Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία"

Transcript

1 Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία (Γεωμετρία του σύμπαντος) Μιχαηλίδη Κων/να - Κωνσταντοπούλου Ελισάβετ 2017

2 H μη-ευκλείδεια γεωμετρία συνιστάται από δύο γεωμετρίες βασισμένες σε αξιώματα στενά συνδεδεμένα με αυτά που προσδιορίζουν την Ευκλείδεια γεωμετρία. H μη-ευκλείδεια γεωμετρία προκύπτει όταν είτε η απαίτηση του μέτρου "χαλαρώνει" (ότι δηλαδή η συνάρτηση μέτρο παίρνει τιμές όχι μόνο στο [0,+οο) αλλά και σε άλλα διατεταγμένα σύνολα), είτε το αξίωμα των παραλλήλων αντικαθίσταται με ένα εναλλακτικό. Στην τελευταία περίπτωση έχουμε την υπερβολική γεωμετρία και την ελλειπτική γεωμετρία, τις κλασικές μηευκλείδειες γεωμετρίες. (Η ουσιαστική διαφορά με τις μετρικές γεωμετρίες είναι στην φύση των παράλληλων ευθειών. Το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, το αξίωμα των παραλλήλων, είναι ισοδύναμο με το αξίωμα του Πλέιφερ, που δηλώνει ότι, σε ένα επίπεδο 2 διαστάσεων, για κάθε ευθεία ε και σημείο A, εκτός της ε, υπάρχει ακριβώς μια ευθεία διερχόμενη από το A που δεν τέμνει την ε. Αντίθετα, στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν άπειρες ευθείες διερχόμενες από το A που δεν τέμνουν την ε, ενώ στην ελλειπτική γεωμετρία, κάθε ευθεία διερχόμενη του A τέμνει την ε.) Άλλος τρόπος να περιγράψουμε την διαφορά μεταξύ αυτών των γεωμετριών είναι να θεωρήσουμε 2 ευθείες επ' αόριστον επεκταμένες σε ένα δισδιάστατο επίπεδο που είναι και οι 2 κάθετες σε μία 3η ευθεία: Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία οι ευθείες διατηρούν σταθερή απόσταση η μία από την άλλη ακόμα και αν επεκταθούν στο άπειρο, και είναι γνωστές ως παράλληλες. Στην υπερβολική γεωμετρία "καμπυλώνουν" απομακρύνοντας η μία από την άλλη, αυξάνοντας την μεταξύ τους απόσταση καθώς η μία απομακρύνεται από τα σημεία τομής με την κοινή κάθετη; τέτοιες ευθείες συχνά αποκαλούνται υπερπαράλληλες. Στην ελλειπτική γεωμετρία "καμπυλώνουν" η μία προς την άλλη και τέμνονται.

3 Και λίγη ιστορία Από τους πρώτους επιστήμονες που έχουν αμφισβητήσει την οικουμενικότητα τις κοσμικές αναλογίες της Ευκλείδειας γεωμετρίας ήταν ο Lobachevsky. Για το πρώτο μισό του 19 ου αιώνα αυτή η ιδέα ήταν επαναστατική. Ο Lobachevsky έφτασε σε μεγάλα ύψη φιλοσοφικών γενικεύσεων, και ήταν πολύ μπροστά από την εποχή του. Ο Lobachevsky στηρίχτηκε στο γεγονός ότι, αν και ο πραγματικός χώρος δεν υπόκειται στους νόμους της Ευκλείδειας γεωμετρίας, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου σε μια γιγαντιαία κοσμική κλίμακα θα είναι μικρότερη από ό, τι 2π. Οι κορυφές του πειραματικού αυτού τριγώνου επιλέχθηκαν ως εξής: μία κορυφή στη γη, τη άλλη στον ήλιο, και η τρίτη στο αστέρι Sirius. Αν το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ήταν μικρότερο από ό, τι 2π, τότε η μη Ευκλείδεια γεωμετρία φαίνεται να είναι το καλύτερο όλων των πιθανών μοντέλων γεωμετρίας της φύσης. Ωστόσο, τα αποτελέσματα των μετρήσεων είχαν απογοητεύσει τον Lobachevsky. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ήταν μικρότερο από 2π, αλλά σε ένα τόσο μικρό ποσό που δεν υπερβαίνει το επιτρεπόμενο σφάλμα. Το ζήτημα παρέμενε ανοικτό, αν και ο Lobachevsky ήταν ακόμα πεπεισμένος στην μη Ευκλείδειότητα του πραγματικού χώρου. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο περιορισμένος χώρος που μπορεί να "δει" ο άνθρωπος με τα πιο ισχυρά αστρονομικά εργαλεία μας επιτρέπει να αμφισβητούμε την Ευκλείδεια γεωμετρία. Πράγματι, τα αστρονομικά όργανα μας επιτρέπουν να βλέπουμε τα απομακρυσμένα μέρη Metagalaxy από εμάς σε απόσταση πολλών δισεκατομμυρίων παρσέκ (ένα παρσέκ είναι 3,26 έτη φωτός). Υπενθυμίζουμε ότι το φως ταξιδεύει με ταχύτητα km / s. Έτσι, αν το σύμπαν είναι άπειρο στο χώρο και το χρόνο, το ορατό μέρος του χώρου μας είναι περιορισμένο. Σκεφτείτε Σχήμα 50. Το μαύρο χρώμα στην εικόνα είναι για εμάς το αόρατο μέρος του σύμπαντος. Εάν περιορίσετε το μέγεθος του σύμπαντος στο ορατό μέρος, θα ισχύει η γεωμετρία Lobachevsky. Παρ 'όλα αυτά, έχουμε κάνει μια ισχυρή υπόθεση, ο περιορισμένος χώρος. Κατά τη διάρκεια της ζωής του Lobachevsky οι περισσότεροι επιστήμονες πίστευαν ότι οι ιδέες του μεγάλου Ρώσου επιστήμονα δεν έβγαζαν νόημα. Ο πάγος

4 έσπασε μόνο το 1868, όταν συνέβησαν δύο σημαντικά γεγονότα που συνδέονται με τα ονόματα του ιταλικού μαθηματικού Eugenio Beltrami ( ) και της γερμανικής μαθηματικού Bernhard Riemann ( ). Στο έργο του «Η εμπειρία της ερμηνείας της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας» ο Beltrami έδειξε ότι υπάρχει ένα πραγματικό σώμα, στην επιφάνεια του οποίου εφαρμόζεται η γεωμετρία Lobachevsky. Αυτή η εύρεση του ιταλικού μαθηματικού ήταν εντυπωσιακή: αποδείχθηκε ότι στον Ευκλείδειο πραγματικό κόσμο υπάρχουν αντικείμενα μη-ευκλείδειας φύσης. Μία από τις επιφάνειες που εκτελούν τη γεωμετρία Lobachevsky, μπορεί να ληφθεί ως εξής. Εξετάστε την καμπύλη, η οποία ονομάζεται μια γραμμή αλυσίδας (Εικ. 51). (Αυτή η γραμμή ονομάζεται αλυσίδα, επειδή το σχήμα της γραμμής λαμβάνει ελεύθερα αιωρούμενα σε δύο σημεία της βαριάς αλυσίδας.) Ας φανταστούμε τώρα ότι η αλυσίδα κόβεται στο χαμηλότερο σημείο A. Τότε τα άκρα της αλυσίδας περιγράφουν μια καμπύλη, που ονομάζεται ισοεφαπτομενική καμπύλη (Εικ. 52). Αν παρατηρήσουμε στις οπτικές αναπαραστάσεις των μαθηματικών την ερμηνεία της καμπύλης αυτής, μπορούμε να καθορίσουμε το ακόλουθο χαρακτηριστικό για την ισοεφαπτομενική καμπύλη: το μήκος της εφαπτομένης, δηλαδή το μήκος του σημείου επαφής με το άξονα-x, είναι σταθερό. Σε αυτόν τον κλάδο η καμπύλη πλησιάζει άπειρα τον άξονα x.

5 Καθώς, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα των τετμημένων η ισοεφαπτομενική καμπύλη αποκτά επιφάνεια περιστροφής διπλωμένη στη δύο υποδοχές (Εικ. 53). Αυτή η επιφάνεια ονομάζεται ψευδοσφαίρα. Υποθέτουμε μια ευθεία γραμμή στην επιφάνεια της λεγόμενης «γεωδαιτικής» γραμμής. Χωρίς να αποκαλύψει αυστηρά μαθηματική ουσία της έννοιας αυτής, θα εξετάσουμε "άμεση" σε μια γραμμή της ψευδοσφαίρας της μικρότερης απόστασης μεταξύ των σημείων στην επιφάνειά του. Ο Beltrami έδειξε ότι η ψευδοσφαίρα μπορεί να υλοποιηθεί σε ένα μέρος του πλάνου του Lobachevsky. Το σχήμα 54 δείχνει ότι η «άμεση» β και γ, που διέρχεται από το σημείο Α, παράλληλα με την «άμεση» ένα. Ψευδοσφαίρα ονομάζεται η επιφάνεια με σταθερή αρνητική καμπυλότητα. Εμείς λέμε ότι η επιφάνεια έχει αρνητική καμπυλότητα, αν το άθροισμα των καμπύλων γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερη από 2π. Εάν χτισμένη στο αεροπλάνο Lobachevsky {(ή ψευδο επειδή, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, διεξάγεται στην επιφάνεια του Lobachevskii γεωμετρία)}στο τρίγωνο, μπορούμε αμέσως δούμε ότι το άθροισμα των γωνιών είναι μικρότερο από 2π (Εικ. 55).

6 Υπάρχουν επιφάνειες θετική καμπυλότητα, δηλαδή Ε. Η επιφάνεια στην οποία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι πάνω από 2π. Το να βρούμε μια τέτοια επιφάνεια είναι πολύ απλό. Είναι, για παράδειγμα, η επιφάνεια της μπάλας. Υποθέτουμε "άμεση" στο πεδίο της κάθε μεγάλο κύκλο, τ. Ε o κύκλος, που περιήλθε στο σημείο τομής της σφαίρας από ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας. Στο γήπεδο παίρνουμε μια πολύ περίεργη γεωμετρία. Αποδεικνύεται ότι όλες οι γραμμές τέμνονται εδώ. Κατά συνέπεια, το πεδίο δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί οποιαδήποτε Ευκλείδεια γεωμετρία ή τη γεωμετρία Lobachevsky. Όσον αφορά τα τρίγωνα, το άθροισμα των γωνιών είναι πάντα μεγαλύτερη από 2π. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου μπορεί να είναι ίσο με 3π (Εικ. 56). Δεδομένου ότι έχουμε ήδη τόσο αρνητική και θετική καμπυλότητα της επιφάνειας, είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι εμφανίζεται η συνήθης Ευκλείδεια επίπεδο της μηδενικής καμπυλότητας.

7 Ένα σοβαρό βήμα στην ανάπτυξη της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας έγινε από τον Bernhard Riemann. 10 Ιουνίου, 1854 είχε δώσει μια διάσημη διάλεξη "Από τις υποθέσεις που βρίσκονται στη βάση της γεωμετρίας" στη Φιλοσοφική Σχολή του Πανεπιστημίου του Gottingen. Το ακροατήριο αποτελούνταν κυρίως από πρόσωπα που δεν ήταν πολύ καλοί μαθηματικοί. Ωστόσο, η διάλεξη του Carl Gauss, εκτιμήθηκε ιδιαίτερα, η διάλεξη Riemann περάσει απαρατήρητη στο μαθηματικό κόσμο. Μετά το θάνατο του Riemann (πέθανε πρόωρα από φυματίωση) το κείμενο της διάλεξης βρέθηκε μεταξύ των εγγράφων του από το γερμανό μαθηματικό Richard Dedekind. Η δημοσίευση το 1868 των υλικών αυτών έχει κάνει μια τεράστια εντύπωση στους μαθηματικούς. Στα αξιώματα του Riemann περιλαμβάνεται η εξής φράση: Κάθε γραμμή που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τη δεδομένη γραμμή την τέμνει. Αυτό σημαίνει ότι στη γεωμετρία Riemann δεν υπάρχουν παράλληλες γραμμές, το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου σε αντίθεση με την Ευκλείδεια γεωμετρία και τη γεωμετρία Lobachevsky είναι πλέον 2π. Διαπιστώθηκε ότι η γεωμετρία του Riemann είναι συνεπής. Ο χώρος του Lobachevsky ήταν μία από τις ειδικές περιπτώσεις και ο χώρος του Riemann. Επηρεάστηκε από αυτόν. Κλείνοντας την ομιλία του ο Riemann είπε ότι βρισκόμαστε στο κατώφλι της περιοχής που ανήκει σε άλλη επιστήμη - φυσική, και πάνω από αυτό δεν μας δίνεται λόγος μέχρι σήμερα. Έτσι, η παρουσία των τριών λογικά άψογων και ίσων γεωμετρικών συστημάτων έχει οδηγήσει στη διατύπωση της ερώτησης: ποια είναι η γεωμετρία του σύμπαντος, ποια είναι η γεωμετρία του ενδο-ατομικό κόσμο;

8 Η σύγχρονη επιστήμη δεν μπορεί να δώσει μια ξεκάθαρη απάντηση. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μόνο από μια τεράστια συνεργασία αστρονόμων, μαθηματικών, φυσικών, φιλοσόφων και κοσμολόγων (κοσμολογία - η επιστήμη του σύμπαντος ως ένα ενιαίο σύνολο). Η επιστήμη πιο κοντά στην απάντηση της ερώτησης σχετικά με τη γεωμετρία του σύμπαντος μετά την ανακαλύφθηκε στις αρχές του ΧΧ αιώνα. Ο μεγάλος φυσικός Άλμπερτ Αϊνστάιν ( ) με την ειδική και γενική θεωρία της σχετικότητας. Θεωρήθηκε ότι η γενική θεωρία της σχετικότητας είναι το πρώτο παράδειγμα μιας καθαρά φυσικής θεωρίας, η οποία εμφανίστηκε ως αποτέλεσμα ενός μαθηματικού άλματος προς το άγνωστο. Από τη γενική θεωρία της σχετικότητας συμπέρανε ότι ο χώρος είναι καμπύλος. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι κοντά σε ένα σώμα με μια τεράστια μάζα (για παράδειγμα, κοντά στον ήλιο, τα αστέρια), οι νόμοι της νευτώνειας μηχανικής αλλάζουν και η γεωμετρία του χώρου είναι μη-ευκλείδεια. Είναι γνωστό ότι ένα από τα πιο κοινά μοντέλα είναι μια άμεση ακτίνα φωτός. Ωστόσο, το φως που διέρχεται από τον ήλιο ή αστέρι, υπό την επίδραση της βαρύτητας κάμπτει την τροχιά του. Το 1916, η Ευρώπη αναδύεται από τον πόλεμο. Ο Αϊνστάιν ήταν εκείνη την εποχή στη Γερμανία, έτσι, ένα αντίγραφο του άρθρου του στάλθηκε στον άγγλο επιστήμονα Eddington από την ουδέτερη Ολλανδία. Το άρθρο αυτό καθόριζε την ουσία της θεωρίας της σχετικότητας. Ο ίδιος ο Αϊνστάιν δεν είχε καμία αμφιβολία ότι η πρόσφατη έρευνα της θεωρίας του θα έβρισκε σύντομα την επιβεβαίωσή της. Ο Eddington ήταν τόσο εντυπωσιασμένος από το άρθρο του Αϊνστάιν που ο ίδιος, μαζί με τον αστρονόμο Dyson σχεδίαζε να οργανώσει δύο αποστολές για την

9 πειραματική επαλήθευση της βαρυτικής καμπυλότητας του φωτός και της διασταύρωσης των δεσμών φωτός κοντά στον ήλιο. Ωστόσο, ήταν απαραίτητο να περιμένανε μέχρι το τέλος του πολέμου, καθώς και μια ηλιακή έκλειψη. Η ουσία του πειράματος ήταν να προσπαθήσουν να πάρουν μια εικόνα ενός αστεριού, το οποίο σε περίπτωση απουσίας του φωτός δεν θα ήταν δεν θα μπορούσε να είναι ορατό από τη Γη. Αυτή η εμπειρία μπορεί να επιτευχθεί μόνο με την πλήρη ηλιακή έκλειψη, αφού είναι αδύνατο να φωτογραφηθεί (Εικ. 57). (Μετά το τέλος του Β 'Παγκοσμίου Πολέμου η εκστρατεία ξεκίνησε στο χωριό Sobral της Βραζιλία, και από την άλλη - στη μικρό πορτογαλικό νησί Principe, που βρίσκεται στα ανοικτά της δυτικής ακτής της Αφρικής. Αυτά τα μέρη είχαν ευνοϊκές συνθήκες για την παρατήρηση της ολικής ηλιακής έκλειψης, 29 Μαήου του Τα πειράματα επιβεβαίωσαν τις θεωρητικές προβλέψεις του Αϊνστάιν. Η ανακάλυψη της θεωρίας της σχετικότητας, η επέκταση των γνώσεων σχετικά με το σύμπαν μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι το σύμπαν ως σύνολο δεν μπορεί να θεωρηθεί ένα κατεψυγμένο και αμετάβλητο σύστημα. Αντίθετα, το σύμπαν είναι εγγενής σε μια αλλαγή του χώρου και τις μετρήσεις του χρόνου. Σημαντικά αποτελέσματα επέφερε επιστήμονας από τη Σοβιετική ένωση Αlexander Friedman ( ). Στο πλαίσιο που αναπτύχθηκε από το μοντέλο Friedman του σύμπαντος βασίστηκε η υπόθεση ότι το σύμπαν είναι ομοιογενές, δηλαδή, η Ε (επιφάνεια με θετική καμπυλότητα) έχει την ίδια δομή σε όλα τα μέρη της. Φυσικά, μιλάμε για το σύμπαν ολόκληρο. Αν μιλάμε για μια σχετικά μικρή κλίμακα, τότε, φυσικά, η ετερογένεια του σύμπαντος θα είναι ορατή με γυμνό μάτι. O Friedman διαπίστωσε ότι όταν η πυκνότητα της ύλης στο σύμπαν είναι λιγότερη από μια σταθερή τιμή (κρίσιμη πυκνότητα), η καμπυλότητα του χώρου είναι αρνητική, αν η κρίσιμη πυκνότητα ξεπεραστεί, τότε ο χώρος έχει θετική καμπυλότητα. Τέλος, στην περίπτωση όπου η πυκνότητα είναι ίση με την κρίσιμη τιμή, η καμπυλότητα του χώρου είναι μηδέν. Έτσι, φαίνεται στον Friedman, υπό

10 ορισμένες προϋποθέσεις,ότι η γεωμετρία του σύμπαντος έχει αρνητική καμπυλότητα. Με βάση τη γενική θεωρία της σχετικότητας το 1922, ο Friedman κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το σύμπαν πρέπει να επεκτείνει την πάροδο του χρόνου. Το μοντέλο του σύμπαντος ου Friedman, ήταν έξοχη και επιβεβαιώθηκε πειραματικά μετά το θάνατο του Friedman από τον αμερικανό αστρονόμο Edwin Hubble ( ). Ο Hubble, ενεργώντας εντελώς ανεξάρτητα από τον Friedman βρέθηκε αντιμέτωπος με μακρινά νεφελώματα. Ο Αϊνστάιν εκτίμησε τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τον Hubble ως επιβεβαίωση των θεωρητικών διατάξεων του Friedman. Αργότερα χτίστηκε το μοντέλο της «επέκτασης» του σύμπαντος. Εγκατασταθεί από το Hubble το Η σχέση μεταξύ της ερυθρούς μετατόπισης των γαλαξιών και της απόστασης έγινε ένας από τον πιο σημαντικούς κοσμολογικούς νόμους, που είναι γνωστός ως «νόμος του Hubble". Το σύγχρονο επίπεδο της επιστήμης οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο πραγματικός χώρος του σύμπαντος είναι καμπυλωτός και έχει μεταβλητής καμπυλότητα. Δεδομένου ότι η καμπυλότητα του Ευκλείδειο χώρο είναι μηδέν, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο χώρος του Lobachevsky έχει σταθερή αρνητική καμπυλότητα πιο κοντά στην γεωμετρία του σύμπαντος.

Διαδραστική Έκθεση Επιστήμης και Τεχνολογίας

Διαδραστική Έκθεση Επιστήμης και Τεχνολογίας Διαδραστική Έκθεση Επιστήμης και Τεχνολογίας «Η επιστήμη και η γνώση προχωρούν ρ μπροστά μόνο αν αμφισβητήσουμε τους μεγάλους» Χρονικά της Φυσικής 1905 (Annalen der Physik) Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας.

Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας. Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας. Παρ' όλα αυτά, πρώτος ο γάλλος µαθηµατικός Λαπλάςτο 1796 ανέφερε

Διαβάστε περισσότερα

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Η φυσική υψηλών ενεργειών µελετά το µικρόκοσµο, αλλά συνδέεται άµεσα µε το µακρόκοσµο Κοσµολογία - Μελέτη της δηµιουργίας και εξέλιξης του

Διαβάστε περισσότερα

Η ζωή και ο Θάνατος στο Υλικό Σύμπαν

Η ζωή και ο Θάνατος στο Υλικό Σύμπαν Η ζωή και ο Θάνατος στο Υλικό Σύμπαν Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Τμήμα Φυσικής- Πανεπιστήμιο Αθηνών Η Γεωμετρία Του Σύμπαντος Όταν αναφερόμαστε σε μια γεωμετρία, θεωρούμε ως αυτονόητη

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν οι Μελανές Οπές;

Υπάρχουν οι Μελανές Οπές; Υπάρχουν οι Μελανές Οπές; ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Θεσσαλονίκη, 10/2/2014 Σκοτεινοί αστέρες 1783: Ο John Michell ανακαλύπτει την έννοια ενός σκοτεινού αστέρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 20.03.14 Χ. Χαραλάμπους Είναι το 5 ο αίτημα όντως αίτημα και όχι πρόταση? Η πρώτη φορά που το αίτημα χρησιμοποιείται στα Στοιχεία είναι στην απόδειξη της Πρότασης 29. ( Η Πρόταση 29

Διαβάστε περισσότερα

H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ

H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ H ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑ ΑΠΟ 100 ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΟΣ ΔΡ. ΣΠΥΡΟΣ ΒΑΣΙΛΑΚΟΣ ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΑΘΗΝΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΑΘΗΝΩΝ 25/11/2015 Η ΧΡΥΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ 96% του Σύμπαντος

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

Η διαστολή του σύμπαντος

Η διαστολή του σύμπαντος Η διαστολή του σύμπαντος Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Οι γαλαξίες, από την εποχή της ανακάλυψης τους μέχρι σήμερα, αποτέλεσαν και αποτελούν ένα θελκτικό όσο και σημαντικό πεδίο έρευνας,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Εισαγωγικά. Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε.

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Εισαγωγικά. Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 1: Εισαγωγικά Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 2008. Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών.

Εργαστήριο 2008. Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών. Υπολογισμός σταθεράς Hubble Εργαστήριο 2008 Yπολογισμός της ταχύτητα διαστολής του Σύμπαντος, της ηλικίας του καθώς και της απόστασης μερικών κοντινών γαλαξιών. Εισαγωγή Το 1929, ο Edwin Hubble (με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Νόμος της Βαρύτητας επιτάχυνση της βαρύτητας Κίνηση δορυφόρου Νόμοι Keple Το σύμπαν και οι δυνάμεις βαρύτητας Ο λόγος που

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Πανεπιστημίου Μακεδονίας ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ερευνητική εργασία στο πλαίσιο του project Η αναζήτηση της Μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας

Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Η καμπύλωση του χώρου-θεωρία της σχετικότητας Σύμφωνα με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας που διατύπωσε ο Αϊνστάιν, το βαρυτικό πεδίο κάθε μάζας δημιουργεί μια καμπύλωση στον χώρο (μάλιστα στον χωροχρόνο),

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Ερευνητικά ερωτήματα :

Εισαγωγή. Ερευνητικά ερωτήματα : Εισαγωγή Στα πλαίσια της ερευνητικής μου εργασίας στο μάθημα της αστροφυσικής το θέμα που επέλεξα δε θα μπορούσε να ναι άλλο από την έρευνα, τη μελέτη και τη λύση αποριών σε ότι αφορά το σύμπαν. Το σύμπαν

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

mu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός

mu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Μαθηματικό εκκρεμές ονομάζεται μια σημειακή μάζα, η οποία είναι αναρτημένη σε νήμα. Το ίδιο το νήμα δεν έχει δική του μάζα και το οποίο εξάλλου δεν μπορεί να επιμηκυνθεί.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 1 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Αστρονομία τι θα κάνουμε δηλαδή??? Ήλιος, 8 πλανήτες και πάνω από 100 δορυφόροι τους. Το πλανητικό μας σύστημα Οι πλανήτες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Οι µαύρες τρύπες είναι ουράνια σώµατα σαν όλα τα άλλα, όπως οι πλανήτες και ο ήλιος, τα οποία όµως διαφέρουν από αυτά σε µία µικρή αλλά θεµελ

Εισαγωγή Οι µαύρες τρύπες είναι ουράνια σώµατα σαν όλα τα άλλα, όπως οι πλανήτες και ο ήλιος, τα οποία όµως διαφέρουν από αυτά σε µία µικρή αλλά θεµελ ιαθεµατική Εργασία µε Θέµα: Οι Φυσικές Επιστήµες στην Καθηµερινή µας Ζωή Τµήµα: Β 2 Γυµνασίου Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης Συντακτική Οµάδα: Πάνου Μαρία, Πάνου Γεωργία 1 Εισαγωγή Οι µαύρες

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΝΟΜΟΣ TOY HUBBLE ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ

Ο ΝΟΜΟΣ TOY HUBBLE ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ Ο ΝΟΜΟΣ TOY HUBBLE ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΤΟΛΗ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ. Η ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ Κατά την διάρκεια των δεκαετιών του 1920 και 1930 ο αμερικανός αστρονόμος Slipher με τη βοήθεια του φαινομένου Doppler είχε μετρήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΦΩΣ ΩΣ ΑΓΓΕΛΙΟΦΟΡΟΣ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ. Κατερίνα Νικηφοράκη Ακτινοφυσικός (FORTH)

ΤΟ ΦΩΣ ΩΣ ΑΓΓΕΛΙΟΦΟΡΟΣ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ. Κατερίνα Νικηφοράκη Ακτινοφυσικός (FORTH) ΤΟ ΦΩΣ ΩΣ ΑΓΓΕΛΙΟΦΟΡΟΣ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ Κατερίνα Νικηφοράκη Ακτινοφυσικός (FORTH) ΟΙΚΕΙΟ ΦΩΣ Φιλοσοφική προσέγγιση με στοιχεία επιστήμης προσωκρατικοί φιλόσοφοι έχουν σκοπό να κατανοήσουν και όχι να περιγράψουν

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Δύο Συνταρακτικές Ανακαλύψεις

Δύο Συνταρακτικές Ανακαλύψεις Δύο Συνταρακτικές Ανακαλύψεις στα Όρια των Διαστάσεων του Χώρου Απόστολος Δ. Παναγιώτου Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Επιστημονικός Συνεργάτης στο CERN Σώμα Ομοτίμων Καθηγητών Πανεπιστήμιου Αθηνών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθαίνω και εξερευνώ: ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Μαθαίνω και εξερευνώ: ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μαθαίνω και εξερευνώ: ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μαθαίνω και εξερευνώ: ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Περιεχόμενα Τι είναι το Διάστημα;... 2 Το ηλιακό σύστημα... 4 Οι πλανήτες... 6 Ο Ήλιος... 10 Η Σελήνη... 12 Αστέρια και κομήτες... 14

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

19 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2014

19 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικής 2014 Θέµα ο (Ανάπτυξης) 9 ος Πανελλνιος Μαθητικός Διαγωνισμός Αστρονομίας και Διαστημικς 04 Φάση η : «ΙΠΠΑΡΧΟΣ» Ενδεικτικές Λύσεις στα Θέματα Λυκείου Σε διάφορες εποχές ανάπτυξης της Αστρονοµίας διατυπώθηκαν

Διαβάστε περισσότερα

0λ έως. Εξάρτηση. ω και ο. του ω: mx x (1) με λύση. όπου το. ), Im. m ( 0 ( ) (2) Re x / ) ) ( / 0 και Im 20.

0λ έως. Εξάρτηση. ω και ο. του ω: mx x (1) με λύση. όπου το. ), Im. m ( 0 ( ) (2) Re x / ) ) ( / 0 και Im 20. ΚΕΦ. 14.1 : ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Ι ΣΕΛ. 37 έως 5 ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΣ. 4 Ο VIDEO, 9/1/14 λ έως 19:4λ Εξάρτηση ρόλος των συντονισμών της διηλεκτρικής συνάρτησης από τη συχνότητα ω και ο Παρουσιάζεται το γράφημα e(ε) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

θεμελιακά Ερωτήματα Κοσμολογίας & Αστροφυσικής

θεμελιακά Ερωτήματα Κοσμολογίας & Αστροφυσικής θεμελιακά Ερωτήματα Απόστολος Δ. Παναγιώτου Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Επιστημονικός Συνεργάτης στο CERN Σχολή Αστρονομίας και Διαστήματος Βόλος, 5 Απριλίου, 2014 1 BIG BANG 10 24 μ 10-19

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Κουνάβης Αναπληρωτής Καθηγητής Tμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ

Παναγιώτης Κουνάβης Αναπληρωτής Καθηγητής Tμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Παναγιώτης Κουνάβης Αναπληρωτής Καθηγητής Tμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Μηχανική-Θερμοδυναμική Βασικός Ηλεκτρομαγνητισμός 1ο εξάμηνο 4 ώρες/εβδομάδα ΣΥΓΧΡΟΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Νετρίνο το σωματίδιο φάντασμα

Νετρίνο το σωματίδιο φάντασμα Νετρίνο το σωματίδιο φάντασμα Ι. Ρίζος Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Θεωρητικής Φυσικής 2/10/2012 Διαλέξεις υποδοχής πρωτοετών φοιτητών Τμήματος Φυσικής Στοιχειώδη Σωματίδια Κουάρκς Φορείς αλληλεπιδράσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Κ. Γ. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ 1 < > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Επαναλαμβάνουμε την έκπληξή μας για τα τεράστια συμπλέγματα γαλαξιών, τις πιο μακρινές

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις πάνω στη Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας

Σημειώσεις πάνω στη Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Σημειώσεις πάνω στη Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Το 1905 ο Άλμπερτ Αϊνστάιν δημοσίευσε τρεις επιστημονικές εργασίες.

Διαβάστε περισσότερα

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα

Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 1 Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα q Χρησιµοποιήσαµε τις εκφράσεις F() =! GMm που ισχύουν για σηµειακές µάζες Μ και m. 2 και V () =! GMm q Ένα χαρακτηριστικό γεγονός, που κάνει τους υπολογισµούς

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2011 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος.

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2011 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος. Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο A Λυκείου 1 Μαρτίου 011 Στις ερωτήσεις A, B, και Γ, μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής απάντησης.

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Τα ερωτήματα Δύο σώματα έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις με το ένα να είναι βαρύτερο του άλλου. Την ίδια στιγμή τα δύο σώματα αφήνονται ελεύθερα να πέσουν μέσα στον

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΣΕΛΗΝΗΣ Η τροχιά της Σελήνης γύρω από τη Γη δεν είναι κύκλος αλλά έλλειψη. Αυτό σηµαίνει πως η Σελήνη δεν απέχει πάντα το

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΣΕΛΗΝΗΣ Η τροχιά της Σελήνης γύρω από τη Γη δεν είναι κύκλος αλλά έλλειψη. Αυτό σηµαίνει πως η Σελήνη δεν απέχει πάντα το ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΣΕΛΗΝΗΣ Η τροχιά της Σελήνης γύρω από τη Γη δεν είναι κύκλος αλλά έλλειψη. Αυτό σηµαίνει πως η Σελήνη δεν απέχει πάντα το ίδιο από τη Γη. Τα δύο σηµεία που έχουν ενδιαφέρον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΡΑΒΔΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΑΒΔΟΥ Συνοπτική περιγραφή Μελετάμε την κίνηση μιας ράβδου που μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα,

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2011 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος.

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2011 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος. Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο A Λυκείου 1 Μαρτίου 011 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, και Δ μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής απάντησης.

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Ελένη Πετράκου - National Taiwan University ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ Πρόγραμμα επιμόρφωσης ελλήνων εκπαιδευτικών CERN, 7 Νοεμβρίου 2014 You are here! 1929: απομάκρυνση γαλαξιών θεωρία της μεγάλης έκρηξης

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009 Q 40 th International Physics Olympiad, erida, exico, -9 July 009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ-ΣΕΛΗΝΗΣ Οι επιστήμονες μπορούν να προσδιορίσουν την απόσταση Γης-Σελήνης, με μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Κουλακίδου Π. Ιστορία των Μαθηματικών Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Χ. Χαραλάμπους Εισαγωγή David Hilbert (1862 Königsberg - 1943 Göttingen). Διδακτορικό το 1885 υπό την επίβλεψη του Ferdinand von Lindemann με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Εισαγωγή Στην Α Λυκείου είχαμε μελετήσει τη δύναμη προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

βαρυτικά συστήματα αστέρων, γαλαξιακών αερίων, αστρικής σκοτεινής ύλης. Η ετυμολογία της λέξης αναφέρεται στον δικό μας

βαρυτικά συστήματα αστέρων, γαλαξιακών αερίων, αστρικής σκοτεινής ύλης. Η ετυμολογία της λέξης αναφέρεται στον δικό μας Οι γαλαξίες αποτελούν τεράστια βαρυτικά συστήματα αστέρων, γαλαξιακών αερίων, αστρικής σκόνης και (πιθανώς) αόρατης σκοτεινής ύλης. Η ετυμολογία της λέξης προέρχεται από τα ελληνικά και σημαίνει άξονας

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα εργασίας : ALBERT EINSTAIN

Θέμα εργασίας : ALBERT EINSTAIN 2 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ Τάξη Β2 Μάθημα : Πληροφορική Θέμα εργασίας : ALBERT EINSTAIN Μαθητής : Γιάννης Παπαγεωργίου Πειραιάς Απρίλιος 2012 Προσωπικά στοιχεία Γεννήθηκε στις 14 Μαρτίου 1879 Ουλμ, Γερμανία

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble

1 Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble ΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΗΣ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς Ο παράγοντας κλίμακας και ο Νόμος του Hubble Σύμφωνα με την Κοσμολογική Αρχή το Σύμπαν είναι σε μεγάλες κλίμακες ομογενές και ισότροπο.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

A2. Θεωρήστε ότι d << r. Να δώσετε μια προσεγγιστική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του q,d, r και των θεμελιωδών σταθερών.

A2. Θεωρήστε ότι d << r. Να δώσετε μια προσεγγιστική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του q,d, r και των θεμελιωδών σταθερών. Γ Λυκείου 26 Απριλίου 2014 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Κεφάλαιο : Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Το ποδόσφαιρο κατέχει αδιαμφισβήτητα τη θέση του βασιλιά όλων των αθλημάτων. Είναι το μέσο εκείνο που ενώνει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλον τον κόσμο επηρεάζοντας ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Κεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Κεφάλαιο 2 Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Περιγραφή κίνησης σε ευθεία γραμμή όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση. Διαφορά μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΞΩΗΛΙΑΚΩΝ ΠΛΑΝΗΤΩΝ Κ.Ν. ΓΟΥΡΓΟΥΛΙΑΤΟΣ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΞΩΗΛΙΑΚΩΝ ΠΛΑΝΗΤΩΝ Κ.Ν. ΓΟΥΡΓΟΥΛΙΑΤΟΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΞΩΗΛΙΑΚΩΝ ΠΛΑΝΗΤΩΝ Κ.Ν. ΓΟΥΡΓΟΥΛΙΑΤΟΣ ΩΡΙΩΝ, 9/1/2008 Η ΘΕΣΗ ΜΑΣ ΣΤΟ ΣΥΜΠΑΝ Γη, ο τρίτος πλανήτης του Ηλιακού Συστήματος Περιφερόμαστε γύρω από τον Ήλιο, ένα τυπικό αστέρι της κύριας ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

Data Analysis Examination

Data Analysis Examination Data Analysis Examination Page 1 of (D1) Διπλός Πάλσαρ Κάνοντας συστηµατικές έρευνες τις τελευταίες δεκαετίες, οι αστρονόµοι κατάφεραν να εντοπίσουν ένα µεγάλο πλήθος από πάλσαρς µε περίοδο περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΙ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ ΕΙΔΩΛΟ

ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΙ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ ΕΙΔΩΛΟ 1 ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ 1 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΙ ΚΑΘΡΕΦΤΕΣ ΕΙΔΩΛΟ Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η ικανότητα χρήσης καθρέφτη και πηγής laser. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη. 2 Η Διαστολή και η Ηλικία του Σύμπαντος ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ. 2.1 Ο νόμος του Hubble. Διδάσκων: Θεόδωρος Ν.

1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη. 2 Η Διαστολή και η Ηλικία του Σύμπαντος ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ. 2.1 Ο νόμος του Hubble. Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. ΚΟΣΜΟΓΡΑΦΙΑ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς Α. ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ 1 Μονάδες - Τυπικά μεγέθη 1 light year = 0.951 10 16 m 1 AU = 1.50 10 11 m 1 = 4.85 10 6 rad 1pc 1 parsec 1AU/(1 in rad) = 3.1

Διαβάστε περισσότερα

k 3/5 P 3/5 ρ = cp 3/5 (1) dp dr = ρg (2) P 3/5 = cgdz (3) cgz + P0 cg(z h)

k 3/5 P 3/5 ρ = cp 3/5 (1) dp dr = ρg (2) P 3/5 = cgdz (3) cgz + P0 cg(z h) Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 3ο Σετ Ασκήσεων Αστρονομίας Author: Σταμάτης Βρετινάρης Supervisor: Νικόλαος Στεργιούλας Λουκάς Βλάχος December 5, 215 1 Άσκηση Σφαιρικός αστέρας με

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κοσμάς Γαζέας Η γέννηση της Αστροφυσικής Οι αστρονόμοι μελετούν τα ουράνια σώματα βασισμένοι στο φως, που λαμβάνουν από αυτά. Στα πρώτα χρόνια των παρατηρήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6)

Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας το r με r n, έχουμε: Ακτίνες επιτρεπόμενων τροχιών (2.6) Αντικαθιστώντας n=1, βρίσκουμε την τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα n: Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στη 2.6, παίρνουμε: Αν

Διαβάστε περισσότερα

Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ

Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Α. Μια σύντοµη περιγραφή της εργασίας που εκπονήσατε στο πλαίσιο του µαθήµατος της Αστρονοµίας. Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Για να απαντήσεις στις ερωτήσεις που ακολουθούν αρκεί να επιλέξεις την ή τις σωστές

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Όποτε χρησιμοποιείτε το σταυρό ή το κλειδί της εργαλειοθήκης σας για να ξεσφίξετε τα μπουλόνια ενώ αντικαθιστάτε ένα σκασμένο λάστιχο αυτοκινήτου, ολόκληρος ο τροχός αρχίζει να στρέφεται και θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας.

Πρόλογος. 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήµατος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5. ιαµωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός

Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου. Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός Εργαστήριο Φυσικής Λυκείου Επιμέλεια: Κ. Παπαμιχάλης Μελέτη της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης σώματος με χρήση συστήματος φωτοπύλης-χρονομέτρου Περιγραφή - Θεωρητικές προβλέψεις - Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα