Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης

Transcript

1 ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ Β ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΚΣΕ 4 ου ΣΕΚ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ: ΜΗΤΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης Καραγιάννης Βασίλειος ΠΕ03 Μαθηματικός 19 ο Λύκειο Αθήνας Τάξη Α Λυκείου ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ - ΙΟΥΝΙΟΣ 2011

2 ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Καραγιάννης Βασίλειος ΠΕ03 Μαθηματικός ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ: 19 ο Γενικό Λύκειο Αθήνας ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Άλγεβρα Α Λυκείου ΘΕΜΑ: Κατακόρυφη μετατόπιση συνάρτησης, οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ: Geogebra ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ: Η διδασκαλία, με τον παραδοσιακό τρόπο, της ενότητας «Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης» παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες. Για την πλήρη κατανόησή της, απαιτείται η δυναμική διαχείριση γραφικής παράστασης συνάρτησης, κάτι που με τα συνήθη διδακτικά μέσα είναι αδύνατο να επιτευχθεί. Ακριβώς εδώ το λογισμικό Geogebra διαθέτει σημαντικό πλεονέκτημα, αφού μέσω της δυνατότητας της κίνησης που εμπεριέχει, επιτρέπει τη δυναμική διαχείριση μαθηματικών αντικειμένων, που το καθιστά κατάλληλο για την διδασκαλία της συγκεκριμένης διδακτικής πράξης. ΠΡΟΣΤΙΘΕΜΕΝΗ ΑΞΙΑ: Η δυνατότητα κατασκευής του δρομέα, που διαθέτει το συγκεκριμένο λογισμικό, και η άμεση συσχέτισή του με τον τύπο μιας συνάρτησης, προσδίδει δυναμικότητα στη γραφική της παράσταση, κάτι που αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για να οδηγηθούν οι μαθητές στην εξαγωγή συμπερασμάτων ως προς την μετατόπιση καμπύλης. ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ: Η χρήση του Η/Υ στην εκπαιδευτική διαδικασία διευκολύνει ή και τροποποιεί την παραδοσιακό τρόπο μάθησης, αλλάζοντας τόσο τον ρόλο του μαθητή όσο και τον ρόλο του καθηγητή. Η συγκεκριμένη δραστηριότητα ενισχύει τη μάθηση ως προϊόν της ενεργούς συμμετοχής των μαθητών, βοηθάει στην ενσάρκωση των μαθηματικών ιδεών καλύπτοντας το χάσμα μεταξύ της αφηρημένης και της συγκεκριμένης γνωστικής λειτουργίας και τελικά προάγει τη μαθηματική σκέψη. Προσφέρει στον καθηγητή έναν εναλλακτικό τρόπο διδασκαλίας, συμβάλλοντας έτσι στην δημιουργία μαθητών ικανών να «μάθουν να μαθαίνουν». ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΣΕ ΠΟΙΟΥΣ ΑΠΕΥΘΥΝΕΤΑΙ: Το σενάριο απευθύνεται στους μαθητές της Α τάξης Γενικού Λυκείου. 2

3 ΧΡΟΝΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: Η υλοποίηση του σεναρίου απαιτεί μία διδακτική ώρα. ΧΩΡΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ: Οι μαθητές εργάζονται στο εργαστήριο πληροφορικής της σχολικής μονάδας. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν την έννοια του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, την απεικόνιση σημείου και τις συντεταγμένες σημείου στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, την έννοια της συνάρτησης και τη γραφική παράσταση συνάρτησης. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ: Οι Η/Υ του εργαστηρίου πληροφορικής. Το λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και Άλγεβρας Geogebra. Βίντεο-προβολέας. Σχετικό φύλλο εργασίας (βλ. στο τέλος του σεναρίου). ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΝΟΡΧΗΣΤΡΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ: Οι μαθητές εργάζονται, καθοδηγούμενοι από το φύλλο εργασίας, σε ομάδες των 2 ή 3 ατόμων, ανάλογα με το πλήθος των διατιθέμενων Η/Υ του εργαστηρίου. Αναλαμβάνοντας τον ρόλο του συνερευνητή και του βοηθού στις προσπάθειες των μαθητών, απευθύνομαι άλλοτε σε όλες τις ομάδες και άλλοτε σε κάθε ομάδα ξεχωριστά. Εξειδικεύω τις παρεμβάσεις μου με κατάλληλες ερωτήσεις, αφήνοντας στους μαθητές την πρωτοβουλία των κινήσεων και περιθώρια για ανταλλαγή απόψεων. ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Οι μαθητές να εμπεδώσουν και να κατανοήσουν πλήρως την, ήδη διδαχθείσα, έννοια της γραφικής παράστασης συνάρτησης, αφού η παρουσίασή της μέσω του αυστηρού ορισμού της, ενδεχομένως τους έχει δημιουργήσει προβλήματα. Να κατανοήσουν τόσο την κατακόρυφη μετατόπιση g x f x c, όσο και την οριζόντια h x f x c που κατά κανόνα δυσκολεύει περισσότερο τους μαθητές. Δυσκολία η οποία έγκειται στην κατανόηση της συναρτησιακής σχέσης και συγκεκριμένα στο ότι πρέπει στην f x να τεθεί στην θέση του x το x+c. Να συνδέσουν την κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση, ώστε, τελικά, να φτάσουν σε μια γενίκευση και στην κατανόηση του συμβολισμού h x f x c d. ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΜΑΘΗΣΙΑΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ: Οι μαθητές να ενεργοποιηθούν, να αυτενεργήσουν, να πειραματιστούν, να συνεργαστούν και κυρίως μέσα από την εικασία και τον έλεγχό της να εξάγουν τα επιθυμητά συμπεράσματα. 3

4 Κάθε μαθητής να αναπτύξει τη λογική και επιστημονική του σκέψη εξελικτικά, κατασκευάζοντας τη γνώση με το δικό του τρόπο ως ενεργητικό υποκείμενο (θεωρία εποικοδομισμού του Piaget). Ο μαθητής να λειτουργήσει ανακαλυπτικά απέναντι στη γνώση μέσω της επαλήθευσης ή διάψευσης (Bruner). ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ: Οι μαθητές να γνωρίσουν έναν άλλο τρόπο διδασκαλίας ασκώντας την ικανότητά τους να μεταφέρουν γνώσεις τυπικής μαθησιακής διαδικασίας σε περιβάλλοντα ΤΠΕ. Να έχουν μια πρώτη επαφή με ένα λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας και άλγεβρας, όπως είναι το Geogebra, και να αντιληφθούν τη χρησιμότητά του στην οικοδόμηση της μαθηματικής σκέψης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ: Εγκατάσταση του λογισμικού Geogebra στους 10 υπολογιστές του εργαστηρίου πληροφορικής και έλεγχος για τη λειτουργία τους. Γνωστοποίηση στους μαθητές ότι θα εργαστούν κατά ομάδες (6 των 2 ατόμων και 4 των 3 ατόμων) στο εργαστήριο πληροφορικής. Οργάνωση των ομάδων με πρωτοβουλία των μαθητών αλλά με τον περιορισμό ότι οι 8 που τυγχάνει να έχουν καλύτερη εξοικείωση με τον Η/Υ θα εργαστούν σε διαφορετικές ομάδες. Συμφωνία ότι αν κάποιος Η/Υ παρουσιάσει πρόβλημα κατά τη διάρκεια της δραστηριότητας, τότε οι μαθητές της συγκεκριμένης ομάδας θα προσαρτηθούν στις ακριβώς διπλανές ομάδες. Συμφωνία επίσης ότι, κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας, θα πραγματοποιείται, σε κάθε ομάδα, εναλλαγή του χρήστη, ώστε όλοι οι μαθητές να συμμετάσχουν ενεργά στην δραστηριότητα. ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ: Ξεκινώντας την δραστηριότητα, κάθε ομάδα κατασκευάζει τη γραφική παράσταση 3 2 της συνάρτησης f x x 2x 2x 2. Με δική μου καθοδήγηση μέσω του βίντεο-προβολέα, όλες οι ομάδες κατασκευάζουν το δρομέα c και καθορίζουν ως διάστημα στο οποίο θα παίρνει τιμές το [-5,5]. Ζητείται από όλους τους μαθητές να γράψουν στο φύλλο εργασίας τον τύπο της συνάρτησης g x f x c για c=1 και c=-2, το οποίο και γίνεται χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες. Στην συνέχεια κάθε ομάδα κατασκευάζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g x f x c και καλείται, παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου c, να απαντήσει καταρχήν τι διαπιστώνει για τη μορφή των δύο γραφικών παραστάσεων και επίσης πως προκύπτει η γραφική παράσταση της g σε σχέση με τη γραφική παράσταση της f. Πράγματι οι μαθητές διαπιστώνουν ότι οι γραφικές παραστάσεις είναι της ίδιας μορφής και ότι η γραφική παράσταση της g προκύπτει από μια κατακόρυφη 4

5 μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα πάνω αν c θετικός ή προς τα κάτω αν c αρνητικός. Στο σημείο αυτό ρωτήθηκαν αν η κατακόρυφη απόσταση των δύο γραφικών παραστάσεων είναι παντού η ίδια και αν ναι με πόσο ισούται. Εδώ υπήρξαν ορισμένες δυσκολίες στο να κατανοήσουν ότι παντού είναι η ίδια. Κάποιοι μαθητές υποστήριζαν ότι δεν είναι ίδια, ότι αλλού οι δύο γραφικές παραστάσεις είναι πιο κοντά και αλλού πιο μακριά η μία από την άλλη. Το ζήτημα λύθηκε με δική μου παρέμβαση. Καλώ τους μαθητές να παρακολουθήσουν στο βίντεο-προβολέα την μέτρηση της απόστασης. Παίρνω ένα τυχαίο σημείο Α στη γραφική παράσταση της f, το σημείο Β που έχει ίδια τετμημένη με το Α και βρίσκεται πάνω στη γραφική παράσταση της g, και μετράω το μήκος του τμήματος ΑΒ που παριστάνει την κατακόρυφη απόσταση των δύο γραφικών παραστάσεων (βλ. φύλλο εργασίας, υποσημείωση). Μετακινώντας το σημείο Α κατά μήκος της γραφικής παράστασης της f, οι μαθητές αμέσως πείθονται ότι η κατακόρυφη απόσταση είναι παντού ίδια και μάλιστα ισούται με c. Στη συνέχεια καλείται κάθε μαθητής να γράψει στο φύλλο εργασίας τον τύπο της συνάρτησης h x f x c για c=2 και c=-2. Εδώ παρατηρήθηκε η δεύτερη δυσκολία. Οι περισσότεροι μαθητές αδυνατούσαν να θέσουν, στον τύπο της f(x), στην θέση του x το x+2 ή το x-2 αντίστοιχα. Τελικά με δική μου παρέμβαση και με κατάλληλες ερωτήσεις, όλοι οι μαθητές κατανόησαν ότι η h(x) προκύπτει αν στον τύπο της f(x) θέσουμε όπου x το x+c. Ακολουθώντας το φύλλο εργασίας κάθε ομάδα κατασκευάζει τη γραφική παράσταση της h(x), και με ευκολία το σύνολο των μαθητών διαπιστώνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και h είναι της ίδιας μορφής και ότι η γραφική παράσταση της h προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες αριστερά αν c θετικός ή δεξιά αν c αρνητικός. Τέλος ζητήθηκε από τους μαθητές στο επόμενο μάθημα να έχουν ετοιμάσει τις ασκήσεις του φύλλου εργασίας. ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα, μέσω του λογισμικού, να προσδιορίσουν τις συντεταγμένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες. Μπορούν επίσης να εξετάσουν τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΕΠΙΔΙΩΞΕΙΣ ΤΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ Κατά τη διάρκεια της δραστηριότητας οι μαθητές επέδειξαν μεγάλο ενδιαφέρον. Η συμμετοχή τους σε γενικές γραμμές ήταν ικανοποιητική και η συνεργασία τους αρκετά καλή. Στο επόμενο μάθημα φάνηκε ότι το σύνολο σχεδόν της τάξης κατανόησε πλήρως και την οριζόντια και την κατακόρυφη μετατόπιση, αφού ανταποκρίθηκαν στην επίλυση 5

6 της 1 ης άσκησης και των δύο πρώτων ερωτημάτων της 2 ης άσκησης του φύλλου εργασίας. Επίσης φάνηκε ότι περισσότεροι από τους μισούς μαθητές μπόρεσαν να συνδυάσουν τις δύο μετατοπίσεις και να καταλήξουν σε μια γενίκευση, επιλύοντας το 3 ο ερώτημα της 2 ης άσκησης. Σε συζήτηση που έγινε στην τάξη, όσον αφορά τη γνώμη τους για την όλη διαδικασία, οι μαθητές εξέφρασαν θετικές απόψεις γι αυτού του είδους τη διδακτική προσέγγιση. Μάλιστα 10 από τους μαθητές μου ζήτησαν να τους δώσω το λογισμικό Geogebra για να το εγκαταστήσουν στον δικό τους Η/Υ. ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Δεν υπήρξε κανένα πρόβλημα ούτε με την λειτουργία των Η/Υ του εργαστηρίου πληροφορικής, ούτε με την εγκατάσταση και χρήση του λογισμικού Geogebra. ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Σε γενικές γραμμές η διαδικασία υλοποίησης κύλησε ομαλά. Κάποιες καθυστερήσεις που παρατηρήθηκαν από δύο-τρεις ομάδες, σε ορισμένα βήματα της δραστηριότητας, δεν εμπόδισαν την ομαλή ροή της. Επιλύθηκαν άμεσα με δική μου παρέμβαση. 6

7 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/04/ Ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΑΣ ΤΑΞΗ: Α ΤΜΗΜΑ: 2 Ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:. ΘΕΜΑ: Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ: Geogebra ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Βήμα 1 ο 3 2 : Κατασκευή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f x x 2x 2x 2. Στο πεδίο «Εισαγωγή», κάτω αριστερά, πληκτρολογείστε: f(x)=-x^3+2x^2+2x-2 και πατήστε «Enter» για να εμφανιστεί η γραφική παράσταση της f(x). Καθορίστε το πάχος της γραμμής ως εξής: Κάντε δεξί κλικ πάνω στην γραφική παράσταση της f(x) και επιλέξτε «Ιδιότητες». Στο παράθυρο που ανοίγει κάντε κλικ στην επιλογή «Στυλ» και στο πεδίο «Λεπτή γραμμή» τοποθετείστε τον δρομέα στην θέση 5 με πατημένο αριστερό κλικ πάνω του και σύροντας. Στη συνέχεια κάντε κλικ στην επιλογή «Κλείσε» κάτω δεξιά για να κλείσει το παράθυρο. Βήμα 2 ο : Δημιουργία του δρομέα c. Στο πεδίο «Εισαγωγή» πληκτρολογείστε: c=5, πατήστε «Enter» και στο πεδίο «Άλγεβρα», αριστερά στην οθόνη, κάντε κλικ στην ένδειξη που βρίσκεται αριστερά του «c=5» για να εμφανιστεί ο δρομέας στην οθόνη. Καθορίστε το διάστημα στο οποίο θα παίρνει τιμές ο δρομέας c ως εξής: Κάντε δεξί κλικ πάνω στον δρομέα c και επιλέξτε «Ιδιότητες». Στο παράθυρο που ανοίγει πληκτρολογείστε -5 στο πεδίο «ελάχιστο» και 5 στο πεδίο «μέγιστο». Στη συνέχεια κάντε κλικ στην επιλογή «Κλείσε» κάτω δεξιά. Με πατημένο αριστερό κλικ πάνω στον δρομέα c και σύροντας, μπορείτε να αλλάζετε την τιμή του στο διάστημα [-5,5]. Κατακόρυφη μετατόπιση συνάρτησης Βήμα 3 ο : Κατασκευή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g x f x c Ποιος είναι ο τύπος της συνάρτησης g x f x c, για c=1, c=-2;. Για c=1 g(x)=.. Για c=-2 g(x)= Στο πεδίο «Εισαγωγή» πληκτρολογείστε: g(x)=f(x)+c και πατήστε «Enter» για να εμφανιστεί η γραφική παράσταση της g(x). Επιλέξτε το χρώμα της συνάρτησης ως εξής: Κάντε δεξί κλικ πάνω στην γραφική της παράσταση και επιλέξτε «Ιδιότητες». Στο παράθυρο που ανοίγει κάντε κλικ στην επιλογή «Χρώμα» και επιλέξτε το χρώμα που θέλετε. Στη συνέχεια καθορίστε, όπως και πριν, το πάχος της γραμμής να είναι 5. Τι διαπιστώνεται για την μορφή των γραφικών παραστάσεων των f(x) και g(x); Παρατηρείστε την γραφική παράσταση της g(x) για διάφορες τιμές της παραμέτρου c. Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της g(x) σε σχέση με την γραφική παράσταση της f(x); 7

8 Συμπέρασμα g x f x, c>0, προκύπτει από μια.. μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f(x) κατά.. μονάδες προς g x f x, c>0, προκύπτει από μια.. μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f(x) κατά.. μονάδες προς 1. Η γραφική παράσταση της c 2. Η γραφική παράσταση της c Αποκρύψτε την γραφική παράσταση της g(x) κάνοντας κλικ στην ένδειξη που βρίσκεται αριστερά της «g x f x c» στο πεδίο «Άλγεβρα» αριστερά στην οθόνη. Οριζόντια μετατόπιση συνάρτησης Βήμα 4 ο : Κατασκευή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h x f x c Γράψτε τον τύπο της συνάρτησης h x f x c, για c=2, c=-1.. Για c=2 h(x)=.. Για c=-2 h(x)= Κατασκευάστε την γραφική παράσταση της συνάρτησης h x f x c, όπως πριν, με χρώμα κόκκινο και πάχος γραμμής 5. Τι διαπιστώνεται για την μορφή των γραφικών παραστάσεων των f(x) και h(x); Παρατηρείστε την γραφική παράσταση της h(x) για διάφορες τιμές της παραμέτρου c. Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της h(x) σε σχέση με την γραφική παράσταση της f(x); Συμπέρασμα h x f x c, c>0, προκύπτει από μια.. μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f(x) κατά.. μονάδες προς h x f x c, c>0, προκύπτει από μια.. μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f(x) κατά.. μονάδες προς 1. Η γραφική παράσταση της 2. Η γραφική παράσταση της Ασκήσεις 1. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x 1. Κάνοντας χρήση των παραπάνω συμπερασμάτων, να κατασκευάσετε, στο ίδιο σύστημα αξόνων, τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g x x 1 3, h x x 3 και z x x Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης g(x), της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει: i) Από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f(x) κατά 2 μονάδες κάτω. ii) Από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f(x) κατά 3 μονάδες δεξιά. iii) Από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f(x), κατακόρυφα κατά 1 μονάδα πάνω και οριζόντια κατά 2 μονάδες αριστερά. 2. Δίνεται η συνάρτηση f x x 2 2x Υποσημείωση Η κατασκευή του τμήματος ΑΒ που μετρά την κατακόρυφη απόσταση των f(x), g(x) γίνεται ως εξής: Απ το 2 ο εικονίδιο, στο πάνω μέρος της οθόνης, επιλέγουμε «Νέο σημείο» και με κλικ πάνω στην γραφική παράσταση της f(x) τοποθετούμε ένα σημείο Α Στο πεδίο «Εισαγωγή πληκτρολογούμε: (x(a),y(a)+c) και εμφανίζεται το σημείο Β με τετμημένη ίση με την τετμημένη του Α και τεταγμένη ίση με την τεταγμένη του Β + c. Απ το 3 ο εικονίδιο επιλέγουμε «Τμήμα μεταξύ δύο σημείων» και με διαδοχικά κλικ στα σημεία Α και Β κατασκευάζουμε το τμήμα ΑΒ. Κάνουμε δεξί κλικ πάνω στο ΑΒ και επιλέγουμε «Ιδιότητες». Στο κεντρικό μενού του παραθύρου που ανοίγει επιλέγουμε «Βασικά» και στο πεδίο «Δείξε ετικέτα» επιλέγουμε «Τιμή», ώστε να εμφανίζεται στην οθόνη το μήκος του ΑΒ. 8