Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα"

Transcript

1 Η εξέλιξη της γεωμετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη μέχρι σήμερα Βασίλειος Παπαντωνίου Ομ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών

2 Επίκεντρο της παρουσίασης Η εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης και ειδικότερα των γεωμετρικών εννοιών στον χρόνο από μια μακροσκοπική σκοπιά. Ποια ήταν τα κρίσιμα σημεία όταν άλλαζαν η σκέψη, οι παραδοχές και τα εργαλεία στη μελέτη της γεωμετρίας; Θα φωτισθούν κύρια σημεία στην ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης και επιρροές στην τέχνη και την αρχιτεκτονική.

3 Οι 4 μεγάλες περίοδοι (a) H πρώτη περίοδος, η οποία είναι η περίοδος των Ελληνικών Μαθηματικών αρχίζει τον 6 ο π.χ. αιώνα με τους Θαλή και Πυθαγόρα κορυφώνεται τον 4 ο και 3 ο π.χ. αιώνα με την Αθηναϊκή Σχολή και τη Σχολή της Αλεξάνδρειας με κύριους εκφραστές τους Πλάτωνα, Αριστοτέλη, Μέναιχμο και Ευκλείδη, Αρχιμήδη (Συρακούσες), Ερατοσθένη κ.ά. και τελειώνει τον 6 ο μ.χ. με τις ιδέες των Ήρωνα, Θέωνα, Υπατίας και Βοηθίου, τελευταίων μεγάλων μαθηματικών της Αρχαιότητας. Η δεύτερη περίοδος, 9 ος - 15 ος μ.χ. αιώνας, είναι η περίοδος της ανάπτυξης των Μαθηματικών του Αραβικού κόσμου με κέντρο την Βαγδάτη, την πρωτεύουσα του Ισλάμ. Κύρια συμβολή τους παρατηρήθηκε στην Άλγεβρα, την Τριγωνομετρία και την Συνδυαστική.

4 Οι 4 μεγάλες περίοδοι (b) Η τρίτη περίοδος 16 ος - 19 ος μ.χ. αιώνας, είναι η περίοδος ανάπτυξης των Κλασικών Μαθηματικών στη Δύση. Αρχίζει με την ανάπτυξη της Στοιχειώδους Άλγεβρας (Ιταλική Σχολή της Bologna Tartaglia Ferrari κ.λ.π.), της Άλγεβρας, της Αναλυτικής Γεωμετρίας, του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού (Newton, Leibnitz, Bernoulli, κ.ά.), των Διαφορικών Εξισώσεων, των Πιθανοτήτων, της Μηχανικής, του Λογισμού των Μεταβολών (Euler, D Alambert, Clairault, Monge, Laplace) Συνεχίζεται με την ανάπτυξη της θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων, της Σύγχρονης Άλγεβρας, των μη-ευκλείδειων Γεωμετριών, της Προβολικής και Παραστατικής Γεωμετρίας, της θεωρίας Πινάκων, της Τοπολογίας και θεωρίας Συνόλων με εκφραστές πολλούς και σημαντικούς Μαθηματικούς, κυριότεροι των οποίων ήταν οι: Cauchy, Weierstrass, Poincare, Abel, Galois, Jacobi, Poncelet, Von Staudt, Gauss, Bolyai, Lobashevski, Boole, Cantor, Dadekind, Euler, κ.ά. Η τέταρτη περίοδος αναφέρεται στα Μαθηματικά του 20 ου αιώνα μέχρι σήμερα. Κατά την περίοδο αυτή ανακαλύπτεται η θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων και καμπυλών, η θεωρία Δακτυλίων και Σωμάτων, η Αριθμητική Ανάλυση, η Λογική, η Διαφορική Τοπολογία, η Πληροφορική, η Γεωμετρία Riemann, οι ομάδες Lie, κ.λ.π.

5 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία Περίοδος των Ελληνικών Μαθηματικών: θα αναφερθούμε σε δυο σταθμούς: Εισαγωγή και υπολογισμός της έννοιας της Χρυσής Τομής από τον Πυθαγόρα. Ανάπτυξη της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που βασίζεται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη

6 Χρυσή τομή Διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ σε δυο άνισα μέρη από ένα σημείο Μ, έτσι ώστε το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους του ΑΒ δια του μήκους του μεγαλύτερου τμήματος να ισούται με το πηλίκο της διαίρεσης του μήκους του μεγαλύτερου προς το μήκος του μικρότερου. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε φ, προς χάριν του Φειδία, και χρυσός αριθμός καθώς δημιουργεί την αίσθηση της αρμονίας των αναλογιών.

7 Χρυσά ορθογώνια στον Παρθενώνα

8 Το σύστημα της Χρυσής Τομής αξιοποίησε πολύ αργότερα και ο Le Corbusier για να δημιουργήσει το δικό του σύστημα αναλογιών, γνωστό ως Modulor

9 Ευκλείδης: Τα στοιχεία Η Ευκλείδεια γεωμετρία βασίζεται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Τον όρο «Στοιχεία» οι Αρχαίοι Έλληνες τον απέδιδαν σε κάθε σύστημα μαθηματικών Προτάσεων και Θεωρημάτων που βασιζόταν σε αξιώματα. Ο Ευκλείδης κατάφερε με 5 αιτήματα να θεμελιώσει λογικά το σύνολο των μέχρι τότε γεωμετρικών γνώσεων και να δημιουργήσει 465 Προτάσεις και Θεωρήματα, πολλές από τις οποίες είναι πολύπλοκες και καθόλου διαισθητικά φανερές. Τα «Στοιχεία» αποτελούνται από 13 βιβλία. Τα πρώτα 6 πραγματεύονται την γνωστή μας Επιπεδομετρία τα επόμενα 3 αναφέρονται στη Θεωρία Αριθμών το δέκατο βιβλίο αναφέρεται στη θεωρία των Ασύμμετρων λόγων τα τελευταία 3 αναφέρονται στην Στερεομετρία

10 Ευκλείδης: Τα 5 αιτήματα Δυο διαφορετικά σημεία ορίζουν μοναδική ευθεία γραμμή, στην οποία τα σημεία αυτά ανήκουν. Κάθε πεπερασμένη ευθεία προεκτείνεται κατά τρόπο συνεχή σε άπειρη ευθεία γραμμή. Με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα, γράφεται κύκλος. Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο ευθείες γραμμές, έτσι ώστε το άθροισμα των δυο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών να είναι μικρότερο από 180 ο, τότε οι δυο ευθείες αν επεκταθούν απεριόριστα θα συναντηθούν προς το μέρος που είναι οι γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι μικρότερο των 180 ο.

11 Σχόλιο Τα πρώτα 3 αιτήματα αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ευθυγράμμου τμήματος, προέκτασης ευθείας και κατασκευής κύκλου. Εισάγεται έτσι έμμεσα πλην σαφώς, η αποκλειστική χρήση του κανόνα και του διαβήτη. Ο περιορισμός αυτός οδήγησε στην ανακάλυψη πολλών καμπυλών στην προσπάθεια των Μαθηματικών να επιλύσουν τα τρία περίφημα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας, που αναφέρονται στον τετραγωνισμό του κύκλου στο διπλασιασμό του κύβου στην τριχοτόμηση τυχαίας γωνίας.

12 Το 5 ο αίτημα Το 5 Ο αίτημα καθορίζει τη φύση σχεδόν ολόκληρης της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Η άρνηση της ισχύος του, αποτέλεσε την αφετηρία για την ανακάλυψη των λεγομένων σήμερα μη-ευκλειδείων Γεωμετριών. Ο Ευκλείδης, εκτός από τα αιτήματα χρησιμοποίησε και 5 κοινές έννοιες. Τις θεμελιώδεις έννοιες Σημείο, Ευθεία και Επίπεδο δεν τις όρισε, απλώς τις περιέγραψε με τις ουσιώδεις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα έγραψε: Σημείο είναι αυτό που δεν έχει μέρος. Γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος. Επίπεδο είναι ότι έχει μήκος και πλάτος, κλπ. Οι κοινές έννοιες (αξιώματα) διατυπώθηκαν ως ακολούθως: Αυτά που είναι ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα. Αν σε ίσα προστεθούν ίσα, προκύπτουν πάλι ίσα. Αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, προκύπτουν πάλι ίσα. Αυτά που εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο, είναι μεταξύ τους ίσα. Το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος.

13 Η αξία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας Η Ευκλείδεια Γεωμετρία για πολλούς αιώνες υπήρξε η βάση, πάνω στη οποία στηρίχθηκε η ανάπτυξη πολλών άλλων κλάδων των Μαθηματικών και άλλων επιστημών. Η λογική συνέπεια που απαιτούν οι αποδείξεις των Θεωρημάτων της, σε συνδυασμό με την άμεση εποπτεία των σχημάτων, ανέδειξαν την Ευκλείδεια Γεωμετρία ως το κατ εξοχήν μάθημα που οξύνει το πνεύμα και την καλαισθησία του ανθρώπου και αποτελεί μέχρι σήμερα, σε όλα τα μήκη και τα πλάτη της γης, ένα από τα πιο βασικά διδακτικά εργαλεία.

14 Αμφισβήτηση του Αξιωματικού Συστήματος του Ευκλείδη Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες Ένα σύστημα αξιωμάτων γίνεται αποδεκτό αν είναι: Επαρκές: Να εξασφαλίζει, δηλαδή, την Λογική συνέπεια οποιασδήποτε γεωμετρικής ιδιότητας του χώρου Απαλλαγμένο αντιφάσεων: Να μην υπάρχουν αντιφάσεις μεταξύ των αξιωμάτων, αλλά και να μην προκύπτουν αντιφάσεις από τον συνδυασμό τους. Λογικά καθεαυτό ανεξάρτητο: Δηλαδή, κανένα, από τα αξιώματα να μην προκύπτει εν μέρει ή εν όλω, ως Λογική συνέπεια των άλλων

15 Προσπάθειες για την απόδειξη του 5 ου αιτήματος Διάσημοι μαθηματικοί και για πολλούς αιώνες, από τον Ποσειδώνιο ( π.χ.) μέχρι τον G.S. Klügel το 1763 μ.χ. δεν κατάφεραν να αποδείξουν το 5 ο αίτημα. Ο Klügel στη Διδακτορική του διατριβή με την επίβλεψη του Καθηγητή A.G. Kästner στο Πανεπιστήμιο του Göttingen με τίτλο «Μελέτη των πιο διάσημων προσπαθειών για την απόδειξη της θεωρίας των παραλλήλων» συμπέρανε ότι το 5 ο αίτημα δεν μπορεί να αποδειχθεί Έτσι, η μαθηματική σκέψη στράφηκε προς την ιδέα της αντικατάστασής του, διατηρώντας ακέραια τα 4 άλλα αξιώματα.

16 Νέα ιδέα Μια νέα Γεωμετρία αντίθετη της Ευκλείδειας ήταν λογικό να οικοδομηθεί. Η ιδέα που επικράτησε ήταν να αντικατασταθεί το 5 ο αίτημα από την άρνησή του και έτσι δημιουργήθηκε το σχήμα: Απόλυτη Γεωμετρία (τα 4 αξιώματα) + (5 ου Αιτήματος) Η άρνηση του 5 ου αιτήματος σημαίνει ότι: Από σημείο εκτός ευθείας άγονται είτε τουλάχιστον δυο παράλληλες προς αυτή, είτε καμία.

17 Δυο νέες Γεωμετρίες Η πρώτη περίπτωση οδήγησε στη δημιουργία της Υπερβολικής Γεωμετρίας με θεμελιωτές τους Nicolai Ivanovich Lobachevsky ( ), Farkas Bolyai ( ) και Karl Freidrich Gauss ( ) Κύριο χαρακτηριστικό της υπερβολικής Γεωμετρίας είναι ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 180 ο Η δεύτερη οδήγησε στην Ελλειπτική Γεωμετρία με θεμελιωτές τους Gauss και Felix Klein. Κύριο χαρακτηριστικό της ελλειπτικής το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 ο Ένα άλλο χαρακτηριστικό αυτών των γεωμετριών είναι ότι η ομοιότητα σχημάτων οδηγεί στην ισότητα αυτών, δηλαδή δεν υφίστανται μη-ίσα όμοια σχήματα.

18

19 Υπερβολική γεωμετρία και τέχνη Το γνωστό έργο του ζωγράφου M. C. Escher, Circle Limit I (1958) με τα ψάρια που πετούν κατασκευάστηκε σε μοντέλο υπερβολικής γεωμετρίας του Poincaré, ύστερα από συζητήσεις που είχε ο δημιουργός με τον H.S.M Coxeter Καθηγητή του Πανεπιστημίου του Τορόντο. Όλα τα ψάρια του ιδίου χρώματος υποτίθεται ότι είναι του ιδίου μεγέθους και σχήματος. Τα όρια του κύκλου είναι στο άπειρο. Το μοντέλο παραμορφώνει και μέγεθος και σχήμα. Όλες οι γραμμές είναι ευθείες (γεωδαισιακές) και τέμνουν τα όρια του κύκλου σε ορθές γωνίες.

20 Υπερβολική γεωμετρία και Αρχιτεκτονική Ένα παράδειγμα μιας υπερβολοειδούς κατασκευής, ύψους 37 μέτρων του 1896, είναι αυτό που κοσμεί το σταθμό μετρό της ρωσικής πόλης Novgorod του Vlamidir Grigorjevič Šuhov

21 Αξιωματική θεμελίωση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας κατά Hilbert David Hilbert διατυπώνει το 1899 νέο αξιωματικό σύστημα στην περίφημη εργασία του Grundlagen der Geometrie. Θεώρησε τον Ευκλείδειο 3-διάστατο χώρο αποτελούμενο από τρία είδη θεμελιωδών στοιχείων : Σημεία, Ευθείες, Επίπεδα δέχθηκε ότι οι σχέσεις μεταξύ αυτών είναι απόρροιες πέντε θεμελιωδών εννοιών: ανήκειν, κείσθαι μεταξύ, ισότης, παραλληλία, συνέχεια. Για κάθε μια από αυτές όρισε αξιώματα, έτσι δημιούργησε τις ακόλουθες πέντε ομάδες αξιωμάτων: Τα αξιώματα θέσης (ανήκειν) Τα αξιώματα διάταξης (κείσθαι μεταξύ). Τα μετρικά αξιώματα (ισότης) Το αξίωμα της παραλληλίας (παραλληλία) Τα αξιώματα της Συνέχειας (συνέχεια)

22 Σημείο καμπής για τη γεωμετρική σκέψη Με τον Hilbert αρχίζει να ανεξαρτητοποιείται η Γεωμετρία από τα αισθητά πράγματα και τον φυσικό κόσμο. Mε την επίδραση του Διαφορικού Λογισμού αναπτύσσεται και θεμελιώνεται η Κλασσική, σήμερα, λεγόμενη, Διαφορική Γεωμετρία. Μια από τις βασικές έννοιες αυτής είναι η καμπυλότητα Κ των επιφανειών. Ο Gauss απέδειξε ότι υπάρχουν στον χώρο τρία είδη επιφανειών με σταθερή καμπυλότητα Gauss, αυτές για τις οποίες είναι: Κ = 0 ή Κ > 0 ή Κ < 0 απέδειξε πως αν Α 1 Α 2 Α 3 είναι ένα τρίγωνο πάνω σε τυχαία επιφάνεια, τότε ισχύει πάντοτε Â 1 + Â 2 + Â ο = Κ ds όπου ds είναι το στοιχειώδες εμβαδό.

23 Το τρίγωνο στα τρία είδη γεωμετριών Οπότε, αν το τρίγωνο κείται σε επιφάνειες με Κ = 0, τότε το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου θα είναι 180 ο και αναφερόμαστε στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αν Κ > 0, τότε το άθροισμα των γωνιών γίνεται μεγαλύτερο από 180 ο και έχουμε την Ελλειπτική Γεωμετρία, με μοντέλο τη σφαίρα (αφού για τη σφαίρα Κ= 1/R 2 > 0) Αν Κ < 0, τότε το άθροισμα των γωνιών γίνεται μικρότερο από 180 ο και έχουμε την υπερβολική γεωμετρία με μοντέλο την ψευδοσφαίρα (αφού για την ψευδοσφαίρα έχουμε Κ= - 1/R 2 < 0).

24 Γεωμετρία Riemann Η ιδέα τέλος της δημιουργίας γεωμετρίας σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης και με την παράλληλη ανάπτυξη της Τανυστικής Ανάλυσης και της Τοπολογίας οδήγησε τον Riemann στη γενίκευση της γεωμετρίας των επιφανειών, που είχαν μελετηθεί από Gauss, Βonnet κ.α. και η οποία κατέληξε στον ακριβή ορισμό της σύγχρονης έννοιας της αφηρημένης πολλαπλότητας Riemann (Gudmundsson, 2012). Το 1854, ο Riemann δημιουργεί και διατυπώνει τα περί Διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων και της Γεωμετρίας Riemann, που αποτελούν τον βασικό κορμό της Σύγχρονης Γεωμετρίας. Η βασική ιδέα του ήταν η εισαγωγή ενός τανυστικού πεδίου (τανυστικό πεδίο Riemann) δια μέσου ενός μετρικού τανυστικού πεδίου. Αυτή η όμορφη θεωρία της Γεωμετρίας Riemann εξακολουθεί να είναι μια πολύ ενεργή περιοχή της μαθηματικής έρευνας (Gudmundsson, 2012),

25 Εφαρμογές της Γεωμετρίας Riemann Η Γεωμετρίας Riemann είναι η γλώσσα που η γενική θεωρία της Σχετικότητας του Einstein έχει εκφρασθεί Χρησιμοποιείται στη μελέτη του ηλεκτρομαγνητισμού, καθώς και της Langrangian και Hamiltonian Μηχανικής. Οι πολλαπλότητες Riemann αξιοποιούνται στα πεδία της Γεωμετρικής μοντελοποίησης, της επεξεργασίας ψηφιακού σήματος, επεξεργασίας εικόνας, αλλά και στην οικονομετρία, στη διαμορφωτική γεωλογία, στη στατιστική και στη θεωρία της πληροφορίας

26 Εφαρμογή της Γεωμετρίας Riemann στο σχεδιασμό και κατασκευή αντικειμένου Το αντικείμενο προέκυψε από μελέτες για την παραγωγή μιας οικογένειας ιδεών σχετικής με το λογότυπο μιας εταιρείας (το γράμμα G) με αντικείμενο την Επιστήμη και την Τεχνολογία. Δόθηκε ως πρώτο βραβείο Γεωμετρίας του Simon Stevin Institute of Geometry στον Καθηγητή Bang-Yen Chen, το 2008 κατά τη διάρκεια του διεθνούς Συνεδρίου Riemannian Geometry and Applications, που οργανώθηκε στο Brasov της Ρουμανίας.

27 Επίλογος Μέσα από την εξέλιξη των Μαθηματικών και των άλλων επιστημών μπορεί κάποιος να διαπιστώσει πως η ανάπτυξη άλλων γνωστικών περιοχών και εργαλείων στηρίζουν μια τέτοια εξέλιξη και πως αυτή η εξέλιξη επηρεάζει και υποστηρίζει με τη σειρά της άλλα επιστημονικά και τεχνολογικά πεδία και τον τρόπο που αντιλαμβανόμαστε τον χώρο και τις εκφράσεις του.

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 20.03.14 Χ. Χαραλάμπους Είναι το 5 ο αίτημα όντως αίτημα και όχι πρόταση? Η πρώτη φορά που το αίτημα χρησιμοποιείται στα Στοιχεία είναι στην απόδειξη της Πρότασης 29. ( Η Πρόταση 29

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό Εξάμηνο 2012. 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 15.03.12 Χ. Χαραλάμπους Έργα Στοιχεία Δεδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Εισαγωγικά. Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε.

Τεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 1: Εισαγωγικά. Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 1: Εισαγωγικά Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η Λογική της Γεωμετρίας

Η Λογική της Γεωμετρίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Η Λογική της Γεωμετρίας Η αποκρισιμότητα της Elementary Geometry Για τους σκοπούς της παρουσίασης της 25/01/2011. Αριστοτέλης Παναγιωτόπουλος Ναταλία Κωτσάνη Ευκλείδης «Στοιχεία»

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

SOCRATES Πανταζής Δήμος, Γκαδόλου Ελένη Κουκοφίκης Θανάσης, Στρατάκης Παναγιώτης. ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: Από την Επιστήµη στην Εφαρµογή

SOCRATES Πανταζής Δήμος, Γκαδόλου Ελένη Κουκοφίκης Θανάσης, Στρατάκης Παναγιώτης. ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΟΣΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: Από την Επιστήµη στην Εφαρµογή Στόχοι Η εργασία αυτή έχει σαν στόχους: Α) να παρουσιάσει συνοπτικά μια σειρά από ομοιότητες και διαφορές των δύο επιστημονικών κλάδων όσον αφορά τους ορισμούς τους, τις κατηγοριοποιήσεις τους, τα εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Ιστορικό Σημείωμα

Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Ιστορικό Σημείωμα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΤΟΥ N. LOBACHEVSKY Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Ιστορικό Σημείωμα Η θεωρία περί των παραλλήλων

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλοι μαθηματικοί. και το έργο τους...

Μεγάλοι μαθηματικοί. και το έργο τους... Μεγάλοι μαθηματικοί και το έργο τους... Eυκλείδης Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 350 π.χ. - 270 π.χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 8.03.12 Χ. Χαραλάμπους Θαλής ο Μιλήσιος ( 630-550π.Χ.) Πυθαγόρας o Σάμιος (570-490) Ζήνωνας ο Ελεάτης ( 490-430) Δημόκριτος o Αβδηρίτης (c. 460-370) Πλάτων (427-347 π.χ.) Ιστορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες

Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες ΑΡΧΑΙΟΙ ΧΡΟΝΟΙ Πυθαγόρας (580-500π.Χ) Ευκλείδης (350-270π.Χ) Αρχιμήδης (287-212π.Χ) Διοκλής (240-180π.Χ) ΠΡΩΤΟΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Ήρων (1 Ος αιώνας μ.χ) Υπατία (370-416

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα: Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο:

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: Μαρούσι Ιστοσελίδα:  Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αριθµών και Αλγεβρα, µέλλον, εφαρµογές και η διδασκαλία σε Π.Π.Σ.

Θεωρία Αριθµών και Αλγεβρα, µέλλον, εφαρµογές και η διδασκαλία σε Π.Π.Σ. Θεωρία Αριθµών και Αλγεβρα, µέλλον, εφαρµογές και η διδασκαλία σε Π.Π.Σ. Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών. 12/04/2014 Μαθηµατικά στα Πειραµατικά Γυµνάσια-Λύκεια, Θεωρία Αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα -εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ. Δ/νσεις Δ/θμιας Εκπ/σης Γραφεία Σχολικών Συμβούλων Γενικά Λύκεια (μέσω των Δ/νσεων Δ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου

Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Ενδεικτική θεματολογία δημιουργικών εργασιών στην Α και Β τάξη του Γενικού Λυκείου Α. Προτεινόμενες θεματικές ενότητες Τίτλοι από το Ι.Ε.Π. ΑΛΓΕΒΡΑ 5ο 5.1: Ακολουθίες Η ακολουθία Fibonacci στην Φύση και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Πανεπιστημίου Μακεδονίας ΜΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ερευνητική εργασία στο πλαίσιο του project Η αναζήτηση της Μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 / ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 16 Ενδεικτικά θέματα μαθηματικών για τις Α, Β και Γ τάξεις του Γενικού Λυκείου Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τα

Διαβάστε περισσότερα

Η τριχοτόμηση της γωνίας με τη βοήθεια συναρτησιακών

Η τριχοτόμηση της γωνίας με τη βοήθεια συναρτησιακών Η τριχοτόμηση της γωνίας με τη βοήθεια συναρτησιακών σχέσεων του Αντώνιου Α. Αντωνίου Περίληψη: Δύο από τα διάσημα μαθηματικά προβλήματα είναι η με κανόνα και διαβήτη, τριχοτόμηση της γωνίας και ο τετραγωνισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ της Χριστίνας Φίλη (Επίκουρη καθηγήτρια Ε.Μ.Π )

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ της Χριστίνας Φίλη (Επίκουρη καθηγήτρια Ε.Μ.Π ) ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ της Χριστίνας Φίλη (Επίκουρη καθηγήτρια Ε.Μ.Π ) 3000-2000 π.χ Αίγυπτος Εμφάνιση ιερογλυφικών αριθμών. Κατασκευή πυραμίδων. Πραγματεία Μεταθέσεων (yang-ying

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΕΡΓΑ ΤΟΥ M. C. ESCHER

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΕΡΓΑ ΤΟΥ M. C. ESCHER ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΕΡΓΑ ΤΟΥ M. C. ESCHER Νίκος Α. Φωτιάδης ρ. Μαθηµατικών Επιµορφωτής Β επιπέδου κλάδου ΠΕ 03 E-mail: nikos.fotiades@gmail.com Website: http://users.sch.gr/nfotiades/ Περίληψη Τέσσερα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα

Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα Σενάριο 3. Τα µέσα των πλευρών τριγώνου Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Γ' Γυµνασίου: Παραλληλία πλευρών, αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, οµοιότητα τριγώνων, τριγωνοµετρικοί αριθµοί περίµετρος και εµβαδόν.

Διαβάστε περισσότερα

Διαδραστική Έκθεση Επιστήμης και Τεχνολογίας

Διαδραστική Έκθεση Επιστήμης και Τεχνολογίας Διαδραστική Έκθεση Επιστήμης και Τεχνολογίας «Η επιστήμη και η γνώση προχωρούν ρ μπροστά μόνο αν αμφισβητήσουμε τους μεγάλους» Χρονικά της Φυσικής 1905 (Annalen der Physik) Γενική Θεωρία της Σχετικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Υπερβολική Γεωμετρία

Υπερβολική Γεωμετρία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Υπερβολική Γεωμετρία ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Παναγιώτη Α. Χατζηκράχτη

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε.

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Ζαφειρόπουλος Χρήστος Μαθηματικός Γυμνασίου & Λυκείου Καράτουλα zafeiropouloschristos@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ξεκινώντας την ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 24.05.12 Χ. Χαραλάμπους Πίσω στην Άλγεβρα... Έως το τέλος του 18 ου αιώνα, άλγεβρα ήταν η μελέτη πολυωνυμικών εξισώσεων (κλασσική άλγεβρα). Το 20 ο αιώνα η άλγεβρα έγινε η μελέτη αφηρημένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων)

επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων) επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων) Μαθηματικά αντικείμενα Έννοιες Ιδιότητες (θεωρήματα, πορίσματα) Σχέσεις Ενέργειες Διαδικασίες Αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος

ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3 1.1 Γενικά.......................... 3 1.2 Ορισµοί......................... 4 1.3 Στοιχειώδεις Πράξεις Μεταξύ ιανυσµάτων....... 8 1.3.1 Γινόµενο Αριθµού επί ιάνυσµα.........

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Μαθηματικών Θεμάτων στα πλαίσια της ΑεξΕκπ. Mathematical Master Theses on Pure Mathematics, in the frame of Open Distance education

Ανάπτυξη Μαθηματικών Θεμάτων στα πλαίσια της ΑεξΕκπ. Mathematical Master Theses on Pure Mathematics, in the frame of Open Distance education Ανάπτυξη Μαθηματικών Θεμάτων στα πλαίσια της ΑεξΕκπ. Mathematical Master Theses on Pure Mathematics, in the frame of Open Distance education Μιχαήλ Ανούσης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΛΠ22 ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Υποστηρίζεται η άποψη ότι η ελληνιστική περίοδος (3ος - 2ος αι. π.χ.) αποτελεί το «απόγειο» της αρχαίας ελληνικής επιστήµης. Επίσης, ορισµένοι ιστορικοί της επιστήµης εκτιµούν ότι

Διαβάστε περισσότερα

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη

Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς. Άλγεβρα Γενικής Παιδείας. I. ιδακτέα ύλη ΘΕΜΑ : Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης Θετικών Μαθηµάτων των Β και Γ τάξεων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2011 12. Μετά από σχετική εισήγηση του Τµήµατος ευτεροβάθµιας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ Α.Π.Θ.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ Α.Π.Θ. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ Α.Π.Θ. Φανή Πεταλίδου Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών petalido@math.auth.gr Ιανουάριος 2016 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Από τη μέχρι τώρα γνωριμία σας και επαφή σας

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα