ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange 2 ης τάξης"

Ἱεριχώ Ρόκας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Διατυπώστε τον 1 ο κανόνα ολοκλήρωσης Smpson b f ( xdx ) ( 1 3 f f f ) a, αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f ( x) με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange ης τάξης P ( x) L( x) f, όπου x x j L ( x). x x j j j Το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange ης τάξης υπολογίζεται από τη σχέση x x xx xx xx xx xx P( x) f f f x x1 x x x1x x1x x x x x1 Με δεδομένο ότι τα f, f1, f είναι σταθερές ως προς την ολοκλήρωση μπορούμε να γράψουμε 1 x x x x xx xx xx xx xx1 f ( x) dx f dx f dx f dx x x x x 1 x 1 x x1x x x x x 1x x x x xx1 Εισάγουμε την αλλαγή μεταβλητής x x t απ όπου προκύπτει dx dt. Με την αλλαγή αυτή τα νέα όρια ολοκλήρωσης μετατρέπονται σε και αντίστοιχα. Η παραπάνω σχέση παίρνει πλέον τη μορφή x x 1 t1 t t t t t1 f ( x) dx f dt f dt f dt f t t dt f t t dt f t t dt 3 1

2 t t t 3t t t t 1 f t f t f t t f f 1 f f f1 f t t 3. Να αποδειχθεί ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης x f ( xdx ) (1f 6f1f 6f3 f 5 x και να υπολογισθεί το σφάλμα του. 1 ), Για τον υπολογισμό του παραπάνω κανόνα αριθμητικής ολοκλήρωσης χρησιμοποιούμε τον γενικό κανόνα παρεμβολής Newton και επομένως ισχύει x I f ( x) dx f ( x a) da x aa ( 1) aa ( 1)( a) 3 aa ( 1)( a)( a3) f( x) f( x a) f( x) af( x) f( x) f( x) f( x)! 3!! aa ( 1) aa ( 1)( a) 3 aa ( 1)( a)( a3)! 3!! I [ f( x ) a f( x ) f( x ) f( x ) f( x )] da a a a a a a 3 a a 11a a [ af( x) f( x) ( ) f( x) ( ) f( x) ( ) f( x)] [ f( x) 8[ f( x1) f( x)] [ f( x) f( x1) f( x)] [ f( x3) f( x) f( x) f( x1) f( x1) f( x)] [ f ( x) f( x3) f( x3) f( x) f( x3) f( x) f( x) f( x1) f( x) f( x1) f( x1) f( x)] 5 (1 f 6 f1 f 6 f31 f) 5 Για τον υπολογισμό του σφάλματος της παραπάνω μεθόδου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον απλοποιημένο τύπο 8..1 στη σελίδα 577 του βιβλίου Αριθμητική Ανάλυση (Ν.Μ. Βραχάτη) σύμφωνα με τον οποίο για n= ισχύει n3 n n1 7 5 ( n) (6) n n f ( ) ( t) dt f ( ) ( t) dt ( n )! 6!

3 (6) f ( ) tt ( 1)( t )( t 3)( t )( t 5) dt 7 n (6) n f ( ) 1t7t 5t 85t 15t t 7 7 (6) 18 8 (6) n f ( ) n f ( ) Να υπολογισθούν με αριθμητική ολοκλήρωση Gauss οι τιμές της συνάρτησης gamma ( ) e x x a 1 dx για α=11. Επειδή το ολοκλήρωμα είναι της μορφής x f ( xe ) dx όπου f ( x) a 1 x οδηγούμαστε στην επιλογή της μεθόδου ολοκλήρωσης Gauss-Laguerre. χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο ολοκλήρωσης Gauss Laguerre n σημείων. Θα πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα: όπου x είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Laguerre n τάξης και w τα αντίστοιχα βάρη. Βασικό χαρακτηριστικό των συναρτήσεων Gamma είναι ότι το αναλυτικό αποτέλεσμα για κάθε μια από αυτές προκύπτει εύκολα χρησιμοποιώντας τη σχέση ( ) a 1! Χρησιμοποιώντας τη Matematca για τους υπολογισμούς και την επιβεβαίωση της παραπάνω σχέσης προκύπτει: x x 1 x N !//N Χρησιμοποιώντας πάλι τη Matematca για την αριθμητική ολοκλήρωση και επιλέγοντας να κάνουμε χρήση 3 ριζών παίρνουμε το ακόλουθο πρόγραμμα:

4 x , , , , , , , , , , , , , , , , , 5.618, , , , ,.58536, , , , , , , , , ; w , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ; a ga_ : ScentfcFormApplyP lus, x 1 w Table[g[],{,1,11}] 1., 1.,., 6.1,.1 1 1, 1. 1, 7.1 1, ,.331 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , g Apply Plus, x 1 w

5 Table[ScentfcForm[Gamma[]],{,1,11}]//N 1., 1.,., 6.,. 1 1, 1. 1,7. 1,5. 1 3,.3 1, , , , , , , , , , , , , , ,.585 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Gamma[11]//N Table[ScentfcForm[(-1)!],{,1,11}]//N 1., 1.,., 6.,. 1 1, 1. 1,7. 1,5. 1 3,.3 1, , , , , , , , , , , , , , ,.585 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Gamma[11]1! True

6 Από τα αποτελέσματα προκύπτει ότι η αριθμητική προσέγγιση της συνάρτησης Gamma χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση Gauss Laguerre 3 σημείων είναι (11) GL 157 Όσο το n μεγαλώνει παρατηρείται μεγαλύτερη απόκλιση ανάμεσα στα αριθμητικά και τα αναλυτικά αποτελέσματα. Οι αναλυτικές τιμές της συνάρτησης προσεγγίζονται καλύτερα κάνοντας χρήση περισσότερων σημείων στον κανόνα της αριθμητικής ολοκλήρωσης. 5. Να εφαρμοσθεί ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Cebysev, με n=, για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I ydy. Για την αριθμητική ολοκλήρωση Gauss-Cebysev ισχύει 1 1 f() z 1 z dz και επομένως θα πρέπει τα όρια του ολοκληρώματος προς υπολογισμό να είναι από 1 έως 1. Για το σκοπό αυτό y[ ( )] y y1 1 z dz dy ( ) και η αρχική σχέση παίρνει τη μορφή I 1 3(3z1) 1z dz με 1 1 z f ( z) 3(3z 1) 1 z. Αλλά I n wf( z) όπου z 1 cos n και w. n 1 Κάνοντας χρήση Matematca υπολογίζουμε την τιμή του ολοκληρώματος και την προσεγγιστική τιμή κάνοντας χρήση ολοκλήρωσης Gauss-Cebysev ydy

7 n ; fx_ : 33x1 1 x ; a_ : n 1 ; x_ : Cos 1 n ; Table[a[],{,,n}] 3, 3, 3 Table[x[],{,,n}] 3,, 3 Tabl e[f [x[]],{,,n }] ,3, n a_ f x N Αντικαθιστώντας στον παραπάνω κώδικα μεγαλύτερες τιμές για το n προσεγγίζουμε καλύτερα την τιμή της παράστασης. Ενδεικτικά, για n=56 παίρνουμε n 56; fx_ : 33x1 1 x ; a_ : n 1 ; 1 x_ : Cos n ; Table[a[],{,,n}]; Table[x[],{,,n}]//N; Table[f[x[]],{,,n}]//N; n a_ f x N.

8 1 1 y 6. Υπολογίστε με ολοκλήρωση Gauss το διπλό ολοκλήρωμα: I dy dx x 11 1 Το ολοκλήρωμα I 1 1 y dydx γράφεται ισοδύναμα 11 1 x xdyκαι x I y d λόγω της μορφής της σχέσης που προκύπτει επιλέγουμε να την προσεγγίσουμε αριθμητικά κάνοντας χρήση Gauss-Legendre για το πρώτο κομμάτι και Gauss- Cebysev για το δεύτερο. Παρατηρούμε ότι τα όρια των ολοκληρωμάτων είναι ήδη από -1 σε 1 και επομένως δεν χρειάζεται κάποιος μετασχηματισμός. Επίσης, για το κομμάτι της ολοκλήρωσης Gauss-Cebysev η f ( x) ισούται με 1 οπότε και περιοριζόμαστε σε n=1. Επομένως για την καλύτερη αριθμητική προσέγγιση αρκεί να χρησιμοποιήσουμε περισσότερα σημεία στην ολοκλήρωση Gauss-Legendre. Εισάγοντας το προς υπολογισμό ολοκλήρωμα στο Matematca 1 1 y yx N x.9 ενώ για ολοκλήρωση Gauss-Legendre με n= έχουμε τον κώδικα

9 n 1; fx_ : 1; a_ : n 1 ; 1 x_ : Cos n ; Table[a[],{,,n}], Table[x[],{,,n}] 1, 1 Table[f[x[]],{,,n}] {1,1} n GC a_fx y={ , }; w={1.,1.}; GLe Apply Plus, y w GC GLe.9 Ενδεικτικά ο κώδικας που προκύπτει για για ολοκλήρωση Gauss-Legendre με n=

10 n 1; fx_ : 1; a_ : n 1 ; 1 x_ : Cos n ; Table[a[],{,,n}], Table[x[],{,,n}] 1, 1 Table[f[x[]],{,,n}] {1,1} n GC a_fx y={ , , , }; w={ , , , } ; GLe Apply Plus, y w GC GLe.9 Από τα αποτελέσματα προκύπτει ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα τόσο για Gauss-Legendre με n=, όσο και για Gauss-Legendre με n= ταυτίζονται με την αναλυτική τιμή. 7. Να υπολογιστεί το τριπλό ολοκλήρωμα x yze 6 x y z dxdyz d Το ολοκλήρωμα 6 x y z x yze dxdydzγράφεται ισοδύναμα x y 6 z x y 6 z I x e y e z e dxdydz x e dx y e dy z e Επομένως, μπορούμε να κάνουμε χρήση αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Hermte και επομένως προκύπτει dz

11 n1 n1 n1 x I wx wx w 6 όπου x οι ρίζες του πολυωνύμου Hermte n-oστού βαθμού και w τα αντίστοιχα βάρη Κάνοντας χρήση Matematca υπολογίζουμε την τιμή του ολοκληρώματος x y z 6 x y z xyz N Για n= έχουμε x={ , }; w={ , }; a Apply Plus, x w.8867 b Apply Plus, x w.3113 c Apply Plus, x 6 w.1557 a b c.8751 Για n= έχουμε x={ , , , }; w={ , , , }; a Apply Plus, x w.8867 b Apply Plus, x w c Apply Plus, x 6 w a b c

12 Αριθμητική Ανάλυση Εργασία # Για n=8 έχουμε x={ , , , , , , , }; w={ , , , , , , , }; a Apply Plus, x w.8867 b Apply Plus, x w c Apply Plus, x 6 w a b c

Σχετικά έγγραφα

Κεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή

Κεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή Κεφ. 5: Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή 5. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 5.. Κανόνας τραπεζίου 5.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Smpso 5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) 5. Ολοκλήρωση Gauss 5..