ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
|
|
- Πέρσις Βλαχόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. 1
2 Κατ αρχάς θα δούμε μια πολλή απλή πρόταση. 0xx x x ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ο έχει την εξής ιδιότητα: x για κάθε x > 0. Τότε 0. Απόδειξη. Για να καταλήξουμε σε άτοπο, υποθέτουμε ότι > 0. Θεωρούμε τον αριθμό x =, ο οποίος είναι > 0. Τότε, βάσει της υπόθεσης της πρότασης, πρέπει να ισχύει. Αυτό, όμως, συνεπάγεται 0 και καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα η αρχική υπόθεση της απόδειξης δεν είναι σωστή, οπότε 0. Μπορούμε να διατυπώσουμε την ίδια απόδειξη με διαφορετικό τρόπο. Υποθέτουμε πάλι ότι > 0. 0 Θεωρούμε τον αριθμό x = για τον οποίο προφανώς ισχύει 0 < x <. Αυτό, όμως, αντιφάσκει με την υπόθεση της πρότασης ότι ισχύει x για κάθε x > 0. Άρα η αρχική υπόθεση της απόδειξης δεν είναι σωστή, οπότε 0. Η ιδέα της προηγούμενης απόδειξης είναι ότι όποιον θετικό αριθμό κι αν πάρουμε υπάρχει κάποιος αριθμός x ο οποίος είναι κι αυτός θετικός και μικρότερος από τον αριθμό που πήραμε, δηλαδή τέτοιος ώστε 0 < x <. Στην απόδειξη χρησιμοποιήσαμε τον x =, αλλά θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον x = 3 οποιονδήποτε άλλον συγκεκριμένο x με την ιδιότητα 0 < x <. Τί μας λέει η προηγούμενη πρόταση; Η υπόθεση είναι ότι ο αριθμός βρίσκεται αριστερά (με την ευρεία έννοια) κάθε αριθμού δεξιά του 0. Το συμπέρασμα είναι ότι ο είναι αριστερά (με την ευρεία έννοια) του 0. Με πιο γλαφυρή διατύπωση: ο σπρώχνεται προς τα αριστερά από όλους τους αριθμούς οι οποίοι είναι δεξιά του 0 και αναγκάζεται να είναι αριστερά (με την ευρεία έννοια) του 0. Ας το πούμε διαφορετικά. Αν υπήρχε αριθμός δεξιά του 0 τέτοιος ώστε όλοι οι αριθμοί που είναι δεξιά του 0 να είναι δεξιά (με την ευρεία έννοια) του, τότε προφανώς αυτός ο θα ήταν ο μικρότερος αριθμός δεξιά του 0. Με άλλα λόγια θα υπήρχε ελάχιστος αριθμός δεξιά του 0. Η πρόταση λέει ότι αυτό δεν είναι σωστό: δεν υπάρχει ο οποίος είναι ελάχιστος θετικός διότι για ή τον x = 3 ή και παράδειγμα ο είναι ακόμη μικρότερος θετικός. Αυτό το τελευταίο φαίνεται να είναι προφανές, αλλά η εμπειρία μου λέει ότι πάρα πολλοί κάνουν λάθος και έχουν την (ψυχολογική;) τάση να θεωρούν κάπως επιπόλαια ότι υπάρχει κάποιος πολύ-πολύ-πολύ μικρός θετικός αριθμός ο οποίος είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός. Γι αυτό τονίζω ότι: Δεν υπάρχει ελάχιστος θετικός αριθμός. Το ότι αναφερόμαστε ειδικά στον αριθμό 0 και στη σχέση ανάμεσα σ αυτόν και στους άλλους αριθμούς είναι καθαρά θέμα τυχαίας επιλογής. Τον ρόλο του 0 μπορεί να τον παίξει κάθε άλλος αριθμός. Επίσης, το δεξιά και το αριστερά μπορούν να αλλάξουν ρόλους. Έτσι έχουμε τις διατυπώσεις: Δεν υπάρχει ελάχιστος αριθμός μεγαλύτερος του (οποιουδήποτε) a. Δεν υπάρχει μέγιστος αριθμός μικρότερος του (οποιουδήποτε) b. Επίσης:
3 ΠΡΟΤΑΣΗ. [α] Έστω ότι ο έχει την εξής ιδιότητα: x για κάθε x > a. Τότε a. [β] Έστω ότι ο u έχει την εξής ιδιότητα: u x για κάθε x < b. Τότε u b. Αυτή είναι η Πρόταση 1.3 στο βιβλίο και μπορείτε να διαβάσετε εκεί την απόδειξη: είναι ίδια με την απόδειξη της πρώτης πρότασης παραπάνω. Για παράδειγμα, στο [α] αντί του 0+ a+ a+, δηλαδή του, χρησιμοποιούμε τον. Αν a <, τότε a < <. Τώρα θα κάνουμε μια σημαντική παρατήρηση σαν προοίμιο κάποιας σημαντικής ιδιότητας των αριθμών που θα μελετήσουμε σε λίγο Ας υποθέσουμε ότι ένας αριθμός έχει την ιδιότητα Α: 1 για κάθε N. Οι αριθμοί 1, όταν ο διατρέχει τους φυσικούς αριθμούς, είναι θετικοί αριθμοί αλλά δεν είναι όλοι οι θετικοί αριθμοί. Άρα η ιδιότητα Α είναι ασθενέστερη από την ιδιότητα της πρότασης: x για κάθε x > 0. Αυτό σημαίνει ότι, ενώ ένας που έχει την ιδιότητα της πρότασης υποχρεώνεται να είναι 0, ένας που έχει την ιδιότητα Α μπορεί να μην υποχρεώνεται να είναι 0 και ότι θα μπορούσε να υπάρχει κάποιος > 0 που να έχει την ιδιότητα Α. Με άλλα λόγια θα μπορούσε να υπάρχει κάποιος > 0 τέτοιος ώστε στο διάστημα (0, ) να μην υπάρχει κανένας αριθμός 1 όταν ο διατρέχει τους φυσικούς αριθμούς. Θα δούμε σε λίγο ότι αυτό δεν είναι σωστό. Αυτή είναι η Αρχιμήδεια Ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, αλλά την απόδειξη δεν μπορούμε να την κάνουμε αυτή τη στιγμή με τα μέσα που διαθέτουμε. Θα χρειαστούμε μια άλλη ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, την Ιδιότητα Supremum. Ένα σύνολο χαρακτηρίζεται άνω φραγμένο αν υπάρχει αριθμός u τέτοιος ώστε να ισχύει x u για κάθε x. Ένας τέτοιος u χαρακτηρίζεται άνω φράγμα του. Αν το σύνολο είναι άνω φραγμένο και ο u είναι άνω φράγμα του, τότε κάθε αριθμός > u είναι επίσης άνω φράγμα του. Ομοίως, ένα σύνολο χαρακτηρίζεται κάτω φραγμένο αν υπάρχει αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει x για κάθε x. Ένας τέτοιος χαρακτηρίζεται κάτω φράγμα του. Αν το σύνολο είναι κάτω φραγμένο και ο είναι κάτω φράγμα του, τότε κάθε αριθμός < είναι επίσης κάτω φράγμα του. Ένα σύνολο χαρακτηρίζεται φραγμένο αν είναι άνω φραγμένο και κάτω φραγμένο, δηλαδή αν περιέχεται σε κάποιο διάστημα [, u]. Αν ο u είναι άνω φράγμα του συνόλου, τότε το σύνολο βρίσκεται αριστερά (με την ευρεία έννοια) του u και, αν ο είναι κάτω φράγμα του, τότε το βρίσκεται δεξιά (με την ευρεία έννοια) του. u u Ας δούμε μερικά παραδείγματα. 3
4 Παράδειγμα. Έστω = [a, b]. Είναι προφανές ότι κάθε αριθμός u b είναι άνω φράγμα του [a, b] αλλά και ότι κάθε άνω φράγμα u του [a, b] είναι αναγκαστικά b. Αυτό το τελευταίο ισχύει διότι, αν ο u είναι άνω φράγμα του [a, b], πρέπει να είναι κάθε στοιχείου του [a, b] και, επομένως, και του b ο οποίος είναι στοιχείο του [a, b]. Άρα τα άνω φράγματα του [a, b] είναι όλοι οι αριθμοί b και κανένας άλλος. Παρατηρούμε ότι το [a, b] έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, τον b. a = [a, b] ή (a, b) b άνω φράγματα του Παράδειγμα. Έστω = (a, b). Είναι πάλι προφανές ότι κάθε αριθμός u b είναι άνω φράγμα του (a, b). Όταν, όμως, θέλουμε να δούμε αν ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ότι κάθε άνω φράγμα u του (a, b) είναι αναγκαστικά b, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το επιχείρημα στο προηγούμενο παράδειγμα, διότι τώρα ο b δεν είναι στοιχείο του (a, b). Σκεφτόμαστε, όμως, ότι αν ο u είναι άνω φράγμα του (a, b), τότε είναι κάθε στοιχείου του (a, b) και, επομένως, κάθε αριθμού < b, οπότε, σύμφωνα με την παραπάνω Πρόταση, ο u πρέπει να είναι b. Άρα τα άνω φράγματα του (a, b) είναι όλοι οι αριθμοί b και κανένας άλλος. Βλέπουμε πάλι ότι το (a, b), όπως και το [a, b], έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, τον b. Παράδειγμα. Με όμοιους συλλογισμούς βλέπουμε ότι τα κάτω φράγματα των συνόλων = [a, b] και = (a, b) είναι όλοι οι αριθμοί a και κανένας άλλος και, επομένως, και τα δυο σύνολα έχουν ως μέγιστο κάτω φράγμα τον a. Ας θυμηθούμε μερικούς γνωστούς όρους. Αν το σύνολο έχει μέγιστο στοιχείο, δηλαδή στοιχείο του που είναι > από κάθε άλλο στοιχείο του, τότε αυτό ονομάζεται maximum του και συμβολίζεται max. Ομοίως, αν το έχει ελάχιστο στοιχείο, δηλαδή στοιχείο του που είναι < από κάθε άλλο στοιχείο του, τότε αυτό ονομάζεται miimum του και συμβολίζεται mi. Παραδείγματα. Για το [a, b] έχουμε max[a, b] = b και mi[a, b] = a. Όμως, το (a, b) δεν έχει μέγιστο στοιχείο ακριβώς επειδή δεν υπάρχει μέγιστος αριθμός < b. Ομοίως, το (a, b) δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Και τώρα ας δούμε την σημαντικότερη ιδιότητα των πραγματικών αριθμών. Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ SUPREMUM. Κάθε μη-κενό και άνω φραγμένο σύνολο έχει ελάχιστο άνω φράγμα. Με άλλη διατύπωση: αν ένα μη-κενό σύνολο είναι άνω φραγμένο (οπότε έχει τουλάχιστον ένα άνω φράγμα), τότε από τα άνω φράγματά του υπάρχει ένα το οποίο είναι το ελάχιστο δυνατό. Το ελάχιστο άνω φράγμα ενός μη-κενού, άνω φραγμένου συνόλου ονομάζεται supremum του και συμβολίζεται sup. Παραδείγματα. Από τα προηγούμενα έχουμε ότι sup[a, b] = b και sup(a, b) = b. Θυμηθείτε ότι το [a, b] έχει μέγιστο στοιχείο ενώ το (a, b) δεν έχει μέγιστο στοιχείο. 4
5 a = [a, b] ή (a, b) b = sup Κάποιες φορές έχουμε ένα συγκεκριμένο σύνολο το οποίο είναι μη-κενό και άνω φραγμένο και πρέπει να βρούμε το sup. Υπάρχει μια ειδική περίπτωση που το sup είναι άμεσα αναγνωρίσιμο. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν το σύνολο έχει μέγιστο στοιχείο, max, τότε αυτό είναι το sup. Απόδειξη. Προφανώς το max είναι άνω φράγμα του (διότι δεν υπάρχει στοιχείο του που να είναι > max ) και φυσικά κάθε αριθμός max είναι επίσης άνω φράγμα του. Από την άλλη μεριά κάθε άνω φράγμα του είναι max διότι το max είναι στοιχείο του. Άρα τα άνω φράγματα του είναι όλοι οι αριθμοί max και μόνο αυτοί. Άρα το max είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του. 5
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, 10-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την συμμετρική ιδιότητα της Ιδιότητας Supremum. Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ INFIMUM. Κάθε μη-κενό και κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΣΕ 39 ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ 39 ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μ. Παπαδημητράκης. ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Κατ αρχάς θα δούμε μια πολλή απλή πρόταση. l 0xx x x ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ότι ο l έχει την εξής ιδιότητα: l x για κάθε x > 0. Τότε l 0. Απόδειξη. Για να
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 12-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού ορίου με χρήση της συνέχειας της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων. Παράδειγμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 1-11-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Άσκηση 2.2.7. Έστω ϵ 0 > 0. Αποδείξτε ότι x n x αν και μόνο αν για κάθε ϵ με 0 < ϵ ϵ 0 ισχύει τελικά x n N x ϵ). Λύση: Έχουμε να αποδείξουμε την
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν ισχύει y n για άπειρους n και x R και y n y R, τότε x y. Απόδειξη. Υποθέτουμε (για άτοπο) ότι y < x. Γνωρίζουμε ότι υπάρχει κάποιος αρκετά
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 28--3 Μ. Παπαδημητράκης. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ. Αν η σειρά + = x συγκλίνει απολύτως, τότε συγκλίνει και + x x. = = Δεν θα παρουσιάσω την απόδειξη. Διαβάστε την στο βιβλίο.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Συνεχίζουμε την λύση της άσκησης 6.3.. Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι για κάθε διαμέριση του [, b] υπάρχει μια αντίστοιχη διαμέριση του [, B] ώστε να ισχύουν
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5--3 Μ. Παπαδημητράκης. Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι για να έχει νόημα το όριο f(x) x ξ πρέπει το ξ να είναι σε κατάλληλη θέση σε σχέση με το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραInfimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.
Infimum Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν k R : x A k x k = κάτω φράγμα Ορισμός infimum του συνόλου A inf A = infimum του συνόλου A Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο
Διαβάστε περισσότεραΔύο λόγια από τη συγγραφέα
Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 8-11-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Το Θεώρημα των Bolzano και Weierstrass συμπληρώνεται με την εξής Πρόταση (.16 του βιβλίου). ΠΡΟΤΑΣΗ. [α] Κάθε όχι άνω φραγμένη ακολουθία έχει
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραn = r J n,r J n,s = J
Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό
Διαβάστε περισσότεραa n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, --3 Μ. Παπαδημητράκης. Τώρα θα δούμε μια ακόμη εφαρμογή του Κριτηρίου του Ολοκληρώματος. Παράδειγμα. Γνωρίζουμε ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει στο +, το οποίο φυσικά σημαίνει
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 ΣΕ 37 ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μ. Παπαδημητράκης. ΠΡΩΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω [, b] ένα κλειστό διάστημα με < b. Διαμέριση του [, b] είναι ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο υποσύνολο του [, b] το οποίο περιέχει τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότερα4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.
8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΙσότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών
Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΗΜΜΑ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και x, y X με x y. Τότε υπάρχει μια περιοχή του x και μια περιοχή του y (και, μάλιστα, ίδιας ακτίνας) οι οποίες είναι
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9--3 Μ. Παπαδημητράκης. Εκτός από το κριτήριο του Cauchy, όλα τα άλλα κριτήρια σύγκλισης μιας σειράς που είδαμε μέχρι τώρα (απόλυτης σύγκλισης, σύγκρισης δυο σειρών, λόγου,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ. Αν η f είναι συνεχής στο [, b], τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [, b]. Απόδειξη. Έστω ότι η f δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [, b]. Τότε υπάρχει κάποιο
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μιχάλης Παπαδημητράκης Ανάλυση Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στη Μαρία και στα παιδιά μας, Μυρτώ-Ασπασία και Δημήτρη. i ii Προκαταρκτικά. Το αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραPragmatikèc Sunart seic miac Metablht c
Aˆlush Prgmtikèc Surt seic mic Metblht c Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στη Μαρία και στα παιδιά μας, Μυρτώ και Δημήτρη. 3 4 Proktrktikˆ. Το αντικείμενο αυτών των σημειώσεων
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο
Διαβάστε περισσότερα5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους
121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις
Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραx < A y f(x) < B f(y).
Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:
1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΚΑΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΚΑΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 9--3 Μ. Παπαδημητράκης. Σήμερα θα δούμε κάποια πράγματα για μια σημαντική ειδική κατηγορία σειρών, εκείνες που έχουν όλους τους προσθετέους τους μη-αρνητικούς. Και θα αρχίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Πραγματική Ανάλυση. Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μιχάλης Παπαδημητράκης Πραγματική Ανάλυση Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue στο R Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Το μέτρο Lebesgue.. Μήκη διαστημάτων..................................2
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραx 2 + y 2 = z 2 x = 3, y = 4, z = 5 x 2 + y 2 = z 2 (2.1)
Πυθαγόρειες Τριάδες Χριστίνα Ιατράκη Ημερομηνία παράδοσης -10-014 1 Εισαγωγικά Ορισμός 1.1 Πυθαγόρεια τριάδα καλείται κάθε τριάδα ακέραιων (x, y, z) που είναι μη τετριμμένη λύση της εξίσωσης Μια τέτοια
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω μια δυναμοσειρά a (x ξ) = a 0 + a (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 + με ακτίνα σύγκλισης R και με ρ = lim a. Αν x = ξ, η δυναμοσειρά συγκλίνει και έχει άθροισμα
Διαβάστε περισσότεραi=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),
Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΚ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ
8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 14-1-14 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τις διάφορες απλές ιδιότητες των παραγώγων θα τις θεωρήσω γνωστές από πιο στοιχειώδη μαθήματα απειροστικού λογισμού και από το λύκειο. Τώρα
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 208-9. Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Παρατηρήστε ότι ο πρώτος κανόνας αλλαγής μεταβλητής εφαρμόζεται μόνο στα εφτά πρώτα όρια ενώ ο δεύτερος κανόνας εφαρμόζεται
Διαβάστε περισσότεραf(x) f(c) x 1 c x 2 c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς
Διαβάστε περισσότεραf(x) = 2x+ 3 / Α f Α.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση με πεδίο ορισμού [0, + ) και με τύπο (x) = x για κάθε x [0, + ). + x Έχουμε δει ότι 0 στο [0, + ). Τώρα, για
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΕΚΑΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα f και f() d για να συμβολίσουμε όλα μαζί τα αόριστα ολοκληρώματα της f σε ένα διάστημα I. Δηλαδή, γράφουμε f = f + c ή f() d =
Διαβάστε περισσότεραLÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I
LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \
Διαβάστε περισσότεραn 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1
Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης
Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)
Διαβάστε περισσότεραΝικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Θεωρημα 1 Εστω s S μια οποιαδήποτε κατάσταση μιας αδιαχώριστης Μαρκοβιανής αλυσίδας.
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι
Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΟΓΔΟΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και A X. Ονομάζουμε εσωτερικό του A το σύνολο Ονομάζουμε σύνορο του A το σύνολο A = {x x εσωτερικό του A}. A = {x
Διαβάστε περισσότερα(ii) X P(X). (iii) X X. (iii) = (i):
Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Δείξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα: (i) ω / ω (με άλλα λόγια, το ω δεν είναι φυσικός αριθμός). (ii) Για κάθε n ω, ισχύει ω / n. (iii) Για κάθε n ω, το n
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα
Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραB = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη
Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος
Διαβάστε περισσότεραf(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).
Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:
Διαβάστε περισσότερα1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή
KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραS n = ( 1, 0] 1 + b 1 a1 + b 1 I 1 I 2 I 3...,
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΕΜ Χειμερινό εξάμηνο 017-18 ΜΕΜ31-ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ 1, 3Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΣΥΝΤΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ R ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ι.Δ. ΠΛΑΤΗΣ 1. Ανοικτα και κλειστα συνολα του R Το σύνολο R των πραγματικών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση. Έστω f συνεχής στο διάστημα I και έστω ότι ισχύει f() για κάθε I. Αν η f 2 είναι παραγωγίσιμη στο I, αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 8-9. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. (i) Βρείτε μία παράγουσα της + στο (, + ). Ποιές είναι όλες οι παράγουσες της + στο (, + ); (ii) Βρείτε μία παράγουσα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι για αυτόματα
Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 16-1-14 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Άσκηση 5..15. Έστω f παραγωγίσιμη στο (0, + ) και lim x + f (x) = 0. Αποδείξτε ότι ( ) lim f(x + 1) f(x) = 0. x + Λύση: Θα εκμεταλλευτούμε
Διαβάστε περισσότεραmail:
Λογισμός Ι - Τμήμα 1Β Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014 ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS (Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Θα γυρίσουμε πίσω για να κάνουμε μια απόδειξη που είχαμε παραλείψει σε κάποιο προηγούμενο παράδειγμα. Παράδειγμα. Έστω ξ [, b] και η συνάρτηση { 0, αν x [, b],
Διαβάστε περισσότερα(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX
1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότεραB = {x A : f(x) = 1}.
Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 016 017 Λύσεις 1. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του Περιστερώνα για τους φυσικούς αριθμούς, δείξτε ότι για κάθε πεπερασμένο σύνολο A και για κάθε f : A A, αν η f είναι 1-1 τότε
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.
ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Παραβολής
Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.
Διαβάστε περισσότεραf(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες πραγματικών αριθμών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες
Διαβάστε περισσότερα1 Η εναλλάσσουσα ομάδα
Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. «ΚΙ ΟΜΩΣ, ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y=x»
5 Περιεχόμενα Πρόλογος 7 Ίσες συναρτήσεις και συναρτήσεις Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης 2 Η μόνη συνάρτηση που είναι ίση με την αντίστοφή της είναι η ταυτοτική 3 Συμπεράσματα 5 Βασικές ιδιότητες αντίστροφων
Διαβάστε περισσότεραsin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ι, Φυλλάδιο 3 Λύσεις Ασκήσεων. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια. sia) i) ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν για τα a, β ώστε να έχει νόημα το όριο;) 0 siβ) si5 ) si4) cos cos
Διαβάστε περισσότεραΤο Θεώρημα Stone - Weierstrass
Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες & Σειρές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές. τεχνικές.
Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες Σειρές Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 0... Θεωρήστε τη σειρά συναρτήσεων sin( ). Αποδείξτε ότι η σειρά συγκλίνει σε κάποια συνάρτηση s κατά σημείο στο R και ομοιόμορφα στο [ a, a]
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα
Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Το Λήμμα της Άντλησης για κανονικές γλώσσες Παραδείγματα 1 Πότε μια γλώσσα δεν είναι κανονική;
Διαβάστε περισσότερα