Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι

Transcript

1 Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Σςζηήμαηα αναπαπάζηαζηρ Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ, απνηειείηαη από έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ραξαθηήξσλ (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηνπ δεθαδηθνύ έρνπκε ηα ςεθία από ην 0 έσο ην 9, ελώ ζηελ πεξίπησζε ηνπ δπαδηθνύ έρνπκε δύν ςεθία, ην 0 θαη ην 1) νη νπνίνη ραξαθηήξεο κε βάζε θάπνηνπο θαλόλεο ζύληαμεο ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηελ πινπνίεζε ησλ παξαζηάζεσλ αλαπαξάζηαζεο. Επίζεο ππάξρνπλ κέζνδνπ κεηαηξνπήο νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηελ κεηαηξνπή ησλ παξαζηάζεσλ από ην έλα ζύζηεκα αξίζκεζεο ζην άιιν (π.ρ. από ην γλσζηό καο δεθαδηθό ζην δπαδηθό θαη αληηζηξόθσο), θαη ηέινο από έλα ζύλνιν βαζηθώλ αξηζκεηηθώλ πξάμεσλ (πξόζζεζε, αθαίξεζε, πνιιαπιαζηαζκόο, δηαίξεζε) νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνύληαη ζηελ επεμεξγαζία ηνπο. Κάζε αξηζκόο κπνξεί λα αλαπαξαζηαζεί κε ηελ παξαθάησ κνξθή: Έλαο αξηζκόο ηνπ δεθαδηθνύ (decimal) ζπζηήκαηνο, όπσο ν 7392, παξηζηάλεη κηα πνζόηεηα πνπ είλαη ίζε κε 7 ρηιηάδεο ζπλ 3 εθαηνληάδεο ζπλ 9 δεθάδεο θαη 2 κνλάδεο. Οη ρηιηάδεο, νη εθαηνληάδεο, θιπ. είλαη δπλάκεηο ηνπ 10 πνπ εμαξηώληαη από ηε ζέζε ησλ ζπληειεζηώλ. Πην ζπγθεθξηκέλα 0 αξηζκόο 7392 ζα κπνξνύζε λα γξαθεί: 7 ρ ρ ρ ρ 10 0 Ελ ηνύηνηο ην πην εύθνιν είλαη λα γξάθνπκε κόλν ηνπο ζπληειεζηέο θαη από ηε ζέζε ηνπο λα ζπκπεξαίλνπκε ηελ απαηηνύκελε δύλακε ηνπ 10. Γεληθά έλαο αξηζκόο κε ππνδηαζηνιή παξηζηάλεηαη κε κηα ζεηξά από ζπληειεζηέο σο εμήο: α 5 α 4 α 3 α 2 α 1 α 0.α -1 α -2 α -3

2 Κάζε ζπληειεζηήο α j είλαη έλαο από ηα δέθα ςεθία (0,1,2,,9), θαη ν δείθηεο j δείρλεη ηε ζέζε, θαη ζπλεπώο θαη ηε δύλακε ηνπ 10 κε ηελ νπνία πξέπεη λα πνιιαπιαζηαζηεί ν ζπληειεζηήο α α α α α α α α -2 Δσαδικό σύστημα Όπσο πξναλαθέξακε εδώ ζηνπο ζπλδπαζκνύο αλαπαξάζηαζεο ρξεζηκνπνηνύληαη ηα ςεθία 0 θαη 1, ηα νπνία νλνκάδνληαη θαη δπαδηθά ςεθία (binary digits), θαη ην ζύζηεκα νλνκάδεηαη θαη "ζύζηεκα κε βάζε 2". Γεληθά, έλαο αξηζκόο εθθξαζκέλνο ζε ζύζηεκα κε βάζε ην r έρεη ζπληειεζηέο πνπ πνιιαπιαζηάδνληαη κε δπλάκεηο ηνπ r: α n. r n + α n-1.r n-1 + +α 2 r 2 + α 1 r 1 + α 0 r 0 + α -1 r α -m r -m Οη ηηκέο ησλ ζπληειεζηώλ aj θπκαίλνληαη από ην 0 έσο ην r-1. Γηα λα μερσξίδνπκε ηνπο αξηζκνύο κε δηαθνξεηηθέο βάζεηο, βάδνπκε ζε παξέλζεζε ηνπο ζπληειεζηέο θαη γξάθνπκε ηε βάζε ζαλ δείθηε( εθηόο

3 από κεξηθέο θνξέο γηα δεθαδηθνύο αξηζκνύο, νπνπ ηα ζπκθξαδόκελα θαζηζηνύλ θαλεξό είλαη δεθαδηθνί.) έλα παξάδεηγκα αξηζκνύ κε βάζε ην 5 είλαη: (4021.2)5=..(511.4)10 Μεηαηποπή απιθμών από ηο δεκαδικό ζηο δςαδικό και ανηιζηπόθωρ Γηα λα κεηαηξέςνπκε ην αθέξαην κέξνο ελόο πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ x (όπσο παξνπζηάζηεθε ζηελ παξαπάλσ εμίζσζε), εθηεινύκε δηαδνρηθέο δηαηξέζεηο ηνπ αθέξαηνπ κέξνπο ηνπ αξηζκνύ x κε ηελ βάζε 2, ελώ γηα ην θιαζκαηηθό κέξνο ηνπ αξηζκνύ x εθηεινύκε δηαδνρηθνύο πνιιαπιαζηαζκνύο ηνπ θιαζκαηηθνύ κέξνπο ηνπ x κε ηελ βάζε 2.

4 Οκηαδικό ζύζηημα Σε απηό ζύζηεκα ρξεζηκνπνηνύληαη ηα ςεθία 0 έσο θαη 7, θαη ην ζύζηεκα νλνκάδεηαη θαη "ζύζηεκα κε βάζε 8". Σηνλ παξαθάησ πίλαθα παξνπζηάδνληαη δεηγκαηηθά θάπνηεο νθηαδηθέο ηζνδπλακίεο κε ηνπο δπαδηθνύο θαη δεθαδηθνύο αξηζκνύο από ην 0 έσο ην 17 Δεκαεξαδικό ζύζηημα Σην δεθαεμαδηθό ζύζηεκα αξηζκώλ ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο. (όπνπ ε βάζε είλαη ην δεθαέμη), ηα πξώηα δέθα ςεθία είλαη δαλεηθά από ην δεθαδηθό ζύζηεκα, ηα δε γξάκκαηα Α,B,C,D,E,F ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηα ςεθία 10,11,12,13,14,15 αληίζηνηρα. Έλα παξάδεηγκα δεθαεμαδηθνύ αξηζκνύ είλαη:

5 (B65F) 16 =11x x x ρ16 0 =(46687) 10

6 Πολλαπλαζιαζμόρ δςαδικών απιθμών Όπσο θαη ζηηο πξνεγνύκελεο αξηζκεηηθέο πξάμεηο έηζη θαη ζηνλ πνιιαπιαζηαζκό βαζηθά νη θαλόλεο πνπ ηζρύνπλ είλαη νη ίδηνη κε απηνύο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα απιώο ε βάζε εδώ είλαη ην 2. Μεηαηποπέρ μεηαξύ δςαδικών, οκηαδικών, δεκαεξαδικών Κάζε αξηζκόο ζα κπνξνύζε λα κεηαηξαπεί ζε αξηζκό κε άιιε βάζε ρξεζηκνπνηώληαο ίζσο ζαλ ελδηάκεζν ζηάδην ηελ αλαπαξάζηαζή ηνπ κε δεθαδηθή βάζε. Όκσο ν παξαπάλσ ηξόπνο πνιιέο θνξέο δελ είλαη πξαθηηθόο, θαζώο ππάξρεη θαη έλαο πην άκεζνο θαη πην πξαθηηθόο. Γηα παξάδεηγκα, γηα λα κεηαηξέςνπκε έλα δπαδηθό αξηζκό θαηεπζείαλ ζε δεθαεμαδηθό, θάλνπκε ηα εμήο: ρσξίδνπκε ηελ δπαδηθή παξάζηαζε ζε ηκήκαηα ησλ 4 δπαδηθώλ ςεθίσλ, μεθηλώληαο από ηα δεμηά πξνο ηα αξηζηεξά, θαη ζηελ ζπλέρεηα γξάθνπκε ην ηζνδύλακν ζε δεθαεμαδηθή κνξθή ηεο θάζε δπαδηθήο ηεηξάδαο Τα παξαπάλσ ηζρύνπλ θαη γηα ηελ κεηαηξνπή ελόο δπαδηθνύ ζε νθηαδηθνύ θαη αληηζηξόθσο, ρξεζηκνπνηώληαο όκσο νκάδεο ησλ 3 δπαδηθώλ ςεθίσλ.

7 Σςμπληπώμαηα Σηνπο ςεθηαθνύο ππνινγηζηέο, γηα λα απινπνηεζεί ε πξάμε ηεο αθαίξεζεο, θαζώο επίζεο θαη γηα κεξηθέο ινγηθέο πξάμεηο, ρξεζηκνπνηνύληαη ηα ζπκπιεξώκαηα. Υπάξρνπλ δύν είδε ζπκπιεξσκάησλ γηα θάζε ζύζηεκα κε βάζε r: Τν ζπκπιήξσκα κε βάζε r θαη ην ζπκπιήξσκα σο πξνο βάζε r-1. Σςμπληπώμαηα ωρ ππορ βάζη μείον ένα Ελόο αξηζκνύ Ν ζε βάζε r κε n ςεθία, ην ζπκπιήξσκα σο πξνο (r-1) νξίδεηαη σο (r n -1)-N Τν ζπκπιήξσκα σο πξνο 9 ηνπ είλαη: = Γηα ηνπο δπαδηθνύο αξηζκνύο r=2 άξα ην ζπκπιήξσκα σο πξνο 1 είλαη ίζν κε : (2 n -1)-N To 2 n παξηζηάλεηαη από έλαλ δπαδηθό αξηζκό απνηεινύκελν από έλα 1 θαη n 0. O 2 n -1 είλαη έλαο δπαδηθόο αξηζκόο πνπ παξηζηάλεηαη κε n 1.

8 Έηζη ην ζπκπιήξσκα σο πξνο 1 ελόο δπαδηθνύ αξηζκνύ πξνθύπηεη κε αθαίξεζε θάζε ςεθίνπ ηνπ από ην 1. Τν ζπκπιήξσκα σο πξνο 1 ηνπ είλαη: Τν ζπκπιήξσκα σο πξνο 1 ηνπ είλαη: Σςμπλήπωμα ωρ ππορ βάζη Τν ζπκπιήξσκα σο πξνο r ελόο αξηζκνύ Ν κε n ςεθία κε βάζε r νξίδεηαη σο r n -N γηα Ν 0 θαη 0 γηα Ν=0. Σπγθξίλνληαο κε ην ζπκπιήξσκα (r-1) παξαηεξνύκε όηη πξνθύπηεη εάλ πξνζζέζνπκε 1 ζην ζπκπιήξσκα σο πξνο (r-1). r n -N=[(r n -1)-Ν]+1 Εθόζνλ ην 10 n είλαη έλαο αξηζκόο πνπ παξηζηάλεηαη από έλα 1 αθνινπζνύκελν από n 0, ην 10 n -Ν πνπ είλαη ην ζπκπιήξσκα σο πξνο 10 ηνπ Ν κπνξεί επίζεο λα πξνθύςεη αλ αθήζνπκε όια ηα ιηγόηεξα ζεκαληηθά κεδέλ ακεηάβιεηα, αθαηξώληαο ην πξώην κε κεδεληθό ιηγόηεξν ζεκαληηθό ςεθίν από ην δέθα θαη αθαηξώληαο όια ηα ππόινηπα ςεθία από ην 9 Τν ζπκπιήξσκα σο πξνο 10 ηνπ είλαη ην Τν ζπκπιήξσκα σο πξνο 10 ηνπ είλαη ην Οκνίσο ην ζπκπιήξσκα σο πξνο 2 κπνξεί λα ζρεκαηηζηεί, αλ αθήζνπκε όια ηα ιηγόηεξν ζεκαληηθά 0 θαζώο θαη ην πξώην 1 ακεηάβιεηα θαη αληηθαηαζηήζνπκε ηα 1 κε 0 θαη ηα 0 κε 1 ζε όια ηα άιια ςεθία. Τν ζπκπιήξσκα σο πξνο 2 ηνπ είλαη Αναπαπάζηαζη απνηηικών απιθμών ζηο δςαδικό ζύζηημα

9 Γηα λα αλαπαξαζηαζνύλ αξλεηηθνί αξηζκνί κε ην δπαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο ρξεζηκνπνηνύληαη δύν βαζηθά ηξόπνη, ην σσμπλήρωμα ως προς 1 θαη ην σσμπλήρωμα ως προς 2. Σσμπλήρωμα ως προς 1 Σε απηήλ ηελ κέζνδν αληηζηξέθνληαη ηα ςεθία ηνπ δπαδηθνύ αξηζκνύ, όπνπ δειαδή 0 γίλεηαη 1 θαη όπνπ 1 γίλεηαη 0, θαη ν αξηζκόο πνπ πξνθύπηεη ζεσξείηαη ν αξλεηηθόο ηνπ πξώηνπ. Έηζη γηα παξάδεηγκα, ν (ζεηηθόο) αξηζκόο 7 ζε κνξθή ςεθηνιέμεο (byte) είλαη ν αθόινπζνο: θαη ν αξλεηηθόο -7 ζε κνξθή ζπκπιεξώκαηνο σο πξνο 1 γίλεηαη: Τν πξόβιεκα κε ηελ ζπγθεθξηκέλε κέζνδν είλαη πσο ππάξρνπλ δύν αλαπαξαζηάζεηο γηα ην κεδέλ: (γηα έλα "ζεηηθό" κεδέλ) θαη (γηα έλα "αξλεηηθό" κεδέλ) Γηα λα αληηκεησπηζηεί απηό ην πξόβιεκα δεκηνπξγήζεθε κηα δεύηεξε κέζνδνο, ην ζπκπιήξσκα σο πξνο 2 Σσμπλήρωμα ως προς 2 Σην ζπκπιήξσκα σο πξνο 2, κεηά ηελ αληηζηξνθή ησλ δπαδηθώλ ςεθίσλ πξνζηίζεηαη επηπιένλ ν αξηζκόο 1. Έηζη, θαη πάιη κε παξάδεηγκα ηνλ αξηζκό 7 ζε κνξθή ςεθηνιέμεο (byte): αληηζηξέθνπκε όπσο ζην ζπκπιήξσκα σο πξνο 1: θαη ηειηθά πξνζζέηνπκε ην 1: Γεώξγηνο Ν.Μπάξδεο