ΠPOΛOΓOΣ Δυναμικ ς Yλικ ν Σωμ των Mηχανικ ς Στατικ ς Kλασικ ς Δυναμικ ς σ στημα αναφορ ς

Transcript

1

2 v ΠPOΛOΓOΣ Tο βιβλίο αυτ κ ριο σκοπ έχει να παρουσιάσει τις βασικές αρχές της Δυναμικής Yλικών Σωμάτων, καθώς και την επίδειξη της εφαρμογής τους στη συστηματική επίλυση πρακτικών προβλημάτων. H Δυναμική είναι ο κλάδος της Mηχανικής που εξετάζει τη σχέση ανάμεσα στην κίνηση υλικών σωμάτων (δηλαδή μεταφορά, περιστροφή, παραμ ρφωση) και στις δυνάμεις οι οποίες προκαλο ν την κίνηση ή αναπτ σσονται στη διάρκεια της κίνησης. H εφαρμογή των αρχών της Δυναμικής είναι απαραίτητη σε συστήματα που έχουν μέλη τα οποία κινο νται με σχετικά μεγάλες επιταχ νσεις, οπ τε οι υπολογισμοί που βασίζονται στις αρχές της Στατικής γίνονται ανακριβείς. H επιστήμη της Δυναμικής υλικών σωμάτων βασίζεται σ ένα μικρ αριθμ βασικών αρχών, αλλά είναι χρήσιμη σ ένα ευρ τατο πεδίο εφαρμογών. Oι πρώτες μελέτες της Δυναμικής έγιναν απ τον Aριστοτέλη, αλλά οι σωστές επιστημονικές βάσεις της τέθηκαν πολ αργ τερα απ το Γαλιλαίο και το Nε τωνα και συμπληρώθηκαν απ πρωτοπ ρους του πνε ματος πως οι Euler, Lagrange, Hamilton, Laplace, Poincare και Einstein. Στις περισσ τερες πρακτικές εφαρμογές οι παρατηρο μενες ταχ τητες είναι πολ μικρές ως προς την ταχ τητα του φωτ ς, η οποία έχει τιμή km/s. Eπίσης, οι διαστάσεις των εξεταζ μενων σωμάτων είναι πολ μεγαλ τερες απ τις ατομικές ή τις πυρηνικές διαστάσεις και πολ μικρ τερες απ τις διαστάσεις των συστημάτων που εξετάζονται απ αστρον μους και κοσμολ γους. Kατά συνέπεια, οι προβλέψεις της λεγ μενης Kλασικής Δυναμικής η οποία βασίζεται στους ν μους κίνησης που διατυπώθηκαν απ το Nε τωνα είναι αρκετά ακριβείς για τη μεγάλη πλειοψηφία των τεχνολογικών εφαρμογών. Για το λ γο αυτ, η παρουσίαση του υλικο του βιβλίου αυτο θα βασισθεί αποκλειστικά στα αξιώματα και στις αρχές της Kλασικής Δυναμικής. Kαταρχήν, ως κίνηση υλικο σώματος ορίζεται η μεταβολή της θέσης των μερών του σχετικά με άλλα σώματα. Eπομένως, για την περιγραφή και τη μέτρηση της κίνησης χρειάζεται κάποιο σ στημα αναφοράς. πως απέδειξε ο Γαλιλαίος, υπάρχουν προτιμητέα συστήματα αναφοράς, στα οποία η επιτάχυνση έχει την απλο στερη

3 vi μορφή, γιατί δεν εμφανίζονται σε αυτά οι κινηματικές συνιστώσες της ( πως η επιτάχυνση Coriolis και η φυγ κεντρος επιτάχυνση). Aυτά τα συστήματα αναφοράς ονομάζονται αδρανειακά. Eπιπλέον, η παρξη εν ς τέτοιου συστήματος συνεπάγεται την παρξη μιας απειρίας παρ μοιων συστημάτων, τα οποία μεταφέρονται με σταθερή ταχ τητα ως προς το αρχικ σ στημα αναφοράς. Έτσι, κατά το Nε τωνα, το πιο προνομιακ αδρανειακ σ στημα αναφοράς είναι αυτ που είναι στερεωμένο στο «κέντρο του Σ μπαντος». Oι αρχές της Δυναμικής μπορεί να εκφρασθο ν με τρία θεμελιώδη φυσικά μεγέθη, δηλαδή το μήκος, το χρ νο και τη μάζα. Σ μφωνα με την Kλασική Δυναμική, η μάζα εν ς σώματος παραμένει σταθερή και ανεξάρτητη απ την κίνησή της και το χρ νο. Eπίσης, ο χώρος είναι απ λυτος και μπορεί να περιγραφεί με στοιχεία της Eυκλείδειας Γεωμετρίας. Eπομένως, θεωρείται τι είναι ομογενής και ισ τροπος, δηλαδή έχει τις ίδιες μετρικές ιδι τητες σε κάθε σημείο και διε θυνση. Eπιπλέον, ο χρ νος είναι απ λυτος (δηλαδή ο ίδιος για παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς και ανεξάρτητος απ την κίνηση και τα φυσικά αντικείμενα) και ομογενής (δηλαδή ανεξάρτητος απ το χώρο). Παραδοσιακά, η Δυναμική χωρίζεται σε δ ο μεγάλες περιοχές: την Kινηματική και την Kινητική. H πρώτη εξετάζει τη γεωμετρία της κίνησης. Δηλαδή συνδέει τις έννοιες της θέσης, της ταχ τητας, της επιτάχυνσης και του χρ νου χωρίς αναφορά στη φυσική αιτία της κίνησης. Aπ την άλλη μεριά η Kινητική εξετάζει τη σχέση ανάμεσα στις δυνάμεις, τη μάζα και την κίνηση των σωμάτων. Δηλαδή προβλέπει την κίνηση αν είναι γνωστές οι δυνάμεις ή καθορίζει τις δυνάμεις που απαιτο νται για την επίτευξη συγκεκριμένης κίνησης. Aν η κίνηση εν ς σώματος είναι τέτοια, ώστε να μπορεί να αγνοηθεί η περιστροφή (αλλαγή προσανατολισμο ) του, τ τε το σώμα ονομάζεται υλικ σημείο. ταν η περιστροφή εν ς σώματος είναι σημαντική, αλλά η αλλαγή στην απ σταση μεταξ δ ο τυχαίων σημείων του είναι αμελητέα, τ τε το σώμα ονομάζεται απαραμ ρφωτο στερε ή απλά στερε σώμα. Tέλος, ταν οι παραμορφώσεις του σώματος είναι σημαντικές, τ τε το σώμα ονομάζεται παραμορφώσιμο σώμα. Eίναι προφανές τι το ίδιο σώμα μπορεί να θεωρηθεί ως υλικ σημείο, στερε ή παραμορφώσιμο σώμα ανάλογα με το σκοπ της μελέτης (π.χ. πλανήτες, αεροπλάνα, αυτοκίνητα). Tο αντικείμενο του παρ ντος μαθήματος είναι η ανάλυση της κίνησης δυναμικών συστημάτων, τα οποία αποτελο νται απ υλικά σημεία και απ στερεά σώματα. Tα μαθηματικά μοντέλα που προκ -

4 πτουν για τα συστήματα αυτά αποτελο νται απ κανονικές διαφορικές εξισώσεις με ανεξάρτητη μεταβλητή το χρ νο. Aπ την άλλη μεριά, η κίνηση παραμορφώσιμων στερεών σωμάτων ή ρευστών σωμάτων (δηλαδή σωμάτων που δεν μπορο ν να παραλάβουν διατμητική τάση ταν βρίσκονται σε κατάσταση στατικής ισορροπίας και δεν έχουν προτιμητέα μορφή) περιγράφεται απ μερικές διαφορικές εξισώσεις με ανεξάρτητες μεταβλητές το χρ νο καθώς και χωρικές συντεταγμένες. H περιγραφή και ανάλυση της κίνησης παραμορφώσιμων σωμάτων αποτελεί αντικείμενο άλλων μαθημάτων (π.χ. Eλαστοδυναμική, Mηχανική Pευστών). Tο σ νολο των αρχών κίνησης που προκ πτουν με απευθείας εφαρμογή των ν μων του Nε τωνα αποτελεί τη Nευτώνεια ή Διανυσματική Δυναμική. Mια εναλλακτική μέθοδος για τη θεμελίωση και την παραγωγή των εξισώσεων κίνησης παρουσιάζεται απ την ονομαζ μενη Aναλυτική Δυναμική, που αναπτ χθηκε κυρίως απ τον Lagrange και τον Hamilton. H μέθοδος αυτή απαιτεί την εισαγωγή πιο αφηρημένων εννοιών πως οι γενικευμένες συντεταγμένες, δυνάμεις και ορμές καθώς και οι δυνατές μετατοπίσεις αλλά παρουσιάζει ορισμένα σημαντικά πλεονεκτήματα ως προς τις μεθ δους της Nευτώνειας Δυναμικής. Σε λη την έκταση του παρ ντος βιβλίου δίνεται καταρχήν έμφαση στη διάκριση ορισμών και εννοιών που αναφέρονται στην Kινηματική και στην Kινητική. Eπιπλέον, γίνεται διαχωρισμ ς μεταξ των διαφορετικών μεθοδολογιών της Kινητικής. Aπ την άλλη μεριά, τονίζεται η αλληλοσ νδεση που υπάρχει μεταξ των διαφ ρων περιοχών και αρχών της Δυναμικής. Στα πρώτα δ ο κεφάλαια του βιβλίου παρουσιάζεται η Kινηματική και η Kινητική Yλικών Σημείων. Oι ορισμοί και οι αρχές της Kινητικής αναπτ σσονται αρχικά για μεμονωμένα υλικά σημεία και γενικε ονται στη συνέχεια για συστήματα υλικών σημείων. Tο τρίτο και το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρονται στην Kινηματική και την Kινητική Στερεών Σωμάτων και αποτελο ν φυσική συνέχεια του πρώτου και του δε τερου κεφαλαίου, αντίστοιχα. Tέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται παρουσίαση των βασικών αρχών της Aναλυτικής Δυναμικής. Για την καταν ηση της θεωρίας της Δυναμικής και την παραγωγή σωστών μαθηματικών μοντέλων είναι απαραίτητη η γνώση βασικών στοιχείων του Διανυσματικο, του Διαφορικο και του Oλοκληρωτικο Λογισμο, καθώς και των εννοιών, αρχών και μεθοδολογιών της Στατικής. Eπίσης, το υλικ που παρουσιάζεται στα παραρτήματα A και B και αναφέρεται στον ορισμ και τις ιδι τητες του Tανυστή Aδράνειας και στην παρουσίαση στοιχείων του Λογισμο των vii

5 viii Mεταβολών, αντίστοιχα, είναι απαραίτητο συμπλήρωμα του τετάρτου και του πέμπτου κεφαλαίου, αντίστοιχα. Eπιπλέον, για την επίλυση των εξισώσεων που προκ πτουν απ την εφαρμογή των αρχών της Δυναμικής είναι χρήσιμη η γνώση μεθ δων επίλυσης αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων με αναλυτικ ή με αριθμητικ τρ πο. Σε κάθε ξεχωριστή εν τητα, η παρουσίαση της θεωρίας συνοδε εται απ έναν αριθμ παρατηρήσεων, που έχουν σκοπ τη συμπλήρωση ή τη διαλε κανση ορισμένων σημείων της θεωρίας. Στη συνέχεια γίνεται η συστηματική επίλυση αντιπροσωπευτικών παραδειγμάτων, με σκοπ την περαιτέρω εμβάθυνση και καταν ηση της θεωρίας. Παράλληλα με την ανάπτυξη των μαθηματικών μοντέλων που προκ πτουν και τη διαδικασία επίλυσής τους, δίνεται έμφαση στη σωστή ερμηνεία και τη σημασία των αποτελεσμάτων κάθε παραδείγματος. Tέλος, για να δοθεί η ευκαιρία στον αναγνώστη να ελέγξει σε ποιο βαθμ κατέχει τη θεωρία καθώς και να διαπιστώσει τη χρησιμ τητα της Δυναμικής στην επίλυση μερικών απλών πρακτικών εφαρμογών, παρουσιάζεται στο τέλος κάθε κεφαλαίου ένας αριθμ ς άλυτων προβλημάτων. Στο σημείο αυτ θα ήθελα να ευχαριστήσω τις Eκδ σεις Zήτη για τις προσπάθειες που κατέβαλαν για την καλ τερη δυνατή εμφάνιση του βιβλίου αυτο. Θεσσαλονίκη, Mάρτιος 1994 Σωτήρης Nατσιάβας

6 489 EYPETHPIO OPΩN ÁÓÔ ÛÈÌÂ Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó 403, 412 Ú ÓÂÈ Î Ó ÌË 41, 313 Ú ÓÂÈ Îfi Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ 40, 312 ÎÙ Ó Ú ÓÂÈ 440 Ó ÏÏÔ ˆÙ 455, 467 AÓ Ï ÙÈÎ Ó ÌÈÎ 377 Ó apple ËÛË 35 Ó appleù ÍË Î ÎÏÒÓ 375 Ó ÛÙÚÔÊË ÌÂÙ appleùˆûë 346 ÓÔÏfiÓÔÌÔÈ ÂÛÌÔ 381, 392 ÍÔÓ Û ÌÌÂÙÚ 236 appleâèúôûù appleâúèûùúôê 167 applefiáâèô 125 applefiï ÙË ÂappleÈÙ ÓÛË 193, 234 applefiï ÙË Î ÓËÛË 25, 26 applefiï ÙË Ù ÙËÙ 192, 264 appleˆûùèî Ó ÌÂÈ 91 Ú È Ù ÚËÛË ÙË ÌË ÓÈÎ ÂÓ ÚÁÂÈ 68, 285, 405 Ú È Ù ÚËÛË ÙË ÔÚÌ 53, 263, 403 Ú È Ù ÚËÛË ÙË ÛÙÚÔÊÔÚÌ 55, 263, 403 Ú ÙÔ D Alembert 41 Ú ÙÔ Hamilton 420 Ú ÙˆÓ Ó ÙÒÓ ÚÁˆÓ 382 Ú ÈÎ Û Óı Π430 Ú ÈÎ Ù ÙËÙ 276 ÛÙÚfi ÈÏ appleâ 70 ıìô ÂÏ ıâú 380 ıìô ÂÏ ıâú ÁÈ appleâèúôûù Î ÓËÛË 381 ıìô ÂÏ ıâú ÁÈ appleâappleâú ÛÌ ÓË Î ÓË- ÛË 381 ıìfi applefi ÔÛË 70 Ì ÂÏ ÎˆÛË 19 ÁÂÈÙÔÓÈÎ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ 475 ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓÂ Ó ÌÂÈ 387 ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓÂ Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó 378 ÁÂÓÈÎÂ Ì Ó ٠ÙËÙ 380 ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓË Ú ÙÔ D Alembert 383 ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓË ÔÚÌ 403 Áˆ ÈÙÈÎ 482 ÁˆÌÂÙÚÈÎ ÔÚÈ Î Û Óı ÎË 430 ÁÂˆÛ Á ÚÔÓË ÙÚÔ È 126 ÁÚ ÌÌ ÎfiÌ ˆÓ 200 ÁÚ ÌÌ ÎÚÔ ÛË 83 ÁÚ ÌÌÈÎ ÒÛË 52 ÁÚ ÌÌÈÎfi ÂÏ Ù ÚÈÔ 78 ÁÚ ÁÔÚË Û ÛÙÚÔÊ 341 Á ÚÔÛÎÔappleÈÎ ÎÈÓ ÛÂÈ 339 Á ÚÔÛÎÔappleÈÎfi fiúô 176, 394 ÁˆÓÈ Î ÂappleÈÙ ÓÛË 138, 146, 171 ÁˆÓÈ Î Ù ÙËÙ 138, 145, 171 ÁˆÓ  Euler 200 ÂÛÌÔ Î ÓËÛË 378  ÙÂÚÔ ÓfiÌÔ ÙÔ Euler 44  ÙÂÚÔ ÓfiÌÔ ÙÔ Kepler 95 È ÁÚ ÌÌ ÂappleÈÙ ÓÛÂˆÓ 149, 158 È ÁÚ ÌÌ Ù Ù ÙˆÓ 149, 157 È ÁˆÓÈÔappleÔ ËÛË apple Ó Î 458 È Ó ÛÌ ÙÈÎ Ó ÌÈÎ 377 È Ó ÛÌ ı ÛË 1 È ı ÓÔ Û 124 ÈÎ ıâùô È Ó ÛÌ 22 ÛÎÔ 444 ÛÎÔ Ó ÊÔÚ 137 Ú ÛË 415 Ó ÌË Coriolis 313 Ó ÌÈÎ ÂÓ ÚÁÂÈ 67 Ó ÌÈÎ ÁÔÛÙ ıìèûë 332 Ó Ù ÌÂÙ ÙÔapple ÛÂÈ 382 Ó Ùfi ÚÁÔ 382 ÂÁÁ Ù ÙÔ Âapple appleâ Ô 20 ÂÈ ÈÎ Ú ÙË Û ÂÙÈÎfiÙËÙ 118 ÎÎÂÓÙÚË ÎÚÔ ÛË 83, 266 ÂÎÎÂÓÙÚfiÙËÙ 125 ÂÏ ÛÙÈÎ ÎÚÔ ÛË 86 ÂÏÎÙÈÎ Ó ÌÂÈ 91 ÂÏÏÂÈappleÙÈÎ ÙÚÔ È 94 ÂÏÏÂÈ ÔÂÈ Ú ÓÂÈ 459, 468

7 490 ÂÌ ÈÎ Ù ÙËÙ 92 ÂÓÂÚÁ Ó ÌÂÈ 44 ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌÔ 387 ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Euler 232 ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Hamilton 413 ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Lagrange 389 ÂÍ ÛˆÛË ÙÔ Euler 478, 486 Â͈ÙÂÚÈÎ Ó ÌÂÈ 285 Âapple appleâ ÁÔÛÙ ıìèûë 332 Âapple appleâ Ë Î ÓËÛË 5, 14, 203, 233, 264, 286 Âapple appleâ Ô Û ÌÌÂÙÚ 321 Âapple appleâ Ô ÛÎÔ 466 ÂappleÈÛÎ appleùèî ÙÚÔ È 11 ÂappleÈÙ ÓÛË 2 ÂappleÈÙ ÓÛË Coriolis 193 ÂappleÈÙÚfi È ÂappleÈÙ ÓÛË 22, 148 ÚÁÔ 39, 65 ÂÛÙ 124  ıâ ÎÚÔ ÛË 84  ıâ ÌÂÙ appleùˆûë 346  ı ÔÏË ÙÚÔ È 11  ı ÁÚ ÌÌË Î ÓËÛË 5 ÂÊ appleùfiìâóô È Ó ÛÌ 20 ÂÊ ÚÌÔÛÌ ÓË Ó ÌË 382  ÁÔ Ó ÌÂˆÓ 225 ÁÔÛÙ ıìèûì ÓÔ ÛÒÌ 329 ıâòúëì apple Ú ÏÏ ÏˆÓ ÍfiÓˆÓ 447 ıâòúëì ÙÔ Chasle 185 ıâòúëì ÙÔ Euler 168, 213 ıâòúëì ÙÔ Euler ÁÈ ÔÌÔÁÂÓÂ Û Ó ÚÙ - ÛÂÈ 436 ıâòúëì ÙÔ Steiner 447 È ÈfiÙËÙ appleúfiûıâûë 175 ÈÍÒ ÂÈ Ó ÌÂÈ 391 ÈÛÔ Ó Ì Û ÛÙ Ì Ù Ó ÌÂˆÓ 44 ÈÛfiÙÈÌ Û ÛÙ Ì Ù Ó ÌÂˆÓ 44 ÈÛ 70, 289 Î ıâùë ÎÚÔ ÛË 84 Î Ìapple ÏfiÙËÙ ÙË ÙÚÔ È 21 Î ÓÔÓÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Hamilton 415 Î ÓÔÓÈÎÔ ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌÔ 417 Î Ù ÓÂÌËÌ ÓÂ Ó ÌÂÈ 225 Î Ù ÛÙ ÛË ÌfiÓÈÌË ÌÂÙ appleùˆûë 338 ÎÂÓÙÚÈÎ Ó ÌË 90 ÎÂÓÙÚÈÎ ÎÚÔ ÛË 83 ÎÂÓÙÚÔ ÚÈÎfi Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ 232, 445 ÎÂÓÙÚÔÌfiÏÔ ÂappleÈÙ ÓÛË 22, 148, 173 Î ÓÙÚÔ Î Ìapple ÏfiÙËÙ 22 Î ÓÙÚÔ Ì 43, 226 Î ÓËÛË 1 ÎÈÓËÙ appleôïèî ÙÚÔ È 152, 155 ÎÈÓËÙÈÎ ÂÓ ÚÁÂÈ 66, 394 ÎÈÓËÙfi ÎÒÓÔ 172 ÎÏfiÓËÛË 200 ÎÚÔ ÛË 84 ÎÚÔ ÛÙÈÎ Ó ÌÂÈ 60, 83 ÎÚÔ ÛÙÈÎfi Î ÓÙÚÔ ÛÎÔ 321, 367 Î ÎÏÈÎ Î ÓËÛË 14 Î ÎÏÈÎ Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓË 403, 406 Î ÎÏÔÂÈ Î Ìapple ÏË 484 Î ÏÈÓ ÚÈÎ ÎÂÏ ÊË 445 Î ÚÈÂ Ì ÈÎ ÚÔapple Ú ÓÂÈ 458 Î ÚÈÔ Î ıâùô È Ó ÛÌ 21 Î ÚÈÔÈ ÍÔÓÂ Ú ÓÂÈ 232, 458 Î ÚÈÔÈ ÎÂÓÙÚÔ ÚÈÎÔ ÍÔÓÂ Ú Ó 288, 329 ΈÓÈÎ ÙÔÌ 94, 124 Ï ÎÚÔ ÛË 84 Ì ÈÎ ÁÈÓfiÌÂÓ Ú ÓÂÈ 440 Ì ÈÎ ÚÔapple Ú ÓÂÈ 438, 440 Ì ÛË ÂappleÈÙ ÓÛË 3 Ì ÛË Ù ÙËÙ 3 ÌÂÙ ÔÏ Û Ó ÚÙËÛË 476 ÌÂÙ appleùˆûë 200 ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÌfi ÙÔ Legendre 414 ÌÂÙ ÊÔÚÈÎ Î ÓËÛË 25, 181, 266, 287 ÌÂÙÔ ÈÎ ÂappleÈÙ ÓÛË 193 ÌÂÙÔ ÈÎ Î ÓËÛË 26 ÌÂÙÔ ÈÎ Ù ÙËÙ 192 ÌË Ó jet 131 ÌË ÓÈÎ ÂÓ ÚÁÂÈ 68 ÌÔÓÔÁÂÓ Û ÛÙ Ì Ù 391 ÌÔÓÔ È ÛÙ ÙË Î ÓËÛË 137 N ÙÒÓÂÈ Ó ÌÈÎ 377 ÓfiÌÔÈ ÙÔ NÂ ÙˆÓ 40 ÓfiÌÔ ÓÙ Ó ÎÏ ÛË 90 ÓfiÌÔ B Ú ÙËÙ 93 ÓfiÌÔ ÁÎfiÛÌÈ ŒÏÍË 93 ÓfiÌÔ ÙË Á ÚÔÛÎÔappleÈÎ ÌÂÙ appleùˆûë 340 fiáîô ÂÏ Á Ô 98 Ô ÔÁÚ ÊÔ ÙË Ù ÙËÙ 34 ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù Î ÓËÛË 402, 416 ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Jacobi 404 ÔÏfiÓÔÌÔ Û ÛÙËÌ 389, 403, 423 ÔÏfiÓÔÌÔÈ ÂÛÌÔ 379, 393 ÔÌÔÁÂÓ appleâ Ô Ó ÌÂˆÓ 123

8 491 ÔÚÈ Î Û Óı Π430 ÔÚÈ Î ÙÈÌ 107 ÔÚÌ 226 apple Ú ÔÏÈÎ ÙÚÔ È 94 apple Ú ÂÎÙ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ 475 appleâ Ô Ú ÙËÙ 93 appleâappleâú ÛÌ Ó appleâúèûùúôê 167 appleâappleâú ÛÌ Ó ÒÛÂÈ 276 appleâú ÁÂÈÔ 125 appleâú Ô Ô Âapple Ó ÊÔÚ 84 appleâú Ô Ô Û ÓıÏÈ Ë 84 appleï ÁÈ ÎÚÔ ÛË 84 appleï ÛÙÈÎ ÎÚÔ ÛË 86 appleúfi ÏËÌ Ô ÛˆÌ ÙˆÓ 93, 124 appleúòùô ÓfiÌÔ ÙÔ Euler 43 appleúòùô ÓfiÌÔ ÙÔ Kepler 95 Ú Ô 444 ÚÂfiÓÔÌÔ ÂÛÌfi 379 ÛÎÏËÚfiÓÔÌÔ ÂÛÌfi 379 ÛÙ ıâú Ú ÙËÙ 93 ÛÙ ıâú appleôïèî ÙÚÔ È 152, 155 ÛÙ ıâúfi ÎÒÓÔ 172 ÛÙ ÙÈÎ appleúô Ï Ì Ù 389 ÛÙ ÙÈÎ ı ÛË ÈÛÔÚÚÔapple 381, 399 ÛÙ ÙÈÎ ÒıËÛË 105 ÛÙÈ ÚfiÙËÙ 78 ÛÙÈÁÌÈ Ô Î ÓÙÚÔ appleâúèûùúôê 286 ÛÙÈÁÌÈ Ô ÍÔÓ appleâúèûùúôê 288 ÛÙÈÁÌÈ Ô applefiïô appleâúèûùúôê 151 ÛÙÚ Ë ˆÚÈÎ Î Ìapple ÏË 23 ÛÙÚÔÊÈÎ ÒÛË 54 ÛÙÚÔÊÈÎfi Ô ÔÁÚ ÊÔ 172 ÛÙÚÔÊÔÚÌ 53, 226 Û ÁÎÂÓÙÚˆÌ ÓÂ Ó ÌÂÈ 225 Û Á ÌÂÙ ÏËÙ 415 Û ÌÌÂÙÚÈÎfi ÛÒÌ 234 Û Ó ÚÙËÛË Ó ÌÈÎÔ 67 Û Ó ÚÙËÛË ÛÎ ÛË ÙÔ Rayleigh 391 Û Ó ÚÙËÛË ÙÔ Hamilton 414 Û Ó ÚÙËÛË ÙÔ Lagrange 390 Û Ó ÚÙËÛÈ Î 475 Û ÓËÌ ÙÔÓ Î Ù ı ÓÛË 165 Û ÓıÂÙ ÛÒÌ Ù 447 Û ÓÙÂÏÂÛÙ Âapple Ó ÊÔÚ 85 Û ÓÙËÚËÙÈÎ Ó ÌÂÈ 67 Û ÓÙËÚËÙÈÎfi Û ÛÙËÌ 390, 403, 404, 422 Û ÛÙËÌ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ 235, 266, 287 Û ÛÙËÌ ÏÈÎÒÓ ÛËÌ ˆÓ 39, 53, 55 Û ÛÙÚÔÊ 201 Û ÂÙÈÎ ÂappleÈÙ ÓÛË 193 Û ÂÙÈÎ Î ÓËÛË 25 Û ÂÙÈÎ ÛÙÚÔÊÔÚÌ 57 Û ÂÙÈÎ Ù ÙËÙ 192 Û ËÌ ÙÈÎfi ÒÚÔ 420 Ù Ó ÛÙ Ú ÓÂÈ 229, 439 Ù ÙËÙ 2 ÙÚ Â ÎÚÔ ÛË 84 ÙÚ Â ÚÔ Frenet 22 ÙÚ ÙÔ ÓfiÌÔ ÙÔ Kepler 95 ÙÚÔappleÔappleÔÈËÌ Ó ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Euler 236 Ù appleôè Serret-Frenet 22 ÚÔÛÙÚfi ÈÏÔ Pelton 130 appleâú ÔÏÈÎ ÙÚÔ È 94 appleôıâùèî Ó ÌÂÈ 313 Ê ÛÈÎ ÔÚÈ Î Û Óı ÎË 430 Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ ÂÍ ÛˆÛË 455 ÒÛË 52

9 493 ΠEPIEXOMENA ΠPOΛOΓOΣ...v 1 KINHMATIKH YΛIKOY ΣHMEIOY 1.1 EÈÛ ÁˆÁ È Ó ÛÌ ÛË, T ÙËÙ, EappleÈÙ ÓÛË OÚÈÛÌÔ K ÚÙÂÛÈ Ófi ÛÙËÌ AÓ ÊÔÚ K ÏÈÓ ÚÈÎfi ÛÙËÌ AÓ ÊÔÚ TÚÔ È Îfi ÛÙËÌ AÓ ÊÔÚ ÂÙÈÎ MÂÙ ÊÔÚÈÎ K ÓËÛË...25 ΠPOBΛHMATA KINHTIKH YΛIKΩN ΣHMEIΩN 2.1 EÈÛ ÁˆÁ NfiÌÔÈ ÙÔ NÂ ÙˆÓ Î È ÙÔ Euler NfiÌÔÈ ÙÔ NÂ ÙˆÓ ÁÈ YÏÈÎfi ËÌÂ Ô NfiÌÔÈ ÙÔ Euler ÁÈ ÛÙ Ì Ù YÏÈÎÒÓ ËÌ ˆÓ AÚ flûë Î È OÚÌ Ú ÌÌÈÎ OÚÌ Î È flûë ÙÚÔÊÔÚÌ Î È ÙÚÔÊÈÎ flûë AÚ ŒÚÁÔ Î È EÓ ÚÁÂÈ ŒÚÁÔ Î È EÓ ÚÁÂÈ YÏÈÎÔ ËÌÂ Ô ŒÚÁÔ Î È EÓ ÚÁÂÈ ÛÙ Ì ÙÔ YÏÈÎÒÓ ËÌ ˆÓ EÊ ÚÌÔÁ KÚÔ ÛË YÏÈÎÒÓ ËÌ ˆÓ KÂÓÙÚÈÎ Ó ÌÂÈ - È ÛÙËÌÔÌË ÓÈÎ MÂÙ ÏÏfiÌÂÓ ÛÙ Ì Ù YÏÈÎÒÓ ËÌ ˆÓ...98 ΠPOBΛHMATA KINHMATIKH ΣTEPEOY ΣΩMATOΣ 3.1 EÈÛ ÁˆÁ MÂÙ ÊÔÚÈÎ K ÓËÛË...134

10 ÂÚÈÛÙÚÔÊ Úˆ applefi Ù ıâúfi ÕÍÔÓ ÂÓÈÎ Eapple appleâ Ë K ÓËÛË OÚÈÛÌÔ YappleÔÏÔÁÈÛÌfi T Ù ÙˆÓ Î È EappleÈÙ ÓÛÂˆÓ ÙÈÁÌÈ Ô fiïô ÂÚÈÛÙÚÔÊ ÂÚÈÛÙÚÔÊ Úˆ applefi Ù ıâúfi ËÌÂ Ô ÂappleÂÚ ÛÌ ÓÂ Î È AappleÂÈÚÔÛÙ ÂÚÈÛÙÚÔÊ OÚÈÛÌfi ˆÓÈ Î T ÙËÙ Î È ˆÓÈ Î EappleÈÙ - ÓÛË ÙÂÚÂÔ ÒÌ ÙÔ YappleÔÏÔÁÈÛÌfi T ÙËÙ Î È EappleÈÙ ÓÛË ËÌ ˆÓ ÙÔ ÙÂÚÂÔ ÒÌ ÙÔ Ú ÁˆÁÔ È Ó ÛÌ ÙÔ ˆ appleúô ÂÚÈÛÙÚÂÊfiÌÂÓÔ ÛÙËÌ AÓ ÊÔÚ ÂÓÈÎ XˆÚÈÎ K ÓËÛË ÙÂÚÂÔ ÂÙÈÎ K ÓËÛË YÏÈÎÔ ËÌÂ Ô ˆÓ  Euler ΠPOBΛHMATA KINHTIKH ΣTEPEΩN ΣΩMATΩN 4.1 EÈÛ ÁˆÁ EÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Euler ÁÈ ÙÂÚ ÒÌ Ù OÚÈÛÌÔ ÙÚÔÊÔÚÌ Î È T Ó ÛÙ A Ú ÓÂÈ ÙÂÚÂÔ ÒÌ - ÙÔ EÍÈÛÒÛÂÈ K ÓËÛË ÙÂÚÂÔ ÒÌ ÙÔ AÚ flûë Î È OÚÌ AÚ ŒÚÁÔ Î È EÓ ÚÁÂÈ YappleÔıÂÙÈÎ Ó ÌÂÈ EÊ ÚÌÔÁ ŒÎÎÂÓÙÚË KÚÔ ÛË Z ÁÔÛÙ ıìèûë ÂÚÈÛÙÚÂÊfiÌÂÓˆÓ ÙÂÚÂÒÓ ˆÌ - ÙˆÓ ÂÚÈÛÙÚÔÊ AÍÔÓÔÛ ÌÌÂÙÚÈÎÒÓ ÙÂÚÂÒÓ ˆÌ ÙˆÓ ΠPOBΛHMATA ANAΛYTIKH ΔYNAMIKH 5.1 EÈÛ ÁˆÁ OÚÈÛÌÔ...378

11 AÚ ÙˆÓ Ó ÙÒÓ ŒÚÁˆÓ EÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Lagrange OÏÔÎÏËÚÒÌ Ù K ÓËÛË Î È AÚ È Ù ÚËÛË K ÓÔÓÈÎ EÍÈÛÒÛÂÈ ÙÔ Hamilton AÚ ÙÔ Hamilton ΠPOBΛHMATA Παράρτημα A: TANYΣTHΣ AΔPANEIAΣ A.1 OÚÈÛÌÔ A.2 ÂÒÚËÌ Ú ÏÏËÏˆÓ AÍfiÓˆÓ A.3 ÂÚÈÛÙÚÔÊ AÍfiÓˆÓ A.4 K ÚÔÈ ÕÍÔÓ A Ú ÓÂÈ ΠPOBΛHMATA Παράρτημα B: ΣTOIXEIA TOY ΛOΓIΣMOY TΩN METABOΛΩN B.1 EÈÛ ÁˆÁ B.2 EÍ ÛˆÛË ÙÔ Euler ΠPOBΛHMATA BIBΛIOΓPAΦIA EYPETHPIO OPΩN...489

12 1 1 KINHMATIKH YΛIKOY ΣHMEIOY 1.1 EIΣAΓΩΓH H KÈÓËÌ ÙÈÎ Â Ó È Ô ÎÏ Ô ÙË MË ÓÈÎ appleô ÂÍÂÙ ÂÈ Î È Ó Ï ÂÈ ÙË ÁˆÌÂÙÚ ÙË Î ÓËÛË ÂÓfi ÛÒÌ ÙÔ, ˆÚ Ó Ó Ê ÚÂÙ È ÛÙ ÙÈ appleô ÙËÓ appleúôî ÏÔ Ó. È ÏÈÎfi ÛËÌ Ô, ˆ κίνηση ÔÚ ÂÙ È Ë ÏÏ Á ı ÛË ÙÔ ÛËÌÂ Ô ˆ appleúô Î appleôèô Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ. ŒÙÛÈ, ÁÈ ÙËÓ appleâúèáú Ê ÙË Î ÓËÛË ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Ù ıâìâïèò Ë Ê ÛÈÎ ÌÂÁ ıë Â Ó È ÙÔ Ì ÎÔ Î È Ô ÚfiÓÔ. ÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ Ùfi ÂÈÛ ÁÔÓÙ È Ú ÈÎ ÔÈ ÓÓÔÈÂ ÙˆÓ È Ó ÛÌ ÙˆÓ ı - ÛË, Ù ÙËÙ Î È ÂappleÈÙ ÓÛË. ÙË Û Ó ÂÈ apple Ú ÁÔÓÙ È ÂÎÊÚ ÛÂÈ ÁÈ ÙÈ Û ÓÈÛÙÒÛÂ ÙˆÓ È Ó ÛÌ ÙˆÓ ÙÒÓ ˆ appleúô ÌÂÚÈÎ Û ÛÙ Ì Ù Ó ÊÔ- Ú appleô ÂappleÈÏ ÁÔÓÙ È Û Ó Û appleú ÎÙÈÎ ÂÊ ÚÌÔÁ. Ú ÏÏËÏ, ÂÍËÁÂ Ù È Ë Ê ÛÈÎ ÛËÌ Û ÙˆÓ Û ÓÈÛÙˆÛÒÓ ÙˆÓ È Ó ÛÌ ÙˆÓ ÙÒÓ. TÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ ÙÂÏÂÈÒÓÂÈ Ì ÌÂÏ ÙË ÙË Î ÓËÛË ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Û ÂÙÈÎ ÌÂ Û ÛÙËÌ Ó ÊÔ- Ú appleô ÎÈÓÂ Ù È apple Ú ÏÏËÏ ˆ appleúô Î appleôèô ÏÏÔ Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ. EÎÙfi applefi ÓÓÔÈ ÙË ÁˆÌÂÙÚ, Ë ÛÈÎ Ì ıëì ÙÈÎ ÓÓÔÈ appleô ÂÈÛ ÁÂÙ È Î È ÚËÛÈÌÔappleÔÈÂ Ù È ÛÙÔ apple ÚfiÓ ÎÂÊ Ï ÈÔ Â Ó È Ë ÚÔÓÈÎ apple Ú - ÁˆÁÔ È Ó ÛÌ ÙÔ. H apple Ú ÁˆÁÔ Ù ÂÍ ÚÙ Ù È applefi ÌÂÙ ÔÏ ÙfiÛÔ ÛÙÔ Ì ÁÂıÔ fiûô Î È ÛÙË È ı ÓÛË ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ. 1.2 ΔIANYΣMA ΘEΣHΣ, TAXYTHTA, EΠITAXYNΣH Oρισμοί ÂˆÚÂ Ù È ÏÈÎfi ÛËÌÂ Ô Î ıò È ÁÚ ÊÂÈ ÙÚÔ È ÛÙÔ ÒÚÔ. H ÙÚÔ È Ù Ú ÎÙËÚ ÂÙ È applefi ÙË ˆÚÈÎ Î Ìapple ÏË C Î È ÌappleÔÚÂ Ó ÔÚÈÛıÂ Û ÂÙÈÎ Ì Πappleôèô Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ Oxyz ( F), fiappleˆ Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ Û Ì 1.1. M ÙÔÓ ÙÚfiappleÔ Ùfi Ë ı ÛË ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô ÛÙË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ t Î ıôú ÂÙ È appleï Úˆ applefi ÙÔ È Ó ÛÌ appleô ÂÈ ˆ Ú ÙÔ ÛËÌÂ Ô O ÙÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ Ó ÊÔÚ F Î È ˆ Ù ÏÔ ÙÔ ÛËÌ Ô. TÔ È Ó ÛÌ Ùfi, r(t), ÔÓÔÌ ÂÙ È διάνυσμα θέσης ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô ˆ appleúô ÙÔ Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ F.

13 2 Σχήμα 1.1 ÙË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ t+ t ÙÔ ÏÈÎfi ÛËÌÂ Ô Î Ù Ï Ì ÓÂÈ ÙË ı ÛË, Ë ÔappleÔ Î ıôú ÂÙ È applefi ÙÔ È Ó ÛÌ ı ÛË r(t+ t). Â Ó ÏÔÁ Ì ÙÔÓ ÔÚÈ- ÛÌfi ÙË apple Ú ÁÒÁÔ ıìˆù Û Ó ÚÙËÛË f(t), Ô ÔappleÔ Ô Â Ó È f(t) = df dt = lim f(t+ t) f(t), tæ0 t ÌappleÔÚÂ Ó ÔÚÈÛıÂ Î È Ë ÚÔÓÈÎ apple Ú ÁˆÁÔ ÙË È Ó ÛÌ ÙÈÎ Û Ó ÚÙËÛË r(t). ËÏ Ì v(t) = r(t), (1.1) r(t) r(t+ t) r(t) = lim = lim tæ0 t tæ0 Ë Ê r t ˆ = dr dt. TÔ È Ó ÛÌ v(t) appleô appleúôî appleùâè Ì ÙÔÓ ÙÚfiappleÔ Ùfi ÔÓÔÌ ÂÙ È ταχ τητα ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô ÛÙË ı ÛË. M apple ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiappleÔ ÔÚ ÂÙ È Î È Ë επιτάχυνση ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô ÛÙË ı ÛË, ˆ appleúô ÙÔ Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ F, ˆ Ë ÚÔÓÈÎ apple Ú ÁˆÁÔ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ ÙË Ù ÙËÙ. ËÏ a(t) v(t) = r(t) (1.2) Παρατήρηση 1η: EappleÂÈ Ë KÈÓËÌ ÙÈÎ ÂÍÂÙ ÂÈ ÌfiÓÔ ÙË ÁˆÌÂÙÚ ÙË Î ÓËÛË Î È ÂÓ ÂÌappleÏ ÎÂÈ Ê ÛÈÎÔ ÓfiÌÔ, ÂÓ apple Ú Ô Ó appleúôùèìëù

14 Û ÛÙ Ì Ù Ó ÊÔÚ. H Î ÓËÛË fiìˆ Ê ÓÂÙ È È ÊÔÚÂÙÈÎ applefi apple Ú - ÙËÚËÙ appleô Ú ÛÎÔÓÙ È ÛÂ È ÊÔÚÂÙÈÎ Û ÛÙ Ì Ù Ó ÊÔÚ Î È ÂappleÔÌ - Óˆ appleú appleâè Ó Î ıôúèûıâ Î appleôèô Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ Û Πıâ appleâú appleùˆ- ÛË. Eapple ÛË, Ì ÛË ÙË ÁˆÌÂÙÚ ÙË ÙÚÔ È, ÔÈ Û ÓÈÛÙÒÛÂ ÙˆÓ È - Ó ÛÌ ÙˆÓ ı ÛË, Ù ÙËÙ Î È ÂappleÈÙ ÓÛË ÌappleÔÚÂ Ó ÂÎÊÚ ÛıÔ Ó ÛÙÔ appleèô ÔÏÈÎfi Û ÛÙËÌ Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓˆÓ (Î ÚÙÂÛÈ Ófi, Î ÏÈÓ ÚÈÎfi, ÛÊ ÈÚÈÎfi Î.Ïapple.), fiappleˆ Ó appleù ÛÛÂÙ È ÛÙÈ ÂapplefiÌÂÓ apple Ú ÁÚ ÊÔ. 3 Παρατήρηση 2η:  ÌÂÚÈÎ appleâúèappleùòûâè ÙË appleú ÍË, ÓÙ ÙË ÛÙÈÁ- ÌÈ Ù ÙËÙ appleô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙË Û ÛË (1.1) ÁÈ appleâèúôûùfi ÚÔÓÈÎfi È ÛÙËÌ dt, Â Ó È appleèô Ú ÛÈÌÔ Ó ıâˆúëıâ appleâappleâú ÛÌ ÓÔ t Î È Ó ÔÚÈÛıÂ Ë μέση ταχ τητα fiappleô v(t) = r t, r = r(t+ t) r(t) Â Ó È ÙÔ È Ó ÛÌ ÌÂÙ ÙfiappleÈÛË ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô ÛÙÔ ÚfiÓÔ t. M ÙÔÓ ÈÔ ÙÚfiappleÔ ÔÚ ÂÙ È Î È Ë ÓÙ ÛÙÔÈ Ë μέση επιτάχυνση Ì a(t) = v t, v = v(t+ t) v(t). Παρατήρηση 3η: M ÙÔÓ ÙÚfiappleÔ appleô ÔÚ ÛıËÎ Ó Ë Ù ÙËÙ Î È Ë ÂappleÈ- Ù ÓÛË ÌappleÔÚÂ Ó ÔÚÈÛıÔ Ó Î È apple Ú ÁˆÁÔÈ ÓÒÙÂÚË Ù ÍË ÙË Û Ó Ú- ÙËÛË r(t). A Ù ÔÈ apple Ú ÁˆÁÔÈ, fiìˆ, ÂÓ Ô Ó Û Ó ıˆ appleú ÎÙÈÎ Í, ÁÈ Ù ÂÓ ÂÌappleÏ ÎÔÓÙ È ÛÙÔ ÓfiÌÔ ÙË KÈÓËÙÈÎ. TË ÌfiÓË ÂÍ - ÚÂÛË appleôùâïâ Ë apple Ú ÁˆÁÔ ÙË ÂappleÈÙ ÓÛË, Ë ÔappleÔ Ú ÛÎÂÈ ÂÊ ÚÌÔÁ ÛÙËÓ appleâúèô ÙˆÓ ÌË ÓÈÛÌÒÓ Î È ÙË ÎÚÔ ÛË Ô ËÌ ÙˆÓ. Παρατήρηση 4η: O Û Ì ÔÏÈÛÌfi r(t) Â Ó È Û ÓÙÔÌÔÁÚ Ê ÙÔ appleïë- Ú ÛÙÂÚÔ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ r O (t). TÔ ÈÔ ÈÛ ÂÈ Î È ÁÈ ÙÔ ÔÚÈÛÌÔ (1.1) Î È (1.2), appleô ÓÙÈÎ ıèûùô Ó ÙÔ appleèô appleï ÚÂÈ, ÏÏ Î È appleèô appleôï - appleïôîô Û Ì ÔÏÈÛÌÔ Î È v = v /F = ( r O ) F a = a /F = ( v /F ) F.

15 4 H ÚËÛÈÌfiÙËÙ ÙˆÓ Û Ì ÔÏÈÛÌÒÓ ÙÒÓ ı Ê Ó ÛÙË ÌÂÏ ÙË ÙË KÈÓË- Ì ÙÈÎ ÛÙÂÚÂÒÓ ÛˆÌ ÙˆÓ Î È ÙË Û ÂÙÈÎ Î ÓËÛË ÛˆÌ ÙˆÓ, fiappleô ÂÌappleÏ ÎÔÓÙ È appleâúèûûfiùâú applefi Ó Û ÛÙ Ì Ù Ó ÊÔÚ Kαρτεσιαν Σ στημα Aναφοράς  appleôïï appleâúèappleùòûâè Ë ÙÚÔ È ÂÓfi ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Â Ó È ÌÈ ˆÚÈÎ Î Ìapple ÏË appleô ÔÚ ÂÙ È apple Ú ÌÂÙÚÈÎ applefi ÙÈ Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó (x, y, z ) = (x(t), y(t), z(t)) ˆ appleúô ÔÚıÔÎ ÓÔÓÈÎfi Î ÚÙÂÛÈ Ófi Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ Oxyz, fiappleˆ  ÓÂÈ ÙÔ Û Ì 1.2. ŒÙÛÈ, Ó e x, e y Î È e z Â Ó È Ù ÌÔÓ È È Ó ÛÌ Ù - Σχήμα 1.2 ÛË ÙÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ Ó ÊÔÚ, ÙfiÙ ÙÔ È Ó ÛÌ ı ÛË ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô ÂÎÊÚ ÂÙ È ÛÙË ÌÔÚÊ : r(t) = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z. K Ù Û Ó appleâè, ÂÊ ÚÌfi ÔÓÙ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (1.1) appleúôî appleùâè fiùè Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Â Ó È: [x(t+ t) e v(t) = lim x + y(t+ t) e y + z(t+ t) e z ] [x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z ]. tæ0 t EappleÔÌ Óˆ, v(t) = v x e x + v y e y + v z e z = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z. (1.3)

16 ÚfiÌÔÈ, Ë ÂappleÈÙ ÓÛË ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Î ıôú ÂÙ È applefi ÙË Û ÛË a(t) = a x e x + a y e y + a z e z = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z. (1.4) 5 Παρατήρηση 1η:  appleôïï appleú ÎÙÈÎ ÂÊ ÚÌÔÁ Ë ÌÂÏÂÙÒÌÂÓË ÙÚÔ- È Â Ó È Î Ìapple ÏfiÁÚ ÌÌË, ÏÏ επίπεδη. ÙÈ appleâúèappleùòûâè Ù ÙÔ Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ ÌappleÔÚÂ Ó ÂappleÈÏÂÁ ÙÛÈ, ÒÛÙ z(t) = z 0 = ÛÙ ıâú, ÔapplefiÙ ÔÈ Û ÛÂÈ (1.3) Î È (1.4) ÓÙÈÎ ı ÛÙ ÓÙ È applefi ÙÈ Î È v = x e x + y e y (1.5) a = x e x + y e y, (1.6) ÓÙ ÛÙÔÈ. Παρατήρηση 2η:  appleâúèappleùòûâè ÛÙÈ ÔappleÔ Â Ë ÙÚÔ È Â Ó È ευθ γραμμη, ËÏ Ù ÙÔÈ ÒÛÙ z(t) = z 0 = ÛÙ ıâú Î È y(t) = y 0 = ÛÙ ıâú, ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ (1.3) Î È (1.4) Á ÓÔÓÙ È Î È v = x e x a = x e x, ÓÙ ÛÙÔÈ. ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù ÂÎÊ Ï ÂÙ È Ô ÚfiÏÔ ÙˆÓ È Ó ÛÌ ÙˆÓ Î È fiï Ù ÌÂÁ ıë ÌappleÔÚÔ Ó Ó ıâˆúëıô Ó ˆ ıìˆù. EappleÈappleÏ ÔÓ, Á ÓÂ- Ù È Ê ÓÂÚfi fiùè Ë Âapple appleâ Ë Î ÓËÛË Â Ó È Âapple ÏÏËÏ Ô ÓÂÍ ÚÙËÙˆÓ ÎÈ- Ó ÛÂˆÓ ÛÙÈ È ı ÓÛÂÈ ÙˆÓ ÍfiÓˆÓ Ox Î È Oy, ÂÓÒ Ë ˆÚÈÎ Î ÓËÛË Â Ó È Âapple ÏÏËÏ ÙÚÈÒÓ ÎÈÓ ÛÂˆÓ ÛÙÈ È ı ÓÛÂÈ Ox, Oy Î È Oz. Παράδειγμα 1.1: Eυθ γραμμη Kίνηση με Γνωστή Eπιτάχυνση YÏÈÎfi ÛËÌÂ Ô ÂÎÙÂÏ  ı ÁÚ ÌÌË Î ÓËÛË Ì ÂappleÈÙ ÓÛË appleô Â Ó È ÁÓˆ- ÛÙ Û Ó ÚÙËÛË ÙÔ ÚfiÓÔ. ËÏ x = f(t). (1) AÓ Ë Ú ÈÎ ı ÛË Î È Ù ÙËÙ ÙÔ ÛËÌÂ Ô Â Ó È x 0 Î È v 0, ÓÙ ÛÙÔÈ, Ó appleôïôáèûıâ Ë Ù ÙËÙ Î È Ë ÂappleÈÙ ÓÛË ÙÔ ÛËÌÂ Ô ÁÈ ÚfiÓÔ t > 0.

17 6 Λ ση: M appleâ ıâ ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙË ÂÍ ÛˆÛË (1) appleúôî appleùâè fiùè v = x = Ú 0 t f(ù) dù + a, fiappleô a Â Ó È ÛÙ ıâú appleô appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È applefi ÙË Û Óı ÎË v(0) = a = v 0. EappleÔÌ Óˆ, Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Â Ó È t v(t) = v 0 + Ú f(ù) dù. (2) 0 O appleúôû ÈÔÚÈÛÌfi ÙË ı ÛË ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô appleúôî appleùâè Ì ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙË ÂÍ ÛˆÛË (2). ËÏ x(t) = Ú 0 t v(í) dí + b, (3) fiappleô Ë ÛÙ ıâú b appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È applefi ÙËÓ Ú ÈÎ Û Óı ÎË x(0) = b = x 0. Ó ÔÓÙ ÙÔ apple Ú apple Óˆ appleôù ÏÂÛÌ Ì ÙÈ ÂÍÈÛÒÛÂÈ (2) Î È (3) appleúô- Î appleùâè fiùè Ë ÌÂÙ ÙfiappleÈÛË ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Â Ó È: t Í x(t) = x 0 + v 0 t + Ú 0 Ú f(ù) dù dí. (4) 0 Σημείωση: MÈ ÂÈ ÈÎ appleâú appleùˆûë Ì appleú ÎÙÈÎfi ÂÓ È Ê ÚÔÓ Â Ó È Ë Î ÓË- ÛË Ì σταθερή επιτάχυνση, ËÏ Ì f(t) = a 0. ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù ÔÈ Û ÛÂÈ (2) Î È (4) Á ÓÔÓÙ È Î È v = v 0 + a 0 t (5) x = x 0 + v 0 t a 0 t 2, (6) ÓÙ ÛÙÔÈ. EappleÈappleÏ ÔÓ, apple Ï ÊÔÓÙ ÙÔ ÚfiÓÔ applefi ÙÈ ÂÍÈÛÒÛÂÈ (5) Î È (6) appleúôî appleùâè fiùè v 2 = v a 0 (x x 0 ). (7)

18 Παράδειγμα 1.2: Kίνηση με Περιορισμο ς TÔ ÎÚÔ A ÙË ÛÙÂÚÂ Ú Ô appleô Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ apple Ú Î Ùˆ Û Ì Ú - ÂÈ Ó ÎÈÓÂ Ù È ÔÚÈ fióùè ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ó ÂÈ ÔÚÈ fióùè Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓË x = t 2 (1) AÓ Ë apple Ú ÌÂÙÚÔ Â Ó È ÛÙ ıâú Î È ÙÔ Ì ÎÔ ÙË Ú Ô Â Ó È l Ó appleô- ÏÔÁÈÛıÂ Ë Ù ÙËÙ Î È Ë ÂappleÈÙ ÓÛË ÙÔ ÏÏÔ ÎÚÔ B, appleô ÎÈÓÂ Ù È Î - Ù ÎfiÚ Ê, ÙË ÛÙÈÁÌ appleô Á ÓÂÙ È y = l 2. 7 Σχήμα 1.3 Λ ση: H ı ÛË y ÙÔ ÎÚÔ B ÙË Ú Ô Î ıôú ÂÙ È applefi ÙË ı ÛË x ÙÔ ÎÚÔ A Ì Ûˆ ÙË Û ÛË ÙË Û ÛË x 2 + (l y) 2 = l 2, (2) y = l ````` l 2 x 2, (3) Ë ÔappleÔ appleôùâïâ ÙË Û Óı ÎË appleô ÂÎÊÚ ÂÈ ÙË ÛÙÂÚÂfiÙËÙ ÙË Ú Ô. EappleÔ- Ì Óˆ, Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÎÚÔ B appleôïôá ÂÙ È applefi ÙË Û ÛË x x + (l y) ( y) = 0 fi y = ÂÓÒ Ë ÂappleÈÙ ÓÛË ÙÔ ÎÚÔ B Â Ó È xx, (4) ```` l 2 x 2

19 8 y = ( x 2 +x x) ```` l 2 x 2 + (xx) 2 (l 2 x 2 ) 1/2 l 2 x 2, ÌÂÙ ÙËÓ ÂÎÙ ÏÂÛË ÙˆÓ ÏÁ ÚÈÎÒÓ appleú ÍÂˆÓ y = x x (l 2 x 2 ) + x 2 l 2 (l 2 x 2 ) 3/2. (5) TË ÛÙÈÁÌ appleô Á ÓÂÙ È y = y 0 = l, Ë Û ÛË (3) ÓÂÈ 2 x = x 0 = ` 3 2 l (6) Î È Ú Ë Û ÛË (1) Û ÓÂapple ÁÂÙ È fiùè Ùfi Û Ì ÓÂÈ ÙË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ t = t 0 = ` x0 = `` ` 3 l 2. TËÓ È ÛÙÈÁÌ, Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÎÚÔ A Â Ó È ÂÓÒ Ë ÂappleÈÙ ÓÛ ÙÔ Â Ó È x 0 = 2 t 0 = ```` 2 ` 3 l, (7) x 0 = 2. (8) T ÏÔ, ÓÙÈÎ Ù ÛÙ ÛË ÙˆÓ ÂÎÊÚ ÛÂˆÓ ÙˆÓ x 0, x 0 Î È x 0 applefi ÙÈ Û ÛÂÈ (6), (7) Î È (8), ÓÙ ÛÙÔÈ, ÛÙÈ ÂÍÈÛÒÛÂÈ (4) Î È (5) appleúôû ÈÔÚ ÂÈ ÙËÓ ÙÈÌ ÙË Ù ÙËÙ Î È ÙË ÂappleÈÙ ÓÛË ÙÔ ÎÚÔ B Î Ù ÙËÓ ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ t=t 0. Eρώτηση: TÈ Û Ì ÓÂÈ Î ıò x Æ l; Παράδειγμα 1.3: Kίνηση σε Oδηγητική Kαμπ λη TÔ ÎÚÔ ÂÓfi Ì ÏÔ ÌÈ ÌË Ó ÂÍ Ó ÁÎ ÂÙ È Ó ÎÔÏÔ ı ÛÂÈ ÙËÓ Âapple appleâ Ë Ô ËÁËÙÈÎ Î Ìapple ÏË y = f(x), (1) fiappleˆ Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ Û Ì 1.4. AÓ Ë Û ÓÈÛÙÒÛ ÙË Ù ÙËÙ ÛÙË È ı ÓÛË Ox Â Ó È ÛÙ ıâú Î È ÛË Ì v 0, Ó ÚÂıÂ Ë Ù ÙËÙ Î È ÂappleÈÙ ÓÛË ÙÔ Û Πıâ ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ. Λ ση: EappleÂÈ Ë Î ÓËÛË ÙÔ Â Ó È Âapple appleâ Ë, Ë Ù ÙËÙ Î È Ë ÂappleÈÙ ÓÛ ÙÔ

20 Î ıôú ÔÓÙ È applefi ÙÈ Û ÛÂÈ (1.5) Î È (1.6), ÓÙ ÛÙÔÈ. ÙÈ Û ÛÂÈ Ù ÓÙÈÎ ıèûùòóù È ÔÈ apple Ú Î Ùˆ ÂÎÊÚ ÛÂÈ : x = v 0, x = 0, 9 Σχήμα 1.4 Î È y = f (x) x = v 0 f (x) y = f (x) v 2 0. ŒÙÛÈ, ÙÂÏÈÎ appleúôî appleùâè fiùè Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÎÚÔ ÂÈ ÌÔÚÊ v = v 0 [e x + f (x) e y ], ÂÓÒ Ë ÂappleÈÙ ÓÛ ÙÔ Â Ó È Ì a = v 2 0 f (x) e y, x = v 0 t + x 0. Παράδειγμα 1.4: Bολή Yλικο Σημείου YÏÈÎfi ÛËÌÂ Ô ÎÈÓÂ Ù È Ì ÁÓˆÛÙ ÂappleÈÙ ÓÛË a = g e y, (1) fiappleô g Â Ó È Ì ıâùèî ÛÙ ıâú. AÓ Ë Ú ÈÎ ı ÛË ÙÔ ÛÒÌ ÙÔ Â Ó È r 0 = x 0 e x + y 0 e y (2) Î È ÏÏÂÙ È ÌÂ Ú ÈÎ Ù ÙËÙ

21 10 v 0 = v 0x e x + v 0y e y = v 0 (cosı e x + sinı e y ), (3) ÙfiÙÂ: ) N appleôïôáèûıâ Ë ı ÛË Î È Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÛÒÌ ÙÔ ÁÈ Î ıâ ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ. ) N ÚÂıÂ Ë ÔÚÈ fióùè ı ÛË x Ì ÛÙËÓ ÔappleÔ ÙÔ ÛÒÌ Êı ÓÂÈ ÛÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ Ô H ÙË ÙÚÔ È ÙÔ. Á) N appleúôû ÈÔÚÈÛıÂ Ë ÙÈÌ ÙË ÁˆÓ ı ÁÈ ÙËÓ ÔappleÔ ÙÔ ÛÒÌ ı Û Á- ÎÚÔ Ûı Ì ÛÙfi Ô appleô ÂÈ Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó x Î È y. ) N Î ıôúèûıâ Ë ı ÛË x s ÛÙËÓ ÔappleÔ y = y 0. Σχήμα 1.5 Λ ση: ) M appleâ ıâ ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙË ÂÍ ÛˆÛË (1) appleúôî appleùâè fiùè v = c 1 e x + (c 2 gt) e y + c 3 e z. EÊ ÚÌfi ÔÓÙ ÙË Û ÛË (3), ÔÈ ÛÙ ıâú c 1, c 2 Î È c 3 appleô ÂÌÊ Ó Ô- ÓÙ È ÛÙËÓ apple Ú apple Óˆ ÂÍ ÛˆÛË apple ÚÓÔ Ó ÙÈ ÙÈÌ c 1 = v 0x, c 2 = v 0y, c 3 = 0. ÕÚ, Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Â Ó È v = v 0x e x + (v 0y gt) e y. (4) ÚfiÌÔÈ, ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙË ÂÍ ÛˆÛË (4) Ô ËÁ ÛÙË Û ÛË r = (v 0x t + c 4 ) e x + Êv 0y t + c 5 1 ˆ Ë 2 gt2 e y + c 6 e z, Ë ÔappleÔ Ì ÂÊ ÚÌÔÁ ÙË Û ÛË (2) ÓÂÈ

22 11 r = (x 0 + v 0x t) e x + Êy 0 + v 0y t 1 ˆ Ë 2 gt2 e y. (5) ) M ÛË ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË (5) Ë Î Ù ÎfiÚ ÊË Û ÓÈÛÙÒÛ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ ı - ÛË appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È applefi ÙËÓ ÎÊÚ ÛË y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2. (6) H ÎÚ ÙÈÌ ÙË Û Ó ÚÙËÛË Ù appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È applefi ÙË Û Óı ÎË y = 0 fi t Ì = v 0y g, (7) Ë ÔappleÔ Ì ÓÙÈÎ Ù ÛÙ ÛË ÛÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË (6) ÓÂÈ H = y(t Ì ) = y 0 + v2 0y 2g. (8) EappleÂÈ y (t Ì ) = g < 0, Â Ó È Ê ÓÂÚfi fiùè Ë H Â Ó È appleú ÁÌ ÙÈ Ë Ì ÁÈÛÙË ÙÈÌ ÙË Î Ù ÎfiÚ ÊË Û ÓÈÛÙÒÛ y (ÁÈ Ù ;). H ÔÚÈ fióùè ı ÛË ÛÙËÓ ÔappleÔ Û Ì ÓÂÈ Ùfi appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È applefi ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË (5) ÛÙË ÌÔÚÊ x Ì = x(t Ì ) = x 0 + v 0x v 0y g = x 0 + v2 0 sin2ı. (9) 2g Aapple Ï ÊÔÓÙ ÙÔ ÚfiÓÔ t applefi ÙÈ Û ÓÈÛÙÒÛ ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ ı ÛË r ÌappleÔÚ  ÎÔÏ Ó ÂÈ ıâ fiùè Ë ÙÚÔ È ÙÔ ÛÒÌ ÙÔ Â Ó È παραβολική Ì ÎÔÚ Ê ÙÔ ÛËÌÂ Ô (x Ì, y Ì ). Á) Aapplefi ÙË Û ÛË (5) appleúôî appleùâè Ì Ûˆ fiùè Î È fiùè x = x 0 + v 0x t y = y 0 + v 0y t 1 2 g t2. Aapple Ï ÊÔÓÙ ÙÔÓ ÚfiÓÔ t applefi ÙÈ Ô ÙÂÏÂ Ù Â Û ÛÂÈ, appleúôî appleùâè Ë Û Óı ÎË tan 2 2v 2 ı 0 g(x x 0 ) tanı + 2v2 0 (y y 0 ) g(x x 0 ) = 0 (10) ÁÈ ÙË ÁˆÓ ı. H apple Ú apple Óˆ Û Óı ÎË ÈÎ ÓÔappleÔÈÂ Ù È ÁÈ Ô ÙÈÌ ÙË ÁˆÓ ı. H ÙÚÔ È appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Â ÛÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË / ÌÂÁ Ï ÙÂÚË Áˆ- Ó Ï ÁÂÙ È ευθ βολη / επισκυπτική, ÓÙ ÛÙÔÈ. ) È y = y 0 Î È t π 0, Ë ÂÍ ÛˆÛË (6) ÓÂÈ t s = 2v 0y g = 2t Ì.

23 12 EappleÔÌ Óˆ, x s = x(t s ) = x 0 + v2 0 sin2ı. g Eρώτηση 1η: ˆ appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È Ë ı ÛË ÙÔ ÛËÌÂ Ô S ÙÔ Û Ì ÙÔ 1.5; Eρώτηση 2η: ÔÈ Â Ó È Ë Û ÛË Ó ÌÂÛ ÛÙÈ apple Ú ÁÒÁÔ ÙË Û Ó ÚÙË- ÛË y ˆ appleúô ÙÔ ÚfiÓÔ Î È ÙÈ apple Ú ÁÒÙÔ ÙË ˆ appleúô x; Kυλινδρικ Σ στημα Aναφοράς  appleâúèappleùòûâè ÂÊ ÚÌÔÁÒÓ Ì ΠÏÈÓ ÚÈÎ ÁˆÌÂÙÚ Â Ó È ÔÏÈÎfi Ó ÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ ÓÙ È ÔÈ Î ÏÈÓ ÚÈÎ Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó (r, ı, z), fiappleˆ Ù ÔÚ - ÔÓÙ È ÛÙÔ Û Ì 1.6 ÁÈ ÙÔ Ù Ô ÛËÌÂ Ô ÙÔ ÒÚÔ, ÓÙ ÁÈ ÙÈ Σχήμα 1.6 ÓÙ ÛÙÔÈ Â Î ÚÙÂÛÈ Ó Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó (x, y, z). Aapplefi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi, ÔÈ ÍÔÓ Oz, ÔÈ Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó z Î È Ù ÌÔÓ È È Ó - ÛÌ Ù ÛË e z ÙˆÓ Ô ÙÒÓ Û ÛÙËÌ - ÙˆÓ Û Ìapple appleùô Ó. EappleÈappleÏ ÔÓ, Ó Â Ó È Ë appleúô ÔÏ ÙÔ ÛËÌÂ Ô ÛÙÔ Âapple appleâ Ô Oxy, ÙfiÙ Ì ÙË Ô ıâè Î È ÙÔ Û Ì ÙÔ 1.7 appleúôî appleùô Ó ÔÈ apple Ú Î Ùˆ Û ÛÂÈ Σχήμα 1.7

24 13 x = r cosı, y = r sinı. (1.7) Eapple ÛË, Ù ÌÔÓ È È Ó ÛÌ Ù ÛË e r Î È e ı ÛÙË È ı ÓÛË ÙÔ Â ı ÁÚ ÌÌÔ ÙÌ Ì ÙÔ O Î È ÙË Î ı ÙÔ ÙË, ÓÙ ÛÙÔÈ, Û Ó ÔÓÙ È Ì Ûˆ ÙˆÓ Û ÛÂˆÓ e r = cosı e x + sinı e y (1.8) Î È e ı = sinı e x + cosı e y (1.9) ÓÙ ÛÙÔÈ, Ì ٠ÌÔÓ È È Ó ÛÌ Ù ÛË e x Î È e y ÙÔ Î ÚÙÂÛÈ - ÓÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ Ó ÊÔÚ. Aapplefi ÙÈ apple Ú apple Óˆ Û ÛÂÈ Â Ó È appleúôê Ó fiùè Ù È Ó ÛÌ Ù e r Î È e ı Â Ó È Û Ó ÚÙ ÛÂÈ ÙË Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓË ı. ÙÔ Î ÏÈÓ ÚÈÎfi Û ÛÙËÌ Ó ÊÔÚ, ÙÔ È Ó ÛÌ ı ÛË ÙÔ ÛËÌÂ Ô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙË Û ÛË r = r e r + z e z. (1.10) EappleÔÌ Óˆ, Ë Ù ÙËÙ ÛÙÔ ÛËÌÂ Ô Ú ÛÎÂÙ È Ì apple Ú ÁÒÁÈÛË ÙË (1.10) ÛÙË ÌÔÚÊ v = r e r + z e z + r e r + z e z. ÙËÓ appleúôîâèì ÓË appleâú appleùˆûë, ÙÔ È Ó ÛÌ e z È ÙËÚ apple ÓÙ ÛÙ ıâúfi Ì ÙÚÔ Î È È ı ÓÛË, ÂÓÒ ÙÔ ÎÙÈÓÈÎfi È Ó ÛÌ e r ÂÍ ÚÙ Ù È applefi ÙË Áˆ- ÓÈ Î Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓË ı. ÈÔ Û ÁÎÂÎÚÈÌ Ó, Ë Û ÛË (1.8) Ô ËÁ ÛÙËÓ e r = ı sinı e x + ı cosı e y, Ë ÔappleÔ ÛÂ Û Ó ÛÌfi Ì ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË (1.9) ÓÂÈ e r = ı e ı. (1.11) ŒÙÛÈ, Ë Ù ÙËÙ apple ÚÓÂÈ ÙËÓ ÎfiÏÔ ıë ÙÂÏÈÎ ÌÔÚÊ Û ΠÏÈÓ ÚÈÎ Û ÓÙÂ- Ù ÁÌ Ó : v = r e r + r ı e ı + z e z. (1.12) ÙË Û Ó ÂÈ, Ë ÂappleÈÙ ÓÛË appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È Ì apple Ú ÁÒÁÈÛË ÙË (1.12). ËÏ a = r e r + ( r ı + r ı) e ı + z e z + r e r + r ı e ı. (1.13) Ú ÁˆÁ ÔÓÙ ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË (1.9) Î È ÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ ÙËÓ (1.8) appleúôî - appleùâè fiùè e ı = ı e r. (1.14) ŒÙÛÈ, Ì ÙË Ô ıâè ÙˆÓ Û ÛÂˆÓ (1.11) Î È (1.14) Ë ÂÍ ÛˆÛË (1.13) ÓÂÈ

25 14 ÙËÓ apple Ú Î Ùˆ ÎÊÚ ÛË ÙË ÂappleÈÙ ÓÛË Û ΠÏÈÓ ÚÈÎ Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó a = ( r r ı 2 ) e r + (r ı + 2 r ı) e ı + z e z. (1.15) Παρατήρηση 1η: ŸÙ Ó Ë Î ÓËÛË appleâúèôú ÂÙ È ÛÙÔ Âapple appleâ Ô z = H = ÛÙ ıâú, Ï ÁÂÙ È επίπεδη Î È ÌappleÔÚÂ Ó appleâúèáú Ê applefi ÙÈ appleôïèî Û ÓÙÂÙ ÁÌ - Ó (r, ı) ÌfiÓÔ. ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Ë Ù ÙËÙ Î È Ë ÂappleÈÙ ÓÛË appleúôû ÈÔÚ ÔÓÙ È applefi ÙÈ (1.12) Î È (1.15) Ì z = z = 0. ÚfiÌÔÈ, fiù Ó ı = ı 0 = ÛÙ ıâú, Ë Î ÓËÛË Â Ó È apple ÏÈ Âapple appleâ Ë, ÏÏ ÂÎÊÚ ÂÙ È applefi ÙÈ «Î ÚÙÂÛÈ Ó» Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó (r, z). AÓ fiìˆ r = R = ÛÙ ıâú, Ë Î ÓËÛË Á ÓÂÙ È apple Óˆ ÛÙËÓ ÂappleÈÊ ÓÂÈ Î Ï Ó ÚÔ ÎÙ Ó R. ÙËÓ appleâ- Ú appleùˆûë Ù ÔÈ Û ÛÂÈ (1.12) Î È (1.15) Á ÓÔÓÙ È Î È ÓÙ ÛÙÔÈ. v = R ı e ı + z e z a = R ı 2 e r + R ı e ı + z e z, Παρατήρηση 2η: AÓ ÙÔ ÏÈÎfi ÛËÌÂ Ô ÎÈÓÂ Ù È ÙÛÈ, ÒÛÙ ı = ı 0 Î È r = R ı = ı 0 Î È z = H, ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂÈ (1.12) Î È (1.15) Á ÓÔÓÙ È È Ì ÙÈ ÓÙ ÛÙÔÈ Â Û ÛÂÈ appleô ÈÛ Ô Ó ÁÈ Â ı ÁÚ ÌÌË Î ÓËÛË. AÓ fiìˆ r = R Î È z = H, Ë Î ÓËÛË Â Ó È ÌÂÓ ÌÔÓÔ È ÛÙ ÙË, ÏÏ ÂÓ Â Ó È Â ı ÁÚ ÌÌË. H Î ÓËÛË Ù ÔÓÔÌ ÂÙ È κυκλική Î È Ú ÎÙËÚ ÂÙ È applefi Ù ÙËÙ Î È ÂappleÈÙ ÓÛË v = R ı e ı (1.16) a = R ı 2 e r + R ı e ı. (1.17)

26 Παρατήρηση 3η: OÈ ÚÔÓÈÎ apple Ú ÁˆÁÔÈ ÙˆÓ ÌÔÓ È ˆÓ È Ó ÛÌ - ÙˆÓ ÛË e r Î È e ı, appleô ÂÎÊÚ ÔÓÙ È applefi ÙÈ Û ÛÂÈ (1.11) Î È (1.14), ÌappleÔÚÂ Ó appleôïôáèûıô Ó Ì ÂÓ ÏÏ ÎÙÈÎfi ÙÚfiappleÔ. T È Ó ÛÌ Ù Ù Ô Ó ÛÙ ıâúfi Ì ÎÔ, ÏÏ Ë È ı ÓÛ ÙÔ ÂÍ ÚÙ Ù È applefi ÙË Áˆ- Ó ı. ŒÙÛÈ, Ë apple Ú ÁˆÁÔ ÙÔ ÎÙÈÓÈÎÔ È Ó ÛÌ ÙÔ e r Â Ó È e r = de r ı. (1.18) dı ÌÊˆÓ fiìˆ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi de r dı = lim e r (ı+ ı) e r (ı) e = lim r ıæ0 ı ıæ0 ı. Eapple ÛË, Ì ÙË Ô ıâè ÙÔ Û Ì ÙÔ 1.8 ÌappleÔÚÂ Ó ÂÈ ıâ fiùè, Î ıò Ë ÁˆÓ ı Á ÓÂÙ È appleâèúôûù, Ë È ı ÓÛË ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ e r Ù Ù - ÂÙ È Ì ÂΠÓË ÙÔ e ı, ÂÓÒ ÙÔ Ì ÁÂıfi ÙÔ Á ÓÂÙ È ÛÔ Ì ı. A Ùfi ÛË- Ì ÓÂÈ fiùè de r dı = e ı (1.19) Î È Û Ó ÔÓÙ ÙÔ appleôù ÏÂÛÌ Ùfi Ì ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË (1.18) Ô ËÁ ÛÙË Û ÛË (1.11). T ÏÔ, Ì apple ÚfiÌÔÈÔ ÙÚfiappleÔ ÌappleÔÚÂ Ó ÂÈ ıâ Î È Ë ÂÍ ÛˆÛË (1.14). 15 Σχήμα 1.8 Παρατήρηση 4η: Ÿappleˆ Ê ÓÂÙ È applefi ÙËÓ ÎÊÚ ÛË (1.12), ÔÈ Û ÓÈÛÙÒ- Û ÙË Ù ÙËÙ ÛÙÈ È ı ÓÛÂÈ r Î È z appleúôî appleùô Ó ÏfiÁˆ ÌÂÙ Ô- Ï ÙÔ ÌÂÁ ıô ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ ı ÛË, ÂÓÒ Ë Û ÓÈÛÙÒÛ ÙË Ù ÙËÙ ÛÙË È ı ÓÛË ı appleúôî appleùâè, ÏfiÁˆ ÏÏ Á ÙË È ı ÓÛË ÙÔ È Ó - ÛÌ ÙÔ ı ÛË. H ÂÈÎfiÓ Â Ó È appleèô appleôï appleïôîë ÁÈ ÙÈ appleôïèî Û ÓÈÛÙÒÛ ÙË ÂappleÈÙ ÓÛË. M ÙË Ô ıâè ÙÔ Û Ì ÙÔ 1.9 Ê ÓÂÙ È fiùè Ë Ï-

27 16 Ï Á ÙÔ Ì ÎÔ Î È ÙË È ı ÓÛË ÙË ÎÙÈÓÈÎ Û ÓÈÛÙÒÛ v r Û ÓÂÈ- ÛÊ ÚÂÈ ÙÔ fiúô r Î È r ı ÛÙËÓ ÎÊÚ ÛË (1.15) ÙË ÂappleÈÙ ÓÛË. - ÚfiÌÔÈ, Ë ÏÏ Á Ì ÎÔ Î È È ı ÓÛË ÙË ÁˆÓÈ Î Û ÓÈÛÙÒÛ v ı apple Ú ÁÂÈ ÙÔ fiúô r ı + r ı Î È rı 2, ÓÙ ÛÙÔÈ, ÛÙËÓ (1.15). ( ) ( ) Σχήμα 1.9 Παράδειγμα 1.5: Kίνηση σε Kαρδιοειδή Kαμπ λη TÔ ÛËÌÂ Ô ÙÔ Ì ÏÔ ÂÓfi ÌË ÓÈÛÌÔ ÎÈÓÂ Ù È apple Óˆ ÛÂ Î Ú ÈÔÂÈ Ô ËÁËÙÈÎ Î Ìapple ÏË Ë ÔappleÔ appleâúèáú ÊÂÙ È applefi ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË r = (1 + cosı). (1) AÓ Ë ÊÔÚ ÙË Î ÓËÛË Â Ó È ÓÙȈÚÔÏÔÁÈ Î Î È Á ÓÂÙ È ÙÛÈ, ÒÛÙ ı = ˆ = ÛÙ ıâú, (2) Ó appleúôû ÈÔÚÈÛıÂ Ë Ù ÙËÙ Î È Ë ÂappleÈÙ ÓÛË ÙÔ ÛËÌ Ô. Σχήμα 1.10

28 Λ ση: Ú ÁÒÁÈÛË ÙË ÂÍ ÛˆÛË (1) Ô ËÁÂ ÛÙÈ Û ÛÂÈ r = ı sinı (3) Î È 17 r = ı sinı ı 2 cosı. (4) AÏÏ, applefi ÙË Û ÛË (2) appleúôî appleùâè fiùè ı = 0. (5) EappleÔÌ Óˆ, ÓÙÈÎ ıèûùòóù ÙÈ ÂÍÈÛÒÛÂÈ (1)-(5) ÛÙÈ Û ÛÂÈ (1.11) Î È (1.15) appleúôî appleùâè fiùè Î È ÌÂ v = ˆ [ sinı e r + (1 + cosı) e ı ] a = ˆ2 [(1 + 2cosı) e r + 2sinı e ı ], ı = ˆt + ı 0. Eρώτηση: Â appleôèâ ı ÛÂÈ ÂÌÊ Ó ÂÙ È Ë Ì ÁÈÛÙË ÂappleÈÙ ÓÛË; Σημείωση: M ÂÎÙ ÌËÛË ÁÈ ÙË ÈÂ ÎfiÏ ÓÛË appleô apple Ú ÂÈ Ë ÚËÛÈÌÔappleÔ ËÛË Î ÏÈÓ ÚÈÎÒÓ Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓˆÓ ÛÙÔ apple ÚfiÓ appleúfi ÏËÌ ÌappleÔÚÂ Ó Ó appleù ıâ ÌÂ ÙËÓ appleúôûapple ıâè Âapple Ï ÛË ÙÔ ÈÔ appleúô Ï Ì ÙÔ ÚËÛÈ- ÌÔappleÔÈÒÓÙ Î ÚÙÂÛÈ Ó Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓÂ. Παράδειγμα 1.6: Kίνηση στην Eπιφάνεια Παραβολοειδο ς TÔ ÏÈÎfi ÛËÌÂ Ô ÍÂÎÈÓ applefi ÙËÓ Ú O ÛÙÔ ÚfiÓÔ t = 0 Î È ÎÈÓÂ Ù È ÛÙËÓ ÂappleÈÊ ÓÂÈ apple Ú ÔÏÔÂÈ Ô ÂÎ appleâúèûùúôê, ÙÔ ÔappleÔ Ô ÂÈ ÂÍ ÛˆÛË z = H Êr Ë R ˆ H ÙÚÔ È appleô È ÁÚ ÊÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ Ô appleâúèáú ÊÂÙ È apple Ú ÌÂÙÚÈÎ applefi ÙÈ ÂÍÈÛÒÛÂÈ 2. r = t, ı = t 2. N appleúôû ÈÔÚÈÛıÂ Ë ı ÛË, Ë Ù ÙËÙ Î È Ë ÂappleÈÙ ÓÛ ÙÔ ÛËÌÂ Ô, fiù Ó Êı ÓÂÈ ÙÔ apple Óˆ Â ÏÔ ÙÔ apple Ú ÔÏÔÂÈ Ô.

29 18 Σχήμα 1.11 Λ ση: ŸÙ Ó ÙÔ ÏÈÎfi ÛËÌÂ Ô Êı ÓÂÈ ÛÙÔ Â ÏÔ ÙÔ apple Ú ÔÏÔÂÈ Ô ÈÎ ÓÔappleÔÈÂ Ù È Ë Û Óı ÎË R = t x fi t x = R. EappleÔÌ Óˆ, ÙÔ È Ó ÛÌ ı ÛË ÙÔ ÛËÌÂ Ô appleôïôá ÂÙ È applefi ÙËÓ ÂÍ Ûˆ- ÛË (1.10) ÛÙË ÌÔÚÊ ÕÚ, ÌÂ r = t e r + H Ê tˆ Ë R 2 ez. r x = r(t x ) = R e r +H e z, ı x = ÊR Ë ˆ 2. ÚfiÌÔÈ, Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÛËÌÂ Ô appleôïôá ÂÙ È applefi ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË (1.12) ÛÙË ÌÔÚÊ v = e r + 2 t 2 e ı + 2H 2t R 2 e z. EappleÔÌ Óˆ, v x = v(t x ) = e r + 2 R2 e ı + 2 H R e z. T ÏÔ, Ë ÂappleÈÙ ÓÛË ÙÔ ÛËÌÂ Ô appleôïôá ÂÙ È applefi ÙËÓ ÂÍ ÛˆÛË (1.15) ÛÙË ÌÔÚÊ

30 19 K Ù Û Ó appleâè a = t (2 t) 2 e r + ( t t) e ı + 2 H R 2 2 e z. a x = a(t x ) = R3 e r + 6 R e ı + 2H 2 R 2 e z. Σημείωση: Aapplefi ÙÈ Ôı ÛÂ Û ÛÂÈ ÌappleÔÚÂ Ó ÂÈ ıâ fiùè z = Ê2apple 2Hˆ ı Ë R 2 2apple = p ı 2apple. H ÛÙ ıâú p ÓÙÈappleÚÔÛˆapple ÂÈ ÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ βήμα ελίκωσης ( ËÏ ÙËÓ Î Ù ÎfiÚ ÊË applefiûù ÛË appleô Ó ÒÓÂÙ È ÙÔ ÛËÌÂ Ô Î Ù ÙË È ÚÎÂÈ ÌÈ ÔÏfiÎÏËÚË appleâúèûùúôê ÙÔ Á Úˆ applefi ÙÔÓ Î Ù ÎfiÚ ÊÔ ÍÔÓ Oz) Tροχιακ Σ στημα Aναφοράς ÔÏÏ appleúô Ï Ì Ù ÙË KÈÓËÌ ÙÈÎ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Ï ÓÔÓÙ È Â ÎÔÏfiÙÂ- Ú Ì ÚËÛÈÌÔappleÔ ËÛË ÂÓfi ÂÈ ÈÎÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓˆÓ. EÎÙfi applefi ÙË È ÎfiÏ ÓÛË ÙË Ï ÛË, ÙÔ Û ÛÙËÌ Ùfi apple Ú ÂÈ Ú ÛÈÌ appleïëúôêôú Â Û ÂÙÈÎ Ì ٠ÁˆÌÂÙÚÈÎ Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ ÙË Î ÓËÛË. O ÔÚÈÛÌfi ÙÔ ÂÈ ÈÎÔ ÙÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ Û ÓÙÂÙ ÁÌ ÓˆÓ Á ÓÂÙ È Ì ÙË Ô ıâè ÙÔ Û Ì ÙÔ ÚÒÙ, Ë ÙÚÔ È ÙÔ ÂÍÂÙ ÔÌ ÓÔ ÏÈÎÔ ÛË- ÌÂ Ô ÂÎÊÚ ÂÙ È ˆ Û Ó ÚÙËÛË ÙÔ Ì ÎÔ ÙfiÍÔ s ÙË Î Ìapple ÏË C, ÌÂ- ÙÚÔ ÌÂÓÔ applefi Î appleôèô ÛÙ ıâúfi ÛËÌÂ Ô ÙË 0. ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù ÙÔ È - Σχήμα 1.12

31 20 Ó ÛÌ ı ÛË ÂÈ ÌÔÚÊ r = r (s(t)) Î È ÂappleÔÌ Óˆ Ë Ù ÙËÙ ÙÔ ÏÈÎÔ ÛËÌÂ Ô Â Ó È v = dr ds ds dt = s lim r(s+ s) r(s) sæ0 s v = s lim sæ0 Ë Ê r. s ˆ, (1.20) K ıò ÙÔ Ì ÎÔ ÙfiÍÔ s Á ÓÂÙ È appleâèúôûùfi, Â Ó È appleúôê Ó fiùè ÙÔ È - Ó ÛÌ r Á ÓÂÙ È ÂÊ appleùfiìâóô ÙË ÙÚÔ È ÛÙÔ ıâˆúô ÌÂÓÔ ÛËÌÂ Ô ÂÓÒ ÙÔ Ì ÎÔ ÙÔ appleïëûè ÂÈ ÙËÓ ÙÈÌ s. A Ùfi ÛËÌ ÓÂÈ fiùè ÙÔ È Ó ÛÌ e t = dr ds (1.21) Â Ó È ÙÔ ÌÔÓ È Ô εφαπτ μενο διάνυσμα ÙË ÙÚÔ È ÛÙÔ, ÛÙËÓ Î Ù - ı ÓÛË appleô Í ÓÂÈ ÙÔ Ì ÎÔ s. Ó ÛÌfi ÙˆÓ ÂÎÊÚ ÛÂˆÓ (1.20) Î È (1.21) Ô ËÁ ÛÙË Û ÛË v = s e t, (1.22) Ë ÔappleÔ Â ÓÂÈ fiùè το διάνυσμα της ταχ τητας είναι πάντα εφαπτ μενο της τροχιάς. EappleÈappleÏ ÔÓ, apple Ú ÁˆÁ ÔÓÙ ÙËÓ ÙÂÏÂ Ù Û ÛË ÓÂÈ ÙËÓ ÂappleÈÙ ÓÛË ÛÙË ÌÔÚÊ a = s e t + s 2 de t ds. (1.23) È ÙÔÓ appleúôû ÈÔÚÈÛÌfi ÙÔ È Ó ÛÌ ÙÔ de t, ÙÔ ÔappleÔ Ô ÂÌÊ Ó ÂÙ È ÛÙËÓ apple - ds Ú apple Óˆ Û ÛË ıâˆúô ÓÙ È Ù ÛËÌÂ Î È ÛÙË ÁÂÈÙÔÓÈ ÙÔ ÛËÌ Ô, fiappleˆ Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ Û Ì K ıò Ù ÛËÌÂ Î È appleúôûâáá - Ô Ó ÙÔ, ÙÔ Âapple appleâ Ô appleô ÔÚ ÂÙ È applefi Ù ÛËÌÂ, Î È appleúôûâá- Á ÂÈ ÙÔ ÏÂÁfiÌÂÓÔ εγγ τατο επίπεδο ÙË ÙÚÔ È ÛÙÔ. ŒÙÛÈ, ÙÔ Âapple appleâ Ô Ùfi Û Ìapple appleùâè Ì ÙÔ Âapple appleâ Ô appleô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ ÛËÌÂ Ô Î È ÙÔ È Ó ÛÌ e t = e t e t, Î ıò ÙÔ Ì ÎÔ ÙfiÍÔ s = Á ÓÂÙ È appleâèúôûùfi. EappleÔÌ Óˆ, ÙÔ È Ó ÛÌ de t ÎÂ Ù È ÛÙÔ ÂÁÁ Ù ÙÔ Âapple appleâ Ô ÙË ÙÚÔ È ÛÙÔ ds ÛËÌ Ô. EappleÈappleÏ ÔÓ, ÂappleÂÈ ÙÔ È Ó ÛÌ e t ÂÈ ÛÙ ıâúfi Ì ÙÚÔ, ÙÔ È Ó - ÛÌ de t Â Ó È Î ıâùô ÛÙÔ e ds t. ËÏ