6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι"

Transcript

1 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται μόνο από την συνέχεια της f αλλά και από μία ιδιότητα του τοπολογικού χώρου η οποία καλείται συνεκτικότητα. Διαισθητικά ένας χώρος είναι συνεκτικός αν δεν μπορεί να διαχωρισθεί σε δύο μεγάλα κομμάτια. Λαμβανομένου υπόψιν ότι μεγάλα θεωρούνται τα ανοικτά υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου καταλήγουμε στον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 6.. Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται ότι είναι συνεκτικός αν δεν είναι ένωση δύο ξένων ανοικτών και μη κενών υποσυνόλων του. (Δηλαδή δεν υπάρχουν ανοικτά υποσύνολα U και V του ώστε U V, U V και U V.) Ένα υποσύνολο λέγεται ότι είναι συνεκτικό αν είναι συνεκτικό ως υπόχωρος του. (Δηλαδή, το εφοδιασμένο με την σχετική τοπολογία είναι συνεκτικός χώρος.) Προφανώς τα μονοσύνολα κάθε τ.χ. είναι συνεκτικά σύνολα. Παραδείγματα 6.. )Ο χώρος του Serpsk,b είναι συνεκτικός, εφόσον μόνη διαμέριση του είναι τα και b, όμως το b δεν είναι ανοικτό (Πρβλ. παράδειγμα. (4).) )Έστω άπειρο σύνολο με την συμπεπερασμένη τοπολογία τότε ο είναι συνεκτικός χώρος, εφόσον αν U και V είναι ανοικτά μη κενά υποσύνολα του τότε U V. (Πρβλ. παράδειγμα. (5)).

2 37 3)Ο χώρος R S δεν είναι συνεκτικός, εφόσον τα σύνολα, και, είναι και τα δύο ανοικτά στον R S ( Πρβλ. παράδειγμα.33 ().) 4)Ο χώρος των ρητών Q R δεν είναι συνεκτικό υποσύνολο του R. Πράγματι τα, Q και ανοικτά μη κενά σύνολα., Q συνιστούν μια διαμέριση τουq σε δύο (σχετικά ) Θεώρημα 6.3. (Συνεκτικότητα των διαστημάτων). Τα μόνα συνεκτικά υποσύνολα του R με περισσότερα από ένα στοιχεία είναι τα διαστήματα ( ανοικτά, κλειστά, ημιανοικτά, φραγμένα η μη φραγμένα). Ιδιαίτερα ο R είναι συνεκτικός χώρος. Απόδειξη. Έστω ένα συνεκτικό υποσύνολο του R με. Αν το δεν είναι διάστημα τότε θα υπάρχουν,b με b και κάποιο c a, b ώστε c, είναι τότε σαφές ότι τα σύνολα,c και c, συνιστούν μια διαμέριση του σε δύο ( σχετικά ) ανοικτά μη κενά σύνολα, το οποίο αντιφάσκει στην υπόθεση. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι είναι ένα διάστημα του R. Αν το δεν ήταν συνεκτικό υποσύνολο του R, τότε U V,όπου U καιv ξένα, ανοικτά στο μη κενά σύνολα. Έστω U και b V τότε b. Ας υποθέσουμε ( όπως μπορούμε ) ότι b. Θέτουμε a0 sup x R : a, x U, τότε a0 b και επειδή το είναι διάστημα a0. Παρατηρούμε ότι a0 clu U, όμως το U είναι κλειστό στο ( εφόσον U \ V ) επομένως a0 U και a0 b. Επειδή το U είναι ανοικτό στο διάστημα, 0 U, a, b και a0 b, έπεται ότι υπάρχει 0 ώστε,, a U a a U το οποίο αντιφάσκει με τον ορισμό του a

3 38 Ο ορισμός της συνεκτικότητας μπορεί να επαναδιατυπωθεί με τους ακόλουθους πιο εύχρηστους τρόπους. Πρόταση 6.4 Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι για ένα τοπολογικό χώρο. (α) Ο είναι συνεκτικός. (β) Τα μόνα υποσύνολα του τα οποία είναι ανοικτά και συγχρόνως κλειστά είναι τα και. (γ) Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : 0, επί του0,, όπου ο χώρος 0, έχει την διακριτή τοπολογία. Απόδειξη. (α) (β) Αν U είναι ανοικτό και κλειστό και U,, τότε U \ U από όπου έπεται ότι ο δεν είναι συνεκτικός. (β) (γ) Αν f : 0, ήταν μια συνεχής συνάρτηση του επί του 0,, τότε f 0, και επειδή το (διακριτού) χώρου άτοπο. 0, το σύνολο 0 0 είναι ανοικτό και κλειστό υποσύνολο του f είναι ανοικτό και κλειστό στον, (γ) (α) Αν ο δεν ήταν συνεκτικός τότε U V μεu V, U V και UV, ανοικτά στον. Τότε τα U και V είναι επίσης κλειστά στον και η χαρακτηριστική συνάρτηση x : 0, είναι συνεχής και επί του U 0,, άτοπο. Πρόταση 6.5 Η συνεχής εικόνα συνεκτικού χώρου είναι συνεκτικό σύνολο. Δηλαδή, αν : f είναι συνεχής και συνεκτικός χώρος τότε το f υποσύνολο του χώρου. Απόδειξη.Η απεικόνιση f : f μπορούμε να υποθέσουμε ότι f είναι συνεκτικό είναι συνεχής (πρβλ. πρόταση.45(γ)) έτσι. Αν ο δεν ήταν συνεκτικός τότε από την

4 39 προηγούμενη πρόταση θα υπήρχε μια συνεχής συνάρτηση g : 0, με g 0,. Τότε η σύνθετη συνάρτηση : 0, του 0,, το οποίο αντιφάσκει με την συνεκτικότητα του. gof θα ήταν συνεχής και επί.. Από τα προηγούμενα αποτελέσματα καταλήγουμε στην ακόλουθη γενίκευση του θεωρήματος ενδιαμέσου τιμής του Απειροστικού Λογισμού Θεώρημα 6.6 ( Ενδιαμέσου τιμής ). Έστω συνεκτικός χώρος και f : R συνεχής συνάρτηση, τότε η f παίρνει κάθε τιμή μεταξύ δύο διαφορετικών τιμών της. Απόδειξη. Έπεται προφανώς από το προηγούμενο αποτέλεσμα και τον χαρακτηρισμό των συνεκτικών υποσυνόλων του R ( θεώρημα 6.3). Λήμμα 6.7. Έστω : οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του τοπολογικού χώρου ώστε., τότε η ένωση είναι συνεκτικό υποσύνολο του Απόδειξη. Έστω x 0 κάθε και : 0, είναι συνεκτικό η x για κάθε, έχουμε ότι 0 f τυχούσα συνεχής συνάρτηση. Επειδή f δεν μπορεί να είναι επί του0, και επειδή f x f x 0 για κάθε x και κάθε, δηλαδή f x f x 0 για κάθε x. Επομένως η f δεν μπορεί να είναι επί του 0, και έτσι από την πρόταση 6.4 το είναι συνεκτικό υποσύνολο του...

5 40 Πρόταση 6.8. Έστω συνεκτικό σύνολο και, τότε το είναι συνεκτικό σύνολο. Ιδιαίτερα, η κλειστότητα ενός συνεκτικού συνόλου είναι συνεκτικό. Απόδειξη. Έστω f : 0, συνεχής συνάρτηση. Επειδή το είναι συνεκτικό η f δεν είναι επί του 0,. Επειδή cl, η συνέχεια της f επί του συμπεραίνει ότι f f cl f f, επομένως η f δεν είναι επί του 0, και άρα το είναι συνεκτικό υποσύνολο του. Παράδειγμα 6.9 Έστω S το ακόλουθο υποσύνολο του Ευκλειδείου επιπέδου, S x, y : y,0 x x. Επειδή το S είναι εικόνα του διαστήματος 0, : x 0, x x, R x μέσω της συνεχούς απεικόνισης το S είναι συνεκτικό υποσύνολο του R. Επομένως η κλειστότητα του S στο συνεκτικό σύνολο. Παρατηρούμε ότι κάθε υποσύνολο y R είναι επίσης S S 0, y : y και ακόμη ότι για 0, : y το σύνολο S \ είναι επίσης συνεκτικό. ( Συμπληρώστε τις λεπτομέρειες.). Το σύνολο S είναι ένα κλασσικό παράδειγμα στην τοπολογία και ονομάζεται the topologst s se curve., 0,. x Το S είναι βέβαια το γράφημα της συνάρτησης f x x fx = ημ x

6 4 Θεώρημα 6.0. Το καρτεσιανό γινόμενο συνεκτικών χώρων είναι συνεκτικός χώρος αν και μόνο αν κάθε παράγων του γινομένου είναι συνεκτικός. Απόδειξη. Έστω : οικογένεια και με την τοπολογία γινόμενο. Έστω ότι ο είναι συνεκτικός χώρος. Επειδή κάθε προβολή : είναι συνεχής και επί του, από την πρόταση 6.5 έχουμε το συμπέρασμα. Αποδεικνύουμε πρώτα ότι το γινόμενο δύο συνεκτικών χώρων και είναι συνεκτικός χώρος. Η απόδειξη αυτή είναι απλή αν σκεφθούμε με γεωμετρικούς όρους. Έστω ab, ένα σημείο του γινομένου Παρατηρούμε ότι η «οριζόντια» ευθεία ομοιομορφική το οποίο σταθεροποιούμε. b είναι συνεκτικό σύνολο ως με το χώρο και κάθε «κατακόρυφη» ευθεία x είναι συνεκτική ως ομοιομορφική με τον Έπεται από το λήμμα 6.7 ότι το σύνολο x b x, x είναι συνεκτικό, αφού είναι ένωση δύο συνεκτικών συνόλων που έχουν ως κοινό σημείο το xb,. Από το ίδιο λήμμα έπεται ότι η ένωση x x είναι συνεκτικό σύνολο, αφού το ab, είναι κοινό σημείο των συνεκτικών συνόλων, x. Επειδή αυτή η ένωση ισούται προφανώς με έπεται ότι ο χώρος είναι συνεκτικός. x

7 4 Η απόδειξη ότι κάθε πεπερασμένο γινόμενο συνεκτικών χώρων είναι συνεκτικός χώρος έπεται με επαγωγή στο πλήθος των παραγόντων. Με χρήση της απλής παρατήρησης ότι ο... είναι ομοιομορφικός με τον.... Η γενική περίπτωση της τυχούσας οικογένειας : συνεκτικών τοπολογικών χώρων αποδεικνύεται ως ακολούθως. Επιλέγουμε ένα σημείο b b του. Συμβολίζουμε με την οικογένεια των πεπερασμένων υποσυνόλων του και για κάθε F έστω C F, όπου b F Ισχυριζόμαστε ότι κάθε αν F και αν F. F a,..., a. Πράγματι, η απεικόνιση C F είναι ομοιομορφικός με τον χώρο x,..., x y C a a a a F όπου Όπου ya xa, αν F και ya ba όταν \ F είναι και επί και επιπλέον μεταφέρει τα βασικά ανοικτά του... σε βασικά ανοικτά τουc F.

8 43 Από την πεπερασμένη περίπτωση του θεωρήματος μας η οικογένεια C αποτελείται από συνεκτικούς χώρους. Επειδή b b C F, έπεται από το λήμμα6.7 ότι η ένωση C CF F F F : F είναι συνεκτικός υπόχωρος του. Αλλά είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι ο C είναι πυκνός υπόχωρος του (πρβλ. και την άσκηση (δ) των παραγράφων.,.). Έτσι από την πρόταση 6.8 συμπεραίνουμε ότι ο είναι συνεκτικός. Παραδείγματα 6. Από το προηγούμενο θεώρημα καθώς και το θεώρημα 6.3 έπεται ότι οι ακόλουθοι τοπολογικοί χώροι είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συνεκτικοί. (α) Ο ευκλείδειος χώρος R και οι κύβοι 0, και 0, N. (β) Γενικότερα ο χώρος R και ο κύβος 0,, όπου τυχόν μη κενό σύνολο. Η συνεκτική συνιστώσα C x ενός σημείου x σε έναν τοπολογικό χώρο είναι η ένωση όλων των συνεκτικών υποσυνόλων του τα οποία περιέχουν το σημείο x. Από το λήμμα 6.7 και την πρόταση 6.8 έπεται προφανώς ότι οι συνεκτικές συνιστώσες είναι συνεκτικά και κλειστά υποσύνολα του. Είναι σαφές ότι οι συνεκτικές συνιστώσες C x και C y δύο διαφορετικών σημείων x και y του είτε συμπίπτουν ή είναι ξένα σύνολα. Έτσι το σύνολο όλων των διαφορετικών συνεκτικών συνιστωσών του χώρου συνιστά μια διαμέριση του χώρου σε ( ανά δύο ξένα ) κλειστά και συνεκτικά υποσύνολά του. Ακόμη σημειώνουμε ότι κάθε συνεκτική συνιστώσα C x του είναι ένα μεγιστικό συνεκτικό υποσύνολο του : Δηλαδή, δεν υπάρχει συνεκτικό υποσύνολο του που να περιέχει γνήσια την C x ( γιατί; ).

9 44 Πρόταση 6. Η συνεκτική συνιστώσα ενός σημείου x x στο καρτεσιανό γινόμενο ταυτίζεται με το καρτεσιανό γινόμενο C, όπου C είναι η συνεκτική συνιστώσα του σημείου x στον χώρο Απόδειξη Έστω C η συνεκτική συνιστώσα του x στον. Επειδή για κάθε η. προβολή C είναι συνεκτικό σύνολο και x C, έχουμε ότι C, C. Κατά συνέπειαc C και βέβαια το γινόμενο C είναι από το θεώρημα 6.0, συνεκτικό σύνολο. Από το γεγονός ότι κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι ένα μεγιστικό συνεκτικό σύνολο, συμπεραίνουμε ότι C C. Παραδείγματα 6.3. ) Έστω 0 0,,3 του R, τότε οι συνεκτικές συνιστώσες του είναι τα διαστήματα, θεωρούμενος ως υπόχωρος 0, και,3. ) Αν ο τοπολογικός χώρος έχει την διακριτή τοπολογία τότε οι συνεκτικές συνιστώσες του είναι τα μονοσύνολα του ( γιατί; ). 3) Έστω Q R ο υπόχωρος των ρητών αριθμών. Αν Q και είναι συνεκτικό υποσύνολο του Q τότε βέβαια το είναι συνεκτικό υποσύνολο του R και άρα από το θεώρημα 6.3 είναι ένα διάστημα. Έπεται προφανώς ότι το είναι αναγκαία ένα μονοσύνολο. Παρατηρούμε ότι, αν και ο Q δεν έχει την διακριτή τοπολογία, οι συνεκτικές συνιστώσες του είναι τα μονοσύνολα. Σημειώνουμε ότι ένας τ.χ. λέγεται ολικά μη συνεκτικός αν C x x υπόχωρος Q του R είναι ολικά μη συνεκτικός., για κάθε x. Έτσι ο

10 45 4)Έστω 0, N το σύνολο Cator ( με την τοπολογία γινόμενο) έπεται τότε από την πρόταση 6. και το παράδειγμα () ότι ο είναι ολικά μη συνεκτικός χώρος. Σημειώνουμε ότι, το παρόν παράδειγμα ( αλλά και το παράδειγμα (3) μας δείχνουν ότι οι συνεκτικές συνιστώσες δεν είναι αναγκαία ανοικτά σύνολα.. Στο υπόλοιπο αυτό του κεφαλαίου θα συζητήσουμε ( κυρίως ) τη σχέση συνεκτικότητας και κυρτότητας σε διανυσματικούς χώρους με νόρμα. Όσοι από τους αναγνώστες δεν είναι εξοικειωμένοι με αυτή την έννοια, μπορούν να υποθέτουν οποτεδήποτε αναφερόμαστε σε έναν χώρο με νόρμα, ότι στην θέση του είναι ο ευκλείδειος χώρος R. Ορισμός 6.4 Έστω διανυσματικός χώρος επί του σώματος υποτίθεται είτε πραγματικός η μιγαδικός διανυσματικός χώρος. ) R ή C. ( Ο (α) Έστω ab, το ( προσανατολισμένο) ευθύγραμμο τμήμα από το a στο b είναι το σύνολο Αν a b, τότε το, a, b ta tb : t 0,. ab είναι ένα διάστημα της ευθείας, t a t b a t R ( η οποία διέρχεται από το σημείο a και έχει την διεύθυνση του διανύσματος b a) του χώρου. (β) Ένα υποσύνολο λέγεται κυρτό αν για κάθε ab, ισχύει ότι ab,. ( Παρατηρούμε ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα με άκρα a και b του είναι κυρτό υποσύνολο του.) (γ) Έστω a0, a,..., a m σημεία του. Η πολυγωνική γραμμή με κορυφές a0, a,..., a m είναι το σύνολο,,..., a 0 m m.

11 46 Υπενθυμίζουμε ότι ένας διανυσματικός χώρος με νόρμα, μετρικοποιείται με την μετρική : d x, y x y, x, y. Τότε οι πράξεις του, δηλαδή η διανυσματική πρόσθεση x, y x y καθώς και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός, x x, είναι συνεχείς απεικονίσεις ( όπου ο και ο, έχουν ο καθένας την αντίστοιχη τοπολογία γινόμενο). Πρόταση 6.5. Έστω, διανυσματικός χώρος με νόρμα. Τότε ισχύουν: (α) Κάθε ευθύγραμμο τμήμα και γενικότερα κάθε πολυγωνική γραμμή στον είναι σύνολα συνεκτικά (β) Κάθε κυρτό είναι συνεκτικό σύνολο. Ιδιαίτερα ο είναι συνεκτικός χώρος. Απόδειξη. α) Έστω, συνεχής και 0, ab, R ab, τότε η απεικόνιση : R : t a t b a είναι. Επομένως τοab, είναι συνεκτικό σύνολο. Επειδή είναι επίσης συνεκτικό σύνολο, έχουμε ότι και η ευθεία με εξίσωση t a t b a είναι συνεκτικό σύνολο. Το γεγονός ότι μια πολυγωνική γραμμή είναι συνεκτικό σύνολο αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή στον αριθμό των κορυφών της ( αν έχει δύο κορυφές τότε είναι ευθύγραμμο τμήμα και είναι άρα συνεκτικό σύνολο). Για το επόμενο βήμα της επαγωγής χρησιμοποιούμε το λήμμα 6.7. (β) Έστω κυρτό σύνολο. Επιλέγουμε. Επειδή το είναι κυρτό ισχύει ότι, x για κάθε x επομένως a, x: x.επειδή το ανήκει σε κάθε, x και από τον ισχυρισμό (α) τα ευθύγραμμα τμήματα είναι σύνολα συνεκτικά, από το 6.7 έπεται το συμπέρασμα. Ο ίδιος ο χώρος είναι προφανώς κυρτό σύνολο και άρα είναι συνεκτικός χώρος.

12 47 Παραδείγματα 6.6. ) από την προηγούμενη πρόταση έχουμε μια ακόμη απόδειξη ότι ο ευκλείδειος χώρος R και ο κύβος είναι κυρτά σύνολα. ( Πρβλ. το παράδειγμα 6. (α)). 0, είναι συνεκτικά σύνολα, εφόσον )Στο ευκλείδειο επίπεδο R έχουμε ότι κάθε δίσκος (ανοικτός ή κλειστός ) και κάθε κυρτό πολύγωνο ( τρίγωνο τετράπλευρο κ.τ.λ. ) είναι κυρτό σύνολο. ( Ο ισχυρισμός ισχύει τόσο για το εσωτερικό ενός κυρτού πολυγώνου όσο και για ένα κλειστό πολύγωνο, δηλαδή το εσωτερικό μαζί με το σύνορό του.). Τα ίδια ισχύουν και για τις ελλείψεις του επιπέδου. Σημειώνουμε ακόμη ότι ανάλογα ισχύουν και για τον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο 3 R. 3) Αν, είναι χώρος με νόρμα τότε κάθε σφαίρα ανοικτή ή κλειστή του είναι κυρτό σύνολο. Αποδεικνύουμε το αποτέλεσμα για την κλειστή σφαίρα x, απόδειξη για την ανοικτή σφαίρα x, είναι ανάλογη. Έστω a, b x,, όπου 0, z t a tb t τότε z x t a x t b x t a x t b x Άρα z x, και έτσι a, b x,. t t., η αν Έστω ένα υποσύνολο του ευκλειδείου επιπέδου για το οποίο ισχύει ότι κάθε ζεύγος σημείων του a και b μπορούν να συνδεθούν με μία πολυγωνική γραμμή. ( Παραδείγματα τέτοιων συνόλων είναι τα κυρτά υποσύνολα του R \ 0,0 R ή το σύνολο.) Είναι τότε εύκολο να αποδείξουμε ότι το είναι συνεκτικό

13 48 υποσύνολο του R. Η ιδέα αυτή οδηγεί σε μια ισχυροποίηση της συνεκτικότητας η οποία περιγράφεται με τον ακόλουθο τρόπο. Ορισμός 6.7. Έστω τοπολογικός χώρος. Αν xy,, μια διαδρομή ή μονοπάτι από το x στο y, είναι μια συνεχής απεικόνιση f : a, b R ώστε f a x και f b y. O λέγεται ότι είναι κατά τόξα συνεκτικός, αν κάθε ζεύγος σημείων του μπορούν να συνδεθούν με μία συνεχή απεικόνιση ( διαδρομή ) όπως παραπάνω. Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι αν ο είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος τότε είναι συνεκτικός: Έστω U V μια διαμέριση του σε ξένα ανοικτά μη κενά σύνολα. Θεωρούμε f : a, b R τυχούσα συνεχής απεικόνιση. Το σύνολο f a, b είναι τότε συνεκτικό υποσύνολο του και έτσι θα πρέπει να περιέχεται είτε στο U ή στο V. Επομένως δεν υπάρχει ( συνεχής ) διαδρομή η οποία να συνδέει ένα σημείο του U με ένα σημείο του V, το οποίο αντιφάσκει με την υπόθεση ότι ο είναι κατά τόξα συνεκτικός. Το αντίστροφο δεν ισχύει, ένας συνεκτικός χώρος δεν είναι αναγκαία κατά τόξα συνεκτικός, όπως θα διαπιστώσουμε με τα παραδείγματα που ακολουθούν. Ένας ισοδύναμος τρόπος περιγραφής της έννοιας, που περιγράψαμε παραπάνω διατυπώνεται στην ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 6.8.Έστω τ.χ. και x0 τυχόν στοιχείο του. Ο είναι κατά τόξα συνεκτικός αν και μόνο αν κάθε x μπορεί να συνδεθεί με το x 0 με μια συνεχή διαδρομή. Απόδειξη. Αν ο είναι κατά τόξα συνεκτικός το αποτέλεσμα είναι προφανές. Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι η συνθήκη ικανοποιείται για το x 0 και ότι μας έχουν

14 49 δοθεί τα σημεία x και x στο 0 απεικόνιση x και : 0, είναι συνεχής ( στο συνδέει το x x ' του. Έστω f : 0, μια συνεχής διαδρομή από το g μια συνεχής διαδρομή από το x 0 στο t f t, 0 t g t, t t, έχουμε f g 0 x0 0 x με το x ' x '. Τότε η,πρβλ. την πρόταση.47 ) και x '. Παραδείγματα 6.9 ) Ο χώρος S του παραδείγματος 6.9 είναι συνεκτικός αλλά όχι κατά τόξα συνεκτικός, εφόσον δεν υπάρχει συνεχής διαδρομή f : 0, με f 0 0,0 και f,0. Πράγματι μια απεικόνιση f R : 0, είναι συνεχής αν και μόνο αν οι f και f είναι συνεχείς (πρβλ. πρόταση.0 (β)). Έτσι αν η f ήταν συνεχής ώστε να συνδέει το σημείο 0,0 με το,0, τότε η f θα έπαιρνε όλες τις τιμές,,,..., και η f θα έπαιρνε τις τιμές και σε κάθε περιοχή 0, ( 0 ) του μηδενός. Έτσι δεν υπάρχει 0 ώστε το διάστημα 0, να απεικονίζεται στο διάστημα f δεν μπορεί να είναι συνεχής., μέσω της f και η Σημειώνουμε ότι ο S είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος ( γιατί; ) )Κάθε κυρτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου R ( και γενικότερα ενός διανυσματικού χώρου με νόρμα ) είναι προφανώς κατά τόξα συνεκτικός χώρος.

15 50 3)Έστω ένα σημείο του R τότε ο υπόχωρος R \ του R είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος ( προφανώς όχι κυρτός ). Πράγματι, αν x και y είναι σημεία του R διαφορετικά του, μπορούμε να συνδέσουμε τα x και y με το ευθύγραμμο τμήμα xy, αν αυτό δεν περιέχει το σημείο. Διαφορετικά, επιλέγουμε ένα σημείο z που δεν βρίσκεται στην ευθεία που συνδέει τα x και y και θεωρούμε την πολυγωνική γραμμή P x, z z, y συνεχής διαδρομή από το x στο y ( γιατί; ) έπεται το συμπέρασμα.. Επειδή η P είναι μια Από το παράδειγμα 6.9 (3) έπεται το ακόλουθο ενδιαφέρον αποτέλεσμα. Πρόταση 6.0. Οι χώροι R και R δεν είναι ομοιομορφικοί. Απόδειξη.Υποθέτουμε ότι υπάρχει ομοιομορφισμός : R R. Αν εξαιρέσουμε ένα σημείο του χώρου R τότε προφανώς έχουμε τον ομοιομορφισμό : R \ R\. Αυτό όμως είναι αδύνατο καθώς ο χώρος R \ είναι από το παράδειγμα 6.9 (3) συνεκτικός ενώ ο χώρος R \ δεν είναι συνεκτικός (πρβλ. το θεώρημα 6.3 ). Το θεώρημα ότι ο R δεν είναι ομοιομορφικός με τον m R m είναι επίσης αληθές, αλλά απαιτεί για την απόδειξή του λεπτότερες τεχνικές παραπέμπουμε στην βιβλιογραφία. και έτσι

16 5 Σχετικά με το παράδειγμα 6.9 (3) παρατηρούμε ότι αν F πεπερασμένο υποσύνολο του R τότε αποδεικνύεται εύκολα ότι ο R \ F είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος. Ισχύει ένα ακόμη ισχυρότερο αποτέλεσμα το οποίο είναι το ακόλουθο. Θεώρημα 6.. Έστω F ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος. R τότε ο R \ F Απόδειξη. Επιλέγουμε ένα σημείο R \ F. Θα αποδείξουμε ότι για κάθε x R \ F υπάρχει πολυγωνική γραμμή P R \ F η οποία συνδέει το a με το x. Επειδή η P είναι μια συνεχής διαδρομή από το σημείο a στο σημείο x θα έχουμε το αποτέλεσμα ( πρβλ. την πρόταση 6.8). Θεωρούμε, δοθέντος του x, το ευθύγραμμο τμήμα ax, και έστω τυχόν ευθύγραμμο τμήμα ( έστω μήκους ίσου με ) το οποίο τέμνει το ax, σε ακριβώς ένα σημείο διαφορετικό από τα a και x. Για κάθε z θεωρούμε την πολυγωνική γραμμή P a, z z, x z. Κάθε P z είναι συνεκτικό σύνολο και αν z, z είναι διαφορετικά σημεία του τότε οι πολυγωνικές P z και z P τέμνονται μόνο στα σημεία a και x. Παρατηρούμε ότι τουλάχιστον μια Pz πρέπει να περιέχεται στον χώρο R \ F. Πράγματι αν Pz F για κάθε z, τότε επειδή τα σημεία τομής για διαφορετικά z είναι και αυτά διαφορετικά, θα προέκυπτε μια αντιστοιχία μεταξύ ενός υποσυνόλου του αριθμήσιμου συνόλου F και των σημείων του αριθμησιμότητα του F συμπέρασμα το οποίο αντιφάσκει με την Παρατηρήσεις 6. ) Έστω, διανυσματικός χώρος με νόρμα για τον οποίο υποθέτουμε ότι dm, αν είναι πραγματικός διανυσματικός χώρος. Παρατηρούμε τα ακόλουθα. (α) Το θεώρημα 6. ισχύει ( με ουσιαστικά την ίδια απόδειξη ) και στον. (β) Έστω υποσύνολο του με την ιδιότητα ότι για κάθε ab, υπάρχει πολυγωνική γραμμή P z, z... z, z 0 m m ώστε 0, m z a z b και P. Τότε ο είναι ένας κατά τόξα συνεκτικός υπόχωρος του. ( Την παρατήρηση αυτή την

17 5 έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει.) Πράγματι η P μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνεχής διαδρομή από το a στο b θέτοντας f t t z t z, t,, 0,,..., m. Παρατηρούμε ότι τότε, f, z, z. Ασκήσεις )Αποδείξτε ότι ένας χώρος με την διακριτή τοπολογία και τουλάχιστον δύο σημεία δεν είναι συνεκτικός. Επίσης αποδείξτε ότι ένα πεπερασμένο υποσύνολο ενός χώρου Hausdorff με τουλάχιστον δύο σημεία δεν είναι συνεκτικό. )Αποδείξτε ότι η επεκτεταμένη ευθεία των πραγματικών αριθμών ( παράδειγμα.38 ()) είναι συνεκτικός τοπολογικός χώρος ο οποίος δεν είναι ομοιομορφικός με τον χώρο R των πραγματικών αριθμών. 3)Έστω άπειρο σύνολο με την συμπεπερασμένη τοπολογία. Αποδείξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f : R είναι σταθερή. 4)Έστω, συνεκτικός τ.χ. και μια τοπολογία στον ώστε Αποδείξτε ότι ο, είναι συνεκτικός τ.χ... 5)Έστω,...,,... ακολουθία συνεκτικών υποσυνόλων του χώρου ώστε,,,... Αποδείξτε ότι η ένωση είναι συνεκτικό υποσύνολο του. [Υπόδειξη. Τα σύνολα, 3,..., είναι συνεκτικά.] 6)Έστω : οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του χώρου και συνεκτικό υποσύνολο του ώστε για κάθε. Αποδείξτε ότι η ένωση,, είναι συνεκτικά.]. είναι συνεκτικό υποσύνολο του. [ Υπόδειξη Τα σύνολα

18 53 7)Έστω : οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του χώρου ώστε κάθε δύο από αυτά να τέμνονται. Αποδείξτε ότι η ένωση είναι συνεκτικό υποσύνολο του. [Υπόδειξη. Έστω 0, τότε για κάθε.] 0 8)Έστω f : συνεχής απεικόνιση. Αποδείξτε ότι: (α) Αν ο είναι συνεκτικός χώρος τότε το γράφημα G f x, f x : x της f είναι συνεκτικό υποσύνολο του το οποίο είναι ομοιομορφικό με τον χώρο. (β) Αν ο είναι ένας ανοικτός δίσκος του,, :, R και S x y z z f x y είναι συνεκτικό υποσύνολο του 9)Αποδείξτε ότι η επιφάνεια Rτότε η επιφάνεια 3 R. S είναι συνεκτικός τ.χ.. Ισχύει αυτό το αποτέλεσμα για την S x της μοναδιαίας σφαίρας ενός χώρου με νόρμα x x R S x [ Υπόδειξη. Η απεικόνιση \ 0, ; είναι συνεχής.] 0) Αποδείξτε ότι τα διαστήματα 0,, 0,, 0, είναι ανά δύο μη ομοιομορφικοί τοπολογικοί χώροι. [ Υπόδειξη. Αν π.χ. υπήρχε ομοιομορφισμός : 0, 0, τότε οι χώροι 0, και 0, 0 0, θα ήταν ομοιομορφικοί.] )Αποδείξτε ότι το διάστημα 0, δεν είναι ομοιομορφικό με τον μοναδιαίο κύκλο S του R και ότι το 0, δεν είναι ομοιομορφικό με τον S. )Αποδείξτε ότι οι χώροι S και S δεν είναι ομοιομορφικοί 3) Στον Ευκλείδειο χώρο R, αποδείξτε τα ακόλουθα:

19 54 (α)αν x R : όλες οι συντεταγμένες του x είναι ρητοί, τότε το R \ είναι συνεκτικός χώρος. (β) Αν x R : όλες οι συντεταγμένες του x είναι άρρητοι, τότε το δεν είναι συνεκτικός χώρος. (γ) Αν 3 x R : τουλάχιστον μια συντεταγμένη του x είναι άρρητος, τότε το 3 είναι συνεκτικός χώρος. 4) Έστω U ανοικτό υποσύνολο του R. Αποδείξτε ότι: (α) Κάθε συνεκτική συνιστώσα του U είναι ανοικτό στον R. (β) Το U έχει το πολύ αριθμήσιμο πλήθος συνεκτικών συνιστωσών. 5) Έστω U ανοικτό υποσύνολο του R.Αποδείξτε ότι το U είναι συνεκτικό αν και μόνο αν κάθε ζεύγος σημείων του συνδέεται με μια πολυγωνική γραμμή P U ( το U είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος ). Εξετάστε αν ισχύει αυτό το αποτέλεσμα σε έναν διανυσματικό χώρο με νόρμα. [ Υπόδειξη. Έστω U ανοικτό και συνεκτικό στον R. Αν a U αποδείξτε ότι το σύνολο V εκείνων των σημείων b του U για τα οποία υπάρχει πολυγωνική PU από το a στο b, είναι μη κενό ανοικτό και κλειστό ως προςu.] 6) Έστω, διανυσματικός χώρος με νόρμα και κυρτό. Αποδείξτε ότι αν a (= το εσωτερικό του ) και b τότε το ευθύγραμμο τμήμα,b. [ Υπόδειξη. Εξετάστε πρώτα την περίπτωση b.] 7) Έστω, b R ώστε και b. Αποδείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα,b τέμνει την S σε ένα μόνο σημείο. Γενικεύστε το αποτέλεσμα σε έναν διανυσματικό χώρο με νόρμα.

20 55 [Υπόδειξη. Η απεικόνιση g t ta tb, t 0, είναι συνεχής.] 8) Έστω τελείως κανονικός χώρος με τουλάχιστον δύο σημεία. Αποδείξτε ότι αν ο είναι συνεκτικός τότε ο πληθάριθμος c ( όπου c =ο πληθάριθμος του συνεχούς). 9) Στον τ.χ. ορίζουμε, x yαν τα x και y περιέχονται στο ίδιο συνεκτικό σύνολο. Αποδείξτε ότι η x y είναι μια σχέση ισοδυναμίας στον. Ποιες είναι οι συνεκτικές συνιστώσες;

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss

Τα θεωρήματα Green, Stokes και Gauss Τα θεωρήματα των Green, Stokes και Guss Αντώνης Τσολομύτης Σάμος, 2012 curl F div S F Επειδή αναϕέρθηκε στο μάθημα... Ενεργητική ϕωνή Ενεστώτας παράγω παρέχω Ενεστώτας-υποτακτική να παράγω να παρέχω Ενεστώτας-προστακτική

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος: Συμπάγεια, Θεωρήματα Σταθερού Σημείου, και Εφαρμογές στην Οικονομική Θεωρία

Τίτλος: Συμπάγεια, Θεωρήματα Σταθερού Σημείου, και Εφαρμογές στην Οικονομική Θεωρία ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Δ.Π.Μ.Σ. «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΤΙΡΙΟ Α, ος ΟΡΟΦΟΣ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥΠΟΛΗ ΖΩΓΡΑΦΟΥ,

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΗΜΜΑ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και x, y X με x y. Τότε υπάρχει μια περιοχή του x και μια περιοχή του y (και, μάλιστα, ίδιας ακτίνας) οι οποίες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης Διανυσματική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 30 Απριλίου 2014 Σημείωση: Οι παρούσες σημειώσεις δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ και IV σε φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004 2 Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα