ΆΛΓΔΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΔ ΠΥΛΔ

Transcript

1 ΦΥΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 1 ο ΆΛΓΔΒΡΑ BOOLE ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΔ ΠΥΛΔ Τα ςεθηαθά ζπζηήκαηα ζήκεξα ρξεζηκνπνηνύληαη πξαθηηθά, ζε όια ηα επίπεδα ηεο αλζξώπηλεο δξαζηεξηόηεηαο. Τα ςεθηαθά ζήκαηα γηα ηερληθνύο ιόγνπο πξέπεη λα εθθξάδνπλ κόλν δπν θαηαζηάζεηο. Έηζη γηα ηε ιεηηνπξγία π.ρ. Η/Υ πξέπεη λα εμαζθαιίδνληαη: Γπν δηαθνξεηηθέο ειεθηξηθέο ηάζεηο Γπν δηαθνξεηηθήο έληαζεο καγλεηηθά πεδία(γηα ηα απνζεθεπηηθά κέζα) Ύπαξμε ή αλππαξμία νπηηθήο δέζκεο(cd) Η άιγεβξα Boole ρξεζηκνπνηείηαη ζηελ ζρεδίαζε ειεθηξνληθώλ θπθισκάησλ θαζώο ρξεζηκνπνηνύληαη κεηαβιεηέο πνπ παίξλνπλ κόλν δύν ηηκέο θαη ζαλ απνηέιεζκα δίλνπλ επίζεο δύν ηηκέο. Τα ειεθηξνληθά θπθιώκαηα πνπ εθηεινύλ πξάμεηο ηηο άιγεβξαο Boole νλνκάδνληαη ινγηθέο πύιεο. 1

2 Άλγεβπα Boole Ο ππνινγηζηήο, εθηόο από αξηζκεηηθέο πξάμεηο, έρεη ηε δπλαηόηεηα λα εθηειεί ζπγθξίζεηο, δειαδή λα επεμεξγάδεηαη ινγηθά δεδνκέλα. Ο πξώηνο πνπ δηαηύπσζε ηνπο βαζηθνύο θαλόλεο κε ηνπο νπνίνπο νη ινγηθέο πξνηάζεηο κπνξνύλ λα παξνπζηαζηνύλ κε καζεκαηηθά ζύκβνια, ήηαλ ν Άγγινο καζεκαηηθόο George Boole. Οη θαλόλεο απηνί απνηεινύλ ηκήκα ηεο Άιγεβξαο Λνγηθήο ή Άιγεβξαο Boole. Σηελ άιγεβξα Boole ππάξρνπλ κόλν δύν είδε πξνηάζεσλ, απηέο πνπ είλαη αιεζείο θαη απηέο πνπ είλαη ςεπδείο. Γειαδή νη κεηαβιεηέο πνπ ρξεζηκνπνηνύληαη ζηελ άιγεβξα απηή κπνξνύλ λα πάξνπλ κόλν δύν ηηκέο. Σηηο ηηκέο απηέο κπνξνύκε λα αληηζηνηρήζνπκε ηηο δπάδεο: Γπαζηηπιόηηηα Σύκθσλα κε ηελ άιγεβξα Boole, κηα πξόηαζε κπνξεί λαη είλαη αιεζήο ή ςεπδήο. Έηζη ε πξόηαζε "Η γάηα είλαη αηινπξνεηδέο" είλαη αιεζήο, ελώ ε πξόηαζε "ν ζθύινο είλαη αηινπξνεηδέο" είλαη ςεπδήο. Οη πξνηάζεηο επηδέρνληαη ινγηθέο πξάμεηο, ην απνηέιεζκα ησλ νπνίσλ είλαη άιιεο πξνηάζεηο, πνπ κπνξνύλ λα είλαη αιεζείο ή ςεπδείο. Οη ινγηθέο πξάμεηο είλαη αλάινγεο κε πιήζνο παξόκνησλ ελλνηώλ ηεο θαζεκεξηλήο καο δσήο, π.ρ.: Γηα λα ηξέμεη λεξό από ηε βξύζε πξέπεη λα αλνίμνπκε ηε βξύζε θαη λα είλαη αλνηθηόο θαη ν γεληθόο δηαθόπηεο λεξνύ ηνπ δηακεξίζκαηνο. Γηα λα κπσ ζην απηνθίλεηό κνπ πνπ βξίζθεηαη ζην γθαξάδ πξέπεη λα αλνίμσ ηελ πόξηα ηνπ γθαξάδ θαη ηελ πόξηα ηνπ απηνθηλήηνπ. Μπνξώ λα κπσ ζην εμνρηθό κνπ ζπίηη από ηελ θύξηα πόξηα ή από ηελ πίζσ πόξηα ηνπ θήπνπ. Από ηνπο πεξηζζόηεξνπο θνηλνύο ινγαξηαζκνύο ηξάπεδαο κπνξεί λα θάλεη αλάιεςε ν δηθαηνύρνο A ή ν δηθαηνύρνο B. Υπάξρνπλ όκσο θαη ινγαξηαζκνί, π.ρ. εηαηξεηώλ, όπνπ γηά λα γίλεη αλάιεςε πξέπεη λα ππνγξάςνπλ π.ρ. θαη ν δηεπζπληήο θαη ν ηακίαο. Αναζηοσαζμόρ 2

3 Πέληε θίινη ν Άξεο, ν Bαζίιεο, ν Γηώξγνο, ν Γεκήηξεο θαη ν Eξκήο ζέινπλ λα πάλε εθδξνκή αιιά ζέηνπλ θάπνηεο πξνϋπνζέζεηο γηα ηελ ζπκκεηνρή ηνπο ζ απηή. H εθδξνκή ζα γίλεη εάλ πιεξνύληαη όιεο νη αθόινπζεο πξνϋπνζέζεηο: α) ή ν A ή ν B ή θαη νη δπν πξέπεη λα πάλε, β) ή ν Γ ή ν E ή αιιά όρη θαη νη δπν πξέπεη λα πάλε, γ) ή ν A θαη ν Γ ζα πάλε καδί ή θαλείο ηνπο, δ) εάλ πάεη ν Γ ηόηε πξέπεη λα πάεη θαη ν E, ε) εάλ πάεη ν B ηόηε πξέπεη λα πάλε καδί ν A θαη ν Γ. Μπνξεί λα απινπνηεζεί ην ζύλνιν ησλ πξνϋπνζέζεσλ; Θα γίλεη νπσζδήπνηε ε εθδξνκή; Υπό πνηέο απινύζηεξεο πξνϋπνζέζεηο ζα γηλόηαλ ε εθδξνκή; Πξνζπαζήζηε λα απαληήζεηε ζηα εξσηήκαηα απηά θαη θαηαγξάςηε ηηο απαληήζεηο ζαο. Θεωπηηικά Tips Η Άιγεβξα Boole κπνξεί λα δνκεζεί μεθηλώληαο από ηνλ ("αμησκαηηθό") νξηζκό ησλ ηξηώλ πξάμεσλ, ΚΑΙ, Ή, ΌΦΙ, βάζεη ηνπ πίλαθα αιεζείαο ηνπο, δειαδή από ηνλ νξηζκό ηνπο κέζσ ηεο εμαληιεηηθήο απαξίζκεζεο ηνπ απνηειέζκαηόο ηνπο γηά ηνλ θάζε δπλαηό ζπλδπαζκό εηζόδσλ. Έλαο πίλαθαο αιεζείαο παξηζηάλεη ηε ζπλάξηεζε κεηαμύ ησλ εηζόδσλ θαη ηεο εμόδνπ ελόο ινγηθνύ ζπζηήκαηνο. Τηο κεηαβιεηέο ηεο Άιγεβξαο Boole, δειαδή ηηο δπαδηθέο ςεθηαθέο κεηαβιεηέο, ηηο ιέκε θαη "Μεηαβιεηέο Boole" (Boolean variables). Οη κεηαβιεηέο ηεο άιγεβξαο Boole έρνπλ ην ραξαθηεξηζηηθό όηη κπνξνύλ λα ιάβνπλ κόλν δύν ηηκέο, ην 0 θαη 1. Τν θαζέλα ηνπο ζπκβνιίδεη ηε κία από ηηο δύν θαηαζηάζεηο ελόο δίηηκνπ ζηνηρείνπ, όπσο γηα παξάδεηγκα "Α=1" κπνξεί λα ζεκαίλεη: "ε πξόηαζε Α είλαη αιεζήο", ελώ "Α=0" κπνξεί λα ζεκαίλεη "ε πξόηαζε Α είλαη ςεπδήο". 3

4 Γπαζηηπιόηηηα Ιδιόηηηερ Κανόνερ Άλγεβπαρ Boole Μπνξείο λα ζπκπιεξώζεηο ηνλ παξαθάησ πίλαθα κε ηηο ζσζηέο ηηκέο (0 ή 1); Παπάδειγμα 1 Να απνδεηρζνύλ νη ζρέζεηο: A + A' = 1 θαη A 1 = A, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ πίλαθα αιεζείαο Απάνηηζη Παπάδειγμα 2 Να απνδεηρζεί όηη: (A + B) (A + B') = A Απάνηηζη (A + B) (A + B') = AA + AB' + AB + BB' = A + AB' + AB + 0 = A + A(B' + B) = A + A = A Θεωπηηικά Tips Μεηαμύ ησλ ζηνηρείσλ ηεο άιγεβξαο Boole ηζρύνπλ νη παξαθάησ ινγηθέο πξάμεηο: 4

5 Η πξάμε ινγηθό H (OR) πνπ ζπκβνιίδεηαη κε + Η πξάμε ινγηθό KAI (AND) πνπ ζπκβνιίδεηαη κε. Η πξάμε ηεο αληίζηξνθήο ή ηνπ ζπκπιεξώκαηνο πνπ ζπκβνιίδεηαη (παύια πάλσ από ηε κεηαβιεηή). Οη ηδηόηεηεο θαη νη θαλόλεο ηεο Άιγεβξαο Boole εθαξκόδνληαη θαη ηζρύνπλ ζε ηξεηο θύξηεο νκάδεο πξάμεσλ. Λνγηθέο πξάμεηο κε ζηαζεξέο. Λνγηθέο πξάμεηο κε κηα κεηαβιεηή. Λνγηθέο πξάμεηο κε δπν ή πεξηζζόηεξεο κεηαβιεηέο. Πποτεπαιότητα Τελεστών Γηα ηελ εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ ζηηο εθθξάζεηο ηεο Άιγεβξαο Boole είλαη αλάγθε λα θαζνξηζζεί ε πξνηεξαηόηεηα ηεο εθηέιεζήο ηνπο, όπσο γίλεηαη ζηελ γλσζηή από ηα καζεκαηηθά άιγεβξα. 5

6 Άζκηζη Μηα ηερληθή πνπ ζα κπνξνύζε λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα λα απνδείμνπκε όηη δύν ινγηθέο εθθξάζεηο είλαη ηζνδύλακεο, είλαη απηή ηνπ πίλαθα αιεζείαο. Έλαο πίλαθαο αιεζείαο παξηζηάλεη ηε ζπλάξηεζε κεηαμύ ησλ εηζόδσλ θαη ηεο εμόδνπ ελόο ινγηθνύ ζπζηήκαηνο. Γηα παξάδεηγκα, αο ππνζέζνπκε όηη ζέινπκε λα απνδείμνπκε όηη ΑΒ+Α(Β+C)+Β(Β+C) = F = B+AC κε ρξήζε πίλαθα αιεζείαο. Απάνηηζη Ανακεθαλαίωζη Η Άιγεβξα Boole είλαη ε άιγεβξα ε νπνία ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ εθηέιεζε πξάμεσλ κεηαμύ ινγηθώλ κεηαβιεηώλ. Οη ινγηθέο κεηαβιεηέο κπνξεί λα παίξλνπλ ηελ ηηκή 0 ή ηελ ηηκή 1. Η Άιγεβξα Boole ρξεζηκνπνηείηαη θαηά θόξνλ ζηνλ ζρεδηαζκό ςεθηαθώλ θπθισκάησλ. Φξεζηκνπνηεί πίλαθεο αιεζείαο γηα ηνλ νξηζκό ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ ινγηθώλ ζπλαξηήζεσλ. 6

7 Ο πίλαθαο αιεζείαο κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο είλαη έλαο πίλαθαο ν νπνίνο πεξηέρεη όια ηα δπλαηά απνηειέζκαηα ηεο ζπλάξηεζεο γηα θάζε ζπλδπαζκό ηηκώλ ησλ κεηαβιεηώλ ηεο. 7

8 ΦΥΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 2 ο Βαζικέρ Λογικέρ Πύλερ Άλγεβπαρ Boole Παπάδειγμα Σε απηόκαηε κεραλή πνπ πνπιά θαθέ θαη ηζάη, ε επηινγή γίλεηαη βέβαηα κε θάπνηα κπνπηόλ, επί πιένλ όκσο ε κεραλή πξέπεη λα έρεη θαη ζήκα όηη ηεο δόζεθαλ ηα ρξήκαηα. Όηαλ παηεζνύλ ζπγρξόλσο θαη ηα δύν κπνπηόλ (θαθέ θαη ηζάη) ε κεραλή δελ πξέπεη λα δίδεη ηίπνηα. Έλαο ηξόπνο γηα λα πινπνηεζεί ε ινγηθή απηή είλαη κε ηελ βνήζεηα ππιώλ δπν θαηαζηάζεσλ: Πξνθεηκέλνπ ην θύθισκα λα δώζεη εληνιή ζηελ βαιβίδα ηνπ θαθέ, πξέπεη λα πάξεη εληνιή θαθέ θαη ρξήκαηα. Αληίζηνηρα γηα ην ηζάη. Πξνθεηκέλνπ ην θύθισκα λα δώζεη εληνιή ζηελ βαιβίδα ηνπ θαθέ (έμνδνο "αιεζήο"), πξέπεη λα πάξεη εληνιή θαθέ θαη ρξήκαηα. Αληίζηνηρα γηα ην ηζάη. Αλ γηα θάπνην ιόγν δεηεζνύλ θαη θαθέο θαη ηζάη ηόηε κέζσ ηεο ινγηθήο πξάμεο AND Γ γίλεηαη αληηιεπηό θαη κέζσ ηεο πξάμεο ηεο αληηζηξνθήο α "κπινθάξνληαη" νη έμνδνη ησλ Α θαη Β. Θεωπηηικά Tips Οη ινγηθέο πύιεο (ή απιά πύιεο) είλαη νη ζεκειηώδεηο δνκηθέο κνλάδεο ησλ ςεθηαθώλ θπθισκάησλ. Όπσο θαίλεηαη θαη από ηελ νλνκαζία ηνπο ιεηηνπξγνύλ ζαλ δηαθόπηεο "αλνίγνληαο" θαη "θιείλνληαο", ώζηε λα επηηξέπνπλ ή όρη ηε ξνή ςεθηαθήο πιεξνθνξίαο. Με ηηο πύιεο εθηεινύληαη απιέο ινγηθέο πξάμεηο ζε κεηαβιεηέο boolean (ηεο άιγεβξαο Boole), δει. κεηαβιεηέο δπαδηθνύ ραξαθηήξα, πνπ κπνξνύλ λα έρνπλ κία από δύν κόλν ηηκέο ή θαηαζηάζεηο (0/1, ρακειή/πςειή, ιάζνο/ζσζηό). 8

9 Βαζικά Δίδη Λογικών Πςλών Γπαζηηπιόηηηα Τν παξαθάησ θύθισκα ζα έπξεπε λα επηιύεη ηε ζπλάξηεζε F = Β'A + A' + ΒC. Υπάξρνπλ όκσο θάπνηα ιάζε. Μπνξείο λα δηνξζώζεηο ην θύθισκα; Hint: Βπείτε τον πίνακα αληθείαρ πος αναπαπιστά σε κάθε αλλαγή. Τώπα ο πίνακαρ αληθείαρ πος αντιστοισεί στο παπαπάνω είναι ο εξήρ: Αλ ην θύθισκα δηνξζσζεί ζα πξέπεη λα ζπκβαδίδεη κε ηνλ παξαθάησ πίλαθαο αιεζείαο: Παπάδειγμα Οπνηαδήπνηε έθθξαζε Boole κπνξεί λα παξαζηαζεί από έλα ινγηθό δηάγξακκα, πνπ πξνθύπηεη από ηνλ θαηάιιειν ζπλδπαζκό ησλ βαζηθώλ ππιώλ. Η έθθξαζε Boole Α = x y + x y z παξηζηάλεηαη από ην παξαθάησ θύθισκα: 9

10 Θεωπηηικά Tips Οη βαζηθέο πύιεο από ηηο νπνίεο θαηαζθεπάδνληαη ηα ινγηθά θπθιώκαηα είλαη αληίζηνηρεο κε ηηο ηξεηο βαζηθέο ινγηθέο πξάμεηο. Πύιε ΝΟΤ Λνγηθή πξάμε ΝΟΤ Πύιε AND Λνγηθή πξάμε AND Πύιε OR - Λνγηθή πξάμε OR Πύλη OR H έμνδνο είλαη αιεζήο (true) (1), εάλ κηα από ηηο εηζόδνπο ή θαη νη δπν είλαη αιεζείο (1) Πύλη AND H έμνδνο είλαη αιεζήο (1), όηαλ θαη νη δπν είζνδνη είλαη αιεζείο (1) Πύλη NOT Γεκηνπξγεί αληηζηξνθή ηνπ ζήκαηνο εηζόδνπ 10

11 Άζκηζη Γίλεηαη ε Λνγηθή ζπλάξηεζε: F = Β + A.B + Β.C. Να θαηαζθεπαζηεί ν πίλαθαο αιεζείαο θαη ην ινγηθό δηάγξακκα πινπνίεζεο κε πύιεο. Απάνηηζη Πίνακαρ Αληθείαρ: Ανακεθαλαίωζη Οη ινγηθέο πύιεο είλαη ηα βαζηθά δνκηθά ζηνηρεία ζηα ςεθηαθά θπθιώκαηα. Οη βαζηθέο πύιεο από ηηο νπνίεο θαηαζθεπάδνληαη ηα ςεθηαθά θπθιώκαηα είλαη: NOT, AND, OR. 11

12 Η ινγηθή πύιε AND πινπνηεί ηελ ινγηθή πξάμε ηεο ζύδεπμεο. Η πύιε AND έρεη δύν εηζόδνπο θαη κία έμνδν. Η έμνδνο είλαη 1, όηαλ όιεο νη είζνδνη είλαη 1. Η ινγηθή πύιε OR πινπνηεί ηελ ινγηθή πξάμε ηεο δηάδεπμεο. Η πύιε OR έρεη δύν εηζόδνπο θαη κία έμνδν. Η έμνδνο είλαη 1, όηαλ ηνπιάρηζηνλ κία είζνδνο είλαη 1. Σ έλα δηθαζηήξην απνθαζίδνπλ ηξείο δηθαζηέο A, B θαη Γ. Κάζε δηθαζηήο έρεη κπξνζηά ηνπ έλα δηαθόπηε κε δύν θαηαζηάζεηο "0" θαη "1". Όηαλ ε απόθαζε ηνπ είλαη αζσσηηθή ζέηεη ην δηαθόπηε ζην "1". Όηαλ είλαη θαηαδηθαζηηθή ζην "0". H ηειηθή απόθαζε "αζώνο" ή "έλνρνο" ιακβάλεηαη από ηνπο ηξείο δηθαζηέο θαηά πιεηνςεθία. Μπνξείηε λα θαηαζθεπάζεηε ην δηάγξακκα ελόο ςεθηαθνύ θπθιώκαηνο πνπ ζα δίλεη ηελ ηηκή "1" όηαλ ε ηειηθή απόθαζε είλαη αζσσηηθή θαη "0" όηαλ είλαη θαηαδηθαζηηθή; 12

13 ΦΥΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ 3 ο ύνθεηα κςκλώμαηα Θεωπηηικά Tips Οη ινγηθέο πύιεο είλαη ηα βαζηθά δνκηθά ζηνηρεία ζηα ςεθηαθά θπθιώκαηα. Όπσο έρνπκε ζηηο νηθνδνκέο ηα ηνύβια θαη κε απηά θαηαζθεπάδνπκε ηνίρνπο θαη ζύλζεηεο θαηαζθεπέο ρξεζηκνπνηώληαο παξόκνηα πιηθά μαλά θαη μαλά, έηζη θαη ζηα ςεθηαθά θπθιώκαηα ρξεζηκνπνηνύκε ηηο ινγηθέο πύιεο γηα λα θαηαζθεπάζνπκε ζύλζεηα θπθιώκαηα. Οη βαζηθέο πύιεο από ηηο νπνίεο θαηαζθεπάδνληαη ηα ινγηθά θπθιώκαηα είλαη αληίζηνηρεο κε ηηο ηξεηο βαζηθέο ινγηθέο πξάμεηο. Πύιε ΝΟΤ Λνγηθή πξάμε ΝΟΤ Πύιε AND Λνγηθή πξάμε AND Πύιε OR - Λνγηθή πξάμε OR Μπνξνύκε λα δεκηνπξγήζνπκε πην πνιύπινθεο ινγηθέο πύιεο είηε πξνζζέηνληαο πεξηζζόηεξεο εηζόδνπο ζε απηέο είηε ζπλδπάδνληαο ηηο απιέο κε ηελ πύιε ΝΟΤ Τα θπθιώκαηα πνπ δεκηνπξγνύληαη κε ηε ρξήζε πνιιώλ βαζηθώλ ππιώλ κπνξνύλ λα ρσξηζηνύλ ζε δπν θαηεγνξίεο Τα ζπλδπαζηηθά : Δίλαη εθείλα πνπ ε έμνδόο ηνπο εμαξηάηαη κόλν από ηηο ηηκέο εηζόδνπ ηνπο. Τα αθνινπζηαθά : Δίλαη εθείλα πνπ ε έμνδόο ηνπο είλαη ζπλάξηεζε ησλ ηηκώλ εηζόδνπ αιιά θαη ηεο πξνεγνύκελεο θαηάζηαζεο ηνπ θπθιώκαηνο. Αθνινπζνύλ νη ζεκαληηθόηεξεο ινγηθέο πύιεο ζπλαξηήζεηο: 13

14 Σε ζπλαξηήζεη ησλ παξαθάησ ινγηθώλ δηαγξακκάησλ: Ο απομονωηήρ (buffer) O απνκνλσηήο (buffer) είλαη κία πύιε κε κία είζνδν θαη κία έμνδν πνπ είλαη ίζε κε ηελ είζνδν. 14

15 Η ζπλάξηεζε ηνπ απνκνλσηή είλαη: Y=A Πύλη NAND Η πύιε NAND απνηειεί ζύλζεηε πύιε πνπ αληηζηνηρεί ζηηο πύιεο AND θαη NOT. Γίλεη αθξηβώο ην αληίζηξνθν απνηέιεζκα από απηό ηεο πύιεο AND. Η πύιε NAND πξνθύπηεη από κία πύιε AND αθνινπζνύκελε από κία πύιε NOT. Η πύιε NAND έρεη δύν εηζόδνπο θαη κία έμνδν πνπ είλαη "1", αλ ηνπιάρηζηνλ κία από ηηο δύν εηζόδνπο είλαη "0". Ο πίλαθαο αιεζείαο ηεο πύιεο NAND: Πύλη NOR Η πύιε NOR απνηειεί ζύλζεηε πύιε πνπ αληηζηνηρεί ζηηο πύιεο OR θαη NOT. Γίλεη αθξηβώο ην αληίζηξνθν απνηέιεζκα από απηό ηεο πύιεο OR. Η πύιε NOR πξνθύπηεη από κία πύιε OR αθνινπζνύκελε από κία πύιε NOT. Η πύιε NOR έρεη δύν εηζόδνπο θαη κία έμνδν πνπ είλαη "1", αλ θαη νη δύν είζνδνη είλαη "0". Ο πίλαθαο αιεζείαο ηεο πύιεο NOR: Πύλη XOR H πύιε XOR ειέγρεη ηελ πεξηηηή ηζνηηκία, δειαδή δίλεη ινγηθό 1 όηαλ πεξηηηόο αξηζκόο εηζόδσλ βξίζθεηαη ζε ινγηθό 1. Η πύιε XOR (exclusive OR) έρεη δύν εηζόδνπο θαη κία έμνδν πνπ είλαη "1", αλ νη δύν είζνδνη είλαη δηαθνξεηηθέο κεηαμύ ηνπο (γηα απηό νλνκάδεηαη θαη πύιε δηαθσλίαο ή ζύγθξηζεο). Ο πίλαθαο αιεζείαο ηεο πύιεο XOR: Άζκηζη Καιείζηε ζην παξαθάησ θύθισκα λα βξείηε ηε ζπλάξηεζε πνπ ην πινπνηεί θαζώο θαη λα ζπκπιεξώζεηε ηνλ πίλαθα αιεζείαο. 15

16 Απάνηηζη Η ζπλάξηεζε πνπ ην πινπνηεί είλαη Καη ν πίλαθαο αιεζείαο είλαη: Ανακεθαλαίωζη Οη ινγηθέο πύιεο είλαη νη ζεκειηώδεηο δνκηθέο κνλάδεο ησλ ςεθηαθώλ θπθισκάησλ. Οη ινγηθέο πύιεο ιεηηνπξγνύλ ζαλ «πόξηεο» θαη επηηξέπνπλ ή όρη ηε ξνή ςεθηαθήο πιεξνθνξίαο (0 ή 1). Κάζε πύιε έρεη έλα ζπγθεθξηκέλν ζύκβνιν θαη αθνινπζεί ζπγθεθξηκέλνπο θαλόλεο ζηνλ ηξόπν πνπ ιεηηνπξγεί. Οη βαζηθέο ινγηθέο πύιεο είλαη νη: ΌΦΙ (NOT), ΚΑΙ(AND), Ή (OR). Οη πύιεο δέρνληαη σο είζνδν ζήκαηα ειεθηξηθήο ηάζεο (0 ή 1) θαη δίλνπλ κία κόλν έμνδν (0 ή 1). Η πύιε ΌΦΙ έρεη κόλν κηα είζνδν, ελώ νη ινγηθέο πύιεο ΚΑΙ, Ή κπνξνύλ λα έρνπλ δύν ή πεξηζζόηεξεο εηζόδνπο. 16

17 Οη ινγηθέο πύιεο πινπνηνύλ αληίζηνηρεο ινγηθέο πξάμεηο ηεο Μαζεκαηηθήο Λνγηθήο (Άιγεβξα Boole). Έλα ινγηθό θύθισκα απνηειείηαη από ινγηθέο πύιεο θαη θαιώδηα. Μπνξνύκε λα ζπλδπάζνπκε θαηάιιεια ηηο ινγηθέο πύιεο θαη λα δεκηνπξγήζνπκε ζύλζεηα ινγηθά θπθιώκαηα. Η ιεηηνπξγία ελόο θπθιώκαηνο (ή κηα πύιεο) πεξηγξάθεηαη από ηνλ Πίλαθα Αιεζείαο. Ώρα για Quiz Με βάζε ηα παξαπάλσ, θαιείζηε λα ιύζεηε ηα quiz πνπ έρνπλ ζρεδηαζηεί γηα απηή ηε δηδαθηηθή ελόηεηα κε ηα πξνγξάκκαηα kubbu θαη ην Hot Potatoes. 17

18 Αζκήζειρ Αξιολόγηζηρ 1) Οη ινγηθέο πύιεο AND,OR θαη NOT πξαγκαηνπνηνύλ αληίζηνηρα ηηο ινγηθέο πξάμεηο AND,OR θαη NOT. Όρη, δελ έρνπλ θακία ζρέζε κεηαμύ ηνπο. Αθξηβώο. 2) Γηα λα δώζεη κηα πύιε OR ζηελ έμνδν "1" αξθεί κηα εθ ησλ εηζόδσλ λα είλαη "1". Βέβαηα, αθνύ ηζρύεη όηη ε έμνδνο είλαη "1" αλ ε κία ή ε άιιε είζνδνο είλαη ίζε κε "1". Όρη, δελ πθίζηαηαη απηό ζηελ OR. 3) Η πύιε NAND πξνθύπηεη από ην ζπλδπαζκό κηαο πύιεο AND θαη κηαο πύιεο NOT. Όρη, ε NAND είλαη κηα μερσξηζηή πύιε. Αθξηβώο. 4) Αθνινπζηαθά νλνκάδνληαη ηα θπθιώκαηα πνπ ε έμνδόο ηνπο είλαη ζπλάξηεζε ησλ ηηκώλ εηζόδνπ αιιά θαη ηεο πξνεγνύκελεο θαηάζηαζεο ηνπ θπθιώκαηνο. Έηζη είλαη θαη κάιηζηα νλνκάδνληαη θαη flip-flop. Λάζνο,απηά είλαη ηα ζπλδπαζηηθά. 5) Σε κηα πύιε AND έρσ γηα εηζόδνπο Α =1 θαη Β=0,ε έμνδνο Α Β ζα είλαη «1» Ναη αθνύ αξθεί κηα είζνδνο λα είλαη "1" γηα λα έρσ "1" ζηελ έμνδν. Όρη, απηό πνπ ιεο ηζρύεη ζηελ πύιε OR. 6) Ο Πίλαθαο Αιεζείαο κηαο ινγηθήο πξάμεο (ή κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο) είλαη έλαο πίλαθαο πνπ πεξηέρεη θάπνηα από ηα δπλαηά απνηειέζκαηα ηεο πξάμεο (ή ηεο ζπλάξηεζεο) γηα κεξηθνύο ελδεηθηηθνύο ζπλδπαζκνύο ηηκώλ ησλ κεηαβιεηώλ ηεο. Σσζηό Λάζνο 7) Τα ςεθηαθά θπθιώκαηα ιέγνληαη θαη ινγηθά θπθιώκαηα. Σσζηό Λάζνο 8) Η ινγηθή πξάμε AND ζπκβνιίδεηαη κε (+) ζηηο ινγηθέο ζπλαξηήζεηο. Σσζηό Λάζνο 9) Οη πύιεο AND θαη OR ιεηηνπξγνύλ κε ηνλ ίδην ηξόπν όζεο εηζόδνπο θαη αλ έρνπλ. Σσζηό Λάζνο 18

19 10) Γίλεηαη ε ινγηθή ζπλάξηεζε F = (X AND Y) AND (X OR Z). Να γξαθεί κε ηα ζύκβνια (+) θαη ( ). F = XY(X + Z) ή F = (X Y) (X + Z) F = (X + Y) +XZ F = (XY) + (XZ) 11) Γίλεηαη ε ινγηθή ζπλάξηεζε F = (X AND Y) AND (X OR Z) ηεο πξνεγνύκελεο άζθεζεο. Να ζπκπιεξσζεί ν πίλαθαο αιεζείαο ηεο. (0 AND 0) AND (0 OR 0) = 0 (0 AND 0) AND (0 OR 1) = 1 (0 AND 1) AND (0 OR 0) = 0 (0 AND 1) AND (0 OR 1) = 1 (1 AND 0) AND (1 OR 0) = 0 (1 AND 0) AND (1 OR 1) = 1 (1 AND 1) AND (1 OR 0) = 0 (1 AND 1) AND (1 OR 1) = 1 ((0 AND 0) AND (0 OR 0) = 0 ((0 AND 0) AND (0 OR 1) = 1 ((0 AND 1) AND (0 OR 0) = 0 ((0 AND 1) AND (0 OR 1) = 1 ((1 AND 0) AND (1 OR 0) = 0 ((1 AND 0) AND (1 OR 1) = 1 ((1 AND 1) AND (1 OR 0) = 1 ((1 AND 1) AND (1 OR 1) = 1 ((0 AND 0) AND (0 OR 0) = 0 ((0 AND 0) AND (0 OR 1) = 0 ((0 AND 1) AND (0 OR 0) = 1 ((0 AND 1) AND (0 OR 1) = 1 ((1 AND 0) AND (1 OR 0) = 0 ((1 AND 0) AND (1 OR 1) = 0 ((1 AND 1) AND (1 OR 0) = 1 ((1 AND 1) AND (1 OR 1) = 1 ((0 AND 0) AND (0 OR 0) = 0 ((0 AND 0) AND (0 OR 1) = 0 19

20 ((0 AND 1) AND (0 OR 0) = 0 ((0 AND 1) AND (0 OR 1) = 0 ((1 AND 0) AND (1 OR 0) = 0 ((1 AND 0) AND (1 OR 1) = 0 ((1 AND 1) AND (1 OR 0) = 1 ((1 AND 1) AND (1 OR 1) = 1 12) Γίλεηαη ε ινγηθή ζπλάξηεζε F = (a AND b AND c) OR d. Να γξαθεί κε ηα ζύκβνια (+) θαη ( ). F = (a + b + c) + d F = (a + b + c) d F = (a b c) + d ή F = abc + d 13) Κάληε ηελ αληηζηνίρεζε: 1-Α 2-Β 3-Α 4-Β 1-Β 2-Α 3-Β 4-Α 1-Α 2-Α 3-Β 4-Β 1-Β 2-Α 3-Α 4-Β 20