Κεφάλαιο 1. ιατεταγµένοι χώροι. 1.1 Κώνοι και διάταξη
|
|
- Ολυμπία Παπαϊωάννου
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 1 ιατεταγµένοι χώροι 1.1 Κώνοι και διάταξη Εστω E γραµµικός χώρος. Ενα κυρτό, µη κενό υποσύνολο P του E είναι κώνος αν λ P για κάθε λ R +. Αν επιπλέον ισχύει P ( P) = {0} το P είναι οξύς κώνος του E. Απο τον ορισµό έχουµε οτι κάθε κώνος του E περιέχει το µηδέν αφού 0 R +. Υποθέτουµε ότι είναι µια σχέση µερικής διάταξης του E. Αν για κάθε, y, z E ισχύουν : (1) (2) y, y = y (3) y, y z z (4) y [ + z y + z και λ λy] γιά κάθε λ R +, λέµε οτι ο E ή ακριβέστερα το ευγάρι (E, ) είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος. Συχνά αντί του ακριβούς όρου χρησι- µοποιούµε τον όρο µερικά διατεταγµένος χώρος ή διατεταγµένος χώρος. Υποθέτουµε ότι ο E είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος. Αν, y E, λέµε ότι το είναι µεγαλύτρο του y και γάφουµε > y αν y και y. Επίσης το σύνολο των στοιχείων του E που είναι µεγαλύτερα 1
2 2 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι ή ίσα του µηδενός συµβολίζεται µε E +, είναι οξύς κώνος και αναφέρεται ως ο ϑετικός κώνος του E. ηλαδή έχουµε E + = { E 0}. Αντίστροφα αν υποθέσουµε οτι P E είναι οξύς κώνος του E, τότε ορίζεται µια σχέση µερικής διάταξης στον E ως εξής : y y P. Πραγµατικά είναι εύκολο να δείξουµε ότι η ικανοποιεί τις ιδιότητες (1), (2), (3), (4). Επίσης έχουµε ότι ο ϑετικός κώνος του E είναι ο P, δηλαδή P = { E 0}. Στην περίπτωση αυτή λέµε επίσης οτι ο E είναι γραµµικός χώρος διατεταγµένος απο το κώνο P και εννούµε ϕυσικά οτι η διάταξη είναι εκείνη που ορίζεται όπως παραπάνω απο το κώνο P. Αν ο P είναι κώνος αλλά όχι κατανάγκη οξύς τότε ορίζεται µια σχέση µερικής διάταξης η οποία όµως δεν είναι αντισυµµετρική, δηλαδή ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες εκτός της (2). Αν P κώνος του X, αποδεικνύεται εύκολα ότι το σύνολο P P είναι ο γραµµικός χώρος που παράγεται από τον P. Αν P P = X, λέµε ότι ο P παράγει τον X. 1.2 Βασικές έννοιες Υποθέτουµε οτι (E, ) είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος και έστω, y E. Τότε {} + E + = {y E y } είναι το σύνολο των στοιχείων του E που είναι µεγαλύτερα ή ίσα του, {} E + = {y E y }, είναι το σύνολο των στοιχείων του E που είναι µικρότερα ή ίσα του και το σύνολο [, y] = {z E z y}
3 1.2. Βασικές έννοιες 3 είναι το διατεταγµένο διάστηµα µε άκρα τα, y, εφόσον y. Εστω D E. Αν υπάρχει y E τέτοιο ώστε y d γιά κάθε d D, λέµε ότι το D είναι άνω ϕραγµένο και το y είναι ένα άνω ϕράγµα του D. Ανάλογα, αν υπάρχει E ώστε d για κάθε d D το D είναι κάτω ϕραγµένο το και το είναι ένα κάτω ϕράγµα του D. Αν υπάρχουν, y E ώστε D [, y], το D είναι διατακτικά ϕραγµένο. Αν γιά κάθε d 1, d 2 D το σύνολο {d 1, d 2 } είναι άνω ϕραγµένο, το D είναι άνω κατευθυνόµενο ενώ αν το {d 1, d 2 } είναι κάτω ϕραγµένο το σύνολο D είναι κάτω κατευθυνόµενο. Πρόταση 1.1. Ο E + παράγει τον E αν και µόνο αν ο E είναι άνω κατευ- ϑυνόµενος. Απόδειξη. Εστω ότι ο E + παράγει τον E. Τότε για κάθε, y E υπάρχουν 1, 2, y 1, y 2 E + ώστε = 1 2, y = y 1 y 2, άρα 1, y y 1 και εποµένως, y 1 + y 1. Αντίστροφα, αν ο E είναι άνω κατευθυνόµενος, για κάθε E υπάρχει z E ώστε z, z 0, εποµένως = z (z ) E + E +. Το στοιχείο e E + είναι διατακτική µονάδα του E αν για κάθε E υπάρχει πραγµατικός αριθµός α > 0 ώστε [ αe, αe]. Αν ο E έχει διατακτική µονάδα, ο ϑετικός κώνος E + του E παράγει τον E. Εστω B E και y E. Αν το y είναι άνω ϕράγµα του B και για κάθε άνω ϕράγµα z E του B, ισχύει z y, το y ονοµάζεται ελάχιστο άνω ϕράγµα (supremum) του B και γράφουµε y = sup(b). Ανάλογα ορίζεται το µέγιστο κάτω ϕράγµα του B. Ειδικότερα αν E είναι κάτω ϕράγµα του B και για κάθε κάτω ϕράγµα z E του B ισχύει z, το έίναι το µέγιστο κάτω ϕράγµα(infimu) του B και γράφουµε = inf (B). Αν για κάθε, y E, τα sup{, y} και inf{, y}, υπάρχουν ο E είναι ένας διανυσµατικός (γραµµικός) σύνδεσµος ή ένα διανυσµατικό (γραµµικό) δίκτυο (vector(linear) lattice). Στη περίπτωση αυτή συµ- ϐολίζουµε sup{, y} = y, inf{, y} = y.
4 4 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι Παράδειγµα 1.2 (Ο χώρος R n ). Η σηµειακή διάταξη του R n ορίζεται ως εξής : Αν = ( 1, 2,..., n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n έχουµε Επίσης αν, y R n γράφουµε y αν και µόνο αν i y i για κάθε i. y αν και µόνο αν i > y i για κάθε i και λέµε ότι το είναι αυστηρά µεγαλύερο του y. Το είναι αυστηρά ϑετικό αν 0. Το σύνολο R n + = { = ( 1, 2,..., n ) R n i 0 για κάθε i}, είναι ο ϑετικός κώνος του R n. Στο παρακάτω σχήµα ϕαίνεται το σύνολο των διανυσµάτων των µεγαλύτερων ή ίσων του, το σύνολο των διανυσµάτων των µικρότερων ή ίσων του και το διατεταγµένο διάστηµα [, y]. y {} + R n + y y [, y] {} R n + Το σταθερό διάνυσµα 1 R n + είναι διατακτική µονάδα του Rn. Επίσης κάθε R n αυστηρά ϑετικό, είναι διατακτική µονάδα του R n.
5 1.2. Βασικές έννοιες 5 Σηµειώνουµε επίσης ότι ο R n είναι γραµµικός σύνδεσµος. Ειδικότερα γιά κάθε, y R n έχουµε y = z, όπου z i = i y i γιά κάθε i και y = w, όπου w i = i y i γιά κάθε i. Πρόταση 1.3. Εστω P κώνος του X. Αν f : P R ώστε f (λ + µy) = λf () + µf (y) για κάθε, y P και λ, µ R+, το f επεκτείνεται σε γραµµικό συναρτησιακό του X. Απόδειξη. Εστω Y = P P ο γραµµικός υπόχωρος του X παράγεται απο τον P. Για κάθε P ϑέτουµε g() = f () και για κάθε = 1 2 Y µε 1, 2 P, ϑέτουµε g() = g( 1 ) g( 2 ). Η g : Y R, είναι καλά ορισµένη. Πραγατικά αν = 1 2 έχουµε : 1 2 = 1 2, άρα = 1+ 2 εποµένως g( 1 )+g( 2) = g( 1)+g( 2 ) και g( 1 ) g( 2 ) = g( 1) g( 2). Επίσης έχουµε ότι g( ) = g() γιά κάθε Y. Θα δείξουµε ότι η g είναι γραµµική. Αν = 1 2, y = y 1 y 2 έχουµε + y = ( 1 + y 1 ) ( 2 + y 2 ) άρα g( + y) = g( 1 ) + g(y 1 ) g( 2 ) g(y 2 ) = g() + g(y). Επίσης για κάθε λ 0 έχουµε g(λ) = g(λ 1 λ 2 ) = λg( 1 ) λg( 2 ) = λg(). Αν λ < 0 έχουµε g(λ) = g( ( λ)) = g(( λ)) = ( λ)g() = λg(). Άρα η g είναι γραµµική στον Y, εποµένως επεκτείνεται γραµµικά στον X. Εστω E χώρος διατεταγµένος γραµµικός απο τον κώνο P. Ο E είναι Αρχιµήδειος αν για κάθε E, y P η σχέση α y για κάθε πραγµατικό αριθµό α > 0, συνεπάγεται P. Εστω A E και έστω C : r(t) = + ty, t R, όπου, y E, ευθεία του E. Αν r(t 0 ) = z και n = r(t n ), λέµε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει στο z στην τοπολογία της ευθείας C αν και µόνο αν t n t 0. Αν A E λέµε οτι το A είναι ευθειακά κλειστό αν για κάθε ευθεία C του X το σύνολο C A είναι κλειστό υποσύνολο της C. ηλαδή αν r(t n ) C A και t n t 0 r(t 0 ) A. Αν E είναι χώρος µε norm κάθε κλειστό υποσύνολο του E είναι ευ- ϑειακά κλειστό. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Πρόταση 1.4. Αν E µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος απο τον κώνο P. Ο E είναι Αρχιµίδειος αν και µονο αν ο P είναι ευθειακά κλειστός.
6 6 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι Απόδειξη. Εστω οτι ο E είναι Αρχιµίδειος. Θα δείξουµε ότι ο P είναι ευθειακά κλειστός. Υποθέτουµε οτι ε ευθεία του E µε ε P και οτι y ε µε y = lim y n, όπου y n ε P. Θα δείξουµε ότι y P. Η εξίσωση της ε είναι r(t) = y + t(y 1 y). Αν r(t) P για κάποιο t < 0, τότε το y ανήκει στον P ως κυρτός συνδιασµός των r(t), r(1) και το ητούµενο αποδείχθηκε. Πραγµατικά για λ = 1 έχουµε λr(t) + (1 λ)r(1) = y. Ετσι υποθέτουµε ότι µόνο για 1 t t > 0 µπορεί να έχουµε r(t) P. Εστω y n = r(t n ) = y + t n (y 1 y). Επειδή y n y, έχουµε ότι t n 0 και επειδή ο κώνος P είναι κυρτός έχουµε ότι r(t) P για κάθε t (0, 1]. Άρα για κάθε n N, έχουµε r( 1 ) = y + 1(y n n 1 y) 0, εποµένως ny y y 1 για κάθε n N. Άρα έχουµε n( y) y 1 y για κάθε n N, εποµένως y 0, άρα y 0. Εποµένως y P και ο P είναι ευθειακά κλειστός. Για το αντίστροφο υποθέτουµε οτι ο P είναι ευθειακά κλειστός. Επίσης υποθέτουµε οτι, y E µε n y για κάθε n N. Τότε y + n( ) 0, εποµένως + 1 y 0 για κάθε n N. Εστω ε η ευθεία r(t) = + n ty, t R. Τότε r( 1 ) P και r( 1 ) r(0) =, εποµένως 0 και n n 0. Θεώρηµα 1.5. Αν X χώρος Banach διατεταγµένος απο το κλειστό κώνο P και 0 P έχουµε οτι το 0 είναι διατακτική µονάδα του X αν και µόνο αν 0 int(p). Απόδειξη. Εστω 0 διατακτική µονάδα του X τότε X = n N [ n 0, n 0 ]. Παρατηρούµε οτι [ n 0, n 0 ] = ( n 0 + P) (n 0 P) κλειστό ως τοµή κλειστών. Άρα ο X γράφεται ως ένωση αριθµήσιµων κλειστών του X. Απο το ϑεώρηµα του Baire υπάρχει n 0 N τέτοιο ώστε int([ n 0 0, n 0 0 ]), τότε προκύπτει οτι υπάρχει z int([ 0, 0 ]). Εστω ɛ > 0 τέτοιο ώστε z + B(0, ɛ) [ 0, 0 ], ϑα δείξουµε τότε ότι 0 + B(0, ɛ 2 ) P, άρα 0 int(p). Εστω B(0, ɛ) τότε 0 + z + 0, άρα Εποµένως 0 + B(0, ɛ 2 ) P. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι το 0 είναι εσωτερικό σηµείο του P. Εστω ɛ > 0 έτσι ώστε 0 + B(0, ɛ) P. Θα δείξουµε ότι B(0, ɛ) [ 0, 0 ]. Πράγµατι αν z B(0, ɛ), τότε 0 +z P και 0 z P. Άρα z [ 0, 0 ].
7 1.3. Βάσεις κώνων 7 Εστω X και n N τέτοιο ώστε n >, τότε απο τα παραπάνω έχουµε ότι [ n 0, n 0 ] και άρα το 0 είναι διατακτική µονάδα του X. 1.3 Βάσεις κώνων Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε την ϑεωρία των ϐάσεων των κώνων. Η ϑεωρία αυτή είναι σηµαντικό τοιχείο της γεωµετρίας των κώνων και έχει πολλές εφαρµογές στην οικονοµική και χρηµατοοικονοµική ϑεωρία. Ειδικότεα κάθε ϐάση κώνου ορίζει ένα σύνολο προϋπολογισµού και αντιστροφα κάθε σύνολο προϋπολογισµού ορίζει µιά ϐάση του κώνου κατανάλωσης. Εστω P X κώνος, P. Το B X ονοµάζεται ϐάση του P αν B, B είναι κυρτό και για κάθε P, 0, υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός λ > 0 ώστε λ B. Απο τον ορισµό έπεται ότι 0 B. Θεώρηµα 1.6. Εστω X διατεταγµένος απο τον κώνο P. Το B P είναι ϐάση του P αν και µόνο αν υπάρχει αυστηρά ϑετικό γραµµικό συναρτησιακό f του X, ώστε B = { P f () = 1} Απόδειξη. Εστω B ϐάση του κώνου P. Για κάθε P, 0, ϑέτουµε f () = 1 λ όπου λ είναι ο µοναδικός ϑετικός πραγµατικός αριθµός ώστε λ B. Τότε για κάθε, f () είναι ο µοναδικός ϑετικός πραγµατικός αριθµός ώστε f () B. Για κάθε λ R +, λ > 0 έχουµε : λ λf () Επίσης για κάθε, y P,, y 0 B, άρα f (λ) = λf (). f (), y f (y) B και απο την κυρτότητα του B έχουµε f () f () + f (y) f () + f (y) y f () + f (y) f (y) = + y f () + f (y) B,
8 8 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι από που έπεται οτι f ( + y) = f () + f (y). Αν υποθέσουµε οτι f (0) = 0, τότε για κάθε, y P και λ, µ R + έχουµε f (λ + µy) = λf () + µf (y), εποµένως σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση η f επεκτείνεται σε γραµµικό συναρτησιακό του X. Αντίστροφα, αν η f είναι αυστηρά ϑετικό γραµµικό συναρτησιακό του X, ϑα δείξουµε οτι η B = { P f () = 1} είναι ϐάση του P. Το B είναι προφανώς κυρτό, για κάθε P ϑέτουµε λ = 1 f () > 0 τότε λ B και το λ είναι µοναδικό. Πράγµατι αν υποθέσουµε οτι λ B τότε f (λ) = 1, εποµένως λ = 1 f () = λ. Ορισµός 1.7. Αν P κώνος του X και f γραµµικό συναρτησιακό του X. Η f ονοµάζεται οµοιόµορφα µονότονη(uniformly monotonic) στον P αν υπάρχει a > 0 τέτοιο ώστε f () a για κάθε P Πρόταση 1.8. Αν P κώνος του X, f αυστηρά ϑετικό γραµµικό συναρτησιακό του X και B f η ϐάση που ορίζει η f στον P τότε η B f είναι ϕραγµένη αν και µόνο αν η f είναι οµοιόµορφα µονότονη στον P. Απόδειξη. Εστω B f -ϕραγµένη απο το M τότε για κάθε P \ {0}, έχουµε f () M f () 1 M. Άρα η f είναι οµοιόµορφα µονότονη. Αντίστροφα αν η f είναι οµοιόµορφα µονότονη στον P και a > 0 τέτοιο ώστε f () a για κάθε P τότε f αυστηρά ϑετική στον P και άρα ορίζει την ϐάση B f = { P f () = 1} του P τότε για κάθε B f έχουµε 1 a, άρα B f είναι ϕραγµένη ϐάση του P. Πρόταση 1.9. Κάθε ϐάση κλειστού κώνου P πεπερασµένης διάστασης χώρου X είναι ϕραγµένη. Απόδειξη. Εστω B ϐάση του P και f αυστηρά ϑετικό γραµµικό συναρτησιακό του X, τέτοιο ώστε B = { P f () = 1}. Υποθέτουµε ότι η B δεν είναι ϕραγµένη, τότε υπάρχει ακολουθία n B τέτοια ώστε
9 1.4. ιατεταγµένοι υπόχωροι 9 n +. Για την ακολουθία y n = n n που ανήκει στην τοµή του κώνου P µε την σφαίρα του X(δηλαδή y n P S X για κάθε n N), έχουµε ότι f (y n ) = 1 n 0. Επειδή P S X είναι συµπαγής, υπάρχει υπακολουθία της y n την οποία συµβολίζουµε µε y kn για την οποία ισχύει y kn 0 P S X, τότε 0 0 και f ( 0 ) = lim f (y kn ) = 0, το οποίο είναι άτοπο διότι η f είναι αυστηρά ϑετική στον P. Εστω E είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος. Αν επιπλέον ο E είναι χώρος µε norm λέµε οτι ο E είναι διατεταγµένος χώρος µε norm και αν E είναι χώρος Banach ότι ο E είναι διατεταγµένος χώρος Banach. 1.4 ιατεταγµένοι υπόχωροι Εστω E µερικά διατεταγµένος χώρος και X E γραµµικός υπόχωρος του E. Ο X ϑεωρείται µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος µε την επαγόµενη διάταξη που ϑα συµβολίζεται µε X ως εξής : για κάθε, y X έχουµε X y y, όπου είναι η σχέση µερικής διάταξης στον E. Για λόγους απλότητας ϑα συµβολίζουµε την επαγόµενη διάταξη X του X πάλι µε. Εύκολα ϕαίνεται οτι ο ϑετικός κώνος X + του X δίνεται από τον τύπο X + = X E +. Κάθε γραµµικός υπόχωρος X του E, διατεταγµένος µε την επαγόµενη διάταξη ονοµάζεται διατεταγµένος υπόχωρος του E. Εστω E γραµµικός σύνδεσµος και X διατεταγµένος υπόχωρος του E. Αν για κάθε, y X, y X και y X, λέµε οτι ο X είναι γραµ- µικός υποσύνδεσµος(linear sublattice) του E. Η µελέτη διατεταγµένων υποχώρων είναι ένα σηµαντικό τµήµα της ϑεωρίας διατεταγµένων χώρων.
10 10 Κεφάλαιο1. ιατεταγµένοι χώροι 1.5 υϊκότητα και διάταξη Εστω (E, ) διατεταγµένος χώρος και f γραµµικό συναρτησιακό του E, δηλαδή f : E R ώστε f (λ + µy) = λf () + µf (y) για κάθε λ, µ R και κάθε, y E. Αν f () 0 για κάθε E + το f είναι ϑετικό και αν f () > 0 για κάθε E + το f είναι αυστηρά ϑετικό. Γενικά αν P κώνος του E, το γραµµικό συναρτησιακό f του E είναι ϑετικό στον P αν f () 0 για κάθε P και το f είναι αυστηρά ϑετικό στον P αν f () > 0 για κάθε P, 0. Με συµβολίζουµε E το σύνολο των γραµµικών συναρτησιακών του E. Το σύνολο E + = {f E f () 0, για κάθε E + }, είναι κώνος του E όχι κατανάγκη οξύς. Πραγµατικά εύκολα διαπιστώνουµε οτι το E + είναι κυρτό και ότι f E + λ E + για κάθε λ R +. Υποθέτουµε οτι ο E είναι διατεταγµένος απο τον κώνο E +. Τότε για κάθε f, g E έχουµε : f g f g E + f () g() E +. Επειδή ο E + δεν είναι κατανάγκη οξύς η σχέση δεν είναι κατανάγκη αντισυµµετρική. Πρόταση Αν E µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος έχουµε : Ο κώνος E + είναι οξύς αν και µόνο αν ο E + παράγει τον E. Απόδειξη. Εστω οτι ο E + είναι οξύς. Αν υποθέσουµε οτι Y = E + E + E, υπάρχει 0 E \ Y, εποµένως υπάρχει f E, f 0 που διαχωρίζει τα 0 και Y. ηλαδή έχουµε f ( 0 ) > a > f (y), για κάθε y Y. Επειδή το f είναι ϕραγµένο στον Y έχουµε ότι f (y) = 0 για κάθε y Y. Άρα έχουµε ότι f E + ( E + ), εποµένως f = 0. Αυτό είναι άτοπο, άρα E + E + = E. Για το αντίστροφο υποθέτουµε οτι E = E + E +. Αν f E + ( E +) έχουµε f () = 0 για κάθε E +. Εποµένως f () = 0 για κάθε E. Άρα f = 0 και ο E + είναι οξύς.
11 1.5. υϊκότητα και διάταξη 11 Εστω ότι E είναι µερικά διατεταγµένος γραµµικός χώρος µε norm. Συµβολίζουµε µε E το σύνολο των συνεχών γραµµικών συναρτησιακών του E. Τότε ο E είναι γραµµικός υπόχωρος του E και υποθέτουµε οτι ο E είναι διατεταγµένος µε την επαγόµενη διάταξη. ηλαδή για κάθε f, g E έχουµε : f g f () g(), για κάθε E +. Τότε E + = {f E f () 0, για κάθε E + } είναι ο ϑετικός κώνος του E. Εχουµε E + = E E +.
Κεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Πολυράκης Καθηγητής ΕΜΠ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας στην Οικονοµία ΑΘΗΝΑ 2009 2 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Η δυϊκότητα αγαθών-τιµών.................. 8 1.1.1 Λήψη αποφασεων...................
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης
Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y,
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων. 1.1 Χώρος αγαθών. a = (3, 4, 2), a = (0, 2, 0).
Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Λήψης Αποφάσεων 1.1 Χώρος αγαθών Αρχίζουµε τη µελέτη πρώτα µε πεπερασµένες οικονοµίες. Υποθέτουµε ότι στην οικονοµία έχουµε πεπερασµένο πλήθος αγαθών (m αγαθά) που αριθµούνται
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΑτοµική Θεωρία Ζήτησης
Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑνταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής
Κεφάλαιο 1 Ανταγωνιστικές Οικονοµίες Ανταλλαγής 1.1 Οικονοµία Ανταλλαγής Οπως και στο προηγουµενο κεφάλαιο, υποθέτουµε ότι ο χώρος αγα- ϑών είναι διατεταγµένος χώρος µε norm E και το σύνολο κατανάλωσης
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πλειότιµες απεικονίσεις. 1.1 Ορισµοί
Κεφάλαιο 1 Πλειότιµες απεικονίσεις 1.1 Ορισµοί Εστω X,Y µη κενά σύνολα. Μία (πλειότιµη) απεικόνιση φ : X Y, από το X στο Y είναι ένας κανόνας που σε κάθε σηµείο x του X αντιστοιχεί ένα υποσύνολο φ(x) του
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
Διαβάστε περισσότερα1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή
KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ
ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραsup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότερα2 Η ολοκλήρωση της διπλωματικής εργασίας συγχρηματοδοτήθηκε μέσω του Εργου «Υποτροφίες ΙΚΥ» από πόρους του ΕΠ «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση», του Ευ
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Μεταπτυχιακή Εργασία Διάταξη και Θεωρία Γενικής Ισορροπίας Μαρία Παπαδάκη Επιβλέπων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε
Διαβάστε περισσότεραL 2 -σύγκλιση σειρών Fourier
Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΜέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue
Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραιατεταγµένες Αλγεβρες ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Γεωργίου Κ. Κωβαίου Επιβλέπων: Ιωάννης Α. Πολυράκης, Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ.Π.Μ.Σ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ιατεταγµένες Αλγεβρες ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ
Διαβάστε περισσότεραInfimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.
Infimum Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν k R : x A k x k = κάτω φράγμα Ορισμός infimum του συνόλου A inf A = infimum του συνόλου A Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.
Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος
Διαβάστε περισσότεραΜέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Οµάδα Α. λ(a) (µε A B συµβολίζουµε τη συµµετρική διαφορά (A \ B) (B \ A) των A και B).
Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Οµάδα Α 1. α) Εστω A ϕραγµένο υποσύνολο του R d. είξτε ότι λ A) < +. ϐ) Εστω ότι το A R d έχει τουλάχιστον ένα εσωτερικό σηµείο. είξτε ότι λ A) > 0. Υπόδειξη. α) Αφού το A
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
Οι πραγµατικοί αριθµοί. Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {,, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3,,, 0,,, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς ανάλογα αν ένας
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΥπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.
ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΟι πραγµατικοί αριθµοί
Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.
6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ
8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος
Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα
Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για
Διαβάστε περισσότερα4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.
8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα
Διαβάστε περισσότερα1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον
Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότερα3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.
7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός
Διαβάστε περισσότεραe-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/
A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα
Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις
Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................
Διαβάστε περισσότεραf(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).
Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραn = r J n,r J n,s = J
Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017
Διαβάστε περισσότεραΑκουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,
Διαβάστε περισσότερα1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov
Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΘεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014
Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει
Διαβάστε περισσότεραj=1 x n (i) x s (i) < ε.
Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΦασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων
Φασµατικη θεωρια µη φραγµενων γραµµικων τελεστων Πτυχιακη Εργασια Ιωσηφιδης Ηλιας Α.Μ: 311/2329 Επιβλεπων : Τσολοµυτης Αντωνης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 27 Εξεταστικη Επιτροπη : Τσολοµύτης
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότερα5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους
121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: ιαχωριστικά αξιώµατα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότερα