ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Τμήμα Δασολογίας και Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων 4 0 εξάμηνο ΚΙΤΙΚΙΔΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχέσεις εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών Ο κλάδος της Στατιστικής που εξετάζει τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών με απώτερο σκοπό την πρόβλεψη μιας από αυτές μέσω των άλλων χαρακτηρίζεται με την ονομασία ανάλυση παλινδρόμησης (regresson analyss). Οι μεταβλητές αυτές θα πρέπει να είναι ποσοτικές (quanttatve), δηλαδή να εκφράζονται είτε σε κλίμακα διαστημάτων (nterval scale) είτε σε αναλογική κλίμακα (rato scale). Κάθε μεταβλητή έχει έναν αριθμό τιμών (values) ή παρατηρήσεων (observatons) ή περιπτώσεων (cases). Η ανάλυση παλινδρόμησης μπορεί να εφαρμοστεί και σε ποιοτικές (qualtatve) μεταβλητές, όμως δε θα ασχοληθούμε με αυτή την περίπτωση. Η μεταβλητή που θέλουμε να εκτιμήσουμε ή να προβλέψουμε λέγεται εξαρτημένη (dependent) ή αποκριτική (responsve) ή πραγματική ή παρατηρηθείσα (observed) ή μεταβλητή εξόδου (output varable) και οι μεταβλητές που θεωρούνται δεδομένες λέγονται ανεξάρτητες (ndependents) ή προβλέπουσες (predctors) ή παλινδρομούσες (regressors) ή μεταβλητές εισόδου (nput varables). Η σχέση που συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητή με τις ανεξάρτητες είναι στατιστική (statstcal) και όχι συναρτησιακή (functonal). Στη στατιστική σχέση, για κάθε τιμή της ανεξάρτητης (-ων) μεταβλητής (-ών) υπολογίζεται μια θεωρητική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής, ενώ η πραγματική τιμή της βρίσκεται μέσα σε ένα εύρος τιμών, το οποίο περιέχει τη θεωρητική τιμή. Στη συναρτησιακή σχέση, δηλαδή σε μια εξίσωση, κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής δίνει πάντα την ίδια τιμή στην εξαρτημένη μεταβλητή (μορφή Y=f(X), όπου Υ και Χ η εξαρτημένη και η ανεξάρτητη μεταβλητή αντίστοιχα). Ωστόσο, για ευκολία χρησιμοποιούμε τον όρο «εξισώσεις παλινδρόμησης», παρόλο που δεν πρόκειται για εξίσωση αλλά για στατιστικό μοντέλο. Η γραμμή παλινδρόμησης Αν παραστήσουμε τα ζεύγη ( X, Y των παρατηρήσεων μεταβλητών σε ένα ) σύστημα ορθογώνιων αξόνων, παρατηρούμε ότι προκύπτει μια διασπορά των 1

3 σημείων που αντιστοιχούν στις μεταβλητές που εξετάζουμε. Η παράσταση αυτή των σημείων καλείται στικτό διάγραμμα ή διάγραμμα διασποράς (scatter dagram, scatter plot) και μπορεί να μας δώσει σημαντικές πληροφορίες για τη σχέση εξάρτησης που ενδεχομένως υπάρχει μεταξύ των μεταβλητών τις οποίες εξετάζουμε. Η απλούστερη περίπτωση παλινδρόμησης είναι η απλή γραμμική παλινδρόμηση (smple lnear regresson), κατά την οποία υπάρχει μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή X και η εξαρτημένη μεταβλητή Y, η οποία μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μία γραμμική συνάρτηση του X (παλινδρόμηση του Y πάνω στο Χ). Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένα διάγραμμα διασποράς 5 σημείων και έχει χαραχτεί μια γραμμή (στην περίπτωσή μας ευθεία) που φαίνεται πως περνάει από το μέσο του νέφους των σημείων αυτών. Η ευθεία αυτή έχει τη μορφή Yˆ =b0+b 1 Χ, όπου Yˆ (Υ καπέλο) είναι η εκτιμώμενη (estmated) ή προβλεφθείσα (predcted) ή προσαρμοσθείσα (adjusted, ftted) ή θεωρητική (theoretcal) ή αναμενόμενη (expected) τιμή του Y για δοσμένη τιμή της Χ. Η κάθε τιμή Υ δίνεται από τη σχέση Υ=β 0 +β 1 Χ+e, όπου β 0 και β 1 είναι οι (πραγματικοί) συντελεστές παλινδρόμησης (regresson coeffcents) και e το σφάλμα (error) ή υπόλοιπο (resdual), δηλαδή η διαφορά Y Yˆ. Τα b 0 και b 1 στην ευθεία παλινδρόμησης είναι οι εκτιμητές των συντελεστών παλινδρόμησης (regresson estmators) β 0 και β 1. Η ευθεία απλής γραμμικής παλινδρόμησης.

4 Αν η γραμμή παλινδρόμησης που φαίνεται πως περνάει από το μέσο του νέφους των τιμών ενός διαγράμματος διασποράς δεν είναι ευθεία, τότε θα πρέπει να εκτιμήσουμε μια γραμμή μη γραμμικής παλινδρόμησης (nonlnear regresson), όπως για παράδειγμα αυτή του παρακάτω σχήματος. Στην περίπτωση που οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι παραπάνω από μια (πολλαπλή παλινδρόμηση, multple regresson), τότε θα έχουμε ένα ν-διάστατο διάγραμμα διασποράς, με αριθμό διαστάσεων ν ίσο με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών συν ένα, το οποίο καλείται και επιφάνεια παλινδρόμησης (regresson surface) ή επιφάνεια απόκρισης (response surface). Ένα παράδειγμα τρισδιάστατου διαγράμματος (δηλαδή με ανεξάρτητες μεταβλητές Χ 1 και Χ ) δίνεται στο επόμενο σχήμα. Τέλος, στο τελευταίο σχήμα δίνεται ένα διάγραμμα διασποράς, όπου δε φαίνεται να υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Διάγραμμα διασποράς μη γραμμικής παλινδρόμησης. 3

5 Τρισδιάστατο διάγραμμα διασποράς. Μη ύπαρξη σχέσης μεταξύ μεταβλητών. Το στατιστικό πακέτο SPSS Το στατιστικό πακέτο SPSS (Statstcal Package for the Socal Scences) είναι ένα από τα πιο χρησιμοποιούμενα προγράμματα ηλεκτρονικού υπολογιστή, το οποίο, ανάμεσα στα άλλα, έχει ενσωματωμένα και δυο υποπρογράμματα παλινδρόμησης, το REGRESSION για γραμμική και το NLR για μη γραμμική παλινδρόμηση. Αναφορές σε εντολές του πακέτου αυτού θα γίνονται όπου κρίνεται σκόπιμο. 4

6 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Γενικά Η πιο απλή διαδικασία προσαρμογής μιας γραμμής σε ένα διάγραμμα διασποράς είναι, βέβαια, «με το μάτι». Αυτή όμως έχει πολλά μειονεκτήματα, παρά την απλότητά της. Το κυριότερο είναι η έλλειψη αντικειμενικότητας, αφού διάφορα άτομα μπορούν να χαράξουν διαφορετικές μεταξύ τους γραμμές. Ακόμα και το ίδιο άτομο μπορεί να χαράζει διαφορετικές γραμμές κάθε φορά. Χρειαζόμαστε λοιπόν μια ακριβέστερη μέθοδο για την προσαρμογή μιας γραμμής σε τέτοιου είδους δεδομένα. Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση των παραμέτρων της γραμμής παλινδρόμησης που προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα, είναι η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων (least squares method) ή συνηθισμένη μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων (ordnary least squares method). Η μέθοδος αυτή συνίσταται στον προσδιορισμό των παραμέτρων της γραμμής παλινδρόμησης, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων e ( e Y Y ˆ ) =, δηλαδή e mn. Βασικές υποθέσεις Για να εφαρμόσουμε την ανάλυση παλινδρόμησης και να είναι στατιστικά έγκυρα τα αποτελέσματα που θα προκύψουν, θα πρέπει να ισχύουν ορισμένες υποθέσεις, τόσο για τα δεδομένα του δείγματος που θα χρησιμοποιηθούν στην ανάλυση παλινδρόμησης, όσο και για τον πληθυσμό από τον οποίο πάρθηκε το δείγμα. Οι υποθέσεις αυτές είναι: 1. Να ξέρουμε ότι η πραγματική εξίσωση το πληθυσμού, που συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητή Υ με την (τις) ανεξάρτητη (-τες) Χ είναι της μορφής που θέλουμε να προσαρμόσουμε.. Οι τιμές της (των) Χ μεταβλητής (-ών) να είναι γνωστές σταθερές (fxed), όχι τυχαίες. 5

7 3. Οι τιμές της Υ να είναι τυχαίες (random). 4. Οι τιμές της Υ να είναι ασυσχέτιστες (uncorrelated). 5. Η διασπορά ή μεταβλητότητα ή διακύμανση (varance) της Υ να είναι ομοιογενής (homogeneous), δηλαδή σταθερή, σε όλο το εύρος των τιμών της (των) Χ μεταβλητών. 6. Αν, εκτός από την εκτίμηση των συντελεστών παλινδρόμησης, θέλουμε να εκτιμήσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης (confdence ntervals) ή να κάνουμε ελέγχους στατιστικών υποθέσεων (null hypotheses tests) με το t ή F κριτήριο, τότε οι τιμές της Υ πρέπει επιπλέον να ακολουθούν την κανονική κατανομή. 7. Αν, εκτός από την εκτίμηση των συντελεστών παλινδρόμησης, θέλουμε να εκτιμήσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης (confdence ntervals) ή να κάνουμε ελέγχους στατιστικών υποθέσεων (null hypotheses tests) με το t ή F κριτήριο, τότε οι τιμές της Υ πρέπει επιπλέον να είναι και ανεξάρτητες (ndependent). Όταν ικανοποιούνται οι 4 πρώτες υποθέσεις, τότε η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων δίνει τις άριστες (best) ή τις πιο αποτελεσματικές (effcent - effectve) (δηλαδή με τη μικρότερη διασπορά) και αμερόληπτες (unbased) εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης β. Ένας εκτιμητής ˆθ λέγεται αμερόληπτος εκτιμητής μιας παραμέτρου θ, όταν η προσδοκώμενη τιμή του είναι ίση με το θ. Με άλλα λόγια, αν πάρουμε όλα τα δυνατά δείγματα από έναν πληθυσμό (ή πολλά δείγματα) και υπολογίσουμε για το καθένα από αυτά το ˆθ, τότε ο αριθμητικός μέσος όλων των ˆθ θα είναι ίσος με το θ (ή θα πλησιάζει το θ). Παρόλο που οι βασικές υποθέσεις ποτέ δεν πληρούνται με την αυστηρή στατιστική έννοια, τα αποτελέσματα που παίρνουμε με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων θα είναι έγκυρα, όταν οι υποθέσεις ικανοποιούνται κατά προσέγγιση και το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο. Αν δε συμβαίνουν αυτά, τότε ίσως θα πρέπει να επανεξετάσουμε το μοντέλο παλινδρόμησης, να το απορρίψουμε ή να εφαρμόσουμε κάποια άλλη μέθοδο παλινδρόμησης, εκτός των συνηθισμένων ελάχιστων τετραγώνων. Η απευθείας εξέταση της εξαρτημένης μεταβλητής Υ δεν είναι και τόσο χρήσιμη στην παλινδρόμηση, επειδή οι παρατηρήσεις παίρνουν τιμές που είναι συνάρτηση του επιπέδου μέτρησης της (των) ανεξάρτητης (-ων) μεταβλητής (-ών). Έτσι, η εξέτασή 6

8 της γίνεται έμμεσα με την εξέταση των υπολοίπων (e). Μπορούμε, λοιπόν, να εκφράσουμε την 3 η, 4 η, 5 η, 6 η και 7 η υπόθεση ως εξής: 1. Τα σφάλματα (υπόλοιπα) πρέπει να είναι τυχαία.. Τα σφάλματα πρέπει να είναι ασυσχέτιστα. 3. Η διακύμανση των υπολοίπων πρέπει να είναι ομοιογενής (σταθερή) σε όλο το εύρος των πραγματικών τιμών Υ. Εναλλακτικά, μπορούμε να εξετάσουμε αν η διακύμανση των υπολοίπων είναι σταθερή σε όλο το εύρος των θεωρητικών τιμών Yˆ, επειδή οι τιμές των e και της Υ συνήθως συσχετίζονται, ενώ οι τιμές των e και της Yˆ όχι. 4. Τα υπόλοιπα πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή. 5. Τα υπόλοιπα πρέπει να είναι ανεξάρτητα. Προσαρμογή ευθείας γραμμής με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων, δηλαδή e mn. Στην πιο απλή περίπτωση παλινδρόμησης, στην απλή γραμμική παλινδρόμηση, όπου η πραγματική ευθεία είναι η Υ=β0+β 1 Χ+e και η εκτιμηθείσα ευθεία η Yˆ =b0+b 1 Χ, (δες κεφάλαιο 1), οι εκτιμητές b 0 και b 1 υπολογίζονται ως εξής: Υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων: ( ) ( ) e= Y Yˆ = Y b + bx = Y b bx e = Y b bx και b 1 : b 0 b 1 e e Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους (partal dervatves) του ( )( Y b bx) ( Y b bx) = 1 = ( X )( Y b bx) ( Y b bx) = = Χ e ως προς b0 Μηδενίζουμε τις μερικές παραγώγους και λύνουμε το σύστημα Χ ( εξισώσεις και άγνωστοι, οι b 0 και b 1 ): 7

9 e = 0 b ( 0 1 ) Y b bx = Y nb b X= S XY ( b bx) 0 = ( XY ) b X b X = = b1 b =... 0 b1 = όπου n το μέγεθος του δείγματος (ο αριθμός των παρατηρήσεων). Στην εξίσωση Yˆ =b0+b 1 Χ η τιμή του εκτιμητή b 0 του συντελεστή β 0 παριστάνει την τομή της ευθείας με τον άξονα των y και λέγεται σταθερός όρος (ntercept, constant term). Με άλλα λόγια, είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν X=0. Όταν b 0 =0, τότε η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχουμε γραμμική παλινδρόμηση δια της αρχής (lnear regresson through the orgn) ή γραμμική παλινδρόμηση χωρίς σταθερό όρο (no-ntercept lnear regresson, no-constant term lnear regresson). Έστω τώρα δυο τιμές x 1 και x =x 1 +1 της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ. Παίρνοντας τη διαφορά των αντίστοιχων θεωρητικών τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής βρίσκουμε ŷ - ŷ 1 =(b 0 +b 1 x )- (b 0 +b 1 x 1 )=b 1 (x -x 1 )=b 1 (x 1 +1-x 1 )=b 1, δηλαδή ŷ = ŷ 1 +b 1. Συνεπώς, ο εκτιμητής b 1 παριστάνει τη μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν το Χ μεταβληθεί κατά μια μονάδα ή, με άλλα λόγια, την κλίση (slope) της ευθείας παλινδρόμησης. Έτσι, όταν το X αυξηθεί κατά μια μονάδα τότε το Yˆ αυξάνεται κατά b1 μονάδες όταν b 1 <0 ή ελαττώνεται κατά b 1 μονάδες όταν b 1 <0. Στην πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση, όπου οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι παραπάνω από μια, η πραγματική ευθεία είναι η Υ=β 0 +β 1 Χ 1 +β Χ +...+β k X k +e και η εκτιμηθείσα ευθεία η Yˆ =b0+ b 1 Χ 1 +b Χ +...+b k X k. Όμοια με την εφαρμογή της μεθόδου των ελάχιστων τετραγώνων στην απλή γραμμική παλινδρόμηση, υπολογίζουμε το e, τις μερικές παραγώγους του ως προς b 0, b 1,..., b k, τις μηδενίζουμε και καταλήγουμε σε ένα σύστημα pxp, όπου p=ο αριθμός των συντελεστών παλινδρόμησης=k+1. Εδώ, η τιμή του εκτιμητή b 0 του συντελεστή β 0 παριστάνει την τομή της p-διάστατης επιφάνειας των Χ με τον άξονα των y και λέγεται επίσης σταθερός όρος (ntercept, constant term). Με άλλα λόγια, είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν Χ 1 =Χ =...=X k =0. Ανάλογα με την απλή γραμμική παλινδρόμηση, ο εκτιμητής b (=1,, k) παριστάνει τη μεταβολή της 8

10 εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν η Χ μεταβληθεί κατά μια μονάδα και όλες οι άλλες Χ κρατούνται σταθερές. Για την προσαρμογή των γραμμικών εξισώσεων στα δεδομένα, μια από τις πιο χρησιμοποιούμενες μεθόδους εισαγωγής ανεξάρτητων μεταβλητών, που είναι ενσωματωμένη στο υποπρόγραμμα REGRESSION του SPSS, είναι η ENTER. Η μέθοδος ENTER εξαναγκάζει την εισαγωγή όλων των ανεξάρτητων μεταβλητών στο μοντέλο, χωρίς άλλους ελέγχους, απορρίπτοντας, όμως, από την αρχή, τις μεταβλητές για τις οποίες διαπιστώνεται τέλεια πολυσυγγραμμικότητα (multcolnearty) Η πολυσυγγραμμικότητα θα εξηγηθεί παρακάτω, στα μέτρα επάρκειας του μοντέλου. Η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων στη μη γραμμική παλινδρόμηση Η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοστεί και στη μη γραμμική παλινδρόμηση με την ίδια λογική, δηλαδή τον υπολογισμό του e, των μερικών παραγώγων του ως προς b0, b 1,..., b k, το μηδενισμό τους και τέλος τη λύση ενός συστήματος pxp, όπου p=ο αριθμός των συντελεστών παλινδρόμησης=k+1. Όμως, οι υπολογισμοί αυτοί είναι εξαιρετικά πολύπλοκοι και θα πρέπει, σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις, να χρησιμοποιήσουμε επαναληπτικές μεθόδους (αλγόριθμους). Όταν υπάρξει λύση σε ένα τέτοιο σύστημα pxp, μετά από έναν αριθμό επαναλήψεων (teratons), λέμε ότι η επαναληπτική διαδικασία συγκλίνει (converges). Για να εφαρμόσουμε κάποια τέτοια επαναληπτική διαδικασία, συνήθως θα πρέπει να δώσουμε στους εκτιμητές των συντελεστών παλινδρόμησης κάποιες αρχικές τιμές (startng values, ntal values). Οι τιμές αυτές μπορεί να είναι υποθετικές, σε λογικά, βέβαια, πλαίσια, ή προκαταρκτικές εκτιμήσεις που βασίζονται σε οποιαδήποτε πληροφορία είναι διαθέσιμη για την εξίσωση παλινδρόμησης και τα δεδομένα που έχουμε στη διάθεσή μας. Ελπίζεται ότι οι αρχικές αυτές τιμές, θα βελτιωθούν μετά την εκτέλεση ενός αριθμού επαναληπτικών υπολογισμών. Σε μερικά στατιστικά πακέτα (όχι στο SPSS), η τιμή προεπιλογής (default value) για τις αρχικές τιμές των εκτιμητών είναι η μονάδα. Για την προσαρμογή των μη γραμμικών εξισώσεων στα δεδομένα αναπτύχθηκαν διάφοροι αλγόριθμοι και λογισμικά. Η μέθοδος Levenberg Marquardt, η οποία είναι ενσωματωμένη στο υποπρόγραμμα NLR του SPSS, είναι 9

11 η μέθοδος προεπιλογής (default). Πρόκειται για έναν συμβιβασμό δυο μεθόδων, της μεθόδου γραμμικοποίησης (lnearzaton method) ή μεθόδου Gauss-Newton ή σειράς Taylor (Taylor seres method) και της μεθόδου της ταχύτατης καθόδου (steepest descent method). Η μέθοδος Levenberg Marquardt φαίνεται να συνδυάζει τα καλύτερα χαρακτηριστικά και των δυο αυτών μεθόδων, ενώ αποφεύγει τους πιο σοβαρούς περιορισμούς τους. Είναι καλή στο ότι σχεδόν πάντοτε συγκλίνει και δε «σέρνεται», όπως συχνά κάνει η μέθοδος της ταχύτατης καθόδου. Γενικά, πρόκειται για μια μέθοδο που φαίνεται να δουλεύει καλά σε πολλές περιπτώσεις κι έτσι αποτελεί μια λογική πρακτική επιλογή. ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Εκτίμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης Για την εκτίμηση των διαστημάτων εμπιστοσύνης (confdence ntervals) για τους συντελεστές παλινδρόμησης β μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι γενικές στατιστικές σχέσεις που ισχύουν για την εκτίμηση παραμέτρων του πληθυσμού. Έτσι, κάθε συντελεστής παλινδρόμησης παίρνει τιμές μέσα σε ένα κλειστό διάστημα που υπολογίζεται από τη σχέση: όπου: ( a, ) β ( a, ) b t n s b b + t n s b b s b = ο εκτιμητής του συντελεστή παλινδρόμησης β = το τυπικό σφάλμα εκτίμησης του συντελεστή β (δες Βιομετρία Ι) t( a, n p ) = η τιμή της t (Student) κατανομής, για πιθανότητα (probablty) ή επίπεδο σημαντικότητας (sgnfcance level) α/ και (n-p) βαθμούς ελευθερίας (degrees of freedom).. p = αριθμός συντελεστών παλινδρόμησης n = μέγεθος δείγματος (αριθμός παρατηρήσεων) 10

12 Αν το διάστημα εμπιστοσύνης περιέχει την τιμή μηδέν, τότε ο συντελεστής παλινδρόμησης β δε διαφέρει στατιστικά σημαντικά από το μηδέν (για πιθανότητα a). Συνεπώς, θα πρέπει να επανεξετάσουμε (ή να απορρίψουμε) το αντίστοιχο μοντέλο παλινδρόμησης. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να επισημάνουμε πως, ενώ για την γραμμική παλινδρόμηση είναι ξεκάθαροι οι διάφοροι στατιστικοί έλεγχοι, στη μη γραμμική παλινδρόμηση τα πράγματα είναι συγκεχυμένα. Στη γραμμική παλινδρόμηση, όταν τα σφάλματα είναι τυχαία, έχουν ομοιογενή διασπορά και κατανέμονται κανονικά, οι εκτιμητές που παίρνονται με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων έχουν ελάχιστη διασπορά και είναι αμερόληπτοι. Στην περίπτωση των μη γραμμικών μοντέλων, ακόμα και αν ισχύουν οι παραπάνω υποθέσεις για τα σφάλματα, δε μπορεί να γίνουν γενικές διαπιστώσεις σχετικά με τις ιδιότητες των εκτιμητών, εκτός αν πρόκειται για μεγάλα δείγματα. Οι εκτιμητές γενικά δεν είναι αμερόληπτοι, αλλά είναι αμερόληπτοι και ελάχιστης διασποράς εκτιμητές στο όριο (to the lmt), δηλαδή οι ιδιότητές τους είναι προσεγγιστικές ή ασυμπτωτικές (asymptotc). Συνεπώς, τα τυπικά σφάλματα και τα διαστήματα εμπιστοσύνης των εκτιμητών, που υπολογίζονται με τους τύπους που προαναφέρθηκαν, είναι ασυμπτωτικά. Έλεγχοι υποθέσεων Παρακάτω περιγράφονται οι έλεγχοι υποθέσεων που μπορούν να γίνουν για τους συντελεστές παλινδρόμησης, με το F και το t κριτήριο. Και εδώ επισημαίνουμε πως, για τη μη γραμμική παλινδρόμηση, οι έλεγχοι αυτοί είναι προσεγγιστικοί. F-έλεγχος και ανάλυση διακύμανσης Για να ελεγχθεί αν ένα μοντέλο παλινδρόμησης είναι σημαντικό (sgnfcant), δηλαδή αν έστω και ένας συντελεστής παλινδρόμησης (εκτός του σταθερού όρου, αν υπάρχει) διαφέρει στατιστικά σημαντικά από το μηδέν, υπολογίζουμε την ποσότητα F ως εξής: 11

13 F = n n = 1 = 1 ( Yˆ Y ) ( Y Yˆ ) p 1 n p όπου: Υ = η πραγματική τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Yˆ = η εκτιμηθείσα τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Y = ο μέσος όρος της εξαρτημένης μεταβλητής n = το μέγεθος του δείγματος p = ο αριθμός των συντελεστών παλινδρόμησης (αν πρόκειται για γραμμική παλινδρόμηση με σταθερό όρο p=k+1). Η μηδενική υπόθεση (null hypothess) είναι: Η 0 : β1 = β =... = βk = 0 και η εναλλακτική της (alternatve): Η 1 : β 0 για τουλάχιστο ένα. Αν F F(α, p, n-p) δεχόμαστε την Η 0, ενώ αν F>F(α, p, n-p) δεχόμαστε την Η 1. Πολλά στατιστικά πακέτα (ανάμεσα σε αυτά και το SPSS), αντί να δίνουν την τιμή F(α, p, n-p), υπολογίζουν τη σημαντικότητα (sgnfcance) του F, δηλαδή την πιθανότητα η κατανομή F(α, p, n-p) να έχει τιμή μεγαλύτερη από το F που υπολογίστηκε. Σε αυτή την περίπτωση, αν (σημαντικότητα του F) α δεχόμαστε την Η 1, ενώ αν (σημαντικότητα του F)>α δεχόμαστε την Η 0. Το SPSS δεν υπολογίζει τη σημαντικότητα του F στη μη γραμμική παλινδρόμηση. Ο πίνακας της ανάλυσης διακύμανσης (Αnalyss Οf Varance, ANOVA) στην παλινδρόμηση έχει ως εξής: Πηγή διακύμανσης (Source of varance) Γραμμή παλινδρόμησης (Regresson) Σφάλμα (Error) Σύνολο (Total) Αθροίσματα τετραγώνων (Sum of Squares,SS) SSR= ( Y Y) ˆ SSE=SST-SSR= Y Y ˆ ( ) SST= ( Y Y) Βαθμοί ελευθερίας (Degrees of Freedom,DF) DFR=p-1 DFE=n-p DFT=n-1 Μέσα τετράγωνα (Mean Squares, MS) SSR MSR = DFR SSE MSE = DFE SST MST = DFT 1

14 MSR Συνεπώς, F =. Στη μη γραμμική παλινδρόμηση, το SPSS δεν υπολογίζει MSE απευθείας την τιμή του F, οπότε θα πρέπει να εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο. t-έλεγχος Για να ελεγχθεί η σημαντικότητα οποιουδήποτε συντελεστή παλινδρόμησης β υπολογίζουμε την ποσότητα t ως εξής: b t = s b Η μηδενική υπόθεση είναι: Η 0 : β = 0 και η εναλλακτική της: Η 1. Η 1 : β 0. Αν t t( a, n ) p δεχόμαστε την Η 0, ενώ αν t > t( a, n p) δεχόμαστε την Όπως και στον F-έλεγχο, πολλά στατιστικά πακέτα (ανάμεσα σε αυτά και το SPSS), αντί να δίνουν την τιμή t( a, n p), υπολογίζουν τη σημαντικότητα (sgnfcance) του t, δηλαδή την πιθανότητα η κατανομή t( a, n p) να έχει τιμή μεγαλύτερη από το t που υπολογίστηκε. Σε αυτή την περίπτωση, αν (σημαντικότητα του t) α δεχόμαστε την Η 1, ενώ αν (σημαντικότητα του t)>α δεχόμαστε την Η 0. Στη μη γραμμική παλινδρόμηση, πρέπει να επισημάνουμε πως αντί για την τιμή t( a, n p ) χρησιμοποιούμε την t( a, n p 1 ). Το SPSS δεν υπολογίζει τη σημαντικότητα του t στη μη γραμμική παλινδρόμηση, ούτε δίνει απευθείας την τιμή του t, αλλά δίνει τα b και s b. ΕΠΑΡΚΕΙΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Αν οι στατιστικοί έλεγχοι που περιγράφτηκαν δώσουν τα επιθυμητά αποτελέσματα, αυτό δε σημαίνει πως το μοντέλο παλινδρόμησης είναι κατάλληλο για 13

15 την εκτίμηση της εξαρτημένης μεταβλητής, γιατί μπορεί να μην πληρούνται μια ή περισσότερες υποθέσεις. Συνήθως τέτοιες παραβιάσεις δεν εντοπίζονται με το t ή το F κριτήριο. Αν η παραβίαση κάποιας (-ων) υπόθεσης (υποθέσεων) είναι σημαντική, τότε δε μπορούμε να πούμε πως η επιλεγμένη εξίσωση παλινδρόμησης προσαρμόζεται επαρκώς ικανοποιητικά στα δεδομένα. Για να ελέγξουμε, λοιπόν, την επάρκεια (suffcency) ενός μοντέλου, μπορούμε να εφαρμόσουμε διάφορους μαθηματικούς και γραφικούς ελέγχους. Ο έλεγχος τυχαιότητας, ο μαθηματικός έλεγχος ομοιογένειας της διακύμανσης και οι μαθηματικοί έλεγχοι κανονικότητας έχουν περιγραφεί στη Βιομετρία Ι. Εδώ θα ασχοληθούμε με το γραφικό έλεγχο ομοιογένειας της διακύμανσης και τους γραφικούς ελέγχους κανονικότητας. Γραφική μέθοδος ελέγχου ομοιογένειας της διακύμανσης Για να ελέγξουμε την ομοιογένεια της διακύμανσης της Υ ή των σφαλμάτων e με γραφικό τρόπο, μπορούμε να κατασκευάσουμε το διάγραμμα διασποράς των τιμών Υ με τις τιμές Χ (αν έχουμε μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή), ή των e με τις Υ, ή των e με τις Yˆ (επειδή οι τιμές των e και της Υ συνήθως συσχετίζονται, ενώ οι τιμές των e και της Yˆ όχι). Τα παραπάνω γραφικά μπορούν να μας αποκαλύψουν την ύπαρξη ανεπάρκειας του μοντέλου παλινδρόμησης. Όταν τα σημεία του γραφικού δίνουν την εντύπωση ότι συγκεντρώνονται μέσα σε μια στενή οριζόντια λωρίδα γύρω από το μηδέν, τότε η διασπορά των σφαλμάτων είναι σταθερή, όπως φαίνεται στην περίπτωση α του σχήματος. Η περίπτωση (β) του σχήματος υποδεικνύει πως η διασπορά των σφαλμάτων δεν είναι σταθερή, αλλά αύξουσα συνάρτηση της μεταβλητής που βρίσκεται στον άξονα των x (της Χ ή της Υ ή της Yˆ ). H μορφή γ του σχήματος δείχνει πως η μεταβλητή που βρίσκεται στον άξονα των x μάλλον ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή (bnomal dstrbuton), πράγμα που είναι ανεπίτρεπτο στην ανάλυση παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων. Τέλος, οι περιπτώσεις (δ) και (ε) του σχήματος είναι μια ένδειξη πως στην εξίσωση θα έπρεπε να περιληφθούν μια ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές ή ότι πρέπει να γίνει κάποιος μετασχηματισμός. Οι παρατηρήσεις για τις περιπτώσεις (β), (δ) και (ε) του σχήματος ισχύουν και για τα γραφικά με κλίσεις προς την αντίθετη κατεύθυνση. 14

16 Μορφές γραφικών υπολοίπων. Παραδείγματα γραφικών υπολοίπων 6 μοντέλων παλινδρόμησης δίνονται στα παρακάτω σχήματα, που προέρχονται από πραγματικά δεδομένα. Σταθερή διακύμανση. Αύξουσα διακύμανση. Διωνυμική κατανομή. Ανάγκη εισαγωγής νέων μεταβλητών ή μετασχηματισμού. 15

17 Ανάγκη εισαγωγής νέων μεταβλητών ή μετασχηματισμού. Ανομοιογενής διακύμανση. Γραφικοί μέθοδοι ελέγχου κανονικότητας Υπάρχουν διάφορες γραφικές μέθοδοι για τον έλεγχο της κανονικότητας μιας μεταβλητής. Το ιστόγραμμα συχνοτήτων (frequency hstogram) χρησιμοποιείται πάρα πολύ στη συνήθη στατιστική ανάλυση. Εμφανίζοντας στο ιστόγραμμα την κανονική καμπύλη μπορούμε να δούμε γραφικά κατά πόσο τα δεδομένα προσεγγίζουν την κανονική κατανομή. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα ιστογράμματα 4 μεταβλητών. Μαθηματικοί έλεγχοι (δες Βιομετρία Ι) έδειξαν πως οι πρώτες δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή, ενώ η τελευταία την ακολουθεί (για πιθανότητα α=1%). Ωστόσο, θα μπορούσαμε ίσως να πούμε πως και η 3 η μεταβλητή προσεγγίζει ικανοποιητικά την κανονική κατανομή. Ιστόγραμμα της 1 ης μεταβλητής. Ιστόγραμμα της ης μεταβλητής. 16

18 Ιστόγραμμα της 3 ης Ιστόγραμμα της 4 ης μεταβλητής. μεταβλητής. Στο φυλλογράφημα (stem and leaf plot), τα δεδομένα ταξινομούνται, δίνοντας προτεραιότητα αρχικά στην τιμή του ακέραιου μέρους τους και μετά στην τιμή του δεκαδικού μέρους τους, σε οριζόντιες σειρές. Οι τιμές των παρατηρήσεων χωρίζονται σε δυο τμήματα, τον κορμό (stem) και το φύλλο (leaf) ως εξής: Τιμή Διαχωρισμός κορμός και φύλλο 15, Στη γραφική παράσταση του φυλλογραφήματος, στη θέση του «και», συχνά χρησιμοποιούνται διάφορα σύμβολα (* t f s. ) για να απεικονίσουν με σύντομο τρόπο τα στοιχεία, όταν αυτά είναι πολλά και συσσωρεύονται στις γραμμές του φυλλογραφήματος. Το φυλλογράφημα έχει τη μορφή του ιστογράμματος, στραμμένου 90 με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα φυλλογραφήματα των 4 προηγούμενων μεταβλητών. Και εδώ, θα μπορούσαμε ίσως να πούμε πως, εκτός από την 4 η μεταβλητή, και η 3 η προσεγγίζει ικανοποιητικά την κανονική κατανομή. Φυλλογράφημα της 1 ης μεταβλητής. Φυλλογράφημα της ης μεταβλητής. 17

19 Φυλλογράφημα της 3 ης μεταβλητής. Φυλλογράφημα της 4 ης μεταβλητής. Με το γραφικό κανονικής πιθανότητας (normal probablty plot), σε κάθε παρατηρηθείσα τιμή, αντιστοιχίζεται η θεωρητική τιμή που θα είχε η παρατήρηση, αν αυτή προέρχονταν από πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή. Αν πραγματικά τα δεδομένα προσεγγίζουν την κανονική κατανομή, τότε η πλειοψηφία των παρατηρήσεων συγκεντρώνονται σε ευθεία γραμμή, διαφορετικά αποκλίνουν έντονα από την ευθεία. Το SPSS ως γραφικά κανονικής πιθανότητας μπορεί να δώσει γραφικά, το κανονικό P-P γραφικό (normal Probablty-Probablty plot) και το κανονικό Q-Q γραφικό (normal Quantles-Quantles plot). Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα κανονικά Ρ-Ρ γραφικά και τα κανονικά Q-Q γραφικά των 4 μεταβλητών που προαναφέρθηκαν. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν είναι τα ίδια με αυτά των ιστογραμμάτων και των φυλλογραφημάτων. Κανονικό Ρ-Ρ γραφικό της 1 ης μεταβλητής. Κανονικό Ρ-Ρ γραφικό της ης μεταβλητής. 18

20 Κανονικό Ρ-Ρ γραφικό της 3 ης μεταβλητής. Κανονικό Ρ-Ρ γραφικό της 4 ης μεταβλητής. Κανονικό Q-Q γραφικό της 1 ης μεταβλητής. Κανονικό Q-Q γραφικό της ης μεταβλητής. Κανονικό Q-Q γραφικό της 3 ης Κανονικό Q-Q γραφικό της 4 ης μεταβλητής. μεταβλητής. Το γραφικό κανονικών αποκλίσεων (detrended normal plot) συμπληρώνει το γραφικό κανονικής πιθανότητας, δίνοντας, στον κάθετο άξονα, τις πραγματικές αποκλίσεις των δεδομένων από την ευθεία γραμμή. Αν τα δεδομένα προέρχονται από κανονικό πληθυσμό, τα σημεία στο γραφικό συγκεντρώνονται γύρω από μια ευθεία που περνάει από το μηδέν, με τυχαίο τρόπο. Αν ακολουθούν κάποιο έντονο σχέδιο, ή, με άλλα λόγια, αν έχουμε μεγάλα εύρη στις αποκλίσεις από τις κανονικές τιμές, τότε μάλλον υπάρχει σημαντική απόκλιση από την κανονικότητα. Το SPSS ως γραφικά κανονικών αποκλίσεων μπορεί να δώσει γραφικά, το γραφικό κανονικών 19

21 αποκλίσεων P-P (detrended normal Probablty-Probablty plot) και το γραφικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q (detrended normal Quantty-Quantty plot). Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα γραφικά κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ και Q-Q των 4 μεταβλητών που προαναφέρθηκαν. Τα συμπεράσματα που προκύπτουν είναι τα ίδια με αυτά των ιστογραμμάτων και των φυλλογραφημάτων. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ της 1 ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ της ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ της 3 ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Ρ-Ρ της 4 ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q της 1 ης μεταβλητής. Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q της ης μεταβλητής. 0

22 Σχήμα 5.30 Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q της 3 ης μεταβλητής. Σχήμα 5.31 Κανονικό κανονικών αποκλίσεων Q-Q της 4 ης μεταβλητής. Απομονωμένες και ακραίες τιμές Οι απομονωμένες τιμές (outlers) και οι ακραίες τιμές (extremes) είναι παρατηρήσεις που απέχουν πολύ από τις υπόλοιπες τιμές. Πρόκειται για παρατηρήσεις που δεν είναι τυπικές των υπόλοιπων στοιχείων, συνεπώς αποτελούν ιδιομορφία και υποδεικνύουν σημεία που δεν είναι αντιπροσωπευτικά του πληθυσμού, απ όπου προέρχονται τα δεδομένα. Με την εμφάνιση μιας τέτοιας τιμής, η πρώτη σκέψη είναι ότι πρόκειται για μια λανθασμένη μέτρηση, οπότε η τιμή αυτή θα πρέπει να διορθωθεί ή να απομακρυνθεί από το σύνολο των δεδομένων. Η απομάκρυνση «κακών» τιμών και η ανάλυση παλινδρόμησης χωρίς αυτές είναι επιθυμητή, εφόσον χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων, γιατί διαφορετικά η εξίσωση παλινδρόμησης θα «τραβάει» δυσανάλογα προς αυτές τις τιμές. Από την άλλη πλευρά, τέτοιες τιμές μπορεί να είναι απόλυτα σωστές και να παρέχουν πολύτιμες πληροφορίες (για παράδειγμα να είναι αποτέλεσμα αλληλεπίδρασης με κάποια άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή που δεν υπάρχει στην εξίσωση παλινδρόμησης). Συνεπώς, θα πρέπει να έχουμε κάποια ισχυρή ένδειξη, προτού απομακρύνουμε μια ή περισσότερες τέτοιες τιμές. Ως γενικό κανόνα, θα μπορούσαμε να πούμε πως τέτοιες τιμές θα πρέπει να απορρίπτονται, μόνο αν αποτελούν λάθη καταγραφής των δεδομένων ή των οργάνων με τα οποία γίνονται οι μετρήσεις. Απεικόνιση των απομονωμένων και ακραίων τιμών, που τυχόν υπάρχουν, μπορεί να γίνει με το θηκόγραμμα. 1

23 Το θηκόγραμμα. Οι τιμές του κατώτερου (5%) και του ανώτερου (75%) ποσοστημορίου (percentle) προσδιορίζουν την αρχή και το τέλος της θήκης (box), η οποία περιέχει το 50% των τιμών των δεδομένων. Το μήκος της θήκης προσδιορίζεται από τη διαφορά των προαναφερθέντων ποσοστημορίων και εκφράζει το μέγεθος της διασποράς των παρατηρήσεων. Η διάμεσος (medan) παριστάνεται από την οριζόντια γραμμή που τέμνει τη θήκη. Από τη θέση της διαμέσου μπορεί να προσδιοριστεί η ασυμμετρία της κατανομής του δείγματος. Αν η διάμεσος βρίσκεται στο κέντρο, πρόκειται για μια συμμετρική κατανομή, ενώ αν πλησιάζει το κατώτερο ή ανώτερο άκρο της θήκης, τότε έχουμε αντίστοιχα θετική ή αρνητική ασυμμετρία. Οι τιμές που ξεπερνούν το τριπλάσιο μήκος της θήκης, από το ανώτερο ή κατώτερο άκρο της, παρουσιάζονται με και ορίζονται ως ακραίες τιμές, ενώ οι τιμές που βρίσκονται μεταξύ 1,5 ως 3 φορές το μήκος της θήκης παρουσιάζονται με το γράμμα Ο και ορίζονται ως απομονωμένες τιμές. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα θηκογράμματα μεταβλητών. Η μεταβλητή του ενός σχήματος έχει 4 απομονωμένες τιμές και 1 ακραία και είναι συμμετρική, ενώ αυτή του άλλου σχήματος δεν εμφανίζει απομονωμένες και ακραίες τιμές και είναι θετικά συμμετρική.

24 Θηκόγραμμα με απομονωμένες και ακραίες τιμές. Θηκόγραμμα χωρίς απομονωμένες και ακραίες τιμές. Πολυσυγγραμμικότητα Στην ανάλυση της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης, μεταξύ των παλινδρομουσών μεταβλητών Χ μπορεί να εμφανιστεί πολυσυγγραμμικότητα (multcolnearty), με την έννοια της ύπαρξης γραμμικής εξάρτησης μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η ισχυρή γραμμική εξάρτηση μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών επηρεάζει δραματικά την εκτίμηση των συντελεστών παλινδρόμησης, με την έννοια της αύξησης των διασπορών τους. Επίσης, τα διαγνωστικά πολυσυγγραμμικότητας (multcolnearty dagnostcs) μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην επικύρωση εξισώσεων πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης, η οποία αναλύεται παρακάτω. Ένα απλό και συγχρόνως σημαντικό διαγνωστικό πολυσυγγραμμικότητας που υπολογίζει το SPSS είναι ο παράγοντας διόγκωσης διασποράς (Varance Inflaton Factor, VIF), ο οποίος, για την X ανεξάρτητη μεταβλητή (=1,,, k) υπολογίζεται από τον τύπο: όπου: 1 VIF = 1 R R = ο συντελεστής προσδιορισμού (αναλύεται παρακάτω) όταν η X χρησιμοποιείται ως εξαρτημένη μεταβλητή και οι υπόλοιπες X χρησιμοποιούνται ως ανεξάρτητες. 3

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

α + α+ α! (=+9 [1] ι «Analyze-Regression-Linear». «Dependent» ι η η η!ηη ι «Independent(s)» η!ηη. # ι ι ι!η " ι ιηη, ι!" ι ηιι. 1 SPSS ι η η ι ιηη ι η

α + α+ α! (=+9 [1] ι «Analyze-Regression-Linear». «Dependent» ι η η η!ηη ι «Independent(s)» η!ηη. # ι ι ι!η  ι ιηη, ι! ι ηιι. 1 SPSS ι η η ι ιηη ι η # η &, ε ε 007, ιη Pearson r "η η ι ι ι η ι!ι ι ι η ι η!ηη ι ι!ηη. η ι ιηη ι" η ι!"ι 0 ι η ( α ι ι α η 9 ( ι ι / + -predctor varable). * ι ι ι ι η ι ι ι!ηη η "ι ι ι ι!ηη η ι ι η η ι 'ι ι ι (η ) ι η ( "

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ.

ΕΙ Η ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Simple Linear Regression) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Regression) ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ (Smple Lear Regresso) Να κατανοηθεί η έννοια της παλινδρόµησης Ποιες οι προϋποθέσεις για να εφαρµοσθεί η γραµµική παλινδρόµηση; Τι είναι το γραµµικό µοντέλο και πως εκτιµούνται

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρήστε το παράδειγμα που αναφέρεται στη συσχέτιση του βαθμού ικανοποίησης των εργαζομένων σε ένα εργαστήριο σε σχέση με τις οκτώ μεταβλητές που ορίστηκαν εκεί. (Χ =ηλικία, Χ =φύλο, Χ =εβδομαδιαίος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Εκπαιδευτική έρευνα Οργάνωση & Παρουσίαση Δεδομένων (Εργαστήριο SPSS) Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Σύνολα Δεδομένων - Είδη Ποσοτικής Έρευνας: Παράλογες Ιδέες Γονέων (Δειγματοληπτική)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα