Σχήμα 1. Παράδειγμα πλαισίου και δικτυώματος

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 7: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ KAI ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΕ ΔΙΚΤΥΩΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ (Χειμερινό εξάμηνο ) 1. Σκοπός Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η εξοικείωση των φοιτητών με την χρήση υπολογιστικών μεθόδων και αντίστοιχων λογισμικών σε Η/Υ για την επίλυση επίπεδων πλαισιωτών και δικτυωτών κατασκευών. Οι φοιτητές θα αναλύσουν την επίδραση της επιβολής δυνάμεων πάνω σε επίπεδα πλαίσια και δικτυώματα, χρησιμοποιώντας αναλυτικές μεθόδους και υπολογιστικά περιβάλλοντα Η/Υ. Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν και η σύγκριση μεταξύ τους θα βοηθήσουν στην κατανόηση των παρουσιαζόμενων μεθόδων και των λογισμικών.. Θεωρία.1 Βασική περιγραφή της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων Τα πλαίσια (σχήμα 1.α) και τα δικτυώματα (σχήμα 1.β) είναι επίπεδες ή χωρικές κατασκευές που αποτελούνται από επιμήκη ραβδόμορφα μέλη. Η κυριότερη διαφορά μεταξύ πλαισίων και δικτυωμάτων είναι πως τα μέλη των δεύτερων συνδέονται μεταξύ τους μόνο με αρθρώσεις και πως οι όποιες φορτίσεις επιβάλλονται στις αρθρώσεις αυτές. Αυτό σημαίνει πως στα δικτυώματα δεν μπορούν να επιβληθούν ροπές (στις αρθρώσεις δεν αναπτύσσονται ροπές) και πως τα μέλη των δικτυωμάτων καταπονούνται μόνο σε αξονικά φορτία. Αντίθετα, στα πλαίσια τα ραβδόμορφα μέλη συνδέονται εν γένει μεταξύ τους με σταθερές συνδέσεις, ενώ κάποια μέλη μπορεί και να συνδέονται με αρθρώσεις αρκεί το αρθρωτό υποσύστημα του πλαισίου να είναι στέρεο και όχι μηχανισμός. Σχήμα 1. Παράδειγμα πλαισίου και δικτυώματος

2 Κάθε μέλος ενός πλαισίου και κάθε σύνδεση μπορεί να καταπονείται από διάφορα φορτία. Σε πολλές όμως περιπτώσεις τα πλαίσια είναι υπερστατικές κατασκευές (ο αριθμός των αγνώστων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων που μπορούν να προκύψουν), επομένως η αναλυτική στατική επίλυση τους για να διαπιστωθεί η συμπεριφορά τους σε επιβολή φορτίσεων είναι ανέφικτη. Για τον σκοπό αυτό, και παράλληλα με την ανάπτυξη της υπολογιστικής ισχύος των Η/Υ, αναπτύχθηκαν κατάλληλες αριθμητικές-υπολογιστικές μέθοδοι για την επίλυση κατασκευών όπως η ευρέως διαδεδομένη και αποδεκτή μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων. Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα ραβδόμορφο μέλος το οποίο ορίζεται στο επίπεδο (x,y) και στα άκρα του αντί στηρίξεων εφαρμόζονται γενικευμένες δυνάμεις, εφελκυστικές, διατμητικές, και ροπές κάμψης. Σχήμα. Παραμορφωσιακή κατάσταση γενικευμένου στοιχείου δοκού. Το μέλος αυτό, το οποίο συμβολίζεται με το γράμμα e και τα άκρα του, που θα ονομάζονται εφεξής κόμβοι, με τους αριθμούς 1 και, στην αρχική απαραμόρφωτη κατάσταση είναι ευθύγραμμο και έχει μήκος. Κάτω από την επίδραση των φορτίων, το μέλος μετατοπίζεται σε μια άλλη θέση ισορροπίας, ενώ παραμορφώνεται. Τότε οι κόμβοι μετακινούνται κατά δ 1 και δ και το μέλος συστρέφεται στις θέσεις των κόμβων κατά θ 1 και θ αντίστοιχα. Από την στοιχειώδη ανάλυση ισορροπίας του μέλους, την ικανοποίηση της συνθήκης θεμελιώδους και συνεχούς παραμόρφωσης και την ανάλυση των οριακών συνθηκών στα άκρα, προκύπτει ότι η σχέση των γενικευμένων μετατοπίσεων με τις γενικευμένες δυνάμεις που υπάρχουν στα άκρα αυτού του μέλους δίνεται από την αλγεβρική σχέση: (1)

3 όπου οι συνιστώσες της μετατόπισης δ x, δ y αντικαταστάθηκαν χάριν απλούστευσης με τα σύμβολα u και v. Οι δείκτες 1 και αντιστοιχούν στους κόμβους στους οποίους αναφέρονται οι παράμετροι. Στην παραπάνω εξίσωση, Ε είναι το μέτρο της ελαστικότητας του υλικού του μέλους, Α το εμβαδόν της διατομής του και Ι η δευτεροβάθμια ροπή αδρανείας της διατομής. Ο 6 6 πίνακας της σχέσης (1), ονομάζεται μητρώο στιβαρότητας, είναι χαρακτηριστικό για το συγκεκριμένο μέλος και ορίζεται στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων που ορίστηκε γεωμετρικά το μέλος. Από το σχήμα 3 φαίνεται πως κάθε κόμβος έχει δυνητικά τρεις βαθμούς ελευθερίας (οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση και περιστροφή). Καθώς λοιπόν το μέλος έχει κόμβους, το αντίστοιχο μητρώο δυσκαμψίας έχει διάσταση 6 6. Για ένα πλαίσιο ή δικτύωμα τώρα που αποτελείται από πολλά μέλη, η εξίσωση (1) μπορεί να εφαρμοστεί διαδοχικά για όλα τα μέλη ώστε να βρεθεί η συνολική λύση για όλο το πλαίσιο. Κατά την διαδοχική εφαρμογή της (1) θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη συμβιβαστού η οποία απαιτεί μοναδικότητα της λύσης σε κάθε κόμβο της κατασκευής, ενώ θα πρέπει να ικανοποιείται η ισορροπία φορτίσεων σε αυτούς. Σε συνδυασμό με την ικανοποίηση των συνοριακών συνθηκών που αφορούν τις στηρίξεις και τις φορτίσεις της κατασκευής, προκύπτουν εν τέλει ικανό αριθμό εξισώσεων για τον καθορισμό των συνιστωσών των αγνώστων μετατοπίσεων και δυνάμεων όλων των κόμβων της κατασκευής. Εάν η κατασκευή μοντελοποιείται με Ν κόμβους, τότε θα πρέπει να δημιουργηθούν 3Ν εξισώσεις ώστε το πρόβλημα να είναι επιλύσιμο. Η εξίσωση (1) αναφέρεται σε ένα σύστημα συντεταγμένων όπου ο άξονας των x είναι παράλληλος με την διεύθυνση του μέλους (σχήμα ). Τα μέλη όμως που συμμετέχουν στην κατασκευή μπορεί γενικά να έχουν διαφορετική διεύθυνση μεταξύ τους. Οπότε κρίνεται σκόπιμη η αναφορά όλων των μελών σε ένα γενικό σύστημα συντεταγμένων που να αφορά όλη την κατασκευή, οπότε η σχέση (1) θα πρέπει να εξαχθεί στο γενικό σύστημα αυτό. Στο σχήμα 3 παρουσιάζεται ένα μέλος στραμμένο σε σχέση με ένα σύτημα συσντεταγμένων που λέγεται καθολικό. Τότε, εάν K είναι το μητρώο δυσκαμψίας ενός μέλους στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων και K το αντίστοιχο μητρώο του μέλους στο καθολικό σύστημα συντεταγμένων, βρίσκεται ύστερα από κατάλληλη αλγεβρική ανάλυση ότι: () όπου ο δείκτης Τ υποδηλώνει ανάστροφο μητρώο, ενώ το μητρώο μετασχηματισμού ορίζεται ως: όπου, (3) Η γωνία θ στην σχέση (4) ορίζει την στροφή από το τοπικό στο ολικό σύστημα συντεταγμένων. (4)

4 Μια κατασκευή με Μ συνολικά μέλη για να επιλυθεί με χρήση της μεθόδου των Πεπερασμένω Στοιχείων θα πρέπει να μοντελοποιηθεί κατάλληλα ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία: Ορισμός μορφολογίας. Ορίζουμε ποιά είναι τα πεπερασμένα στοιχεία της κατασκευής, καθώς και τους κόμβους τους. Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση χρησιμοποιούνται -κομβα ραβδόμορφα πεπερασμένα στοιχεία και στην περίπτωση αυτή κάθε ραβδόμορφο μέλος της κατασκευής μπορεί να θεωρηθεί ένα πεπερασμένο στοιχείο, ή μπορεί να διαιρεθεί και σε περισσότερα εάν είναι απαραίτητη μεγαλύτερη ανάλυση των μετατοπίσεων διαφόρων σημείων της κατασκευής ή εάν αυτό κρίνεται σκόπιμο για διάφορους λόγους (π.χ. τοποθέτηση ενός κόμβου σε σημείο εφαρμογής εξωτερικού φορτίου). Τα πεπερασμένα στοιχεία μέλη και οι κόμβοι τους απαριθμούνται και καθορίζεται σαφώς ποιοί κόμβοι ορίζουν ποιό πεπερασμένο στοιχείο μέλος. Ορισμός τοπολογίας. Ορίζουμε καθολικό σύστημα συντεταγμένων και με βάση αυτό υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των κόμβων. Ορισμός ιδιοτήτων. Ορίζουμε ιδιότητες διατομής (επιφάνεια Α, δευτεροβάθμιες ροπές αδρανείας Ι κ.τ.λ.) καθώς και ιδιότητες τπυ υλικού (μέτρο ελαστικότητας Ε, μέτρο ελαστικότητας σε διάτμηση G κ.τ.λ.) Συνοριακές συνθήκες. Ορίζουμε στηρίξεις, δηλαδή ποιός κόμβος και σε ποιό βαθμό ελεθερίας είναι περιορισμένος, καθώς και εξωτερικά φορτία, δηλαδή ποιός κόμβος και σε ποιά διεύθυνση παραλαβάνει εξωτερικό(α) φορτίο(α)... Περιγραφή του θεωρήματος Castiglianο..1 Γενική περιγραφή Το ο θεώρημα Castigliano αποτελεί μια μέθοδο υπολογισμού της μετατόπισης (γραμμικής ή περιστροφικής) ενός σημείου ενός φορέα. Ο φορέας αυτός μπορεί να είναι μια απλή δοκός, αλλά και ένα δικτύωμα ή ένα πλαίσιο. Το θεώρημα μπορέι να διατυπωθεί ως εξής: «Η μετακίνηση δ i ενός σημείου ενός φορέα Κ, κατά την διεύθυνση μιας εξωτερικής δύναμης P i η οποία ασκείται στο μετακινούμενο σημείο, ισούται με την πρώτη μερική παράγωγο της συνολικής ελαστικής ενέργειας παραμόρφωσης του φορέα, ως προς την δύναμη P i.» U K (5) Pi όπου, U Κ η συνολική ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης του φορέα. Το θεώρημα Castigliano σε αντίθεση με την Αρχή Δυνατών Έργων, εφαρμόζεται μόνο σε προβλήματα όπου τα υλικά επιδεικνύουν γραμμικώς ελαστική συμπεριφορά και δεν συμβαίνουν θερμοκρασιακές μεταβολές και υποχωρήσεις στηρίξεων.... Το ο θεώρημα Castigliano στα δικτυώματα. Η ελαστική ενέργεια παραμόρφωσης ενός μέλους j ενός δικτυώματος F, δίνεται από την σχέση: U j N j j (6) EA j j όπου, για το μέλος j:

5 Ν j : η αξονική εσωτερική δύναμη του μέλους που προκαλείται από τις εξωτερικές φορτίσεις στο δικτυώμα. j : το μήκος του μέλους. Ε j : το μέτρο ελαστικότητας του υλικού του μέλους. Α j : η επιφάνεια της διατομής του μέλους. Βάσει των εξισώσεων (5) και (6), η μετακίνηση ενός κόμβου i ενός μέλους j, που είναι ένα εκ των Μ μελών ενός δικτυώματος Κ, δίνεται σύμφωνα με το ο θεώρημα Castigliano από: U N P (7) P P E A M K j i j i i j1 j j Όπου, P i το φορτίο που επιβάλλεται στον μετακινούμενο κόμβο i και το Ν j έχει δοθεί ως συνάρτηση του P i, καθώς, ως αξονική εσωτερική δύναμη κάθε μέλους j του δικτυώματος, εξαρτάται και από το εξωτερικό φορτίο P i. Αναλύοντας περαιτέρω την σχέση (7) είναι: M j i j j1 P i E j Aj N P M Nj j N j j1 Pi E j A (8) j Παρατηρούμε πως η εξίσωση (8) είναι όμοια με την την εξίσωση της Αρχής Δυνατών Έργων, με την διαφορά ότι η αξονική δύναμη αντικαταστάθηκε με την μερική παράγωγο...3. Μεθοδολογία ανάλυσης δικτυώματος βάσει του ου θεωρήματος Castigliano Στο σημείο που ζητείται η μετακίνηση, εφαρμόζουμε μια δύναμη P i κατά τη διεύθυνση της ζητούμενης μετακίνησης. Την P την αντιμετωπίζουμε ως μαθηματική μεταβλητή χωρίς τιμές. Πραγματοποιούμε ανάλυση κόμβων στο δικτύωμα για τον υπολογισμό των αξονικών εσωτερικών δυνάμεων Ν j για όλα τα μέλη του δικτυώματος, συναρτήσει των εξωτερικών φορτίων. Θεωρούμε τις εφελκυστικές Ν j θετικές και τις θλιπτικές αρνητικές. Λαμβάνουμε υπ όψη μας όλα τα εξωτερικά φορτία καθώς και τις αντιδράσεις που προκύπτουν από το Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος. N j Υπολογίζουμε την μερική παράγωγο για κάθε μέλος j. P Εάν στον κόμβο του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε την μετατόπιση δ, πράγματι εφαρμόζεται εξωτερική δύναμη Ρ κάποιας τιμής, θέτουμε την τιμή αυτή στην μεταβλητή Ρ, και από την σχέση (8) υπολογίζουμε την μετατόπιση δ του κόμβου. Εάν δεν εφαρμόζεται φορτίο στον κόμβο του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε την μετατόπιση δ, θέτουμε Ρ=0 και βρίσκουμε την δ πάλι από την σχέση (8).

6 .3. Παράδειγμα υπολογισμού εσωτερικών δυνάμεων Ν των μελών ενός δικτυώματος (επισυναπτόμενο στο εγχειρίδιο του εργαστηριακού εξοπλισμού) Στο παράδειγμα αυτό γίνεται χρήση της μεθόδου Ritter.

7 3. Σκαρίφημα του εργαστηριακού δικτύώματος και στοιχεία για τις ράβδους του 300mm 3 7 Διεύθυνση μετατόπισης κόμβου 3 3 Σχήμα 3. Σκαρίφημα του εργαστηριακού δικτύώματος. F 3 Επίσης δίνεται πυκνότητα PVC-U d=1.36 g/cm 3.

8 4. Ασκήσεις 1. Δώστε σύντομη περιγραφή του σκοπού και της διαδικασίας της εργαστηριακής άσκησης (μισή σελίδα).. Δώστε την τιμή και τη φορά της πειραματικά μετρούμενης κατακόρυφης μετατόπισης του κόμβου που είναι κυκλωμένος στο σκαρίφημα του σχήματος 3, και για ποιά τιμή της F έχει αυτή προκύψει. 3. Υπολογίστε την κατακόρυφη μετατόπιση του κόμβου (σχήμα 3) αυτού και με χρήση του θεωρήματος Castigliano, λαμβάνοντας υπ όψη την πειραματική τιμή της F. Παραθέστε το Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος και τα σκαριφήματα των κόμβων όταν γίνεται η ανάλυσή τους. 4. Υπολογίστε την κατακόρυφη μετατόπιση του εξεταζόμενου κόμβου για φόρτιση F με την πειραματική τιμή, σύμφωνα με την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, με χρήση του λογισμικού Η/Υ Analysis Παραθέστε στην αρχή ένα σκαρίφημα με ευκρινή τα εξής στοιχεία: α. αρίθμηση κόμβων και μελών, β. αρχή και διεύθυνση αξόνων καθολικού συστήματος συντεταγμένων, γ. συντεταγμένες κόμβων, δ. εξωτερικές φορτίσεις με μέγεθος και ε. τις εξωτερικές στηρίξεις. 4.. Παραθέστε τις τιμές των ιδιοτήτων διατομής και υλικού που δίνετε στην βιβλιοθήκη του Analysis. Συγκεκριμένα ζητούνται τα: α. επιφάνεια διατομής Α, β. δευτεροβάθμιες ροπές αδρανείας για την κυλινδρική διατομή των σωλήνων Ι x, I y, I xy (και οι σχέσεις που τις δίνουν), γ. οι ροπές αντίστασης της ράβδου σε κάμψη W x, W y (και οι σχέσεις που τις δίνουν), δ. το μέτρο ελαστικότητας Ε και τέλος ε. το μέτρο ελαστικότητας σε διάτμηση G (δίνεται: G E 1 v ) 4.3. Εκτυπώστε και επικολλήστε ως απαντήσεις: α. το δικτύωμα όπως αυτό έχει σχηματιστεί στην επιφάνεια εργασίας του Analysis, αφού το σχεδιάσετε πλήρως και αφού έχετε επιβάλει την εξωτερική φόρτιση F και β. την επιφάνεια που απεικονίζει τις μετατοπίσεις των κόμβων. 5. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα που προκύπτουν για την μετατόπιση του εξεταζόμενου κόμβου από το πείραμα, με την χρήση του θεωρήματος Castigliano και με την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων. Εάν υπάρχουν αποκλίσεις, που θεωρείτε ότι οφείλονται;

9 Παράρτημα. Σημειώσεις για την χρήση του λογισμικού Analysis Βήματα χειρισμού του προγράμματος για την επίλυση των ασκήσεων του εργαστηρίου Για την επίλυση των ασκήσεων ακολουθούμε κατά σειρά τα εξής βήματα: α) Στο Structure > Cross-sections εξετάζουμε εάν η βιβλιοθήκη περιλαμβάνει τα προφίλ των ράβδων της κατασκευής μας. Ομοίως, εξετάζουμε και την βιβλιοθήκη των υλικών στο Structure > Material Data. Εάν δεν υπάρχουν, ενημερώνουμε τις βιβλιοθήκες δημιουργώντας προφίλ και υλικά δίνοντας τα επιθυμητά ονόματα και τις κατάλληλες τιμές στις αντίστοιχες παραμέτρους. Κατόπιν πατούμε Add και μετά ΟΚ. Επίσης πάντα υπάρχει η δυνατότητα επέμβασης στην κάθε καταχώρηση επιλέγοντας την και πατώντας Edit. Μετά Add > OK. Οι μεταβλητές στο Cross-sections στην περίπτωση σωληνωτών ράβδων αφορούν στα εξής: - Shape : δίνουμε C (κυκλική διατομή) - Fabric : δίνουμε W (welded) - Αx : η επιφάνεια της διατομής (του υλικού) - h, b : η εξωτερική διάμετρος της ράβδου - tw, tf, r : το πάχος του τοιχώματος του σωλήνα - Μ : η πυκνότητα του σωλήνα - I x, I y, I t (ή αλλιώς I xy ) : οι δευτεροβάθμιες ροπές αδρανείας της ράβδου - W x, W y : οι ροπές αντίστασης της ράβδου σε κάμψη S x : η ροπή αδρανείας πρώτου βαθμού της ράβδου. Εδώ : Sx ( r r ) 3 - e x, e y, e t : η εξωτερική ακτίνα της ράβδου (Στο τέλος του κειμένου επισυνάπτεται το αντίστοιχο κείμενο του Help του Analysis) Οι μεταβλητές στο Cross-sections αφορούν στα εξής: - Ε : μέτρο ελαστικότητας - G : μέτρο ελαστικότητας σε διάτμηση - Re : μέγιστη επιτρεπόμενη τάση - inear Expansion Coefficient : γραμμικός συντελεστής διαστολής (δεν μας ενδιαφέρει στην συγκεκριμένη άσκηση, δίνουμε την τιμή 1) β) Στο Structure > -Dimensional ή 3-Dimensional επιλέγουμε ανάλογα με το πρόβλημά μας. γ) Στο Structure > Truss (δικτύωμα) ή Frame (πλαίσιο) επιλέγουμε ανάλογα με το πρόβλημά μας. δ) Στο Structure > Joints ορίζουμε τους κόμβους και τις συντεταγμένες τους. Κάθε φορά που ορίζουμε κόμβο πατούμε πρώτα Add και μετά OK. ε) Στο Structure > Members ορίζουμε τα μέλη, από ποιούς κόμβους αποτελούνται, το προφίλ και το υλικό τους. Στο Hinge ορίζουμε αν το κάθε μέλος έχει στους κόμβους του αρθρώσεις. Συγκεκριμένα η τιμή 0 σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αρθρώσεις, η τιμή ότι και οι δύο κόμβοι έχουν αρθρώσεις, η τιμή Β ότι ο πρώτος κόμβος έχει άρθρωση και η τιμή Ε ότι ο τελευταίος κόμβος έχει άρθρωση. Το Angle το αφήνουμε ως έχει. Κάθε φορά που ορίζουμε μέλος πατούμε πρώτα Add και μετά OK. στ) Στο Structure > Support Joints ορίζουμε τους κόμβους που έχουν στηρίξεις και ποιές είναι αυτές. Κάθε φορά που ορίζουμε στήριξη πατούμε πρώτα Add και μετά OK.

10 ζ) Στο oads > Joint oads ορίζουμε σε ποιούς κόμβους εφαρμόζονται φορτίσεις και ροπές και ορίζονται οι συνιστώσες τους. Το load case το αφήνουμε ως έχει. Κάθε φορά που ορίζουμε φορτίο σε κόμβο πατούμε πρώτα Add και μετά OK. η) Πατούμε Calculate και το πρόγραμμα εκτελεί υπολογισμούς. θ) Στο Results > Joint Displacements εμφανίζονται οι μετατοπίσεις των κόμβων που είναι και τα επιθυμητά αποτελέσματά μας. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι πάντα υπάρχει η δυνατότητα επέμβασης στην κάθε καταχώρηση επιλέγοντας την και πατώντας Edit. Μετά Add > OK. Προσοχή στις μονάδες που ζητούνται! Copy of ANAYSIS Help for Cross-sections Analysis has an extensive library of standard Member Cross Sections. The list can be easily updated. Each Cross Section has besides the name: Shape: Identifies the section out of the following choices: I-section, U-section or channel, -section, T-section or half I-section, Rectangular box, Circular tube, Full section. Fabric: How was the section made Rolled or Welded Ax : the Cross Sectional Area in [cm] or [inch] h b tw tf c r : total height of the section in [mm] or [inch] : total width of the section in [mm] or [inch] : web thickness in [mm] or [inch] : flange thickness in [mm] or [inch] : effective height of the web in [mm] or [inch] : radius between flange and web in [mm] or [inch] Ix : the Cross Section Moment of Inertia about the x axis in [cm4] or [inch4] ( as a result of a oad along the local y-axis ) Iy : the Cross Section Moment of Inertia about the y axis [cm4] or [inch4] ( as a result of a oad along the local z-axis ) It : the Cross Section Torsion Constant [cm4] or [inch4] (as a result of a Moment round the local x-axis) For a round section the Torsional Constant is equal to the polar Moment of Inertia. Wx, Wy : Bending Area Moment in [cm3] or [inch3] Moment of resistance Sx : Static area moment around the x axis in [cm3] or [inch3] ex : the distance from the neutral line of the Member to the outside of the Member along the main axis of that Member. In the case of asymmetrical Cross Sections this will usually be the longest distance. ey : the distance from the neutral line of the Member to the outside of the Member along the secondary axis of that Member.

11 et : for closed sections et is the greater of ex or ey. In the case of open sections et is the thickness of the thickest part of the section. This usually is the maximum flange thickness of the beam cross section. For both ex and ey it is important to use the longest distance to the outside of the member as shown in the figure below. M : the Mass of the Member per meter [kg/m] or [kg/ft] The units are specified by the Structure Menu option Units.