ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Τμήμα Δασολογίας και Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων 4 0 εξάμηνο ΚΙΤΙΚΙΔΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχέσεις εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών Ο κλάδος της Στατιστικής που εξετάζει τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών με απώτερο σκοπό την πρόβλεψη μιας από αυτές μέσω των άλλων χαρακτηρίζεται με την ονομασία ανάλυση παλινδρόμησης (regresson analyss). Οι μεταβλητές αυτές θα πρέπει να είναι ποσοτικές (quanttatve), δηλαδή να εκφράζονται είτε σε κλίμακα διαστημάτων (nterval scale) είτε σε αναλογική κλίμακα (rato scale). Κάθε μεταβλητή έχει έναν αριθμό τιμών (values) ή παρατηρήσεων (observatons) ή περιπτώσεων (cases). Η ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί να εφαρμοστεί και σε ποιοτικές (qualtatve) μεταβλητές, όμως δε θα ασχοληθούμε με αυτή την περίπτωση. Η μεταβλητή που θέλουμε να εκτιμήσουμε ή να προβλέψουμε λέγεται εξαρτημένη (dependent) ή αποκριτική (responsve) ή πραγματική ή παρατηρηθείσα (observed) ή μεταβλητή εξόδου (output varable) και οι μεταβλητές που θεωρούνται δεδομένες λέγονται ανεξάρτητες (ndependents) ή προβλέπουσες (predctors) ή παλινδρομούσες (regressors) ή μεταβλητές εισόδου (nput varables). Η σχέση που συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητή με τις ανεξάρτητες είναι στατιστική (statstcal) και όχι συναρτησιακή (functonal). Στη στατιστική σχέση, για κάθε τιμή της ανεξάρτητης (-ων) μεταβλητής (-ών) υπολογίζεται μια θεωρητική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής, ενώ η πραγματική τιμή της βρίσκεται μέσα σε ένα εύρος τιμών, το οποίο περιέχει τη θεωρητική τιμή. Στη συναρτησιακή σχέση, δηλαδή σε μια εξίσωση, κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής δίνει πάντα την ίδια τιμή στην εξαρτημένη μεταβλητή (μορφή Y=f(X), όπου Υ και Χ η εξαρτημένη και η ανεξάρτητη μεταβλητή αντίστοιχα). Ωστόσο, για ευκολία χρησιμοποιούμε τον όρο «εξισώσεις παλινδρόμησης», παρόλο που δεν πρόκειται για εξίσωση αλλά για στατιστικό μοντέλο. Η γραμμή παλινδρόμησης Αν παραστήσουμε τα ζεύγη ( X, Y των παρατηρήσεων μεταβλητών σε ένα ) σύστημα ορθογώνιων αξόνων, παρατηρούμε ότι προκύπτει μια διασπορά των 1

3 σημείων που αντιστοιχούν στις μεταβλητές που εξετάζουμε. Η παράσταση αυτή των σημείων καλείται στικτό διάγραμμα ή διάγραμμα διασποράς (scatter dagram, scatter plot) και μπορεί να μας δώσει σημαντικές πληροφορίες για τη σχέση εξάρτησης που ενδεχομένως υπάρχει μεταξύ των μεταβλητών τις οποίες εξετάζουμε. Η απλούστερη περίπτωση παλινδρόμησης είναι η απλή γραμμική παλινδρόμηση (smple lnear regresson), κατά την οποία υπάρχει μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή X και η εξαρτημένη μεταβλητή Y, η οποία μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μία γραμμική συνάρτηση του X (παλινδρόμηση του Y πάνω στο Χ). Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα διάγραμμα διασποράς 5 σημείων και έχει χαραχτεί μια γραμμή (στην περίπτωσή μας ευθεία) που φαίνεται πως περνάει από το μέσο του νέφους των σημείων αυτών. Η ευθεία αυτή έχει τη μορφή Yˆ =b0+b 1 Χ, όπου Yˆ (Υ καπέλο) είναι η εκτιμώμενη (estmated) ή προβλεφθείσα (predcted) ή προσαρμοσθείσα (adjusted, ftted) ή θεωρητική (theoretcal) ή αναμενόμενη (expected) τιμή του Y για δοσμένη τιμή της Χ. Η κάθε τιμή Υ δίνεται από τη σχέση Υ=β 0 +β 1 Χ+e, όπου β 0 και β 1 είναι οι (πραγματικοί) συντελεστές παλινδρόμησης (regresson coeffcents) και e το σφάλμα (error) ή υπόλοιπο (resdual), δηλαδή η διαφορά Y Yˆ. Τα b 0 και b 1 στην ευθεία παλινδρόμησης είναι οι εκτιμητές των συντελεστών παλινδρόμησης (regresson estmators) β 0 και β 1. Η ευθεία απλής γραμμικής παλινδρόμησης.

4 Αν η γραμμή παλινδρόμησης που φαίνεται πως περνάει από το μέσο του νέφους των τιμών ενός διαγράμματος διασποράς δεν είναι ευθεία, τότε θα πρέπει να εκτιμήσουμε μια γραμμή μη γραμμικής παλινδρόμησης (nonlnear regresson), όπως για παράδειγμα αυτή του παρακάτω σχήματος. Στην περίπτωση που οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι παραπάνω από μια (πολλαπλή παλινδρόμηση, multple regresson), τότε θα έχουμε ένα ν-διάστατο διάγραμμα διασποράς, με αριθμό διαστάσεων ν ίσο με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών συν ένα, το οποίο καλείται και επιφάνεια παλινδρόμησης (regresson surface) ή επιφάνεια απόκρισης (response surface). Ένα παράδειγμα τρισδιάστατου διαγράμματος (δηλαδή με ανεξάρτητες μεταβλητές Χ 1 και Χ ) δίνεται στο επόμενο σχήμα. Τέλος, στο τελευταίο σχήμα δίνεται ένα διάγραμμα διασποράς, όπου δε φαίνεται να υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Διάγραμμα διασποράς μη γραμμικής παλινδρόμησης. 3

5 Τρισδιάστατο διάγραμμα διασποράς. Μη ύπαρξη σχέσης μεταξύ μεταβλητών. Το στατιστικό πακέτο SPSS Το στατιστικό πακέτο SPSS (Statstcal Package for the Socal Scences) είναι ένα από τα πιο χρησιμοποιούμενα προγράμματα ηλεκτρονικού υπολογιστή, το οποίο, ανάμεσα στα άλλα, έχει ενσωματωμένα και δυο υποπρογράμματα παλινδρόμησης, το REGRESSION για γραμμική και το NLR για μη γραμμική παλινδρόμηση. Αναφορές σε εντολές του πακέτου αυτού θα γίνονται όπου κρίνεται σκόπιμο. 4

6 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Γενικά Η πιο απλή διαδικασία προσαρμογής μιας γραμμής σε ένα διάγραμμα διασποράς είναι, βέβαια, «με το μάτι». Αυτή όμως έχει πολλά μειονεκτήματα, παρά την απλότητά της. Το κυριότερο είναι η έλλειψη αντικειμενικότητας, αφού διάφορα άτομα μπορούν να χαράξουν διαφορετικές μεταξύ τους γραμμές. Ακόμα και το ίδιο άτομο μπορεί να χαράζει διαφορετικές γραμμές κάθε φορά. Χρειαζόμαστε λοιπόν μια ακριβέστερη μέθοδο για την προσαρμογή μιας γραμμής σε τέτοιου είδους δεδομένα. Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των παραμέτρων της γραμμής παλινδρόμησης που προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα, είναι η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων (least squares method) ή συνηθισμένη μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων (ordnary least squares method). Η μέθοδος αυτή συνίσταται στον προσδιορισμό των παραμέτρων της γραμμής παλινδρόμησης, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων e ( e Y Y ˆ ) =, δηλαδή e mn. Βασικές υποθέσεις Για να εφαρμόσουμε την ανάλυση παλινδρόμησης και να είναι στατιστικά έγκυρα τα αποτελέσματα που θα προκύψουν, θα πρέπει να ισχύουν ορισμένες υποθέσεις, τόσο για τα δεδομένα του δείγματος που θα χρησιμοποιηθούν στην ανάλυση παλινδρόμησης, όσο και για τον πληθυσμό από τον οποίο πάρθηκε το δείγμα. Οι υποθέσεις αυτές είναι: 1. Να ξέρουμε ότι η πραγματική εξίσωση το πληθυσμού, που συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητή Υ με την (τις) ανεξάρτητη (-τες) Χ είναι της μορφής που θέλουμε να προσαρμόσουμε.. Οι τιμές της (των) Χ μεταβλητής (-ών) να είναι γνωστές σταθερές (fxed), όχι τυχαίες. 5

7 3. Οι τιμές της Υ να είναι τυχαίες (random). 4. Οι τιμές της Υ να είναι ασυσχέτιστες (uncorrelated). 5. Η διασπορά ή μεταβλητότητα ή διακύμανση (varance) της Υ να είναι ομοιογενής (homogeneous), δηλαδή σταθερή, σε όλο το εύρος των τιμών της (των) Χ μεταβλητών. 6. Αν, εκτός από την εκτίμηση των συντελεστών παλινδρόμησης, θέλουμε να εκτιμήσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης (confdence ntervals) ή να κάνουμε ελέγχους στατιστικών υποθέσεων (null hypotheses tests) με το t ή F κριτήριο, τότε οι τιμές της Υ πρέπει επιπλέον να ακολουθούν την κανονική κατανομή. 7. Αν, εκτός από την εκτίμηση των συντελεστών παλινδρόμησης, θέλουμε να εκτιμήσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης (confdence ntervals) ή να κάνουμε ελέγχους στατιστικών υποθέσεων (null hypotheses tests) με το t ή F κριτήριο, τότε οι τιμές της Υ πρέπει επιπλέον να είναι και ανεξάρτητες (ndependent). Όταν ικανοποιούνται οι 4 πρώτες υποθέσεις, τότε η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων δίνει τις άριστες (best) ή τις πιο αποτελεσματικές (effcent - effectve) (δηλαδή με τη μικρότερη διασπορά) και αμερόληπτες (unbased) εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης β. Ένας εκτιμητής ˆθ λέγεται αμερόληπτος εκτιμητής μιας παραμέτρου θ, όταν η προσδοκώμενη τιμή του είναι ίση με το θ. Με άλλα λόγια, αν πάρουμε όλα τα δυνατά δείγματα από έναν πληθυσμό (ή πολλά δείγματα) και υπολογίσουμε για το καθένα από αυτά το ˆθ, τότε ο αριθμητικός μέσος όλων των ˆθ θα είναι ίσος με το θ (ή θα πλησιάζει το θ). Παρόλο που οι βασικές υποθέσεις ποτέ δεν πληρούνται με την αυστηρή στατιστική έννοια, τα αποτελέσματα που παίρνουμε με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων θα είναι έγκυρα, όταν οι υποθέσεις ικανοποιούνται κατά προσέγγιση και το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο. Αν δε συμβαίνουν αυτά, τότε ίσως θα πρέπει να επανεξετάσουμε το μοντέλο παλινδρόμησης, να το απορρίψουμε ή να εφαρμόσουμε κάποια άλλη μέθοδο παλινδρόμησης, εκτός των συνηθισμένων ελάχιστων τετραγώνων. Η απευθείας εξέταση της εξαρτημένης μεταβλητής Υ δεν είναι και τόσο χρήσιμη στην παλινδρόμηση, επειδή οι παρατηρήσεις παίρνουν τιμές που είναι συνάρτηση του επιπέδου μέτρησης της (των) ανεξάρτητης (-ων) μεταβλητής (-ών). Έτσι, η εξέτασή 6

8 της γίνεται έμμεσα με την εξέταση των υπολοίπων (e). Μπορούμε, λοιπόν, να εκφράσουμε την 3 η, 4 η, 5 η, 6 η και 7 η υπόθεση ως εξής: 1. Τα σφάλματα (υπόλοιπα) πρέπει να είναι τυχαία.. Τα σφάλματα πρέπει να είναι ασυσχέτιστα. 3. Η διακύμανση των υπολοίπων πρέπει να είναι ομοιογενής (σταθερή) σε όλο το εύρος των πραγματικών τιμών Υ. Εναλλακτικά, μπορούμε να εξετάσουμε αν η διακύμανση των υπολοίπων είναι σταθερή σε όλο το εύρος των θεωρητικών τιμών Yˆ, επειδή οι τιμές των e και της Υ συνήθως συσχετίζονται, ενώ οι τιμές των e και της Yˆ όχι. 4. Τα υπόλοιπα πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή. 5. Τα υπόλοιπα πρέπει να είναι ανεξάρτητα. Προσαρμογή ευθείας γραμμής με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων, δηλαδή e mn. Στην πιο απλή περίπτωση παλινδρόμησης, στην απλή γραμμική παλινδρόμηση, όπου η πραγματική ευθεία είναι η Υ=β0+β 1 Χ+e και η εκτιμηθείσα ευθεία η Yˆ =b0+b 1 Χ, (δες κεφάλαιο 1), οι εκτιμητές b 0 και b 1 υπολογίζονται ως εξής: Υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων: ( ) ( ) e= Y Yˆ = Y b + bx = Y b bx e = Y b bx και b 1 : b 0 b 1 e e Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους (partal dervatves) του ( )( Y b bx) ( Y b bx) = 1 = ( X )( Y b bx) ( Y b bx) = = Χ e ως προς b0 Μηδενίζουμε τις μερικές παραγώγους και λύνουμε το σύστημα Χ ( εξισώσεις και άγνωστοι, οι b 0 και b 1 ): 7

9 e = 0 b ( 0 1 ) Y b bx = Y nb b X= S XY ( b bx) 0 = ( XY ) b X b X = = b1 b =... 0 b1 = όπου n το μέγεθος του δείγματος (ο αριθμός των παρατηρήσεων). Στην εξίσωση Yˆ =b0+b 1 Χ η τιμή του εκτιμητή b 0 του συντελεστή β 0 παριστάνει την τομή της ευθείας με τον άξονα των y και λέγεται σταθερός όρος (ntercept, constant term). Με άλλα λόγια, είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν X=0. Όταν b 0 =0, τότε η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχουμε γραμμική παλινδρόμηση δια της αρχής (lnear regresson through the orgn) ή γραμμική παλινδρόμηση χωρίς σταθερό όρο (no-ntercept lnear regresson, no-constant term lnear regresson). Έστω τώρα δυο τιμές x 1 και x =x 1 +1 της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ. Παίρνοντας τη διαφορά των αντίστοιχων θεωρητικών τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής βρίσκουμε ŷ - ŷ 1 =(b 0 +b 1 x )- (b 0 +b 1 x 1 )=b 1 (x -x 1 )=b 1 (x 1 +1-x 1 )=b 1, δηλαδή ŷ = ŷ 1 +b 1. Συνεπώς, ο εκτιμητής b 1 παριστάνει τη μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν το Χ μεταβληθεί κατά μια μονάδα ή, με άλλα λόγια, την κλίση (slope) της ευθείας παλινδρόμησης. Έτσι, όταν το X αυξηθεί κατά μια μονάδα τότε το Yˆ αυξάνεται κατά b1 μονάδες όταν b 1 <0 ή ελαττώνεται κατά b 1 μονάδες όταν b 1 <0. Στην πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση, όπου οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι παραπάνω από μια, η πραγματική ευθεία είναι η Υ=β 0 +β 1 Χ 1 +β Χ +...+β k X k +e και η εκτιμηθείσα ευθεία η Yˆ =b0+ b 1 Χ 1 +b Χ +...+b k X k. Όμοια με την εφαρμογή της μεθόδου των ελάχιστων τετραγώνων στην απλή γραμμική παλινδρόμηση, υπολογίζουμε το e, τις μερικές παραγώγους του ως προς b 0, b 1,..., b k, τις μηδενίζουμε και καταλήγουμε σε ένα σύστημα pxp, όπου p=ο αριθμός των συντελεστών παλινδρόμησης=k+1. Εδώ, η τιμή του εκτιμητή b 0 του συντελεστή β 0 παριστάνει την τομή της p-διάστατης επιφάνειας των Χ με τον άξονα των y και λέγεται επίσης σταθερός όρος (ntercept, constant term). Με άλλα λόγια, είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν Χ 1 =Χ =...=X k =0. Ανάλογα με την απλή γραμμική παλινδρόμηση, ο εκτιμητής b (=1,, k) παριστάνει τη μεταβολή της 8

