ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Transcript

1 ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ Ο ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Το πρόβληµα του υπολογισµού διαφόρων εµβαδών προκάλεσε την ανάπτυξη διαδικασιών άθροισης που οδήγησαν στη δηµιουργία του ολοκληρωτικού λογισµού. Ο Αρχιµήδης πρωτεργάτης σε µία τέτοια προσπάθεια ίσως και να έφτανε στον τελικό σκοπό αν δεν είχε τον άδοξο και ξαφνικό θάνατο. Αλλά και άλλοι αρχαίοι Έλληνες όπως ο Απολλώνιος µπορούσαν να σχεδιάσουν εφαπτόµενες σε κύκλους και κωνικές τοµές. Η µεγάλη στιγµή της σχεδίασης των εφαπτοµένων σε καµπύλες και του υπολογισµού µεγίστων και ελαχίστων τιµών συναρτήσεων που οδήγησε στη δηµιουργία του διαφορικού λογισµού έρχεται µετά από 19 αιώνες γύρω στο 1650 από το Νεύτωνα και τον Λαϊµπνιτς. Η ιστορία των Μαθηµατικών έχει καταγράψει µία πολύ µεγάλη Αγγλογερµανική διαµάχη γύρω από την πρωτιά της µεγάλης αυτής ανακάλυψης. Τούτο βέβαια οφείλεται στο ότι ο µεν Νεύτων άργησε να δηµοσιεύσει το έργο του (1687) και ότι ο Λαϊµπνιτς ενώ είχε πάρει επιστολή από τον Νεύτωνα µε την ανάπτυξη του λογισµού του, το 1684 που δηµοσίευσε την ανακάλυψή του δεν έχανε καµία αναφορά στο αντίστοιχο επίτευγµα του Νεύτωνα. Αργότερα ο Newton δηµοσίευσε τα πεπραγµένα στην επιστηµονική του διατριβή Philosophie haturalis principia, οπότε οι σύγχρονοι διάδοχοί του άρχισαν µία διαµάχη που έφτασε µέχρι του σηµείου να εξελιχθεί και σε πολιτική διαµάχη ανάµεσα σε Αγγλία και Γερµανία. Η υπέρµετρη Αγγλική υπερηφάνεια έχει σαν αποτέλεσµα για πολλά χρόνια, Άγγλοι Μαθηµατικοί να παραµένουν στον συµβολισµό του Newton και τα Αγγλικά Μαθηµατικά να έχουν µεγάλη φθορά. Πάντως το συµπέρασµα της ιστορικής έρευνας δείχνει ότι Newton και Leibniz, ακολουθώντας διαφορετικούς δρόµους ο καθένας έφτασαν στον ίδιο στόχο. Να σηµειώσουµε ότι ο Newton προσέγγισε το διαφορικό λογισµό από τη φυσική του πλευρά, θεωρώντας µία καµπύλη παραγόµενη από συνεχή κίνηση ενός σηµείου. Έτσι οι δύο αυτοί άντρες πρέπει να θεωρηθούν ανεξάρτητοι επινοητές του διαφορικού λογισµού.

2 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙ Η: Η ΒΙΒΛΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μετά το θάνατο του Μεγάλου Αλεξάνδρου στα 323 π. Χ., η αχανής µακεδονική αυτοκρατορία διαιρέθηκε σε τρεις περιοχές. Η περιοχή που περιλάµβανε την Αίγυπτο περιήλθε κάτω από την άξια ηγεµονία του ικανού στρατηγού Αλεξάνδρου Πτολεµαίου του Σωτήρως, ο οποίος σύντοµα κέρδισε τη βασιλεία της περιοχής. Ο Πτολεµαίος επέλεξε για πρωτεύουσα της περιοχής του την Αλεξάνδρεια, λίγα µόνο µίλια από τις εκβολές του ποταµού Νείλου και γύρω στα 300 π. Χ. άνοιξε τις πόρτες του περίφηµου πανεπιστηµίου της Αλεξάνδρειας. Ανάµεσα στους µελετητές που κλήθηκαν να επανδρώσουν το νέο ίδρυµα ήταν και ο µαθηµατικός Ευκλείδης, που πιθανότατα υπήρξε µαθητής της Ακαδηµίας του Πλάτωνα στην Αθήνα. Ο Ευκλείδης από τη στιγµή που ανέλαβε τα καθήκοντά του στην Αλεξάνδρεια, όρισε ανάµεσα στους στόχους του τη συγκρότηση του µνηµειώδους και ιστορικά σηµαντικού έργου του, των Στοιχείων. Αυτή η αξιόλογη και εκτεταµένη εργασία, γραµµένη σε δεκατρία βιβλία ή µέρη, αποτελεί την αρχαιότερη εφαρµογή της αξιωµατικής µεθόδου που έχει φτάσει στα χέρια µας. Θεωρείται ο πρώτος µεγάλος σταθµός στην ιστορία της οργάνωσης των µαθηµατικών και η µετέπειτα επίδρασή της στον επιστηµονικό τρόπο γραφής πολύ δύσκολα µπορεί να περιγραφεί. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη διεκδικούν αναµφισβήτητα µία θέση ανάµεσα στις µεγάλες στιγµές των µαθηµατικών. Η εργασία αυτή εκτόπισε τόσο γρήγορα και ολοκληρωτικά όλες τις προηγούµενες εργασίες ανάλογου περιεχοµένου, που σήµερα δεν υπάρχουν αντίγραφα προηγούµενων προσπαθειών και απλά γνωρίζουµε την ύπαρξή τους από σχόλια µεταγενέστερων συγγραφέων. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη από την πρώτη εµφάνισή τους κέρδισαν τεράστια εκτίµηση. Με µοναδικά εξαίρεση τη Βίβλο, καµία άλλη εργασία δεν χρησιµοποιήθηκε, µελετήθηκε ή εκδόθηκε τόσο πολύ. Για πάνω από δύο χιλιετίες κυριάρχησε στο χώρο διδασκαλίας της γεωµετρίας. Από την πρώτη έκδοσή της στα 1472 έχει γνωρίσει πάνω από χίλιες εκδόσεις. Το περιεχόµενο και η µορφή της επέδρασαν εντυπωσιακά στην ανάπτυξη του αντικειµένου της και της λογικής θεµελίωσης των µαθηµατικών.

3 3. Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΓΑ ΠΡΟΝΟΜΙΟ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ Οι Έλληνες πέτυχαν πάρα πολλά πράγµατα στα µαθηµατικά τα τριακόσια χρόνια που ακολούθησαν το Θαλή στα 600 π. Χ. Όχι µόνο οι Πυθαγόρειοι και άλλοι κατάφεραν να αναπτύξουν ένα σηµαντικό µέρος της στοιχειώδους γεωµετρίας και της θεωρίας αριθµών, αλλά δηµιούργησαν επίσης έννοιες σχετικές µε απειροστά και διαδικασίες πρόσθεσης, που αργότερα, τον 17 ο αιώνα, ανθοφόρησαν στην ανάλυση. Ανέπτυξαν επίσης ανώτερη γεωµετρία (δηλαδή γεωµετρία καµπυλών, διαφορετικών από την ευθεία γραµµή και τον κύκλο και γεωµετρία επιφανειών, διαφορετικών από το επίπεδο και τη σφαίρα). Κατά περίεργο τρόπο, ένα µεγάλο µέρος αυτής της ανώτερης γεωµετρίας δηµιουργήθηκε από τις άκαρπες προσπάθειες να λυθούν τρία διάσηµα και προκλητικά προβλήµατα της αρχαιότητας ο διπλασιασµός του κύβου, η τριχοτόµηση τυχαίας γωνίας και ο τετραγωνισµός του κύκλου δίνοντας έτσι περιεχόµενο στην αρχή που θέλει την ανάπτυξη των µαθηµατικών να υποκινείται από την παρουσία προκλητικών άλυτων προβληµάτων. Αλλά η µεγαλύτερη ίσως επιτυχία των ελληνικών µαθηµατικών στα τριακόσια πρώτα χρόνια της ζωής τους ήταν η αντίληψη των Ελλήνων για τη λογική πραγµάτευση ενός θέµατος τη θεωρούσαν σαν µία ακολουθία προτάσεων που προκύπτουν µε παραγωγικό συλλογισµό από ένα αποδεκτό σύνολο αρχικών προτάσεων που υιοθετούσαν στην αρχή της πραγµάτευσης. Ασφαλώς στην παρουσίαση ενός συλλογισµού µε παραγωγική διαδικασία, κάθε πρόταση του συλλογισµού πρέπει να παράγεται από κάποια προηγούµενη πρόταση ή προτάσεις συλλογισµού, και κάθε τέτοια προηγούµενη πρόταση πρέπει και η ίδια να παράγεται από ακόµα προγενέστερη πρόταση ή προτάσεις. Αφού αυτό δεν µπορεί να συνεχίζεται απεριόριστα και για να µην καταλήξουµε σε φαύλο κύκλο, παράγοντας µία πρόταση q από µία πρόταση p και αργότερα παράγοντας την πρόταση p από την πρόταση q, πρέπει συνεπώς από την αρχή να προσδιορίσουµε ένα σύνολο αρχικών προτάσεων, που η αλήθεια τους να είναι δεκτή από τον αναγνώστη και στη συνέχεια να προχωρήσουµε µε καθαρά παραγωγικό συλλογισµό, για να παραγάγουµε όλες τις άλλες προτάσεις. Και οι αρχικές και οι παραγόµενες προτάσεις της πραγµάτευσης αφορούν το τεχνικό της µέρος και συνεπώς περιέχουν ειδικούς ή τεχνικούς όρους. Αυτοί οι όροι πρέπει να ορίζονται. Και επειδή κάποιοι τεχνικοί όροι πρέπει να ορίζονται µε τη βοήθεια άλλων τεχνικών όρων και οι τελευταίοι µε τη βοήθεια ακόµη άλλων, βρισκόµαστε πάλι µπροστά στη δυσκολία που συναντήσαµε µε τις προτάσεις. Για να µπει µία αρχή και να αποφεύγονται οι κυκλικοί ορισµοί κατά τους οποίους ο όρος y ορίζεται µε

4 τη βοήθεια του όρου x και µετά αργότερα ο όρος x µε τη βοήθεια του y, πρέπει πάλι να προσδιορίσουµε στην αρχή της πραγµάτευσης ένα σύνολο βασικών τεχνικών όρων, µε επεξηγήσεις σύµφωνα µε τους Έλληνες, του τρόπου που θα τους χρησιµοποιήσουµε. Όλοι οι µετέπειτα τεχνικοί όροι ορίζονται τότε προσεκτικά µε τη βοήθεια αυτού του συνόλου των τεχνικών όρων. Μία λογική πραγµάτευση σύµφωνα µε τους Έλληνες θα έπρεπε να αναπτυχθεί σύµφωνα µε τον ακόλουθο πρότυπο: Πρότυπο Πραγµατικής* Αξιωµατικής Μεθόδου (Α) ίνονται αρχικές ερµηνείες ορισµένων τεχνικών όρων µε σκοπό να εξηγηθεί στον αναγνώστη ποιο θα είναι το νόηµα αυτών των βασικών όρων. (Β) Καταγράφονται ορισµένες αρχικές προτάσεις σχετικά µε τους βασικούς όρους, προτάσεις που πιστεύεται ότι είναι αποδεκτές από τον αναγνώστη ως αληθείς, σύµφωνα µε τις ιδιότητες που περιέχονται στις αρχικές ερµηνείες. Αυτές οι προτάσεις ονοµάζονται αξιώµατα ή αιτήµατα. (Γ) Ορίζονται όλοι οι άλλοι όροι της πραγµάτευσης µε τη βοήθεια των όρων που δόθηκαν προηγούµενα. ( ) Όλες οι άλλες προτάσεις της πραγµάτευσης παράγονται λογικά από τις προτάσεις που προηγούµενα έγιναν αποδεκτές ή αποδείχτηκαν. Αυτές οι προτάσεις που παράγονται ονοµάζονται θεωρήµατα. Μια µελέτη που ολοκληρώνεται σύµφωνα µε το παραπάνω σχέδιο λέµε σήµερα ότι αναπτύσσεται µε την πραγµατική αξιωµατική µέθοδο. Η πιο σηµαντική συνεισφορά των αρχαίων Ελλήνων στα µαθηµατικά ήταν ασφαλώς η διατύπωση του προτύπου της πραγµατικής αξιωµατικής µεθόδου και η επιµονή τους να συστηµατοποιηθούν τα µαθηµατικά σύµφωνα µ αυτό το πρότυπο. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΜΕΣΑ ΣΤΙΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΤΙΓΜΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. *Με τον όρο πραγµατική µεταφράζουµε το material πιστεύοντας πως έτσι αποδίδουµε καλύτερα την έννοια του (Σ.τ.µ.). Από το βιβλίο του HOWARD EVES: Μεγάλες στιγµές των Μαθηµατικών, Εκδόσεις ΤΡΟΧΑΛΙΑ.

5 4. Ο ΜΥΘΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Η ΤΟΝΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΓΑΛΙΛΑΙΟ, ΤΟΝ ΚΕΠΛΕΡ ΚΑΙ ΟΧΙ ΜΟΝΟ Ο δυνατός Ανταίος, ο γίγαντας γιος του Ποσειδώνα, του Θεού της Θάλασσας και της Θεάς Γης είχε µία ακαταµάχητη δύναµη όσο βρισκόταν σε επαφή µε τη µητέρα του Γη. Οι ξένοι που πήγαιναν στη χώρα του αναγκάζονταν να παλέψουν µαζί του µέχρι θανάτου. Έτσι, µία µέρα, έτυχε να βρεθούν αντιµέτωποι ο Ηρακλής και οι Ανταίος. Ο Ηρακλής όµως, που γνώριζε από πού αντλούσε ο Ανταίας τη φοβερή του δύναµη, τον σήκωσε ψηλά τον κράτησε πάνω από τη γη και τον τσάκισε ψηλά στον αέρα. Αυτή είναι µία παραβολή για τους µαθηµατικούς. Γιατί, όπως ακριβώς ο Ανταίος γεννήθηκε και γαλουχήθηκε από τη µητέρα του Γη, έτσι και τα σηµαντικά πεδία των µαθηµατικών, αυτά που παραµένουν ζωντανά διαµέσου των αιώνων, έχουν γεννηθεί και γαλουχηθεί από τον πραγµατικό κόσµο. Όπως στην περίπτωση του Ανταίου, έτσι και τα µαθηµατικά θα παραµένουν ισχυρά, όσο διατηρούν την επαφή τους µε τον πραγµατικό κόσµο. Μόλις όµως σηκωθούν πολύ ψηλά, πάνω από το στέρεο έδαφος της γέννησής τους, στον περιβάλλοντα αέρα της καθαρής αφαίρεσης, τότε διατρέχουν τον κίνδυνο να αποδυναµωθούν. Πρέπει απαραίτητα να επιστρέφουν, τουλάχιστον κατά καιρούς, στον πραγµατικό κόσµο για να ανανεώνουν τη δύναµή τους. Μία τέτοια αναζωογόνηση των µαθηµατικών σηµειώθηκε το 17 ο αιώνα, µε τις ανακαλύψεις που έκαναν δύο διαπρεπείς µαθηµατικοί επιστήµονες, ο Γαλιλαίος (Galileo Galilei, ) και ο Κέπλερ (Johann Kepler, ). Ο Γαλιλαίος, µε µία σειρά πειράµατα που άρχισε πριν συµπληρώσει το εικοστό πέµπτο έτος της ηλικίας του, ανακάλυψε ορισµένες βασικές αλήθειες σχετικά µε την κίνηση των σωµάτων στο πεδίο της γήινης βαρύτητας, και ο Κέπλερ, στα 1619, είχε καταλήξει και στους τρεις περίφηµους νόµους του, για την κίνηση των πλανητών. Αυτές οι επιτυχίες αποδείχτηκε ότι επηρέασαν τόσο πολύ την παραπέρα ανάπτυξη των µαθηµατικών, ώστε πρέπει να θεωρηθούν ως δύο από τις µεγάλες στιγµές των µαθηµατικών. Οι ανακαλύψεις του Γαλιλαίου οδήγησαν στη δηµιουργία της σύγχρονης επιστήµης της δυναµικής και οι ανακαλύψεις του Κέπλερ στη δηµιουργία της σύγχρονης ουράνιας µηχανικής. Καθεµία απ αυτές τις µελέτες απαίτησε µε τη σειρά της, για την ανάπτυξή της, να δηµιουργηθεί ένα νέο µαθηµατικό εργαλείο, ο διαφορικός και ο ολοκληρωτικός λογισµός, που να µπορεί να χειρίζεται τη µεταβολή, τη ροή και την κίνηση. Ένας νέος τύπος, µαθηµατικών άρχισε πια να υπάρχει. Συγκρίνοντας τα παλιότερα µε τα νεότερα µαθηµατικά, τα παλιότερα παρουσιάζονται παθητικά και στατικά ενώ τα νεότερα και δυναµικά, σε τέτοιο βαθµό, που τα παλιότερα µαθηµατικά να συγκρίνονται µε το στάδιο της ακίνητης εικόνας στην εξέλιξη της φωτογραφίας, ενώ τα νεότερα µε το στάδιο της κινούµενης εικόνας του

6 κινηµατογράφου. Ακόµα, τα παλιότερα µε τα νεότερα µαθηµατικά έχουν µεταξύ τους τη σχέση που έχει η ανατοµία µε τη φυσιολογία: η πρώτη µελετά το νεκρό σώµα ενώ η δεύτερη το ζωντανό. Τέλος, τα παλιότερα µαθηµατικά ασχολούνται µε το σταθερό και το πεπερασµένο, ενώ τα νεότερα αγκαλιάζουν τη µεταβολή και το άπειρο. Οι νόµοι του Κέπλερ για την πλανητική κίνηση είναι ορόσηµο στην ιστορία της αστρονοµίας και των µαθηµατικών, γιατί ο Νεύτωνας, στην προσπάθειά του να τους επιβεβαιώνει, οδηγήθηκε στην ανάπτυξη της σύγχρονης ουράνιας µηχανικής. Είναι πολύ ενδιαφέρον ότι 1800 χρόνια από τότε που οι Έλληνες ανέπτυξαν τις ιδιότητες των κωνικών τοµών, εµφανιζόταν µία τόσο διαφωτιστική πρακτική εφαρµογή τους. Κανένας δεν µπορεί να ξέρει πότε κάποιο µέρος των καθαρών µαθηµατικών θα δεχτεί µία απρόσµενη εφαρµογή. Από το βιβλίο του HOWARD EVES: Μεγάλες στιγµές των Μαθηµατικών, Εκδόσεις ΤΡΟΧΑΛΙΑ. 5. Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΚΑΡΑΘΕΟ ΩΡΗ ΣΤΗΝ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Μεγάλη στιγµή των µαθηµατικών είναι αυτή κατά την οποία ο Κ. Καραθεοδωρή µε τα µαθηµατικά του θεµελιώνει τη θερµοδυναµική µε σαφή απλά αξιώµατα και ξεκάθαρα µαθηµατικά όπως το συνηθίζει αποσπώντας τον θαυµασµό µεγάλων φυσικών. Παροµοιάζεται µε αυτή κατά την οποία τα Μαθηµατικά πήραν τα πάνω τους µε τους νόµους του Κέπλερ το Βέβαια ο Κ. Καραθεοδωρή σύνδεσε το όνοµά του και µε άλλες µεγάλες στιγµές για τα Μαθηµατικά όπως η αξιωµατική θεµελίωση της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας η ανάπτυξη του λογισµού των µεταβολών µε τους οποίους δύο φορές βοηθά τον Αϊνστάιν για να ξεπεράσει το πρόβληµα των κλειστών γραµµών του χρόνου για να υλοποιήσει την ιδιοφυή σύλληψη της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Όπως επίσης είναι αυτός που δίνει ώθηση στον κλάδο των συναρτήσεων και αυτός δηµιουργεί νέους κλάδους µαθηµατικών µε πρωτότυπες εργασίες όπως αυτή των σύµµορφων απεικονίσεων. Τα παραπάνω κατά καιρούς οµολόγησαν πολύ µεγάλοι φυσικοί Μαθηµατικοί και Ακαδηµαϊκοί του 20 ου αιώνα όπως ο Max Plank, ο Αϊνστάιν, ο Oscar Peron, o Hilberd, o Somerfild, o H. Tietze.

7 6. ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΟΧΙ ΜΟΝΟΝ ΜΕ ΣΥΜΜΕΤΡΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ (ΕΥ ΟΞΟΣ) Η ανακάλυψη των άρρητων αριθµών και των ασύµµετρων µεγεθών δηµιούργησε τεράστιο θόρυβο στις τάξεις των πυθαγορείων. Πρώτα απ όλα φαινόταν να πλήττει θανατηφόρα την πυθαγόρεια φιλοσοφία που υποστήριζε ότι όλα εξαρτώνται από τους ακέραιους αριθµούς. Πώς είναι δυνατόν ένας άρρητος αριθµός όπως ο 2 να εξαρτάται από τους ακέραιους αριθµούς, όταν δεν µπορεί να γραφτεί ως λόγος δύο τέτοιων αριθµών; Έπειτα, φαινόταν αντίθετο µε την κοινή λογική, που υποδείχνει ότι κάθε µέγεθος µπορεί να εκφραστεί µε κάποιο ρητό αριθµό. Το γεωµετρικό αντίστοιχο ήταν εξίσου εντυπωσιακό, γιατί, πάλι σε αντίθεση µε τη διαίσθηση, διαπιστώθηκε ότι υπάρχουν ευθύγραµµα τµήµατα που δεν έχουν κοινή µονάδα µέτρησης. Όλη η πυθαγόρεια θεωρία της αναλογίας και των όµοιων σχηµάτων ήταν χτισµένη πάνω στη φαινοµενικά προφανή υπόθεση ότι δύο οποιαδήποτε ευθύγραµµα τµήµατα είναι σύµµετρα, δηλαδή έχουν κάποια κοινή µονάδα µέτρησης. Ένα µεγάλο µέρος της γεωµετρίας που οι πυθαγόρειοι θεωρούσαν ότι είχαν κατοχυρώσει έπρεπε ξαφνικά να απορριφθεί σαν άχρηστο, αφού οι αποδείξεις ήταν λαθεµένες. Προαναγγελλόταν µια µεγάλη κρίση στα θεµέλια των µαθηµατικών. Ήταν τόσο µεγάλο το «λογικό σκάνδαλο» ώστε, σύµφωνα µε τις φήµες, έγιναν για ένα διάστηµα προσπάθειες να κρατηθεί µυστικό το γεγονός. Αυτό το «λογικό σκάνδαλο» υπήρξε η πρώτη γνωστή κρίση στα θεµέλια των µαθηµατικών και δεν ξεπεράστηκε ούτε εύκολα ούτε γρήγορα. Τελικά, γύρω στα 370 π.χ. ο εξαίρετος Έλληνας µαθηµατικός Εύδοξος, µαθητής του Πλάτωνα και του χαρισµατικού πυθαγόρειου Αρχύτα, έδωσε µία λύση στο σκάνδαλο µε έξυπνο τρόπο, δίνοντας έναν ορισµό της αναλογίας, ή της ισότητας δύο λόγων, εντελώς ανεξάρτητο από το αν τα µεγέθη που λάµβαναν µέρος σ αυτή ήταν σύµµετρα ή ασύµµετρα. «Το λογικό σκάνδαλο» που προέκυπτε από την αντιµετώπιση των αρχαίων πυθαγορείων είχε επιδέξια ξεπεραστεί, καταγράφοντας µία ΜΕΓΑΛΗ ΣΤΙΓΜΗ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Μία κοµψή παρουσίαση της θεωρίας της αναλογίας του Εύδοξου έγινε αργότερα, γύρω στα 300 π.χ. από τον Ευκλείδη στο βιβλίο V των περίφηµων Στοιχείων του. Ο Μπ. Μπολτσάνο (Bernhard Bolzano, ) που υπήρξε ένας κατατρεγµένος τσεχοσλοβάκος ιερέας και παραµεληµένος µαθηµατικός, έχει πει ένα διασκεδαστικό ανέκδοτο για τον εαυτό του, στο οποίο ο Ευκλείδης και το Βιβλίο V των Στοιχείων του, έπαιξαν το ρόλο του γιατρού. Ο Μπολτζάνο βρισκόταν σε διακοπές στην Πράγα, όταν προσβλήθηκε από µία αρρώστια που εκδηλώθηκε µε ρίγη και έντονες κοπώσεις. Για να µη σκέφτεται την κατάστασή του, πήρε τα Στοιχεία του Ευκλείδη και διάβασε για πρώτη φορά τη συναρπαστική παρουσίαση της θεωρίας του Εύδοξου για το λόγο και την αναλογία, που ήταν στο

8 Βιβλίο V. Η ευστροφία µε την οποία αντιµετωπίζονταν τα θέµατα τον γέµισε µε τόση πραγµατική χαρά ώστε, όπως είπε, ανάρρωσε τελείως από την αρρώστια του. Αργότερα, όταν κάποιος από τους φίλους του αισθανόταν κάποια αδιαθεσία, του συνιστούσε σαν θεραπεία την ανάγνωση της παρουσίασης του Ευκλείδη σχετικά µε τη θεωρία του Εύδοξου. Συνεχίζεται