c(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "c(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28"

Τασούλα Βουρδουμπάς
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c (xy + y 5 = ( c x + 5 )dx = c = c = (ϐ) Οι περιθωριακές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X και Y γίνονται : και f X (x) = 5 f X,Y (x, y)dy = 5 x + y = ( xy y + 5 ) = ( x + 5 ) f Y (y) = 6 f X,Y (x, y)dx = 6 x + y dx == ( x ) 6 + yx = (3 + 4y) (γ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (3 < X < 4, Y > ) = y)dxdy = x=3 y=(x 3 (δ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P (X > 3) = 6 5 (x + y)dxdy = 3 x=3 y= 8 (ε) Η Ϲητούµενη πιθανότητα προκύπτει από το σχήµα ;; P (X + Y > 4) = P (X + Y 4) = 4 x= 4 x y= (x + y)dxdy = 35 = (στ) Παρατηρούµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές X, Y δεν είναι ανεξάρτητες, εφόσον : f(x, y) f (x)f (y)

µ Y ϑα είναι : ] = 6 x ydy ( x) = 6x( x) f Y (y) = f X,Y (x, y)dx = xy( x)dx = y [ x = x x dx = y x3 3 = y( 3 ) = y 6 = y (ϐ) Για να είναι οι τ.

2 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 Σχήµα : Σχήµα ασκ. (ε) Ασκηση. (α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται : f X (x) = f X,Y (x, y)dy = xy( x)dy = x( x) [ y = x( x) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ Y ϑα είναι : ] = 6 x ydy ( x) = 6x( x) f Y (y) = f X,Y (x, y)dx = xy( x)dx = y [ x = x x dx = y x3 3 = y( 3 ) = y 6 = y (ϐ) Για να είναι οι τ.µ X, Y ανεξάρτητες ϑα πρέπει να ισχύει : Εχουµε ότι : f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y), x, y (, ) x ( x)dx f X (x)f Y (y) = 6x( x) y = xy( x) = f X,Y, x, y (, ) Εποµένως, οι X, Y είναι ανεξάρτητες τ.µ. (γ) (i) Η µέση τιµή της τ.µ X γίνεται : ] E[X] = x f X (x)dx = = 6 x 6x( x)dx = 6 [ x x x 3 3 dx = 6 3 x4 4 x ( x)dx ] = 6( 3 4 ) =

3 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο Για την µέση τιµή της τ.µ Y έχουµε : E[Y ] = (ii) Η διασπορά της τ.µ X γίνεται : yf Y (y)dy = y dy = 3 [y 3] = 3 var[x] = E[X ] (E[X]) Υπολογίζουµε τη ϱοπή δεύτερης τάξης E[X ] ως εξής : E[X ] = Εποµένως, έχουµε : x f X (x)dx = x 6x( x) = 6 [ x 4 = 6 4 x5 5 ] [ = 6 4 ] = 3 5 x 3 ( x)dx = 6 x 3 x 4 var[x] = E[X ] (E[X]) = 3 ( Αντίστοιχα, η διασπορά της τ.µ Y γίνεται : ) = var[y ] = E[Y ] (E[Y ]) = = = ( y f Y (y)dy 3) y ydy 4 9 y 3 dy 4 [ 9 = y4 ] = = 8 (δ) Στο (ϐ) ερώτηµα δείξαµε ότι οι τ.µ X, Y είναι ανεξάρτητες. Εποµένως, η συνδιασπορά τους ϑα είναι ίση µε µηδέν, cov(x, Y ) =. Ασκηση 3. (α) Η γραφική παράσταση της απο κοινού συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ϕαίνεται στο σχή- µα (ϐ) Για να υπολογίσουµε τη σταθερά c,γνωρίζουµε ότι µπορούµε να ολοκληρώσουµε την απο κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας : + + f X,Y (x, y)dxdy = Μπορούµε επίσης να χρησιµοποιήσουµε και το εµβαδόν του χωρίου που παριστάνεται στο σχήµα, και έχουµε : c = c = (γ) Οι περιθωριακές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των τ.µ X και Y γίνονται :

4 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο Σχήµα : Σχήµα ασκ.3 (α) Για x, f X (x) = Για x, f X (x) = +x x cdy = + x cdy = x Άρα έχουµε : + x, x f X (x) = x, x, αλλού Οµοίως,για y, Οπότε : f Y (y) = + f Y (y) = f X,Y (x, y)dy = y y { ( y), y, αλλού cdx = ( y) Σχήµα 3: Σχήµα ασκ.3 (γ)

5 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο Από το σχήµα 3 παρατηρούµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές X, Y δεν είναι ανεξάρτητες, εφόσον ισχύει : f X,Y (x, y) f X (x)f Y (y) (γ) Παρατηρώντας το σχήµα 4, η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : Σχήµα 4: Σχήµα ασκ.3 (δ) P (X Y ) = 3 = 6 (δ) Από το σχήµα 5, η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : Σχήµα 5: Σχήµα ασκ.3 (ε) P (X + Y ) = c E = c (E E ) = ( ) = 7 6

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 6 Ασκηση 4. Εστω X και Y οι αποστάσεις των ϐολών του Κώστα και της Μαρίας, αντίστοιχα.

6 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο Ασκηση 4. Εστω X και Y οι αποστάσεις των ϐολών του Κώστα και της Μαρίας, αντίστοιχα. Οι ϐολές είναι ανεξάρτητες, οπότε η κοινή τους συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ϑα ισούται µε : y f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) = 6 e 6, X, Y, αλλιώς Θα έχουµε : (α) (ϐ) P (Y > ) = P (X = 75) = dx = 6 e y 6 dy = e 6, 889 (γ) Είναι : E[X] = 5, E[Y ] = 6. (δ) Θέλουµε να ϐρούµε την πιθανότητα P (X > Y ) και να την συγκρίνουµε µε την πιθανότητα P (X < Y ). Για να το κάνουµε αυτό, εξετάζουµε το κοινό δειγµατικό χώρο του σχήµατος 6. Εποµένως, ϑα έχουµε : Σχήµα 6: Η πιθανότητα P (X > Y ) P (X > Y ) = x f X,Y (x, y)dydx = x 6 e y 6 dydx, 533 Παροµοίως ϐρίσκουµε ότι : P (Y > X) = P (X > Y ), Απλώς κοιτάζοντας τις αναµενόµενες τιµές των ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών, ϑα έλεγε κανείς ότι είναι πιο πιθανό η Μαρία να ϱίξει πιο µακριά. Οµως, τελικά ϐρήκαµε ότι η πιθανότητα ότι ο Κώστας ϑα ϱίξει παραπάνω είναι ελαφρώς υψηλότερη. (ε) Είναι : f Y X (y/75) = f Y (y) διότι οι τ.µ. X και Y είναι ανεξάρτητες.

ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 7 (στ) Εστω W = Y X. Πρώτα, ϐρίσκουµε τη κοινή συνάρτηση κατανοµής της W : Το γεγονός ϕαίνεται στο σχήµα 3.

7 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο (στ) Εστω W = Y X. Πρώτα, ϐρίσκουµε τη κοινή συνάρτηση κατανοµής της W : Το γεγονός ϕαίνεται στο σχήµα 3. Για W έχουµε : F W (w) = Για W έχουµε : F W (w) = P (W w) = P (Y X w) = P (Y X + w) x+w w f X,Y (x, y)dydx = = (6 e 6 (w+) + w + 4) x+w w 6 e y 6 dydx F W (w) = x+w f X,Y (x, y)dydx = x+w 6 e y 6 dydx = 3 5 e w 6 (e 5 3 ) + Εν τέλει, διαφορίζοντας τις προηγούµενες εξισώσεις παίρνουµε ότι : f W (w) = d ( e 6 (w+) ), w dw F W (w) = e w 6 ( e 5 3 ), w, αλλιώς Σχήµα 7: υο περιπτώσεις για τις τιµές της F W (w)

8 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο Ασκηση 5. Εστω X και Y δύο τυχαίες µεταβλητές που µοντελοποιούν τις ώρες άφιξης των δύο ϕοιτητών µετά τις 8 : π.µ. Υποθέτοντας ότι ίσα χρονικά διαστήµατα, έχουν ίσες πιθανότητες άφιξης, οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X και Y γίνονται : {, x f (x) =, αλλού f (y) = {, y, αλλού Οµως, οι τυχαίες µεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες. πυκνότητας πιθανότητας γίνεται : Εποµένως, η από κοινού συνάρτηση {, x, y f(x, y) = f (x)f (y) =, αλλού Εφόσον 5 λεπτά είναι το /4 της ώρας, η Ϲητούµενη πιθανότητα υπολογίζεται από το εµβαδό της γραµµοσκιασµένης περιοχής του παρακάτω σχήµατος (Σχήµα ασκ.5): Σχήµα 8: Σχήµα ασκ.5 E = E τριγ = = 7 6 Ασκηση 6. (α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f X (x) ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα : Η γραφική παράσταση του µετασχηµατισµού Y = g(x) ϕαίνεται στο ακόλουθο σχήµα : (ϐ) Η τυχαία µεταβλητή Y είναι διακριτή. Οπότε από το σχήµα έχουµε : P (Y = ) = P ( X 3 ) = E(A) = 9 P (Y = ) = P ( /3 X 3 ) = E(B) = 5 9 P (Y = ) = P (/3 X ) = E(Γ) = 9 P (Y = 3) =

9 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο Σχήµα 9: Συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f X (x) Σχήµα : Μετασχηµατισµός Y = g(x) Σχήµα : Σχήµα ασκ.6 (ϐ) Ασκηση 7. (α) Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της X, καθώς και ο µετασχηµατισµός Y = g(x), ϕαίνονται στις επόµενες γραφικές παραστάσεις. (ϐ) Από το σχήµα ϐλέπουµε ότι η τ.µ Χ παίρνει τιµές στο διάστηµα [e 4, e ] Για y < e 4, έχουµε ότι F Y (y) = Για y e, έχουµε ότι F Y (y) = Για e 4 y e, έχουµε : F Y (y) = P (Y < y) = P (e X < y) = P ( X < lny) = P (X > lny) = lny f X(x)dx = lny dx = + lny

10 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 Σχήµα : Συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f X (x) Σχήµα 3: Μετασχηµατισµός Y = g(x) Οπότε έχουµε : (γ) Εχουµε ότι :, y < e 4 F Y (y) = + y lny, e 4 y e, y e f Y (y) = df Y (y) dy Η γραφική παράσταση δίνεται στο σχήµα 4. (δ) Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : { =, e 4 y e, αλλού P (Y e 3 ) = F Y (e 3 ) = + ln(e 3 ) = 3 = =.5

11 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 5-6 Σχήµα 4: Συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f Y (y)

Σχετικά έγγραφα

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται: