ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1

Transcript

1 ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο κεγέζνπο λ, όπνπ θ, λ κε κεδεληθνί θπζηθνί αξηζκνί κε α. Τη νλνκάδεηαη απόιπηε ζπρλόηεηα πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή x, =1,,...,k; (Μον.) β. Τη νλνκάδεηαη ζρεηηθή ζπρλόηεηα f ηεο ηηκήο x, =1,,...,k; (Μον.) γ. Να απνδείμεηε όηη : ) 0 f 1 γηα =1,,...,k; ) f 1 f... f k 1 (Μον.4) Β. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο ωο (Σ) ή (Λ) α. Η ζπρλόηεηα ηεο ηηκήο x κηαο κεηαβιεηήο x είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο Σ Λ β. Σηελ θαλνληθή θαηαλνκή ην 9% ηωλ παξαηεξήζεωλ βξίζθεηαη ζην δηάζηεκα (x s,x s) Σ Λ γ. Οη πνηνηηθέο κεηαβιεηέο δηαθξίλνληαη ζε δηαθξηηέο θαη ζπλερείο. Σ Λ 1 1 δ. Γηα θάζε x 0 ηζρύεη x x Σ Λ ε. Αλ γηα κηα ζπλάξηεζε f ηζρύνπλ f (x 0) 0 γηα x 0 (, ),f '(x) 0 ζην (α,x 0 ) θαη f (x) 0 ζην (x 0, ), ηόηε ε f παξνπζηάδεη ζην δηάζηεκα (α,β) γηα x=x 0 ειάρηζην. Σ Λ (Μον.10) Γ. α. Πνηα είλαη ηα κέηξα ζέζεο θαη πνηα ηα κέηξα δηαζπνξάο; (Μον.) β. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο δηακέζνπ ελόο δείγκαηνο λ παξαηεξήζεωλ (Μον.) 1 Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)

2 Θέμα ο : Τν δηπιαλό ζρήκα παξηζηάλεη ην πνιύγωλν ζπρλνηήηωλ ηωλ παξαηεξήζεωλ x από έλαλ πιεζπζκό κεγέζνπο v=100. Αλ ηζρύεη λ =λ 1 +λ 1. Να βξεζεί ε δηαθνξά Ν -λ (Μον.8). Αλ νη αξηζκνί λ 1,λ είλαη ξίδεο ηεο εμίζωζεο x ( 1) x λα βξείηε ηηο ζπρλόηεηεο όιωλ ηωλ παξαηεξήζεωλ. (Μον.8). Να θαηαζθεπάζεηε ην αληίζηνηρν θπθιηθό δηάγξακκα (Μον.9) Θέμα ο : x Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f (x),x 1 x1 1. Να δείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν 11 Α(7,6) είλαη ε y x (Μον.8) 4 4. Έζηω 1(x 1,y 1),M (x,y ),..,M 10(x 10,y 10) 10 ηπραία ζεκεία ηεο πξνεγνύκελεο εθαπηνκέλεο.αλ νη ηεηκεκέλεο ηνπο έρνπλ κέζε ηηκή 9 θαη ηππηθή απόθιηζε, λα βξεζεί : α. Η κέζε ηηκή y θαη ε ηππηθή απόθιηζε S y ηωλ ηεηαγκέλωλ ηωλ ζεκείωλ απηώλ β. Να εμεηαζηνύλ ωο πξνο ηελ νκνηνγέλεηα νη ηηκέο ηωλ ηεηαγκέλωλ. (Μον.1) (Μον.) Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)

3 Θέμα 4 ο : Σην δηπιαλό πίλαθα δίλνληαη νη απνπζίεο πνπ έθαλαλ 40 καζεηέο ηεο Γ ηάμεο ελόο Λπθείνπ.Αλ γλωξίδνπκε όηη : To λ 1 ηζνύηαη κε ηελ θιίζε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο 4 f (x) (x ) ζην x0 1 x 9x lm x x x 6 θαη ην λ ηζνύηαη κε ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο g(x) x 8x 18 ηόηε: 1. Να βξεζνύλ νη ζπρλόηεηεο λ 1, λ, λ, λ 4 (Μον.7) 0, 1,0 0,7 7, Να θαηαζθεπάζεηε πίλαθα ζπρλνηήηωλ, απόιπηωλ θαη αζξνηζηηθώλ. Να θαηαζθεπάζεηε ην πνιύγωλν αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ Σπρλνηήηωλ θαη λα ππνινγίζεηε ηε δηάκεζν 4. Να βξείηε ηνλ αξηζκό ηωλ καζεηώλ πνπ έθαλαλ από 60 έωο 7 απνπζίεο, αλ ζεωξήζνπκε όηη ηα δεδνκέλα είλαη νκνηόκνξθα θαηαλεκεκέλα. (Μον.6) (Μον.6) (Μον.6) ΚΑΛΗ ΔΠΙΤΥΦΙΑ Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)

4 Θέμα1 ο : ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ (ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ) Α. α. Ο θπζηθόο αξηζκόο πνπ δείρλεη πόζεο θνξέο εκθαλίδεηαη ε ηηκή x ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο Χ ζην ζύλνιν ηωλ παξαηεξήζεωλ, oλνκάδεηαη (απόιπηε) ζστνόηηηα λ ηεο x. β. Αλ δηαηξέζνπκε ηε ζπρλόηεηα λ κε ην κέγεζνο λ ηνπ δείγκαηνο πξνθύπηεη ε ζτεηική ζστνόηηηα f ηεο ηηκήο x, δειαδή f, 1,,...,k 0 v v γ.) Γηα =1,,...,k είλαη 0 v v 0 f 1 v v v v vk v... vk v ) Είλαη f1 f... f k... =1 v v v v v Β. αλ, βλ, γλ, δλ, ελ Γ. α 1 ) Μέηξα ζέζεο είλαη ηα : Μέζε ηηκή (x) Σηαζκηθόο κέζνο Δηάκεζνο (δ) (x w ) α ) Μέηξα δηαζπνξάο είλαη ηα : Εύξνο (R) Δηαθύκαλζε (s ) Τππηθή απόθιηζε (s) Σπληειεζηή κεηαβνιήο (CV) Β) Δηάκεζνο (δ) ελόο δείγκαηνο λ παξαηεξήζεωλ νη νπνίεο έρνπλ δηαηαρζεί ζε αύμνπζα ζεηξά νξίδεηαη ωο ε κεζαία παξαηήξεζε, όηαλ ην λ είλαη πεξηηηόο αξηζκόο, ή ν κέζνο όξνο (εκηάζξνηζκα) ηωλ δύν κεζαίωλ παξαηεξήζεωλ όηαλ ην λ είλαη άξηηνο αξηζκόο. 4 Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)

5 Θέμα ο : 1. Γλωξίδνπκε όηη v 1 v (1) (1) Επίζεο v v v4 100 v v v 90 v 0. Επνκέλωο λ 1 +λ =60 () Είλαη V ( v v ) v v V 60. Αθνύ λ 1,λ ξίδεο ηεο εμίζωζεο x ( v )x 800 0, ζα ηζρύεη v v 800 (4) (ζρέζεηο Veta) Από () θαη (4) πξνθύπηεη 1 v 40, 0. Είλαη : v v v ( v 1 v ) Θέμα ο : ' x (x )'(x 1) (x )(x 1)' 1. H f έρεη f '(x) = x 1 (x 1) x(x 1) (x ) x x x x x =. (x 1) (x 1) (x 1) Αλ (x 0,f (x 0)) ζεκείν ηεο C f ε εθαπηνκέλε ζην Μ έρεη εμίζωζε : y f (x 0) f '(x 0)(x x 0). Γηα λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α(7,6) Πξέπεη: 6 f (x 0) f '(x 0)(7 x 0) Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)

6 α. Είλαη y x θαη sy sx 4 4 sy Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι 6(x 1) (x )(x 1) (x0 x0 )(7 x 0) 6x 1x 6 x x x = 7x x 14x x x x0 11 H ε ινηπόλ είλαη ε ε: y f () f '()(x ) δει : y x sy β. Είλαη CV y 0,9 ή 9% y νπόηε νη ηεηαγκέλεο ηωλ ζεκείωλ Μ 1,Μ,...,Μ 10 δελ ζπληζηνύλ νκνηνγελέο δείγκα. Θέμα 4 ο : 1. Είλαη νπόηε Επίζεο 4 ' f '(x) (x ) 4(x ) (x ) 8x(x ) f '( 1) 8( 1) ( 1) ( 8)( 1) x 9x x(x 9) v lm lm x x (x )(x ) x x 6 x(x )(x ) = lm 18 άξα x (x )(x ) Η g(x) x 8x 18 έρεη g'(x) 4x 8 θαη αλ g'(x) 0 4x 8 0 x.από ηνλ παξαθάηω πίλαθα κεηαβνιώλ, 17 y = v 18 8 πξνθύπηεη όηη ε g έρεη ειάρηζην ην g()=10.άξα Είλαη v v v4 40 νπόηε Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)

7 . Με βάζε ηνπο αληίζηνηρνπο ηύπνπο πξνθύπηεη ν πίλαθαο. x V f f % N F F % 0, 1, 8 0, 0 8 0,0 0,0 7, 18 0, ,6 6 0,7 6, 10 0, 6 0, ,100 87, 4 0, Σύλνιν Είλαη νπόηε 0 x 4 0 x 16,66 νπόηε 16,66 41,66 4. Οη καζεηέο κε απνπζίεο από 60 έωο 7 βξίζθνληαη ζηελ θιάζε 0,7 θαη ην πιήζνο ηνπο είλαη : Τρίκαλα ηηλ.-fax(410-67)