Μαθηµατική Προσέγγιση για την Επιθεώρηση Κατασκευών µετά από Σεισµό Mathematical Approach for the After- Earthquake Construction Inspection

Transcript

1 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισµολογίας 5 7 Νοεµβρίου, 2008 Άρθρο 1984 Μαθηµατική Προσέγγιση για την Επιθεώρηση Κατασκευών µετά από Σεισµό Mathematical Approach for the After- Earthquake Construction Inspection Νικόλαος Κ. ΓΙΑΝΝΟΥΛΗΣ 1, Βλάσης Κ. ΚΟΥΜΟΥΣΗΣ 2, Κωνσταντίνος Λ. ΚΕΠΑΠΤΣΟΓΛΟΥ 3, Ματθαίος Γ. ΚΑΡΛΑΥΤΗΣ 4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Η διαχείριση των συνεπειών ενός σεισµού (µετασεισµική διαχείριση) αποτελεί αναγκαιότητα για την ταχεία και αποτελεσµατική επαναφορά των δραστηριοτήτων του αστικού χώρου. Βασικό τµήµα της µετασεισµικής διαχείρισης αποτελεί η επιθεώρηση των κατασκευών, η πραγµατοποίηση της οποίας παρέχει την απαραίτητη πληροφόρηση για τις συνέπειες ενός σεισµού και τις ανάγκες επισκευών του. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται αλγόριθµος µε τον οποίο καθορίζονται οι βέλτιστες περιοχές ευθύνης για επιθεωρήσεις από συνεργεία σε ένα αστικό χώρο. Ο αλγόριθµος βασίζεται στο πρόβληµα p- διάµεσου (p-median) και σε µέθοδο επίλυσης µε γενετικό αλγόριθµο. Γίνεται εφαρµογή του αλγορίθµου στην πόλη της Πάτρας και παρουσιάζονται διαφορετικά σενάρια επίλυσης. Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι ο αλγόριθµος µπορεί να αποτελέσει χρήσιµο εργαλείο στη µετασεισµική διαχείριση κατασκευών. ABSTRACT : Management of the effects of an earthquake (aftershock management) is a necessity for rapidly and adequately restoring activities in an urban environment. A fundamental part of aftershock management is the inspection of structures, which gives crucial information on the effects of an earthquake and the consequent repair needs. In this paper, a algorithm is presented, which can be used for optimally setting inspection districts by special crews in an urban environment. The algorithm is based on the p-median problem and solved using a genetic algorithm. An application of the algorithm for the city of Patras, Greece is presented and various scenarios are examined. Results indicate that the algorithm can be a useful tool in supporting aftershock management operations. 1 Πολιτικός Μηχανικός, M.Sc. ngiannoulis@gmail.com 2 Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, vkoum@central.ntua.gr 3 Πολιτικός Μηχανικός, M.Sc. kkepap@central.ntua.gr 4 Επίκουρος Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, mgk@central.ntua.gr

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο σεισµός είναι φαινόµενο µε άµεσο και ενίοτε σηµαντικό αντίκτυπο τόσο στις κατασκευές όσο και στις ανθρώπινες κοινωνικοοικονοµικές δραστηριότητες. Η αδυναµία πρόβλεψης της εµφάνισής του σεισµού αλλά και των συνεπειών του, τον καθιστούν ως το πλέον επικίνδυνο τυχηµατικό φυσικό φαινόµενο, κάτι που άλλωστε δείχνουν και τα αποτελέσµατα πληθώρας σεισµικών δράσεων κατά το παρελθόν. Η αντιµετώπιση των αποτελεσµάτων της σεισµικής δράσης εστιάζεται σε δύο κατευθύνσεις: (α) στον αντισεισµικό σχεδιασµό των κατασκευών µε στόχο κατασκευές οι οποίες είναι ανθεκτικές στο φαινόµενο αλλά και οικονοµικές και φιλικές προς το περιβάλλον και (β) στη µετασεισµική διαχείριση των συνεπειών του σεισµού (Karlaftis et al., 2007). Είναι άλλωστε σαφές ότι οι κανονισµοί αντισεισµικού σχεδιασµού δεν είναι δυνατόν να καλύψουν όλες τις πτυχές ενός τυχηµατικού γεγονότος, ενώ και η πλήρης και πιστή εφαρµογή τους δεν είναι πάντα εφικτή ή δεν επιδιώκεται. Ατέλειες ή κακοτεχνίες στην κατασκευή, εγγενή χαρακτηριστικά αυτής άλλα γεγονότα ή αδυναµία των κανονισµών, της τέχνης και της επιστήµης να καλύψει τις σεισµικές δράσεις και τις συνέπειες αυτών, µπορούν να οδηγήσουν σε βλάβες και άλλες οδυνηρές συνέπειες (τραυµατισµοί, απώλεια ανθρώπινων ζωών κλπ). Ο ρόλος της µετασεισµικής διαχείρισης είναι αυτός της αντιµετώπισης και αποκατάστασης των αποτελεσµάτων της µετασεισµικής δράσης. Στόχος είναι η ταχύτερη και οικονοµικότερη επαναφορά των υποδοµών µιας πληγείσας από σεισµική δράση περιοχής, ώστε αυτή να επανέλθει το συντοµότερο δυνατόν σε κανονικούς ρυθµούς ζωής. Ειδικά σε αστικές περιοχές, όπου παρατηρείται συγκέντρωση πληθυσµού, κατασκευών αλλά και πληθώρα σηµαντικών κοινωνικοοικονοµικών δραστηριοτήτων. οι οποίες δεν είναι δυνατό να διακοπούν επί µακρό χρονικό διάστηµα, η µετασεισµική διαχείριση είναι αναγκαία για την προστασία ανθρώπινων ζωών και για την επαναφορά των κανονικών ρυθµών ζωής των περιοχών σε σύντοµο χρονικό διάστηµα. Πρωταρχική δραστηριότητα της µετασεισµικής διαχείρισης των υποδοµών είναι η αποτίµηση των αποτελεσµάτων του σεισµού. Αυτή πρέπει να πραγµατοποιηθεί τάχιστα µε τη χρήση συνεργείων επιθεώρησης, τα οποία θα εξετάσουν και θα αποτιµήσουν την κατάσταση των κατασκευών στον αστικό χώρο µε το κάθε συνεργείο να αναλαµβάνει µια περιοχή του αστικού χώρου και εξετάζει την κατάσταση των υποδοµών της. Στην παρούσα εργασία εξετάζεται ακριβώς αυτό το αντικείµενο: η οργάνωση των επιθεωρήσεων κατασκευών στον αστικό χώρο µετά από ένα σεισµικό γεγονός. Αναπτύσσεται µεθοδολογία, βασισµένη σε µεικτό µαθηµατικό µοντέλο ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού, µε την οποία επιδιώκεται ο καλύτερος δυνατός διαµερισµός µιας αστικής περιοχής σε περιοχές ευθύνης συνεργείων, έτσι ώστε το κάθε συνεργείο να αναλαµβάνει ισοδύναµο τµήµα της περιοχής ευθύνης. Η δοµή της εργασίας έχει ως εξής: στις επόµενες δύο ενότητες παρουσιάζεται γενική περιγραφή της µεθοδολογίας προσέγγισης, η µαθηµατική διατύπωση και η συγκεκριµένη του υπό εξέταση προβλήµατος. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο αλγόριθµος επίλυσης του προτύπου και γίνεται εφαρµογή του προτύπου στην περίπτωση της πόλης της Πάτρας. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ Το πρόβληµα που εξετάζεται είναι πρακτικά εκείνο της διαµέρισης ενός αστικού χώρου σε οµοιογενείς ζώνες. ηλαδή, επιδιώκεται ο καθορισµός υποπεριοχών του αστικού χώρου οι οποίες παρουσιάζουν ανάλογα χαρακτηριστικά όπως ο πληθυσµός, η δοµηµένη επιφάνεια κλπ. Έτσι, στην περίπτωση της οργάνωσης των επιθεωρήσεων αναζητείται ο διαχωρισµός του αστικού χώρου σε εκείνες τις περιοχές ευθύνης, ώστε τα διαφορετικά συνεργεία επιθεώρησης να έχουν ανάλογους φόρτους εργασίες. 2

3 Ένα τυπικό πρότυπο επιχειρησιακής έρευνας για τον καθορισµό οµοιόµορφων περιοχών είναι εκείνο του P- διαµέσου. Το πρότυπο αυτό εισήγαγε ο Hakimi (1964), διαµορφώνοντας ένα µέτρο αποτελεσµατικότητας ενός συστήµατος χωροθετηµένων µονάδων όταν η ζήτηση είναι ανεξάρτητη του επιπέδου παροχής εξυπηρέτησης. Στο πρότυπο ο Hakimi τοποθέτησε στην απόσταση µεταξύ κόµβων ζήτησης και χωροθετηµένων µονάδων µια συνάρτηση βάρους σχετιζόµενη µε τη ζήτηση και υπολόγισε τη µέση, σταθµισµένη µε τη ζήτηση, διανυόµενη απόσταση µεταξύ κόµβων ζήτησης και µονάδων εξυπηρέτησης. Το πρόβληµα P- διάµεσου (P-median problem) εκφράζεται ως εξής (Marianov and Serra, 2002): Ζητείται η βέλτιστη χωροθέτηση P µονάδων ώστε να ελαχιστοποιηθεί η µέση σταθµισµένη διανυόµενη απόσταση µεταξύ των σηµείων ζήτησης και των χωροθετηµένων µονάδων. Το πρότυπο P- διαµέσου χρησιµοποιείται κατά βάση για τη βέλτιστη χωροθέτηση µονάδων άµεσης επέµβασης. Παρόλα αυτά, όπως φαίνεται και από τη µαθηµατική του διατύπωση (η οποία παρουσιάζεται στη συνέχεια), πέρα από τις θέσεις των µονάδων, η επίλυση του προτύπου αποδίδει και τα σηµεία ζήτησης που αντιστοιχούν σε κάθε µονάδα. Το σύνολο των σηµείων ζήτησης που αντιστοιχούν σε κάθε µονάδα, αποτελούν οµοιογενές σύνολο µε κεντροειδές τη θέση της µονάδας και άρα υποπεριοχή του αστικού χώρου. Έτσι, γύρω από τις θέσεις χωροθέτησης διαµορφώνονται οι περιοχές διαµέρισης του αστικού χώρου. Η µαθηµατική διατύπωση του προβλήµατος είναι (Marrianov and Serra, 2002): subject to Minimize hid ijyij (1) i V j W X j = P, (2) j W Yij = 1 i, (3) j W Y X 0 i, j (4) ij X Yij j j { } 0,1 j, (5) { } 0,1 i, j. (6) όπου: W = σύνολο δυνατών (εφικτών) θέσεων χωροθέτησης µονάδων (µε δείκτη j) V = σύνολο κόµβων ζήτησης (µε δείκτη i) h i = ζήτηση στον κόµβο i d ij = απόσταση µεταξύ κόµβων i και j P = αριθµός τοποθετούµενων µονάδων παροχής 1 αν η µονάδα τοποθετείται στο κόµβο j X j = 0 διαφορετικά 1 αν η ζήτηση στον κόµβο iεξυπηρετείται από µια µονάδα στον κόµβο j Y ij = 0 διαφορετικά 3

4 Η αντικειµενική συνάρτηση (1), όπως προαναφέρθηκε, ζητά να ελαχιστοποιήσει τη µέση σταθµισµένη διανυόµενη απόσταση µεταξύ των σηµείων ζήτησης και των χωροθετηµένων µονάδων. Ο περιορισµός (2) επιβάλλει ότι συνολικά P µονάδες θα τοποθετηθούν, ο περιορισµός (3) εξασφαλίζει ότι κάθε κόµβος ζήτησης ανατίθεται σε κάποια µονάδα, ενώ ο περιορισµός (4) επιτρέπει αποστολή µόνο σε κόµβους όπου έχει τοποθετηθεί µονάδα. Στην εφαρµογή του σε ένα γενικευµένο δίκτυο το πρόβληµα p-διάµεσου είναι δύσκολο να δώσει βέλτιστη λύση. Περιορίζοντας τις δυνατές θέσεις χωροθετηµένων µονάδων στους κόµβους του δικτύου µειώνεται ο αριθµός των πιθανών συνδυασµών χωροθέτησης σε: N N! P = P!( N P)! (7) όπου ο Ν αντιπροσωπεύει τον αριθµό των κόµβων στο δίκτυο. Ωστόσο, µια συνολική απαριθµούσα προσέγγιση θα ήταν υπολογιστικά απαγορευτική για λογικές τιµές των P και Ν (δεκάδες εκατοντάδες κόµβοι και δεκάδες χωροθετηµένες µονάδες). Αυτή η πολυπλοκότητα είχε ως επακόλουθο την ανάπτυξη µαθηµατικών αλγορίθµων και ευρεστικών τεχνικών για την επίλυση του προβλήµατος. Mπορούν να αναφερθούν οι Daskin και Haghani (1984) για µια περιληπτική αναφορά σε ευρεστικές τεχνικές και οι Schilling et al. (1993) για περισσότερες πληροφορίες σε συγκεκριµένες µεθόδους επίλυσης και εφαρµογές. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Στα πλαίσια των παραπάνω επιδιώκεται ο διαχωρισµός ενός συνόλου οικοδοµικών τετραγώνων ενός αστικού χώρου σε οµοιογενή υποσύνολα. ιαµερίζεται δηλαδή η αστική περιοχή σε ζώνες οικοδοµικών τετραγώνων (ο.τ.), τόσες όσα και τα διατιθέµενα συνεργεία επιθεώρησης. Το πρότυπο που πρόκειται να εφαρµοστεί καταστρώνεται µε βάση το κάθε οικοδοµικό τετράγωνο και τις ιδιότητες που αυτό έχει. Για την εφαρµογή του προτύπου p- διαµέσου. Κρίνεται σκόπιµος ο υπολογισµός της ζήτησης για επιθεώρηση του κάθε οικοδοµικού τετραγώνου, οποία όπως έχει προαναφερθεί υπολογίζεται γεωµετρικά. Για το λόγο αυτό γίνονται οι εξής παραδοχές: Ως ζήτηση ( Ζ ) για επιθεώρηση του ο.τ. ορίζεται η µέγιστη πραγµατοποιούµενη δόµηση στο ο.τ. Το γινόµενο δηλαδή του εµβαδού του οικοδοµικού τετραγώνου µε το συντελεστή δόµησης που ισχύει για το παρόν ο.τ. Ζ = Εµβαδό( Κ, Κ,..., Κ )*( σδ. ) (8) ( ΟΤ. ) 0 1 ν 1 Η ζήτηση ( Ζ) θεωρείται πως βρίσκεται συγκεντρωµένη στο κέντρο βάρους του οικοδοµικού τετραγώνου (κεντροειδές του ο.τ.). Ζ ( χ, ψ ) Z ( χ, ψ ) (9) ( ΟΤ. ) Κ. Β Κ. Β Όπως προαναφέρθηκε, η λογική του προτύπου p-διαµέσου έχει ως εξής: επιλέγονται κάποια σηµεία σε ένα επίπεδο, ώστε η µέση σταθµισµένη απόσταση ανάµεσα στα σηµεία αυτά και στα σηµεία ζήτησης να ελαχιστοποιείται. Μια ιδιότητα του προτύπου είναι ότι πέρα από τα επιλεγόµενα σηµεία, προσδιορίζονται άµεσα και τα σηµεία ζήτησης που αντιστοιχούν σε 4

5 αυτά. Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατός ο προσδιορισµός της περιοχής ευθύνης κάθε σηµείου, ώστε η απόσταση του κάθε σηµείου από τα σηµεία ζήτησης της περιοχής ευθύνης να είναι κατά µέσο όρο η ελάχιστη δυνατή. Για την εφαρµογή του προτύπου P-διαµέσου στο παρόν πρόβληµα γίνονται οι εξής παραδοχές: Ως σηµεία ζήτησης θεωρούνται τα κέντρα βάρους των οικοδοµικών τετραγώνων. Ως πιθανά σηµεία προς επιλογή θεωρούνται επίσης τα κέντρα βάρους των οικοδοµικών τετραγώνων. Τα σηµεία αυτά αποκαλούνται και κεντροειδή των ζωνών. Η ζήτηση καθορίζεται σύµφωνα µε όσα προαναφέρθηκαν. Ως αποστάσεις ανάµεσα στα σηµεία ζήτησης θεωρούνται οι ευκλείδειες αποστάσεις τους. Η επιλογή των ζωνών διαµερισµού είναι ίδια µε την επιλογή του αριθµού των κεντροειδών των ζωνών. ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ Οι γενετικοί αλγόριθµοι αποτελούν γενική µεθοδολογία βελτιστοποίησης, η οποία παρουσιάζει σηµαντικά πλεονεκτήµατα, όπως το γεγονός ότι δεν εγκλωβίζονται σε τοπικά ακρότατα και εξετάζουν ευρύ πεδίο λύσεων. Οι γενετικοί αλγόριθµοι χρησιµοποιούνται συχνά για την βελτιστοποίηση συνδυαστικών προτύπων (combinatorial models). Τα πρότυπα αυτά παρουσιάζουν το χαρακτηριστικό του πεπερασµένου αριθµού δυνατών λύσεων, που αποτελούν συνδυασµό των δυνατών τιµών των ανεξάρτητων µεταβλητών (Winston, 1994). Σύµφωνα µε τους Gen και Cheng (1999), οι γενετικοί αλγόριθµοι παρουσιάζουν ικανοποιητική απόδοση στην επίλυση συνδυαστικών προβληµάτων αφού δεν εγκλωβίζονται σε τοπικά ακρότατα. Επιπλέον, παρέχουν τη δυνατότητα άµεσου χειρισµού διακριτών µεταβλητών, γεγονός που διευκολύνει στην απεικόνιση συνδυαστικών προβληµάτων (Gen και Cheng, 1999). To πρότυπο P-διαµέσου είναι συνδυαστικό, αφού πρέπει να βρεθεί ο συνδυασµός των τιµών των µεταβλητών Χ και Υ του προτύπου ώστε να ελαχιστοποιηθεί η αντικειµενική συνάρτηση. Όπως φαίνεται και στην βιβλιογραφία (Marianov and Serra, 2003), στο παρελθόν έχει προταθεί η χρήση διαφορετικών γενετικών αλγορίθµων για την επίλυση του προτύπου P-median. Αντίστοιχος γενετικός αλγόριθµος εφαρµόζεται και στην παρούσα διπλωµατική εργασία. Στο Σχήµα 1 φαίνεται η δοµή του γενετικού αλγορίθµου. Ο αλγόριθµος γενικά λειτουργεί ως εξής: Καθορίζεται ο αρχικός πληθυσµός και τα στοιχεία του (διανύσµατα) αξιολογούνται µε βάση τη συνάρτηση καταλληλότητας. Αν κάποιο διάνυσµα δίνει τη βέλτιστη λύση ή αν υπάρχει άλλο κριτήριο (π.χ. χρόνος εκτέλεσης αλγορίθµου, ποσοστό βελτίωσης λύσης) ο αλγόριθµος ολοκληρώνεται. Σε άλλη περίπτωση, από τον πληθυσµό επιλέγονται οι γονείς (διανύσµατα υπάρχοντος πληθυσµού), διασταυρώνονται, δηµιουργούνται οι απόγονοι (νέα διανύσµατα), οι οποίοι µπορεί να έχουν υποστεί µεταλλαγή και στη δηµιουργία επιλέγονται οι καλύτεροι γονείς και απόγονοι για το νέο πληθυσµό. Ο πληθυσµός αυτός γίνεται αρχικός και η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Η όλη διαδικασία είναι η τυπική ενός γενετικού αλγόριθµου. Αν το πρόβληµα έχει επιπλέον περιορισµούς, αυτοί εντάσσονται στην αξιολόγηση της καταλληλότητας των λύσεων. 5

6 Καθορισµός αρχικού πληθυσµού Αξιολόγηση Καταλληλότητας Πληθυσµού Συνάρτηση Καταλληλότητας Βέλτιστη Λύση ή άλλο Κριτήριο Ναι Τερµατισµός Όχι Επιλογή Γονέων ιασταύρωση, Μετάλλαξη ηµιουργία Νέας Γενεάς Αντικατάσταση Πληθυσµού Νέος Πληθυσµός Σχήµα 1: Η δοµή του Γενετικού Αλγορίθµου. Επίλυση του προβλήµατος P-διάµεσου µε γενετικούς αλγορίθµους. Για την επίλυση του προβλήµατος µε γενετικούς αλγόριθµους, πρώτο βήµα αποτελεί η σωστή γενική απεικόνιση του προβλήµατος ώστε να είναι δυνατή η εφαρµογή των αλγορίθµων αυτών. Γενικά χαρακτηριστικά του προβλήµατος που θα χρησιµεύσουν στην απεικόνιση αποτελούν τα εξής: Υπάρχει ένα σύνολο θέσεων ζήτησης (κέντρων βάρους οικοδοµικών τετραγώνων). Πεπερασµένος αριθµός αυτών πρέπει να επιλεγεί µε βάση κάποιο κριτήριο που να αντιπροσωπεύει την αντικειµενική συνάρτηση (1). Συνεπώς, από ένα σύνολο διακριτών θέσεων πρέπει να επιλεγούν κάποιες οι οποίες να πληρούν το κριτήριο της ελαχιστοποίησης της αντικειµενικής συνάρτησης καθώς και τους περιορισµούς του προτύπου P-median. Αφού τα οικοδοµικά τετράγωνα είναι δεδοµένα, µπορούν να απεικονιστούν - αριθµηθούν ως εξής: 1, 2, 3,..., n, όπου προφανώς V={1, 2, 3,, n}. Αν είναι επιθυµητή η δηµιουργία 5 ζωνών, θα πρέπει να επιλεγούν 5 οικοδοµικά τετράγωνα των οποίων τα κέντρα βάρους και θα αποτελούν τα κεντροειδή. Θα πρέπει τελικά να επιλεγεί ένα υποσύνολο του V µε 5 στοιχεία, για το οποίο θα βελτιστοποιείται η αντικειµενική συνάρτηση (1). Έτσι θεωρείται ότι υπάρχει ένα σύνολο διακριτών θέσεων V={1, 2, 3,, n}, ενώ οι δυνατές λύσεις απεικονίζονται από ένα διάνυσµα [α m ], µήκους P, µε a V. Αν λόγου χάρη ήταν V={1, 2, 3, 4,., 20} και ήταν επιθυµητός ο διαµερισµός σε 4 ζώνες, µερικές από τις δυνατές λύσεις θα ήταν οι [ ], [ ], [ ] κ.ο.κ. Γενικά, η απεικόνιση των δυνατών λύσεων (representation scheme) είναι ακέραια και είναι η εξής: [ ] A= a1 a2... ap, ai V, ai a j i j (10) m 6

7 Σύµφωνα µε την απεικόνιση (10), οι δυνατές λύσεις απεικονίζονται ως διανύσµατα ακέραιων αριθµών, οι οποίοι ανήκουν στο σύνολο V, στο κάθε διάνυσµα δε, δεν µπορεί να επαναλαµβάνεται ο ίδιος αριθµός σε διαφορετικές θέσεις, αφού αυτό σηµαίνει ότι δύο ζώνες έχουν το ίδιο κεντροειδές. Αυτό αποτελεί ουσιαστικό περιορισµό του τρόπου απεικόνισης, ο οποίος αντιµετωπίζεται µέσα από το γενετικό αλγόριθµο, όπως θα εξηγηθεί και στη συνέχεια. Η προτεινόµενη απεικόνιση εξυπηρετεί στο γεγονός ότι κάθε δυνατή θέση κεντροειδούς και θέσης ζήτησης διαθέτουν συγκεκριµένη αρίθµηση. Έτσι, µε τη βοήθεια του γενετικού αλγόριθµού, µπορούν να δηµιουργούνται συγκεκριµένα υποσύνολα του συνόλου V, τα οποία και αποτελούν δυνατές λύσεις του προβλήµατος. Επιπλέον, δεν χρειάζεται κανένας ειδικός χειρισµός για τους περιορισµούς, αφού το µέγεθος του κάθε διανύσµατος απεικόνισης - υποσυνόλου καθορίζεται από τον αριθµό των ζωνών (περιορισµός (2)) ενώ οι λοιποί περιορισµοί ελέγχονται µέσα από τη δοµή της διαδικασίας επίλυσης όπως θα εξηγηθεί και στη συνέχεια. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Το πρότυπο εφαρµόζεται στην πόλη της Πάτρας, χρησιµοποιώντας συγκεκριµένα γεωµετρικά και χαρακτηριστικά της πόλης. Χρησιµοποιείται ψηφιακό µοντέλο του πολεοδοµικού χάρτη της πόλης της Πάτρας. Το µοντέλο αυτό που έχει κατασκευαστεί σε περιβάλλον AutoCAD περιέχει τους βασικότερους οδικούς άξονες της Πάτρας, οι οποίοι χωρίζουν την πόλη σε σύνολα οικοδοµικών τετραγώνων. Η διαµόρφωση του ψηφιακού µοντέλου αυτού γίνεται µε τέτοιο τρόπο ώστε τα σύνολα οικοδοµικών τετραγώνων να είναι γειτονικά και να έχουν εν γένει κοινά χαρακτηριστικά (π.χ. χρήσεις γης, συντελεστής δόµησης) και να περικλείονται από βασικές οδούς για την πόλη της Πάτρας. Η γενίκευση αυτή είναι αποδεκτή αφού δίνεται βάρος στο διαµερισµό µιας περιοχής σε περιοχές ευθύνης και όχι ο τρόπος µε τον οποίο γίνεται η επιθεώρηση εντός της περιοχής ευθύνης. Επιπλέον, µε τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται µείωση των οικοδοµικών τετραγώνων που θα εισέλθουν στο πρότυπο και άρα επιτυγχάνεται µείωση τόσο του υπολογιστικού φόρτου όσο και του χρόνου επίλυσης. Σχήµα 2: Το ψηφιακό υπόβαθρο της πόλης της Πάτρας σε περιβάλλον Autocad. Έτσι, το υπόβαθρο της Πάτρας αποτελείται από 112 περιοχές, οι οποίες είναι όλες σύνολα πραγµατικών οικοδοµικών τετραγώνων που γειτνιάζουν όλα µεταξύ τους και έχουν κοινό συντελεστή δόµησης και κατά κανόνα κοινές ιδιότητες. Το ψηφιακό αυτό υπόβαθρο αποτελεί και την αφετηρία της βάσεως δεδοµένων της οποίας και γίνεται χρήση για την εφαρµογή του προτύπου. 7

8 Από το ψηφιακό υπόβαθρο της πόλης της Πάτρας, µε τα σύνολα των οικοδοµικών τετραγώνων αριθµηµένα και οριοθετηµένα, αντλούνται τα στοιχεία που χρειάζονται ώστε να αποτελέσουν τη βάση δεδοµένων. Έτσι καταρτίζεται µία βάση δεδοµένων για τα 112 οικοδοµικά τετράγωνα που περιλαµβάνει πληροφορίες γεωµετρικές (διαστάσεις, εµβαδά, κέντρα βάρους των οικοδοµικών τετραγώνων) που έχουν συλλεχθεί από το ψηφιακό υπόβαθρο, πληροφορίες για το συντελεστή δόµησης των οικοδοµικών τετραγώνων, πληροφορίες για τη ζήτηση των οικοδοµικών τετραγώνων. Το υπολογιστικό µοντέλο Η κατασκευή του προτύπου γίνεται σε περιβάλλον Microsoft Εxcel και η επίλυση πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια του λογισµικού γενετικών αλγορίθµων Palisade Evolver. Στα πλαίσια της εφαρµογής ο αριθµός των διαθέσιµων συνεργείων είναι πέντε (5). Η διαδικασία επίλυσης µε βάση το γενετικό αλγόριθµο που περιγράφηκε νωρίτερα έχει ως εξής: Το µοντέλο επιλέγει πέντε υποψήφιες λύσεις, που αντιστοιχούν σε πέντε οικοδοµικά τετράγωνα, υποψήφια για κέντρα των περιοχών ευθύνης για επιθεώρηση. Το κάθε οικοδοµικό τετράγωνο απέχει µία απόσταση από τις πέντε αυτές λύσεις. Άρα για κάθε οικοδοµικό τετράγωνο υπάρχουν πέντε αποστάσεις, όσες και οι λύσεις. Από τις αποστάσεις αυτές επιλέγεται η µικρότερη. Η απόσταση αυτή πολλαπλασιάζεται µε την αντίστοιχη ζήτηση του κάθε οικοδοµικού τετραγώνου. Προκύπτουν µε αυτό τον τρόπο 112 γινόµενα µοναδικά για το κάθε οικοδοµικό τετράγωνο. Τα γινόµενα αυτά αθροίζονται και συνιστούν την αντικειµενική συνάρτηση. Ανάλογα µε την απόσταση που απέχει το κάθε οικοδοµικό τετράγωνο από την κάθε λύση από τις πέντε, προκύπτει και σε πιο κέντρο επιθεώρησης ανήκει το κάθε ένα. Έτσι το κάθε οικοδοµικό τετράγωνο ανήκει στη λύση εκείνη από την οποία απέχει τη µικρότερη απόσταση. Το γεγονός αυτό προδίδει και η τελευταία στήλη του µοντέλου. Η επιλογή των πέντε υποψηφίων λύσεων γίνεται µε το σκοπό ώστε η αντικειµενική συνάρτηση να ελαχιστοποιηθεί. Για το λόγο αυτό γίνονται δοκιµές και επιλέγονται λύσεις µέχρι να προκύψει η ελάχιστη δυνατή αντικειµενική συνάρτηση. Τη διαδικασία αυτή αναλαµβάνει ο γενετικός αλγόριθµος, ο οποίος εφαρµόζεται µε τη βοήθεια του προγράµµατος Palisade Evolver. Ο γενετικός αλγόριθµος έχει την εντολή να λάβει υπόψη τρείς κανόνες διακοπής. 1. Μόλις ολοκληρωθούν επαναλήψεις 2. Μόλις συµπληρωθούν 10 λεπτά διαδικασίας 3. Μόλις οι αλλαγές στην αντικειµενική συνάρτηση κατά τις τελευταίες επαναλήψεις είναι µικρότερες του 1% Επίλυση και ανάλυση ευαισθησίας Για την ασφαλή εξαγωγή χρησίµων συµπερασµάτων γύρω από τη διαδικασία επίλυσης αλλά και την αποτελεσµατικότητα του προτύπου πραγµατοποιείται ένα µεγάλο εύρος επιλύσεων. Γίνεται δηλαδή ανάλυση ευαισθησίας γύρω από τις παραµέτρους του γενετικού αλγορίθµου και σύγκριση των αποτελεσµάτων µε σκοπό να βρεθεί πως αυτές επηρεάζουν τη βελτιστοποίηση. Επιλέγεται ένα πλήθος παραµέτρων για το γενετικό αλγόριθµο. Για τον αρχικό πληθυσµό γίνεται χρήση των τιµών 50, 75, 100 και 125. Για τη διασταύρωση επιλέγεται ποσοστό διασταύρωσης (crossover rate), µε τιµές 0.2, 0.4 και 0.6. Όσον αφορά το ποσοστό της 8

9 µετάλλαξης (mutation rate) λαµβάνονται τιµές 0.05, 0.10 και Με αυτό τον τρόπο πραγµατοποιούνται επιλύσεις που λαµβάνουν υπόψη το συνδυασµό όλων των παραπάνω παραµέτρων. Οπότε πραγµατοποιούνται συνολικά 36 επιλύσεις µε τους παραπάνω συνδυασµούς. Κατόπιν της διαδικασίας 36 διαδοχικών επιλύσεων µε τις παραµέτρους που αναλύθηκαν στις προηγούµενες παραγράφους, προέκυψαν αποτελέσµατα µε αρκετά µεγάλη συνάφεια µεταξύ τους. ύο είναι οι τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης που προκύπτουν από τους συνδυασµούς των παραµέτρων επίλυσης του γενετικού αλγορίθµου. Έτσι η αντικειµενική συνάρτηση παίρνει τις τιµές ,34 (Επίλυση Α) και ,52 (Επίλυση Β) σε 26 περιπτώσεις επίλυσης και 10 περιπτώσεις αντίστοιχα. Έτσι παρουσιάζονται οι οµάδες λύσεων (8, 42, 88, 96, 107) (Επίλυση Α) και (7, 75, 96, 103, 107) (Επίλυση Β) που εµφανίζονται σε 26 και 10 περιπτώσεις επίλυσης αντίστοιχα µε τις πιο πάνω αναφερθείσες αντικειµενικές συναρτήσεις. Μετά από στατιστική επεξεργασία των λύσεων που προκύπτουν, παρατηρείται η πλήρης αντιστοιχία των οικοδοµικών τετραγώνων και κέντρων επιθεώρησης στις αντίστοιχες οµάδες λύσεων Α και Β. Έτσι σε κάθε κέντρο επιθεώρησης ανήκουν κάθε φορά τα ίδια οικοδοµικά τετράγωνα. Τα αποτελέσµατα της επίλυσης είναι δυνατό να παρουσιαστούν και µε πιο παραστατικό τρόπο επάνω στο ψηφιακό υπόβαθρο της πόλης της Πάτρας (Σχήµα 2). Με αυτό τον τρόπο είναι δυνατό να φανεί και ο τρόπος που το πρότυπο διαµερίζει την πόλη σε πέντε περιοχές. Σχήµα 2: Η Πάτρα διαµερισµένη σε 5 περιοχές. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ Ο ρόλος της µετασεισµικής διαχείρισης είναι αυτός της αντιµετώπισης και αποκατάστασης των αποτελεσµάτων της µετασεισµικής δράσης. Στόχος είναι η ταχύτερη και οικονοµικότερη επαναφορά των υποδοµών µιας πληγείσας από σεισµική δράση περιοχής, ώστε αυτή να επανέλθει το συντοµότερο δυνατόν σε κανονικούς ρυθµούς ζωής. Πρωταρχική δραστηριότητα της µετασεισµικής διαχείρισης των υποδοµών είναι η αποτίµηση των αποτελεσµάτων του σεισµού. Αυτή πρέπει να πραγµατοποιηθεί τάχιστα µε τη χρήση συνεργείων επιθεώρησης, τα οποία θα εξετάσουν και θα αποτιµήσουν την κατάσταση των κατασκευών στον αστικό χώρο. 9

10 Στην παρούσα εργασία εξετάζεται αυτό ακριβώς το θέµα της µετασεισµικής διαχείρισης κατασκευών: η οργάνωση της επιθεώρησης αυτών. Αναπτύσσεται µεθοδολογία, βασισµένη σε πρότυπο επιχειρησιακής έρευνας, µε την οποία επιδιώκεται ο καλύτερος δυνατός διαµερισµός µιας αστικής περιοχής σε περιοχές ευθύνης συνεργείων, έτσι ώστε το κάθε συνεργείο να αναλαµβάνει ισοδύναµο τµήµα της περιοχής ευθύνης. Το πρότυπο εφαρµόζεται στην πόλη της Πάτρας. Για την επίλυσή του επιλέγεται γενετικός αλγόριθµος, ο οποίος σύµφωνα µε τη βιβλιογραφία θεωρείται κατάλληλος για την επίλυση συνδυαστικών προβληµάτων αυτού του χαρακτήρα. Πραγµατοποιούνται διαφορετικές επιλύσεις για διαφορετικές παραµέτρους του γενετικού αλγορίθµου και στις περισσότερες περιπτώσεις προκύπτει το ίδιο αποτέλεσµα, σε µικρά σχετικά χρονικά διαστήµατα (της τάξης των λίγων λεπτών, για συνδυαστικό πρόβληµα 100+ µεταβλητών), γεγονός που αναδεικνύει τη σταθερότητα και την αποδοτικότητα του γενετικού αλγορίθµου στην επίλυση του προβλήµατος. Παράλληλα, τα αποτελέσµατα καθαυτά δίνουν εποπτικά µια οµοιόµορφη διαµέριση της Πάτρας σε περιοχές ευθύνης, κάτι που δείχνει και το ορθό της εφαρµογής του συγκεκριµένου αλγορίθµου π-διαµέσου. Συνολικά, θεωρείται ότι η προτεινόµενη µεθοδολογία (συνδυασµός οικοδοµικών τετραγώνων, ζήτησης ανάλογης της δόµησης και προτύπου π- διαµέσου) µπορούν να δώσουν χρήσιµες πρώτες πληροφορίες για τις περιοχές ευθύνης που πρέπει να αναλάβει το κάθε συνεργείο επιθεώρησης. Το παρόν πρότυπο βέβαια παρουσιάζει αφενός µια µόνο πλευρά της µετασεισµικής διαχείρισης, αφετέρου δε είναι ιδιαίτερα απλοποιηµένο. Ως προς τη µετασεισµική διαχείριση, έχουν υπάρξει διάφορες εργασίες στο παρελθόν που εστιάζονται στις επιθεωρήσεις γεφυρών, στην κατανοµή πόρων επισκευών, στην αποτίµηση της κατάστασης των υποδοµών, στις διαδροµές επιθεώρησης, στην εκκένωση του πληθυσµού κ.α. Παρόλα αυτά υπάρχει πεδίο έρευνας στην ανάπτυξη και εφαρµογή µαθηµατικών εργαλείων για τη µετασεισµική διαχείριση των κατασκευών. Σε ό,τι αφορά στο πρότυπο καθαυτό, η απλοποιηµένη µορφή της ζήτησης ως συνάρτησης της δοµήσιµης επιφάνειας µπορεί να βελτιωθεί µε το συνυπολογισµό άλλων παραγόντων, όπως η παλαιότητα των κατασκευών, ο πληθυσµός κ.α. Ο χρόνος επιθεωρήσεων µιας περιοχής είναι επίσης ένας παράγοντας που µπορεί να ληφθεί υπόψη, τουλάχιστον για επιχειρησιακούς λόγους. Επίσης, η εφαρµογή της µεθόδου και η επίλυση µε γενετικούς αλγόριθµους είναι καλό να εξεταστούν και σε αστικούς χώρους µεγαλύτερων διαστάσεων, ώστε να αξιολογηθεί καλύτερα η απόδοση της µεθόδου. Εναλλακτικά, και άλλες µέθοδοι διαµέρισης πρέπει να εξεταστούν. Συνολικά, η προτεινόµενη προσέγγιση θεωρείται ότι παρέχει τη βάση για την ανάπτυξη εξελιγµένων εργαλείων µετασεισµικής διαχείρισης των κατασκευών. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Daskin M.S. and Haghani A. (1984), Multiple vehicle routing and dispatching to an emergency scene, Environment and Planning A 16, pp Gen, M, Cheng, R. (1999). Genetic Algorithms and Engineering Optimization, Interscience, U.S.A. Hakimi S.L. (1964), Optimum locations of switching centers and the absolute centers and medians of a graph, Operations Research 12, pp Karlaftis, M., Kepaptsoglou, K., Lambropoulos, S. (2007) Fund Allocation for Transportation Network Recovery Following Natural Disasters. Journal of Urban Planning and Development, 133(1), 1-8. Marianov, V., Serra, D. (2002). Location Models in the Public Sector. In: Facility Location: Applications and Theory, Eds. Z. Drezner and H.W. Hamacher, Springer, Berlin. Schilling D.A., Jayaraman V., Barkhi R. (1993), A review of covering problems in facility location, Location Science Vol.1, No 1, pp Winston, W. L. (1994). Operations research: Applications and algorithms (3rd ed.). Belmont, CA: Duxbury Press. 10