλαδή: το άθροισμα κοίλων συναρτήσεων είναι επίσης μια κοίλη συνάρτηση) - Παράδειγμα: Ησυνάρτηση f( x1, x2, x3) = 2x1+ 3lnx2 + x3 είναι κοίλη ως άθροισμα κοίλων συναρτήσεων. 5

6 (1β) Έλεγχος Κοιλότητας για συναρτήσεις δύο μεταβλητών (n=2) - Έστω μια συνάρτηση f(x 1, x 2 ). H Εσσιανή μήτρα (Η) της f είναι η μήτρα όλων των δεύτερων μερικών παραγώγων της f: 2 f11 f12 f H = όπου: fi = = f i, i, = 1, 2 f21 f22 xi x - Ησυνάρτηση f(x 1, x 2 ) είναι: κοίλη, αν και μόνο αν η Η είναι αρνητικά ημιορισμένη, δηλαδή αν και μόνο αν: f 0, f 0 και Η αυστηρώς κοίλη, αν και μόνο αν η Η είναι αρνητικά ορισμένη, δηλαδή αν και μόνο αν: f 11 < 0 και Η> 0. κυρτή, αν και μόνο αν η Η είναι θετικά ημιορισμένη, δηλαδή αν και μόνο αν: f 0, f 0 και Η αυστηρώς κυρτή, αν και μόνο αν η Η είναι θετικά ορισμένη, δηλαδή αν και μόνο αν: f 11 > 0 και Η > 0. 6

7 Παράδειγμα. Έλεγχος κοιλότητας για τη συνάρτηση: k k f( x, x ) = x x, με x, x > 0, k > H Εσσιανή μήτρα της f είναι: H k 2 k 2 k 1 k 1 f11 f12 kk ( 1) x1 x2 kx1 x 2 = =, με: 2 k 1 k 1 k k 2 f21 f22 kx1 x2 kk ( 1) xx 1 2 H = k (1 2 k) x x f κοίλη 2 2k 2 2k f αυστηρώς κοίλη f κυρτή f αυστηρώς κυρτή f 0, f 0 και Η 0 k 1/ f11 < 0 και Η > 0 k < 1/2 f 0, f 0 και Η 0 Αδύνατο f 11 > 0 και Η > 0 Αδύνατο 7

8 2. Έλεγχος Οιονεί Κοιλότητας για συναρτήσεις δύο μεταβλητών (n=2) - Για να ελέγξουμε αν η συνάρτηση f ( x1, x2) είναι οιονεί κοίλη, ακολουθούμε τα εξής βήματα: (i) Σχηματίζουμε την περιφραγμένη Εσσιανή μήτρα (Β) της f : 0 f1 f2 2 f B= f1 f11 f12 όπου: fi = = f i, i, = 1, 2 xi x f2 f21 f 22 f fi = xi (ii) H f είναιοιονείκοίληαν Β 0. (Αντίθετα, η f είναι οιονεί κυρτή αν Β 0) 8

9 Παράδειγμα (συνέχεια). Έλεγχος οιονεί κοιλότητας για τη k k συνάρτηση: f( x1, x2) = x1x2, με x1, x2 > 0, k > 0 k 1 k k k 1 0 kx1 x2 kx1x 2 k 1 k k 2 k 2 k 1 k 1 (i) B= kx1 x2 k( k 1) x1 x2 k x1 x2 k k 1 2 k 1 k 1 k k 2 kx1x 2 k x1 x2 k( k 1) x1x 2 (ii) B = 2k x x 0 k k Άρα, η f είναι οιονεί κοίλη για όλες τις τιμές του k. Επομένως: Για k<1/2, η f είναι αυστηρώς κοίλη, κοίλη και οιονεί κοίλη. Για k=1/2, η f είναι κοίλη και οιονεί κοίλη (αλλά όχι αυστηρώς κοίλη). Για k>1/2, η f είναιοιονείκοίλη(αλλά όχι κοίλη ούτε αυστηρώς κοίλη). - Γενικά: Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη, τότε είναι και οιονεί κοίλη. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. 9

10 (1) Μεγιστοποίηση Κερδών Παραδείγματα Μεγιστοποίησης Έστω q= 2 L, όπου q: η παραγόμενη ποσότητα προϊόντος L: η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας. Ο μισθός είναι w=10 και η τιμή του προϊόντος είναι p=50. -H επιχείρηση επιλέγει την ποσότητα εργασίας (L) που μεγιστοποιεί τα κέρδη της: max Π ( L) = p q( L) w L= 100 L 10L { L} st.. L 0 FOCs : dπ dl 1/2 dπ = 50L 10 0, L= 0 dl L> L = L = 1/2 Υπόθεση: * 25 10

11 SOC: 3/2 Η συνάρτηση Π( L) είναι κοίλη, διότι: ( L) 25L 0. Άρα, η λύση L* = 25 αποτελεί ολικό μέγιστο. Η μέγιστη τιμή των κερδών είναι Π * = 250. (2) Άριστη Περίφραξη Π = < - Ένας αγρότης διαθέτει συρματόπλεγμα μήκους P=400 μέτρων, με το οποίο επιθυμεί να περιφράξει τη μεγαλύτερη δυνατή ορθογώνια επιφάνεια Ε. x 1 Ε x 2 -To πρόβλημα του αγρότη μπορεί να γραφτεί ως εξής: max Ex (, x) = x x { x, x } st.. 2x1+ 2x2 P= 400 x, x 0 11

12 L= x1 x2 + λ(400 2x1 2 x2) FOCs : L L = x2 2λ 0, x1 = 0 x1 x1 L L = x1 2λ 0, x2 = 0 x2 x2 L L = 400 2x1 2 x2 0, λ = 0 λ λ Υπόθεση: x1, x2 > 0. Τότε: x1 > 0 x2 2λ = 0 λ = x2 / 2 > x1 2x2 = 0 (1) x > 0 x 2λ = 0 λ = x /2 = x /2 x = x ( 2) (2) * * x1 = x2 = λ = (1) 100, οπότε: * 50 SOC : H συνάρτηση E = x1x2είναι οιονεί κοίλη, ενώ η συνάρτηση-περιορισμός gx ( 1, x2) = 400 2x1 2 x2 είναι κοίλη. * * Άρα, η λύση ( x1, x2) = (100,100) αποτελεί ολικό μέγιστο και η μέγιστη 12 περιφρασσόμενη επιφάνεια είναι E * = τ.μ.

Σχετικά έγγραφα

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0 Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } st. : g ( x,...,