Οι πραγµατικοί αριθµοί

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οι πραγµατικοί αριθµοί"

Transcript

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών Γεννήθηκαν τα προβλήµατα: Για κάθε δοσµένο µέγεθος, υπάρχει µονάδα µέτρησης, ως προς την οποία, ο λόγος του µεγέθους προς αυτήν, να είναι ρητός αριθµός; Ως προς όλα τα οµοειδή µεγέθη υπάρχει µονάδα µέτρησης, ως προς την οποία ο λόγος κάθε µεγέθους να είναι ρητός αριθµός; Στην περίπτωση αυτή, τα µεγέθη καλούνται σύµµετρα Στον Πυθαγόρα αποδίδεται η ανακάλυψη της υπάρξεως µη συµµέτρων µεγεθών Πράγµατι, αν λάβουµε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο πλευράς, η υποτείνουσά του θα έχει µήκος, µε = Όµως, η εξίσωση αυτή, δεν έχει λύση στο σύνολο των ρητών αριθµών, µια και αν = p / q, µε ( p,q) =, τότε και p = q, δηλαδή, ο p είναι άρτιος αριθµός p = p, οπότε, και 4 p = q, άρα, και ο q άρτιος αριθµός, πράγµα που αντίκειται στην υπόθεσή µας ότι οι p και q είναι πρώτοι µεταξύ τους Την λύση του προβλήµατος αυτού, έδωσε ο Εύδοξος ο Κνίδιος και περιλαµβάνεται στο V βιβλίο των Στοιχείων Πλήρωση των ρητών κατά Deded Μερίζουµε το σύνολο των ρητών Q σε δύο τάξεις, (δηλαδή, δύο µη κενά υποσύνολα), Α και Β, έτσι ώστε: (α) A B = Q και A B = (συνθήκη µερισµού) (β) Αν a A και b B, τότε και a < b (γ) Αν a A και Q µε a, τότε και A Αν b B και Q µε b, τότε και B Το ζεύγος ( A,B), για το οποίο ισχύουν τα παραπάνω, ονοµάζεται τοµή των ρητών αριθµών Q Θα εργασθούµε, τώρα, µε το σύνολο των θετικών ρητών Ότι θα πούµε, επεκτείνεται άµεσα σε όλους τους ρητούς Σε κάθε u Q αντιστοιχίζουµε την εξής τοµή ( A,B) : A = { Q u}, B = Q A Η αντιστοιχία αυτή είναι ένα προς ένα και καλείται ρητή τοµή Στην ρητή αυτή τοµή, το σύνολο Α έχει στοιχείο µέγιστο, το u, ενώ το σύνολο Β δεν έχει στοιχείο ελάχιστο Πράγµατι, αν το u ελάχιστο στοιχείο του Β, τότε w Q, πχ ο ( u + w) /, τέτοιος ώστε u < w < u Τότε όµως, w B, πράγµα άτοπο Το σύνολο των ρητών, εµφανίζει και τοµές, οι οποίες δεν είναι ρητές Μία τέτοια τοµή, είναι η εξής: A = { Q < }, B = Q A Στην τοµή αυτή, το σύνολο Α δεν έχει στοιχείο µέγιστο, και το σύνολο Β δεν έχει στοιχείο ελάχιστο Για το πρώτο, αρκεί να προσδιορίσουµε έναν ρητό, πχ τον h, < h <, έτσι ώστε ο p = a + h > a να ανήκει στο Α, για κάθε a A Θέλουµε, λοιπόν, να έχουµε (a + h) < () Είναι, (a + h) = a + ah + h = a + h(a + h) < a + (a + h) Για να ισχύει λοιπόν η () αρκεί να λάβουµε h ( a ) /( + a) Το Α δεν έχει, λοιπόν, στοιχείο µέγιστο Με τον ίδιο τρόπο, µπορούµε να δείξουµε ότι, και το Β δεν έχει στοιχείο ελάχιστο Τοµές του τύπου αυτού, καλούνται άρρητες τοµές Σε κάθε, τώρα, ρητή τοµή, αντιστοιχίζουµε τον µοναδικό ρητό u που την προσδιορίζει Σε κάθε άρρητη τοµή, αντιστοιχίζουµε ένα νέο στοιχείο ξ, το οποίο και θα καλούµε ασύµµετρο ή άρρητο αριθµό Το σύνολο των ρητών και ασύµµετρων

2 αριθµών, καλούµε, σύνολο R των πραγµατικών αριθµών Έχουµε, συνεπώς, την ένα προς ένα αντιστοιχία R r a (A, B) P ( Q ) P( Q ), όπου r R, και A,B Q Το σύνολο αυτό διατάσσεται ολικώς, αν θέσουµε r, r R : (α) r = r A = A (β) r < r A A και, τέλος, r > r A A Με τον τρόπο αυτό, η δοµή (Q, <) εµβυθίζεται ισόµορφα µέσα στην (R, <) Πόρισµα Ανάµεσα σε δύο πραγµατικούς αριθµούς, υπάρχει ένας τουλάχιστον ρητός Θεώρηµα Το σύνολο R εµφανίζει µόνο ρητές τοµές Απόδειξη Μερίζουµε το σύνολο R σε δύο τάξεις Α και Β Θα δείξουµε ότι η τοµή (Α,Β) είναι ρητή Ότι, δηλαδή, είτε το σύνολο Α έχει στοιχείο µέγιστο, είτε το σύνολο Β έχει στοιχείο ελάχιστο Με ( Aρ,Bρ) συµβολίζουµε την τοµή των ρητών αριθµών Q, η οποία προσδιορίζεται από τα σύνολα Aρ = Q A, Aρ A και Bρ = Q B, Bρ B Αν η τοµή αυτή είναι ρητή, δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε Έστω, λοιπόν, ότι πρόκειται για άρρητη τοµή Προσδιορίζει, τότε, τον ασύµµετρο αριθµό ξ Τότε, ( a, b) Aρ Bρ, a < ξ < b () Εξ άλλου, ο ξ ανήκει είτε στο Α, είτε στο Β Έστω ξ A Θα δείξουµε ότι ο ξ είναι µέγιστο στοιχείο του Α Πράγµατι, αν είχαµε και τον ξ A µε ξ > ξ, τότε, u Q, µε ξ > u > ξ Άρα u A ρ Τούτο όµως, είναι αδύνατον, λόγω της () Πόρισµα Έστω (Α,Β) µία τοµή του R Προσδιορίζεται, τότε, ένας και µόνον πραγµατικός αριθµός ξ, έτσι ώστε ( a, b) Aρ Bρ, a < ξ < b Απόδειξη Έστω ότι προσδιορίζονται δύο πραγµατικοί αριθµοί α και β Είναι, τότε, α < β Η µοναδική δυνατότητα που έχουµε είναι, ο α να είναι µέγιστο στοιχείο του Α, και ο β ελάχιστο στοιχείο του Β Έστω ο ρητός u, µε α < u < β Ο u προσδιορίζει την τοµή ( A ρ,bρ ) Αν u A ρ, ο α δεν είναι µέγιστο στοιχείο του Α Αν u Βρ, ο β δεν είναι ελάχιστο στοιχείο του Β Άτοπον Ορισµός Κάτω φραγµένο καλείται κάθε υποσύνολο Ε του R, κάθε στοιχείο του οποίου είναι y, y R Ο y καλείται κάτω φράγµα του E Κάτω πέρας (fu, συµβολικά f E) του συνόλου Ε καλείται εκείνος ο γ R, για τον οποίον ισχύουν (α) το Ε φράσσεται κάτω από τον γ, και, (β) για κάθε > γ, R, ο δεν είναι άνω φράγµα του Ε Ισοδύναµα µπορούµε να λέµε ότι, (α) δεν υπάρχει E, µε < γ, και, (β) ανάµεσα στον = γ + ε και τον γ, υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Ε Αντίστοιχα εισάγεται και ο ορισµός του άνω πέρατος, (supreu, συµβολικά sup E ) του συνόλου Ε Ο γ είναι, δηλαδή, άνω πέρας του Ε, αν και µόνον αν, (α) δεν υπάρχει E, µε > γ, και, (β) ανάµεσα στον = γ ε και τον γ, υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Ε Φραγµένο είναι το Ε, αν είναι άνω και κάτω φραγµένο Θεώρηµα Κάθε κάτω φραγµένο υποσύνολο Ε του R, έχει κάτω πέρας (Αντίστοιχα, για άνω φραγµένα υποσύνολα Ε του R) Απόδειξη ιαιρούµε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών σε δύο τάξεις Α και Β Στο σύνολο Α τοποθετούµε όλους τους α R, για τους οποίους δεν υπάρχει E, µε < α Η τάξη Α, λοιπόν, περιλαµβάνει και όλα τα κάτω φράγµατα του Ε

3 3 B = R A Η Β περιλαµβάνει, λοιπόν, κάθε α R, για τον οποίο υπάρχει ένας τουλάχιστον E, µε < β Η Β περιλαµβάνει, βέβαια, και το Ε Φανερά, κάθε α Α είναι < από κάθε β Β Έστω γ ο πραγµατικός αριθµός, που ορίζεται από την τοµή (Α,Β) Θα δείξουµε ότι, γ = f E Πράγµατι, αν E, µε < γ, τότε, ανάµεσα στον και τον γ θα υπήρχε και ένας β Β, πράγµα άτοπον Άρα, (α) κανένας E δεν είναι µικρότερος του γ Θεωρούµε, τώρα, τον γ+ε Είναι, γ + ε B Άρα (β) ανάµεσα σ αυτόν και τον γ, υπάρχει ένα τουλάχιστον E Επεκτείνουµε τις πράξεις που καθιστούν το Q σώµα και στο R, έτσι ώστε ο ισοµορφισµός των δοµών ( Q, ), ( R, ), να επεκταθεί κι αυτός, σε έναν ισοµορφισµό ανάµεσα στα διατεταγµένα σώµατα Q και R Η επέκταση αυτή γίνεται εύκολα, αν παρατηρήσουµε ότι, αν ξ = ( Α, Β), ξ = ( Α, Β), και Α Α, Α Α, Β Β, Β Β, τα αντίστοιχα υποσύνολα των ρητών, τότε τα σύνολα A = Α + Α, Β = Β + Β, (όπου ορίζουµε το Α + Β = {α + β µε α Α και β Β}, αποτελούν τοµές του συνόλου Q των ρητών Στην περίπτωση, που η τοµές αυτές είναι ρητές, και αντιστοιχούν στους u, u τότε σ αυτήν αντιστοιχεί ο ρητός u = u + u Αν η τοµές είναι άρρητες, και ορίζουν τους ασύµµετρους ξ, ξ, θέτουµε ξ = ξ + ξ Αποδεικνύεται ότι, ξ = ( Α, Β) Ανάλογα έχουµε και στην περίπτωση ρητής και αρρήτου τοµής Ο πολλαπλασιασµός, τέλος, ορίζεται κατά τον ίδιο τρόπο Το σύνολο R, είναι, λοιπόν, ένα πλήρες ολικά διατεταγµένο σώµα (πλήρες = παρουσιάζει µόνον ρητές τοµές) Είναι και Αρχιµήδειο Θεώρηµα 3 (Αξίωµα του Αρχηµίδους) Για κάθε δύο θετικούς πραγµατικούς α < β, υπάρχει φυσικός αριθµός, τέτοιος ώστε α > β Απόδειξη Έστω ότι δεν υπάρχει τέτοιος Τότε, N, α β Έστω E το σύνολο όλων των α Το σύνολο αυτό, είναι άνω φραγµένο Άρα, έχει το β = sup E Είναι, β α για κάθε Άρα, και β ( + ) α ή β α α, πράγµα αδύνατον Πόρισµα Κάθε πραγµατικός αριθµός, είναι άνω πέρας κάποιου υποσυνόλου των ρητών Αρκεί για τον ξ R, να θέσουµε E = { /, µε / < ξ} Παρατηρήσεις α) Αν το A R είναι άνω φραγµένο, το A = { α R, µε α Α} είναι κάτω φραγµένο β) Αν ξ = sup A, ξ = f Α Τα πέρατα ενός φραγµένου υποσυνόλου του R, είναι µοναδικά γ) Αν A B R, τότε, sup A sup B (αντίστοιχα για το fu) δ) Αν Α, Β φραγµένα υποσύνολα του R, τότε, sup( A + B) = sup A + sup B Ο Deded µετά την ανάπτυξη της θεωρίας του, παρατήρησε ότι, ενώ είχε την δυνατότητα σε κάθε ευθύγραµµο τµήµα να αντιστοιχίζει έναν και µόνον πραγµατικό αριθµό, το αντίστροφο, δεν είχε την δυνατότητα να το επιτύχει Το θεώρησε κατόπιν τούτο, ως αξίωµα «Σε κάθε σηµείο της Ευκλειδείου ευθείας, αντιστοιχεί ένας και µόνον ένας πραγµατικός αριθµός» Μετά την εισαγωγή του αξιώµατος του Deded, µπορούµε να χρησιµοποιούµε αναφορικά µε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών,

4 4 ορολογία που έχουµε από την Γεωµετρία Έτσι, θα καλούµε το σύνολο R, πραγµατική ευθεία, τα στοιχεία του σηµεία, και θα διακρίνουµε µέσα σ αυτό υποσύνολά του, που κατά περίπτωση θα καλούµε ανοικτά και κλειστά διαστήµατα Ανοικτό διάστηµα είναι εκείνο το υποσύνολο (α,β) του R, για το οποίο έχουµε ότι, ( α, β), αν και µόνον αν α < < β Κλειστό διάστηµα είναι εκείνο το υποσύνολο [α,β] του R, για το οποίο έχουµε ότι, [ α, β], αν και µόνον αν α β Πόρισµα Φανερά, sup( α, β) = sup[ α, β] = β, και, f( α, β) = f[ α, β] = α Ορισµός Περιοχή V(, ρ ) του σηµείου µε ακτίνα ρ, καλείται το ανοικτό διάστηµα ( ρ, + ρ) Σηµείο συσσωρεύσεως (σσ) ξ του υποσυνόλου A R, καλείται εκείνο το σηµείο ξ R, για το οποίο, κάθε περιοχή του V(ξ) έχει την ιδιότητα V( ξ ) Α { ξ} Εσωτερικό σηµείο ξ του υποσυνόλου A R, καλείται εκείνο το σηµείο ξ R, για το οποίο, υπάρχει περιοχή V(ξ) µε την ιδιότητα V( ξ ) A Συνέπεια του ορισµού αυτού, είναι η ξ Α Μεµονωµένο σηµείο ξ του υποσυνόλου A R, καλείται εκείνο το σηµείο ξ R, για το οποίο, ύπαρχοι περιοχή V(ξ) µε την ιδιότητα V( ξ ) Α = { ξ} Παρατηρήσεις α) Κάθε περιοχή ενός σσ ξ του Α, περιέχει άπειρο πλήθος στοιχείων του συνόλου Α β) Ένα πεπερασµένο σύνολο δεν έχει σσ Ανοικτό καλείται εκείνο το σύνολο, κάθε σηµείο του οποίου, είναι εσωτερικό σηµείο Κλειστό καλείται εκείνο το σύνολο, κάθε σηµείο του οποίου, είναι σσ αυτού Πρόταση α) Το συµπλήρωµα ανοικτού συνόλου είναι κλειστό σύνολο β) Το συµπλήρωµα κλειστού συνόλου είναι κλειστό σύνολο Απόδειξη Έστω το ανοικτό σύνολο A R Έστω ξ R, σσ του συνόλου R A Θα δείξουµε ότι, ξ Α Πράγµατι, αν ξ Α, τότε και κάθε περιοχή V(ξ) θα ήταν υποσύνολο του Α Άρα, καµία περιοχή αυτού, δεν θα έχει τοµή µη κενή µε το R A Άρα το ξ δεν θα είναι σσ του συνόλου αυτού, αντίθετα µε την υπόθεσή µας Το υπόλοιπο της πρότασης έπεται από τους νόµους του de Morga Θεώρηµα 4 Η ένωση οιουδήποτε πλήθους ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο Η τοµή πεπερασµένου πλήθους ανοικτών συνόλων είναι ανοικτό σύνολο Η ένωση πεπερασµένου πλήθους κλειστών συνόλων, είναι κλειστό σύνολο Η τοµή οιουδήποτε πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο Απόδειξη Έστω F η ένωση οιουδήποτε πλήθους ανοικτών συνόλων, και F Το είναι, τότε, και στοιχείο κάποιου ανοικτού συνόλου Α, απ αυτά που αποτελούν την ένωση F Τότε, όµως, και µία ολόκληρη περιοχή του είναι υποσύνολο του Α Άρα, και του F Άρα η F ανοικτό σύνολο Το υπόλοιπο του θεωρήµατος έπεται από τους νόµους του de Morga Πρόταση Τα ανοικτά διαστήµατα είναι ανοικτά σύνολα Τα κλειστά διαστήµατα είναι κλειστά σύνολα

5 5 Θεώρηµα 5 (Bolzao Weerstrass) Κάθε άπειρο και φραγµένο υποσύνολο της πραγµατικής ευθείας, έχει ένα τουλάχιστον σσ Απόδειξη Έστω το άπειρο και φραγµένο υποσύνολο Ε του R Υπάρχει, τότε, (Θεώρηµα ), το a = f E και το b = sup E Είναι, τότε, E [a,b] ιαιρούµε το κλειστό διάστηµα [a,b] σε δύο µέρη, και καλούµε δ το διάστηµα εκείνο, που περιέχει µία απειρία σηµείων του Ε Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο, και βρίσκουµε b a ότι, N, το κλειστό διάστηµα δ = [ a, b ], µε b a =, περιέχει µία απειρία σηµείων του Ε Το σύνολο A = {a,a, K } είναι άνω φραγµένο Το σύνολο B = {b,b, K } είναι κάτω φραγµένο Φανερά, τα σύνολα των πραγµατικών αριθµών Α και Β που ορίζονται αντίστοιχα από την σχέση A a A, µε < a και ανάλογη σχέση για το Β, αποτελούν τοµή των πραγµατικών αριθµών Ορίζουν, συνεπώς, τον ξ R Φανερά, το ξ είναι σσ του Ε, µιά και για κάθε περιοχή του b a ρ V( ξ, ρ), µπορούµε να βρούµε έναν δείκτη, τέτοιον ώστε, <, οπότε, δ V( ξ, ρ), και, συνεπώς, η V(ξ) θα περιέχει άπειρα σηµεία του Ε, διαφορετικά από το ξ Θεώρηµα 6 (Cator) Μία φθίνουσα ακολουθία µη κενών κλειστών και φραγµένων συνόλων έχει τοµή ένα µη κενό, κλειστό και φραγµένο σύνολο Απόδειξη Έστω (δ ) N η φθίνουσα ακολουθία των κλειστών συνόλων Το ότι η τοµή τους είναι κλειστό σύνολο, έπεται από προηγούµενο θεώρηµα Το ότι είναι φραγµένο σύνολο, είναι προφανές Αποµένει να δείξουµε ότι, δεν είναι το κενό σύνολο Πράγµατι, από κάθε δ, επιλέγουµε ένα σηµείο Το σύνολο X = { } είναι ένα άπειρο φραγµένο υποσύνολο της πραγµατικής ευθείας Άρα, έχει ένα τουλάχιστον σσ, το ξ Κάθε περιοχή του ξ, περιέχει άπειρα σηµεία, τα οποία ανήκουν όλα, αναγκαστικά, σε κάποιο δ Το ξ είναι, λοιπόν, τελικά, σσ κάθε δ Όµως, τα δ κλειστά σύνολα Άρα, ξ I δ Ορισµός Ορικό σηµείο του E R καλείται εκείνο το σσ του Ε, που, τελικά, κάθε περιοχή του, περιέχει όλα τα σηµεία του Ε Πόρισµα Το ορικό σηµείο του Ε, είναι αναγκαστικά µοναδικό Πόρισµα Μία εγκυβωτισµένη φθίνουσα ακολουθία κλειστών διαστηµάτων, έχει ένα ορικό σηµείο Θεώρηµα 7 Κάθε φραγµένο ανοικτό υποσύνολο F είναι δυνατόν να γραφεί ως ένωσης αριθµησίµου το πλήθος διακεκριµένων ανοικτών διαστηµάτων Απόδειξη Έστω το F Επειδή το F ανοικτό, υπάρχουν y, z R, τέτοια ώστε ( y, ) F και (,z) F Θέτουµε a = f{(y, ) y R} και b = sup{(,z) z R} Το ανοικτό διάστηµα I = (a,b) περιέχει το σηµείο και είναι I F Πράγµατι, έστω το w I, w Τότε, ή a w <, ή b w > Στην πρώτη περίπτωση, από τον ορισµό του fu έπεται ότι υπάρχει y w, τέτοιο ώστε ( y, ) F, άρα, και, w F Ανάλογα ισχύουν και στην δεύτερη περίπτωση είξαµε, λοιπόν, ότι I F R

6 6 Θα δείξουµε, τώρα, ότι a F Προς τούτο, έστω a F Επειδή το F ανοικτό ρ R, µε ( a ρ,a + ρ) F, ή ( a ρ, ] F, πράγµα αδύνατον Όµοια έχουµε και ότι b F Θεωρούµε την οικογένεια των ανοικτών διαστηµάτων I Φανερά, η ένωση της οικογένειας αυτής, είναι ένα ανοικτό σύνολο, που καλύπτει το F Έστω ( a, b) και ( c,d) δύο στοιχεία της οικογένειας αυτής, και (a, b) (b,c) Τότε και, a < < d, και c < < b Επειδή, όπως δείξαµε, a F, είναι a < c Επειδή, c F, είναι c < a Άρα, c = a Ανάλογα είναι και d = b Άρα, αν δύο διαστήµατα της οικογένειας των ανοικτών διαστηµάτων, που καλύπτουν το ανοικτό σύνολο F έχουν τοµή µη κενή, συµπίπτουν Τα στοιχεία συνεπώς της οικογένειας αυτής, είναι όλα διακεκριµένα Άρα και αριθµήσιµα το πλήθος Θεώρηµα 8 (Hee Borel) Αν Φ = (I ) R ανοικτή κάλυψη του κλειστού και φραγµένου υποσυνόλου F R, µπορούµε, τότε, να διαλέξουµε απ αυτήν, µία πεπερασµένη υποκάλυψη του F Απόδειξη Από το προηγούµενο θεώρηµα, έχουµε µίαν αριθµήσιµο ανοικτή κάλυψη του F, την Φ = ( Ι ) Θεωρούµε την ένωση N S = I K I Το σύνολο S είναι ανοικτό σύνολο, ως ένωση πεπερασµένου πλήθους ανοικτών συνόλων Θα δείξουµε ότι, για κάποια τιµή του, η ένωση αυτή, καλύπτει το F Προς τούτο, θεωρούµε το σύνολο Q = F S Κάθε σύνολο Q είναι κλειστό σύνολο Αρκεί να δείξουµε ότι για κάποιον, η τοµή όλων των Q είναι κενή Για την οικογένεια των Q παρατηρούµε ότι, είναι µία φθίνουσα οικογένεια από κλειστά και φραγµένα σύνολα Η τοµή, λοιπόν, όλων των στοιχείων της οικογένειας αυτής, είναι ο ορικός αριθµός ξ F Τούτο όµως είναι αδύνατον, µιά και θάπρεπε επίσης να είναι ξ S ίδουµε άλλη µία απόδειξη του θεωρήµατος αυτού Θεώρηµα 8 (Hee Borel) Για κάθε κλειστό και φραγµένο υποσύνολο G, που καλύπτεται από την ένωση απείρου πλήθους ανοικτών διαστηµάτων, αρκεί ένα πεπερασµένο πλήθος απ αυτά, για να το καλύψει Και αντιστρόφως Απόδειξη Από υπόθεση, κάθε G καλύπτεται από κάποιο ανοικτό διάστηµα δ Αν, λοιπόν, το G είχε πεπερασµένο πλήθος σηµεία, δεν θα είχαµε τίποτα να αποδείξουµε Το G έστω, λοιπόν, ότι έχει άπειρο πλήθος από σηµεία Το G σαν φραγµένο σύνολο, είναι τέτοιο ώστε, f G < G < sup G Χωρίζουµε το [f G,sup G] στα δύο Κάποιο από τα προκύπτοντα υποδιαστήµατα, περιέχει απειρία σηµείων του G, και καλύπτεται από άπειρο πλήθος ανοικτών διαστηµάτων Με την ίδια διαδικασία, κατασκευάζουµε µία φθίνουσα ακολουθία κλειστών διαστηµάτων d, που περιέχουν άπειρα σηµεία του G, και που για κάθε ένα απ αυτά απαιτείται άπειρο πλήθος ανοικτών διαστηµάτων για να το καλύψει Τούτο όµως είναι αδύνατον, για G κλειστό σύνολο, µιά και η ακολουθία των κλειστών διαστηµάτων που κατασκευάσαµε, έχει ορικό σηµείο, το οποίο ανήκει στο G, και το οποίο καλύπτεται από ένα ανοικτό διάστηµα, στο εσωτερικό του οποίου υπάρχουν, τελικά, όλα τα d Αρκεί, λοιπόν, ένα και µόνον ανοικτό διάστηµα για να καλύψει το d, αντίθετα µε την υπόθεσή µας Ορισµός Συµπαγές καλείται ένα υποσύνολο της πραγµατικής ευθείας, που είναι κλειστό και φραγµένο Παρατήρηση Ισοδύναµα, έχουµε τις προτάσεις: (α) Το Ε είναι συµπαγές (β) Ισχύει το θεώρηµα Bolzao Weerstrass (γ) Ισχύει το Θεώρηµα Hee Borel R

7 7 Έχουµε δείξη τις ( α) ( β), και ( α) ( γ) Θα δείξουµε και τις αντίστροφες προτάσεις Για την ( γ) ( α) Έστω ότι, το σύνολο S είναι τέτοιο ώστε, από µία κάλυψη ανοικτών διαστηµάτων του, είναι δυνατόν να επιλέξουµε κάποια πεπερασµένη υποκάλυψη αυτού Το S είναι, λοιπόν, φανερά φραγµένο σύνολο Θα δείξουµε ότι είναι και κλειστό Πράγµατι, αν το S δεν είναι κλειστό, υπάρχει ορικό σηµείο του y, που δεν ανήκει σ αυτό Για κάθε S, y θεωρούµε την V (, ρ ), µε ρ < Η οικογένεια όλων των περιοχών αυτών, αποτελεί, φανερά, µιά ανοικτή κάλυψη του S Απ αυτήν, επιλέγουµε µίαν πεπερασµένη υποκάλυψη, { V, K,V } Θέτουµε ρ = { ρ,, } K ρ, και θεωρούµε την V(y, ρ ) Είναι, για κάθε δείκτη, V(y, ρ ) V(, ρ ) = Άρα το y δεν είναι ορικό σηµείο του S Για την ( β) ( α) Αν το σύνολο S δεν είναι φραγµένο, τότε, για κάθε, > Θεωρούµε το σύνολο E = {,, K} Το άπειρο υποσύνολο αυτό του S, έχει από υπόθεση ένα τουλάχιστον σσ y Αλλά για > + y, y y >, σχέση, που αντίκειται στο γεγονός ότι το y υπετέθη σσ του Ε Το S είναι, λοιπόν, φραγµένο Θα δείξουµε ότι, είναι και κλειστό Για το σκοπό αυτό, έστω ένα σσ του S Εκλέγουµε τις περιοχές V (,/ ), και από κάθε τέτοια περιοχή, εκλέγουµε το σηµείο, το οποίο ανήκει και στο S Έστω Ε το σύνολο των σηµείων αυτών Το είναι ορικό σηµείο του συνόλου Ε Από υπόθεση, γνωρίζουµε, ότι το Ε έχει ένα τουλάχιστον ορικό σηµείο εν S Αρκεί λοιπόν να δείξουµε, ότι το Ε δεν έχει άλλο ορικό σηµείο, πλην του Προς τούτο, έστω y άλλο ορικό σηµείο του Ε Είναι, τότε, y y + < y + / Ας y λάβουµε το τόσο µεγάλο ώστε το < Τότε, για όλα τα > θα είναι, και y / < y, και, άρα, V(y, y ), οπότε το y δεν είναι ορικό σηµείο του Ε Παρατήρηση Τα πέρατα ενός υποσυνόλου της πραγµατικής ευθείας, είναι σσ του συνόλου αυτού Άρα, κάθε συµπαγές υποσύνολο της πραγµατικής ευθείας, περιέχει τα πέρατά του Τούτο βέβαια σηµαίνει, ότι κάθε κλειστό διάστηµα αυτής, περιέχει τα άκρα του Βιβλιογραφία ) Π Ζερβού, Απειροστικός Λογισµός ) Walter Rud Prcples of Matheatcal Aalyss

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου.

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου. ΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Επί του επιπέδου θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Oxy, και σε κάθε σηµείο P(x, y) του επιπέδου αντιστοιχίζουµε τον µιγαδικό αριθµό = x+ y Η αντιστοιχία αυτή είναι µία ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x.

Infimum. Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A. Ορισμός infimum του συνόλου A. Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν. k R : x A k x. Infimum Ορισμός κάτω φράγματος συνόλου A Το σύνολο A R είναι κάτω φραγμένο αν k R : x A k x k = κάτω φράγμα Ορισμός infimum του συνόλου A inf A = infimum του συνόλου A Το μεγαλύτερο από τα κάτω φράγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

mail:

mail: Λογισμός Ι - Τμήμα 1Β Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014 ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS (Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα