6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι"

Transcript

1 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται μόνο από την συνέχεια της f αλλά και από μία ιδιότητα του τοπολογικού χώρου η οποία καλείται συνεκτικότητα. Διαισθητικά ένας χώρος είναι συνεκτικός αν δεν μπορεί να διαχωρισθεί σε δύο μεγάλα κομμάτια. Λαμβανομένου υπόψιν ότι μεγάλα θεωρούνται τα ανοικτά υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου καταλήγουμε στον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 6.. Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται ότι είναι συνεκτικός αν δεν είναι ένωση δύο ξένων ανοικτών και μη κενών υποσυνόλων του. (Δηλαδή δεν υπάρχουν ανοικτά υποσύνολα U και V του ώστε U V, U V και U V.) Ένα υποσύνολο λέγεται ότι είναι συνεκτικό αν είναι συνεκτικό ως υπόχωρος του. (Δηλαδή, το εφοδιασμένο με την σχετική τοπολογία είναι συνεκτικός χώρος.) Προφανώς τα μονοσύνολα κάθε τ.χ. είναι συνεκτικά σύνολα. Παραδείγματα 6.. )Ο χώρος του Serpsk,b είναι συνεκτικός, εφόσον μόνη διαμέριση του είναι τα και b, όμως το b δεν είναι ανοικτό (Πρβλ. παράδειγμα. (4).) )Έστω άπειρο σύνολο με την συμπεπερασμένη τοπολογία τότε ο είναι συνεκτικός χώρος, εφόσον αν U και V είναι ανοικτά μη κενά υποσύνολα του τότε U V. (Πρβλ. παράδειγμα. (5)).

2 37 3)Ο χώρος R S δεν είναι συνεκτικός, εφόσον τα σύνολα, και, είναι και τα δύο ανοικτά στον R S ( Πρβλ. παράδειγμα.33 ().) 4)Ο χώρος των ρητών Q R δεν είναι συνεκτικό υποσύνολο του R. Πράγματι τα, Q και ανοικτά μη κενά σύνολα., Q συνιστούν μια διαμέριση τουq σε δύο (σχετικά ) Θεώρημα 6.3. (Συνεκτικότητα των διαστημάτων). Τα μόνα συνεκτικά υποσύνολα του R με περισσότερα από ένα στοιχεία είναι τα διαστήματα ( ανοικτά, κλειστά, ημιανοικτά, φραγμένα η μη φραγμένα). Ιδιαίτερα ο R είναι συνεκτικός χώρος. Απόδειξη. Έστω ένα συνεκτικό υποσύνολο του R με. Αν το δεν είναι διάστημα τότε θα υπάρχουν,b με b και κάποιο c a, b ώστε c, είναι τότε σαφές ότι τα σύνολα,c και c, συνιστούν μια διαμέριση του σε δύο ( σχετικά ) ανοικτά μη κενά σύνολα, το οποίο αντιφάσκει στην υπόθεση. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι είναι ένα διάστημα του R. Αν το δεν ήταν συνεκτικό υποσύνολο του R, τότε U V,όπου U καιv ξένα, ανοικτά στο μη κενά σύνολα. Έστω U και b V τότε b. Ας υποθέσουμε ( όπως μπορούμε ) ότι b. Θέτουμε a0 sup x R : a, x U, τότε a0 b και επειδή το είναι διάστημα a0. Παρατηρούμε ότι a0 clu U, όμως το U είναι κλειστό στο ( εφόσον U \ V ) επομένως a0 U και a0 b. Επειδή το U είναι ανοικτό στο διάστημα, 0 U, a, b και a0 b, έπεται ότι υπάρχει 0 ώστε,, a U a a U το οποίο αντιφάσκει με τον ορισμό του a

3 38 Ο ορισμός της συνεκτικότητας μπορεί να επαναδιατυπωθεί με τους ακόλουθους πιο εύχρηστους τρόπους. Πρόταση 6.4 Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι για ένα τοπολογικό χώρο. (α) Ο είναι συνεκτικός. (β) Τα μόνα υποσύνολα του τα οποία είναι ανοικτά και συγχρόνως κλειστά είναι τα και. (γ) Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : 0, επί του0,, όπου ο χώρος 0, έχει την διακριτή τοπολογία. Απόδειξη. (α) (β) Αν U είναι ανοικτό και κλειστό και U,, τότε U \ U από όπου έπεται ότι ο δεν είναι συνεκτικός. (β) (γ) Αν f : 0, ήταν μια συνεχής συνάρτηση του επί του 0,, τότε f 0, και επειδή το (διακριτού) χώρου άτοπο. 0, το σύνολο 0 0 είναι ανοικτό και κλειστό υποσύνολο του f είναι ανοικτό και κλειστό στον, (γ) (α) Αν ο δεν ήταν συνεκτικός τότε U V μεu V, U V και UV, ανοικτά στον. Τότε τα U και V είναι επίσης κλειστά στον και η χαρακτηριστική συνάρτηση x : 0, είναι συνεχής και επί του U 0,, άτοπο. Πρόταση 6.5 Η συνεχής εικόνα συνεκτικού χώρου είναι συνεκτικό σύνολο. Δηλαδή, αν : f είναι συνεχής και συνεκτικός χώρος τότε το f υποσύνολο του χώρου. Απόδειξη.Η απεικόνιση f : f μπορούμε να υποθέσουμε ότι f είναι συνεκτικό είναι συνεχής (πρβλ. πρόταση.45(γ)) έτσι. Αν ο δεν ήταν συνεκτικός τότε από την

4 39 προηγούμενη πρόταση θα υπήρχε μια συνεχής συνάρτηση g : 0, με g 0,. Τότε η σύνθετη συνάρτηση : 0, του 0,, το οποίο αντιφάσκει με την συνεκτικότητα του. gof θα ήταν συνεχής και επί.. Από τα προηγούμενα αποτελέσματα καταλήγουμε στην ακόλουθη γενίκευση του θεωρήματος ενδιαμέσου τιμής του Απειροστικού Λογισμού Θεώρημα 6.6 ( Ενδιαμέσου τιμής ). Έστω συνεκτικός χώρος και f : R συνεχής συνάρτηση, τότε η f παίρνει κάθε τιμή μεταξύ δύο διαφορετικών τιμών της. Απόδειξη. Έπεται προφανώς από το προηγούμενο αποτέλεσμα και τον χαρακτηρισμό των συνεκτικών υποσυνόλων του R ( θεώρημα 6.3). Λήμμα 6.7. Έστω : οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του τοπολογικού χώρου ώστε., τότε η ένωση είναι συνεκτικό υποσύνολο του Απόδειξη. Έστω x 0 κάθε και : 0, είναι συνεκτικό η x για κάθε, έχουμε ότι 0 f τυχούσα συνεχής συνάρτηση. Επειδή f δεν μπορεί να είναι επί του0, και επειδή f x f x 0 για κάθε x και κάθε, δηλαδή f x f x 0 για κάθε x. Επομένως η f δεν μπορεί να είναι επί του 0, και έτσι από την πρόταση 6.4 το είναι συνεκτικό υποσύνολο του...

5 40 Πρόταση 6.8. Έστω συνεκτικό σύνολο και, τότε το είναι συνεκτικό σύνολο. Ιδιαίτερα, η κλειστότητα ενός συνεκτικού συνόλου είναι συνεκτικό. Απόδειξη. Έστω f : 0, συνεχής συνάρτηση. Επειδή το είναι συνεκτικό η f δεν είναι επί του 0,. Επειδή cl, η συνέχεια της f επί του συμπεραίνει ότι f f cl f f, επομένως η f δεν είναι επί του 0, και άρα το είναι συνεκτικό υποσύνολο του. Παράδειγμα 6.9 Έστω S το ακόλουθο υποσύνολο του Ευκλειδείου επιπέδου, S x, y : y,0 x x. Επειδή το S είναι εικόνα του διαστήματος 0, : x 0, x x, R x μέσω της συνεχούς απεικόνισης το S είναι συνεκτικό υποσύνολο του R. Επομένως η κλειστότητα του S στο συνεκτικό σύνολο. Παρατηρούμε ότι κάθε υποσύνολο y R είναι επίσης S S 0, y : y και ακόμη ότι για 0, : y το σύνολο S \ είναι επίσης συνεκτικό. ( Συμπληρώστε τις λεπτομέρειες.). Το σύνολο S είναι ένα κλασσικό παράδειγμα στην τοπολογία και ονομάζεται the topologst s se curve., 0,. x Το S είναι βέβαια το γράφημα της συνάρτησης f x x fx = ημ x

6 4 Θεώρημα 6.0. Το καρτεσιανό γινόμενο συνεκτικών χώρων είναι συνεκτικός χώρος αν και μόνο αν κάθε παράγων του γινομένου είναι συνεκτικός. Απόδειξη. Έστω : οικογένεια και με την τοπολογία γινόμενο. Έστω ότι ο είναι συνεκτικός χώρος. Επειδή κάθε προβολή : είναι συνεχής και επί του, από την πρόταση 6.5 έχουμε το συμπέρασμα. Αποδεικνύουμε πρώτα ότι το γινόμενο δύο συνεκτικών χώρων και είναι συνεκτικός χώρος. Η απόδειξη αυτή είναι απλή αν σκεφθούμε με γεωμετρικούς όρους. Έστω ab, ένα σημείο του γινομένου Παρατηρούμε ότι η «οριζόντια» ευθεία ομοιομορφική το οποίο σταθεροποιούμε. b είναι συνεκτικό σύνολο ως με το χώρο και κάθε «κατακόρυφη» ευθεία x είναι συνεκτική ως ομοιομορφική με τον Έπεται από το λήμμα 6.7 ότι το σύνολο x b x, x είναι συνεκτικό, αφού είναι ένωση δύο συνεκτικών συνόλων που έχουν ως κοινό σημείο το xb,. Από το ίδιο λήμμα έπεται ότι η ένωση x x είναι συνεκτικό σύνολο, αφού το ab, είναι κοινό σημείο των συνεκτικών συνόλων, x. Επειδή αυτή η ένωση ισούται προφανώς με έπεται ότι ο χώρος είναι συνεκτικός. x

7 4 Η απόδειξη ότι κάθε πεπερασμένο γινόμενο συνεκτικών χώρων είναι συνεκτικός χώρος έπεται με επαγωγή στο πλήθος των παραγόντων. Με χρήση της απλής παρατήρησης ότι ο... είναι ομοιομορφικός με τον.... Η γενική περίπτωση της τυχούσας οικογένειας : συνεκτικών τοπολογικών χώρων αποδεικνύεται ως ακολούθως. Επιλέγουμε ένα σημείο b b του. Συμβολίζουμε με την οικογένεια των πεπερασμένων υποσυνόλων του και για κάθε F έστω C F, όπου b F Ισχυριζόμαστε ότι κάθε αν F και αν F. F a,..., a. Πράγματι, η απεικόνιση C F είναι ομοιομορφικός με τον χώρο x,..., x y C a a a a F όπου Όπου ya xa, αν F και ya ba όταν \ F είναι και επί και επιπλέον μεταφέρει τα βασικά ανοικτά του... σε βασικά ανοικτά τουc F.

8 43 Από την πεπερασμένη περίπτωση του θεωρήματος μας η οικογένεια C αποτελείται από συνεκτικούς χώρους. Επειδή b b C F, έπεται από το λήμμα6.7 ότι η ένωση C CF F F F : F είναι συνεκτικός υπόχωρος του. Αλλά είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι ο C είναι πυκνός υπόχωρος του (πρβλ. και την άσκηση (δ) των παραγράφων.,.). Έτσι από την πρόταση 6.8 συμπεραίνουμε ότι ο είναι συνεκτικός. Παραδείγματα 6. Από το προηγούμενο θεώρημα καθώς και το θεώρημα 6.3 έπεται ότι οι ακόλουθοι τοπολογικοί χώροι είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συνεκτικοί. (α) Ο ευκλείδειος χώρος R και οι κύβοι 0, και 0, N. (β) Γενικότερα ο χώρος R και ο κύβος 0,, όπου τυχόν μη κενό σύνολο. Η συνεκτική συνιστώσα C x ενός σημείου x σε έναν τοπολογικό χώρο είναι η ένωση όλων των συνεκτικών υποσυνόλων του τα οποία περιέχουν το σημείο x. Από το λήμμα 6.7 και την πρόταση 6.8 έπεται προφανώς ότι οι συνεκτικές συνιστώσες είναι συνεκτικά και κλειστά υποσύνολα του. Είναι σαφές ότι οι συνεκτικές συνιστώσες C x και C y δύο διαφορετικών σημείων x και y του είτε συμπίπτουν ή είναι ξένα σύνολα. Έτσι το σύνολο όλων των διαφορετικών συνεκτικών συνιστωσών του χώρου συνιστά μια διαμέριση του χώρου σε ( ανά δύο ξένα ) κλειστά και συνεκτικά υποσύνολά του. Ακόμη σημειώνουμε ότι κάθε συνεκτική συνιστώσα C x του είναι ένα μεγιστικό συνεκτικό υποσύνολο του : Δηλαδή, δεν υπάρχει συνεκτικό υποσύνολο του που να περιέχει γνήσια την C x ( γιατί; ).

9 44 Πρόταση 6. Η συνεκτική συνιστώσα ενός σημείου x x στο καρτεσιανό γινόμενο ταυτίζεται με το καρτεσιανό γινόμενο C, όπου C είναι η συνεκτική συνιστώσα του σημείου x στον χώρο Απόδειξη Έστω C η συνεκτική συνιστώσα του x στον. Επειδή για κάθε η. προβολή C είναι συνεκτικό σύνολο και x C, έχουμε ότι C, C. Κατά συνέπειαc C και βέβαια το γινόμενο C είναι από το θεώρημα 6.0, συνεκτικό σύνολο. Από το γεγονός ότι κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι ένα μεγιστικό συνεκτικό σύνολο, συμπεραίνουμε ότι C C. Παραδείγματα 6.3. ) Έστω 0 0,,3 του R, τότε οι συνεκτικές συνιστώσες του είναι τα διαστήματα, θεωρούμενος ως υπόχωρος 0, και,3. ) Αν ο τοπολογικός χώρος έχει την διακριτή τοπολογία τότε οι συνεκτικές συνιστώσες του είναι τα μονοσύνολα του ( γιατί; ). 3) Έστω Q R ο υπόχωρος των ρητών αριθμών. Αν Q και είναι συνεκτικό υποσύνολο του Q τότε βέβαια το είναι συνεκτικό υποσύνολο του R και άρα από το θεώρημα 6.3 είναι ένα διάστημα. Έπεται προφανώς ότι το είναι αναγκαία ένα μονοσύνολο. Παρατηρούμε ότι, αν και ο Q δεν έχει την διακριτή τοπολογία, οι συνεκτικές συνιστώσες του είναι τα μονοσύνολα. Σημειώνουμε ότι ένας τ.χ. λέγεται ολικά μη συνεκτικός αν C x x υπόχωρος Q του R είναι ολικά μη συνεκτικός., για κάθε x. Έτσι ο

10 45 4)Έστω 0, N το σύνολο Cator ( με την τοπολογία γινόμενο) έπεται τότε από την πρόταση 6. και το παράδειγμα () ότι ο είναι ολικά μη συνεκτικός χώρος. Σημειώνουμε ότι, το παρόν παράδειγμα ( αλλά και το παράδειγμα (3) μας δείχνουν ότι οι συνεκτικές συνιστώσες δεν είναι αναγκαία ανοικτά σύνολα.. Στο υπόλοιπο αυτό του κεφαλαίου θα συζητήσουμε ( κυρίως ) τη σχέση συνεκτικότητας και κυρτότητας σε διανυσματικούς χώρους με νόρμα. Όσοι από τους αναγνώστες δεν είναι εξοικειωμένοι με αυτή την έννοια, μπορούν να υποθέτουν οποτεδήποτε αναφερόμαστε σε έναν χώρο με νόρμα, ότι στην θέση του είναι ο ευκλείδειος χώρος R. Ορισμός 6.4 Έστω διανυσματικός χώρος επί του σώματος υποτίθεται είτε πραγματικός η μιγαδικός διανυσματικός χώρος. ) R ή C. ( Ο (α) Έστω ab, το ( προσανατολισμένο) ευθύγραμμο τμήμα από το a στο b είναι το σύνολο Αν a b, τότε το, a, b ta tb : t 0,. ab είναι ένα διάστημα της ευθείας, t a t b a t R ( η οποία διέρχεται από το σημείο a και έχει την διεύθυνση του διανύσματος b a) του χώρου. (β) Ένα υποσύνολο λέγεται κυρτό αν για κάθε ab, ισχύει ότι ab,. ( Παρατηρούμε ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα με άκρα a και b του είναι κυρτό υποσύνολο του.) (γ) Έστω a0, a,..., a m σημεία του. Η πολυγωνική γραμμή με κορυφές a0, a,..., a m είναι το σύνολο,,..., a 0 m m.

11 46 Υπενθυμίζουμε ότι ένας διανυσματικός χώρος με νόρμα, μετρικοποιείται με την μετρική : d x, y x y, x, y. Τότε οι πράξεις του, δηλαδή η διανυσματική πρόσθεση x, y x y καθώς και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός, x x, είναι συνεχείς απεικονίσεις ( όπου ο και ο, έχουν ο καθένας την αντίστοιχη τοπολογία γινόμενο). Πρόταση 6.5. Έστω, διανυσματικός χώρος με νόρμα. Τότε ισχύουν: (α) Κάθε ευθύγραμμο τμήμα και γενικότερα κάθε πολυγωνική γραμμή στον είναι σύνολα συνεκτικά (β) Κάθε κυρτό είναι συνεκτικό σύνολο. Ιδιαίτερα ο είναι συνεκτικός χώρος. Απόδειξη. α) Έστω, συνεχής και 0, ab, R ab, τότε η απεικόνιση : R : t a t b a είναι. Επομένως τοab, είναι συνεκτικό σύνολο. Επειδή είναι επίσης συνεκτικό σύνολο, έχουμε ότι και η ευθεία με εξίσωση t a t b a είναι συνεκτικό σύνολο. Το γεγονός ότι μια πολυγωνική γραμμή είναι συνεκτικό σύνολο αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή στον αριθμό των κορυφών της ( αν έχει δύο κορυφές τότε είναι ευθύγραμμο τμήμα και είναι άρα συνεκτικό σύνολο). Για το επόμενο βήμα της επαγωγής χρησιμοποιούμε το λήμμα 6.7. (β) Έστω κυρτό σύνολο. Επιλέγουμε. Επειδή το είναι κυρτό ισχύει ότι, x για κάθε x επομένως a, x: x.επειδή το ανήκει σε κάθε, x και από τον ισχυρισμό (α) τα ευθύγραμμα τμήματα είναι σύνολα συνεκτικά, από το 6.7 έπεται το συμπέρασμα. Ο ίδιος ο χώρος είναι προφανώς κυρτό σύνολο και άρα είναι συνεκτικός χώρος.

12 47 Παραδείγματα 6.6. ) από την προηγούμενη πρόταση έχουμε μια ακόμη απόδειξη ότι ο ευκλείδειος χώρος R και ο κύβος είναι κυρτά σύνολα. ( Πρβλ. το παράδειγμα 6. (α)). 0, είναι συνεκτικά σύνολα, εφόσον )Στο ευκλείδειο επίπεδο R έχουμε ότι κάθε δίσκος (ανοικτός ή κλειστός ) και κάθε κυρτό πολύγωνο ( τρίγωνο τετράπλευρο κ.τ.λ. ) είναι κυρτό σύνολο. ( Ο ισχυρισμός ισχύει τόσο για το εσωτερικό ενός κυρτού πολυγώνου όσο και για ένα κλειστό πολύγωνο, δηλαδή το εσωτερικό μαζί με το σύνορό του.). Τα ίδια ισχύουν και για τις ελλείψεις του επιπέδου. Σημειώνουμε ακόμη ότι ανάλογα ισχύουν και για τον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο 3 R. 3) Αν, είναι χώρος με νόρμα τότε κάθε σφαίρα ανοικτή ή κλειστή του είναι κυρτό σύνολο. Αποδεικνύουμε το αποτέλεσμα για την κλειστή σφαίρα x, απόδειξη για την ανοικτή σφαίρα x, είναι ανάλογη. Έστω a, b x,, όπου 0, z t a tb t τότε z x t a x t b x t a x t b x Άρα z x, και έτσι a, b x,. t t., η αν Έστω ένα υποσύνολο του ευκλειδείου επιπέδου για το οποίο ισχύει ότι κάθε ζεύγος σημείων του a και b μπορούν να συνδεθούν με μία πολυγωνική γραμμή. ( Παραδείγματα τέτοιων συνόλων είναι τα κυρτά υποσύνολα του R \ 0,0 R ή το σύνολο.) Είναι τότε εύκολο να αποδείξουμε ότι το είναι συνεκτικό

13 48 υποσύνολο του R. Η ιδέα αυτή οδηγεί σε μια ισχυροποίηση της συνεκτικότητας η οποία περιγράφεται με τον ακόλουθο τρόπο. Ορισμός 6.7. Έστω τοπολογικός χώρος. Αν xy,, μια διαδρομή ή μονοπάτι από το x στο y, είναι μια συνεχής απεικόνιση f : a, b R ώστε f a x και f b y. O λέγεται ότι είναι κατά τόξα συνεκτικός, αν κάθε ζεύγος σημείων του μπορούν να συνδεθούν με μία συνεχή απεικόνιση ( διαδρομή ) όπως παραπάνω. Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι αν ο είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος τότε είναι συνεκτικός: Έστω U V μια διαμέριση του σε ξένα ανοικτά μη κενά σύνολα. Θεωρούμε f : a, b R τυχούσα συνεχής απεικόνιση. Το σύνολο f a, b είναι τότε συνεκτικό υποσύνολο του και έτσι θα πρέπει να περιέχεται είτε στο U ή στο V. Επομένως δεν υπάρχει ( συνεχής ) διαδρομή η οποία να συνδέει ένα σημείο του U με ένα σημείο του V, το οποίο αντιφάσκει με την υπόθεση ότι ο είναι κατά τόξα συνεκτικός. Το αντίστροφο δεν ισχύει, ένας συνεκτικός χώρος δεν είναι αναγκαία κατά τόξα συνεκτικός, όπως θα διαπιστώσουμε με τα παραδείγματα που ακολουθούν. Ένας ισοδύναμος τρόπος περιγραφής της έννοιας, που περιγράψαμε παραπάνω διατυπώνεται στην ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 6.8.Έστω τ.χ. και x0 τυχόν στοιχείο του. Ο είναι κατά τόξα συνεκτικός αν και μόνο αν κάθε x μπορεί να συνδεθεί με το x 0 με μια συνεχή διαδρομή. Απόδειξη. Αν ο είναι κατά τόξα συνεκτικός το αποτέλεσμα είναι προφανές. Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι η συνθήκη ικανοποιείται για το x 0 και ότι μας έχουν

14 49 δοθεί τα σημεία x και x στο 0 απεικόνιση x και : 0, είναι συνεχής ( στο συνδέει το x x ' του. Έστω f : 0, μια συνεχής διαδρομή από το g μια συνεχής διαδρομή από το x 0 στο t f t, 0 t g t, t t, έχουμε f g 0 x0 0 x με το x ' x '. Τότε η,πρβλ. την πρόταση.47 ) και x '. Παραδείγματα 6.9 ) Ο χώρος S του παραδείγματος 6.9 είναι συνεκτικός αλλά όχι κατά τόξα συνεκτικός, εφόσον δεν υπάρχει συνεχής διαδρομή f : 0, με f 0 0,0 και f,0. Πράγματι μια απεικόνιση f R : 0, είναι συνεχής αν και μόνο αν οι f και f είναι συνεχείς (πρβλ. πρόταση.0 (β)). Έτσι αν η f ήταν συνεχής ώστε να συνδέει το σημείο 0,0 με το,0, τότε η f θα έπαιρνε όλες τις τιμές,,,..., και η f θα έπαιρνε τις τιμές και σε κάθε περιοχή 0, ( 0 ) του μηδενός. Έτσι δεν υπάρχει 0 ώστε το διάστημα 0, να απεικονίζεται στο διάστημα f δεν μπορεί να είναι συνεχής., μέσω της f και η Σημειώνουμε ότι ο S είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος ( γιατί; ) )Κάθε κυρτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου R ( και γενικότερα ενός διανυσματικού χώρου με νόρμα ) είναι προφανώς κατά τόξα συνεκτικός χώρος.

15 50 3)Έστω ένα σημείο του R τότε ο υπόχωρος R \ του R είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος ( προφανώς όχι κυρτός ). Πράγματι, αν x και y είναι σημεία του R διαφορετικά του, μπορούμε να συνδέσουμε τα x και y με το ευθύγραμμο τμήμα xy, αν αυτό δεν περιέχει το σημείο. Διαφορετικά, επιλέγουμε ένα σημείο z που δεν βρίσκεται στην ευθεία που συνδέει τα x και y και θεωρούμε την πολυγωνική γραμμή P x, z z, y συνεχής διαδρομή από το x στο y ( γιατί; ) έπεται το συμπέρασμα.. Επειδή η P είναι μια Από το παράδειγμα 6.9 (3) έπεται το ακόλουθο ενδιαφέρον αποτέλεσμα. Πρόταση 6.0. Οι χώροι R και R δεν είναι ομοιομορφικοί. Απόδειξη.Υποθέτουμε ότι υπάρχει ομοιομορφισμός : R R. Αν εξαιρέσουμε ένα σημείο του χώρου R τότε προφανώς έχουμε τον ομοιομορφισμό : R \ R\. Αυτό όμως είναι αδύνατο καθώς ο χώρος R \ είναι από το παράδειγμα 6.9 (3) συνεκτικός ενώ ο χώρος R \ δεν είναι συνεκτικός (πρβλ. το θεώρημα 6.3 ). Το θεώρημα ότι ο R δεν είναι ομοιομορφικός με τον m R m είναι επίσης αληθές, αλλά απαιτεί για την απόδειξή του λεπτότερες τεχνικές παραπέμπουμε στην βιβλιογραφία. και έτσι

16 5 Σχετικά με το παράδειγμα 6.9 (3) παρατηρούμε ότι αν F πεπερασμένο υποσύνολο του R τότε αποδεικνύεται εύκολα ότι ο R \ F είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος. Ισχύει ένα ακόμη ισχυρότερο αποτέλεσμα το οποίο είναι το ακόλουθο. Θεώρημα 6.. Έστω F ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος. R τότε ο R \ F Απόδειξη. Επιλέγουμε ένα σημείο R \ F. Θα αποδείξουμε ότι για κάθε x R \ F υπάρχει πολυγωνική γραμμή P R \ F η οποία συνδέει το a με το x. Επειδή η P είναι μια συνεχής διαδρομή από το σημείο a στο σημείο x θα έχουμε το αποτέλεσμα ( πρβλ. την πρόταση 6.8). Θεωρούμε, δοθέντος του x, το ευθύγραμμο τμήμα ax, και έστω τυχόν ευθύγραμμο τμήμα ( έστω μήκους ίσου με ) το οποίο τέμνει το ax, σε ακριβώς ένα σημείο διαφορετικό από τα a και x. Για κάθε z θεωρούμε την πολυγωνική γραμμή P a, z z, x z. Κάθε P z είναι συνεκτικό σύνολο και αν z, z είναι διαφορετικά σημεία του τότε οι πολυγωνικές P z και z P τέμνονται μόνο στα σημεία a και x. Παρατηρούμε ότι τουλάχιστον μια Pz πρέπει να περιέχεται στον χώρο R \ F. Πράγματι αν Pz F για κάθε z, τότε επειδή τα σημεία τομής για διαφορετικά z είναι και αυτά διαφορετικά, θα προέκυπτε μια αντιστοιχία μεταξύ ενός υποσυνόλου του αριθμήσιμου συνόλου F και των σημείων του αριθμησιμότητα του F συμπέρασμα το οποίο αντιφάσκει με την Παρατηρήσεις 6. ) Έστω, διανυσματικός χώρος με νόρμα για τον οποίο υποθέτουμε ότι dm, αν είναι πραγματικός διανυσματικός χώρος. Παρατηρούμε τα ακόλουθα. (α) Το θεώρημα 6. ισχύει ( με ουσιαστικά την ίδια απόδειξη ) και στον. (β) Έστω υποσύνολο του με την ιδιότητα ότι για κάθε ab, υπάρχει πολυγωνική γραμμή P z, z... z, z 0 m m ώστε 0, m z a z b και P. Τότε ο είναι ένας κατά τόξα συνεκτικός υπόχωρος του. ( Την παρατήρηση αυτή την

17 5 έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει.) Πράγματι η P μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνεχής διαδρομή από το a στο b θέτοντας f t t z t z, t,, 0,,..., m. Παρατηρούμε ότι τότε, f, z, z. Ασκήσεις )Αποδείξτε ότι ένας χώρος με την διακριτή τοπολογία και τουλάχιστον δύο σημεία δεν είναι συνεκτικός. Επίσης αποδείξτε ότι ένα πεπερασμένο υποσύνολο ενός χώρου Hausdorff με τουλάχιστον δύο σημεία δεν είναι συνεκτικό. )Αποδείξτε ότι η επεκτεταμένη ευθεία των πραγματικών αριθμών ( παράδειγμα.38 ()) είναι συνεκτικός τοπολογικός χώρος ο οποίος δεν είναι ομοιομορφικός με τον χώρο R των πραγματικών αριθμών. 3)Έστω άπειρο σύνολο με την συμπεπερασμένη τοπολογία. Αποδείξτε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση f : R είναι σταθερή. 4)Έστω, συνεκτικός τ.χ. και μια τοπολογία στον ώστε Αποδείξτε ότι ο, είναι συνεκτικός τ.χ... 5)Έστω,...,,... ακολουθία συνεκτικών υποσυνόλων του χώρου ώστε,,,... Αποδείξτε ότι η ένωση είναι συνεκτικό υποσύνολο του. [Υπόδειξη. Τα σύνολα, 3,..., είναι συνεκτικά.] 6)Έστω : οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του χώρου και συνεκτικό υποσύνολο του ώστε για κάθε. Αποδείξτε ότι η ένωση,, είναι συνεκτικά.]. είναι συνεκτικό υποσύνολο του. [ Υπόδειξη Τα σύνολα

18 53 7)Έστω : οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του χώρου ώστε κάθε δύο από αυτά να τέμνονται. Αποδείξτε ότι η ένωση είναι συνεκτικό υποσύνολο του. [Υπόδειξη. Έστω 0, τότε για κάθε.] 0 8)Έστω f : συνεχής απεικόνιση. Αποδείξτε ότι: (α) Αν ο είναι συνεκτικός χώρος τότε το γράφημα G f x, f x : x της f είναι συνεκτικό υποσύνολο του το οποίο είναι ομοιομορφικό με τον χώρο. (β) Αν ο είναι ένας ανοικτός δίσκος του,, :, R και S x y z z f x y είναι συνεκτικό υποσύνολο του 9)Αποδείξτε ότι η επιφάνεια Rτότε η επιφάνεια 3 R. S είναι συνεκτικός τ.χ.. Ισχύει αυτό το αποτέλεσμα για την S x της μοναδιαίας σφαίρας ενός χώρου με νόρμα x x R S x [ Υπόδειξη. Η απεικόνιση \ 0, ; είναι συνεχής.] 0) Αποδείξτε ότι τα διαστήματα 0,, 0,, 0, είναι ανά δύο μη ομοιομορφικοί τοπολογικοί χώροι. [ Υπόδειξη. Αν π.χ. υπήρχε ομοιομορφισμός : 0, 0, τότε οι χώροι 0, και 0, 0 0, θα ήταν ομοιομορφικοί.] )Αποδείξτε ότι το διάστημα 0, δεν είναι ομοιομορφικό με τον μοναδιαίο κύκλο S του R και ότι το 0, δεν είναι ομοιομορφικό με τον S. )Αποδείξτε ότι οι χώροι S και S δεν είναι ομοιομορφικοί 3) Στον Ευκλείδειο χώρο R, αποδείξτε τα ακόλουθα:

19 54 (α)αν x R : όλες οι συντεταγμένες του x είναι ρητοί, τότε το R \ είναι συνεκτικός χώρος. (β) Αν x R : όλες οι συντεταγμένες του x είναι άρρητοι, τότε το δεν είναι συνεκτικός χώρος. (γ) Αν 3 x R : τουλάχιστον μια συντεταγμένη του x είναι άρρητος, τότε το 3 είναι συνεκτικός χώρος. 4) Έστω U ανοικτό υποσύνολο του R. Αποδείξτε ότι: (α) Κάθε συνεκτική συνιστώσα του U είναι ανοικτό στον R. (β) Το U έχει το πολύ αριθμήσιμο πλήθος συνεκτικών συνιστωσών. 5) Έστω U ανοικτό υποσύνολο του R.Αποδείξτε ότι το U είναι συνεκτικό αν και μόνο αν κάθε ζεύγος σημείων του συνδέεται με μια πολυγωνική γραμμή P U ( το U είναι κατά τόξα συνεκτικός χώρος ). Εξετάστε αν ισχύει αυτό το αποτέλεσμα σε έναν διανυσματικό χώρο με νόρμα. [ Υπόδειξη. Έστω U ανοικτό και συνεκτικό στον R. Αν a U αποδείξτε ότι το σύνολο V εκείνων των σημείων b του U για τα οποία υπάρχει πολυγωνική PU από το a στο b, είναι μη κενό ανοικτό και κλειστό ως προςu.] 6) Έστω, διανυσματικός χώρος με νόρμα και κυρτό. Αποδείξτε ότι αν a (= το εσωτερικό του ) και b τότε το ευθύγραμμο τμήμα,b. [ Υπόδειξη. Εξετάστε πρώτα την περίπτωση b.] 7) Έστω, b R ώστε και b. Αποδείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα,b τέμνει την S σε ένα μόνο σημείο. Γενικεύστε το αποτέλεσμα σε έναν διανυσματικό χώρο με νόρμα.

20 55 [Υπόδειξη. Η απεικόνιση g t ta tb, t 0, είναι συνεχής.] 8) Έστω τελείως κανονικός χώρος με τουλάχιστον δύο σημεία. Αποδείξτε ότι αν ο είναι συνεκτικός τότε ο πληθάριθμος c ( όπου c =ο πληθάριθμος του συνεχούς). 9) Στον τ.χ. ορίζουμε, x yαν τα x και y περιέχονται στο ίδιο συνεκτικό σύνολο. Αποδείξτε ότι η x y είναι μια σχέση ισοδυναμίας στον. Ποιες είναι οι συνεκτικές συνιστώσες;

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΟΓΔΟΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και A X. Ονομάζουμε εσωτερικό του A το σύνολο Ονομάζουμε σύνορο του A το σύνολο A = {x x εσωτερικό του A}. A = {x

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1

( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1 76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2 η : Εισαγωγικές Ένvοιες Ι Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 }

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 } Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2014 ii Πρώτη έκδοση, πιθανόν με τυπογραφικά λάθη. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 σ-άλγεβρες 5 1.1 Άλγεβρες και σ-άλγεβρες.........................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. Πολλαπλότητες. & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. Πολλαπλότητες. & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Πολλαπλότητες & Γεωμετρία των τριών διαστάσεων Οι οκτώ γεωμετρίες του 3-διάστατου χώρου ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Φωτεινός Μεργούπης-Ανάγνου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΗΜΜΑ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και x, y X με x y. Τότε υπάρχει μια περιοχή του x και μια περιοχή του y (και, μάλιστα, ίδιας ακτίνας) οι οποίες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα