10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό"

Transcript

1 ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν ο καιρός είναι καλός, γεγονός που συµβαίνει µε πιθανότητα /3, η συνιστώσα του ϑορύβου, W, ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά, W N(, ). Οταν ο καιρός είναι κακός, η συνιστώσα του ϑορύβου, W, ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά 9, W N(, 9). Υπολογίστε τη συν.πυκν.πιθανότητας της τ.µ. X και την πιθανότητα η X να πάρει τιµές µεταξύ και 3. Βοήθεια : Χρησιµοποιείστε το ϑεώρηµα ολικής πιθανότητας παίρνοντας ως διαµέριση του δειγµατοχώρου τις καιρικές συνθήκες και εκφράστε την Ϲητούµενη πιθανότητα P ( X 3) συναρτήσει των τιµών Φ() και Φ(/3) της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής της τυπικής κανονικής κατανοµής. (α) Εστω G το γεγονός ο καιρός είναι καλός. ίνεται ότι P (G). Για να ϐρούµε την 3 PDF της X, πρώτα ϐρίσκουµε την PDF της W, καθώς X s+w +W. Ξέρουµε ότι αν ο καιρός είναι καλός, τότε W N (, ), ενώ αν ο καιρός είναι κακός W N (, 9). Για να ϐρούµε την PDF της W χρησιµοποιούµε το ϑεώρηµα Ολικής Πιθανότητας για συναρτήσεις πυκνότητας : f W (w) P (G) f W G (w) + P (G c ) f W G c(w) 3 e w + π 3 3 w π e 9 Στη συνέχεια πραγµατοποιούµε την αλλαγή µεταβλητών X + W για να ϐρούµε την PDF της X: f X (x) f W (x ) 3 e (x ) + π 3 3 (x ) π e 9. (ϐ) Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την PDF που ορίστηκε στο προηγούµενο ερώτηµα για να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη πιθανότητα 3 f X (x) dx. Είναι όµως ευκολότερο να µεταφράσουµε το γεγονός { X 3} χρησιµοποιώντας το W και µετά να εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα Ολικής Πιθανότητας. Εχουµε ότι P ( X 3) P ( + W 3) P ( W )

2 και από το ϑ. Ολ. Πιθ. P ( W ) P (G)P ( W G) + P (G c )P ( W G c ) }{{}}{{} a b Καθώς δεσµεύοντας είτε πάνω στη G ή στη G c η τυχαία µεταβλητή W είναι Gaussian, οι δεσµευµένες πιθανότητες a και b µπορούν να εκφραστούν µέσω της συνάρτησης Φ. εσµεύοντας πάνω στη G έχουµε W N (, ) οπότε a Φ() Φ( ) Φ(). εσµεύοντας πάνω στη G c έχουµε W N (, 9) οπότε ( ( b Φ Φ 3) ) ( Φ. 3 3) Εποµένως η τελική απάντηση είναι η : P ( X 3) 3 (Φ() ) + 3 ( ( ) Φ. 3) Ασκηση. Η συνεχής τυχαία µεταβλητή X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { a( x) για x, f X (x) αλλιώς. (α) ώστε τη γραφική παράσταση της σ.π.π. της X και υπολογίστε τη σταθερά a. (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα P (6X > 5X ). (γ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (α.σ.κ.) της X, F X (x). (α) Πρέπει + f(x)dx a( x)dx (ax a x ) a a a Εναλλακτικά, πρέπει η επιφάνεια του τριγώνου µε ϐάση και ύψος a να είναι ίση µε a a. Η γραφική παράσταση της PDF της X ϕαίνεται στο Σχήµα. (ϐ) P ( 6X > 5X ) P ( 6X 5X > ) P ((3X )(X ) > ) ( P X > ) ( + P X < ) 3 ( P 3 X ) 3 ( x)dx 9 36

3 f X (x) f X ( x) ( x) X Σχήµα : Η γραφική παράσταση της σ.π.π. για την Άσκηση, υποερώτηµα (α). f X (x) f X ( x) ( x) /3 ½ X Σχήµα : Η γραφική παράσταση της σ.π.π. για την Άσκηση, υποερώτηµα (ϐ). (γ) F X (x) για x < F X (x) x F X (x) για x > ( t)dt t t x x x για x 3

4 Τελικά :, x < F X (x) x x, x, x > Ασκηση.3 Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, F X (u) της τ.µ. X ϕαίνεται στο Σχή- µα (3) F (u) X. u 5 5 Σχήµα 3: Αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, F X (u) της τ.µ. X Άσκησης 3. Υπολογίστε τα ακόλουθα : (α) P (X ). (ϐ) P (X ). (γ) P (X > ). (δ) P (X ). (ε) P ( X 5.). (στ) Κατανοµή, f X (x), της X. Τι είδους µεταβλητή είναι η X; (Ϲ) Μέση τιµή, E[X]. (α) P (X ) F X ().5 (ϐ) P (X ) F X ().75 (γ) P (X > ) P (X ).75.5 (δ) P (X ) P (X > ) + P (X ) (ε) P ( X 5.) P (4.9 X 5.) F X (5.) F X (4.9).55 4

5 (στ) Παρατηρώντας τις ασυνέχειες στην F X (u), συµπεραίνουµε ότι η X είναι µικτή τ.µ. Παίρνει τις τιµές X 5,, 5 µε µη-µηδενικές πιθανότητες : P (X 5) P (X ) P (X 5).5 Επίσης, καθώς F X (x) x για x < 5, παραγωγίζοντας παίρνω ότι f X (x), για x < 5 Η γραφική παράσταση της σ.π.π. της X ϕαίνεται στο Σχήµα 4. f X (x) x Σχήµα 4: Η γραφική παράσταση της σ.π.π. για την Άσκηση 3. (Ϲ) E[X] 5 xdx +.5( ) 5 x Ασκηση.4 Η τυχαία µεταβλητή X είναι εκθετικά κατανεµηµένη µε παράµετρο λ X, δηλαδή ορίζεται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) e x, x οθέντος ότι X x, η τυχαία µεταβλητή Y ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ Y x, δηλαδή η δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι : f Y X (y x) xe xy, y Με A συµβολίζουµε το γεγονός {X }. (α) Υπολογίστε την δεσµευµένη συν. πυκν. πιθανότητας f X A (x A) και συγκρίνετε την µε την περιθωριακή f X (x). (ϐ) Βρείτε την f X,Y (x, y), δηλ. την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των X 5

6 και Y. (γ) Βρείτε την f Y (y), δηλ. την περιθωριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Y. Αφού η Χ ακολουθεί εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ, { e f X (x) x, αν x, αλλιώς (α) Εστω Α το γεγονός ότι X. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της δεσµευµένης συν.πυκν.πιθ., f X (x) f X A (x X ) P (X ), αν x, αλλιώς Πρώτον, υπολογίζουµε την P (X A). Ολοκληρώνοντας την συν. πυκν. πιθανότητας της X στο σύνολο A, f X (x)dx e x dx e x ( e ) e Κατά συνέπεια A f X A (x X ) { e x, αν x, αλλιώς Παρά το ότι δεσµεύσαµε στο γεγονός X > η συν. πυκν. πιθανότητας εξακολουθεί να είναι εκθετική µε παράµετρο λ. Αυτό εξηγείται από την ιδιότητα αµνησίας της εκθετικής τυχαίας µεταβλητής. Για παράδειγµα, αν χρησιµοποιούσαµε την κατανοµή αυτή για να µοντελοποιήσουµε τον χρόνο που περνά µέχρι να συµβεί ένα γεγονός, ακόµα και αν πε- ϱιµέναµε Τ χρονικές µονάδες, η πιθανότητα του να συµβεί το γεγονός εξακολουθεί να χει την ίδια κατανοµή, δηλαδή δεν υπάρχει µνήµη για το αν συνέβη το γεγονός τις πρώτες Τ χρονικές στιγµές ή όχι. (ϐ) Τώρα πρέπει να υπολογίσουµε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των x, y.στην εκφώνηση αναφέρεται ότι δοθέντος x X, Η Y είναι µια εκθετικά κατανεµηµέµη τυχαία µεταβλητή µε παράµετρο λ Y x. Ετσι, { xe f Y X (y X x) xy, αν x, y, αλλιώς Χρησιµοποιώντας τον ορισµό των δεσµευµένων P DF s, και άρα f Y X (y X x) f X,Y (x, y) f X (x) f X,Y (x, y) f Y X (y X x)f X (x). Πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω P DF s έχουµε { xe f X,Y (x, y) x(y+), αν x, y, αλλιώς 6

7 (γ) Για να ϐρούµε την περιθωριακή PDF της Y, ολοκληρώνουµε την από κοινού P DF των X και Y πάνω σε όλα τα x. Ετσι, f Y (y) x f X,Y (x, y)dx xe x(y+) dx x y + e x(y+) + e x(y+) dx y + (y + ) e x(y+) (y + ) όπου χρησιµοποιήσαµε ολοκλήρωση κατά µέλη. Εποµένως, η περιθωριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Υ είναι {, αν y (y+) f Y (y), αλλιώς Ασκηση.5 Οι τυχαίες µεταβλητές X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { c, αν y < x f X,Y (x, y), αλλιώς Εστω A το γεγονός X / και B το γεγονός Y < X. Συνίσταται να χρησιµοποιείσετε διαγράµµατα για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις. Είναι οι X και Y ανεξάρτητες ; Εξηγείστε. Υπολογίστε την τιµή του c. Υπολογίστε την P (A). Υπολογίστε την P (B). Υπολογίστε την P (B A). Υπολογίστε την P (A B). Υπολογίστε την E[XY ]. Ας κοιτάξουµε το παρακάτω για να ελέγξουµε την ανεξαρτησία. f X (x) Οµοίως f X,Y (x, y)dy x cdy cx, για x f Y (y) cdx c( y) για x y Προφανώς f X,Y (x, y) f X (x)f Y (y) Εποµένως, οι X και Y δεν είναι ανεξάρτητες. 7

8 Ο όγκος κάτω από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, και στο χωρίο που ο- ϱιζουν οι (X, Y ) (τρίγωνο που ορίζεται από τα σηµεία (, ), (, ), (, )), πρέπει να ισούται µε. ( ϐάση ύψος ) f X,Y (x, y)dxdy c c c Αρα c /. Πρίν προχωρήσουµε στα επόµενα ερωτήµατα, ας σχεδιάσουµε το διδιάστατο επίπεδο των τ.µ. X, Y. Από την εκφώνηση έχουµε οτι y < x, άρα σίγουρα ϑα µας χρειαστεί η ευθεία y x και επίσης η x (ως άνω όριο του χωρίου που ορίζεται η κατανοµή). Επίσης, από τα ενδεχόµενα που ορίζονται στην εκφώνηση, ϑα πρέπει να σχεδιάσουµε την y x, καθώς και την x /. Ολα αυτά µας χρειάζονται για να ορίσουµε τα χωρία που ικανοποιούν τις ανισότητες. Ολες αυτές οι ευθειες, καθώς και µερικά χρήσιµα χωρία, έχουν παρασταθεί στο Σχηµα (5). Y x/ yx y-x C5 C4 (½, ½) C C3 C / X Σχήµα 5: Η γραφική παράσταση της σ.π.π. για την Άσκηση 5. Εχοντας ϐρει στο πρώτο ερώτηµα την περιθωριακή συνάρτηση πιθανότητας f X (x), και έχοντας c /, µπορούµε πολύ εύκολα να πούµε οτι P (X /) / f X (x)dx / x xdx 4 / Οµως ας προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη πιθανότητα κατ ευθείαν από την από κοινού κατανοµή. P (A) P (X /) P (X /, Y < X ) 8

9 Η περιοχή που ορίζεται από το {X /, Y < X } ϕαινεται στο Σχήµα (5) ως η περιοχή που αποτελείται από τα χωρία C, C, δηλ. C C. Σε αυτήν την περιοχή, το X είναι πάντα µεγαλύτερο του / (και προφανώς µικρότερο του, από τον ορισµό), ενώ ταυτόχρονα το Y < X (η περιοχή κάτω και δεξιά από την ευθεία y x). Με περισσότερη λεπτοµέρεια, το χωρίο που ικανοποιεί την {X /} είναι αυτό που ορίζεται δεξιότερα της κατακόρυφης ευθείας x /, δηλ. περιλαµβάνει τα χωρία C, C, C5. Το χωριο που ικανοποιεί την { Y < X } είναι αυτό που ορίζεται κάτω από την ευθεία y x, δηλ. περιλαµβάνει τα χωρία C, C, C3. Το χωρίο που ικανοποιεί την τοµή των δυο παραπάνω γεγονότων είναι η τοµή των χωρίων, δηλ. το C C. Άρα P (A) P (X /) P (X /, Y < X ) / y x dx / x x dx 4 / / x dydx Ας ϐρούµε τώρα το χωρίο που ορίζεται από το γεγονός B {Y < X}. Η ευθεία y x που έχουµε σχεδιάσει ϑα µας ϐοηθήσει. Τα χωρία C, C3, C4 είναι αυτά που ικανοποιούν το γεγονός B, γιατι τα σηµεία (X, Y ) των χωρίων αυτών έχουν πάντα Y < X. Οµως από εκφώνηση έχουµε ότι Y < X. Άρα P (B) P (Y < X) P ( X, Y < X) y x dx 4 4 x dx x x 4 x dydx Προσέξτε ότι εδώ ΕΝ µπορούµε να δουλέψουµε µόνο µε την f Y (y), όπως κάναµε µε την f X (x) στο προηγούµενο ερώτηµα, γιατι το Ϲητούµενο γεγονός εµπλέκει και τις δυο τ.µ. Εχουµε Οµως P (B A) P (A B)/P (A) P (X / Y < X)/P (X /) P (X /) 5 6 από προηγούµενο ερώτηµα. Στο Σχήµα (5), το γεγονός {A {X /} B {Y < X}} αντιστοιχεί στην τοµή των χωρίων που ορίζουν τα A, B. Για το γεγονός A, είδαµε παραπάνω ότι το χωρίο που του αντιστοιχεί είναι το C C. Για το γεγονός B, ειδαµε επίσης ότι αντιστοιχεί στο χωρίο C C3 C4. Άρα η τοµή τους είναι το 9

10 χωρίο C. Οπότε P (B A) P (X / Y < X)/P (X /) 6 P (X / Y < X) 5 6 x 6 y dydx x dx 6 x dx 5 / 5 / 5 / 6 ( x ) 5 x 6 4 / 5( ) Εχουµε Οµως P (A B) P (A B)/P (B) P (X / Y < X)/P (Y < X) P (Y < X) 4 από προηγούµενο ερώτηµα. Παραπάνω ϐρήκαµε και την πιθανότητα P (X / Y < X). Άρα εύκολα έχουµε 6 P (A B) P (A B)/P (B) P (X / Y < X)/P (Y < X) /6 /4 4 Εχουµε E[XY ] xyf X,Y (x, y)dxdy y xy dxdy 4 y(4 y )dy Ασκηση.6 Η τυχαία µεταβλητή X είναι εκθετικά κατανεµηµένη µε παράµετρο λ X, δηλαδή ορίζεται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x) e x, x (α) Παράγετε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της f Z (z), όπου Z e 3X (ϐ) Οι τυχαίες µεταβλητές X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { c, αν y < x f X,Y (x, y), αλλιώς Να παραχθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της f Z (z), όπου Z Y X. (α) Η CDF της Z είναι : F Z (z) P (Z z) P (e 3x z) P (X ln z 3 ) ln z 3 e x dx e x ln z/3 e ln z 3 z 3

11 και η PDF f Z (z) df Z(z) dz 3 z 4 3, για z <. (ϐ) Εχουµε άρα για z <. F Z (z) P (Z z) P (Y/X z) P (Y zx) P ( < X, Y zx) zx zx czx cz czxdx f X,Y (x, y)dydx cdydx f Z (z) df Z(z) dz c Ασκηση.7 Ενας ανθρακωρύχος είναι παγιδευµένος σε στοά από την οποία ξεκινούν τρεις σήραγγες. Η πρώτη από αυτές οδηγεί στην έξοδο µετά από 3 ώρες πορείας. Η δεύτερη οδηγεί πίσω στη στοά (και στο µέρος από το οποίο ο ανθρακωρύχος ξεκίνησε) µετά από 5 ώρες. Η τρίτη οδηγεί επίσης πίσω στη στοά µετά από 7 ώρες. Αν υποθέσουµε ότι ο ανθρακωρύχος επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα κάθε ϕορά µία από τις τρεις σήραγγες (δυστυχώς δεν ϑυµάται τίποτε σχετικά µε το ποια σήραγγα επέλεξε την τελευταία ϕορά...), ποιος είναι ο µέσος χρόνος µέχρι να ϐρει την έξοδο Χρησιµοποιείστε το ϑεώρηµα ολικής µέσης τιµής, ορίζοντας τις κατάλληλες τυχαίες µετα- ϐλητές. Εστω ότι X δηλώνει την ποσότητα χρόνου (σε ώρες) εως ότου ο ανθρακωρύχος να ϕθάσει στην έξοδο. Επίσης, έστω ότι Y δηλώνει την σήραγγα που αρχικά επιλέγει. Είναι : E[X] E[X Y ]P {Y } + E[X Y ]P {Y } + E[X Y 3]P {Y 3} (E[X Y ] + E[X Y ] + E[X Y 3]) 3 Οµως, E[X Y ] 3 E[X Y ] 5 + E[X] E[X Y 3] 7 + E[X] ()

12 Για να καταλάβετε γιατί το σύνολο εξισώσεων () είναι σωστό, ϑεωρήστε για παράδειγµα την δεύτερη εξίσωση E[X Y ]. Αν ο ανθρακωρύχος διαλέξει την δεύτερη σήραγγα, ϑα ξοδέψει 5 ώρες στην σήραγγα και έπειτα ϑα ξαναγυρίσει πίσω στο ίδιο µέρος από το οποίο ξεκίνησε στην στοά. Αλλά όταν γυρίσει πίσω, το πρόβληµα είναι σαν να ξεκινάει από την αρχή. Οπότε, ο αναµενόµενος επιπρόσθετος χρόνος για να ϕθάσει στην έξοδο ϑα είναι απλώς E[X]. Εποµένως, E[X Y ] 5 + E[X]. Παρόµοιο επιχείρηµα ϑα ισχύει και για τις άλλες εξισώσεις του συνόλου εξισώσεων (). Συνεπώς, E[X] ( E[X] E[X]) 3 ή E[X] 5 Ασκηση.8 Εστω ότι η τ.µ. X είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [, 4]. Η X µετασχηµατίζεται στην τ.µ. Y X. (α) ώστε τη γραφική παράσταση του µετασχηµατισµού και ϐρείτε το πεδίο τιµών της Y. (ϐ) Βρείτε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής, F Y (y), και κατόπιν τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, f Y (y), της τ.µ. Y. (α) Το πεδίο τιµών της Y είναι το [, 3]. y 4 3 y -x y x+ - 5 x Σχήµα 6: Γραφική παράσταση των y x και y + x (ϐ) Εχουµε ότι : y, F Y (y) P (Y y) y 3, F Y (y) P (Y y)

13 f X (x) Σχήµα 7: Γραφική παράσταση της f X (x) x y, F Y (y) P (Y y) P ( y X + y) [( + y) ( y)].4 y 5 y 3, Οπότε έχουµε : Συνεπώς, F Y (y) P (Y y) P ( y X 4) [4 ( y)]. ( + y) 5 y.4 y y F Y (y). ( + y) y 3 y 3 f Y (y) df Y (y) dy.4 y. y 3 αλλού Το Σχηµα (8) δίνει τη γραφική παρασταση της κατανοµής. f Y (y) Σχήµα 8: Γραφική παράσταση της f Y (y) y 3

14 Ασκηση.9 Σε ένα γραµµικό όργανο µέτρησης, η σχέση εισόδου-εξόδου είναι Y GX, όπου τα µεγέθη X, Y, και G συµβολίζουν την είσοδο, την έξοδο, και το κέρδος του οργάνου, αντίστοιχα. Το κέρδος G είναι τ.µ. οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [.5,.5] ενώ η είσοδος X είναι τ.µ. επίσης οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [, ] και είναι ανεξάρτητη της G. (α) Υπολογίστε τη δεσµευµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Y/X (y/x). Προσέξτε ότι για κάθε δυνατή τιµή X x της εισόδου X, πρέπει να καθορίσετε τις δυνατές τιµές της εξόδου Y καθώς και την έκφραση της f Y/X (y/x). (ϐ) Υπολογίστε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X,Y (x, y). ώστε την γραφική παράσταση όπου η f X,Y (x, y) παίρνει µη µηδενικές τιµές (δηλαδή το πεδίο τιµών των (x, y) στο επίπεδο). (γ) Υπολογίστε και δώστε τη γραφική παράσταση της συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εξόδου Y, f Y (y). (δ) Το όργανο σας δίνει τη µέτρηση Y /. Υπολογίστε και δώστε τη γραφική παράσταση της δεσµευµένης συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εισόδου X, f X/Y (x/y ). (α) εδοµένου του X x, έχουµε f Y X (y x) x f G ( y x) είναι οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [.5x,.5x]. Πιο διαισθητικά, δεδοµένου του X x, έχουµε ότι Y Gx, όπου x µπορεί να το δούµε και ως σταθερά. f Y X (y x) { x, x, αλλιώς (ϐ) Είναι f X,Y (x, y) f Y X (y x)f X (x) x, x y 3x, < x <. (γ) Ειναι f Y (y) f X,Y (x, y)dx y /3y /3y x dx ln(y) ln(y 3 ) ln(3), < y < x dx ln(y 3 ), (δ) Είναι f X,Y (x, /) /x f X Y (x y /) f Y (/) ln(3), /3 x <, αλλιώς 4

15 Σχήµα 9: Η γραφική παράσταση για το υποερώτηµα (ϐ) της άσκησης 9. Σχήµα : Η γραφική παράσταση για το υποερώτηµα (γ) της άσκησης 9. Σχήµα : Η γραφική παράσταση για το υποερώτηµα (δ) της άσκησης 9. 5

16 Ασκηση. ύο συνεχείς τ.µ. X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας { c, y, x + y f X,Y (x, y), αλλιώς. (α) ώστε τη γραφική παράσταση της από κοινού σ.π.π. Υπολογίστε τη σταθερά c και τις περιθωριακές σ.π.π. f X (x) και f Y (y). ώστε τη γραφική παράσταση των δύο σ.π.π. Είναι οι τ.µ. X και Y ανεξάρτητες ; (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος {X Y }. (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος {X + Y }. (δ) Υπολογίστε τις δεσµευµένες σ.π.π. f X/Y (x/y) και f Y/X (y/x). (α) Η περιοχή όπου η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι c ϕαίνεται στο Σχήµα (). Πρόκειται για ένα τρίγωνο µε ϐάση και ύψος. Οι δυο ευθείες y -x+y y - x x+y Σχήµα : Χωρίο ορισµού από κοινού κατανοµής Άσκησης. προέρχονται από τη σχέση x + y x y ( y) x y y x y Για την σταθερά c πρέπει + ( ϐάση ύψος ) f xy (x, y)dxdy c Άρα c. Οσον αφορά τις περιθωριακές, γενικά ισχύει ότι και Από το Σχήµα () ϕαίνεται ότι, f X (x) f Y (y) + + f XY (x, y)dy f XY (x, y)dx c 6

17 Άρα, Για x, f X (x) Για x, f X (x) Οµοίως για y, f Y (y) +x x cdy + x cdy x. + x, x f X (x) x, x, αλλού. f Y (y) + f XY (x, y)dy y y { ( y), y, αλλού. cdx ( y). ηλαδή, Προφανώς, f XY (x, y) f X (x)f Y (y) και οι τυχαίες µεταβλητές X, Y δεν είναι ανεξάρτητες. f ( ) X x f ( ) Y y - x Y Σχήµα 3: Περιθωριακές κατανοµές Άσκησης. (ϐ) Η ευθεία y x/ ϕαίνεται στη γραφική παράσταση του Σχήµατος (4). Το διπλό ολοκλήρωµα της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας στο γραµµοσκιασµένο τρίγωνο µε ϐάση (, ) και ύψος 3 στο σηµείο (, ) ισούται µε την 3 3 πιθανότητα P (X Y ). Άρα, P (X Y ) /3 y /3 y dxdy ( y y)dy /3 x y y dy ) (y 3 y / Εναλλακτικά, επειδή η από κοινού κατανοµή είναι σταθερή, µπορούµε να ϐρούµε το ιδιο αποτέλεσµα απλά ϐρίσκοντας το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου τµήµατος και πολλαπλασιάζοντάς το µε τη c: P (X Y ) c E(τριγώνου) 3 6 7

18 (γ) Οµοίως από το Σχήµα (5) έχουµε ότι το Ϲητούµενο χωρίο είναι αυτό που έχει γραµµοσκιαστεί ως E. Για να το υπολογίσουµε αναλυτικά πρέπει να σπάσουµε το χωρίο E σε δυο µικρότερα. Οµως, όπως είπαµε µόλις παραπάνω, µπορούµε να υπολογίσουµε τη Ϲητούµενη πιθανότητα µε χρηση εµβαδών, δηλ. ως το εµβαδόν του µεγάλου τριγώνου (όλου το χωρίου δηλαδη) µείον το εµβαδον του E : 3/ 3/ P (X+Y ) ) c E ((E +E ) E ) 6 6 Σχήµα 4: Χωρίο για τον υπολογισµό του P (X Y ) µε ϐάση την απο κοινού κατανοµή. Σχήµα 5: Χωρίο για τον υπολογισµό του P (X + Y /) µε ϐάση την απο κοινού κατανοµή. 8

19 (δ) Εχουµε f X Y (x y) f XY (x, y) f Y (y), x y, < y <, ( y) f Y X (y x) f XY (x, y) f X (x), < y < x, x. x Ασκηση. Οι ανεξάρτητες συνεχείς τ.µ. X και Y ακολουθούν καθεµιά οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα (, ). Ορίζουµε την τ.µ. Z X+Y. (α) ώστε τη γραφική παράσταση της από κοινού σ.π.π. των X και Y. (ϐ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της Z, F Z (z). (γ) Υπολογίστε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Z, f Z (z). (α) Αφού οι X, Y είναι ανεξάρτητες, f X,Y (x, y) f X (x)f Y (y) {, x, y, αλλού Εχουν δηλαδή από κοινού οµοιόµορφη κατανοµή. (ϐ) Το πεδίο τιµών της τ.µ. Z είναι το [, + ). F Z (z) P (Z z) P ( X + Y z) P (X + Y z ), z < / E HΓΘ, / z E ABΓ E, < z < +, z < / ( z ), / z z Y E Δ - (z -, ) Β, < z < + - (z, ) A X - X+Y z, <z<+ Θ Γ Η - X+Y z, ½ <z< (γ) f Z (z) df Z(z) dz { z z 3, / z z 3, < z < + 9

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4

12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49

p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]

cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ] Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα ιακριτές τυχαίες µεταβλητές Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Μέση τιµή τυχαίων µεταβλητών Ροπές, διασπορά, και τυπική απόκλιση τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k

(365)(364)(363)...(365 n + 1) (365) k ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 21//2016 Ηµεροµηνία Παράδοσης :

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 16 εκεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ενδιαφέρον τόσο από ϑεωρητική άποψη, όσο και από άποψη εφαρµογών, παρουσιάζει και η από κοινού µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

8ο Φροντιστηριο ΗΥ217

8ο Φροντιστηριο ΗΥ217 8ο Φροντιστηριο ΗΥ217 Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 10 Ιανουαρίου 2014 Ασκηση 0.1 Εστω ότι η τ.µ. X ακολουθεί Γκαουσιανή κατανοµή µε µέση τιµή 10 και διασπορά σ 2 = 4, δηλαδή X N( 10, 4). Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

f X,Y (x, y)dxdy = 1,

f X,Y (x, y)dxdy = 1, Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 5: Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διδιάστατη συνεχής τ.μ. Διδιάστατη συνεχής τ.μ. Μια διδιάστατη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

P (M = 9) = e 9! =

P (M = 9) = e 9! = Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1

Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1 Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική Τµήµα Τεχνολογίας και Συστηµάτων Παραγωγής Θέµα ον α) Έστω Ακαι Β δύο ενδεχόµενα ενός πειράµατος και έστω ότι ισχύει : (Α).5, (Α Β).6, (Β) q i)γιαποιατιµήτου qταακαιβείναιξένα;

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9

P (A) = 1/2, P (B) = 1/2, P (C) = 1/9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-1: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /11/011 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 1/11/011

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)

Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50

Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Άσκηση 1 η 1 η Εργασία ΔΙΠ50 Ακολουθούν ενδεικτικές ασκήσεις που αφορούν την πρώτη εργασία της ενότητας ΔΙΠ50 Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6)

400 = t2 (2) t = 15.1 s (3) 400 = (t + 1)2 (5) t = 15.3 s (6) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Πρώτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. Θεωρούµε ως χρονικό σηµείο αναφοράς τη στιγµή που

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 3 Νοεµβρίου 29 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ας ϑεωρήσουµε µια συνεχή τυχαία µεταβλητή X ορισµένη στον Ω µε πεδίο τιµών το διάστηµα [α, ϐ], όπου α < ϐ πραγµατικοί αριθµοί. Η οµοιόµορφη

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 3o. όπου x = max{m N 0 : m x} και N 0 = {0, 1, 2,...} Λύση. Ιδιότητες αθροιστικής: lim F (x) = 0 αφού F (x) = 0 για x < 1.

Φροντιστήριο 3o. όπου x = max{m N 0 : m x} και N 0 = {0, 1, 2,...} Λύση. Ιδιότητες αθροιστικής: lim F (x) = 0 αφού F (x) = 0 για x < 1. Φροντιστήριο 3o Όπως έχουμε πει, αναλόγως με τη μορφή που έχει το στήριγμα, διακρίνουμε τις κατανομές σε διακριτές και μη διακριτές. Συγκεκριμένα, μια κατανομή ονομάζεται διακριτή όταν έχει διακριτό στήριγμα,

Διαβάστε περισσότερα

P = 0 1/2 1/ /2 1/

P = 0 1/2 1/ /2 1/ Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 206 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 7ο Φροντιστήριο Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Μια Μαρκοβιανή

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας.

Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Η Ι Η Η Ο Α ΙΑ Α Ι Η ΙΟ Η Η Εφα ο αν α α Π όχε ε Σ ε ώ ε Π α ό ε Κεφά α ο 3 ο Ν α α,ν α αν αφ Ν(α α ώ,ν υ π ώ ) ανεπ Ν α Ν χ ο ογ α Ν ώ Κεφάλαιο 3: Τυχαίες µεταβλητές και κατανοµές πιθανότητας. Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας

Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 2014 Αθ.Κεχαγιας Σημειώσεις: Λογισμός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής v..9 Θ. Κεχαγιάς Σεπτέμβριος 4 Περιεχόμενα Πρόλογος ii Εισαγωγή iv Οριο και Συνέχεια Παράγωγος 8 3 Λογαριθµικές και Εκθετικές Συναρτήσεις 3 4 Τριγωνοµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις Παρασκευή 16 Οκτωβρίου 2007 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (15:00-18:00) ΘΕΜΑ 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου 1 Εμβαδά 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α=, να υπολογιστεί η παράσταση: 9 9 f ( x) dx f ( x) dx 1 6 ) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 013-014 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση 1: υο ευθείες [ɛ 1 : y = m 1 x + a 1,ɛ 1 : y = m x + a ], τέµνονται και σχηµατίζουν γωνία θ (ϐλέπε

Διαβάστε περισσότερα

P m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3)

P m (x)p n (x)dx = 2 2n + 1 δn m. P 1 (x) = x. P 2 (x) = 1 2 (3x2 1) P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3) ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ LEGENDRE Τα πολυώνυμα Legendre P n (x είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο διάστημα [ 1, +1], με συνάρτηση βάρους την w(x = 1, άρα ισχύει: +1 1 P m (xp n (xdx = 2 2n + 1 δn m Τα επτά πρώτα πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι

8 Άρα η Ϲητούµενη πιθανότητα είναι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 014 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 4/10/014 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 5/11/014

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Βρίσκεστε

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

/ / 38

/ / 38 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-37: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 205-6 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 0 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Ο Κώστας πηγαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα