SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE"

Transcript

1 SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE Visoke građevine VISOKE GRAĐEVINE SADRŽAJ PREDAVANJA (1.dio) Uvodno Povijest i kronologija visokih građevina Nosivi elementi za osnovna opterećenja Mjere konstrukcijske učinkovitosti Konstrukcijski sustavi visokih zgrada Tipovi konstrukcije ovisno o broju katova Četiri osnovna nosiva sustava Kruti okviri Okviri sa spregovima Okviri s ispunom Posmični zidovi Konstrukcije od zidova i okvira Povezani zidovi Povezani zidovi Okvirne cijevne konstrukcije Cijevi povezane u snopove Cijevi sa spregovima Jezgra ojačana spregovima Ovješene konstrukcije Sustav cijevi u cijevi Prostorne konstrukcije Hibridne konstrukcije 1

2 UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA prve visoke i monumentalne građevine izgrađene su već u starome vijeku Piramide: Imphotep, stepenasta piramida, 2780 BC Cheops, 2680 BC, visina 146 m. Sfinga kod Gizeha, 2500 BC, dužine 73,5 m, visine 20 m. UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Rodski kolos: kip od pozlaćene bronce, 304 BC visina 32m Pharos: svjetionik kraj Aleksandrije, 280 BC, H=120m graditelj: Sostratos iz Knidosa srušio se u 13. stoljeću uslijed potresa, kameni toranj, kamenovi spojeni zalivenim olovom 2

3 UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Kosi toranj u Pisi, ( ) H=56m - stupasti toranj Washington Monument (1885) stupasti toranj H=169m Gotičke katedrale, (5st.) izražena nastojanja za izgradnjom što viših građevina Katedrala u Ulmu, ( ) H=161,5m najviša katedrala na svijetu UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Eiffelov toranj (1889) H=301m Champ-de-Mars, Paris najviša građevina do temeljenje na kesonima čelična konstrukcija teška t potpuna razlika u odnosu na tadašnje građevine zrcalo ljudske kreativnosti 3

4 UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Hiperboloidni tornjevi inženjera Vladimira Šuchova Prvi toranj u blizini Nizhny Novgoroda (1896) Tornjevi blizanci kraj rijeke Oka (1988), h=128 m radiotoranj Šabalovka pored Moskve, H=150 m filigranska konstrukcija U-čelični profili sa horizontalnim prstenovima koji označavaju prijelaz između 6 hiperboloidnih segmenata UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Skylon Tower (1951), London visina H=76 m, 15 metara iznad tla lebdeća cigara stabiliziran je zategama preko 3 pilona 4

5 UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Needle Tower II (1969) tensegrity konstrukcija, arhitekt: Kenneth Snelson gradivo: aluminij + visokovrijedni čelik dimenzije 30 x 6 x 6 m Tensegrity konstrukcije: prostorna stabilnost i princip minimalne konstrukcije prave tensegrity konstrukcije dosežu visine i do 30 m začetnik arhitekt - Buckminister-Fuller ( ) UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA natjecanje u izgradnji velikih i visokih građevina staro je kao i civilizacija 5

6 UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Rast visokih zgrada od 1885 do današnjih dana UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Prikaz planiranih visokih građevina i onih u fazi projektiranja nasuprot najvišim postojećim građevinama. Predviđanje za g. Udruženje za visoke građevine i urbane životne sredine je sastavilo listu 20 najviših građevina u zasnovanu na prijedlozima. 6

7 UVOD POVIJEST I KRONOLOGIJA VISOKIH GRAĐEVINA Što je visoka građevina danas? Za građevinske inženjere visoka građevina je ona građevina, kod koje su dominantna djelovanja bočne sile od vjetra i potresa. Pri definiranju rekordnih visina valja odabrati određeni kriterij, npr. antena na neboderima nije uključena. Najviše građevine danas mjereno do najviše točke na građevini: 1. Burj Khalifa, (2010), Dubai, UAE, H=828m 2. KVLY-TV mast (1963) Blanchard, North Dakota, USA, H=629m 3. KXJB-TV mast (1998) Galesburg, North Dakota, USA, H=629m 4. KXTV/KOVR mast (2000) Walnut Grove, California, USA, H=625m 5. Guangzhou TV & Sightseeing g Tower (2009), Guangzhou, Kina, H=610m 6. Petronius Platform (2000), Meksički zaljev, H=610m 7. Baldate Platform (1998), Meksički zaljev, H=580m 8. CN Tower (1976) Toronto, Kanada, H=553m 9. Ostankino Tower (1967) Moskva, Rusija, H=540m 10. Bullwinkle Platform (1989), Meksički zaljev, H=529m UVOD NOSIVI ELEMENTI ZA OSNOVNA OPTEREĆENJA Dva osnovna nosiva elementa za vertikalna opterećenja kod visokih građevina su stupovi i zidovi. Zidovi mogu djelovati zasebno kao posmični zidovi, ili kao scijeljene posmične jezgre oko stubišta ili okna dizala. Stupovi će biti postavljeni pod nepoduprte dijelove građevine za prijenos opterećenja od vlastite težine, a kod nekih tipova konstrukcija se koriste i za prijenos poprečnih opterećenja (vjetra i potresa). Budući da je opterećenje od vlastite težine na pojedinim katovima približno slično, težina stropne konstrukcije pojedine etaže po jedinici površine je konstantna, bez obzira na visinu građevine. Budući da se opterećenje na stup povećava sa brojem katova iznad njega, težina stupova po jedinici površine se linearno povećava sa povećanjem visine građevine, od vrha prema nižim katovima. Momenti savijanja uzrokovani poprečnim opterećenjima su produkt opterećenja sa kvadratom visine građevine, i postaju sve značajniji s povećanjem visine. 7

8 UVOD NOSIVI ELEMENTI ZA OSNOVNA OPTEREĆENJA Tipičan utrošak čelika u odnosu na visinu građevine Težina če elika po jedinici površine građe evine Čelik za odupiranje vjetru Čelik za stupove Čelik stropnih konstrukcija Visina građevine UVOD MJERE KONSTRUKCIJSKE UČINKOVITOSTI idealno bi bilo kada bi konstruktor sam mogao odabrati najučinkovitiji sustav za preuzimanje vertikalnih i horizontalnih sila (u pravilu: vjetar i potres) međutim, idealna konstrukcijska rješenja rijetko se primjenjuju u praksi jer konstrukter mora udovoljiti slijedećim ograničenjima na idealnu konstrukciju planiranje prostora unutar konstrukcije od strane arhitekta odabrani materijali metode građenja uobičajene za određeno područje odabir vanjske obloge i dekoracije od strane arhitekta ograničenja lokacije položaj instalacijskih sustava veličina horizontalnih opterećenja proporcije i visina konstrukcije definirani od investitora ili arhitekta 8

9 UVOD MJERE KONSTRUKCIJSKE UČINKOVITOSTI Pojednostavnjeno, visoka građevina djeluje kao konzola sa temeljima upetim u tlo. Prema tom modelu očito je da tipični presjek visoke građevine prikazan na slici (a) sa stupovima smještenim po rubovima i unutar tlocrtnih kontura, nije jednako krut kao i građevina kod koje su svi stupovi smješteni na vanjskom rubu kao što je prikazano na slici (b) Takva učinkovitost na savijanje može se opisati preko parametra koji se naziva Indeks krutosti na savijanje (Bending Rigidity Index BRI) BRI predstavlja ukupni moment inercije svih stupova u odnosu na središnju os UVOD MJERE KONSTRUKCIJSKE UČINKOVITOSTI kako bi se mogla uspoređivati učinkovitost na savijanje za različite tlocrtne rasporede, najveći index BRI = 100 dodjeljen je za raspored prikazan na slici (a) kvadratni oblik sa stupovima samo u kutevima kvadrata Empire State Building se odupire horizontalnom opterećenju pomoću svih stupova rubnih i unutrašnjih, čiji je raspored prikazan na slici (b) BRI iznosi 33, što znači dajeučinkovitost konstrukcije samo 33% moderne građevine imaju zgusnutiji raspored vanjskih (rubnih) stupova bez unutarnjih stupova do jezgre dizala formirajući tako cijev ( tube ), prve građevine koncipirane i izgrađene prema ovom načelu bili su neboderi World Trade Center (c) Sears u Chicagu, sastavljen od 9 cijevi (d) 9

10 UVOD MJERE KONSTRUKCIJSKE UČINKOVITOSTI kako bi se mogla uspoređivati učinkovitost na savijanje za različite tlocrtne rasporede, najveći index BRI = 100 dodjeljen je za raspored prikazan na slici (a) kvadratni oblik sa stupovima samo u kutevima kvadrata Citicorp tower prikazan na slici i (e) nema stupove smještene u kuteve, tako da mu je BRI pao na 31%, da su stupovi smješteni u kuteve (f) BRI bi bio 56% Bank of South West Tower u Houstonu prikazan na slici (g) ima BRI = 63% UVOD MJERE KONSTRUKCIJSKE UČINKOVITOSTI stupovi visoke građevine moraju se ponašati kao dijelovi cjelokupnog sustava formirajući djelotvoran posmično kruti sustav, koji je predstavljen preko Indeksa posmične krutosti (Shear Rigidity Index SRI) idealni SRI = 100 prikazan je na slici (a), a sastoji se samo od zidova, bez otvora sustav prikazan na slici (b) sa dijagonalama pod kutem od 45 ima SRI = 62,5 spreg koji se uobičajeno koristi u praksi prikazan na slici (c), koji se sastoji od horizontalnih prečki i dijagonala ima SRI =

11 UVOD MJERE KONSTRUKCIJSKE UČINKOVITOSTI stupovi visoke građevine moraju se ponašati kao dijelovi cjelokupnog sustava formirajući djelotvoran posmično kruti sustav, koji je predstavljen preko Indeksa posmične krutosti (Shear Rigidity Index SRI) moderni posmični i sustavi koji su sačinjeni i od krutih okvira prikazani i na slikama (d) do (g) imaju veći SRI koji ovisi o odnosima raspona i visine (debljine) pojedinih elemenata kada su sve četiri strane građevine sastavljene od ovakvih okvira onda oni formiraju cijevi, a to je sustav koji je trenutno najnapredniji MJERE KONSTRUKCIJSKE UČINKOVITOSTI FUNKCIJA PROSTORA NASPRAM KONSTRUKCIJSKOM SUSTAVU Uredski prostori uredski prostori trebaju biti veliki i otvoreni sa što je moguće više prostora sa pogledom prema van prostor treba biti podijeljen sa laganim pregradama glavni vertikalni elementi (stupovi) smješteni su po rubovima instalacije se vode horizontalno po katovima i smještene su u stropovima tako da tipična visina kata za poslovne zgrade iznosi 3,5 m ili više visina 40-ero katne poslovne zgrade iznosi oko 140 m Rubni stupovi Stambeni prostori stambeni i hotelski prostori imaju jednaku podjelu prostora po visini vertikalni elementi konstrukcije mogu biti skriveni unutar pregrada instalacije se vode vertikalno visoke stropne konstrukcije nisu potrebne, osim eventualno na hodnicima tipična visina kata za stambene i hotelske zgrade iznosi 2,7 m ili više visina 40-katne stambene zgrade iznosi oko 108 m ili 80% visine poslovne zgrade za isti broj katova Veliki slobodni prostor Središnja jezgra 11

12 Bočna opterećenja od vjetra i potresa proizvode bočna ubrzanja. Ljudi pri uporabi zgrade osjećaju odgovarajuće vibracije. Krutost postaje dominantan faktor u odnosu na čvrstoću u projektiranju visokih zgrada. Taipei 101, Taiwan, 2004., 101 kat, H= 509 m Petronas Twin Towers, Kuala Lumpur, 1998., 88 katova, H= 452m GSU može postati mjerodavno u odnosu na GSN. TIPOVI KONSTRUKCIJE OVISNO O BROJU KATOVA Broj katova Cijevna rešetka s unutrašnjim stupovima Grupa cijevi Cijevna rešetka bez unutrašnjih stupova Okvirna cijev Kruti okvir Okvirnoposmična rešetka Rešetka kao pojas Uobičajeni čelični nosivi sustavi 12

13 TIPOVI KONSTRUKCIJE OVISNO O BROJU KATOVA TIPOVI KONSTRUKCIJE OVISNO O BROJU KATOVA 13

14 4 OSNOVNA NOSIVA SUSTAVA OKVIR +ZID 3. OKVIR CIJEV+ OKVIR OKVIR+ JEZGRA Četiri osnovna nosiva sustava s različitim svojstvima otpornosti na bočna opterećenja i ovisno o tome djelotvornošću za različite visine: 1.NOSIVI ZIDOVI uslijed vlastite težine (obično betona) postaju neprikladni za zgrade visine preko 30 katova 2.NOSIVA JEZGRA obično je od betona pa je vlastita težina i ovdje ograničavajuća 3.OKVIRNI SUSTAV 4. CIJEV djelotvornost ovisi o krutosti spojeva i količini spregova. CIJEV Krutost može biti povećana uporabom jezgre, posmičnih +ZID CIJEV+ JEZGRA zidova ili dijagonalnih spregova JEZGRA 1. ZID 2. JEZGRA Više spregova uključenih u prostorni sustav značit će i +ZID povećanje ostvarive visine (do 60 katova) 4.CIJEVNI SUSTAV to je prostorni okvir s vertikalnim elementima na vanjskom opsegu. Ostvariva visina ovisi o vrsti i količini spregova u cijevi. Najdjelotvorniji sustav za visine preko 60 katova. Kombiniranjem 4 osnovna sustava dobiva se 6 dodatnih 4 OSNOVNA NOSIVA SUSTAVA Nosivi zid Nosivi zid s jezgrom Nosivi zid s krutim okvirom NOSIVI ZIDOVI Ravninski vertikalni elementi koji čine sve ili dio vanjskih zidova, a u mnogim slučajevima i unutrašnje zidove. Odupiru se vertikalnim i horizontalnim djelovanjima i uglavnom su od betona 14

15 4 OSNOVNA NOSIVA SUSTAVA Ovješena rešetka na vrhu Kutne jezgre Ovješena rešetka pri dnu Kutne i unutrašnja jezgre Konzolni stropovi Parametarske odvojene jezgre Konzolni povezani stropovi Parametarske odvojene jezgre i unutrašnja NOSIVA JEZGRA Ravninski vertikalni elementi postavljeni u zatvorenu formu U njoj se koncentriraju sustavi za vertikalni transport. Fleksibilnost u uporabi prostora izvan jezgre Jezgra može biti otporna i na vertikalna i na horizontalna djelovanja, najčešće od betona Središnja jezgra s konzolnim ili ovješenim stropovima ili razdvojene jezgre povezane stropovima 4 OSNOVNA NOSIVA SUSTAVA Okvir Krovna rešetka i rešetkasta jezgra Okvir i jezgra Ravne ploče Okvir i rešetkasta jezgra Razmaknute rešetke Okvir i posmični zidovi Spregovima učvršćeni okvir Okvir i krilne rešetke Rešetkasta jezgra i krovna i pojasna rešetka OKVIRNI SUSTAV Stupovi, grede i stropne ploče postavljene tako da pružaju otpornost i horizontalnim i vertikalnim djelovanjima Okvir je oblik koji je najprikladniji za prilagodbe u pogledu materijala i oblika kako bi pružio odgovarajuću otpornost djelovanju Čelični okviri kombiniraju se sa betonskim zidovima i jezgrama, ili sa čeličnim spregovima i horizontalnim rešetkama. 15

16 4 OSNOVNA NOSIVA SUSTAVA Okvirna cijev Okvirna cijev u cijevi Perforirana cijev Perforirana cijev u cijevi Duboka čeona cijev Čeona cijev s unutrašnjim stupovima Rešetkasta cijev Rešetkasta cijev u cijevi Cijev u obliku svežnja Okvirna cijev s krovnom i pojasnom rešetkom CIJEVNI SUSTAV Blisko postavljeni vanjski elementi, projektirani tako da se bočnim djelovanjima odupiru kao cjelina, a ne kao posebni elementi. Moguća je upotreba i rešetkastih cijevi ili okvirnih cijevi. Cijev u cijevi dopušta više fleksibilnosti u uporabi unutrašnjeg prostora zbog toga što nema unutrašnjih stupova. KRUTI OKVIRI kruti okviri su sustavi sačinjeni od greda i stupova povezanih krutim vezama horizontalna krutost ovisi o krutosti stupova, greda i njihovih međusobnih veza bitna prednost krutih okvira su veliki otvori koji ostavljaju mogućnost slobodnog planiranja prozora i vrata kruti okviri se uobičajeno koriste za raspone od 6 9 m kada se koriste kao jedini sustav za preuzimanje horizontalnih djelovanja, ekonomični su za zgrade do 25 katova iznad te visine postaju prefleksibilni, a povećanje izmjera elemenata nije ekonomično rješenje j 16

17 KRUTI OKVIRI kruti okviri idealni su za AB konstrukcije zbog inherentne (svojstvene) krutosti spojeva kod čeličnih okvira kruti spojevi (otporni na savijanje) povećavaju cijenu izmjere stupova i greda na bilo kojoj razini direktno ovise o veličini posmičnog (horizontalnog) opterećenja - tako da se povećavaju prema dnu stropne konstrukcije sukladno nisu jednake na svim etažama kao kod okvira sa spregovima, nego im se visina povećava prema dolje zbog potrebnih većih greda, tako da visina katova varira KRUTI OKVIRI Home Insurance Building, Chicago (1885) prva zgrada na svijetu sa sustavom krutih čeličnih okvira Chicago je bila prirodna sredina za ovaj iskorak jer je u to doba bio središte američke željezničke mreže željeznica znači čelik iako je ova zgrada sagrađena od kovanog željeza fasade su i dalje davale izgled masivne građevine, što je bilo uobičajeno za to doba projektanti još uvijek nisu u potpunosti razumjeli uporabu novog materijala čelika Home Insurance Building (1885) prava masivna zgrada Manadock Building (1891) 17

18 KRUTI OKVIRI Woolworth Building, New York, (1913) 60 katova za nju je izmišljen naziv neboder (skyscraper) statički sustav su kruti čelični okviri koji se oslanjaju j na unutrašnje masivne zidove, koji pružaju bočnu otpornost na horizontalne sile od vjetra KRUTI OKVIRI Tradicionalni kruti okviri kruti okvir bio je izvanredan napredak u konstrukterskom promišljanju, rođen uporabom čelika problem koji se javlja, kod tih sad već tradicionalnih konstrukcijskih sustava, je gužva koja se stvara posebno u području jezgre, gdje dizala, stubišta i instalacije onemogućuju ekonomično i estetsko korištenje prostora 18

19 KRUTI OKVIRI Empire State Building, New York, (1931) također kruti okvir sagrađena je dva tjedna prije početka velike depresije i postaje najviša zgrada na svijetu osnovni konstrukcijski sustav je čelični okvir ubetoniran u beton sa dodatkom zgure tona čelične konstrukcije montirano je u samo 23 tjedna težina konstrukcije bila je 210 kg/m 2 naspram svega 53 kg/m 2 koliko je bilo bilo potrebno za WTC bila je predmetom nadmetanja između Waltera Chryslera (sagradio je Chrysler Building) i Johna Jakoba u izgradnji najviše zgrade na svijetu Betonski i čelični temelji se nalaze na dubini 17 m ispod razine tla, na stijeni ispod Manhattan-a horizontalni pomak zgrade (drift) od djelovanja vjetra iznosi 50 cm nakon uništenja WTC-a Empire State Building je ponovno najviša zgrada u New Yorku, sa vidikovcima na 86. i 102. katu otpornost na horizontalna djelovanja ostvarena je preko hrptova koje čine dijagonale spojene na grede OKVIRI SA SPREGOVIMA tako se formiraju vertikalne rešetke, gdje stupovi djeluju kao pojasevi horizontalnom posmiku odupiru se horizontalne komponente elemenata sprega ovaj sustav je izuzetno ekonomičan i učinkovit za preuzimanje horizontalnih sila neovisno o visini zgrade, pa je prikladan i za najviše zgrade 19

20 OKVIRI SA SPREGOVIMA još jedna prednost ovakvih trokutastih spregova je da grede sudjeluju vrlo malo u preuzimanju horizontalnog opterećenja, tako da stropna konstrukcija nije ovisna o visini zgrade dijagonalni spregovi ometaju unutarnje planiranje prostora (vrata, prozori) zato su uobičajeno smješteni oko dizala, stubišta i servisnih okana OKVIRI SA SPREGOVIMA U prošlosti su dijagonale bile raspoređene po katovima danas su sve češći sustavi sa dijagonalama koje se protežu preko više katova i više raspona 20

21 OKVIRI SA SPREGOVIMA Torre Mayor, Mexico City, (2004) zgrada sa 57 katova visine 225 m najviša zgrada u Južnoj Americi spregovi su na tri mjesta, gdje skup dijagonala dijamantnog oblika povezuje super-x sustave OKVIRI SA SPREGOVIMA Torre Mayor, Mexico City, (2004) prigušivači su postavljeni na južnoj i sjevernoj fasadi na mjestima tih dijamantnih spregova tako se povećava prigušenje konstrukcijskog sustava stvarajući prigušene veze (damped link) između super-x sustava dodatni prigušivači smanjuju međukatni pomak (sway interstory drift) zgrada je proračunata je na trodimenzionalnom numeričkom modelu koristeći programski paket SAP

22 OKVIRI S ISPUNOM statički sustav okvira s ispunom često se koristi u Europi za zgrade visoke do 30 katova osnovni armirano-betonski okvir, koji čine stupovi i grede, ispunjava se zidovima (panelima) od opeke ili betona izvedenog na licu mjesta za horizontalne napadne sile ispuna djeluje kao tlačna dijagonala i tako ukrućuje okvir okvir s ispunom nije lako proračunati zbog nejasnog toka preuzimanja bočnih horizontalnih djelovanja osim toga, često se događa da budući stanari uklone neke zidove, čime se otpornost okvira nepredvidivo slabi POSMIČNI ZIDOVI posmični zidovi od armiranog betona mogu poslužiti kao arhitektonske i konstrukcijske pregrade, koje preuzimaju vertikalna i bočna djelovanja njihova vrlo velika membranska krutost i čvrstoća čine ih idealnim elementima za stabilizaciju visokih zgrada kod zgrade s posmičnim zidovima, ti zidovi daju osnovnu otpornost na bočna djelovanja posmični zidovi djeluju kao vertikalne konzole kao pojedinačni zidovi u ravnini (membrane) i kao sklopovi van ravnine, obično oko liftova, stepenica i servisnih okana krući su od krutih okvira i ekonomični do visine od oko 55 katova ograničenja u planiranju posmičnih zidova čine ih pogodnim samo za hotele i zgrade za stanovanje 22

23 POSMIČNI ZIDOVI stropne konstrukcije se ponavljaju, a kontinuirani vertikalni zidovi služe istovremeno za zvučnu izolaciju i zaštitu od požara između pojedinih prostora kad se posmični zidovi primjenjuju u kombinaciji s okvirima, oni praktično preuzimaju sva horizontalna djelovanja, tako da se okviri dimenzioniraju samo na vertikalna djelovanja raspored posmičnih zidova mora se planirati tako da su vlačna naprezanja od horizontalnih djelovanja manja od tlačnih naprezanja od vertikalnih djelovanja posmični zidovi se dobro ponašaju za potresna djelovanja, zbog njihove velike duktilnosti Tipična velika stambena zgrada u Miami-u, koju čine jaki stupovi po obodu i unutrašnji posmični zidovi, horizontalno međusobno povezani prednapetim nosivim pločama KONSTRUKCIJE OD ZIDOVA I OKVIRA ako se otpornost konstrukcije postiže zajedničkim djelovanjem posmičnih zidova i okvira, takva konstrukcija se tako i zove (wall-frame structure) konstrukcija zauzima zajednički deformirani oblik za oba konstrukcijska sustava, što se postiže horizontalnom krutosti greda i katnih ploča zidovi i okvir horizontalno međusobno djeluju, poglavito na vrhu zgrade, čime se dobiva krući i jači konstrukcijski sklop tim dvojnim sustavom ekonomičnost se diže do razine od 65 katova, daleko više nego za pojedinačno djelovanje bilo krutih okvira bilo posmičnih zidova nosivim pločama uz pažljivo podešavanje, posmik u okviru može biti približno nepromjenjiv po cijeloj visini građevine, što omogućuje izvedbu jednakih katnih (stropnih) konstrukcija ponavljanje većina ovakvih sklopova je od armiranog betona 23

24 POVEZANI ZIDOVI COUPLED WALLS konstrukcijski sklopovi s povezanim zidovima su uobičajeni statički sustavi od posmičnih zidova, sa dva ili više zidova u istoj ravnini povezana na razinama stropova gredama ili krutim pločama time se ostvaruje spregnuto djelovanje skupa zidova oko zajedničke težišne osi horizontalna krutost je naravno neusporedivo veća od krutosti zbroja nepovezanih zidova, koji djeluju pojedinačno povezani zidovi se uobičajeno koriste kod stambenih zgrada od armiranog betona u pojedinačnim slučajevima i kod čeličnih okvira primjenjene su jake čelične ploče na mjestima najvećih posmičnih sila, kao npr. kod podnožja okana za dizala POVEZANI ZIDOVI Espiritu Sancto neboder, Miami, (2003) projekt: Kohn Pederson Fox Associates. dramatična prednja fasada je geometrijski rezultat presjeka valjkaste plohe i nagnutog pravca zgrada (toranj) sadrži hotel na donjim etažama, urede na srednjim etažama i stanove na vrhu 24

25 OKVIRNE CIJEVNE KONSTRUKCIJE FRAMED TUBE tvore ih četiri vrlo kruta okvira, otporna na savijanje, koji oblikuju cijev ( tube ) oko oboda zgrade okviri se sastoje od stupova na malom razmaku (tipično 2-4m), međusobno povezanih visokim horizontalnim gredama na razini ulice mali razmaci stupova moraju se prekinuti, a za prijenos sila koriste se jake prijelazne (transfer) grede vanjska cijev preuzima 100% horizontalnih djelovanja i 75-90% vertikalnih djelovanja preostala vertikalna djelovanja preuzimaju stupovi (ili posmični zidovi) jezgre za horizontalna opterećenja obodni okviri u smjeru opterećenja djeluju kao hrptovi masivne konzolne cijevi preostala dva okvira okomita na smjer opterećenja djeluju kao pojasevi OKVIRNE CIJEVNE KONSTRUKCIJE najučinkovitija je cijev u tlocrtu kvadratnog oblika (WTC i Sears) ili kružnog oblika (Petronas) ova konstrukcijska forma prikladna je i za čelik i za armirani beton za visine od 45 do 110 katova vrlo ponavljajuća struktura omogućuje ekonomičnu prefabrikaciju ova konstrukcijska forma predstavlja najznačajniji moderni iskorak kod visokih zgrada poboljšanja su potrebna, jer pojasevi trpe od posmičnih ih deformacija (shear h lag) ) te posmične deformacije nastaju od manjeg opterećenja srednjih od kutnih pojasnih stupova stoga srednji stupovi ne doprinose u potpunosti krutosti pojaseva 25

26 OKVIRNE CIJEVNE KONSTRUKCIJE The World Trade Center, New York, južni toranj (1970), sjeverni (1972) to su bile prve okvirne cijevi, koje su dostigle visinu od 110 katova, H=411 m cijev u cijevi = vanjski omotač od čeličnih stupova vrlo blisko postavljenih (okvirna cijev) + unutrašnja jezgra u kojoj su koncentrirane sve vertikale (stepenice, dizala) vanjska cijev je sačinjena od vertikalnih čeličnih stupova 356x356 mm, na osnom razmaku od 56 cm vertikalni stupovi povezani su horizontalnim gredama na razini svakog kata Unutarnja jezgra Ovojnica nosive konstrukcije Tlocrt OKVIRNE CIJEVNE KONSTRUKCIJE Petronas Towers, Kuala Lumpur, Malezija, (1998) Petronas tornjevi visine 452 m (10m viši od Sears Tower-a u Chicagu) tornjevi imaju 88 numeriranih razina, ali ustvari imaju 95 katova (broj 8 je sretni broj za Kineze) 26

27 OKVIRNE CIJEVNE KONSTRUKCIJE Petronas Towers, Kuala Lumpur, Malezija, (1998) korišten je armirani beton za središnju jezgru i obodne stupove sa prstenastim gredama od betona tlačne čvrstoće 80 MPa svaki toranj je valjkastog oblika promjenjivog promjera sa 16 stupova CIJEVI POVEZANE U SNOPOVE BUNDLED-TUBE prirodna evolucija forme WTC-ovih okvirnih cijevi bila je primjena više međusobno povezanih cijevi, kao vezani kolci povezani skup cijevi ostvaruje veću mnogo veću bočnu (horizontalnu) krutost, nažalost na račun ograničavajućeg unutrašnjeg planiranja ovaj konstrukcijski sustav prvi put je primijenio svjetski poznati arhitekt Fazlur Khan za Sears Tower u Chicagu (1974) 110 katova, H = 442 m 27

28 CIJEVI POVEZANE U SNOPOVE Sears Tower u Chicagu (1974) Vanjska cijev sastavljena od okvira + tri horizontalne rešetke prstenasto ovijanje. Smanjenje tlocrtne površine s visinom velika konzola s promjenljivim poprečnim presjekom. novi unutrašnji hrptovi bitno smanjuju utjecaj posmične fleksibilnosti (shear lag) u pojasevima A-A KAT 1-50 CIJEVI DVIJE CIJEVI IZOSTAVLJENE B-B KAT JOŠ DVIJE CIJEVI IZOSTAVLJENE C-C KAT JOŠ TRI CIJEVI IZOSTAVLJENE D-D KAT Konstrukcija tornja CIJEVI POVEZANE U SNOPOVE Sears Tower u Chicagu (1974) naprezanja u stupovima su sukladno rapoređena ravnomjernije nego kod konstrukcijskog sustava s jednom cijevi parametarska konstrukcija k sastoji se od predgotovljenih elemenata s tri raspona i visine dva kata čime je određena i fasada. Predgotovljeni elementi kao osnovni parametar nosive konstrukcije Konstrukcija tornja 28

29 CIJEVI SA SPREGOVIMA BRACED TUBES učinkovitost okvirnih cijevnih konstrukcija može se povećati dodavanjem dijagonalnih spregova na fasadama obzirom da su dijagonale cijevi sa spregovima spojene na stupove na svakom križanju, one gotovo potpuno eliminiraju utjecaj posmičnih deformacija (shear lag) utjecaj savijanja u štapovima okvira je bitno smanjen to omogućuje veće visine i veći razmak između obodnih stupova što omogućuje mnogo veće prozore nego kod konvencionalnih cijevi konstrukcijski sklop se za bočna (horizontalna) djelovanja sukladno ponaša slično kao okvir sa spregovima (braced frame) CIJEVI SA SPREGOVIMA zgrada John Hancock, Chicago, (1969) 97 katova, prva čelična cijev sa spregovima čelična cijev ima spregove poprečno na smjer pružanja krutog okvira 780 Third Avenue Building, New Yorku, (1985) zgrada od armiranog betona kod armiranog betona spregovi su oblikovani kao dijagonalni sustav betonskih ploča (panela), veličine prozora, betoniranih zajedno s okvirom Izostavljanje otvora za prozore kako bi se dobila dijagonala sprega 29

30 JEZGRA OJAČANA SPREGOVIMA OUTRIGGER BRACED CORE taj konstrukcijski sustav čine središnja jezgra sa spregovima, koja je ili okvir sa spregovima ili posmični zidovi i horizontalne konzolne rešetke ili nosači, koji povezuju jezgru s vanjskim stupovima za horizontalna djelovanja rotaciju jezgre u vertikalnoj ravnini sprečavaju konzole vlakom u stupovima na privjetrini i tlakom u stupovima u zavjetrini efektivna konstrukcijska visina zgrade je bitno povećana sukladno je povećana bočna (horizontalna) krutost i smanjeni su horizontalni pomaci i momenti savijanja jezgre konzole vežu vanjske stupove na jezgru i konstrukcijski sustav se ponaša kao djelomično spregnuta konzola JEZGRA OJAČANA SPREGOVIMA OUTRIGGER BRACED CORE obodni stupovi mogu se uključiti u prijenos sila, ako se povežu horizontalnom rešetkom ili nosačem po obodu zgrade na razini konzola učinkovitost ovog konstrukcijskog sustava bitno ovisi o vezi obodnih stupova i jezgre pomoću konzola razina konzola je uobičajeno visine dva kata i ti katovi su obično servisni katovi za smještaj svih instalacija i tehnoloških uređaja za funkcioniranje zgrade konzole veće od visine jednog kata sve se češće koriste, jer dodaju građevini mnogo veću bočnu krutost međutim, ekonomska granica visine konzola je reda veličine 4-5 katova ovaj konstrukcijski sustav primjenjen je do visine od 70 katova ako su tlocrtne dimenzije zgrade velike, ovaj konstrukcijski sustav omogućuje i mnogo veće visine 30

31 JEZGRA OJAČANA SPREGOVIMA AT&T Building (New York) arhitekt: Philip Johnson konstrukcijski projekt: Leslie Robertson and Associates osnovni konstrukcijski sustav čini cijev od krutih čeličnih okvira po obodu zgrade dodatna krutost po širini zgrade ostvarena je ugradbom četiri vertikalne čelične rešetke na svakom se osmom katu dva zida od čeličnih ploča I- oblika sa otvorima za ventilaciju pružaju od rubova rešetki do vanjskih stupova na istoj liniji stupova čelični zidovi djeluju kao konzolne rešetke i mobiliziraju punu širinu i zgrade u otpornosti ti na horizontalna djelovanja horizontalni posmik u podnožju zgrade preuzima se s dva divovska čelična sanduka OVJEŠENE KONSTRUKCIJE ovješeni konstrukcijski sklop čini središnja jezgra sa horizontalnim konzolnim rešetkama na razini krova, s koje su obješene vertikalne vješaljke od čeličnih užadi stropne ploče vezane su na te kabele to omogućuje da na najdonjem katu na razini tla nema obodnih stupova i prostor je potpuno otvoren vješaljke imaju vrlo mali poprečni presjek naspram stupova i mogu se ubetonirati oko prozorskih okvira dodatna d prednost je da se stropne konstrukcije mogu betonirati na tlu i onda podići u konačan položaj 31

32 OVJEŠENE KONSTRUKCIJE ovaj konstrukcijski sustav dopušta relativno male visine zgrade do oko katova, zbog konstrukcijskih mana, kao npr. ograničene izmjere jezgre i varijacije veza između đ stropova za promjenjiva djelovanja SUSTAV CIJEVI U CIJEVI TUBE-IN-TUBE varijanta oblika okvirne cijevi može se ostvariti zamjenom unutrašnjih stupova ili stupova i zidova jezgre s drugom cijevi 32

33 SUSTAV CIJEVI U CIJEVI TUBE-IN-TUBE tako trup (ili vanjska cijev) i nova cijev jezgre zajedno preuzimaju i vertikalna i horizontalna djelovanja ta unaprijeđena forma zove se cijev u cijevi (tube-intube) ili trup-jezgra (hull-core) konstrukcija kod čeličnih zgrada unutrašnja cijev jezgre može se formirati od okvira sa spregovima kod armirano betonskih zgrada jezgru čine posmični zidovi vanjska okvirna cijev (trup) i unutrašnja jezgra međusobno djeluju kao posmične i savojne komponente konstrukcije od zidova i okvira (wall- frame) prednost je bitno povećana bočna krutost vanjska cijev (trup) naravno uvijek dominira zbog svoje veće konstrukcijske visine predpostavlja se da se ovim konstrukcijskim sustavom ekonomično mogu izvesti građevine do 120 katova Taipei 101 Building, Taipei Taiwan, (2003) SUSTAV CIJEVI U CIJEVI postala je najvišom građevinom na svijetu, nadmašivši Petronas Towers u Kuala Lumpuru konstrukcijski sustav je cijev u cijevi unutrašnja cijev (jezgra) izvedena je od rešetki, a vanjska cijev (trup) je okvir s spregovima 33

34 SUSTAV CIJEVI U CIJEVI Jin Mao Tower, Shanghai još jedan toranj sa 88 katova ili 421 m konstrukcijski sustav čini središnja osmerokutna armirano- betonska jezgra (posmični zidovi), povezana s vanjskim spregnutim mega stupovima pomoću konzolnih rešetki debljine pojaseva posmičnih zidova su promjenjive od 84 cm na spoju s temeljom do 46 cm na razini 87 tlačna čvrstoća betona iznosi od 35 MPa do 52 MPa PROSTORNE KONSTRUKCIJE prostorni okviri: trodimenzionalne trokutaste konstrukcije, bitno se razlikuju od prethodno opisanih ravninskih okvira Preuzimaju i vertikalna i horizontalna djelovanja jedan od najučinkovitijih konstrukcijskih oblika mala težina i velika učinkovitost omogućuju postizanje najvećih visina građevina proračun prostornih okvira je obično složen teško je projektirati odgovarajuće nosive spojeve između katnih konstrukcija i glavnog okvira ti spojevi su skupi i nekad ružno izgledaju jedno rješenje sadrži unutrašnju jezgru sa spregovima, koja služi za prikupljanje bočnih (horizontalnih) opterećenja i preuzimanje unutrašnjih vertikalnih opterećenja od katnih ploča iznad niza višekatnih prostora u podnožju svakog od tih prostora horizontalna i vertikalna opterećenja predaju se van na glavne čvorove prostornog okvira 34

35 Bank of China, Hongkong, (1989) PROSTORNE KONSTRUKCIJE 76 katova, 369 m, prostorna rešetka sa poprečnim spregovima (cross-braced space truss) prostorna rešetka preuzima gotovo ukupnu težinu građevine i istovremeno horizontalna djelovanja od tajfunskih vjetrova i horizontalna i gravitacijska opterećenja prenose se na četiri spregnuta stupa, smještena u kutovima zgrade, čime je ostvaren slobodni raspon od 52 m u podnožju građevine peti spregnuti stup u središtu zgrade počinje na 25 katu i proteže se do vrha sile od tog stupa prelaze na kutne stupove na razini 25 kata izvedbom okvira od ubetoniranih čeličnih elemenata izbjegnuta je potreba za skupim 3-D spojevima (priključcima) u kutovima zgrade HIBRIDNE KONSTRUKCIJE sadašnji trend u arhitekturi je kreiranje zgrada nepravilnih oblika koje konstruktor neće moći svrstati u pojedini konstrukcijski sustav kod proračuna se sukladno mora koristiti više kombinacija prije pojašnjenih konstrukcijskih sustava napredak u računalnom hardware-u i software-u dopušta konstruktorima približna prihvatljiva rješenja za te složene građevineđ Konstrukcijski sustav cijevi i konstrukcijski sustav konzolne rešetke postavljeni jedan preko drugog cijevni sustav na tri fasade kombiniran je s prostornim okvirom na četvrtoj fasadi 35

36 VISOKE GRAĐEVINE SADRŽAJ PREDAVANJA (2.dio) Sustavi za preuzimanje horizontalnih djelovanja Uvod Geometrijska imperfekcija Statički sustavi za vertikalne konstrukcije Ukrutni sustavi Načela za dispoziciju vertikalnih ukrutnih sustava Raspodjela sila na ukrutni sustav Raspodjela sila na statički neodređen simetrični ukrutni sustav Raspodjela sila na statički neodređen nesimetrični ukrutni sustavi Interakcija ukrutnih sustava za horizontalna i vertikalna djelovanja Ponašanje konstrukcija od zidova Ponašanje zida (shear wall) Visoke građevine sastavljene od zidova (shear walls) Proračun proporcionalnih zidnih sustava Proračun neproporcionalnih zidnih sustava Diskontinuitet u podnožju konstrukcije Napomene za proračun na računalu SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA UVOD Za preuzimanje horizontalnih djelovanja vjetar prema EN potres prema EN i njihovo sigurno predavanja na temeljno tlo koriste se konstrukcijski elementi velike krutosti tzv. ukrutni konstrukcijski dijelovi koji mogu biti: vertikalni - jezgre, zidovi, okviri, itd. horizontalni - katni diskovi (membrane) Učinak ukrutnih sustava ovisi o njihovom zajedničkom sudjelovanju i o primjenjenoj kombinaciji različitih konstrukcijskih dijelova. Proračuni se rade uz uzimanje u obzir geometrijske imperfekcije 36

37 SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA GEOMETRIJSKA IMPERFEKCIJA Odstupanja od vertikale odnosno imperfekcije prema EN toč.5.2 se mogu uzeti u obzir nagibom, θ i : Bez horizontalnog S horizontalnim pridržanja pridržanjem Θ Θ i 0 h m gdje su: θ i osnovna vrijednost α h redukcijski faktor za duljinu ili visinu: 2/ l ;2/3 1 Izdvojeni elementi s ekscentričnom h α m redukcijski faktor za broj elemenata: 0,5 (11/ m) m l duljina ili visina h uzdužnom ili poprečnom silom m broj vertikalnih elemenata koji doprinose ukupnom utjecaju Okvir Stropna konstrukcija Krovna konstrukcija SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA STATIČKI SUSTAVI ZA VERTIKALNE KONSTRUKCIJE stat.sustav Krutost opruge c stat.sustavsustav stat.sustav 37

38 SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA UKRUTNI SUSTAVI okviri diskovi jezgre sandučasti presjeci sastavljeni od okvira (tube) jezgra-outrigger sustavi mega sustavi pojas hrbat pojas-okomito na smjer vjetra hrbat-u smjeru djelovanja vjetra Jezgra/zidni diskovi Cijev Gredno rješenje Gredno rješenje Outrigger Mega sustavi Čelični okviri SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA NAČELA ZA DISPOZICIJU VERTIKALNIH UKRUTNIH SUSTAVA 1. Potrebna su najmanje tri elementa, čiji se pravci učinka (djelovanja) ne sijeku u jednoj točki 2. AB konstrukcijski dijelovi trebaju imati što veća vertikalna opterećenja da ostanu u tlaku 3. Konstrukcijski elementi imaju se kontinuirano protezati od temelja do krova bez oslabljenja, jer svaka promjena krutosti ti dovodi di do preraspodjele sila i time do dodatnih d naprezanja u stropovima izduženje kod temperature Dobro Moguća varijanta, ne potpuno bez prisile Statički dovoljno Dobro dodatni zid dodatni zid Dobro, ako je jezgra dovoljno velika i torzijski kruta Loše bez dodatnog zida zbog ekscentriciteta Loše bez dodatnog zida zbog ekscentriciteta Moguće, ali veliki ekscentricitet 38

39 SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA NAČELA ZA DISPOZICIJU VERTIKALNIH UKRUTNIH SUSTAVA 4. Težište i centar posmika u tlocrtu moraju biti što bliži jedan drugom, da ne nastane veliko torzijsko naprezanje uslijed horizontalnih opterećenja 5. Raspored po mogućnosti simetričan i sa što većim krakom 6. Raspored bez prisila il ili s malom prisilom, il inače č neophodne dilatacije ij izduženje kod temperature Dobro Moguća varijanta, ne potpuno bez prisile Statički dovoljno Dobro dodatni zid dodatni zid Dobro, ako je jezgra dovoljno velika i torzijski kruta Loše bez dodatnog zida zbog ekscentriciteta Loše bez dodatnog zida zbog ekscentriciteta Moguće, ali veliki ekscentricitet SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA RASPODJELA SILA NA UKRUTNI SUSTAV STATIČKI ODREĐEN SUSTAV: raspodjela sila prema zakonu poluge uz zanemarenje krutosti pojedinih konstrukcijskih dijelova (EI) ploča =0 (EA) ploča= STATIČKI NEODREĐEN SIMETRIČNI SUSTAV: raspodjela sila od translacije STATIČKI NEODREĐEN NESIMETRIČNI SUSTAV: raspodjela sila od translacije i rotacije (EI) ploča = (EA) ploča = (EI) ploča = (EA) ploča = 39

40 SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA RASPODJELA SILA NA ST.NEODREĐ. SIMETRIČNI UKRUTNI SUSTAV svi ukrutni elementi imaju afinu deformacijsku sposobnost: moguća je primjena zamjenskog ravninskog sustava Opterećenje diska j Tlocrt Ravninski zamjenski sustav ukrutni elementi imaju različitu deformacijsku sposobnost: ravninski proračun je moguć samo uvjetno, jer se raspodjela sila ne može provesti samo temeljem krutosti Disk Okvir Tlocrt Ravninski zamjenski sustav SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA RASPODJELA SILA NA ST.NEODREĐ. SIMETRIČNI UKRUTNI SUSTAV RASPODJELA SILA OD TRANSLACIJE: kada se raspodjela sila može provesti samo temeljem krutosti Pojedini pomaci: u u u S 1 h 3(EI) 1 3 S2 h 3(EI) 3 S2 h 3(EI) 2 3 Ravnoteža sila: uz silu koja otpada na pojedini element: i kompatibilnost pomaka na vrhu: W= S i S 3u (EI) i 1 i i 3 h u u1 u2 u3 (EI) S W i i (EI) 40

41 SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA RASPODJELA SILA NA ST.NEODREĐ. NESIMETRIČNI UKRUTNI SUSTAV primjena ravninskog zamjenskog sustava više nije moguća Raspodjela sila od translacije i rotacije Kod statički neodređenih ukrutnih sustava nastaju kod: -nesimetričnog rasporeda -djelovanja sila vjetra ekscentrično obzirom na središte posmika i sile od pomaka (translacije) i od zakretanja (rotacije). SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA RASPODJELA SILA NA ST.NEODREĐ. NESIMETRIČNI UKRUTNI SUSTAV RASPODJELA SILA OD ROTACIJE Središte posmika Horizontalna sila vjetra u z-smjeru: (EI) i S i W z (EI) Moment oko težišta: (EI) ploča = (EA) ploča = Iz gornjeg slijedi položaj središta posmika y * 0 * (EI) y,i y i (EI) y,i z * 0 * (EI) z,i z i (EI) z,i (EI) ploča = (EA) ploča = Torzijski moment oko središta posmika Sile usljed rotacije Ravnoteža sila M S y S z 0 z,i i y,i i 41

42 SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA RASPODJELA SILA NA ST.NEODREĐ. NESIMETRIČNI UKRUTNI SUSTAV RASPODJELA SILA OD ROTACIJE Pomaci vrha u z-smjeru uslijed sile Sz,i : 3 zi, i 3 E Iyi, Pomaci vrha u y-smjeru uslijed sile Sy,i : 3 S yi, h vi Iz jednadžbe ravnoteže dobiva se odnos 3 EI zi, između pomaka i momenta: 3u iei y, i 3v iei z, i M M0 y 3 i z 3 i 0 Sz,i yi Sy,i zi h h ui ricosyi Pomak proizvoljne točke: v rsinz Umetanje izraza za pomake u momentnu jednadžbu: Krutost torzije krivljenja: Zakretanje kao funkcija krutosti torzije krivljenja i torzijskog momenta: u S h i i i M 3 EI, yei, z h y i i z i i EI EI y EI z C 2 2 yi, i zi, i M M h M h EI yi y EI i zi z i 3 E I,, SUSTAVI ZA PREUZIMANJE HORIZONTALNIH DJELOVANJA RASPODJELA SILA NA ST.NEODREĐ. NESIMETRIČNI UKRUTNI SUSTAV RASPODJELA SILA OD ROTACIJE Pomak vrha od sile odnosno zakretanja: S h 3 zi, i yi 3 EI yi, u S S 3 yei 3 h 3 3 M0h y EI 3 h 3EI zi, i yi, zi, i yi, Opća jednadžba za izračun sila od torzije: EI yi, Szi, M0 EI EI y i EI zi, Syi, M0 EI z EI i SUPERPOZICIJA SILA OD TRANSLACIJE I ROTACIJE u y-smjeru: u z-smjeru: S S S trans rot yi, yi, yi, S S S trans rot zi, zi, zi, 42

43 INTERAKCIJA URKUTNIH SUSTAVA ZA HORIZONTALNA I VERTIKALNA DJELOVANJA Interakcija za horizontalna djelovanja vezni štapovi preuzimaju samo normalne sile svi elementi imaju jednake horizontalne deformacije, ali različite vertikalne deformacije prijenos vertikalnih i horizontalnih opterećenja potpuno neovisan Moguće je razmatranje po katovima Interakcija za i vertikalna djelovanja vezni štapovi mogu prenijeti i normalne i poprečne sile vertikalne i horizontalne deformacije su jednake vertikalni i horizontalni prijenosi sila su međusobno povezani (interakcija) Preraspodjela horizontalnih i vertikalnih sila je moguća. Neophodno je modeliranje cijele zgrade kao prostornog sustav. INTERAKCIJA URKUTNIH SUSTAVA ZA HORIZONTALNA I VERTIKALNA DJELOVANJA Interakcija za horizontalna djelovanja U praksi se ovaj slučaj rijetko javlja zbog različitih deformacijskih značajki pojedinih konstrukcijskih elemenata kombinacija ij diskova (zidova) i okvira odnosno zbog ekscentriciteta opterećenja kod sastavljenih presjeka. Interakcija za i vertikalna djelovanja Opterećenje Slobodni okvir Slobodni disk Kombinacija: Okvir+disk primjena ukrutnog sustava raščlanjenog diska 43

44 PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA PONAŠANJE ZIDA (SHEAR WALL) Za prikazano opterećenje u sredini zida javlja se posmik, na lijevom rubu vlak, a na desnom tlak. 500 kn k vlak tlak Posmik u središtu zida se poništava i ostaju samo vlačne i tlačne sile koje daju par sila jednak momentu savijanja od vanjskog opterećenja. vlak tlak PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA PONAŠANJE ZIDA (SHEAR WALL) To ponašanje zida slično je ponašanju visoke zgrade za horizontalna djelovanja. Kod visoke zgrade stupovi na vjetrovnoj strani mogu biti opterećeni na vlak, a stupovi u privjetrini na povećani tlak, jednako kao kod prije prikazanog zida. Visoka zgrada za opterećenje parom sila se osnovno deformira savijanjem. Posmični zid je kratki i zdepasti zid koji nosi na savijanje. Svi zidovi ponašaju se tako, pa i veliki jako armirani betonski zidovi, koji se koriste za konstrukcijske elemente visokih zgrada. 44

45 PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA VISOKE GRAĐEVINE SASTAVLJENE OD ZIDOVA Osnovni konstrukcijski sustav kod današnjih visokih građevina su zidovi. Zidovi imaju veliku krutost i čvrstoću u svojoj ravnini i za bočna i za gravitacijska djelovanja i stoga su vrlo pogodni konstrukcijski elementi za visoke zgrade, poglavito od armiranog betona. Za visoke zgrade do oko 40 katova moguće je ekonomično preuzeti sva bočna djelovanja samo zidovima. Za više zgrade zidovi se obično kombiniraju sa drugim konstrukcijskim sustavima. Zidovi su kontinuirani od vrha zgrade do temelja, na koje su kruto vezani. Proračunavaju se kao uspravne konzole. Zidove treba tako postaviti da gravitacijska djelovanja ponište vlačna naprezanja od bočnih djelovanja. Naravno najučinkovitiji položaj je po obodu zgrade, što je obično u koliziji sa željama arhitekata PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA VISOKE GRAĐEVINE SASTAVLJENE OD ZIDOVA Zidovi mogu biti pojedinačni ili ravninski, L-oblika, T-oblika i U-oblika, uključujući i sve moguće kombinacije ovih oblika. Zidovi se uobičajeno kombiniraju sa jezgrom liftova i stepenica i drugim servisnim jezgrama. Pretpostavljamo da stropovi imaju zanemarivu otpornost na savijanje, tako da mogu samo prenijeti horizontalne sile na zidove. Visoke zgrade sa zidovima sastoje se od skupa zidova različitih duljina i debljina. Povezivanje zidova zahtjeva pažljivo promišljanje, kako će se momenti i poprečne sile preraspodijeliti između zidova i poveznih nosača i stropnih ploča. U Americi se u prvoj iteraciji debljina zidova usvaja sa 2,5 cm za visinu svakog kata. To znači da se inicijalna debljina zida za 40-katnu zgradu uzima 100 cm. U sljedećim proračunskim koracima ta debljina će se smanjiti npr. 2 cm, 1,5 cm, itd. po katu za više razine. 45

46 PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA VISOKE GRAĐEVINE SASTAVLJENE OD ZIDOVA Zidovi se mogu projektirati kao: PROPORCIONALNI ZIDNI SUSTAVI odnosi fleksijskih krutosti su nepromjenjivi po cijeloj visini NEPROPORCIONALNI ZIDNI SUSTAVI odnosi fleksijskih krutosti nisu nepromjenjivi po cijeloj visini Veze Zid 2 Zid 1 Područje A Područje B Područje C Nije jednako PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA VISOKE GRAĐEVINE SASTAVLJENE OD ZIDOVA Zidovi se mogu projektirati kao: PROPORCIONALNI ZIDNI SUSTAVI nema preraspodjele posmika i momenata na razinama promjene krutosti zidova NEPROPORCIONALNI ZIDNI SUSTAVI na katovima gdje se krutosti mijenjaju dolazi do preraspodjele posmika i momenata u zidovima Veze Zid 2 Zid 1 Područje A Područje B Područje C Nije jednako 46

47 PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA VISOKE GRAĐEVINE SASTAVLJENE OD ZIDOVA Zidovi se mogu projektirati kao: PROPORCIONALNI ZIDNI SUSTAVI statički određen sustav i napadni momenti i poprečne sile raspodjeljuju se na pojedine zidove u odnosu njihove fleksijske krutosti NEPROPORCIONALNI ZIDNI SUSTAVI statički neodređen sustav > ručni proračun je vrlo složen > provodi se ili metodom konačnih elemenata (FEM) ili zamjenskim okvirnim proračunom Zid 1 Veze Zid 2 Područje A Područje B Područje C Nije jednako PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA PRORAČUN PROPORCIONALNIH ZIDNIH SUSTAVA PROPORCIONALNI SUSTAV BEZ TORZIJE simetrični sustav zidova za simetrično djelovanje je proporcionalan i bez torzije, PROPORCIONALNI SUSTAV S TORZIJOM nesimetrični sustav zidova, koji se i translatira i uvija za bočno djelovanje oko središta torzije jednostavno rješiv, kat po kat, jer je statički određen. središte torzije kod proporcionalne konstrukcije podudara se s središtem posmika zgrade Rotacija sustava oko c Rotacija Translacija Središte posmika 47

48 PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA PRORAČUN NEPROPORCIONALNIH ZIDNIH SUSTAVA NEPROPORCIONALNA ALI JEDNOSTAVNA (SIMETRIČNA) KONSTRUKCIJA Fleksijska krutost zidova je promjenjiva uzduž visine. Stoga se za bočna djelovanja konstrukcija pomiče i uvija, a krutost stropnih ploča prisiljava različite zidove na afine pomake i tako unosi interaktivne horizontalne sile između njih. Model pripremljen za proračun na računalu. Zid Polu-simetrični sustav Zid ½ opterećenja PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA PRORAČUN NEPROPORCIONALNIH ZIDNIH SUSTAVA NEPROPORCIONALNA SIMETRIČNA KONSTRUKCIJA Veze između zidova A i B prisiljavaju ih na jednaku zakrivljenost za horizontalna djelovanja. Na kritičnim razinama napadni moment se raspodjeljuje na oba zida u odnosu njihovih fleksijskih krutosti. Prijenos sila između zidova realizira se horizontalnim silama u veznim elementima. Stoga dolazi do preraspodjele momenata od para horizontalnih sila i obrnutih sila u vezama na sljedećim razinama u okolini kritične razine. Te promjene sila mogu biti vrlo velike, tako da su poprečne sile i obratne poprečne sile često veće od ukupne napadne poprečne sile za to opterećenje. Ti ozbiljni lokalni utjecaji na zidove na kritičnoj razini smanjuju se unutar dva kata i približavaju nuli. Vanjski moment proporcion. raspoređen prema EI Zid A Interakcija zidova otprilike jednolika Prijenos momenta s A na B Velike interakcijske sile - prijenos momenta Vanjski moment proporcion. raspoređen prema EI Interakcija zidova otprilike jednolika 48

49 PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA PRORAČUN NEPROPORCIONALNIH ZIDNIH SUSTAVA NEPROPORCIONALNA NESIMETRIČNA KONSTRUKCIJA nesimetrični tlocrt konstrukcije za bočno djelovanje izaziva torziju zgrade. Zbog složenosti problema čak i ako se koristi računalni proračun, mogu biti potrebna pojednostavnjenja. Moguće pojednostavnjenje je diskretiziranje zidova štapnim elementima, smještenim u težištu zida. Stropovi se mogu diskretizirati ili kao krute ploče ili s pridržanjem stupova krutim gredama u horizontalnoj ravnini koje simuliraju krutost stropa u ravnini. Okvir od horizontalnih krutih greda koje povezuju stupove na svakom katu Nizovi stupnih elemenata, katne visine, koji predstavljaju zidove. PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA DISKONTINUITET U PODNOŽJU KONSTRUKCIJE U hotelima i zgradama za stanovanje u prizemlju su uobičajeni veliki lobiji i konferencijske sale. Stoga se neki zidovi u prizemlju prekidaju. Kod dva unutrašnja zida preostala su samo dva rubna stupa. Zamjenski ekvivalentni ravninski model pola konstrukcije ima samo dva zida, Zid 1 puni vanjski zid i Zid 2 djelomično prekinuti unutrašnji zid. Za horizontalne akcije fleksibilnost stupova zida 2 čini zgradu bočno manje krutom u tom dijelu: posljedica je velika preraspodjela posmičnih sila od zida 2 na zid 1 i nešto manja preraspodjela momenata savijanja

50 PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA DISKONTINUITET U PODNOŽJU KONSTRUKCIJE Još složenija situacija - zbog još više smanjene krutosti unutrašnjih zidova (dva rubna stupa su puno kruća od kratkog središnjeg zida) dolazi do velike preraspodjele momenata savijanja sa unutrašnjeg zida 2 na vanjski zid 1 u presjeku iznad prizemlja i velikih posmičnih sila u oba smjera posmične sile u vanjskim zidovima 1 mogu se povećati dva ili više puta PONAŠANJE KONSTRUKCIJA OD ZIDOVA PRORAČUN NA RAČUNALU zid L-oblika: jaka armatura u prizemlju gotovo maksimalna dopuštena (8% poprečnog presjeka zida), što nije lako ugraditi. Dosada smo govorili o osnovnim postupcima za izračun opterećenja, posmičnih sila i momenata savijanja j u zidovima visoke zgrade. U sljedećem koraku treba odrediti raspodjelu naprezanja unutar zida za izračun potrebne armature i određivanje optimalnog razreda čvrstoće betona. Jednostavni pravokutni zidovi s odnosom visina/širina > 5 mogu se proračunati klasičnom teorijom savijanja. Složeniji zidovi zahtijevaju proračun konačnim elementima (FEM). Idealni konačni element za zid je membranski element, pravokutni ili četverokutni ravninski element (plane stress element). Za područja koncentracije po potrebi treba progustiti mrežu elemenata, što ponekad može izazvati numeričke probleme, divergenciju zbog koje model zakazuje. Alternativno se umjesto FEM proračuna može rabiti zamjenski analogni okvirni proračun, koji opet može biti nešto složeniji od većine ručnih proračunskih postupaka. 50

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje br.3 KONSTRUKTIVNI SKLOPOVI ZGRADA

Predavanje br.3 KONSTRUKTIVNI SKLOPOVI ZGRADA Predavanje br.3 KONSTRUKTIVNI SKLOPOVI ZGRADA Dr Veliborka Bogdanović, red.prof. Dr Dragan Kostić, v.prof. Konstruktivni sklop - Noseći sistem objekta Struktura sastavljena od jednostavnih nosećih elemenata

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL

PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Materijal: Beton: C25/30 C f ck /f ck,cube valjak/kocka f ck 25 N/mm 2 karakteristična tlačna čvrstoća fcd proračunska tlačna

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI RAD "USPOREDBA RAVNINSKOG I PROSTORNOG MODELA OKVIRNE KONSTRUKCIJE"

ZAVRŠNI RAD USPOREDBA RAVNINSKOG I PROSTORNOG MODELA OKVIRNE KONSTRUKCIJE ZAVRŠNI RAD IZ PREDMETA "GRAĐEVNA STATIKA 2" NA TEMU: "USPOREDBA RAVNINSKOG I PROSTORNOG MODELA OKVIRNE KONSTRUKCIJE" Mentor: prof.dr.sc. Krešimir Fresl, dipl.ing.građ. Studentica: Barbara Martinković,

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Δομοστατικός Σχεδιασμός Υψηλών Κτηρίων

Δομοστατικός Σχεδιασμός Υψηλών Κτηρίων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Δομοστατικός Σχεδιασμός Υψηλών Κτηρίων Αβαρικιώτη Γεωργία Μπαχλαβάς Εμμανουήλ Επιβλέποντες: Ι. Βάγιας Φ. Καρυδάκης

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama -odnos stanja naprezanja u nosivim elementima -linijski nosivi elementi (prosta greda; kontinualna

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 BETONSKE KONSTRUKCIJE RAMOVSKE KONSTRUKCIJE Prof. dr Snežana Marinković Doc. dr Ivan Ignjatović Semestar: V ESPB: Ramovske konstrukcije 1.1. Podela 1.2. Statički sistemi i statički proračun 1.3. Proračun

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

GEOTEHNIČKE KONSTRUKCIJE POTPORNE KONSTRUKCIJE. Predavanje: POTPORNE KONSTRUKCIJE Prof.dr.sc. Leo MATEŠIĆ 2012/13

GEOTEHNIČKE KONSTRUKCIJE POTPORNE KONSTRUKCIJE. Predavanje: POTPORNE KONSTRUKCIJE Prof.dr.sc. Leo MATEŠIĆ 2012/13 GEOTEHNIČKE KONSTRUKCIJE POTPORNE KONSTRUKCIJE Predavanje: POTPORNE KONSTRUKCIJE Prof.dr.sc. Leo MATEŠIĆ 2012/13 Sadržaj predavanja 1 TLAK I OTPOR TLA (ponavljanje) 1.1 Općenito - Horizontalni (bočni)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI

SANACIJE, REKONSTRUKCIJE I BETONSKIH KONSTRUKCIJA U VISOKOGRADNJI GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Odsek za konstrukcije Katedra za materijale i konstrukcije (MIK) Master studije (28+28) I semester (2+2) Prof. dr Dušan Najdanović SANACIJE, REKONSTRUKCIJE

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 5. VJEŽBE DIMENZIONIRANJE - GSN Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI DIMENZIONIRANJE - GSN 1. Sila prednapinjanja 2. Provjera

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf zvučna zaštita Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf ploče Gipsana Gipskartonska Gipsano jezgro obostrano ojačano

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka

Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Aksijalno pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Metalne konstrukcije 1 P6-1 Osobenosti višedelnih štapova Poprečni presek se sastoji od više samostalnih elemenata koji su mestimično povezani;

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić TEHNIČKA MEHANIKA 2 Predavanja Akad. god. 2008/09

Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić TEHNIČKA MEHANIKA 2 Predavanja Akad. god. 2008/09 Prof. dr. sc. Vedrana Koulić EHNČK EHNK Predavanja kad. god. 008/09 OPORNOS ERJL Otpornost materijala je grana tehničke mehanike koja proučava probleme čvrstoće, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

MANUELA KANIŠKI ZAVRŠNI RAD

MANUELA KANIŠKI ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET VARAŽDIN MANUELA KANIŠKI PRORAČUN POPREČNO OPTEREĆENIH PILOTA ZAVRŠNI RAD VARAŽDIN, 2010. 2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET VARAŽDIN ZAVRŠNI RAD PRORAČUN

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Vanjska simetrija kristâla

Vanjska simetrija kristâla Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA

MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA U toku posljednjih tridesetak godina mostovi sa kosim zategama doživljavaju spektakularan razvoj u cijelom svijetu. Ekonomičnost ovih mostova ne leži samo u odličnom iskorištenju

Διαβάστε περισσότερα

ΔQ Q 1, D 1 Q 2, D 2 Q 1 = Q 2 Q 1 < Q 2

ΔQ Q 1, D 1 Q 2, D 2 Q 1 = Q 2 Q 1 < Q 2 Promjene dimenzije kanala a) uz izravnanje dna kanala b) uz izravnanje tjemena kanala c) uz izravnanje razine vode u kanalu padovi ispred i iza spoja mogu biti: I 1 = I 2 I 1 > I 2 I 1 < I 2 Spajanje u

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama.

Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama. Štap optereen na savijanje naivamo nosa ili grea. Savijanje nosaa a) Napreanja ( i τ) b) Deformacije progib (w) Os štapa se ko savijanja akrivljuje to je elastina ili progibna linija nosaa. Savijanje ravnog

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. * Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials,, Cengage g Learning, Seventh Edition, 2009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials,

Διαβάστε περισσότερα

PREDGOTOVLJENE BETONSKE KONSTRUKCIJE

PREDGOTOVLJENE BETONSKE KONSTRUKCIJE PREDGOTOVLJENE BETONSKE KONSTRUKCIJE DARKO MEŠTROVIĆ Rijeka, 2017. Sadržaj 1 OPĆENITO 1 1.1 Materijali za proizvodnju predgotovljenih elemenata 1 1.2 Prednosti i mane montažnog načina građenja 2 1.3 Projektiranje

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek 25. rujan 2015. Siniša Ivković SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Odsek za konstrukcije TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA grupa A Odsek za konstrukcije 25.01.2012. grupa A 1. 1.1 Za nosač prikazan na skici 1 odrediti dijagrame presečnih sila. Sopstvena težina je uključena u stalno opterećenje (g), a povremeno opterećenje (P1 i P2)

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.07.2015 Marko Srdanović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα