ΜΑΣ 191. Μαθηματικά με Υπολογιστές Ενδιάμεση εργαστηριακή εξέταση 9 Απριλίου 2009
|
|
- Σοφοκλής Αξιώτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΑΣ 9. Μαθηματικά με Υπολογιστές Ενδιάμεση εργαστηριακή εξέταση 9 Απριλίου 29 ΟΝΟΜΑ: ΑΠΤ:. Πρόβλημα Υπολογίστε κάθε παράσταση με μόνο μια εντολή της MATLAB: (α) n + k 2 k = + k (β) n + (γ) a + a a 2n +,2n + Λύση (α) 6 μ. (β) >> n=3; >> sum ( (+(:n-))./(+(:n-).^2) ).6 >> n=; >> sum(./(3*(:n)+) ).8383 (γ) >> trace( A(:2:end,:2:end) )
2 Πρόβλημα 2 Έστω το γραμμικό σύστημα Ax=b όπου A=magic(8) και b = [ ] T (α) Βρείτε τον ανηγμένο κλιμακωτό του επαυξημένου πίνακα [Α b]. μ. (β) Βρείτε τη γενική λύση του συστήματος. 3 μ. Λύση (α) >> rref([magic(8) [ ]']) (β) Έχουμε άπειρο πλήθος λύσεων με 5 ελεύθερες μεταβλητές, τις x 4 έως x 8. Η γενική λύση του συστήματος έχει ως εξής: x = 8 λ λ2 λ5 x2 = 44 3λ 4λ2 + 3λ3+ 4λ4 7λ5 x3 = λ+ 4λ2 4λ3 5λ4 + 7λ5 x4 = λ x5 = λ2 x6 = λ3 x7 = λ4 x = λ 8 5 2
3 Πρόβλημα 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση z = x y x y 2 3 (2 )(2 ) (α) Με ποιες εντολές παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα της z; 2 μ. 5 z -5.5 y (β) Με ποιες εντολές παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα της z; 2 μ. -.5 x.5 (γ) Με ποιες εντολές παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα; 6 μ. 3
4 Λύση (α) >> [x,y]=meshgrid(-:.:, -:.:); >> z=(2*x.^2-y).*(2*x-y.^3); >> meshc(x,y,z) >> xlabel('x') >> ylabel('y') >> zlabel('z') >> set(gcf,'color','w') (β) >> contourf(x,y,z), colorbar >> set(gcf,'color','w') (γ) >> [cs,h]=contour(x,y,z, [-5::- -:.25: ::8]); >> clabel(cs,h,- 5::8,'Fontsize',,'Fontweight','b','rotation',,'Labelspacing',288) ; >> set(gcf,'color','w') 4
5 Πρόβλημα 4 Διαβάστε τα αρχεία b.txt έως b4.txt που βρίσκονται στην ιστοσελίδα του μαθήματος. Αυτά περιέχουν σε 4 στήλες τα διανύσματα x, y, y 2 και y 3. Στη συνέχεια σχεδιάστε στο ίδιο γράφημα τις 4 γραφικές παραστάσεις του y 3 συναρτήσει του x. 5 μ. Λύση Με τις εντολές >> fid=fopen('b.txt'); X=fscanf(fid,'%g %g %g %g',[4 inf])'; >> fclose(fid); x=x(:,); y3=x(:,4); >> fid=fopen('b2.txt'); X=fscanf(fid,'%g %g %g %g',[4 inf])'; >> fclose(fid); x2=x(:,); y32=x(:,4); >> fid=fopen('b3.txt'); X=fscanf(fid,'%g %g %g %g',[4 inf])'; >> fclose(fid); x3=x(:,); y33=x(:,4); >> fid=fopen('b4.txt'); X=fscanf(fid,'%g %g %g %g',[4 inf])'; >> fclose(fid); x4=x(:,); y34=x(:,4); >> plot(x,y3,x2,y32,x3,y33,x4,y34) >> set(gcf,'color','w') παίρνουμε το πιο κάτω γράφημα 5
6 Πρόβλημα 5 (α) Έστω ότι A n =magic(n). Υπολογίστε τους βαθμούς rank(α n ) των μαγικών πινάκων της MATLAB για n=:5 και σχεδιάστε τις τιμές τους (με κόκκινους κύκλους) συναρτήσει του n. Πόσες περιπτώσεις ξεχωρίζετε; 5 μ. (β) Κατασκευάστε το γράφημα των δεικτών κατάστασης των μαγικών πινάκων A n συναρτήσει του n=:2:2 (με κόκκινους κύκλους). 3 μ. (γ) Προσαρμόστε τις πιο πάνω τιμές με πολυώνυμα ου, 2 ου και 3 ου βαθμού. Στη συνέχεια κατασκευάστε ένα πολλαπλό 3 γραφικό με τα γραφήματα των τριών πολυωνύμων παρεμβολής μαζί με τα δεδομένα του ερωτήματος (β). 6 μ (δ) Συγκρίνετε τις προβλέψεις των πιο πάνω πολυωνύμων για το δείκτη κατάστασης του μαγικού πίνακα A 3 με την ακριβή τιμή και σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. 4 μ. (ε) Βρείτε την -, την 2-, την - και τη νόρμα Frobenius του πίνακα Α 5. 2 μ. Λύση (α) >> n=:5; >> ranka=n; >> for i=:5 ranka(i)=rank(magic(i)); end >> plot(n,ranka,'o') Ξεχωρίζουμε 3 περιπτώσεις: rank(a)=n για n=2k+ rank(a)=2k+3 για n=4k+2 rank(a)=3 για n=4k (β) >> n=:2:2; >> condan=n; >> for i=:length(n) condan(i)=cond(magic(n(i))); end >> plot(n,condan,'o') >> xlabel('n'); ylabel('cond(a_n)'); >> title('condition numbers of magic matrices') 6
7 25 Condition numbers of magic matrices 2 5 cond(a n ) n (γ) >> p=polyfit(n,condan,) p = >> p2=polyfit(n,condan,2) p2 = >> p3=polyfit(n,condan,3) p3 = >> x=:.:25; >> P=polyval(p,x); >> P2=polyval(p2,x); >> P3=polyval(p3,x); Με τις εντολές >> subplot(3,,); plot(n, condan,'ro',x,p); xlabel('n'); ylabel('p_') >> subplot(3,,2); plot(n, condan,'ro',x,p2); xlabel('n'); ylabel('p_2') >> subplot(3,,3); plot(n, condan,'ro',x,p3); xlabel('n'); ylabel('p_3') παίρνουμε το ακόλουθο γράφημα: 7
8 4 p n 4 p 2 2 p n n (δ) >> cond(magic(3)) >> polyval(p,3) >> polyval(p2,3) >> polyval(p3,3) (ε) >> A5=magic(5); >> norm(a5,) 65 >> norm(a5,2) >> norm(a5,'fro')
9 Πρόβλημα 6 Θεωρούμε την εξίσωση f ( x) = J ( x) ax όπου a=.5 (ΑΠΤ)/ 6. (α) Σχεδιάστε το γράφημα της f(x) στο [,3]. 2 μ. (β) Βρείτε τη ρίζα της f με τη βοήθεια της fzero. 2 μ. (γ) Βρείτε τη ρίζα της f με τη μέθοδο Newton. 4 μ. ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Χρησιμοποιείστε το m-file Newton.m από το Κεφάλαιο 8. Δίνεται επίσης ότι J ( x) = J ( x) (δ) Τροποποιείστε το Newton.m έτσι ώστε να σημειώνει την προσεγγιστική ρίζα με κόκκινο κύκλο και να σχεδιάζει τη σύγκλιση της μεθόδου. Το νέο m-file έχει όνομα Newton2.m και έχει ακριβώς τις ίδιες μεταβλητές εισόδου όπως και το Newton.m. Αυτό για την εξίσωση f ( x) = x και για x =2 μας δίνει το ακόλουθο γράφημα: Λύση (α) Με τις εντολές >> a=.5*58/^6 a =.295 >> ff=@(x) besselj(,x)-a*x ff >> ezplot(ff,[ 5]) παίρνουμε το γράφημα: 2 μ. 9
10 besselj(,x)-a x x (β) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει μια ρίζα κοντά στο.5: >> fzero(ff,.5) (γ) >> ff ff >> df=@(x) -besselj(,x)-a df >> Newton(ff,df,.5,e-6,) k x_k f(x_k) Newton method has converged >> (δ) Το ζητούμενο πρόγραμμα έχει ως εξής: function root=newton2(fname,fdname,x,delta,nmax) % % Epilush mh grammikhs exiswshs f(x)= me th meodo Newton: % % f(x_k) % x_k+ = x_k % f'(x_k) % % Metablhtes eisodou: % fname : onoma sunexous sunarthshs mias metablhths f(x) % fdname: h paragwgos df/dx ths f(x) % x : arxikh ektimhsh ths rizas
11 % delta : anoxh (mh arnhjtikos pragmatikos) % Nmax : megistos arimos epanalhyewn % % Metablhth exodou: % root: h riza pou upologizetai me th meodo Newton % xvec=zeros(,nmax); xk=x; xvec()=xk; fk=feval(fname,xk); dfk=feval(fdname,xk); disp(' ') disp(' k x_k f(x_k)') disp(' ') disp(sprintf(' %3.f %4.9f %4.9f',, xk, fk)) niter=; for k=:nmax xk=xk-fk/dfk; dx=abs(xk-xk); xk=xk; fk=feval(fname,xk); dfk=feval(fdname,xk); disp(sprintf(' %3.f %4.9f %4.9f', k, xk, fk)) niter=niter+; xvec(k+)=xk; if dx < delta+eps disp(' ') disp('newton method has converged'); root=xk; % Plot xvec=xvec(:niter); xmin=floor(min(xvec))-; xmax=ceil(max(xvec))+; xxx=xmin:(xmax-xmin)*.:xmax; yyy=feval(fname,xxx); plot(xxx,yyy,'b','linewidth',3) set(gcf,'color','w') hold on plot([xmin xmax],[ ],'k:') for iip=:niter- xx=[xvec(iip) xvec(iip) xvec(iip+)]; yy=[ feval(fname,xvec(iip)) ]; plot(xx,yy,'k','linewidth',2) end plot(xvec(niter),,'ro','markersize',) hold off return end end disp('no convergence after Nmax iterations'); % Plot xvec=xvec(:niter); xmin=floor(min(xvec))-; xmax=ceil(max(xvec))+; xxx=xmin:(xmax-xmin)*.:xmax; yyy=feval(fname,xxx); plot(xxx,yyy,'b','linewidth',3) set(gcf,'color','w') hold on plot([xmin xmax],[ ],'k:') for iip=:niter-
12 xx=[xvec(iip) xvec(iip) xvec(iip+)]; yy=[ feval(fname,xvec(iip)) ]; plot(xx,yy,'k','linewidth',2) end hold off % End of Newton.m Για την εξίσωσή που μελετούμε και για μια πιο μακρυνή αρχική εκτίμηση, παίρνουμε το πιο κάτω σχήμα: Με αρχική τιμή κοντά στο πήραμε:
8 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
8 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με μεθόδους επίλυσης εξισώσεων την μορφής f(x) = 0. Αναζητούμε μια ακολουθία { n} n 0 x προσεγγίσεων της λύσης, έτσι ώστε lim x = n =
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 191. Μαθηματικά με Υπολογιστές Ενδιάμεση εργαστηριακή εξέταση 26 Απριλίου 2007
ΜΑΣ 191. Μαθηματικά με Υπολογιστές Ενδιάμεση εργαστηριακή εξέταση 26 Απριλίου 27 ΟΝΟΜΑ: ΑΤ:. Πρόβλημα 1 Στον πίνακα φαίνονται οι απογραφές πληθυσμού που έγιναν στις ΗΠΑ κατά τον περασμένο αιώνα: Έτος 19
Διαβάστε περισσότεραΜΑ270: ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο
ΜΑ7: ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 9- η Τπολογιςτική Άςκηςη. Θεωροφμε τθν εξίςωςθ + = (α) Δείξτε γραφικά ότι θ εξίςωςθ ζχει ακριβϊσ μία ρίηα. (β) Τι ςυμβολίηει θ μοναδικι ρίηα τθσ εξίςωςθσ; (γ)
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 6) Σεπτέμβριος 2015
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα10 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Αθροίσματα Riemann Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με αριθμητικές μεθόδους υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος b a f ( d ) όπου τα a, b είναι γνωστά και η συνάρτηση f() είναι
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΓραφικές παραστάσεις (2ο μέρος)
Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος) Σε αυτήν την ενότητα θα εξοικειωθείτε με τον τρόπο απεικόνισης γραφικών παραστάσεων στο MATLAB χρησιμοποιώντας την εντολή plot με πίνακες. Επίσης, θα δείτε επιπλέον εντολές
Διαβάστε περισσότεραf x και τέσσερα ζευγάρια σημείων
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΜΗΤΣΟΤΑΚΗΣ ΑΘΗΝΑ 27 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON Πρόγραµµα Matlab για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης f(x)= µε την µέθοδο Newton. Συναρτήσεις f(x), f
Διαβάστε περισσότεραΜελετήστε την θεωρία που αφορά Επαναληπτικές Μεθόδους Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων.
ΗΥ213 Αριθμητική Ανάλυση Εργαστήριο 7 Οδηγίες για προετοιμασία Διαβάστε και εκτελέστε όλα τα προηγούμενα εργαστήρια. Μελετήστε την θεωρία που αφορά Επαναληπτικές Μεθόδους Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων.
Διαβάστε περισσότεραΈνα πρόβλημα στη μετεωρολογία
ΜΑΣ 191.1 Εαρινό Εξάμηνο 2018 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ένα πρόβλημα στη μετεωρολογία Ένας μετεωρολόγος καταγράφει τις εξής θερμοκρασίες ανά δίωρα διαστήματα: Θερμ. ( o F) Ωρα 60 56 39 32 40 45 70 12 μεσάνυχτα
Διαβάστε περισσότεραΜαρία Λουκά. Εργαστήριο Matlab Πολυώνυμα - Παρεμβολή. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών.
Μαρία Λουκά Εργαστήριο Matlab Πολυώνυμα - Παρεμβολή Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Στη MATLAB τα πολυώνυμα αναπαριστώνται από πίνακες που περιέχουν τους συντελεστές τους σε φθίνουσα διάταξη. Για
Διαβάστε περισσότερα1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75
1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75 2. Έστω x = [2 5 1 6] α. Προσθέστε το 16 σε κάθε στοιχείο β. Προσθέστε το 3 σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται σε μονή θέση.
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΒ ΜΕΡΟΣ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ MATLAB ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Β ΜΕΡΟΣ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ MATLAB ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Εύρεση ρίζας Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την εύρεση ρίζας μιας συνάρτησης ή αλλιώς με την ευρεση λύσης της εξίσωσης: Πριν αναφερθούμε στην
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ενώ η εξίσωση της παραβολής είναι η
ΤΕΜΦΕ 4 ο Εξάµηνο Αριθµητική Ανάλυση Ι 1 η Εργαστηριακή Άσκηση Μέθοδος Müller Αν θέλαµε να ερµηνεύσουµε γεωµετρικά τη µέθοδο Secant θα βλέπαµε ότι σε κάθε βήµα φέρουµε την ευθεία που διέρχονται από τις
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 5) Σεπτέμβριος 2015 1
Διαβάστε περισσότερα4. Εισαγωγή στο Matlab
ΠΠΜ 500: Εφαρμογές Μηχανικής με Ανάπτυξη Λογισμικού 4. Εισαγωγή στο Matlab Εαρινό εξάμηνο 2006 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www. www.eng. eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή στο Matlab
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Υπολογιστές
Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #6: Προγραμματισμός στο MATLAB Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Προγραμματισμός στο MATLAB Εντολή ελέγχου ροής if Γενική μορφή σύνταξης:
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 9 o μάθημα: ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΗ MATLAB (3) ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Χρονικές σειρές 9 o μάθημα: ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΗ MATLAB (3) ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι. Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Σχολή Θετικών Επιστημών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Χ (ΤΕΤΜΗΜΕΝΩΝ) ΚΑΙ Υ (ΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ) ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΜαρία Λουκά. Εργαστήριο Matlab Άμεσες Μέθοδοι. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Μαρία Λουκά Εργαστήριο Matlab Άμεσες Μέθοδοι. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Βασικές συναρτήσεις του Matlab b = trace(a) : Είναι το άθροισμα των διαγωνίων στοιχείων του πίνακα Α. d = det(a) : επιστρέφει
Διαβάστε περισσότεραΙστοσελίδα : Εργαστήριο 3 Απαντήσεις. Επίλυση Μη Γραμμικών Εξισώσεων και Συστημάτων
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ι Ιστοσελίδα : http://www.math.tua.gr/~fargyriou Εργαστήριο 3 Απαντήσεις Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής
Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής email: dzavanti@cs.uoi.gr Περιεχόμενα Τι είναι η Matlab; Ιστορικά Χρήσεις και στοιχεία της Matlab
Διαβάστε περισσότερα11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 191. Μαθηματικά με Υπολογιστές Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου Ενδιάμεση εξέταση Θεωρία 18 Μαρτίου 2009
ΜΑΣ 9. Μαθηματικά με Υπολογιστές Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου Ενδιάμεση εξέταση Θεωρία 8 Μαρτίου 9 ΟΝΟΜΑ: ΑΤ:. Πρόβλημα (α) Ποια από τα πιο κάτω ονόματα μεταβλητών δεν είναι αποδεκτά στη MATLAB; (i) f (ii)
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }.
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {1, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0, 1, 2, 3, 4, }. Με Q θα
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 8ο Aντώνης Σπυρόπουλος Ανώνυμες συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραMatlab. Εισαγωγικές έννοιες. C. C. Katsidis
Matlab Εισαγωγικές έννοιες C. C. Katsidis m-file editor Εισαγωγή στο Matlab Command Window Εισαγωγή στο Matlab Ορισμός και γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο matlab (συνάρτηση y=x 2 ) Ορισμός και γραφικές
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι. 9 ο Εργαστήριο. Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη
Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι 9 ο Εργαστήριο Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη 2018 Απαλοιφή Gauss Με Μερική Οδήγηση Για την εύρεση του οδηγού στοιχείου στο k ο βήμα, αναζητούμε το μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραProject 1: Principle Component Analysis
Project 1: Principle Component Analysis Μια από τις πιο σημαντικές παραγοντοποιήσεις πινάκων είναι η Singular Value Decomposition ή συντετμημένα SVD. Η SVD έχει πολλές χρήσιμες ιδιότητες, επιθυμητές σε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση
ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΣ: ΧΑΤΖΗΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΝΤΩΝΗΣ Α.Μ. 09036 Εξάμηνο ΠΤΧ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΜΠΡΑΤΣΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Περιεχόμενα 3.1 Πολυωνυμική παρεμβολή...
Διαβάστε περισσότερα3 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 3 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ - MATLAB
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ - MATLAB Εργασία εξαμήνου Ευαγγελία Βλιώρα Α.Μ. 120004 Τμήμα E1 Εξάμηνο Β' ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2013 ΘΕΜΑ 1 Σας δίνεται η συνάρτηση α) Να τη σχεδιάσετε στο διάστημα [0,10]. β) Να
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις (2) Άσκηση 1
Άσκηση 1 Ασκήσεις () Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Υποθέστε ότι συγκρίνουμε την υλοποίηση της ταξινόμησης με εισαγωγή και της ταξινόμησης με συγχώνευση στον ίδιο υπολογιστή. Για εισόδους μεγέθους n,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗ MATLAB
ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗ MATLAB 1. Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (Σ.Δ.Ε.) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy dt f ( t, y( t)) όπου η συνάρτηση f(t, y) είναι γνωστή,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή
Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος της Αριθμητικής Παρεμβολής, δηλαδή η εύρεση της τιμής y k μιας συνάρτησης για ένα δεδομένο x k, όταν δεν γνωρίζουμε την
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές Μαθηματική Ανάλυση Ι Συνάρτηση μίας Μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραΓια τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε
Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και
Διαβάστε περισσότεραΝα γράψετε τους αριθμούς 1, 2, 3 από τη Στήλη Α και δίπλα το γράμμα α, β, γ, δ, ε από τη Στήλη Β που δίνει τη σωστή αντιστοιχία.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2016-2017 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : Προγραμματισμός Υπολογιστών / Γ ΕΠΑ.Λ. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 22-1-2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΙΧΑΛΕΑΚΟΣ- ΑΝΝΑ ΚΑΤΡΑΚΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 5ο Aντώνης Σπυρόπουλος Πράξεις μεταξύ των
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ηλεκτρονική Υγεία. Εργαστήριο 5 ο : MATLAB
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Υγεία Εργαστήριο 5 ο : MATLAB Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότερα1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ Μέρος 2ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Παραμετρικές Εξισώσεις Παραμετρικές Εξισώσεις Άσκηση 1 Άσκηση 1 Λύση: (αριστερόστροφη) Άσκηση 1 Άσκηση
Διαβάστε περισσότερα1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.
i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 473/673: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων
ΜΑΣ 473/673: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων Ένα δυσδιάστατο παράδειγμα με το λογισμικό MATLAB Θεωρούμε το εξής Π.Σ.Τ.: Να βρεθεί η u(x, y) έτσι ώστε όπου f (x, y) = 1. u u f ( x, y), x ( 1,1) ( 1,1) x
Διαβάστε περισσότερα2.Τι εννοούμε με βαθμό συνέχειας μιας συνάρτησης; Ποια είναι η χρησιμότητα της από πλευράς εφαρμογών;
ΗΥ1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5 1.Tι είναι συνάρτηση; Περιγράψτε τα στοιχεία που την ορίζουν..τι εννοούμε με βαθμό συνέχειας μιας συνάρτησης; Ποια είναι η χρησιμότητα της από πλευράς εφαρμογών;.να
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός αθροισμάτων
Υπολογισμός αθροισμάτων Τα αθροίσματα θα τα δημιουργούμε σαν συναρτήσεις και θα τα αποθηκεύουμε σε αρχείο (m-file) με την ίδια ονομασία με τη συνάρτηση. Για να δημιουργήσουμε ένα άθροισμα ξεκινάμε μηδενίζοντας
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL. Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός
Εργαστήριο 9 Συναρτήσεις στη PASCAL Η έννοια του κατακερματισμού. Συναρτήσεις. Σκοπός 7.1 ΕΠΙΔΙΩΞΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η έννοια της συνάρτησης ως υποπρογράμματος είναι τόσο βασική σε όλες τις γλώσσες προγραμματισμού,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος
Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας 2012 2013 Εισαγωγή Στην αριθμητική επίλυση μαθηματικών εφαρμογών, όπως για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΠροσομοίωση (simulation) στο Matlab
Προσομοίωση (simulation) στο Matlab Monte Carlo simulation: Μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια εκτίμηση του π ως εξής. Γράψτε ένα script που παράγει τυχαία σημεία σ'ένα τετράγωνο
Διαβάστε περισσότεραΣτη MATLAB τα πολυώνυμα αναπαριστώνται από διανύσματα που περιέχουν τους συντελεστές τους σε κατιούσα διάταξη. Για παράδειγμα το πολυώνυμο
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Γενικά περί πολυωνύμων Στη MATLAB τα πολυώνυμα αναπαριστώνται από διανύσματα που περιέχουν τους συντελεστές τους σε κατιούσα διάταξη. Για παράδειγμα το πολυώνυμο αναπαριστάται από το διάνυσμα
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο
Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 8: Γραφικές παραστάσεις Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα, Σήματα και Συστήματα
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 3 Καθηγητής Χ. Χαμζάς Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα.3- ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ένα διακριτό discree ή ψηφιακό digial σύστημα είναι μία διαδικασία προσδιορισμού
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 3)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 3) Σεπτέμβριος 2015
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας. H Matlab ως γλώσσα προγραμματισμού
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας H Matlab ως γλώσσα προγραμματισμού Προγραμματιστικές δομές Έλεγχος ροής if if
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση
Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραM files RCL Κυκλώματα
M files RCL Κυκλώματα Στο MATLAB γράφουμε τις δικές μας εντολές και προγράμματα μέσω αρχείων που καλούνται m-files. Έχουν το επίθεμα.m π.χ compute.m Υπάρχουν δύο είδη m-files: τα αρχεία script (script
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ. ΟΣΑ ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ ΣΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ, ΘΕΛΟΥΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ!!
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ. ΟΣΑ ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ ΣΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ, ΘΕΛΟΥΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ!! 1. Αν f(x).g(x)=0 τότε μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα ότι f(x)=0 ή g(x)=0 ; Οχι. Απλά η κάθε συνάρτηση μηδενίζεται
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά Μαθηματικά
Υπολογιστικά Μαθηματικά CompMath Set1, Ζαφειράκογλου Απόστολος Εισαγωγή Η φιλοσοφία που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία ακολουθεί τα πρότυπα του συναρτησιακού προγραμματισμού. Οι κώδικες είναι γραμμένοι
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 B ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω tt 1, tt 2,, tt νν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Διατυπώστε τον 1 ο κανόνα ολοκλήρωσης Smpson b f ( xdx ) ( 1 3 f f f ) a, αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Α1.i. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (Μονάδες 2) και στη
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ () ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
Διαβάστε περισσότερα= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ, 6/06/017 Θέμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(0, 0) = 0 και f(x, y) = x3 + y 3 x + y αν (x, y) (0, 0). (i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (ii) Αν u
Διαβάστε περισσότεραΠρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές-μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 018-19 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές-μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου
1 Εμβαδά 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α=, να υπολογιστεί η παράσταση: 9 9 f ( x) dx f ( x) dx 1 6 ) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του
Διαβάστε περισσότερα1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10)
Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β (Τζουβάρας/Χαραλάμπους) Φεβρουάριος 07 (I) Εστω n n πίνακας A τέτοιος ώστε A = 6A, έστω δ.χ. V με dim(v ) = n και f : V V η γραμμική απεικόνιση με πίνακα A ως πρός κάποια βάση
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 7-2278101 Φαξ: 7-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ -ΩΡΟ
Διαβάστε περισσότερα5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. x, τότε ισχύει f(4) f(2). x τότε ισχύει. αν 1.
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 5. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ Η/Υ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB Ν.Δ. Λαγαρός Μ. Φραγκιαδάκης Α. Στάμος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραAX=B (S) A A X=A B I X=A B X=A B I X=A B X=A B X=A B X X
. Επίλυση γραμμικού συστήματος με χρήση αντιστρόφου Πρόταση Θεωρούμε ένα τετραγωνικό γραμμικό σύστημα (δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων) AX=B (S). Αν ο πίνακας Α είναι
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αναμονής (Queuing Systems)
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΕΜΠ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων Τηλεματικής
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Προγραμματισμό με τη PASCAL & τη Matlab Εξαμηνιαία Εργασία 2014 Μετατρέποντας AC σε DC Τάση Μέρος Β : Πορεία Εργασίας
Εισαγωγή στο Προγραμματισμό με τη PASCAL & τη Matlab Εξαμηνιαία Εργασία 2014 Μετατρέποντας AC σε DC Τάση Μέρος Β : Πορεία Εργασίας. Συναρτήσεις στη PASCAL Σκοπός Προσομοίωση ενός Συστήματος / Κυκλώματος,
Διαβάστε περισσότεραΕίναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1)
3.1. Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι η δύναμη που ασκείται σε ένα ελατήριο και ονομάζεται δύναμη επαναφοράς δίνεται από τη σχέση : F = kx (3.1) Αν ϑελήσουμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αυτής μεταξύ δύο
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: A ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 019 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 90 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. (αα 1) β. (ββ 3) γ. (γγ ) δ. (δδ 5) Α3. α.
Διαβάστε περισσότεραx y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
Διαβάστε περισσότεραΒασικά στοιχεία στο Matlab
Αριθμητική : + - * / ^ 3ˆ2 - (5 + 4)/2 + 6*3 >> 3^2 - (5 + 4)/2 + 6*3 22.5000 Βασικά στοιχεία στο Matlab Το Matlab τυπώνει την απάντηση και την καταχωρεί σε μια μεταβλητή που την ονομάζει ans. Αν θέλουμε
Διαβάστε περισσότερα