10 εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν η Χ μεταβληθεί κατά μια μονάδα και όλες οι άλλες Χ κρατούνται σταθερές. Για την προσαρμογή των γραμμικών εξισώσεων στα δεδομένα, μια από τις πιο χρησιμοποιούμενες μεθόδους εισαγωγής ανεξάρτητων μεταβλητών, που είναι ενσωματωμένη στο υποπρόγραμμα REGRESSION του SPSS, είναι η ENTER. Η μέθοδος ENTER εξαναγκάζει την εισαγωγή όλων των ανεξάρτητων μεταβλητών στο μοντέλο, χωρίς άλλους ελέγχους, απορρίπτοντας, όμως, από την αρχή, τις μεταβλητές για τις οποίες διαπιστώνεται τέλεια πολυσυγγραμμικότητα (multcolnearty) Η πολυσυγγραμμικότητα θα εξηγηθεί παρακάτω, στα μέτρα επάρκειας του μοντέλου. Η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων στη μη γραμμική παλινδρόμηση Η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοστεί και στη μη γραμμική παλινδρόμηση με την ίδια λογική, δηλαδή τον υπολογισμό του e, των μερικών παραγώγων του ως προς b0, b 1,..., b k, το μηδενισμό τους και τέλος τη λύση ενός συστήματος pxp, όπου p=ο αριθμός των συντελεστών παλινδρόμησης=k+1. Όμως, οι υπολογισμοί αυτοί είναι εξαιρετικά πολύπλοκοι και θα πρέπει, σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις, να χρησιμοποιήσουμε επαναληπτικές μεθόδους (αλγόριθμους). Όταν υπάρξει λύση σε ένα τέτοιο σύστημα pxp, μετά από έναν αριθμό επαναλήψεων (teratons), λέμε ότι η επαναληπτική διαδικασία συγκλίνει (converges). Για να εφαρμόσουμε κάποια τέτοια επαναληπτική διαδικασία, συνήθως θα πρέπει να δώσουμε στους εκτιμητές των συντελεστών παλινδρόμησης κάποιες αρχικές τιμές (startng values, ntal values). Οι τιμές αυτές μπορεί να είναι υποθετικές, σε λογικά, βέβαια, πλαίσια, ή προκαταρκτικές εκτιμήσεις που βασίζονται σε οποιαδήποτε πληροφορία είναι διαθέσιμη για την εξίσωση παλινδρόμησης και τα δεδομένα που έχουμε στη διάθεσή μας. Ελπίζεται ότι οι αρχικές αυτές τιμές, θα βελτιωθούν μετά την εκτέλεση ενός αριθμού επαναληπτικών υπολογισμών. Σε μερικά στατιστικά πακέτα (όχι στο SPSS), η τιμή προεπιλογής (default value) για τις αρχικές τιμές των εκτιμητών είναι η μονάδα. Για την προσαρμογή των μη γραμμικών εξισώσεων στα δεδομένα αναπτύχθηκαν διάφοροι αλγόριθμοι και λογισμικά. Η μέθοδος Levenberg Marquardt, η οποία είναι ενσωματωμένη στο υποπρόγραμμα NLR του SPSS, είναι 9

11 η μέθοδος προεπιλογής (default). Πρόκειται για έναν συμβιβασμό δυο μεθόδων, της μεθόδου γραμμικοποίησης (lnearzaton method) ή μεθόδου Gauss-Newton ή σειράς Taylor (Taylor seres method) και της μεθόδου της ταχύτατης καθόδου (steepest descent method). Η μέθοδος Levenberg Marquardt φαίνεται να συνδυάζει τα καλύτερα χαρακτηριστικά και των δυο αυτών μεθόδων, ενώ αποφεύγει τους πιο σοβαρούς περιορισμούς τους. Είναι καλή στο ότι σχεδόν πάντοτε συγκλίνει και δε «σέρνεται», όπως συχνά κάνει η μέθοδος της ταχύτατης καθόδου. Γενικά, πρόκειται για μια μέθοδο που φαίνεται να δουλεύει καλά σε πολλές περιπτώσεις κι έτσι αποτελεί μια λογική πρακτική επιλογή. ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Εκτίμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης Για την εκτίμηση των διαστημάτων εμπιστοσύνης (confdence ntervals) για τους συντελεστές παλινδρόμησης β μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι γενικές στατιστικές σχέσεις που ισχύουν για την εκτίμηση παραμέτρων του πληθυσμού. Έτσι, κάθε συντελεστής παλινδρόμησης παίρνει τιμές μέσα σε ένα κλειστό διάστημα που υπολογίζεται από τη σχέση: όπου: ( a, ) β ( a, ) b t n s b b + t n s b b s b = ο εκτιμητής του συντελεστή παλινδρόμησης β = το τυπικό σφάλμα εκτίμησης του συντελεστή β (δες Βιομετρία Ι) t( a, n p ) = η τιμή της t (Student) κατανομής, για πιθανότητα (probablty) ή επίπεδο σημαντικότητας (sgnfcance level) α/ και (n-p) βαθμούς ελευθερίας (degrees of freedom).. p = αριθμός συντελεστών παλινδρόμησης n = μέγεθος δείγματος (αριθμός παρατηρήσεων) 10

12 Αν το διάστημα εμπιστοσύνης περιέχει την τιμή μηδέν, τότε ο συντελεστής παλινδρόμησης β δε διαφέρει στατιστικά σημαντικά από το μηδέν (για πιθανότητα a). Συνεπώς, θα πρέπει να επανεξετάσουμε (ή να απορρίψουμε) το αντίστοιχο μοντέλο παλινδρόμησης. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να επισημάνουμε πως, ενώ για την γραμμική παλινδρόμηση είναι ξεκάθαροι οι διάφοροι στατιστικοί έλεγχοι, στη μη γραμμική παλινδρόμηση τα πράγματα είναι συγκεχυμένα. Στη γραμμική παλινδρόμηση, όταν τα σφάλματα είναι τυχαία, έχουν ομοιογενή διασπορά και κατανέμονται κανονικά, οι εκτιμητές που παίρνονται με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων έχουν ελάχιστη διασπορά και είναι αμερόληπτοι. Στην περίπτωση των μη γραμμικών μοντέλων, ακόμα και αν ισχύουν οι παραπάνω υποθέσεις για τα σφάλματα, δε μπορεί να γίνουν γενικές διαπιστώσεις σχετικά με τις ιδιότητες των εκτιμητών, εκτός αν πρόκειται για μεγάλα δείγματα. Οι εκτιμητές γενικά δεν είναι αμερόληπτοι, αλλά είναι αμερόληπτοι και ελάχιστης διασποράς εκτιμητές στο όριο (to the lmt), δηλαδή οι ιδιότητές τους είναι προσεγγιστικές ή ασυμπτωτικές (asymptotc). Συνεπώς, τα τυπικά σφάλματα και τα διαστήματα εμπιστοσύνης των εκτιμητών, που υπολογίζονται με τους τύπους που προαναφέρθηκαν, είναι ασυμπτωτικά. Έλεγχοι υποθέσεων Παρακάτω περιγράφονται οι έλεγχοι υποθέσεων που μπορούν να γίνουν για τους συντελεστές παλινδρόμησης, με το F και το t κριτήριο. Και εδώ επισημαίνουμε πως, για τη μη γραμμική παλινδρόμηση, οι έλεγχοι αυτοί είναι προσεγγιστικοί. F-έλεγχος και ανάλυση διακύμανσης Για να ελεγχθεί αν ένα μοντέλο παλινδρόμησης είναι σημαντικό (sgnfcant), δηλαδή αν έστω και ένας συντελεστής παλινδρόμησης (εκτός του σταθερού όρου, αν υπάρχει) διαφέρει στατιστικά σημαντικά από το μηδέν, υπολογίζουμε την ποσότητα F ως εξής: 11

13 F = n n = 1 = 1 ( Yˆ Y ) ( Y Yˆ ) p 1 n p όπου: Υ = η πραγματική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Yˆ = η εκτιμηθείσα τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Y = ο μέσος όρος της εξαρτημένης μεταβλητής n = το μέγεθος του δείγματος p = ο αριθμός των συντελεστών παλινδρόμησης (αν πρόκειται για γραμμική παλινδρόμηση με σταθερό όρο p=k+1). Η μηδενική υπόθεση (null hypothess) είναι: Η 0 : β1 = β =... = βk = 0 και η εναλλακτική της (alternatve): Η 1 : β 0 για τουλάχιστο ένα. Αν F F(α, p, n-p) δεχόμαστε την Η 0, ενώ αν F>F(α, p, n-p) δεχόμαστε την Η 1. Πολλά στατιστικά πακέτα (ανάμεσα σε αυτά και το SPSS), αντί να δίνουν την τιμή F(α, p, n-p), υπολογίζουν τη σημαντικότητα (sgnfcance) του F, δηλαδή την πιθανότητα η κατανομή F(α, p, n-p) να έχει τιμή μεγαλύτερη από το F που υπολογίστηκε. Σε αυτή την περίπτωση, αν (σημαντικότητα του F) α δεχόμαστε την Η 1, ενώ αν (σημαντικότητα του F)>α δεχόμαστε την Η 0. Το SPSS δεν υπολογίζει τη σημαντικότητα του F στη μη γραμμική παλινδρόμηση. Ο πίνακας της ανάλυσης διακύμανσης (Αnalyss Οf Varance, ANOVA) στην παλινδρόμηση έχει ως εξής: Πηγή διακύμανσης (Source of varance) Γραμμή παλινδρόμησης (Regresson) Σφάλμα (Error) Σύνολο (Total) Αθροίσματα τετραγώνων (Sum of Squares,SS) SSR= ( Y Y) ˆ SSE=SST-SSR= Y Y ˆ ( ) SST= ( Y Y) Βαθμοί ελευθερίας (Degrees of Freedom,DF) DFR=p-1 DFE=n-p DFT=n-1 Μέσα τετράγωνα (Mean Squares, MS) SSR MSR = DFR SSE MSE = DFE SST MST = DFT 1

14 MSR Συνεπώς, F =. Στη μη γραμμική παλινδρόμηση, το SPSS δεν υπολογίζει MSE απευθείας την τιμή του F, οπότε θα πρέπει να εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο. t-έλεγχος Για να ελεγχθεί η σημαντικότητα οποιουδήποτε συντελεστή παλινδρόμησης β υπολογίζουμε την ποσότητα t ως εξής: b t = s b Η μηδενική υπόθεση είναι: Η 0 : β = 0 και η εναλλακτική της: Η 1. Η 1 : β 0. Αν t t( a, n ) p δεχόμαστε την Η 0, ενώ αν t > t( a, n p) δεχόμαστε την Όπως και στον F-έλεγχο, πολλά στατιστικά πακέτα (ανάμεσα σε αυτά και το SPSS), αντί να δίνουν την τιμή t( a, n p), υπολογίζουν τη σημαντικότητα (sgnfcance) του t, δηλαδή την πιθανότητα η κατανομή t( a, n p) να έχει τιμή μεγαλύτερη από το t που υπολογίστηκε. Σε αυτή την περίπτωση, αν (σημαντικότητα του t) α δεχόμαστε την Η 1, ενώ αν (σημαντικότητα του t)>α δεχόμαστε την Η 0. Στη μη γραμμική παλινδρόμηση, πρέπει να επισημάνουμε πως αντί για την τιμή t( a, n p ) χρησιμοποιούμε την t( a, n p 1 ). Το SPSS δεν υπολογίζει τη σημαντικότητα του t στη μη γραμμική παλινδρόμηση, ούτε δίνει απευθείας την τιμή του t, αλλά δίνει τα b και s b. ΕΠΑΡΚΕΙΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Αν οι στατιστικοί έλεγχοι που περιγράφτηκαν δώσουν τα επιθυμητά αποτελέσματα, αυτό δε σημαίνει πως το μοντέλο παλινδρόμησης είναι κατάλληλο για 13

15 την εκτίμηση της εξαρτημένης μεταβλητής, γιατί μπορεί να μην πληρούνται μια ή περισσότερες υποθέσεις. Συνήθως τέτοιες παραβιάσεις δεν εντοπίζονται με το t ή το F κριτήριο. Αν η παραβίαση κάποιας (-ων) υπόθεσης (υποθέσεων) είναι σημαντική, τότε δε μπορούμε να πούμε πως η επιλεγμένη εξίσωση παλινδρόμησης προσαρμόζεται επαρκώς ικανοποιητικά στα δεδομένα. Για να ελέγξουμε, λοιπόν, την επάρκεια (suffcency) ενός μοντέλου, μπορούμε να εφαρμόσουμε διάφορους μαθηματικούς και γραφικούς ελέγχους. Ο έλεγχος τυχαιότητας, ο μαθηματικός έλεγχος ομοιογένειας της διακύμανσης και οι μαθηματικοί έλεγχοι κανονικότητας έχουν περιγραφεί στη Βιομετρία Ι. Εδώ θα ασχοληθούμε με το γραφικό έλεγχο ομοιογένειας της διακύμανσης και τους γραφικούς ελέγχους κανονικότητας. Γραφική μέθοδος ελέγχου ομοιογένειας της διακύμανσης Για να ελέγξουμε την ομοιογένεια της διακύμανσης της Υ ή των σφαλμάτων e με γραφικό τρόπο, μπορούμε να κατασκευάσουμε το διάγραμμα διασποράς των τιμών Υ με τις τιμές Χ (αν έχουμε μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή), ή των e με τις Υ, ή των e με τις Yˆ (επειδή οι τιμές των e και της Υ συνήθως συσχετίζονται, ενώ οι τιμές των e και της Yˆ όχι). Τα παραπάνω γραφικά μπορούν να μας αποκαλύψουν την ύπαρξη ανεπάρκειας του μοντέλου παλινδρόμησης. Όταν τα σημεία του γραφικού δίνουν την εντύπωση ότι συγκεντρώνονται μέσα σε μια στενή οριζόντια λωρίδα γύρω από το μηδέν, τότε η διασπορά των σφαλμάτων είναι σταθερή, όπως φαίνεται στην περίπτωση α του σχήματος. Η περίπτωση (β) του σχήματος υποδεικνύει πως η διασπορά των σφαλμάτων δεν είναι σταθερή, αλλά αύξουσα συνάρτηση της μεταβλητής που βρίσκεται στον άξονα των x (της Χ ή της Υ ή της Yˆ ). H μορφή γ του σχήματος δείχνει πως η μεταβλητή που βρίσκεται στον άξονα των x μάλλον ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή (bnomal dstrbuton), πράγμα που είναι ανεπίτρεπτο στην ανάλυση παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων. Τέλος, οι περιπτώσεις (δ) και (ε) του σχήματος είναι μια ένδειξη πως στην εξίσωση θα έπρεπε να περιληφθούν μια ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές ή ότι πρέπει να γίνει κάποιος μετασχηματισμός. Οι παρατηρήσεις για τις περιπτώσεις (β), (δ) και (ε) του σχήματος ισχύουν και για τα γραφικά με κλίσεις προς την αντίθετη κατεύθυνση. 14

16 Μορφές γραφικών υπολοίπων. Παραδείγματα γραφικών υπολοίπων 6 μοντέλων παλινδρόμησης δίνονται στα παρακάτω σχήματα, που προέρχονται από πραγματικά δεδομένα. Σταθερή διακύμανση. Αύξουσα διακύμανση. Διωνυμική κατανομή. Ανάγκη εισαγωγής νέων μεταβλητών ή μετασχηματισμού. 15

17 Ανάγκη εισαγωγής νέων μεταβλητών ή μετασχηματισμού. Ανομοιογενής διακύμανση. Γραφικοί μέθοδοι ελέγχου κανονικότητας Υπάρχουν διάφορες γραφικές μέθοδοι για τον έλεγχο της κανονικότητας μιας μεταβλητής. Το ιστόγραμμα συχνοτήτων (frequency hstogram) χρησιμοποιείται πάρα πολύ στη συνήθη στατιστική ανάλυση. Εμφανίζοντας στο ιστόγραμμα την κανονική καμπύλη μπορούμε να δούμε γραφικά κατά πόσο τα δεδομένα προσεγγίζουν την κανονική κατανομή. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα ιστογράμματα 4 μεταβλητών. Μαθηματικοί έλεγχοι (δες Βιομετρία Ι) έδειξαν πως οι πρώτες δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή, ενώ η τελευταία την ακολουθεί (για πιθανότητα α=1%). Ωστόσο, θα μπορούσαμε ίσως να πούμε πως και η 3 η μεταβλητή προσεγγίζει ικανοποιητικά την κανονική κατανομή. Ιστόγραμμα της 1 ης μεταβλητής. Ιστόγραμμα της ης μεταβλητής. 16

18 Ιστόγραμμα της 3 ης Ιστόγραμμα της 4 ης μεταβλητής. μεταβλητής. Στο φυλλογράφημα (stem and leaf plot), τα δεδομένα ταξινομούνται, δίνοντας προτεραιότητα αρχικά στην τιμή του ακέραιου μέρους τους και μετά στην τιμή του δεκαδικού μέρους τους, σε οριζόντιες σειρές. Οι τιμές των παρατηρήσεων χωρίζονται σε δυο τμήματα, τον κορμό (stem) και το φύλλο (leaf) ως εξής: Τιμή Διαχωρισμός κορμός και φύλλο 15, Στη γραφική παράσταση του φυλλογραφήματος, στη θέση του «και», συχνά χρησιμοποιούνται διάφορα σύμβολα (* t f s. ) για να απεικονίσουν με σύντομο τρόπο τα στοιχεία, όταν αυτά είναι πολλά και συσσωρεύονται στις γραμμές του φυλλογραφήματος. Το φυλλογράφημα έχει τη μορφή του ιστογράμματος, στραμμένου 90 με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα φυλλογραφήματα των 4 προηγούμενων μεταβλητών. Και εδώ, θα μπορούσαμε ίσως να πούμε πως, εκτός από την 4 η μεταβλητή, και η 3 η προσεγγίζει ικανοποιητικά την κανονική κατανομή. Φυλλογράφημα της 1 ης μεταβλητής. Φυλλογράφημα της ης μεταβλητής. 17

19 Φυλλογράφημα της 3 ης μεταβλητής. Φυλλογράφημα της 4 ης μεταβλητής. Με το γραφικό κανονικής πιθανότητας (normal probablty plot), σε κάθε παρατηρηθείσα τιμή, αντιστοιχίζεται η θεωρητική τιμή που θα είχε η παρατήρηση, αν αυτή προέρχονταν από πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή. Αν πραγματικά τα δεδομένα προσεγγίζουν την κανονική κατανομή, τότε η πλειοψηφία των παρατηρήσεων συγκεντρώνονται σε ευθεία γραμμή, διαφορετικά αποκλίνουν έντονα από την ευθεία. Το SPSS ως γραφικά κανονικής πιθανότητας μπορεί να δώσει γραφικά, το κανονικό P-P γραφικό (normal Probablty-Probablty plot) και το κανονικό Q-Q γραφικό (normal Quantles-Quantles plot). Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα κανονικά Ρ-Ρ γραφικά και τα κανονικά Q-Q γραφικά των 4 μεταβλητών που προαναφέρθηκαν. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν είναι τα ίδια με αυτά των ιστογραμμάτων και των φυλλογραφημάτων. Κανονικό Ρ-Ρ γραφικό της 1 ης μεταβλητής. Κανονικό Ρ-Ρ γραφικό της ης μεταβλητής. 18

20 Κανονικό Ρ-Ρ γραφικό της 3 ης μεταβλητής. Κανονικό Ρ-Ρ γραφικό της 4 ης μεταβλητής. Κανονικό Q-Q γραφικό της 1 ης μεταβλητής. Κανονικό Q-Q γραφικό της ης μεταβλητής. Κανονικό Q-Q γραφικό της 3 ης Κανονικό Q-Q γραφικό της 4 ης μεταβλητής. μεταβλητής. Το γραφικό κανονικών αποκλίσεων (detrended normal plot) συμπληρώνει το γραφικό κανονικής πιθανότητας, δίνοντας, στον κάθετο άξονα, τις πραγματικές αποκλίσεις των δεδομένων από την ευθεία γραμμή. Αν τα δεδομένα προέρχονται από κανονικό πληθυσμό, τα σημεία στο γραφικό συγκεντρώνονται γύρω από μια ευθεία που περνάει από το μηδέν, με τυχαίο τρόπο. Αν ακολουθούν κάποιο έντονο σχέδιο, ή, με άλλα λόγια, αν έχουμε μεγάλα εύρη στις αποκλίσεις από τις κανονικές τιμές, τότε μάλλον υπάρχει σημαντική απόκλιση από την κανονικότητα. Το SPSS ως γραφικά κανονικών αποκλίσεων μπορεί να δώσει γραφικά, το γραφικό κανονικών 19

21 αποκλίσεων P-P (detrended normal Probablty-Probablty plot) και το γραφικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q (detrended normal Quantty-Quantty plot). Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα γραφικά κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ και Q-Q των 4 μεταβλητών που προαναφέρθηκαν. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν είναι τα ίδια με αυτά των ιστογραμμάτων και των φυλλογραφημάτων. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ της 1 ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ της ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ της 3 ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ της 4 ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q της 1 ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q της ης μεταβλητής. 0

22 Σχήμα 5.30 Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q της 3 ης μεταβλητής. Σχήμα 5.31 Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q της 4 ης μεταβλητής. Απομονωμένες και ακραίες τιμές Οι απομονωμένες τιμές (outlers) και οι ακραίες τιμές (extremes) είναι παρατηρήσεις που απέχουν πολύ από τις υπόλοιπες τιμές. Πρόκειται για παρατηρήσεις που δεν είναι τυπικές των υπόλοιπων στοιχείων, συνεπώς αποτελούν ιδιομορφία και υποδεικνύουν σημεία που δεν είναι αντιπροσωπευτικά του πληθυσμού, απ όπου προέρχονται τα δεδομένα. Με την εμφάνιση μιας τέτοιας τιμής, η πρώτη σκέψη είναι ότι πρόκειται για μια λανθασμένη μέτρηση, οπότε η τιμή αυτή θα πρέπει να διορθωθεί ή να απομακρυνθεί από το σύνολο των δεδομένων. Η απομάκρυνση «κακών» τιμών και η ανάλυση παλινδρόμησης χωρίς αυτές είναι επιθυμητή, εφόσον χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων, γιατί διαφορετικά η εξίσωση παλινδρόμησης θα «τραβάει» δυσανάλογα προς αυτές τις τιμές. Από την άλλη πλευρά, τέτοιες τιμές μπορεί να είναι απόλυτα σωστές και να παρέχουν πολύτιμες πληροφορίες (για παράδειγμα να είναι αποτέλεσμα αλληλεπίδρασης με κάποια άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή που δεν υπάρχει στην εξίσωση παλινδρόμησης). Συνεπώς, θα πρέπει να έχουμε κάποια ισχυρή ένδειξη, προτού απομακρύνουμε μια ή περισσότερες τέτοιες τιμές. Ως γενικό κανόνα, θα μπορούσαμε να πούμε πως τέτοιες τιμές θα πρέπει να απορρίπτονται, μόνο αν αποτελούν λάθη καταγραφής των δεδομένων ή των οργάνων με τα οποία γίνονται οι μετρήσεις. Απεικόνιση των απομονωμένων και ακραίων τιμών, που τυχόν υπάρχουν, μπορεί να γίνει με το θηκόγραμμα. 1

23 Το θηκόγραμμα. Οι τιμές του κατώτερου (5%) και του ανώτερου (75%) ποσοστημορίου (percentle) προσδιορίζουν την αρχή και το τέλος της θήκης (box), η οποία περιέχει το 50% των τιμών των δεδομένων. Το μήκος της θήκης προσδιορίζεται από τη διαφορά των προαναφερθέντων ποσοστημορίων και εκφράζει το μέγεθος της διασποράς των παρατηρήσεων. Η διάμεσος (medan) παριστάνεται από την οριζόντια γραμμή που τέμνει τη θήκη. Από τη θέση της διαμέσου μπορεί να προσδιοριστεί η ασυμμετρία της κατανομής του δείγματος. Αν η διάμεσος βρίσκεται στο κέντρο, πρόκειται για μια συμμετρική κατανομή, ενώ αν πλησιάζει το κατώτερο ή ανώτερο άκρο της θήκης, τότε έχουμε αντίστοιχα θετική ή αρνητική ασυμμετρία. Οι τιμές που ξεπερνούν το τριπλάσιο μήκος της θήκης, από το ανώτερο ή κατώτερο άκρο της, παρουσιάζονται με και ορίζονται ως ακραίες τιμές, ενώ οι τιμές που βρίσκονται μεταξύ 1,5 ως 3 φορές το μήκος της θήκης παρουσιάζονται με το γράμμα Ο και ορίζονται ως απομονωμένες τιμές. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα θηκογράμματα μεταβλητών. Η μεταβλητή του ενός σχήματος έχει 4 απομονωμένες τιμές και 1 ακραία και είναι συμμετρική, ενώ αυτή του άλλου σχήματος δεν εμφανίζει απομονωμένες και ακραίες τιμές και είναι θετικά συμμετρική.

24 Θηκόγραμμα με απομονωμένες και ακραίες τιμές. Θηκόγραμμα χωρίς απομονωμένες και ακραίες τιμές. Πολυσυγγραμμικότητα Στην ανάλυση της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης, μεταξύ των παλινδρομουσών μεταβλητών Χ μπορεί να εμφανιστεί πολυσυγγραμμικότητα (multcolnearty), με την έννοια της ύπαρξης γραμμικής εξάρτησης μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η ισχυρή γραμμική εξάρτηση μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών επηρεάζει δραματικά την εκτίμηση των συντελεστών παλινδρόμησης, με την έννοια της αύξησης των διασπορών τους. Επίσης, τα διαγνωστικά πολυσυγγραμμικότητας (multcolnearty dagnostcs) μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην επικύρωση εξισώσεων πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης, η οποία αναλύεται παρακάτω. Ένα απλό και συγχρόνως σημαντικό διαγνωστικό πολυσυγγραμμικότητας που υπολογίζει το SPSS είναι ο παράγοντας διόγκωσης διασποράς (Varance Inflaton Factor, VIF), ο οποίος, για την X ανεξάρτητη μεταβλητή (=1,,, k) υπολογίζεται από τον τύπο: όπου: 1 VIF = 1 R R = ο συντελεστής προσδιορισμού (αναλύεται παρακάτω) όταν η X χρησιμοποιείται ως εξαρτημένη μεταβλητή και οι υπόλοιπες X χρησιμοποιούνται ως ανεξάρτητες. 3

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

α + α+ α! (=+9 [1] ι «Analyze-Regression-Linear». «Dependent» ι η η η!ηη ι «Independent(s)» η!ηη. # ι ι ι!η " ι ιηη, ι!" ι ηιι. 1 SPSS ι η η ι ιηη ι η

α + α+ α! (=+9 [1] ι «Analyze-Regression-Linear». «Dependent» ι η η η!ηη ι «Independent(s)» η!ηη. # ι ι ι!η  ι ιηη, ι! ι ηιι. 1 SPSS ι η η ι ιηη ι η # η &, ε ε 007, ιη Pearson r "η η ι ι ι η ι!ι ι ι η ι η!ηη ι ι!ηη. η ι ιηη ι" η ι!"ι 0 ι η ( α ι ι α η 9 ( ι ι / + -predctor varable). * ι ι ι ι η ι ι ι!ηη η "ι ι ι ι!ηη η ι ι η η ι 'ι ι ι (η ) ι η ( "

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (RANK REGRESSION).1 Μονότονη Παλινδρόμηση (Monotonic Regression) Από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του προηγουμένου προβλήματος παρατηρούμε ότι τα ζευγάρια (Χ i, i )

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA 7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA Παράδειγμα Μετρήσεις της συγκέντρωσης του strodum (mg/ml) σε πέντε υδάτινες περιοχές (Α,Β,C,D,Ε). Α Β C D Ε 8, 39,6 46,3 4,0 56,3 33, 40,8 4, 44, 54, 36,4 37,9 43,5 46,4 59,4

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΠΟΤΕ ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑ ΙΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης

Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Πέτρος Ρούσσος Πρόγραμμα Ψυχολογίας, ΦΠΨ, ΕΚΠΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1 Ορολογία Προβλεπτικές μεταβλητές ή παράγοντες (predictors) Μεταβλητή κριτήριο (criterion) Απλή και πολλαπλή παλινδρόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION)

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) 4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης (stepwise regression) είναι μιά άλλη μέθοδος επιλογής ενός "καλού" υποσυνόλου ανεξαρτήτων μεταβλητών.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 09-10-2015 Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων Βασικές έννοιες Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 30-10-2015 1. Στατιστικοί παράμετροι - Διάστημα εμπιστοσύνης Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Παλινδρόμηση & Διαχωριστική Ανάλυση

Λογιστική Παλινδρόμηση & Διαχωριστική Ανάλυση ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» Λογιστική Παλινδρόμηση & Διαχωριστική Ανάλυση ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα