Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Transcript

1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Σεραφείµ Καραµπογιάς Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί στην τυχαία µεταβλητή ( ω ω Τααποτελέσµαταενόςπειράµατοςτύχηςορίζουνµιατυχαίαµεταβλητή (rndom vrile. Συνεχείς - ιακριτές τυχαίες µεταβλητές

2 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (cumultive distriution unction (CDF µίας τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως F ( ω Ω : ( ( P ω F ( F ( F ( N P ( u ( -

3 Ιδιότητες της Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής ( F Η F (είναιµηφθίνουσα Σεραφείµ Καραµπογιάς F ( df ( df P [ d ] ( < + + d lim ( F και lim ( + F F ( F ( αν < P ( < F F ( ( -3

4 F ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ( d F ( ( d F ( Σεραφείµ Καραµπογιάς Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (proility density unction (PDF µίας τυχαίας µεταβλητής ορίζεταιωςηπαράγωγοςτης F (, δηλαδή, ( ( N ( P ( δ ( -4

5 Για διακριτές τυχαίες µεταβλητές, συνηθίζεται να ορίζουµε τη συνάρτηση πιθανότητας µάζας (proility mss unction (PMF, η οποία ορίζεται ως. όπου { p i }.. p P i ( i Προφανώςγιακάθε iισχύει p i και i pi -5

6 Ιδιότητες της Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας F ( ( γιακάθε F df ( ( P + d ( ( P( d F ( d ( d dp( [ < ] F F ( ( + F P ( ( d (ξ dξ ( < df ( ( d ( d [ < + d] P dp( + d dp ( ( d Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας -6

7 Συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Σεραφείµ Καραµπογιάς Μίασυνάρτησηµίαςτυχαίαςµεταβλητής, έστω Yg(,είναιεπίσηςµίατυχαίαµεταβλητή. Για την οποία η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είναι F Y Y ( ω Ω : g ( ( y ( y P ω g ( ( ( y Y Y Στην ειδική περίπτωση για την οποία, για κάθε y, η εξίσωση g( y έχει αριθµήσιµο σύνολολύσεων { i } και, γιαόλεςαυτέςτιςλύσειςυπάρχειηπαράγωγος g'( i καιείναιµη µηδενική τότε Y ( y ( g ( i i i -7

8 Παράµετροι κατανοµής τυχαίας µεταβλητής Σεραφείµ Καραµπογιάς Η κατανοµή πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής, όπως έχουµε ήδη αναφέρει, δύναται να εκφραστεί είτε από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είτε από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Στησυνέχειαθαπεριγραφούνοιβασικέςπαράµετροιτηςκατανοµήςµιαςτυχαίαςµεταβλητής. Οι βασικές αυτές παράµετροι της κατανοµής δίδουν µία περιληπτική περιγραφή της πιθανοθεωρητικής συµπεριφοράς µιας τυχαίας µεταβλητής. -8

9 Στατιστικοί Μέσοι Όροι Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα ή απλά µέση τιµή, µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως E [ ] i P( i i όπου p i P( i είναι η συνάρτηση πιθανότητα µάζας της διακριτής τυχαίας µεταβλητής. Ηµέσητιµήσυνήθωςδηλώνεταιµε m ή. Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα ή απλά µέση τιµή, µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως E[ ] ( d όπου ( είναιησυνάρτησηπυκνότηταςπιθανότητας. Ηµέσητιµήσυνήθωςδηλώνεται µε m ή. -9

10 Μέση τιµή συνάρτησης τυχαίας µεταβλητής Ας θεωρήσουµε τη τυχαία µεταβλητή Y οι τιµές της οποίας ορίζονται από την πραγµατική συνάρτηση y g(, όπου είναιοιτιµέςµιαςτυχαίαςµεταβλητής. Η µέση τιµή της διακριτής τυχαίας µεταβλητής Y g( δίνεται από τη Σεραφείµ Καραµπογιάς E( Y E [ ] g ( g( P( Η µέση τιµή της συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Y g( δίνεται από τη [ g ( ] E( Y E g ( ( d -

11 ιασπορά και Τυπική Απόκλιση Σεραφείµ Καραµπογιάς Η ύπαρξη κατανοµών οι οποίες έχουν την ίδια µέση τιµή και των οποίων οι τιµές είναι περισσότερο ή λιγότερο διασπαρµένες και αποµακρυσµένες από αυτήν καθιστά αναγκαία την εισαγωγή της διακύµανσης η οποία είναι ένα µέτρο του βαθµού συγκέντρωσης ή του βαθµού µεταβολής της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής. Η διακύµανση (vrince ή η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι η µέση τιµή του τετραγώνουτηςαπόκλισης g( ( m τηςτυχαίαςµεταβλητής απότηµέσητηςτιµής m E(. Ηδιακύµανσηήηδιασποράτης συµβολίζεταιµε VAR( ήσ τη σχέση ήαπλάσ, καιορίζεταιαπό σ E ( m Ηθετικήτετραγωνικήρίζατηςδιασποράςσ καλείταιτυπικήαπόκλιση (stndrd devition της τυχαίας µεταβλητής. -

12 Για τη διακύµανση έχουµε σ ( E E E ( E E + E ( E Γιακάθεσταθερά cέχουµετιςακόλουθεςσχέσειςγιατηµέσητιµή. E c c E. E c c 3. E + c E + c και τις ακόλουθες σχέσεις για τη διακύµανση. VAR ( c c VAR (. VAR ( c 3. VAR ( + c VAR ( -

13 Χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής Ηχαρακτηριστικήσυνάρτησηµίαςτυχαίαςµεταβλητής δηλώνεταιωςψ (ν καιορίζεται ως Ψ ορισ. ( ν ( e Η χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής συνδέεται µε το µετασχηµατι-σµό Fourier (διαφέρει στο πρόσηµο στον εκθετικό όρο της συνάρτησης πυκνότη-τας πιθανότητάς της. Η χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής παρέχει ένα εύκολο τρόπο υπολογοσµού των ροπών της τυχαίας µεταβλητής. Για να προσδιορίσουµε την n-στη ροπή της τυχαίας µεταβλητής, χρησιµοποιούµε τη σχέση m ( n ορισ. jν d n d j dν ν n ( d Ψ ( ν n n Η χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής είναι φραγµένη από την τιµή της στο µηδέν Ψ ( Ψ ( ν Σεραφείµ Καραµπογιάς -3

14 Πολλαπλές Έστω και Y δύο τυχαίες µεταβλητές που ορίζονται στον ίδιο δειγµατοχώρο. Για τις δύο αυτές τυχαίες µεταβλητές ορίζουµε τη συνδυασµένη αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (joint (CDF ήπιοαπλά F Y, (, y P ( ω Ω : ( ω, Y ( ω y F Y, (, y P (, Y y και τη συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (joint (PDF, Y (, y ϑ F, Y (, y ϑϑ y -4

15 Βασικές ιδιότητες των συνδυασµένων και περιθώριων (mrginl CDF και PDF F F Y ( F (, Y ( y F (, y Y ( y Y (, dy Y ( y y Y (, d Y (, y d dy F Y (, y y ( u, υ du dυ Y -5

16 εσµευµένη ή υποσυνθήκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Η δεσµευµένη ή υποσυνθήκη PDF της τυχαίας µεταβλητής, υπό την προϋπόθεση ότι η τιµή της τυχαίας µεταβλητής Y είναι ίση µε y ορίζεται ως Y, Y (, ( y ( y Y, y, Y ( y αλλιως ɺ Η συνάρτηση Y ( y µπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση της µεταβλητής µε τη µεταβλητή y αυθαίρετη αλλά σταθερή, συνεπώς ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Y ( y Y ( y d F ( y Y ( ξ y dξ P ( < y Y ( ξ y dξ -6

17 Αν συµβαίνει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µετά την γνωστοποίηση της Y να είναι η ίδια µε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας πριν τη γνωστοποίηση της Y τότε οι τυχαίες µεταβλητές ονοµάζονται στατιστικά ανεξάρτητες (sttisticl independent και ισχύει, Y (, y ( Y ( y Αν οι τυχαίες διαδικασίες και Y είναι στατιστικά ανεξάρτητες, τότε η έκβαση της Y δεν επηρεάζει την κατανοµή της. Η υποσυνθήκη πιθανότητα Y ( y απλοποιεί-ται στην περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Y ( y ( -7

18 Μίασυνάρτησηδύοτυχαίωνµεταβλητών και Y, g(,y,είναι επίσηςτυχαίαµεταβλητή. Η αναµενόµενη τιµή της g(, Y δίνεται από την [ g (, Y ] E g (, y Y (, y d dy Στην ειδική περίπτωση όπου g(, Y Y, λαµβάνουµε την E[ Y] που ονοµάζεται συσχέτιση (correltion των και Yκαισυµβολίζεταιµε R,Y R, Y E[ Y] y y Y (, d dy Αν η συσχέτιση γράφεται ως R,Y E[] E[Y] τότε οι τυχαίες µεταβλητές λέγονται ασυσχέτιστες (uncorrelted. Αν οι τυχαίες µεταβλητές και Y είναι στατιστικά ανεξάρτητες τότε είναι και ασυσχέτιστες. Το αντίθετο δεν ισχύει γενικά. Ανησυσχέτισηγράφεταιείναιίσηµεµηδέν R Y τότεοιτυχαίεςµεταβλητέςλέγονται ορθογώνιες (orthogonl. -8

19 Στην περίπτωση κατά την οποία g(,y ( m (Y m Υ λαµβάνουµε την E[( m (Y m Y ] ηοποίακαλείταισυµµεταβολή (covrince - COV των και Y, ηοποίασυµβολίζεται µε C,Y ήµε COV(,Y καιείναι C, Y E [( m ( Y m ] ( m ( y m Y Y Y (, y d dy αποδεικνύεταιότι C Y R Y - E[] E[Y] Ανοι και Yείναιανεξάρτητεςήασυσχέτιστες (R Y E[] E[Y] τότεησυµµεταβολήτους είναιίσηµεµηδέν, C Y. Ανοι και Yείναιορθογώνιες (R Y τότεησυµµεταβολήτουςείναι C Y - E[] E[Y]. Αν επιπλέονµίατουλάχιστοναπότις και Yέχειµέσητιµήίσηµεµηδέντότεησυµµεταβολή τουςείναιίσηµεµηδέν C Y. -9

20 Η κανονικοποηµένη µορφή της συµµεταβολής καλείται συντελεστής συσχέτισης (correltion coeicient, συµβολίζεταιµερ,y καιορίζεταιως ρ, Y CY σ σ Y m E σ Y m σ Y Y αποδεικνύεταιότι ρ Y -

21 Σηµαντικές Οι συχνότερα χρησιµοποιούµενες τυχαίες µεταβλητές είναι Οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή Η Gussin τυχαία µεταβλητή ιωνυµική (Binomil Τυχαία µεταβλητή Bernoulliτυχαίαµεταβλητή Poissonτυχαίαµεταβλητή Εκθετική τυχαία µεταβλητή Ryleighτυχαίαµεταβλητή -

22 Οµοιόµορφη Τυχαία Μεταβλητή Σεραφείµ Καραµπογιάς Οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή είναι µία συνεχής τυχαία µεταβλητή που λαµβάνει τιµές µεταξύ και µείσεςπιθανότητεςσεδιαστήµατατιµώνπουέχουνίσαµήκη. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας F, (, < < (, < <, αλλιώς F ( ( -

23 Η Gussin Τυχαία Μεταβλητή Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς ( m ( e σ πσ όπου mείναιηµέσητιµήκαισητυπικήαπόκλιση ( πσ,67 πσ mσ m m+ σ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Gussin τυχαίας µεταβλητής -3

24 Η συνάρτηση κατανοµής είναι F ( πσ e ( ξm σ dξ F (, 84, 5, 59 mσ m m+σ Η συνάρτηση κατανοµής της Gussin τυχαίας µεταβλητής -4

25 Η συνάρτηση κατανοµής της Gussin τυχαίας µεταβλητής για m και σ δηλώνεται µε Φ( και δίνεται από τη σχέση Η συνάρτηση Q του Mrcum ορίζεται ως π ξ Φ( P ( e dξ Q( y P π ( > y e d y ( e π Εµβαδɺ ο Q( y y -5

26 ιάφορες παρουσιάσεις του ολοκληρώµατος αυτού δίνονται σε µορφή εύχρηστων πινάκων ή διαγραµµάτων. y Q ( y y Q ( y y Q ( y, 5,e-,4 8,975e-3 4,8 7,933e-7, 4,67e-,5 6,96e-3 4,9 4,798e-7, 4,74e-,6 4,66e-3 5,,8665e-7,3 3,88e-,7 3,4669e-3 5,,698e-7,4 3,4458e-,8,555e-3 5, 9,9644e-8,5 3,853e-,9,8658e-3 5,3 5,79e-8,6,745e- 3,,3498e-3 5,4 3,33e-8,7,496e- 3, 9,676e-4 5,5,8989e-8,8,85e- 3, 6,873e-4 5,6,77e-8,9,846e- 3,3 4,834e-4 5,7 5,993e-9,,5865e- 3,4 3,369e-4 5,8 3,357e-9,,3566e- 3,5,36e-4 5,9,875e-9,,56e- 3,6,59e-4 6, 9,8658e-,3 9,68e- 3,7,779e-4 6, 5,334e-,4 8,756e- 3,8 7,348e-5 6,,83e-,5 6,687e- 3,9 4,896e-5 6,3,488e-,6 5,4799e- 4, 3,67e-5 6,4 7,7688e-,7 4,4565e- 4,,657e-5 6,5 4,6e-,8 3,593e- 4,,3345e-5 6,6,557e-,9,876e- 4,3 8,5398e-6 6,7,4e-,,75e- 4,4 5,45e-6 6,8 5,39e-,,7864e- 4,5 3,3976e-6 6,9,6e-,,393e- 4,6,4e-6 7,,798e-,3,74e- 4,7,38e-6-6

27 Παρατηρούµε ότι Q ( Φ ( και m P ( > Q σ -7

28 BernoulliΤυχαίαΜεταβλητή Αυτήείναιµιαδιακριτήτυχαίαµεταβλητήπουπαίρνειδύοτιµές, τοένακαιτοµηδέν, µε πιθανότητες p και - p. Ητυχαίαµεταβλητή Bernoulliείναιένακαλόµοντέλογιαµια γεννήτριαδυαδικώνδεδοµένων. Όταν δυαδικά δεδοµένα µεταβιβάζονται µέσω ενός καναλιού επικοινωνίας, και µερικά its λαµβάνονται εσφαλµένα µπορούµε να µοντελοποιήσουµε ένα σφάλµα µε µία πρόσθεση modulo- του στο itεισόδου, µεταβάλλονταςέτσιτο σε καιτο σε. Η τυχαία µεταβλητή Bernoulli χρησιµοποιείται για τη µοντελοποίηση των σφαλµάτων καναλιού. -8

29 Bernoulli trils Σεραφείµ Καραµπογιάς Σύνολο έχει n στοιχείων. Ο ολικός αριθµός των υποσυνόλων µε στοιχεία είναι n n( n ( n + n!!( n! Παράδειγµα. Τα στοιχεία ενός συνόλου είναι,, c και d. Ποιος ο αριθµός των υποσυνόλων µε δύο στοιχεία; Έχουµε n 4 και, εποµένως το πλήθος των υποσυνόλων µε στοιχεία είναι Πράγµατιέχουµετασύνολα, c, d, c, dκαι cd Το παραπάνω συµπέρασµα χρησιµοποιείται για να βρεθεί η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα γεγονός φορές σε n ανεξάρτητες πραγµατοποιήσεις ενός πειράµατοςτύχης. Τοπρόβληµααυτόείναιβασικάτοίδιοµετοπρόβληµαναέχουµε φορές κεφάλι σε n στριψίµατα ενός νοµίσµατος. -9

30 Παράδειγµα. Ανστρίψουµεένανόµισµαηπιθανότηταναέχουµεκεφάλιείναι P(K p. Σχηµατίζεται µία ακολουθία από N στριψίµατα του νοµίσµατος. Ηπιθανότηταστηνακολουθίανα έχουµε φορέςκεφάλικαι N φορέςγράµµαταθα είναι λόγω της ανεξαρτησίας P( K P( K P( K P( Γ P( Γ P( Γ p ( p εδοµένου ότι οι πιθανές ακολουθίες µήκους N στις οποίες παρουσιάζονται κεφάλια ανεξαρτήτου θέσης είναι έχουµε τη πιθανότητα P N N!!( N! N N ( K νασυµβεί ακριβώς φορές p ( p N Σεραφείµ Καραµπογιάς -3

31 όπου < p <, και n,,. Αυτήείναιµίαδιακριτήτυχαίαµεταβλητήπουδίνειτοπλήθοςτων σεµίαακολουθία από n ανεξάρτητα πειράµατα Bernoulli. Η PMF δίνεται από ιωνυµική (Binomil Τυχαία Μεταβλητή αλλιώς,, ( ( n p p n P n και η αθροιστική διωνυµική συνάρτηση κατανοµής n n u p p n F ( ( ( Αυτή η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί, για παράδειγµα, τον ολικό αριθµό των its τα οποία λαµβάνονται εσφαλµένα όταν µια ακολουθία από n its µεταβιβάζεται µέσα από ένα κανάλι µε πιθανότητα σφάλµατος-it ίση µε p. n n p p n ( ( ( δ Η διωνυµική συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας είναι Σεραφείµ Καραµπογιάς -3

32 PoissonΤυχαίαΜεταβλητή Αυτή είναι µία διακριτή τυχαία µεταβλητή της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι ( e δ (! όπου > πραγµατικήσταθερά. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής ( F e u(! Σεραφείµ Καραµπογιάς Αυτή η τυχαία µεταβλητή εφαρµόζεται σε πολλές εφαρµογές συνεχούς χρόνου. Μοντελοποιεί, για παράδειγµα τον αριθµό των τηλεφωνικών κλήσεων που πραγµατοποιούνται σε ένα τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια µιας χρονικής περιόδου. Αν το χρονικό διάστηµα ενδιαφέροντος έχει διάρκεια T, και τα γεγονότα τα οποία καταµετρώνται πραγµατοποιούνται µε µέσο ρυθµό λ και ακολουθούν κατανοµή Poisson τότε λt εποµένως ( ( T T e λ λ δ (! -3

33 Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο δηµιουργείται ουρά όταν φτάνουν τηλεφωνικές κλήσεις ενώ όλες οι γραµµές είναι απασχοληµένες. Παράδειγµα: Υποθέτοντας ότι οι τηλεφωνικές κλήσεις σε ένα τηλεφωνικό κέντρο ακολουθούν κατανοµή Poisson και πραγµατοποιούνται µε µέσο ρυθµό 5 κλήσεις/h. Το τηλεφωνικό κέντρο έχει τη δυνατότητα να εξυπηρετήσει µόνο ένα συνδροµητή και κάθε τηλεφωνική κλήση διαρκεί ένα λεπτό. Ποια είναι η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ουρά αναµονής στο τηλεφωνικό κέντρο; Η ουρά αναµονής θα πραγµατοποιηθεί αν δύο ή περισσότερη συνδροµητές εκδηλώσουν επιθυµία να πραγµατοποιήσουν κλήση σε χρονικό διάστηµα ενός λεπτού. Η πιθανότητα πραγµατοποιηθεί ουρά αναµονής στο τηλεφωνικό κέντρο είναι ένα µείον την πιθανότητα να έχουµε περισσότερες από µία τηλεφωνικές κλήσεις. Έχουµε λ 5/6 τηλεφωνικέςκλήσεις / minκαιτ minέτσι 5/6. Έχουµελοιπόν P( πραγµατοπο ιηθεί ουρά F 5 e 6,3 ( 5 ( + Αναµένεται λοιπόν να υπάρχει ουρά στο τηλεφωνικό κέντρο περίπου κατά το,3% του χρόνου. 6-33

34 Εκθετική τυχαία µεταβλητή για πραγµατικούς αριθµούς και για του οποίους ισχύει < < και >. ( F e ( e Γιαα καιλ /έχουµε < >,, ( e F λ < >,, ( e λ λ < > e F,, ( Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής < > e,, ( Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Σεραφείµ Καραµπογιάς -34

35 Αποδεικνύεται ότι E[ ] Vr[ ] λ λ Σεραφείµ Καραµπογιάς Η εκθετική συνάρτηση είναι η µοναδική συνάρτηση µε έλλειψη µνήµης, δηλαδή, ικανοποιεί τη ( s+ t > t P( s P > > γιακάθε sκαι t > Αυτή η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί, για παράδειγµα τους χρόνου εξυπηρέτησης σε ένα τηλεφωνικόκέντρο. Αντυχαίαµεταβλητή παριστάνειτοχρόνοµεταξύδύοδιαδοχικώντηλεφωνικώνκλήσεων, ακολουθείεκθετικήκατανοµήκαιθεωρήσουµεότιµίακλήσηέφτασετηχρονικήστιγµή t τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου µέχρι την επόµενη κλήση θα είναι ( t e λ λ t Επίσης η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί, τη διακύµανση της ισχύος του σήµατος που λαµβάνει το rdr για τους διάφορους τύπους αεροσκαφών. -35

36 Παράδειγµα: Η ισχύς που ανακλάται από αεροσκάφος σύνθετης µορφής και η οποία λαµβάνεται από διάταξη rdr µοντελοποιείται από εκθετική τυχαία µεταβλητή P. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότηταςείναι, P ( p P όπου P είναιηµέσητιµήτηςλαµβανοµένηςισχύος. e, p P, p> p< Σεκάποιαδεδοµένηχρονικήστιγµή Pέχειτιµήδιάφορηαπότηµέσητηςτιµή. Ποιαείναιη πιθανότητα η λαµβανόµενη ισχύς να είναι µεγαλύτερη από τη ισχύ που λαµβάνει κατά µέσο όρο; P( P > P P( P P FP ( P,368 P ( / P e Αναµένεταιλοιπόν η µέση ισχύς να είναι µεγαλύτερη της µέσης τιµής κατά το 36,8% του χρόνου. -36

37 F ( e, Ryleighτυχαίαµεταβλητή Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (, < ( για πραγµατικούς αριθµούς και για του οποίους ισχύει < < και >. ( Σεραφείµ Καραµπογιάς ( e,, < F (,393 e (,67 ( e + Αυτή η τυχαία µεταβλητή έχει πολλές εφαρµογές στα κανάλια επικοινωνίας τα οποία παρουσιάζουν διαλείψεις. Επίσης περιγράφει την περιβάλλουσα του θορύβου όταν αυτός διέρχεται από ndpss φίλτρα. Επίσης βρίσκει εφαρµογή στην ανάλυση των λαθών στα συστήµατα µέτρησης + -37

38 PoissonΤυχαία ιαδικασία P ( λ t e! λ t ( ( t,,,,... ( ( λ t e! δ ( όπου λ ονοµάζεται ρυθµός της διαδικασίας (rte o the process. H αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας διαδικασίας είναι F ( ( λ t e! λ t λ t Η µέση τιµή και η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι u( [ ( t ] Vr[ ( t] ( d t E λ και η µέση τιµή του τετραγώνου της τυχαίας διαδικασίας είναι [ ( t ] ( dλ t( + t E λ -38