Οι πραγµατικοί αριθµοί

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι πραγµατικοί αριθµοί"

Transcript

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών Γεννήθηκαν τα προβλήµατα: Για κάθε δοσµένο µέγεθος, υπάρχει µονάδα µέτρησης, ως προς την οποία, ο λόγος του µεγέθους προς αυτήν, να είναι ρητός αριθµός; Ως προς όλα τα οµοειδή µεγέθη υπάρχει µονάδα µέτρησης, ως προς την οποία ο λόγος κάθε µεγέθους να είναι ρητός αριθµός; Στην περίπτωση αυτή, τα µεγέθη καλούνται σύµµετρα Στον Πυθαγόρα αποδίδεται η ανακάλυψη της υπάρξεως µη συµµέτρων µεγεθών Πράγµατι, αν λάβουµε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο πλευράς, η υποτείνουσά του θα έχει µήκος, µε = Όµως, η εξίσωση αυτή, δεν έχει λύση στο σύνολο των ρητών αριθµών, µια και αν = p / q, µε ( p,q) =, τότε και p = q, δηλαδή, ο p είναι άρτιος αριθµός p = p, οπότε, και 4 p = q, άρα, και ο q άρτιος αριθµός, πράγµα που αντίκειται στην υπόθεσή µας ότι οι p και q είναι πρώτοι µεταξύ τους Την λύση του προβλήµατος αυτού, έδωσε ο Εύδοξος ο Κνίδιος και περιλαµβάνεται στο V βιβλίο των Στοιχείων Πλήρωση των ρητών κατά Deded Μερίζουµε το σύνολο των ρητών Q σε δύο τάξεις, (δηλαδή, δύο µη κενά υποσύνολα), Α και Β, έτσι ώστε: (α) A B = Q και A B = (συνθήκη µερισµού) (β) Αν a A και b B, τότε και a < b (γ) Αν a A και Q µε a, τότε και A Αν b B και Q µε b, τότε και B Το ζεύγος ( A,B), για το οποίο ισχύουν τα παραπάνω, ονοµάζεται τοµή των ρητών αριθµών Q Θα εργασθούµε, τώρα, µε το σύνολο των θετικών ρητών Ότι θα πούµε, επεκτείνεται άµεσα σε όλους τους ρητούς Σε κάθε u Q αντιστοιχίζουµε την εξής τοµή ( A,B) : A = { Q u}, B = Q A Η αντιστοιχία αυτή είναι ένα προς ένα και καλείται ρητή τοµή Στην ρητή αυτή τοµή, το σύνολο Α έχει στοιχείο µέγιστο, το u, ενώ το σύνολο Β δεν έχει στοιχείο ελάχιστο Πράγµατι, αν το u ελάχιστο στοιχείο του Β, τότε w Q, πχ ο ( u + w) /, τέτοιος ώστε u < w < u Τότε όµως, w B, πράγµα άτοπο Το σύνολο των ρητών, εµφανίζει και τοµές, οι οποίες δεν είναι ρητές Μία τέτοια τοµή, είναι η εξής: A = { Q < }, B = Q A Στην τοµή αυτή, το σύνολο Α δεν έχει στοιχείο µέγιστο, και το σύνολο Β δεν έχει στοιχείο ελάχιστο Για το πρώτο, αρκεί να προσδιορίσουµε έναν ρητό, πχ τον h, < h <, έτσι ώστε ο p = a + h > a να ανήκει στο Α, για κάθε a A Θέλουµε, λοιπόν, να έχουµε (a + h) < () Είναι, (a + h) = a + ah + h = a + h(a + h) < a + (a + h) Για να ισχύει λοιπόν η () αρκεί να λάβουµε h ( a ) /( + a) Το Α δεν έχει, λοιπόν, στοιχείο µέγιστο Με τον ίδιο τρόπο, µπορούµε να δείξουµε ότι, και το Β δεν έχει στοιχείο ελάχιστο Τοµές του τύπου αυτού, καλούνται άρρητες τοµές Σε κάθε, τώρα, ρητή τοµή, αντιστοιχίζουµε τον µοναδικό ρητό u που την προσδιορίζει Σε κάθε άρρητη τοµή, αντιστοιχίζουµε ένα νέο στοιχείο ξ, το οποίο και θα καλούµε ασύµµετρο ή άρρητο αριθµό Το σύνολο των ρητών και ασύµµετρων

2 αριθµών, καλούµε, σύνολο R των πραγµατικών αριθµών Έχουµε, συνεπώς, την ένα προς ένα αντιστοιχία R r a (A, B) P ( Q ) P( Q ), όπου r R, και A,B Q Το σύνολο αυτό διατάσσεται ολικώς, αν θέσουµε r, r R : (α) r = r A = A (β) r < r A A και, τέλος, r > r A A Με τον τρόπο αυτό, η δοµή (Q, <) εµβυθίζεται ισόµορφα µέσα στην (R, <) Πόρισµα Ανάµεσα σε δύο πραγµατικούς αριθµούς, υπάρχει ένας τουλάχιστον ρητός Θεώρηµα Το σύνολο R εµφανίζει µόνο ρητές τοµές Απόδειξη Μερίζουµε το σύνολο R σε δύο τάξεις Α και Β Θα δείξουµε ότι η τοµή (Α,Β) είναι ρητή Ότι, δηλαδή, είτε το σύνολο Α έχει στοιχείο µέγιστο, είτε το σύνολο Β έχει στοιχείο ελάχιστο Με ( Aρ,Bρ) συµβολίζουµε την τοµή των ρητών αριθµών Q, η οποία προσδιορίζεται από τα σύνολα Aρ = Q A, Aρ A και Bρ = Q B, Bρ B Αν η τοµή αυτή είναι ρητή, δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε Έστω, λοιπόν, ότι πρόκειται για άρρητη τοµή Προσδιορίζει, τότε, τον ασύµµετρο αριθµό ξ Τότε, ( a, b) Aρ Bρ, a < ξ < b () Εξ άλλου, ο ξ ανήκει είτε στο Α, είτε στο Β Έστω ξ A Θα δείξουµε ότι ο ξ είναι µέγιστο στοιχείο του Α Πράγµατι, αν είχαµε και τον ξ A µε ξ > ξ, τότε, u Q, µε ξ > u > ξ Άρα u A ρ Τούτο όµως, είναι αδύνατον, λόγω της () Πόρισµα Έστω (Α,Β) µία τοµή του R Προσδιορίζεται, τότε, ένας και µόνον πραγµατικός αριθµός ξ, έτσι ώστε ( a, b) Aρ Bρ, a < ξ < b Απόδειξη Έστω ότι προσδιορίζονται δύο πραγµατικοί αριθµοί α και β Είναι, τότε, α < β Η µοναδική δυνατότητα που έχουµε είναι, ο α να είναι µέγιστο στοιχείο του Α, και ο β ελάχιστο στοιχείο του Β Έστω ο ρητός u, µε α < u < β Ο u προσδιορίζει την τοµή ( A ρ,bρ ) Αν u A ρ, ο α δεν είναι µέγιστο στοιχείο του Α Αν u Βρ, ο β δεν είναι ελάχιστο στοιχείο του Β Άτοπον Ορισµός Κάτω φραγµένο καλείται κάθε υποσύνολο Ε του R, κάθε στοιχείο του οποίου είναι y, y R Ο y καλείται κάτω φράγµα του E Κάτω πέρας (fu, συµβολικά f E) του συνόλου Ε καλείται εκείνος ο γ R, για τον οποίον ισχύουν (α) το Ε φράσσεται κάτω από τον γ, και, (β) για κάθε > γ, R, ο δεν είναι άνω φράγµα του Ε Ισοδύναµα µπορούµε να λέµε ότι, (α) δεν υπάρχει E, µε < γ, και, (β) ανάµεσα στον = γ + ε και τον γ, υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Ε Αντίστοιχα εισάγεται και ο ορισµός του άνω πέρατος, (supreu, συµβολικά sup E ) του συνόλου Ε Ο γ είναι, δηλαδή, άνω πέρας του Ε, αν και µόνον αν, (α) δεν υπάρχει E, µε > γ, και, (β) ανάµεσα στον = γ ε και τον γ, υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Ε Φραγµένο είναι το Ε, αν είναι άνω και κάτω φραγµένο Θεώρηµα Κάθε κάτω φραγµένο υποσύνολο Ε του R, έχει κάτω πέρας (Αντίστοιχα, για άνω φραγµένα υποσύνολα Ε του R) Απόδειξη ιαιρούµε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών σε δύο τάξεις Α και Β Στο σύνολο Α τοποθετούµε όλους τους α R, για τους οποίους δεν υπάρχει E, µε < α Η τάξη Α, λοιπόν, περιλαµβάνει και όλα τα κάτω φράγµατα του Ε

3 3 B = R A Η Β περιλαµβάνει, λοιπόν, κάθε α R, για τον οποίο υπάρχει ένας τουλάχιστον E, µε < β Η Β περιλαµβάνει, βέβαια, και το Ε Φανερά, κάθε α Α είναι < από κάθε β Β Έστω γ ο πραγµατικός αριθµός, που ορίζεται από την τοµή (Α,Β) Θα δείξουµε ότι, γ = f E Πράγµατι, αν E, µε < γ, τότε, ανάµεσα στον και τον γ θα υπήρχε και ένας β Β, πράγµα άτοπον Άρα, (α) κανένας E δεν είναι µικρότερος του γ Θεωρούµε, τώρα, τον γ+ε Είναι, γ + ε B Άρα (β) ανάµεσα σ αυτόν και τον γ, υπάρχει ένα τουλάχιστον E Επεκτείνουµε τις πράξεις που καθιστούν το Q σώµα και στο R, έτσι ώστε ο ισοµορφισµός των δοµών ( Q, ), ( R, ), να επεκταθεί κι αυτός, σε έναν ισοµορφισµό ανάµεσα στα διατεταγµένα σώµατα Q και R Η επέκταση αυτή γίνεται εύκολα, αν παρατηρήσουµε ότι, αν ξ = ( Α, Β), ξ = ( Α, Β), και Α Α, Α Α, Β Β, Β Β, τα αντίστοιχα υποσύνολα των ρητών, τότε τα σύνολα A = Α + Α, Β = Β + Β, (όπου ορίζουµε το Α + Β = {α + β µε α Α και β Β}, αποτελούν τοµές του συνόλου Q των ρητών Στην περίπτωση, που η τοµές αυτές είναι ρητές, και αντιστοιχούν στους u, u τότε σ αυτήν αντιστοιχεί ο ρητός u = u + u Αν η τοµές είναι άρρητες, και ορίζουν τους ασύµµετρους ξ, ξ, θέτουµε ξ = ξ + ξ Αποδεικνύεται ότι, ξ = ( Α, Β) Ανάλογα έχουµε και στην περίπτωση ρητής και αρρήτου τοµής Ο πολλαπλασιασµός, τέλος, ορίζεται κατά τον ίδιο τρόπο Το σύνολο R, είναι, λοιπόν, ένα πλήρες ολικά διατεταγµένο σώµα (πλήρες = παρουσιάζει µόνον ρητές τοµές) Είναι και Αρχιµήδειο Θεώρηµα 3 (Αξίωµα του Αρχηµίδους) Για κάθε δύο θετικούς πραγµατικούς α < β, υπάρχει φυσικός αριθµός, τέτοιος ώστε α > β Απόδειξη Έστω ότι δεν υπάρχει τέτοιος Τότε, N, α β Έστω E το σύνολο όλων των α Το σύνολο αυτό, είναι άνω φραγµένο Άρα, έχει το β = sup E Είναι, β α για κάθε Άρα, και β ( + ) α ή β α α, πράγµα αδύνατον Πόρισµα Κάθε πραγµατικός αριθµός, είναι άνω πέρας κάποιου υποσυνόλου των ρητών Αρκεί για τον ξ R, να θέσουµε E = { /, µε / < ξ} Παρατηρήσεις α) Αν το A R είναι άνω φραγµένο, το A = { α R, µε α Α} είναι κάτω φραγµένο β) Αν ξ = sup A, ξ = f Α Τα πέρατα ενός φραγµένου υποσυνόλου του R, είναι µοναδικά γ) Αν A B R, τότε, sup A sup B (αντίστοιχα για το fu) δ) Αν Α, Β φραγµένα υποσύνολα του R, τότε, sup( A + B) = sup A + sup B Ο Deded µετά την ανάπτυξη της θεωρίας του, παρατήρησε ότι, ενώ είχε την δυνατότητα σε κάθε ευθύγραµµο τµήµα να αντιστοιχίζει έναν και µόνον πραγµατικό αριθµό, το αντίστροφο, δεν είχε την δυνατότητα να το επιτύχει Το θεώρησε κατόπιν τούτο, ως αξίωµα «Σε κάθε σηµείο της Ευκλειδείου ευθείας, αντιστοιχεί ένας και µόνον ένας πραγµατικός αριθµός» Μετά την εισαγωγή του αξιώµατος του Deded, µπορούµε να χρησιµοποιούµε αναφορικά µε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών,

4 4 ορολογία που έχουµε από την Γεωµετρία Έτσι, θα καλούµε το σύνολο R, πραγµατική ευθεία, τα στοιχεία του σηµεία, και θα διακρίνουµε µέσα σ αυτό υποσύνολά του, που κατά περίπτωση θα καλούµε ανοικτά και κλειστά διαστήµατα Ανοικτό διάστηµα είναι εκείνο το υποσύνολο (α,β) του R, για το οποίο έχουµε ότι, ( α, β), αν και µόνον αν α < < β Κλειστό διάστηµα είναι εκείνο το υποσύνολο [α,β] του R, για το οποίο έχουµε ότι, [ α, β], αν και µόνον αν α β Πόρισµα Φανερά, sup( α, β) = sup[ α, β] = β, και, f( α, β) = f[ α, β] = α Ορισµός Περιοχή V(, ρ ) του σηµείου µε ακτίνα ρ, καλείται το ανοικτό διάστηµα ( ρ, + ρ) Σηµείο συσσωρεύσεως (σσ) ξ του υποσυνόλου A R, καλείται εκείνο το σηµείο ξ R, για το οποίο, κάθε περιοχή του V(ξ) έχει την ιδιότητα V( ξ ) Α { ξ} Εσωτερικό σηµείο ξ του υποσυνόλου A R, καλείται εκείνο το σηµείο ξ R, για το οποίο, υπάρχει περιοχή V(ξ) µε την ιδιότητα V( ξ ) A Συνέπεια του ορισµού αυτού, είναι η ξ Α Μεµονωµένο σηµείο ξ του υποσυνόλου A R, καλείται εκείνο το σηµείο ξ R, για το οποίο, ύπαρχοι περιοχή V(ξ) µε την ιδιότητα V( ξ ) Α = { ξ} Παρατηρήσεις α) Κάθε περιοχή ενός σσ ξ του Α, περιέχει άπειρο πλήθος στοιχείων του συνόλου Α β) Ένα πεπερασµένο σύνολο δεν έχει σσ Ανοικτό καλείται εκείνο το σύνολο, κάθε σηµείο του οποίου, είναι εσωτερικό σηµείο Κλειστό καλείται εκείνο το σύνολο, κάθε σηµείο του οποίου, είναι σσ αυτού Πρόταση α) Το συµπλήρωµα ανοικτού συνόλου είναι κλειστό σύνολο β) Το συµπλήρωµα κλειστού συνόλου είναι κλειστό σύνολο Απόδειξη Έστω το ανοικτό σύνολο A R Έστω ξ R, σσ του συνόλου R A Θα δείξουµε ότι, ξ Α Πράγµατι, αν ξ Α, τότε και κάθε περιοχή V(ξ) θα ήταν υποσύνολο του Α Άρα, καµία περιοχή αυτού, δεν θα έχει τοµή µη κενή µε το R A Άρα το ξ δεν θα είναι σσ του συνόλου αυτού, αντίθετα µε την υπόθεσή µας Το υπόλοιπο της πρότασης έπεται από τους νόµους του de Morga Θεώρηµα 4 Η ένωση οιουδήποτε πλήθους ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο Η τοµή πεπερασµένου πλήθους ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο Η ένωση πεπερασµένου πλήθους κλειστών συνόλων, είναι κλειστό σύνολο Η τοµή οιουδήποτε πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο Απόδειξη Έστω F η ένωση οιουδήποτε πλήθους ανοικτών συνόλων, και F Το είναι, τότε, και στοιχείο κάποιου ανοικτού συνόλου Α, απ αυτά που αποτελούν την ένωση F Τότε, όµως, και µία ολόκληρη περιοχή του είναι υποσύνολο του Α Άρα, και του F Άρα η F ανοικτό σύνολο Το υπόλοιπο του θεωρήµατος έπεται από τους νόµους του de Morga Πρόταση Τα ανοικτά διαστήµατα είναι ανοικτά σύνολα Τα κλειστά διαστήµατα είναι κλειστά σύνολα

5 5 Θεώρηµα 5 (Bolzao Weerstrass) Κάθε άπειρο και φραγµένο υποσύνολο της πραγµατικής ευθείας, έχει ένα τουλάχιστον σσ Απόδειξη Έστω το άπειρο και φραγµένο υποσύνολο Ε του R Υπάρχει, τότε, (Θεώρηµα ), το a = f E και το b = sup E Είναι, τότε, E [a,b] ιαιρούµε το κλειστό διάστηµα [a,b] σε δύο µέρη, και καλούµε δ το διάστηµα εκείνο, που περιέχει µία απειρία σηµείων του Ε Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο, και βρίσκουµε b a ότι, N, το κλειστό διάστηµα δ = [ a, b ], µε b a =, περιέχει µία απειρία σηµείων του Ε Το σύνολο A = {a,a, K } είναι άνω φραγµένο Το σύνολο B = {b,b, K } είναι κάτω φραγµένο Φανερά, τα σύνολα των πραγµατικών αριθµών Α και Β που ορίζονται αντίστοιχα από την σχέση A a A, µε < a και ανάλογη σχέση για το Β, αποτελούν τοµή των πραγµατικών αριθµών Ορίζουν, συνεπώς, τον ξ R Φανερά, το ξ είναι σσ του Ε, µιά και για κάθε περιοχή του b a ρ V( ξ, ρ), µπορούµε να βρούµε έναν δείκτη, τέτοιον ώστε, <, οπότε, δ V( ξ, ρ), και, συνεπώς, η V(ξ) θα περιέχει άπειρα σηµεία του Ε, διαφορετικά από το ξ Θεώρηµα 6 (Cator) Μία φθίνουσα ακολουθία µη κενών κλειστών και φραγµένων συνόλων έχει τοµή ένα µη κενό, κλειστό και φραγµένο σύνολο Απόδειξη Έστω (δ ) N η φθίνουσα ακολουθία των κλειστών συνόλων Το ότι η τοµή τους είναι κλειστό σύνολο, έπεται από προηγούµενο θεώρηµα Το ότι είναι φραγµένο σύνολο, είναι προφανές Αποµένει να δείξουµε ότι, δεν είναι το κενό σύνολο Πράγµατι, από κάθε δ, επιλέγουµε ένα σηµείο Το σύνολο X = { } είναι ένα άπειρο φραγµένο υποσύνολο της πραγµατικής ευθείας Άρα, έχει ένα τουλάχιστον σσ, το ξ Κάθε περιοχή του ξ, περιέχει άπειρα σηµεία, τα οποία ανήκουν όλα, αναγκαστικά, σε κάποιο δ Το ξ είναι, λοιπόν, τελικά, σσ κάθε δ Όµως, τα δ κλειστά σύνολα Άρα, ξ I δ Ορισµός Ορικό σηµείο του E R καλείται εκείνο το σσ του Ε, που, τελικά, κάθε περιοχή του, περιέχει όλα τα σηµεία του Ε Πόρισµα Το ορικό σηµείο του Ε, είναι αναγκαστικά µοναδικό Πόρισµα Μία εγκυβωτισµένη φθίνουσα ακολουθία κλειστών διαστηµάτων, έχει ένα ορικό σηµείο Θεώρηµα 7 Κάθε φραγµένο ανοικτό υποσύνολο F είναι δυνατόν να γραφεί ως ένωσης αριθµησίµου το πλήθος διακεκριµένων ανοικτών διαστηµάτων Απόδειξη Έστω το F Επειδή το F ανοικτό, υπάρχουν y, z R, τέτοια ώστε ( y, ) F και (,z) F Θέτουµε a = f{(y, ) y R} και b = sup{(,z) z R} Το ανοικτό διάστηµα I = (a,b) περιέχει το σηµείο και είναι I F Πράγµατι, έστω το w I, w Τότε, ή a w <, ή b w > Στην πρώτη περίπτωση, από τον ορισµό του fu έπεται ότι υπάρχει y w, τέτοιο ώστε ( y, ) F, άρα, και, w F Ανάλογα ισχύουν και στην δεύτερη περίπτωση είξαµε, λοιπόν, ότι I F R

6 6 Θα δείξουµε, τώρα, ότι a F Προς τούτο, έστω a F Επειδή το F ανοικτό ρ R, µε ( a ρ,a + ρ) F, ή ( a ρ, ] F, πράγµα αδύνατον Όµοια έχουµε και ότι b F Θεωρούµε την οικογένεια των ανοικτών διαστηµάτων I Φανερά, η ένωση της οικογένειας αυτής, είναι ένα ανοικτό σύνολο, που καλύπτει το F Έστω ( a, b) και ( c,d) δύο στοιχεία της οικογένειας αυτής, και (a, b) (b,c) Τότε και, a < < d, και c < < b Επειδή, όπως δείξαµε, a F, είναι a < c Επειδή, c F, είναι c < a Άρα, c = a Ανάλογα είναι και d = b Άρα, αν δύο διαστήµατα της οικογένειας των ανοικτών διαστηµάτων, που καλύπτουν το ανοικτό σύνολο F έχουν τοµή µη κενή, συµπίπτουν Τα στοιχεία συνεπώς της οικογένειας αυτής, είναι όλα διακεκριµένα Άρα και αριθµήσιµα το πλήθος Θεώρηµα 8 (Hee Borel) Αν Φ = (I ) R ανοικτή κάλυψη του κλειστού και φραγµένου υποσυνόλου F R, µπορούµε, τότε, να διαλέξουµε απ αυτήν, µία πεπερασµένη υποκάλυψη του F Απόδειξη Από το προηγούµενο θεώρηµα, έχουµε µίαν αριθµήσιµο ανοικτή κάλυψη του F, την Φ = ( Ι ) Θεωρούµε την ένωση N S = I K I Το σύνολο S είναι ανοικτό σύνολο, ως ένωση πεπερασµένου πλήθους ανοικτών συνόλων Θα δείξουµε ότι, για κάποια τιµή του, η ένωση αυτή, καλύπτει το F Προς τούτο, θεωρούµε το σύνολο Q = F S Κάθε σύνολο Q είναι κλειστό σύνολο Αρκεί να δείξουµε ότι για κάποιον, η τοµή όλων των Q είναι κενή Για την οικογένεια των Q παρατηρούµε ότι, είναι µία φθίνουσα οικογένεια από κλειστά και φραγµένα σύνολα Η τοµή, λοιπόν, όλων των στοιχείων της οικογένειας αυτής, είναι ο ορικός αριθµός ξ F Τούτο όµως είναι αδύνατον, µιά και θάπρεπε επίσης να είναι ξ S ίδουµε άλλη µία απόδειξη του θεωρήµατος αυτού Θεώρηµα 8 (Hee Borel) Για κάθε κλειστό και φραγµένο υποσύνολο G, που καλύπτεται από την ένωση απείρου πλήθους ανοικτών διαστηµάτων, αρκεί ένα πεπερασµένο πλήθος απ αυτά, για να το καλύψει Και αντιστρόφως Απόδειξη Από υπόθεση, κάθε G καλύπτεται από κάποιο ανοικτό διάστηµα δ Αν, λοιπόν, το G είχε πεπερασµένο πλήθος σηµεία, δεν θα είχαµε τίποτα να αποδείξουµε Το G έστω, λοιπόν, ότι έχει άπειρο πλήθος από σηµεία Το G σαν φραγµένο σύνολο, είναι τέτοιο ώστε, f G < G < sup G Χωρίζουµε το [f G,sup G] στα δύο Κάποιο από τα προκύπτοντα υποδιαστήµατα, περιέχει απειρία σηµείων του G, και καλύπτεται από άπειρο πλήθος ανοικτών διαστηµάτων Με την ίδια διαδικασία, κατασκευάζουµε µία φθίνουσα ακολουθία κλειστών διαστηµάτων d, που περιέχουν άπειρα σηµεία του G, και που για κάθε ένα απ αυτά απαιτείται άπειρο πλήθος ανοικτών διαστηµάτων για να το καλύψει Τούτο όµως είναι αδύνατον, για G κλειστό σύνολο, µιά και η ακολουθία των κλειστών διαστηµάτων που κατασκευάσαµε, έχει ορικό σηµείο, το οποίο ανήκει στο G, και το οποίο καλύπτεται από ένα ανοικτό διάστηµα, στο εσωτερικό του οποίου υπάρχουν, τελικά, όλα τα d Αρκεί, λοιπόν, ένα και µόνον ανοικτό διάστηµα για να καλύψει το d, αντίθετα µε την υπόθεσή µας Ορισµός Συµπαγές καλείται ένα υποσύνολο της πραγµατικής ευθείας, που είναι κλειστό και φραγµένο Παρατήρηση Ισοδύναµα, έχουµε τις προτάσεις: (α) Το Ε είναι συµπαγές (β) Ισχύει το θεώρηµα Bolzao Weerstrass (γ) Ισχύει το Θεώρηµα Hee Borel R

7 7 Έχουµε δείξη τις ( α) ( β), και ( α) ( γ) Θα δείξουµε και τις αντίστροφες προτάσεις Για την ( γ) ( α) Έστω ότι, το σύνολο S είναι τέτοιο ώστε, από µία κάλυψη ανοικτών διαστηµάτων του, είναι δυνατόν να επιλέξουµε κάποια πεπερασµένη υποκάλυψη αυτού Το S είναι, λοιπόν, φανερά φραγµένο σύνολο Θα δείξουµε ότι είναι και κλειστό Πράγµατι, αν το S δεν είναι κλειστό, υπάρχει ορικό σηµείο του y, που δεν ανήκει σ αυτό Για κάθε S, y θεωρούµε την V (, ρ ), µε ρ < Η οικογένεια όλων των περιοχών αυτών, αποτελεί, φανερά, µιά ανοικτή κάλυψη του S Απ αυτήν, επιλέγουµε µίαν πεπερασµένη υποκάλυψη, { V, K,V } Θέτουµε ρ = { ρ,, } K ρ, και θεωρούµε την V(y, ρ ) Είναι, για κάθε δείκτη, V(y, ρ ) V(, ρ ) = Άρα το y δεν είναι ορικό σηµείο του S Για την ( β) ( α) Αν το σύνολο S δεν είναι φραγµένο, τότε, για κάθε, > Θεωρούµε το σύνολο E = {,, K} Το άπειρο υποσύνολο αυτό του S, έχει από υπόθεση ένα τουλάχιστον σσ y Αλλά για > + y, y y >, σχέση, που αντίκειται στο γεγονός ότι το y υπετέθη σσ του Ε Το S είναι, λοιπόν, φραγµένο Θα δείξουµε ότι, είναι και κλειστό Για το σκοπό αυτό, έστω ένα σσ του S Εκλέγουµε τις περιοχές V (,/ ), και από κάθε τέτοια περιοχή, εκλέγουµε το σηµείο, το οποίο ανήκει και στο S Έστω Ε το σύνολο των σηµείων αυτών Το είναι ορικό σηµείο του συνόλου Ε Από υπόθεση, γνωρίζουµε, ότι το Ε έχει ένα τουλάχιστον ορικό σηµείο εν S Αρκεί λοιπόν να δείξουµε, ότι το Ε δεν έχει άλλο ορικό σηµείο, πλην του Προς τούτο, έστω y άλλο ορικό σηµείο του Ε Είναι, τότε, y y + < y + / Ας y λάβουµε το τόσο µεγάλο ώστε το < Τότε, για όλα τα > θα είναι, και y / < y, και, άρα, V(y, y ), οπότε το y δεν είναι ορικό σηµείο του Ε Παρατήρηση Τα πέρατα ενός υποσυνόλου της πραγµατικής ευθείας, είναι σσ του συνόλου αυτού Άρα, κάθε συµπαγές υποσύνολο της πραγµατικής ευθείας, περιέχει τα πέρατά του Τούτο βέβαια σηµαίνει, ότι κάθε κλειστό διάστηµα αυτής, περιέχει τα άκρα του Βιβλιογραφία ) Π Ζερβού, Απειροστικός Λογισµός ) Walter Rud Prcples of Matheatcal Aalyss

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου.

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου. ΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Επί του επιπέδου θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Oxy, και σε κάθε σηµείο P(x, y) του επιπέδου αντιστοιχίζουµε τον µιγαδικό αριθµό = x+ y Η αντιστοιχία αυτή είναι µία ένα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x. Infimum Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν k R : x A k x k = κάτω φράγμα Ορισμός infimum του συνόλου A inf A = infimum του συνόλου A Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

mail:

mail: Λογισμός Ι - Τμήμα 1Β Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014 ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS (Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας

Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Συσχετισµός ϑεµελιώδους οµάδας και πρώτης οµάδας οµολογίας Εργασία στο πλαίσιο τού µαθήµατος Αλγεβρική Τοπολογία - Οµολογία µε κωδ. αρ. Γ 21 Χειµερινό Εξάµηνο 2007-2008 Μιχαήλ Γκίκας Περίληψη Σκοπός αυτής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα