ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα

Transcript

1 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα, η Πρόοδος ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα 1 η Ενδιάμεση Πρόοδος Ακαδημαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάμηνο Δευτέρα, 0 Φεβρουαρίου, 017, 9:00-10:00 π.μ. (60 λεπτά) Όνομα: Επίθετο: Αριθμός Ταυτότητας: Τηλεφ. Διαβάστε προσεκτικά τις πιο κάτω οδηγίες, χωρίς να γυρίσετε σελίδα προτού αρχίσει η εξέταση, και υπογράψτε: 1. Δεν επιτρέπεται η χρήση οποιουδήποτε άλλου χαρτιού πέρα από τα φύλλα χαρτιού που θα σας δοθούν.. Κατά την διάρκεια της εξέτασης απαγορεύεται: οποιαδήποτε συνεργασία, συνομιλία ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο επικοινωνία με συμφοιτητές σας η ανταλλαγή οποιωνδήποτε αντικειμένων (π.χ. υπολογιστικές μηχανές, κ.λπ.) με συμφοιτητές σας η χρήση κινητών τηλεφώνων τα οποία θα πρέπει να απενεργοποιηθούν 3. Αποχώρηση από τον χώρο εξέτασης επιτρέπεται μόνο 0 λεπτά μετά την έναρξη της εξέτασης, ενώ δεν επιτρέπεται αποχώρηση από τον χώρο της εξέτασης τα τελευταία 0 λεπτά πριν από την λήξη της εξέτασης. Έχω διαβάσει προσεκτικά και κατανοήσει πλήρως τις πιο πάνω οδηγίες. Υπογραφή:.. Πρόβλημα Μονάδες Βαθμός Τελικός Βαθμός: 6 5 Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα: 1/15

2 Άσκηση 1: [15 μονάδες] ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με μητρώα, η Πρόοδος s br u * Με δεδομένες τις σχέσεις και, αποδείξτε πως προκύπτει η σχέση που συνδέει τα επιβαλλόμενα εξωτερικά φορτία, R, με τις προκαλούμενες μετακινήσεις, U, μέσω του μητρώου ευκαμψίας μιας κατασκευής,, χρησιμοποιώντας την Αρχή των Δυνατών Συμπληρωματικών Έργων: δw c E δu c s Πέτρος Κωμοδρόμος, 017, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: /15

3 Άσκηση : [0 μονάδες] ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα, η Πρόοδος Ζητείται να γράψετε μια συνάρτηση (function), με το όνομα mysin(), η οποία θα παίρνει σαν παράμετρο μια γωνία (με το όνομα theta) και ένα αριθμό (με το όνομα n) και θα υπολογίζει το ημίτονο της γωνίας theta λαμβάνοντας υπόψη τους n πρώτους όρους της σειράς με την οποία μπορεί να υπολογιστεί το ημίτονο: n1 i 1 θ θ θ i θ sinθ θ ! 5! 7! i 1! i0 Για τον υπολογισμό του παραγοντικού μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση factorial(), για την οποία σας δίνονται οι πιο κάτω πληροφορίες από το Matlab: >> help factorial factorial Factorial function. factorial(n) for scalar N, is the product of all the integers from 1 to N, i.e. prod(1:n). When N is an N-D matrix, factorial(n) is the factorial for each element of N. Since double precision numbers only have about 15 digits, the answer is only accurate for N <= 1. For larger N, the answer will have the correct order of magnitude, and is accurate for the first 15 digits. Πιο κάτω παρατίθεται μια ενδεικτική χρήση της μεθόδου mysin(), το οποίο θα πρέπει να αναπτύξετε, για τον υπολογισμό του ημιτόνου της γωνίας 0.75 χρησιμοποιώντας μόνο 5 όρους της προαναφερθείσας σειράς: >> MySin(0.75,5) ans = Ενδεικτικά, για σκοπούς συγκρίσεως, παρατίθεται και το συγκεκριμένο ημίτονο υπολογιζόμενο με την παρεχόμενη συνάρτηση από το Matlab συνάρτηση sin(): >> sin(0.75) ans = Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα: 3/15

4 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με μητρώα, η Πρόοδος Πέτρος Κωμοδρόμος, 017, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 4/15

5 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα, η Πρόοδος Άσκηση 3: [0 μονάδες] Για να υπολογιστούν τα εντατικά μεγέθη των μελών και οι μετακινήσεις των κόμβων του πιο κάτω δικτυώματος, χρησιμοποιείται η Μέθοδος Ευκαμψίας, θεωρώντας ότι το μέτρο ελαστικότητας του υλικού ισούται με E 0 GPA και το εμβαδόν της διατομής όλων των ράβδων ισούται με A 0.00 m. (α) Έχοντας την πιο κάτω αρίθμηση, ζητείται όπως προσδιορίσετε την 4 η στήλη του μητρώου, τη η στήλη του μητρώου και την 4 η στήλη του μητρώου. b 0 b x * (α) (5) 0 KN 4 (β) R (5) R KN (4) R 1 (4) R 3 (1) (3) (6) m (1) (3) X 1 (6) m 1 () 3 1 () 3 m m X b 0 b x (β) Εάν θεωρήσετε ότι τα μητρώα, και είναι ήδη αποθηκευμένα στις μεταβλητές bo, bx και f, αντίστοιχα, και τα φορτία στη μεταβλητή R, ζητείται να γράψετε τις εντολές που απαιτούνται στο Matlab για να προσδιορίσετε τα υπερστατικά μεγέθη, τις μετακινήσεις των κόμβων, τα εντατικά μεγέθη και τις παραμορφώσεις των μελών, τα οποία θα πρέπει να αποθηκευτούν στις μεταβλητές X, U, s και u, αντίστοιχα. * Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα: 5/15

6 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με μητρώα, η Πρόοδος Πέτρος Κωμοδρόμος, 017, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 6/15

7 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα, η Πρόοδος Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα: 7/15

8 Άσκηση 4: [10 μονάδες] ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με μητρώα, η Πρόοδος (α) Γιατί η μέθοδος ευκαμψίας δεν μπορεί να προγραμματισθεί τόσο εύκολα όσο η μέθοδος δυσκαμψίας; (β) Κατά την εφαρμογή της μεθόδου ευκαμψίας για την ανάλυση μιας υπερστατικής κατασκευής πόσες στήλες έχει το μητρώο μετασχηματισμού, b, στην περίπτωση χρήσης συνολικών μητρώων; Πέτρος Κωμοδρόμος, 017, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 8/15

9 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα, η Πρόοδος (γ) Κατά την εφαρμογή της μεθόδου ευκαμψίας για την ανάλυση μιας υπερστατικής κατασκευής πόσες στήλες έχει το μητρώο μετασχηματισμού, b, στην περίπτωση χρήσης συμπυκνωμένων μητρώων; Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα: 9/15

10 Άσκηση 5: [10 μονάδες] ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με μητρώα, η Πρόοδος Γράψτε τις κατάλληλες εντολές για να σχεδιάσετε, με κόκκινη διακεκομμένη γραμμή, το ημίτονο μεταξύ 30 και 30 μοίρες, ανά μοίρες, σε ένα υποσχήμα (subplot) του Σχήματος (figure) 7. Συγκεκριμένα, πρέπει να σχεδιαστεί στην 3 η γραμμή και η στήλη του Σχήματος 7, υποδιαιρώντας το σχήμα σε 4 γραμμές και 3 στήλες (4x3) υποσχημάτων. Περιορίστε τους άξονες μεταξύ των 30 και 30 μοιρών και στην κατακόρυφη διεύθυνση (Y) μεταξύ - και, όπως στο πιο κάτω σχήμα. Προσθέστε κατάλληλους τίτλους και διαβαθμίσεις (κάνναβο). Πέτρος Κωμοδρόμος, 017, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 10/15

11 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα, η Πρόοδος Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα: 11/15

12 Άσκηση 6: [5 μονάδες] ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με μητρώα, η Πρόοδος Ο πιο κάτω πλαισιακός φορέας επιλύνεται με τη Μέθοδο Ευκαμψίας, θεωρώντας ότι το μέτρο ελαστικότητας ισούται με E 35GPa και η ροπή αδρανείας των υποστυλωμάτων ισούται με: 4 4 I m, ενώ αυτή της δοκού ισούται με: I m. (α) 65 ΚΝ (β) X 3 (γ) (6) (6) X 1 R () (4) 3.5 m () (4) (1) (5) 6 m 45 ΚΝ (3) 3.5 m (1) (5) X 4 X 5 X 6 X (3) R 1 M () 1 M 1 M 5 Με τον πιο πάνω ορισμό και αρίθμηση των κόμβων, των μελών, των εξωτερικών φορτίων και των υπερστατικών μεγεθών, ζητείται όπως προσδιορίσετε ενδεικτικά τα εξής: M 1 1 M 1 1 M 6 (1) (6) M (5) 5 M 6 M (4) M 4 1 M 3 (3) 1 4 M 3 (α) Το στοιχείο (9,9) του μητρώου * (β) Τη η στήλη του μητρώου b 0 (γ) Την 5 η στήλη του μητρώου b x Πέτρος Κωμοδρόμος, 017, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 1/15

13 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα, η Πρόοδος Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα: 13/15

14 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με μητρώα, η Πρόοδος Πέτρος Κωμοδρόμος, 017, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών και Μηχανικών Περιβάλλοντος: 14/15

15 ΠΠΜ 1: Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα, η Πρόοδος Χρήσιμες Σχέσεις για τη Μέθοδο Ευκαμψίας - Ισοστατικoί φορείς s b R u * s T * T * U b b R b b R R - Υπερστατικοί φορείς u * s s b0r bx X T * T * T * T * bx b0 bx bx b0 b0 b 0 0 b U x R F00 F0x R 0 X Fx0 F xx X 1 xx X F F R x 00 0x xx x 0 U F R F X F F F F R 0 x 0 x x0 1 xx x 0 s b R b X b b F F R b R - Δοκοί (υπό κάμψη) M 1 E, I M 1 L u i s θ1 f11 f1 M1 θ f f M i 1 i i L L f11 f1 3EI 6EI 1 Li fi f f L L 1 6E I 6EI 3EI i 1 i i i i i Ανάλυση Κατασκευών με Μητρώα: 15/15