Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας."

Transcript

1 Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών Ασκήσεις ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Θεωρούµε ένα πείραµα τύχης στο οποίο ϱίχνουµε ένα νόµισµα τρείς ϕορές, µε πιθανότητα p να εµφανιστούν γράµµατα (Γ) σε κάθε ϱίψη (σε ένα τίµιο νόµισµα η πιθανότητα αυτή ϑα είναι 1/2). Υποθέστε ότι αν σε µια ϱίψη εµφανιστούν Γ κερδίζουµε 1 ευρώ, ενώ αν εµφανιστεί κεφάλι (Κ) χάνουµε 1 ευρώ. Προφανώς η ποσότητα που µας ενδιαφέρει εδώ, και την οποία συµβολίζουµε µε X, είναι το συνολικό µας κέρδος. Είναι ϕανερό ότι η X µπορεί να πάρει µόνο µία από τις τιµές : 3, 1, -3, και -1. Το ποια από αυτές ϑα πάρει εξαρτάται από το αποτέλεσµα του τυχαίου πειράµατος. Αν, για παράδειγµα, το αποτέλεσµα είναι ΓΓΓ η X παίρνει την τιµή 3, ενώ αν είναι ΓΚΓ η X παίρνει την τιµή 1. Στον παρακάτω πίνακα καταγράφουµε τις τιµές της X που αντιστοιχούν στα οκτώ δυνατά αποτελέσµατα, ω, του τυχαίου πειράµατος, καθώς και την πιθανότητα να εµφανιστεί καθένα από τα αποτελέσµατα αυτά (σηµειώστε ότι ο αριθµός των δυνατών αποτελεσµάτων είναι ο αριθµός των δυνατών τριάδων που µπορούµε να ϕτιάξουµε από τα δύο στοιχεία, Γ, Κ, οι οποίες, σύµφωνα µε τη ϑεωρία του προηγούµενου κεφαλαίου, είναι 2 2 2). ω X P (ω) ΓΓΓ 3 p 3 ΓΚΓ 1 p 2 (1 p) ΓΓΚ 1 p 2 (1 p) ΚΓΓ 1 p 2 (1 p) ΓΚΚ -1 p(1 p) 2 ΚΓΚ -1 p(1 p) 2 ΚΚΓ -1 p(1 p) 2 ΚΚΚ -3 (1 p) 3 (Στον παραπάνω πίνακα, η πιθανότητα του αποτελέσµατος ΓΓΓ υπολογίστηκε ως γινόµενο των πιθανοτήτων των τριών ανεξάρτητων ενδεχοµένων A = στην πρώτη ϱίψη Γ, B = στη δεύτερη ϱίψη Γ, D = στην τρίτη ϱίψη Γ, λαµβάνοντας υπόψη ότι η πιθανότητα της τοµής ανεξάρτητων ενδεχοµένων ισούται µε το γινόµενο των πιθανοτήτων τους. Ανάλογα για τα άλλα αποτελέσµατα.) Μπορούµε να σκεφτόµαστε τη X ως µια πραγµατική µεταβλητή η οποία για κάθε στοιχειώδες ενδεχόµενο ω του Ω παίρνει µια ορισµένη τιµή (εδώ µια από τις τιµές -3,- 1,1,3). Η πιθανότητα η X να πάρει µια ορισµένη τιµή, έστω 1, είναι η πιθανότητα του γεγονότος A = {ω : X(ω) = 1} το οποίο περιλαµβάνει όλα τα στοιχειώδη ενδεχόµενα ω του Ω που οδηγούν στην τιµη X = 1 (στο παράδειγµά µας τα ΓΓΚ, ΓΚΓ και ΚΓΓ). Από τον πίνακα ϐλέπουµε ότι το A έχει πιθανότητα P (A) = 3p 2 (1 p) να πραγµατοποιηθεί (το A είναι η ένωση των ανεξάρτητων ενδεχοµένων ΓΓΚ, ΓΚΓ και ΚΓΓ). Ανάλογα µπορούµε να 1

2 χειριστούµε και τις υπόλοιπες τιµές της X. Ετσι, για κάθε τιµή που µπορεί να πάρει η X, έστω x i (που εδώ ϑα είναι κάποιο από τα 3, 1, 1, 3), η πιθανότητα µε την οποία παίρνει αυτή την τιµή, P (X = x i ), είναι πλήρως καθορισµένη (π.χ. P (X = 1) = 3p 2 (1 p)). Θα δούµε ότι η X είναι ένα παράδειγµα διακριτής τυχαίας µεταβλητής (ή στοχαστικής συνάρτησης, όπως επίσης λέγεται). Ορισµός : ιακριτή τυχαία µεταβλητή X σε ένα δειγµατοχώρο Ω είναι µια µεταβλητή X που ορίζεται για κάθε δυνατό αποτέλεσµα ενός τυχαίου πειράµατος και για κάθε τέτοιο αποτέλεσµα παίρνει µια ορισµένη τιµή από ένα πεπερασµένο ή άπειρο αριθµήσιµο υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Ορισµός : Η πραγµατική συνάρτηση f που ορίζεται στους πραγµατικούς αριθµούς από την f(x) = P (X = x), λέγεται διακριτή συνάρτηση πυκνότητας ή συνάρτηση πι- ϑανότητας ή κατανοµή πιθανότητας της X ( ίνει την πιθανότητα η X να πάρει µια ορισµένη τιµή από το πεδίο τιµών της. Π.χ., για την τυχαία µεταβλητή X που ορίσαµε στην αρχή του κεφαλαίου f(1) = P (X = 1) δίνει την πιθανότητα η µεταβλητή X (το κέρδος) να πάρει την τιµή 1 (να είναι 1 ευρώ).) Ας ϑεωρήσουµε την τυχαία µεταβλητή X που ορίσαµε στην αρχή του κεφαλαίου, και ας υποθέσουµε ότι p = 0.5. Τότε η X έχει τη διακριτή συνάρτηση πυκνότητας που ορίζεται από τις f( 3) = 0.125, f( 1) = 0.375, f(1) = 0.375, f(3) = και f(x) = 0, αν x 3, 1, 1, 3. Η συνάρτηση πυκνότητας ή απλά πυκνότητα f µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (1) f(x) 0, x R (2) Το σύνολο {x : f(x) 0} (δηλαδή το σύνολο των τιµών της Q που έχουν µη µηδενική πιθανότητα) είναι ένα πεπερασµένο ή άπειρο αριθµήσιµο υποσύνολο του R. Εστω {x 1, x 2,..., } αυτό το σύνολο. Τότε (3) i f(x i ) = 1. Οι ιδιότητες (1) και (2) προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό της f. Για να δούµε αν ισχύει η (3) παρατηρούµε ότι τα ενδεχόµενα {ω : X(ω) = x i } (δηλαδή τα ενδεχοµενα του Ω που δίδουν για τη Q την τιµή x i ) είναι ξένα και η ένωσή τους είναι το Ω. Άρα f(x i ) = i i ( ) P (X = x i ) = P {X = x i } = P (Ω) = 1. i Ετσι, µπορούµε να ορίσουµε εναλλακτικά την πυκνότητα f ως εξής : Ορισµός : Μια πραγµατική συνάρτηση f ορισµένη στο R λέγεται διακριτή συνάρτηση πυκνότητας ή απλά διακριτή πυκνότητα αν ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες (1) (3). Παράδειγµα 1: Ρίχνουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές, και ορίζουµε την τυχαία µεταβλητή X ως το πλήθος των Κ που εµφανίστηκαν. Να υπολογιστεί η πυκνότητα f της X. Η αντιστοιχία µεταξύ των δυνατών αποτελεσµάτων του πειράµατος και των τιµών της διακριτής τυχαίας µεταβλητής X δίνεται στον παρακάτω πίνακα, µαζί µε την 2

3 ω X P (ω) ΚΚ 2 1/4 ΓΓ 0 1/4 ΚΓ 1 1/4 ΓΚ 1 1/4 πιθανότητα των σηµείων του δειγµατοχώρου Ω του πειράµατος. Η πυκνότητα που αντιστοιχεί στη X είναι f(0) = P (X = 0) = 1 4, f(1) = P (X = 1) = 1 2, f(2) = P (X = 2) = 1 4, και f(x) = 0 για x 0, 1, 2. Προσέξτε ότι f(0) + f(1) + f(2) = 1. Η γραφική παράσταση της f δίνεται είτε µε ένα ϱαβδόγραµµα, είτε µε ένα ιστόγραµµα. Σε ένα ϱαβδόγραµµα το άθροισµα των τεταγµένων είναι 1, ενώ σέ ένα ιστόγραµµα το άθροισµα των εµβαδών είναι 1, όπως προκύπτεί από την ιδιότητα (3). Σε ένα ιστόγραµµα µπορούµε να ϕανταστούµε ότι η τυχαία µεταβλητή X γίνεται συνεχής, λόγου χάρη X = 1 σηµαίνει ότι η X είναι µεταξύ 0.5 και 1.5. Σηµειώστε ότι και άλλες τυχαίες µεταβλητές µπορούν να οριστούν στον ίδιο δειγµατοχώρο Ω. Λόγου χάρη, στο προηγούµενο παράδειγµα ϑα µπορούσαµε να ορίσουµε µια τυχαία µεταβλητή Y ως το πλήθος των Κ που εµφανίζονται µείον το πλήθος των Γ που εµφανίζονται. Τότε, οι δυνατές τιµές της Y ϑα ήταν -2,0,2, ενώ η αντίστοιχη πυκνότητα ϑα έπαιρνε τις τιµές f( 2) = 1/4, f(0) = 1/2, f(2) = 1/4 και f(x) = 0 για x 2, 0, 2. Κάθε διακριτή συνάρτηση πυκνότητας, δηλαδή κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τις ιδιότητες (1) (3), είναι η πυκνότητα κάποιας τυχαίας µεταβλητής X. Με άλλα λόγια, αν µας δοθεί η f µπορούµε πάντα να κατασκευάσουµε ένα δειγµατοχώρο Ω και µια τυχαία µεταβλητή ορισµένη στον Ω, της οποίας η διακριτή πυκνότητα να είναι f. Ετσι µπορούµε να χρησιµοποιούµε εκφράσεις όπως έστω X µια τυχαία µεταβλητή µε διακριτή πυκνότητα f χωρίς να διευκρινίζουµε τον δειγµατοχώρο f στον οποίο ορίζεται η X. Για παράδειγµα, υποθέστε ότι επιλέγουµε ένα χαρτί από µια δεσµίδα µε n χαρτιά, και ϑέτουµε X = i αν επιλεγεί το i οστο χαρτί. Τότε, P (X = i) = 1/n, άρα µπορούµε να περιγράψουµε το πείραµα λέγοντας ότι παρατηρούµε µια τυχαία µεταβλητή X η οποία παίρνει ακέραιες τιµές 1, 2, 3,..., n και έχει πυκνότητα f(x) = 1/n αν x = 1, 2, 3,..., n και f(x) = 0 αλλιώς. Γενικά, κάθε τυχαίο πείραµα που έχει πεπερασµένα ή άπειρα αριθµήσιµα το πλήθος δυνατά αποτελέσµατα µπορεί να περιγραφεί ως η παρατήρηση της τιµής µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής X. Για την ακρίβεια, το πείραµα πολλές ϕορές µας δίνεται ήδη µ αυτή τη µορφή. Στα δύο επόµενα παραδείγµατα παρουσιάζονται δύο τυπικές διακριτές πυκνότητες. Παράδειγµα 2: Η γεωµετρική πυκνότητα. Εστω 0 < p < 1. Τότε η πραγµατική συνάρτηση f που ορίζεται στο R από την f(x) = { p(1 p) x, x = 0, 1, 2, 3,... 0, x 0, 1, 2, 3,..., είναι µια διακριτή πυκνότητα και λέγεται γεωµετρική πυκνότητα µε παράµετρο p. 3

4 Για να δούµε αν η f είναι πυκνότητα, το µόνο που χρειάζεται να ελέγξουµε είναι ότι ισχύει η ιδιότητα (3), αφού οι (1) και (2) ικανοποιούνται προφανώς. Οµως, f(x i ) = p(1 p) i = p (1 p) i = p 1 i=0 i=0 i=0 p = 1, αφού το άθροισµα της γεωµετρικής σειράς i=0 (1 p) i είναι ίσο µε 1/p. Παράδειγµα 3: Η πυκνότητα Poisson. Εστω λ ένας ϑετικός αριθµός. Η πυκνότητα Poisson µε παράµετρο λ ορίζεται από τη σχέση { λ x e λ, x = 0, 1, 2,... f(x) = x! 0, x 0, 1, 2, 3,... Η συνάρτηση f προφανώς ικανοποιεί τις (1) και (2) του ορισµού της διακριτής συνάρτησης πυκνότητας. Για να δούµε αν ισχύει η (3) ϑα χρησιµοποιήσουµε το ανάπτυγµα Taylor της εκθετικής συνάρτησης e λ = x=0 λ x x!. Ετσι, λ x e λ f(x) = x x=0 x! = e λ x=0 λ x x! = e λ e λ = 1. Η εµπειρία δείχνει ότι πολλά τυχαία ϕαινόµενα που έχουν σχέση µε το µέτρηµα ακολουθούν κατά προσέγγιση την κατανοµή Poisson, όπως για παράδειγµα τα εξής : (α) Το πλήθος των ατόµων µιας ϱαδιενεργού ουσίας που αποσυντίθενται στη µονάδα του χρόνου. (ϐ) Το πλήθος των κλήσεων που δέχεται ένα τηλεφωνικό κέντρο στη µονάδα του χρόνου. ( ηλαδή η πιθανότητα το πλήθος των κλήσεων που δέχεται το τηλεφωνικό κέντρο να είναι x = 0, 1, 2, 3,.. δίνεται από το f(x) = λ x e λ /x!.) (γ) Το πλήθος των τυπογραφικών λαθών σε µια σελίδα ενός ϐιβλίου, κ.τ.λ. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής ή απλά συνάρτηση κατανοµής για µια τυχαία µεταβλητή X ορίζεται από τη σχέση F (x) = P (X x), όπου x οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός ( < x < ). Η συνάρτηση κατανοµής µπορεί να υπολογιστεί από την πυκνότητα f, επειδή F (x) = P (X x) = u x f(u), όπου το άθροισµα στο δεξιό µέλος νοείται ως προς όλα τα u για τα οποία u x. Αντίστρο- ϕα, η πυκνότητα µπορεί να προκύψει από τη συνάρτηση κατανοµής, όπως ϑα δούµε και στο επόµενο παράδειγµα. 4

5 Παράδειγµα 4: Προσδιορίστε τη συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής X του παραδείγµατος 1, και δώστε τη γραφική της παράσταση. Η F (x) ϑα είναι : F (x) = 0, < x < 0 1/4, 0 x < 1 3/4, 1 x < 2 1, 2 x < + Για παράδειγµα, για 1 x < 2, η F ϑα είναι F (x) = f(0) + f(1) = 3/4. Βλέπουµε ότι η F είναι µη ϕθίνουσα, κλιµακωτή συνάρτηση, και ότι για κάθε ακέραιο x, η F παρουσιάζει άλµα (ασυνέχεια) µεγέθους f(x) στο x, ενώ είναι σταθερή στο διάστηµα [x, x + 1). Ετσι, µπορούµε να προσδιορίσουµε την f από την F και αντιστρόφως. Παράδειγµα 5: Θεωρήστε τη συνάρτηση πυκνότητας f(x) = 1/10 για x = 1, 2,..., 10 και f(x) = 0 για οποιοδήποτε άλλο x. Ποιά είναι η συνάρτηση κατανοµής F της f Είναι F (x) = 0 αν x < 1, F (x) = 1 αν x > 10, και F (x) = u x f(u) = [x] 10, αν 1 x 10. Μπορούµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα, λόγου χάρη, P (3 < x 5), είτε µε τη ϐοήθεια της f, γράφοντας είτε µε τη ϐοήθεια της F : P (3 < x 5) = f(4) + f(5) = = 2 10, P (3 < x 5) = F (5) F (3) = Αν ϑέλω να ϐρώ την πιθανότητα P (3 x 5) τότε γράφω P (3 x 5) = P (2 < x 5) = F (5) F (2) = 3 10, κ.τ.λ. Γενικά, ισχύει η σχέση P (a < X b) = F (b) F (a), η οποία είναι πολύ χρήσιµη για τον υπολογισµό πιθανοτήτων. Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Στη ϑεωρία, αλλά και στην πράξη, εµφανίζονται συχνά καταστάσεις στις οποίες οι ϕυσιολογικές τυχαίες µεταβλητές που πρέπει να χρησιµοποιήσουµε είναι συνεχείς και όχι διακριτές, δηλαδή µπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιµή σε ένα δεδοµένο διάστηµα (η τιµή αυτή και εδώ εξαρτάται προφανώς από το αποτέλεσµα του τυχαίου πειράµατος). Τέτοια παραδείγµατα είναι η τυχαία µεταβλητή, έστω T, που παριστάνει το χρόνο διάσπασης ενός ϱαδιενεργού σωµατιδίου ή το χρόνο Ϲωής ενός ηλεκτρικολυ λαµπτήρα, η τυχαία µεταβλητή X που παριστάνει τη ϑέση ενός κβαντοµηχανικού σωµατιδίου παγιδευµένου σε 5

6 µια περιοχή του χώρου, η τυχαία µεταβλητή που παριστάνει το ύψος ενός ατόµου από ένα δεδοµένο δείγµα ατόµων, κ.ο.κ. Γενικά, τυχαίες µεταβλητές που αφορούν µετρήσεις ϕυσικών ποσοτήτων, όπως οι συντεταγµένες στο χώρο, το ϐάρος, ο χρόνος, η ϑερµοκρασία, η τάση του ϱεύµατος, κ.τ.λ., περιγράφονται καλύτερα µε συνεχείς τυχαίες µεταβλητές. Στην περίπτωση των συνεχών τυχαίων µεταβλητών η έκφραση πιθανότητα η µεταβλητή X να πάρει µια ορισµένη τιµή x αντικαθίσταται από την πιθανότητα η µεταβλητή X να πάρει τιµές σε ένα ορισµένο απειροστό διάστηµα γύρω από το σηµείο x. Με ϐάση αυτό, η συνάρτηση πυκνότητας για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές ορίζεται από τη σχέση f(x)dx = P (x < X x + dx). Προσέξτε ότι, αντίθετα µε ό,τι συµβαίνει για διακριτές τυχαίες µεταβλητές, η τιµή της f(x) για το ενδεχόµενο x δεν είναι η πιθανότητα να συµβεί το x. 1 Αυτό που παριστάνει πιθανότητα είναι η το γινόµενο f(x)dx. Από τον ορισµό της συνάρτησης πυκνότητας για συνεχείς κατανοµές γίνεται ϕανερό ότι η πιθανότητα το αποτέλεσµα του τυχαίου πειράµατος να είναι στο διάστηµα [a, b] δίνεται από την P (a X b) = b a f(x)dx ( άθροισµα των πιθανοτήτων όλων των απειροστών διαστηµάτων dx από το a ως το b), δηλαδή από το εµβαδόν κάτω από την f στο διάστηµα [a, b]. Προφανώς, η πυκνότητα f ϑα είναι µια µη αρνητική συνάρτηση και ϑα ικανοποιεί την f(x)dx = 1. αφού η ολική πιθανότητα ϑα πρέπει να είναι πάντα µονάδα. Η προηγούµενη σχέση χρησιµοποιείται πολλές ϕορές και ως σχέση ορισµού της συνάρτησης πυκνότητας f. Στη συνέχεια, ϑα ορίσουµε τη συνάρτηση κατανοµής για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, η οποία είναι χρήσιµη για τον υπολογισµό διαφόρων πιθανοτήτων που σχετίζονται µε την τυχαία µεταβλητή X. Ορισµός : Η συνάρτηση κατανοµής F µιας τυχαίας µεταβλητής X είναι η συνάρτηση F (x) = P (X x) = Μπορούµε εύκολα να δείξουµε ότι x f(y)dy, < x <. P (a < x b) = F (b) F (a), a b. Παρατηρούµε ότι για να υπολογίσουµε την πυκνότητα µιας συνεχούς τυχαίας µετα- ϐλητής αρκεί να παραγωγίσουµε την F, οπότε f(x) = d F (x), < x <. dx Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό x στο οποίο η F είναι συνεχής. Προφανώς, από την απαίτηση να είναι η πιθανότητα µηδέν όταν η τυχαία µεταβλητή 1 Σηµειώστε ότι για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, όπου ο δειγµατοχώρος περιλαµβάνει άπειρα στο πλήθος σηµεία, η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή X να πάρει µια συγκεκριµµένη τιµή είναι µηδέν. 6

7 παίρνει µια συγκεκριµένη τιµή, η F δεν µπορεί να έχει άλµατα (ασυνέχειες), άρα ϑα πρέπει να είναι συνεχής. Εποµένως, η X είναι συνεχής τυχαία µεταβλητή αν και µόνο αν η F είναι συνεχής για κάθε πραγµατικό αριθµό x. Παράδειγµα 6: Υποθέστε ότι ϱίχνουµε ένα ϐέλος σε ένα στόχο σχήµατος κυκλικού δίσκου µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα R, στο επίπεδο. Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος του πειράµατος είναι οµοιόµορφος, δηλαδή η πιθανότητα να καρφωθεί το ϐέλος σε σηµείο µιας περιοχή του στόχου εµβαδού Ε, ορίζεται από το κλάσµα του Ε προς το συνολικό εµβαδόν του στόχου. Αν X είναι η τυχαία µεταβλητή που περιγράφει την απόσταση του σηµείου που επιλέχθηκε από το Ο, τότε να ϐρεθεί η συνάρτηση κατανοµής της. Εστω ότι το ϐέλος καρφώνεται σε σηµείο που απέχει x, 0 x R, από το Ο. Τότε, το ενδεχόµενο A = {ω X(ω) x} (δηλαδή το ενδεχόµενο που έχει ως σηµεία τα δειγµατοσηµεία ω του Ω για τα οποία η τυχαία µεταβλητή X παίρνει τιµές µικρότερες ή ίσες µε x) είναι ένας δίσκος µε κέντρο Ο και ακτίνα x, και εµβαδόν πx 2. Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το A ορίζεται από την και η F ϑα είναι P (A) = area of A target area = πx2 πr 2 = x2 R 2, 0, x < 0 F (x) = x 2 /R 2, 0 x R 1, x > R Αν A = {ω a X b}, µε 0 a b R, τότε P (a < X b) = F (b) F (a) = b 2 a 2, ή R 2 P (a < X b) = 2 b a b + a R 2 2. Ετσι, η πιθανότητα που αποδίδεται στο διάστηµα A δεν εξαρτάται µόνο από το µήκος του, αλλά επίσης και από το πού ϐρίσκεται, αφού το (a + b)/2 είναι το µέσο του διαστήµατος [a, b]. Μιλώντας χονδρικά, γεγονότα της µορφής A = {ω a X b} είναι πιο πιθανά αν είναι µακριά από το κέντρο του στόχου. Παράδειγµα 7: Κανονική πυκνότητα (Gauss). Εστω η συνάρτηση f(x) = ce x2 /2, < x <. Υπολογίστε το c ώστε η f να γίνει πυκνότητα. Για να κάνουµε την f πυκνότητα πρέπει να ϐρούµε το c έτσι ώστε f(x)dx = 1, Ετσι, c /2 e x2 dx = 1. Το ολοκλήρωµα /2 e x2 dx υπολογίζεται µε το εξής τέχνασµα : Θέτω 1 = c /2 e x2 dx, οπότε 1 c = e x2 /2 dx 2 e y2 /2 dy = Πηγαίνοντας σε πολικές συντεταγµένες, έχουµε 1 c = 2 0 2π 0 e r2 /2 rdrdθ = 2π 0 e (x2 +y 2 )/2 dxdy. e r2 /2 rdr = 2π [ e r2 /2 ] 0 = 2π. Άρα, c = 1/ 2π, και f(x) = 1 2π e x2 /2. Η f λέγεται τυπική κανονική πυκνότητα. Προφανώς είναι συµµετρική, αφού f(x) = f( x) για κάθε x. 7

8 Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Υποθέστε ότι συµµετέχετε σε ένα τυχερό παιχνίδι. Κάθε ϕορά που παίζετε εισπράτετε ένα ποσό X, όπου X είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε πιθανές τιµές x 1, x 2,..., x r, τόσο ϑετικές όσο και αρνητικές. Το ερώτηµα είναι αν συµφέρει να συµµετάσχετε. Ας υποθέσουµε ότι το παιχνίδι παίζεται N ϕορές και ότι οι διαφορετικές παρτίδες του παιχνιδιού συνιστούν ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου πειράµατος, το οποίο παρατηρεί τη µεταβλητή X. Αν συµβολίσουµε µε N(x i ) το πλήθος των παρτίδων (στις N) που έδωσαν για τη X την τιµή x i, τότε η συνολική είσπραξη/απώλεια από το παιχνίδι ϑα είναι r N(x 1 )x 1 + N(x 2 )x N(x r )x r = x i N(x i ). i=1 Το µέσο ποσό που εισπράτετε (ή χάνετε) τότε είναι r i=1 x i N(x i ) N. Ερµηνεύοντας την πιθανότητα ως σχετική συχνότητα, αν το N είναι αρκετά µεγάλο, περιµένουµε ότι N(x i ) N P (X = x i) = f(x i ). Εποµένως το µέοο ποσό που εισπράτετε ή χάνετε ϑα πρέπει να είναι περίπου ίσο µε µ = r i=1 x i f(x i ). Αν το ποσό αυτό είναι ϑετικό ϕαίνεται λογικό να περιµένουµε καθαρό κέρδος από το παιχνίδι, αν είναι αρνητικό Ϲηµία και αν είναι µηδέν ούτε κέρδος ούτε Ϲηµία. Γενικά, έστω µια διακριτή τυχαία µεταβλητή X που παίρνει τις πεπερασµένες το πλή- ϑος τιµές x 1, x 2,..., x r. Τότε η µέση τιµή της X, η οποια συµβολίζεται µε µ ή E(X) ή X ή < X > είναι ο αριθµός r E(X) = x i f(x i ), i=1 όπου f(x) είναι η πυκνότητα της X. Υποθέστε ότι η X έχει την οµοιόµορφη πυκνότητα f(x i ) = P (X = x i ) = 1/r. Τότε από τον ορισµό της µέσης τιµής έχουµε ότι E(X) = (1/r) r i=1 x i = (x 1 +x 2 + +x r )/r, δηλαδή στην περίπτωση αυτή η E(X) είναι απλώς ο µέσος όρος των πιθανών τιµών της X. Γενικά, όπως ϕαίνεται από τον ορισµό της, η E(X) είναι ένας µέσος όρος µε ϐάρη των πιθανών τιµών της X. Οταν το πλήθος των τιµών της X είναι άπειρο (αριθµήσιµο), η µέση τιµή έχει νόηµα αν το άθροισµα i=1 x i f(x i ) είναι καλά ορισµένο. Για µια συνεχή τυχαία µεταβλητή µε πυκνότητα f(x) η µέση τιµή ορίζεται από τη σχέση E(X) = xf(x)dx, όπου το άθροισµα πάνω σε όλες τις πιθανές τιµές της X έχει αντικατασταθεί µε ολοκλή- ϱωµα. Παρακάτω δίνονται οι σηµαντικότερες ιδιότητες της µέσης τιµής, που προκύπτουν εύκολα από τον ορισµό της. Για δύο τυχαίες µεταβλητές X και Y µε πεπερασµένη µέση τιµή, έχουµε 8

9 α) Αν η Q παίρνει µόνο µία τιµή, c =σταθερά, και P (X = c) = 1, τότε E(X) = c. ϐ) Αν c =σταθερά, τότε η cx έχει πεπερασµένη µέση τιµή, και E(cX) = ce(x). γ) Η X + Y έχει πεπερασµένη µέση τιµή και E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) δ) Υποθέστε ότι P (X Y ) = 1. Τότε, E(X) E(Y ). Επιπλέον, E(X) = E(Y ), αν και µόνο αν P (X = Y ) = 1. ε) E(X) E(X) στ) E(XY ) = E(X)E(Y ), αν X και Y είναι δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές. Παράδειγµα 8: Υπολογίστε τη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής X που ακολουθεί τη (διακριτή) πυκνότητα Poisson του Παραδείγµατος 3, δηλαδή f(j) = P (X = j) = λ j j! e λ. Εχουµε E(X) = E(X) = λ, j=1 = λe λ j λj j! e λ = e λ i=0 j=1 λ i (i)! = λe λ e λ = λ λ j (j 1)! = λe λ j=1 λ j 1 (j 1)! όπου χρησιµοποιήσαµε το ανάπτυγµα Taylor της εκθετικής συνάρτησης j=0 λ j j! = e λ. Παράδειγµα 9: Υποθέτουµε ότι η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί γεωµετρική κατανοµή µε παράµετρο p, δηλαδή f(j) = P (X = j) = p(1 p) j. Υπολογίστε την E(X). Εχουµε E(X) = jp(1 p) j = p(1 p) j(1 p) j 1 j=0 j=0 d = p(1 p) j=0 dp [(1 p)j ] = p(1 p) d (1 p) j dp j=0 Αλλά j=0 (1 p) j = 1/p, οπότε E(X) = p(1 p) d (1/p) = (1 p)/p. dp Παράδειγµα 10: Υποθέτουµε ότι η συνεχής τυχαία µεταβλητή X έχει οµοιόµορφη πυκνότητα στο διάστηµα (a, b), δηλαδή f(x) = c (c σταθερά) για κάθε x (a, b) και f(x) = 0 για x a και x b. Τότε, E(X) = b a x 1 b a dx = 1 b a [ ] x 2 b 2 a = 1 b 2 a 2 b a 2 = b + a 2. 9

10 Παράδειγµα 11: Η πυκνότητα µιας τυχαίας µεταβλητής X είναι f(x) = Υπολογίστε τη µέση τιµή της X. Εχουµε { x/2, 0 < x < 2 0, αλλιώς 2 E(X) = xf(x)dx = x xdx = 1 [ ] x 3 2 = Ροπές, διασπορά, τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή, και r 0 ακέραιος. Ονοµάζουµε ϱοπή τάξης r της X τη µέση τιµή της µεταβλητής X r (αν υπάρχει, αν δηλαδή είναι πεπερασµένη). Αν η X έχει ϱοπή τάξης r, τότε η ϱοπή τάξης r της (X µ), όπου µ η µέση τιµή της X, λέγεται κεντρική ϱοπή τάξης r της X. Ετσι, η ϱοπή τάξης r και η κεντρική ϱοπή τάξης r για µια διακριτή τυχαία µεταβλητή X δίνονται από τις σχέσεις E(X r ) = E[(X µ) r ] = n x r jf(x j ), j=1 n (x j µ) r f(x j ). j=1 Σύµφωνα µε τις παραπάνω σχέσεις, η ϱοπή τάξης r προσδιορίζεται πλήρως από την πυκνότητα f της τυχαίας µεταβλητής. Μπορούµε λοιπόν να µιλάµε για τη ϱοπή τάξης r και την κεντρική ϱοπή τάξης r της f. Για συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, οι παραπάνω σχέσεις τροποποιούνται ως εξής : E(X r ) = E[(X µ) r ] = x r f(x)dx, (x µ) r f(x) Αν η τυχαία µεταβλητή X έχει ϱοπή τάξης r, τότε η X έχει ϱοπή κάθε τάξης k µε k r. Γενικά, όσο περισσότερες ϱοπές της X γνωρίζουµε, τόσο περισσότερες πληροφορίες έχουµε αποκτήσει για την πυκνότητα της X. Στις εφαρµογές το µεγαλύτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι δύο πρώτες ϱοπές. Προσέξτε ότι η ϱοπή πρώτης τάξης (r = 1), είναι απλώς η µέση τιµή της X. Εστω X µια τυχαία µεταβλητή µε πεπερασµένη δεύτερη ϱοπή (r = 2). Τότε, η διασπορά ή διακύµανση ή µεταβλητότητα της X, η οποία συµβολίζεται µε Var(X) ή ( X) 2 ή σ 2 (X), ή απλά σ 2, ορίζεται από την Var(X) = E[(X E(X)) 2 ]. Προφανώς η διασπορά είναι µη αρνητικός αριθµός, και δείχνει πόσο απλωµένη είναι η κατανοµή της πιθανότητας. Είναι δηλαδή ένα µέτρο του πόσο διασπαρµένες είναι οι τιµές της τυχαίας µεταβλητής γύρω από τη µέση τιµή της, µ. Αν οι διάφορες δυνατές τιµές της X είναι συγκεντρωµένες κοντά στη µέση τιµή µ τότε η διασπορά σ 2 (X) είναι µικρή, διαφορετικά είναι µεγάλη. Η ϑετική τετραγωνική ϱίζα της διασποράς λέγεται τυπική 10

11 απόκλιση και συµβολίζεται συχνά µε X ή σ(x) ή σ. Σηµειώστε ότι αν η X εκφράζεται σε κάποιες ϕυσικές µονάδες, τότε η τυπική απόκλιση σ εκφράζεται στις ίδιες µονάδες. Από τον ορισµό της, οι σχέσεις που δίνουν τη διασπορά µιας διακριτής ή συνεχούς τυχαίας µεταβλητής X είναι αντίστοιχα. n σ 2 (X) = (x j µ) 2 f(x j ) j=1 σ 2 (X) = (x µ) 2 f(x) Παράδειγµα 12: Υπολογίστε τη διασπορά σ 2 και την τυπική απόκλιση σ της πυκνότητας { 1 f(x) = x, 0 < x < , αλλιώς Στο προηγούµενο παράδειγµα ϐρήκαµε ότι µ = 4/3. Ετσι, οπότε σ = 2/3. σ 2 = ( x 4 3) 2 f(x)dx = 2 0 ( x 4 ) xdx = 4 9, Παρακάτω δίνονται οι σηµαντικότερες ιδιότητες της διασποράς για δύο τυχαίες µεταβλητές X και Y. α) σ 2 = E[(X µ) 2 ] = E(X 2 ) µ 2. ϐ) Var(cX) = c 2 Var(X), όπου c =σταθερά. γ) Αν X και Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές, τότε Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ). δ) Αν X και Y είναι τυχαίες µεταβλητές, τότε Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) ± 2E[(X µ X )(Y µ Y )], όπου µ X και µ U η µέση τιµή της X και Y, αντίστοιχα. Η ποσότητα E[(X µ X )(Y µ Y )] λέγεται συνδιασπορά ή συνδιακύµανση ή συµµεταβλητότητα των τυχαίων µεταβλητων X και Y, και συµβολιζεται µε σ XY ή Cov(X, Y ). ηλαδή Cov(X, Y ) = σ XY = E[(X µ X )(Y µ Y )]. Αν οι X και Y είναι ανεξάρτητες, τότε σ XY = 0. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Για X και Y δύο τυχαίες µεταβλητές µε πεπερασµένες µη µηδενικές διασπορές, ο λεγόµενος συντελεστής συσχέτισης ορίζεται από την ρ = ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X)Var(Y ). 11

12 Ο συντελεστής συσχέτισης µας δίνει ένα µέτρο για το ϐαθµό εξάρτησης ανάµεσα στις δύο τυχαίες µεταβλητές. Λέµε ότι οι δύο τυχαίες µεταβλητές είναι ασυσχέτιστες αν ρ = 0. Αφού σ XY = 0 όταν οι X και Y είναι ανεξάρτητες, ϐλέπουµε αµέσως ότι δύο ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές είναι πάντα ασυσχέτιστες. Είναι δυνατόν όµως δύο εξαρτηµένες τυχαίες µεταβλητές να είναι επίσης ασυσχέτιστες. Για τις εφαρµογές στη Στατιστική είναι σηµαντικό να ξέρουµε ότι ο συντελεστής ρ παίρνει πάντα τιµές µεταξύ -1 και 1. Ασκήσεις 1. Να προσδιοριστεί η σταθερά c ώστε η συνάρτηση f(x) = { cx 2, 0 < x < 2 0, αλλιώς να είναι συνάρτηση πυκνότητας. Υπολογίστε τη συνάρτηση κατανοµής για την τυχαία µεταβλητή της οποίας η f είναι συνάρτηση πυκνότητας. Κατόπιν υπολογίστε την P (1 < X < 2). 2. Ενα νόµισµα ϱίχνεται τρεις ϕορές. Αν η τυχαία µεταβλητή Z παριστάνει το πλήθος των αποτελεσµάτων Κ, τότε ϐρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας και κατανοµής της Z και παραστήστε τις γραφικά. 3. Μια τυχαία µεταβλητή Y έχει συνάρτηση πυκνότητας cy 2, 1 y 2 f(y) = cy, 2 y 3 0, αλλιώς. Να υπολογιστούν : α) η σταθερά c, ϐ) οι πιθανότητες P (Y > 2) και P ( 1 2 < Y < 3 2 ). 4. Υποθέστε ότι διαλέγετε τυχαία έναν πραγµατικό αριθµό X από το διάστηµα [2,10]. α) Βρείτε την συνάρτηση πυκνότητας f(x) και την πιθανότητα ενός γεγονότος A για το πείραµα αυτό, όπου A είναι ένα υποδιάστηµα [a, b] του [2,10]. ϐ) Από το (α), ϐρείτε τις πιθανότητες P (X > 5), και P (5 < X < 7). 5. Υποθέστε ότι διαλέγετε έναν πραγµατικό αριθµό X από το διάστηµα [2,10], µε µιά συνάρτηση πυκνότητας της µορφής όπου c είναι µιά σταθερά. α) Βρείτε το c. f(x) = c x, ϐ) Βρείτε την P (A), όπου A = [a, b] είναι ένα υποδιάστηµα του [2,10]. γ) Βρείτε τις P (X > 5) και P (X < 7). 6. Λύστε το προηγούµενο πρόβληµα µε f(x) = c/x. 12

13 7. Υποθέστε ότι παρατηρείτε µια ϱαδιενεργό πηγή η οποία εκπέµπει σωµάτια µε ϱυθµό που περιγράφεται από την εκθετική συνάρτηση πυκνότητας f(t) = λe λt, όπου λ = 1, έτσι ώστε η πιθανότητα P (0, T ) το σωµατίδιο να εµφανιστεί στα επόµενα T δευτερόλεπτα είναι P ([0, T ]) = T 0 λ e λt dt. Βρείτε την πιθανότητα ένα σωµατίδιο (όχι απαραίτητα το πρώτο) να εµφανιστεί α) εντός του επόµενου δευτερολέπτου, ϐ) εντός των επόµενων τριών δευτερολέπτων, γ) µεταξύ του τρίτου και τέταρτου δευτερολέπτου από τώρα, δ) µετά από τέσσερα δευτερόλεπτα από τώρα. 8. ιαλέξτε έναν αριθµό B τυχαία από το διάστηµα [0, 1] µε οµοιόµορφη πυκνότητα. Βρείτε την πιθανότητα α) P (1/3 < B < 2/3). ϐ) P (B < 1/4 ή 1 B < 1/4). 9. Μια τυχαία µεταβλητή έχει πυκνότητα f(x) = c x 2 + 1, όπου < x <. (α) Υπολογίστε την τιµή της σταθεράς c. (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα P (1/3 < X 2 < 1). (γ) Προσδιορίστε τη συνάρτηση κατανοµής για τη δοσµένη f(x). 10. Η συνάρτηση κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής X είναι { 1 e F (x) = 2x, x 0 0, x < 0. Βρείτε (α) την πυκνότητα, (ϐ) την πιθανότητα P (X > 2), και (γ) την πιθανότητα P ( 3 < X 4). 14. Η συνάρτηση κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής X είναι cx 3, 0 x < 3 F (x) = 1, x 3 0, x < 0. Εάν P (X = 3) = 0, να ϐρεθούν (α) η σταθερά c, (ϐ) η πυκνότητα, (γ) οι πιθανότητες P (X > 1), P (1 < X < 2). 11. Μπορεί η συνάρτηση F (x) = { c(1 x 2 ), 0 x 1 0, αλλιώς να παριστάνει συνάρτηση κατανοµής; Γιατί; 13

14 12. Μια συνεχής τυχαία µεταβλητή έχει πυκνότητα Να υπολογιστούν α) η µέση τιµή της X, ϐ) η µέση τιµή της X 2, και f(x) = { 2e 2x, για x > 0 0, για x 0. γ) η διασπορά και η τυπική απόκλιση της X. 14

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim

n i P(x i ) P(X = x i ) = lim Κεϕάλαιο 2 Πιθανότητες και Τυχαίες Μεταβλητές Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη σχετική συχνότητα εµϕάνισης n i κάποιας τιµής x i µιας διακριτής τ.µ. X. Αν είχαµε τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 1 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Ο εκφωνητής του δελτίου καιρού δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων ) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας

Στατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα