ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΠΙΠΕ ΟΙ ΙΚΤΥΩΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΜΟΡΦΩΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Στην Τεχνική Μηχανική Ι μελετώνται επίπεδα δικτυώματα. Τα δικτυώματα είναι φορείς που απαρτίζονται από ευθύγραμμες ράβδους οι οποίες συνδέονται μεταξύ τους στους κόμβους του δικτυώματος. Όλες οι συνδέσεις σε ένα δικτύωμα είναι αρθρωτές, χωρίς τριβές.

2 Βασική θεώρηση-παραδοχή για τα δικτυώματα είναι ότι φορτίζονται με δυνάμεις μόνο στους κόμβους τους (και δεν φορτίζονται ενδιάμεσα) και κατά συνέπεια οι ράβδοι τους αναπτύσσουν μόνο αξονική ένταση, εφελκυστική ή θλιπτική. ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΤΗΡΙΞΕΩΝ ΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Ένα δικτύωμα μπορεί να στηρίζεται στο έδαφος μέσω αρθρώσεων ή κυλίσεων σε κάποιους από τους κόμβους του. εν μπορεί να υλοποιηθεί στήριξη με πάκτωση, διότι αυτό θα σήμαινε επιβολή ροπής σε κόμβο δικτυώματος, γεγονός μη αποδεκτό αφού έχει θεωρηθεί πως οι κόμβοι του δικτυώματος φορτίζονται μόνο με δυνάμεις. Εξ άλλου, κάθε κόμβος δικτυώματος θεωρείται άρθρωση και εξ ορισμού οι αρθρώσεις δεν μπορούν να μεταφέρουν ροπή. Παράδειγμα στήριξης δικτυώματος δίνεται στην προηγούμενη σελίδα, όπου ο κόμβος α του δικτυώματος στηρίζεται με άρθρωση στη θέση Α (συνεπάγεται ανάπτυξη κατακόρυφης και οριζόντιας δύναμης στον κόμβο) και ο κόμβος η στηρίζεται με κύλιση στη θέση Β (συνεπάγεται ανάπτυξη κατακόρυφης δύναμης στον κόμβο).

3 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΟΤΗΤΑ- ΣΤΕΡΕΟΤΗΤΑ ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Για κάθε δικτύωμα όπως αυτό που παρατίθεται στην προηγούμενη σελίδα και προκειμένου να εξεταστεί η ισοστατικότητά (εσωτερική) του, μετρώνται τα ακόλουθα μεγέθη : α) Πλήθος κόμβων (7), β) Πλήθος ράβδων (11) και γ) Πλήθος αντιδράσεων στήριξης. Εφόσον για ένα δικτύωμα ισχύει : πλήθος ράβδων + πλήθος αντιδράσεων στήριξης = 2 x πλήθος κόμβων, τότε το δικτύωμα καλείται ισοστατικό (εσωτερικά). Σε γενική μορφή για πλήθος κόμβων (κ), πλήθος ράβδων (ρ) και πλήθος αντιδράσεων στήριξης (ν), η σχέση γίνεται 2κ = ρ + ν για ισοστατικό δικτύωμα. Για το αριστερό δικτύωμα της προηγούμενης σελίδας, ισχύει κ = 4, ρ = 5 και ν = 3 (στήριξη Α άρθρωση, στήριξη D κύλιση). Ισχύει 2κ = ρ + ν (ισοστατικό). Για το δεξί δικτύωμα ισχύει κ = 5, ρ = 7 και ν = 3 (στήριξη Α άρθρωση, στήριξη D κύλιση). Ισχύει 2κ = ρ + ν (ισοστατικό). Εφόσον ρ + ν >2κ τότε το δικτύωμα καλείται υπερστατικό και μάλιστα, ο βαθμός υπερστατικότητας είναι η διαφορά ρ + ν 2κ.

4 Για το αριστερό δικτύωμα ισχύει κ = 5, ρ = 8 και ν = 3 (στήριξη Α άρθρωση, στήριξη D κύλιση). Ισχύει 2κ < ρ + ν (υπερστατικό) και μάλιστα 1 φορά υπερστατικό. Για το δεξί δικτύωμα ισχύει κ = 4, ρ = 6 και ν = 3 (στήριξη Α άρθρωση, στήριξη D κύλιση). Ισχύει 2κ < ρ + ν (υπερστατικό) και μάλιστα 1 φορά υπερστατικό. Εάν είναι 2κ> ρ + ν, τότε το δικτύωμα καλείται μηχανισμός. Συγκρίνοντας το πλήθος των αντιδράσεων στήριξης (ν) με το πλήθος των στερεοστατικών εξισώσεων (ε) ισορροπίας μπορεί κανείς να αποφανθεί για την εξωτερική ισοστατικότητα του δικτυώματος και μάλιστα εάν ν = ε το δικτύωμα καλείται ισοστατικό. Εφόσον ν > ε, το δικτύωμα καλείται εξωτερικά υπερστατικό και ο βαθμός εξωτερικής υπερστατικότητας είναι ν ε. Εφόσον ν < ε, το δικτύωμα καλείται εξωτερικά μηχανισμός. Στο επίπεδο ένας στερεός σχηματισμός (ολόσωμος ή δικτυωτός) ονομάζεται δίσκος. Όσον αφορά στη στερεότητα ενός δικτυώματος ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις : α) Εφόσον ένα δικτύωμα είναι απλή παράθεση τριγώνων, τότε αυτό είναι στερεό. Το παραπάνω δικτύωμα αποτελείται από απλή παράθεση τριγώνων (αβγ, γδβ, δβζ και δζε).

5 β) Εφόσον δύο δίσκοι συνδέονται με τρεις δεσμικές ράβδους, των οποίων οι διευθύνσεις τους δεν συντρέχουν στο ίδιο σημείο, τότε το σύνολο είναι στερεό. Είναι προφανές ότι οι διευθύνσεις των ράβδων σύνδεσης (1), (2) και (3) δεν συντρέχουν στο ίδιο σημείο, και κατ επέκταση το σύνολο (Σ1)-(Σ2) είναι στερεό. γ) Εφόσον τρεις δίσκοι συνδέονται ανά δύο με ζεύγος δεσμικών ράβδων και τα σημεία τομής των τριών ζευγών των ράβδων δεν είναι συνευθειακά, τότε το σύνολο είναι στερεό.

6 Είναι προφανές ότι τα σημεία τομής Α, Β και Γ των ζευγών των ράβδων δεν είναι συνευθειακά και κατ επέκταση το σύνολο (Σ1)-(Σ2)-(Σ3) είναι στερεό. Προσοχή : Η απαίτηση περί εσωτερικής ισοστατικότητας ενός δικτυώματος που κατ επέκταση είναι και απαίτηση περί στερεότητας του δικτυώματος είναι αναγκαία για να είναι ένα δικτύωμα εσωτερικά ισοστατικό-στερεό αλλά μπορεί να μην είναι πάντα ικανή. Για παράδειγμα μπορούν να εξεταστούν τα δικτυώματα του επόμενου σχήματος. Και για τα δύο δικτυώματα ισχύει 2κ = ρ + ν, γιατί έχουν 6 κόμβους, 9 ράβδους και 3 αντιδράσεις στήριξης. Παρολ αυτά το πρώτο δικτύωμα είναι ισοστατικό ενώ το δεύτερο μηχανισμός με πεπερασμένη κινητικότητα (δεν είναι στερεό), καθώς υποκείμενο σε δύναμη F, στον κόμβο ε, εμφανίζει πεπερασμένες μετατοπίσεις, μη αποδεκτές.

7 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Για τη σχεδίαση του διαγράμματος ελευθέρου σώματος, το δικτύωμα «ελευθερώνεται» από όλες τις στηρίξεις του, και σε κάθε στήριξη, ανάλογα με το είδος της (άρθρωση ή κύλιση), σημειώνονται με αυθαίρετη διεύθυνση οι αντιδράσεις στήριξης. Η διεύθυνση των αντιδράσεων στήριξης θα επαληθευθεί μετά την εφαρμογή των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας. Εάν μια αντίδραση προκύψει θετική, παραμένει με την επιλεγμένη διεύθυνση, ενώ στην περίπτωση που προκύψει αρνητική, το διάγραμμα ελευθέρου σώματος επανασχεδιάζεται με την αντίδραση να έχει το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη διεύθυνση. Το ισοστατικό (εσωτερικά) δικτύωμα του παραπάνω σχήματος (5 κόμβοι, 7 ράβδοι, 3 αντιδράσεις στήριξης) στηρίζεται στη θέση Α με άρθρωση και στη θέση Β με κύλιση. Για τη σχεδίαση του διαγράμματος ελευθέρου σώματος του δικτυώματος ακολουθείται ακριβώς η ίδια διαδικασία με τους ολόσωμους φορείς. Το διάγραμμα ελευθέρου σώματος παρουσιάζεται στο επόμενο σχήμα.

8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΕΩΝ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης ενός δικτυώματος, είναι απαραίτητη η σχεδίαση του διαγράμματος ελευθέρου σώματος του φορέα. Στο διάγραμμα ελευθέρου σώματος, εμφανίζονται οι αντιδράσεις στις στηρίξεις του φορέα, οι ασκούμενες δυνάμεις αναλύονται σε συνιστώσες ως προς το εκλεγμένο σύστημα αξόνων x, y. Εφαρμόζονται οι στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας και από το σύστημα των εξισώσεων υπολογίζονται οι άγνωστες αντιδράσεις. Εν συνεχεία επανασχεδιάζεται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του φορέα με τις γνωστές αντιδράσεις στήριξης με τις σωστές διευθύνσεις και φορές τους. Για παράδειγμα της προηγούμενης σελίδας θα είχαμε για τον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης. Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y ΣF = 0 - Η + 15 = 0 Η = 15kN X Α Α ΣF = 0 V V = 0 V + V = 20 Y A Δ A Δ ΣΜ ,5 15 2, ,5 11, 25 A = x + x - VΔx = VΔ = VΔ = kn

9 και κατά συνέπεια προκύπτει V = 8,75kN A ΕΠΙΛΥΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟ ΟΣ ΚΟΜΒΩΝ Μετά από τον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης, μπορεί κανείς να προβεί στην επίλυση του δικτυώματος, διαδικασία που αφορά στον υπολογισμό των εσωτερικών δυνάμεων που αναπτύσσονται στο δικτύωμα, που δεν είναι άλλες από τις αξονικές δυνάμεις των ράβδων του. Σύμβαση Θετικής Αξονικής ύναμης : Θεωρείται από εδώ και στο εξής ότι μια θετική αξονική δύναμη (τάση) ράβδου, θα εφελκύει την ράβδο (και κατ επέκταση έλκει τους δύο κόμβους στους οποίους καταλήγει η ράβδος. Αντιθέτως μια αρνητική αξονική δύναμη (τάση) ράβδου, θα θλίβει την ράβδο (και κατ επέκταση απωθεί τους δύο κόμβους στους οποίους καταλήγει η ράβδος.

10 Η μέθοδος των κόμβων βασίζεται στη θεώρηση ότι για κάθε κόμβο (κ) δικτυώματος στον οποίο καταλήγει ένα πλήθος ράβδων, μπορούν να εφαρμοστούν δύο εξισώσεις ισορροπίας προς οποιεσδήποτε μη παράλληλες, αυθαίρετα εκλεγμένες διευθύνσεις (συνήθως εκλέγονται ο κατακόρυφος και ο οριζόντιος άξονας). Συνολικά προκύπτουν 2κ ανεξάρτητες εξισώσεις ισορροπίας. Είναι προφανές ότι η εξίσωση ροπών ως προς κόμβο που αφορά τις δυνάμεις που καταλήγουν σε αυτόν είναι ταυτότητα (διότι όλες αυτές οι δυνάμεις έχουν μηδενικό μοχλοβραχίονα). Με δεδομένο ότι τόσο η εξωτερική φόρτιση (δυνάμεις οποιασδήποτε διεύθυνσης ασκούμενες στους κόμβους) όσο και οι αντιδράσεις στήριξης είναι γνωστές, τότε είναι δυνατό θεωρώντας ισορροπία δυνάμεων που καταλήγουν σε ένα κόμβο (πάντα ξεκινώντας από κόμβους στους οποίους καταλήγουν 2 ράβδοι, για να έχουμε το πολύ δύο αγνώστους στις εξισώσεις μας) μπορεί να υπολογιστούν οι δυνάμεις των ράβδων. Εν συνεχεία με γνωστές κάποιες δυνάμεις ράβδων, επιλέγονται νέοι κόμβοι και σταδιακά υπολογίζονται όλες οι δυνάμεις ράβδων. Όσον αφορά στις δυνάμεις των ράβδων αρχικώς όλες λαμβάνονται εφελκυστικές (δηλαδή θετικές) και όταν κατά την επίλυση κάποιες προκύψουν αρνητικές τότε συνάγεται το συμπέρασμα ότι η συγκεκριμένη δύναμη είναι θλιπτική.

11 Στη συνέχεια παρουσιάζεται σε ένα απλό παράδειγμα η επίλυση ενός δικτυώματος με τη μέθοδο των κόμβων. ίνεται το δικτύωμα ABC, για το οποίο ισχύει α = 2m, P 1 = 10kN και ζητείται να επιλυθεί (εύρεση αντιδράσεων στήριξης και τάσεων ράβδων). Σχεδιάζεται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος του δικτυώματος.

12 Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X ΣF = 0 A = 0 X Y x ΣF = 0 A + B - 10= 0 A + B = 10 Y y y y y ΣΜ = 0 10x2- Bx4= 0 4B = 20 B = 5kN A y y y και κατά συνέπεια προκύπτει A = 5kN. y Εν συνεχεία θεωρούμε την ισορροπία του κόμβου Α στον οποίο καταλήγουν οι ράβδοι AC και AB, θεωρώντας τις τάσεις τους εφελκυστικές (άρα απομακρυνόμενες από τον κόμβο). Από επισκόπηση του τριγώνου, φαίνεται ότι τα τρίγωνα ADC, BDC είναι ορθογώνια και ισοσκελή, άρα οι γωνίες Α, Β, C 1, C 2 είναι 45 ο. Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις ισορροπίας του κόμβου θα έχουμε : o ΣF = 0 S + S cos(45 ) = 0 X AD AC o 2 ΣFY = 0 5+ SACsin(45 ) = 0 SAC =-5 SAC =- 5 2kN (θλιπτική). 2 Κατά συνέπεια προκύπτει συνδυάζοντας τις δύο εξισώσεις : S =-S cos(45 o ) S =-- ( 5 2) S = 5 2kN (εφελκυστική). AD AC AD AD

13 Εν συνεχεία θεωρούμε την ισορροπία του κόμβου D στον οποίο καταλήγουν οι ράβδοι AD, DB και DC, θεωρώντας τις τάσεις τους εφελκυστικές (άρα απομακρυνόμενες από τον κόμβο). Για την τάση της ράβδου AD γνωρίζαμε ήδη από την προηγούμενη επίλυση για το αν είναι εφελκυστική ή θλιπτική. Αν είχε προκύψει αρνητικό πρόσημο κατά την επίλυση θα είχαμε πλέον δύο επιλογές. Είτε θα την σχεδιάζαμε και πάλι εφελκυστική αλλά στις εξισώσεις ισορροπίας θα εμφανιζόταν με αρνητικό πρόσημο, είτε θα την σχεδιάζαμε θλιπτική με αντίθετη φορά δηλαδή και θα εμφανιζόταν στις εξισώσεις με θετικό πρόσημο. Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις ισορροπίας του κόμβου θα έχουμε : ΣF = 0 - S + S = 0 S = S = 5 2kN (εφελκυστική). X AD DB DB AD ΣF = 0 S = 0(άτονη ράβδος, δεν φέρει αξονική φορτίο). Η παρατήρηση για τη Y DC ράβδο DC, θα μπορούσε να είχε γίνει εξαρχής, καθώς στον κόμβο αυτό η δύναμη DC ήταν η μοναδική στον κατακόρυφο άξονα. Είναι χρήσιμο να γίνονται τέτοιες παρατηρήσεις κατά την επισκόπηση του φορέα, καθώς μπορούν να μειώσουν αισθητά τον υπολογιστικό φόρτο. Εν συνεχεία θεωρούμε την ισορροπία του κόμβου στον οποίο καταλήγουν οι ράβδοι DB και BC, θεωρώντας τις τάσεις τους εφελκυστικές (άρα απομακρυνόμενες από τον κόμβο).

14 Εφαρμόζοντας την εξίσωση ισορροπίας του κόμβου κατά χ θα έχουμε : 2 2 ΣFX = 0 -SDB- SBC = 0 SBC =- SDB SBC =- 5 2kN (θλιπτική). 2 2 Η εφαρμογή της εξίσωσης ισορροπίας κατά y δεν θα συνέβαλλε στον υπολογισμό κάποιας τάσης ράβδου, απλά θα λειτουργούσε σαν επαλήθευση. Συνοψίζοντας οι τάσεις των ράβδων θα μπορούσαν να δοθούν σε συνοπτικό πίνακα όπως ο ακόλουθος. Να σημειωθεί ότι στον πίνακα οι τάσεις δίνονται με πρόσημο και με βάση τη γνωστή σύμβαση προσήμου εξάγεται το συμπέρασμα για το αν είναι εφελκυστικές ή θλιπτικές. Ράβδος AC AD CD CB BD Τάση (kn) ΕΠΙΛΥΣΗ ΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΜΩΝ RITTER Θεωρητικά σε ένα εσωτερικά ισοστατικό δικτύωμα, η εφαρμογή της μεθόδου των κόμβων μπορεί να δώσει πάντα λύση από μαθηματικής άποψης. Σε περιπτώσεις όμως κατά τις οποίες, είτε καταλήγουν περισσότερες από δύο άγνωστες ράβδοι σε όλους τους κόμβους του δικτυώματος (αδυναμία «έναρξης» της μεθόδου των κόμβων) είτε ζητείται η τάση μιας ενδιάμεσης ράβδου (μεγάλος απαιτούμενος υπολογιστικός φόρτος προκειμένου να επιλυθεί το τμήμα του δικτυώματος που απαιτείται έτσι ώστε να καταλήξει κανείς στον κόμβο στον οποίο συντρέχει η ζητούμενη ράβδος), η επίλυση με τη μέθοδο των κόμβων καθίσταται ιδιαίτερα δυσχερής. Η εναλλακτική μέθοδος που μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι η μέθοδος των τομών Ritter. Σύμφωνα με τη μέθοδο, και αφού βέβαια έχουν υπολογιστεί οι αντιδράσεις στήριξης του φορέα, με την εφαρμογή κατάλληλων τομών σε χαρακτηριστικές θέσεις του φορέα δημιουργούνται δύο αποκοπτόμενα τμήματα του φορέα, με κάθε ράβδο που κόβεται να αντικαθιστάται από την αντίστοιχη αξονική της δύναμη (άγνωστη κατ αρχήν). Με εφαρμογή των εξισώσεων στερεοστατικής ισορροπίας σε ένα από τα δύο

15 τμήματα του δικτυώματος μπορούν να υπολογιστούν άμεσα οι τάσεις των ράβδων. Στη συνέχεια με ορισμένες τάσεις ράβδων γνωστές, η επίλυση μπορεί να συνεχιστεί με τη μέθοδο των κόμβων ή και με τη μέθοδο των τομών Ritter (εφαρμόζοντας βέβαια άλλες τομές). Ως προς την επιλογή της κατάλληλης τομής, θα πρέπει να τονιστούν τα ακόλουθα: α) Η τομή θα πρέπει να χωρίζει το δικτύωμα σε δύο τμήματα, ανεξάρτητα μεταξύ τους, κόβοντας τον ελάχιστο αριθμό ράβδων (κατά προτίμηση μέγιστο πλήθος 3 ράβδων). β) Εφόσον η στερεότητα του δικτυώματος προκύπτει από την εφαρμογή του κριτηρίου των δύο δίσκων συνδεδεμένων με τρεις (μη συντρέχουσες) δεσμικές ράβδους, τότε συνιστάται η τομή να περιέχει αυτές τις τρεις ράβδους. γ) εν έχει ιδιαίτερο νόημα η τομή τριών, παράλληλων μεταξύ τους, ράβδων. Για τον άμεσο υπολογισμό των τάσεων των ράβδων μετά την εφαρμογή της τομής, μπορεί να λαμβάνεται ισορροπία ροπών ως προς το σημείο τομής δύο εκ των «κομμένων» ράβδων. Όπως γίνεται αντιληπτό, με δεδομένη την εξωτερική φόρτιση, με τις αντιδράσεις στήριξης γνωστές και εφόσον η εφαρμοσθείσα τομή περιλαμβάνει τρεις ράβδους, η ισορροπία ροπών θα είναι μια εξίσωση με άγνωστο μόνο την τάση της μιας ράβδου (οι άλλες δύο έχουν μηδενικό μοχλοβραχίονα), οπότε θα μπορεί να υπολογιστεί εύκολα. Στη συνέχεια ακολουθεί ενδεικτικό παράδειγμα της μεθόδου, κατά το οποίο ζητείται να γίνει επίλυση του φορέα δικτυώματος με τη μέθοδο τομών Ritter.

16 Στο φορέα του σχήματος, ο οποίος είναι στερεός (δύο δίσκοι, τα τρίγωνα AFB και CDE συνδέονται με τρεις δεσμικές ράβδους τις AF, FE και BC, των οποίων οι φορείς δεν συντρέχουν στο ίδιο σημείο) και ισοστατικός εσωτερικά (6 κόμβοι, 9 ράβδοι και 3 αντιδράσεις στήριξης) και εξωτερικά (3 αντιδράσεις στήριξης και 3 στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας), ζητείται η εύρεση των τάσεων των ράβδων. Εκλέγουμε θετικές διευθύνσεις για τους άξονες x (οριζόντιος) και y (κατακόρυφος). F ( + ), F ( + ) και θετική φορά για τη ροπή M ( + ) ωρολογιακά. X Y ίνεται P = 3kN και α = 6m, και υπολογίζονται οι γωνίες φ = 56.3 ο και θ = 36.9 ο συναρτήσει της γεωμετρίας του προβλήματος.

17 Καταρχήν υπολογίζονται οι αντιδράσεις στήριξης. Επειδή δεν υπάρχει οριζόντια φόρτιση, συνάγεται το συμπέρασμα ότι η οριζόντια αντίδραση στην άρθρωση Α είναι μηδενική. ΣF = 0 A + B - 3= 0 A + B = 3 Y y y y y ΣΜ = 0 3x4- Bx6= 0 6B = 12 B = 2kN A y y y και κατά συνέπεια προκύπτει A = 1kN. y Επίλυση με τη μέθοδο των κόμβων δεν μπορεί να γίνει καθώς σε κάθε κόμβο συντρέχουν 3 ράβδοι με άγνωστες αντιδράσεις. Συνεπώς θεωρείται τομή Ritter η οποία τέμνει τις ράβδους AD, FE και BC, όπως σημειώνεται στο επόμενο σχήμα. Η τομή «απελευθερώνει» τις δυνάμεις των τεμνόμενων ράβδων. Κατά συνέπεια μπορεί να ληφθεί ισορροπία ενός εκ των δύο τμημάτων προκειμένου να υπολογιστούν ορισμένες εκ των τάσεων από τις ράβδους. Πιο συγκεκριμένα και λαμβάνοντας το τμήμα του φορέα που βρίσκεται κάτω από την τομή θα έχουμε τα ακόλουθα.

18 Ισορροπία ροπών ως προς σημείο Κ (σημείο τομής ράβδων AD, FE) ΣΜ = 0-2x6- S x6= 0 S =- 2kN (θλιπτική). Κ BC BC Ισορροπία ροπών ως προς σημείο Λ (σημείο τομής ράβδων BC, FE) ΣΜ = 0-1x6- S x6= 0 S =- 1kN (θλιπτική). Λ AD AD Πλέον με τις τάσεις των ράβδων AD, BC γνωστές, η επίλυση μπορεί να συνεχιστεί με τη μέθοδο των κόμβων, ξεκινώντας με τους κόμβους Α (υπολογισμός των τάσεων των ράβδων AF, AB), Β (υπολογισμός της τάσης της ράβδου BF) και στη συνέχεια με τους κόμβους F, E και D ή C, για να ολοκληρωθεί η επίλυση.