Η Επεξεργασία Σήµατος ασχολείται µε την αναπαράσταση, µετασχηµατισµό και ανάλυση σηµάτων καθώς και της πληροφορίας που αυτά περιέχουν.

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ : ΣΗΜΑΤΑ. Εισαγγή... Επεξεργασία Σήµατος Η Επεξεργασία Σήµατος ασχολείται µε την αναπαράσταση, µετασχηµατισµό και ανάλυση σηµάτν καθώς και της πληροφορίας που αυτά περιέχουν. Σήµατα είναι συναρτήσεις, συνήθς του χρόνου ή της θέσης, που µεταφέρουν πληροφορίες για κάποιο φυσικό σύστηµα, ή µε στόχο την επικοιννία ανάµεσα σε ανθρώπους ή ανάµεσα σε ανθρώπους και µηχανές. Σύστηµα είναι µαθηµατικά ένας µετασχηµατισµός ή µια διεργασία η οποία αντιστοιχεί κάποια σήµατα εισόδου σε κάποια σήµατα εξόδου: yttxt, όπου xt σήµα εισόδου, yt σήµα εξόδου.. Συστήµατα Αυτοµατισµού και επεξεργασία σήµατος Η Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος DSP Digital Sigal Procssig εφαρµόζεται στα συστήµατα αυτοµατισµού όπς φαίνεται στο παρακάτ σχήµα. Επεξεργασία αναλογικών σηµάτν εφαρµόζεται σε τηλεπικοιννιακά συστήµατα όπς φαίνεται στο Σχήµα. Cloc wt t S/H... Iput Out... S/H tf,[ ] yt Stimulus Sigal Sampl ad Hold Quatizr DSP DigitalAalog Sampl ad-hold LTI Systm Output Masurmts Σχήµα : ΨΕΣ και Συστήµατα Αυτοµατισµού

2 Ποµπός Επεξεργασία Σήµατος Πηγή Πληροφορίας Μ, Μήνυµα Κδικοποιητής Πηγής Κδικοποιητής ιαύλου ιαµορφτής st, ιαµορφµένο Σήµα Πηγή Θορύβου t, Θόρυβος ίαυλος έκτης Επεξεργασία Σήµατος ztst+t, Παραµορφµένο Σήµα Προορισµός Μ, Εκτιµητής Μηνύµατος Αποκδικοποιητής Πηγής Αποκδικοποιητής ιαύλου Αποδιαµορφτής Σχήµα : Επεξεργασία Σήµατος σε Τηλεπικοιννιακά Συστήµατα. Σήµατα.. Αναλογικά, Ψηφιακά ή άλλα...? Συνεχούς χρόνου, συνεχούς πλάτους: Παράδειγµα η είσοδος στο Σχήµα. Συνεχούς χρόνου, διακριτού πλάτους Παράδειγµα η έξοδος του δικτύου συγκράτησης SH στο Σχήµα ιακριτού χρόνου, συνεχούς πλάτους ιακριτού χρόνου, διακριτού πλάτους: Παράδειγµα η

3 έξοδος του κβαντιστή Quatizr στο Σχήµα... Στοιχειώδη Σήµατα συνεχούς και διακριτού χρόνου α Κρουστική συνάρτηση συνάρτηση του Dirac. Ορίζεται από τις παρακάτ ιδιότητες: i δ t, t ii δ t dt α Μοναδιαία ακολουθία δειγµατοληψίας, δ, δ δ-5 Για κάθε ακολουθία x ισχύει x x δ β Βηµατική συνάρτηση, t < u t, t d u t Ισχύει: δ t dt β Βηµατική ακολουθία, < u, Σχήµα 3: Ακολουθία u+

4 Ισχύει i δu-u-, ii u δ γ Ηµιτονοειδείς συναρτήσεις xtasit+φ Χαρακτηρίζονται από τρία µεγέθη: Πλάτος Α, συχνότητα και φάση φ Σχήµα 4: Ηµιτονοειδείς συναρτήσεις. Με κόκκινο χρώµα 5si t και µε µπλε 3si t+π/4 γ Ηµιτονοειδείς ακολουθίες xasi +φ Ισχύει Asiw +π+φ Asiw +π+φ Asiw +φ Άρα χρήσιµο διάστηµα διακύµανσης της «συχνότητας» w είναι το π < π. < π ή ισοδύναµα το Το σχήµα 5 είναι κατατοπιστικό

5 ή π π/6 ή 3π/ π/8 ή 5π/8 π/4 ή 7π/ π/ ή 3π/ π Σχήµα 5: Ηµιτονοειδείς ακολουθίες για διαφορετικές τιµές της "συχνότητας" Οι ηµιτονοειδείς ακολουθίες δεν είναι πάντοτε περιοδικές σε αντίθεση µε τις ηµιτονοειδείς συναρτήσεις. Η περιοδικότητα εξασφαλίζεται µονό αν ισχύει Νπ όπου Ν,, ακέραιοι. Σε αυτή την περίπτση Ν είναι η περίοδος της ηµιτονοειδούς ακολουθίας. Asiw +N +φ Asiw + w N +φ Asiw +φ όταν Νπ

6 Σχήµα 6: Μη περιοδική ηµιτονοειδής ακολουθία π /6 δ Μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις t x t A Acos t + Asi t Όπς φαίνεται από την παραπάν σχέση οι µιγαδικές εκθετικές ακολουθίες είναι περιοδικές συναρτήσεις. δ Μιγαδικές εκθετικές ακολουθίες x A Acos + Asi Η συνθήκη περιοδικότητας για τις µιγαδικές ακολουθίες είναι όµοια µε αυτήν τν ηµιτονοειδών ακολουθιών.

7 ΜΑΘΗΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγγή Σύστηµα είναι µαθηµατικά ένας µετασχηµατισµός ή µια διεργασία η οποία αντιστοιχεί κάποια σήµατα εισόδου σε κάποια σήµατα εξόδου: yttxt, όπου xt το σήµα εισόδου, yt το σήµα εξόδου Οµοίς ορίζονται τα συστήµατα διακριτού χρόνου ς µετασχηµατισµοί που αντιστοιχίζουν ακολουθίες εισόδου µε ακολουθίες εξόδου. yt[x], όπου x η ακολουθία εισόδου, y η ακολουθία εξόδου Παράδειγµα: Υπολογισµός κινητού µέσου όρου y M + M + M M x Στο επόµενο σχήµα φαίνεται η υλοποίηση του αντέρ συστήµατος για Μ και Μ 64. x z y Buffr Ma Ubuffr x x3 Σχήµα 7: Υλοποίηση του συστήµατος κινητού µέσου όρου σε SIMULINK. Ιδιότητες Συστηµάτν... Συστήµατα χρίς µνήµη Στα συστήµατα χρίς µνήµη η τρέχουσα τιµή της εξόδου εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα τιµή της εισόδου. Το παρακάτ σύστηµα είναι χρίς µνήµη: ya x +a x+a ενώ το επόµενο είναι µε µνήµη, δεδοµένου ότι η τρέχουσα τιµή της εξόδου y εξαρτάται και από την προηγούµενη τιµή της εισόδου x- ya x +a x-+a

8 .. Γραµµικά Συστήµατα Αν y είναι η απόκριση του συστήµατος Τ[ ] στην είσοδο x και y η απόκριση στην είσοδο x τότε το σύστηµα Τ[ ] είναι γραµµικό αν και µόνο αν πληρείται η παρακάτ σχέση: Τ[a x +a x ]a T[x ]+a T[x ]a y +a y. για οποιεσδήποτε σταθερές a και a..3 Χρονικά Αναλλοίτα Συστήµατα Το σύστηµα Τ[ ] είναι χρονικά αναλλοίτο αν µια χρονική µετατόπιση ή καθυστέρηση στην ακολουθία εισόδου προκαλεί αντίστοιχη χρονική µετατόπιση ή καθυστέρηση στην ακολουθία εξόδου. Εποµένς αν yt[x] και x x-, τότε το σύστηµα είναι χρονικά αναλλοίτο αν και µόνο αν y T[x ]T[x- ]y-. για κάθε x x log y z -4 y -4 IputSigal T[:] Dlay Scop z -4 x-4 log T[x-4] Dlay T[;] Σχήµα 8: Έλεγχος ΧΑ συστήµατος µέσ του SIMULINK T[ ]log [ ], 4..4 Αιτιατά Συστήµατα Το σύστηµα Τ[ ] είναι αιτιατό αν η τρέχουσα τιµή της εξόδου δεν εξαρτάται από µελλοντικές τιµές της εισόδου. Το παρακάτ σύστηµα είναι αιτιατό: ya x +a x-+a ενώ το επόµενο είναι µη αιτιατό, δεδοµένου ότι η τρέχουσα τιµή της εξόδου y εξαρτάται από µελλοντικές τιµές της εισόδου x+ ya x ++a x+a..5 Ευσταθή Συστήµατα Το σύστηµα Τ[ ] είναι ευσταθές κατά BIBO boudd iput boudd output, πεπερασµένη είσοδος πεπερασµένη έξοδος αν η απόκριση σε κάθε πεπερασµένη είσοδο είναι επίσης πεπερασµένη. T[ x ] y By <,.3α εφόσον ισχύει x Bx <,.3β

9 .3 Γραµµικά Χρονικά Αναλλοίτα ΓΧΑ Συστήµατα Τα γραµµικά χρονικά αναλλοίτα συστήµατα LTI Liar Tim Ivariat είναι µια κατηγορία συστηµάτν για τα οποία υπάρχουν συµπαγείς µαθηµατικές αναπαραστάσεις. Παρόλο που τα περισσότερα φυσικά συστήµατα δεν είναι ούτε γραµµικά και κυρίς χρονικά µεταβαλλόµενα πολλά από αυτά µπορούν να προσεγγιστούν ικανοποιητικά από ΓΧΑ σε ένα πεπερασµένο χρονικό παράθυρο..3.. Αναπαράσταση ΓΧΑ συστηµάτν µέσ της κρουστικής απόκρισης Κρουστική απόκριση h του συστήµατος Τ[ ] είναι απόκριση του µε είσοδο την µοναδιαία ακολουθία δειγµατοληψίας ή κρουστική ώθηση δ: ht[δ].4 Είναι γνστό ότι κάθε ακολουθία x µπορεί να γραφεί x x δ, εποµένς, y T[ x ] T x δ.5 Εφόσον το σύστηµα είναι γραµµικό ισχύει: y T x δ x T[ δ ].6 αλλά T[δ-]h- διότι το σύστηµα Τ[ ] είναι χρονικά αναλλοίτο. Εποµένς: y x h.7 Η σχέση.7 ονοµάζεται συνελικτικό άθροισµα και εκφράζει την συνέλιξη τν σηµάτν x h η οποία συµβολίζεται ς x h. Από τη σχέση.7 προκύπτει ότι η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήµατος υπολογίζεται εάν γνρίζουµε την κρουστική του απόκριση h και φυσικά την είσοδο µέσ της σχέσης yx h. Εποµένς η κρουστική απόκριση περιγράφει πλήρς ένα ΓΧΑ..3. Ιδιότητες ΓΧΑ συστηµάτν εδοµένου ότι κάθε ΓΧΑ σύστηµα περιγράφεται από το συνελικτικό άθροισµα της σχέση.7 οι ιδιότητες του καθορίζονται από τις ιδιότητες του συνελικτικού αθροίσµατος: a x hh x b x h + h x h + x h c x h h x h h x h h Επίσης ένα ΓΧΑ µε κρουστική απόκριση h είναι: d Ευσταθές κατά ΒΙΒΟ αν και µόνο αν Αιτιατό αν και µόνο αν h, για κάθε < h <

10 f FIR Fiit duratio Impuls Rspos αν h, - < M M < δηλαδή η ακολουθία h έχει µόνο πεπερασµένο αριθµό µη µηδενικών δειγµάτν. Στην αντίθετη περίπτση δηλαδή αν η h έχει άπειρο αριθµό µη µηδενικών δειγµάτν τότε το σύστηµα είναι IIR Ifiit duratio Impuls Rspos Αναπαράσταση ΓΧΑ συστηµάτν µέσ Γραµµικών Εξισώσεν ιαφορών µε σταθερούς συντελεστές Μια υποκατηγορία ΓΧΑ συστηµάτν µπορεί να αναπαρασταθεί µε εξισώσεις διαφορών µε σταθερούς συντελεστές: N M a y b x m.8 m m Παρόλα αυτά η σχέση.8 δεν εξασφαλίζει τη γραµµικότητα και το χρονικά αναλλοίτο. Ένα γραµµικό σύστηµα πρέπει να δίνει µηδενική απόκριση συνεχώς όταν δέχεται µηδενική είσοδο συνεχώς.

11 ΜΑΘΗΜΑ 3: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ 3. Απόκριση Συχνότητας ΓΧΑ Συστηµάτν Γνρίζουµε ότι για ένα ΓΧΑ σύστηµα µε είσοδο x και κρουστική απόκριση h, η έξοδος υπολογίζεται από τη σχέση: κ h x h x y 3. Έστ x τότε κ κ κ κ κ h h h x h h x y όποτε H y 3. όπου κ h H 3.3 H ονοµάζεται απόκριση συχνότητας του συστήµατος και αντιστοιχεί όπς θα δούµε στη συνέχεια στον µετασχηµατισµό Fourir της ακολουθίας h κρουστική απόκριση. Η συνάρτηση H είναι περιοδική συνάρτηση του µε περίοδο π: π π H H H +. Η συνάρτηση H είναι µια µιγαδική συνάρτηση εποµένς µπορεί να γραφεί I R H H H H Φ όπου R H, H Ι, H και Φ το πραγµατικό, φανταστικό, µέτρο και φάση της συνάρτησης H αντίστοιχα. Παράδειγµα 3.: Να βρεθεί η απόκριση ενός ΓΧΑ συστήµατος σε ηµιτονοειδείς διεγέρσεις της µορφής xαcos +φ. Λύση Ως γνστό ένα συνηµίτονο µπορεί να γραφεί ς άθροισµα µιγαδικών εκθετικών συναρτήσεν: A x cos φ φ φ φ φ + + Α + Α Α + Α + οπότε η απόκριση y, σύµφνα µε τη σχέση 3. θα δίνεται από τη σχέση [ ] H H y φ φ + Α 3.5

12 αν h είναι µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών τότε H H * και η σχέση 3.5 γίνεται Φ φ Φ φ [ + ] A H cos + φ + Φ Α y H 3.6 Εφαρµογή Άσκηση.33 /Βιβλίο Opphim Είναι όπς στο παράδειγµα µε Α, φπ/4, 3π/. Άρα 3π 3π π 3π 3π π π 3π π y A H cos + + Φ Acos + + Acos π αφού H και Φ3π/π/3 όπς φαίνεται από το Σχήµα P Αναπαράσταση ακολουθιών µε τον µετασχηµατισµό Fourir Από το παράδειγµα 3. προκύπτει ότι θα ήταν χρήσιµο σε πολλές περιπτώσεις να µπορούµε να εκφράσουµε µια ακολουθία x ς άθροισµα µιγαδικών εκθετικών συναρτήσεν γιατί µπορεί µε αυτό τον τρόπο να υπολογίζεται εύκολα η απόκριση ΓΧΑ συστηµάτν µε βάση τη σχέση 3.. Αποδεικνύεται ότι πολλές ακολουθίες συγκεκριµένα για όσες ισχύει x < µπορούν να εκφρασθούν ς άθροισµα µιγαδικών εκθετικών συναρτήσεν µε βάση τις σχέσεις , οι οποίες αποτελούν το ζεύγος µετασχηµατισµού Fourir διακριτών σηµάτν: X x ευθύς µετασχηµατισµός Fourir της ακολουθίας x 3.7 π x X d π αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourir 3.8 π Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση X είναι µια συνεχής συνάρτηση του σε αντίθεση µε την αρχική ακολουθία h που είναι µια συνάρτηση διακριτής µεταβλητής. Εποµένς µε τον µετασχηµατισµό αυτό περνούµε σε ένα σήµα συνεχούς µεταβλητής. Η εναλλαγή: Σήµα διακριτής µεταβλητής Σήµα συνεχούς µεταβλητής Η συνάρτηση X είναι µια µιγαδική συνάρτηση εποµένς µπορεί να γραφεί X Θ X + X X 3.9 R I όπου Χ, Χ, Χ και Θ το πραγµατικό, φανταστικό, µέτρο και φάση της R Ι συνάρτησης Χ αντίστοιχα. Η κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήµατος προκύπτει από τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourir της απόκρισης συχνότητας, π h H d π 3. π

13 Στις περισσότερες περιπτώσεις ο υπολογισµός του µετασχηµατισµού Fourir ευθύ και αντί-στροφου γίνεται ευκολότερα χρησιµοποιώντας κάποια γνστά ζεύγη, τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourir και κάποια βασικά θερήµατα. Για το σκοπό αυτό ορίζουµε τους παρακάτ συµβολισµούς: X I x, µε τον οποίο συµβολίζουµε τον µετασχηµατισµό Fourir της ακολουθίας x x I X, µε τον οποίο συµβολίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourir I x X, µε τον οποίο συµβολίζουµε ένα ζεύγος του µετασχηµατισµού Fourir 3.3 Μορφές Μετασχηµατισµών Fourir Σε προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε τον ορισµό της απόκρισης συχνότητας ενός ΓΧΑ-συστήµατος. Ελέχθη ότι ο µετασχηµατισµός κ H h 3. που ορίζεται από την 3. ονοµάζεται µετασχηµατισµός Fourir της ακολουθίας h. Παρατηρούµε ότι πρόκειται για µια συνεχή συνάρτηση του σε αντίθεση µε την αρχική ακολουθία h που είναι µια συνάρτηση διακριτής µεταβλητής. Εποµένς µε τον µετασχηµατισµό αυτό περνούµε σε ένα σήµα συνεχούς µεταβλητής. Η εναλλαγή: Σήµα διακριτής µεταβλητής Σήµα συνεχούς µεταβλητής έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και σχετίζεται µε την περιοδικότητα τν σηµάτν. Για να γίνει αυτό θα προσπαθήσουµε να δούµε το µετασχηµατισµό Fourir συνολικά αρχίζοντας από τα σήµατα συνεχούς χρόνου. Αυτό γίνεται για λόγους βαθύτερης κατανόησης του τι συµβαίνει στα σήµατα διακριτού χρόνου που είναι το βασικό αντικείµενο του µαθήµατος. Ορίζουµε στη συνέχεια ένα αριθµό µεγεθών που θα µας βοηθήσουν στην ανάλυση που θα ακολουθήσει. Τα µεγέθη αυτά δίνονται στον παρακάτ Πίνακα: t Ω T s Φ s Τ Ω s N Συνεχής χρόνος Συνεχής συχνότητα κυκλική συχνότητα, ΩπF Χρονική απόσταση µεταξύ δειγµάτν σήµατος διακριτού χρόνου Απόσταση µεταξύ αρµονικών στο χώρο της συχνότητας όταν υπάρχει διακριτή υφή Περίοδος ενός σήµατος όταν είναι περιοδικό στο χρόνο Κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας χρονικού σήµατος Αριθµός δειγµάτν που αντιστοιχεί σε µια χρονική περίοδο Τ Σχετική «ιακριτή» κυκλική συχνότητα Με βάση τα προηγούµενα θα ισχύουν εποµένς οι εξής σχέσεις: πf, Ω πf, TNT s, Ω πf, ΩΤ s Θα διακρίνουµε στην συνέχεια τέσσερις περιπτώσεις που θα εξετασθούν πιο συγκεκριµένα: Συνεχής χρόνος Συνεχής συχνότητα Συνεχής χρόνος ιακριτή συχνότητα

14 ιακριτός χρόνος Συνεχής συχνότητα ιακριτός χρόνος ιακριτή συχνότητα 3.3. Συνεχής Χρόνος και Συνεχής Συχνότητα: Το πέρασµα από το χώρο του χρόνου στο χώρο της συχνότητας και αντίστροφα γίνεται µε το ζευγάρι τν σχέσεν t X x t dt 3. t x t X d 3.3 Τα Σχήµατα και δίνουν µια σχηµατική παράσταση του περάσµατος από τον ένα χώρο στον άλλο στην περίπτση αυτή. Πρόκειται για ένα απεριοδικό σήµα xt συνάρτηση δειγµατοληψίας το οποίο έχει συνεχή µετασχηµατισµό Fourir που αντιστοιχεί σε ένα low pass φίλτρο Σχήµα 9: Το σήµα xtsit/t στο πεδίο του χρόνου

15 Σχήµα : Ο µετασχηµατισµός Fourir του σήµατος xt ο οριζόντιος άξονας απεικονίζει την κυκλική συχνότητα 3.3. Συνεχής Χρόνος και ιακριτή Συχνότητα Πρόκειται για τη γνστή έννοια τν σειρών Fourir. Στην περίπτση περιοδικής συνάρτησης συνεχούς χρόνου µε περίοδο Τ το ζευγάρι µετασχηµατισµού είναι λίγο διαφορετικό από το προηγούµενο: mω t X mω s x t s dt T 3.4 T m mωst x t X mω 3.5 s Το γεγονός ότι το σήµα συνεχούς χρόνου είναι τώρα περιοδικό έχει σαν αποτέλεσµα ο µετασχηµατισµός Fourir να εξαναγκάζεται να γίνει ένα σήµα «διακριτής συχνότητας». Στα Σχήµατα 3 και 4 φαίνεται το περιοδικό σήµα xt3cost-cos3t+cos7t και το αντίστοιχο φάσµα του µετασχηµατισµού Fourir Σχήµα : Tο περιοδικό σήµα xt3cost-cos3t+cos7t στο πεδίο του χρόνου

16 Σχήµα : Ο µετασχηµατισµός Fourir του σήµατος xt ο οριζόντιος άξονας απεικονίζει την κυκλική συχνότητα Επιγραµµατικά µπορούµε να πούµε ότι µία περιοδική συνάρτηση συνεχούς χρόνου οδηγεί σε µία απεριοδική συνάρτηση διακριτής συχνότητας. Σε επόµενα µαθήµατα θα έχουµε την ευκαιρία να δούµε και τον ιακριτό Μετασχηµατισµό Fourir DFT Discrt Fourir Trasform ο οποίος έδσε τη δυνατότητα πραγµατοποίησης στον Η/Υ κάθε είδους φασµατικών υπολογισµών. 3.4 Ζεύγη Μετασχηµατισµού Fourir Ακολουθία Μετασχηµατισµός Fourir δ δ- < < πδ + πκ a u a < a u + a u a < + πδ + πκ a r si p + u si p si c π r < r cos + r X p, c, c < π

17 M x, M, othrwis M + si si πδ + πκ φ φ cos +φ π δ + πκ + π δ + + Πίνακας : Ζεύγη Μετασχηµατισµών Fourir 3.4. Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Fourir πκ Έστ X I x, ο µετασχηµατισµός Fourir της ακολουθίας x ο οποίος µπορεί να γραφεί: X X R + X I X Θ Ισχύουν οι παρακάτ ιδιότητες: α X X * Ο µετασχηµατισµός Fourir είναι συζυγοσυµµετρικός cougat symmtric b αν x ακολουθία πραγµατικών αριθµών τότε R X X το πραγµατικό µέρος του µετασχηµατισµού Fourir είναι άρτια R συνάρτηση της συχνότητας I X X το φανταστικό µέρος του µετασχηµατισµού Fourir είναι περιττή I συνάρτηση της συχνότητας X X το µέτρο του µετασχηµατισµού Fourir είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας Θ -Θ- η φάση του µετασχηµατισµού Fourir είναι περιττή συνάρτηση της συχνότητας 3.5 Θερήµατα του Μετασχηµατισµού Fourir Ακολουθία x, y Μετασχηµατισµός Fourir X, Y Γραµµικότητα ax+by A X +b Y Χρονική µετάθεση x- X Μετάθεση συχνότητας x ιαµόρφση cos X x + X + X Συµµετρία µεταξύ τν χώρν ορισµού Παραγώγιση στο χώρο της συχνότητας x- Nx X και X * αν x ακολουθία πραγµατικών αριθµών X d

18 Συνέλιξη x y X Y π θ θ Γινόµενο x y X Y dθ Περιοδική Συνέλιξη π π Θεώρηµα Parsval x π π π X d Πίνακας : Θερήµατα του Μετασχηµατισµού Fourir Η συνάρτηση X ονοµάζεται Φάσµα Ενεργειακής Πυκνότητας της ακολουθίας x και απεικονίζει πς η ενέργεια του διακριτού σήµατος x κατανέµεται στις διάφορες συχνότητες Σχήµα 3: Το σήµα x u 8

19 Σχήµα 4: Το µέτρο του µετασχηµατισµού Fourir της ακολουθίας x H Σχήµα 5: Η φάση του µετασχηµατισµού Fourir της ακολουθίας x

20 3.5. Γινόµενο ακολουθιών και µετασχηµατισµός το φαινόµενο του παραθύρου Σχήµα 6: Το µέτρο του µετασχηµατισµού Fourir της ακολουθίας, M h µε Μ64, othrwis Σχήµα 7: Το µέτρο του µετασχηµατισµού Fourir της ακολουθίας x u 8

21 Σχήµα 8: Η φάση του µετασχηµατισµού Fourir της ακολουθίας x u Σχήµα 9 Το µέτρο του µετασχηµατισµού Fourir της ακολουθίας yxh

22 Σχήµα : Η φάση του µετασχηµατισµού Fourir της ακολουθίας yxh

23 ΜΑΘΗΜΑ 4: ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ 4. Εισαγγή Σήµατα διακριτού χρόνου προκύπτουν σε πολλές περιπτώσεις από δειγµατοληψία σηµάτν συνεχούς χρόνου. Ένα πολύ σηµαντικό γεγονός είναι ότι κάτ από κάποιες προϋποθέσεις τα σήµατα συνεχούς χρόνου µπορούν να ανακατασκευαστούν από τα δείγµατα τους. 4.. Περιοδική δειγµατοληψία Στην περιοδική δειγµατοληψία λαµβάνονται δείγµατα του σήµατος συνεχούς χρόνου ανά σταθερή χρονική περίοδο. Εποµένς το σήµα διακριτού χρόνου x και το σήµα συνεχούς χρόνου x c t σχετίζονται µέσ της παρακάτ ισότητας: x x T, < < 4. c όπου Τ ονοµάζεται περίοδος δειγµατοληψίας και είναι σταθερή ς προς το χρόνο. F S T Ω S πfs F S, Ω S ονοµάζονται συχνότητα δειγµατοληψίας δείγµατα/sc και κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας radias/sc. x c t C/D Cotius to Discrt xx c T T Σχήµα : Ιδεώδης ειγµατολήπτης 4. ειγµατοληψία Θεώρηµα Nyquist Έστ η ακολουθία κρουστικών συναρτήσεν παλµών impuls trai η οποία είναι ένα σήµα συνεχούς χρόνου δεδοµένου ότι ορίζεται για κάθε t παρότι έχει µη µηδενικές τιµές για τιµές του t οι οποίες είναι ακέραια πολλαπλάσια του Τ : s t δ t T 4. Η διαδικασία της δειγµατοληψίας µπορεί να µοντελοποιηθεί µε βάση το παρακάτ σχήµα: C/D Covrtr st x c t X x s t Covrsio from impuls trai to discrt tim squc xx c T Σχήµα : ειγµατοληψία µε χρήση της ακολουθίας κρουστικών συναρτήσεν

24 Το δειγµατοληπτηµένο σήµα συνεχούς χρόνου x s t προκύπτει ς το γινόµενο του αρχικού σήµατος µε την ακολουθία κρουστικών συναρτήσεν: x t x t s t x t δ t T x T δ t T 4.3 s c c c Το διακριτό σήµα x προκύπτει αποθηκεύοντας µόνο τις τιµές x c T όπς στη σχέση 4.. Το επόµενο σχήµα επιδεικνύει τα διάφορα σήµατα που εµπλέκονται στη διαδικασία της δειγµατοληψίας α β γ δ Σχήµα 3: α Το αρχικό σήµα, β η ακολουθία κρουστικών συναρτήσεν, γ το δειγµατοληπτηµένο συνεχούς χρόνου σήµα, δ το αρχικό και το δειγµατοληπτηµένο σήµα Τα σήµατα st και x c t είναι σήµατα συνεχούς χρόνου και έχουν µετασχηµατισµούς Fourir συνεχούς χρόνου: π S Ω δ Ω ΩS, και X c Ω 4.4 T Όπς φαίνεται από τη σχέση 4.4 ο µετασχηµατισµός Fourir της ακολουθίας κρουστικών συναρτήσεν είναι µια ακολουθία κρουστικών συναρτήσεν στο χώρο της συχνότητας Ω. Ο συνεχής µετασχηµατισµός Fourir του γινοµένου δύο συναρτήσεν συνεχούς χρόνου δίνεται από τη συνέλιξη τν µετασχηµατισµών Fourir τους:

25 X s Ω X c Ω S Ω X c Ω Ω S π T 4.5 Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourir του δειγµατοληπτηµένου σήµατος x s t συνεχούς χρόνου, είναι περιοδικά µε περίοδο Ω S επαναλαµβανόµενα αντίτυπα του µετασχηµατισµού Fourir του αρχικού σήµατος x c t, όπς φαίνεται στο επόµενο Σχήµα. Αν Σχήµα 4: Το αποτέλεσµα της δειγµατοληψίας στο χώρο της συχνότητας a το σήµα x c t έχει πεπερασµένο εύρος συχνοτήτν εύρος ζώνης δηλαδή X c Ω για Ω Ω N και, b η κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ικανοποιεί τη σχέση Ω S Ω N, Ω Ω Ω ισοδύναµα τότε το αρχικό σήµα xt µπορεί να ανακατασκευαστεί από το δειγµατοληπτηµένο µέσ της χρήσης ενός ιδεατού βαθυπερατού φίλτρου µε απόκριση συχνότητας που δίνεται από τη σχέση βλέπε Σχήµα 5: Τ, Ω Ωc H Ω 4.6, Ω > Ωc όπου η συχνότητα αποκοπής δίνεται από τη σχέση Ω Ω Ω Ω 4.7 N c S N Τα παραπάν συνοψίζονται στο θεώρηµα δειγµατοληψίας του Nyquist: Έστ το σήµα x c t µε πεπερασµένο εύρος ζώνης, δηλαδή X c Ω για Ω Ω N, τότε το x c t µπορεί να υπολογιστεί από τα δείγµατα του xx c T, ακέραιος, < < εφόσον η κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ικανοποιεί τη σχέση S N N

26 π Ω S Ω T N 4.8 Σχήµα 5: Ανακατασκευή του αρχικού σήµατος από το δειγµατοληπτηµένο µε χρήση ιδεατού βαθυπερατού φίλτρου. Αποδεικνύεται ότι ο µετασχηµατισµός Fourir Χ του διακριτού σήµατος x σχετίζεται µε τον µετασχηµατισµό Fourir του δειγµατοληπτηµένου σήµατος x s t µέσ της σχέσης: s ΩT X Ω X οπότε π X X c T T T Ανακατασκευή σηµάτν πεπερασµένου εύρους από τα δείγµατα τους Είδαµε στην προηγούµενη παράγραφο πς ανακατασκευάζεται το σήµα συνεχούς χρόνου µέσ του δειγµατοληπτηµένου σήµατος x s t µε χρήση βαθυπερατού φίλτρου. Το σήµα x s t προκύπτει από το διακριτό σήµα x µετά από «πολλαπλασιασµό» µε την ακολουθία κρουστικών συναρτήσεν st: x t x δ t T 4. s Σηµείση: εδοµένου ότι το st είναι συνεχές σήµα και το x είναι διακριτό το αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού στις χρονικές περιόδους όπου το x δεν ορίζεται θερείται µηδενικό στην πράξη το σήµα x s t δηµιουργείται από το σήµα x µέσ ενός δικτύου συγκράτησης. Το βαθυπερατό φίλτρο που χρησιµοποιείται βλέπε Σχήµα 6α για την ανακατασκευή του αρχικού σήµατος συνεχούς χρόνου έχει κρουστική απόκριση που δίνεται από τη σχέση:

27 π si t h t T r 4. π t T η οποία αντιστοιχεί σε µη αιτιατό σύστηµα το οποίο είναι µη πραγµατοποιήσιµο στην πράξη. Το µπλοκ διάγραµµα ενός ιδεατού D/C Discrt to Cotius µετατροπέα φαίνεται στο Σχήµα 6β. α β Σχήµα 6: Ιδεατός D/C µετατροπέας 4.4 Ψηφιακή επεξεργασία Σηµάτν Συνεχούς Χρόνου Πολλές φορές η επεξεργασία συνεχών σηµάτν µέσ τν δειγµάτν τους είναι ευκολότερη, πιο αποτελεσµατική και περισσότερο οικονοµική. Το Σχήµα 7 δίνει µια διάταξη που χρησιµοποιείται για το σκοπό αυτό. Το συνολικό σύστηµα είναι ισοδύναµο ενός συστήµατος συνεχούς χρόνου δεδοµένου ότι µετασχηµατίζει ένα σήµα συνεχούς χρόνου x c t σε ένα άλλο σήµα συνεχούς χρόνου y r t. Σχήµα 7: Ψηφιακή επεξεργασία σηµάτν συνεχούς χρόνου

28 Για τον υπολογισµό της απόκρισης του συνολικού συστήµατος χρησιµοποιείται ο µετασχηµατισµός Fourir και συγκεκριµένα οι σχέσεις: π X X c T T T ΩΤ π ΩΤ TY, Ω Yr Ω H r Ω Y T, αλλού σε συνδυασµό µε το διακριτό σύστηµα. Αν το διακριτό σύστηµα είναι ΓΧΑ, τότε περιγράφεται από την απόκριση συχνότητας του H. Στην περίπτση αυτή ισχύει η σχέση Y H X Αν το σήµα x c t έχει πεπερασµένο εύρος ζώνης και η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι σύµφνη µε το θεώρηµα Nyquist τότε το συνολικό σύστηµα θα περιγράφεται από τη σχέση: Yr Ω H ff Ω X c Ω 4.4 όπου H ff ΩΤ π H, Ω < Ω T 4.5 π, Ω T

29 ΜΑΘΗΜΑ 5: Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ 5. Εισαγγή Ο µετασχηµατισµός Ζ για τα σήµατα διακριτού χρόνου είναι το αντίστοιχο του µετασχηµατισµού Laplac για σήµατα συνεχούς χρόνου. Χρησιµοποιείται για την περιγραφή συστηµάτν διακριτού χρόνου, και δίνει σαφή εικόνα για το αιτιατό και την ευστάθεια τους. Όπς προκύπτει από την ανάλυση που δίνεται στη συνέχεια ο µετασχηµατισµός Fourir ο οποίος χρησιµοποιείται για την ανάλυση συστηµάτν στο χώρο της συχνότητας είναι µια ειδική περίπτση του µετασχηµατισµού Ζ. 5. Ο Μετασχηµατισµός Ζ Ως γνστό ο µετασχηµατισµός Fourir ενός σήµατος διακριτού χρόνου δίνεται από της σχέση: X x 5. Ο µετασχηµατισµός Ζ δίνεται από τη σχέση: X z x z 5. και συµβολίζεται X z Z x. Η µεταβλητή z είναι µιγαδικός αριθµός, δηλαδή zr, οπότε η σχέση 5. γράφεται: X r x r x r 5.3 Προφανώς για r, ο µετασχηµατισµός Ζ καταλήγει στον µετασχηµατισµό Fourir Imagiary Part Ral Part

30 Σχήµα 8: Ο µοναδιαίος κύκλος στο µιγαδικό επίπεδο 5.3 Σύγκλιση του Μετασχηµατισµού Ζ Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού Ζ ROC-Rgio Of Covrgc ορίζεται από τη σχέση x z < 5.4 Πολλές φορές ο µετασχηµατισµός Ζ ενός διακριτού σήµατος x εκφράζεται ς πηλίκο δύο πολυνύµν: P z X z 5.5 Q z Οι ρίζες του πολυνύµου Pz αποτελούν τα µηδενικά της συνάρτησης Χz ενώ οι ρίζες του πολυνύµου Qz αποτελούν τους πόλους της συνάρτησης Χz. Το διάγραµµα πόλν και µηδενικών της συνάρτησης Χz δίνει πληροφορίες για το αιτιατό του σήµατος x, την ευστάθεια, και την περιοχή σύγκλισης. Οι παρακάτ ιδιότητες του µετασχηµατισµού Ζ εξηγούν τα παραπάν Imagiary Part Ral Part Σχήµα 9: ιάγραµµα πόλν µηδενικών 5.4 Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Ζ Ιδιότητα : Η περιοχή σύγκλισης οποιουδήποτε µετασχηµατισµού Ζ είναι είτε ένας δακτύλιος είτε ένας δίσκος στο µιγαδικό επίπεδο µε κέντρο την αρχή τν αξόνν r Ιδιότητα : Ο µετασχηµατισµός Fourir του διακριτού σήµατος x υπάρχει εφόσον η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χz περιέχει τον µοναδιαίο κύκλο. R < z < r L

31 Ιδιότητα 3: Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χz δεν µπορεί να περιέχει πόλους. Ιδιότητα 4: Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης Χz είναι συνεχής δεν αποτελείται από µη συνδεδεµένα τµήµατα. Ιδιότητα 5: Η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού Ζ ενός πεπερασµένης διάρκειας σήµατος είναι όλο το µιγαδικό επίπεδο µε εξαίρεση είτε την αρχή τν αξόνν όταν το σήµα x είναι µη µηδενικό για κάποιες τιµές του > είτε το άπειρο όταν το σήµα x είναι µη µηδενικό για κάποιες τιµές του <. Ιδιότητα 6: Ένα διακριτό σύστηµα µε κρουστική απόκριση h είναι ευσταθές κατά ΒΙΒΟ αν η περιοχή σύγκλισης του αντίστοιχου µετασχηµατισµού Z Hzπεριέχει τον µοναδιαίο κύκλο. Ιδιότητα 7: Ένα διακριτό σύστηµα µε κρουστική απόκριση h είναι αιτιατό h για < αν η περιοχή σύγκλισης του µετασχηµατισµού Z Hz εκτείνεται από τον κύκλο που αντιστοιχεί στο µέτρο του µεγαλύτερου πόλου αυτού µε το µεγαλύτερο µέτρο ές το άπειρο, δηλαδή ROC: z > r R. 5.5 Ζεύγη Μετασχηµατισµού Ζ Ακολουθία Μετασχηµατισµός Fourir ROC δ Όλο το µιγαδικό επίπεδο δ- z Όλο το µιγαδικό επίπεδο µε εξαίρεση το z αν > και z αν < u z z > -u-- z z < a u az - u a az z > a z < a Πίνακας 3: Ζεύγη Μετασχηµατισµών Ζ