K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë
|
|
- Χλόη Αντωνόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ Ê ÙÔÓ ÂÎ fiùë ISBN set ISBN T Copyright,.-X.. B ÛÈÏ Ô,. TÛ ÎÏ Ë, N. TÛ ÓÙ, EÎ fiûâè Z ÙË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 1998, ÈÔÚıˆÌ ÓË Ó Ù appleˆûë AappleÚ ÏÈÔ Aπαγορε εται η με κάθε τρ πο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή λου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και εκδ τη ºˆÙÔÛÙÔÈ ÂÈÔıÂÛ EÎÙ appleˆûë BÈ ÏÈÔappleˆÏÂ Ô ZHTH & È E 18Ô ÏÌ ÂÛ/Ó ÎË - ÂÚ T ñ N ÔÈ EappleÈ Ù ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË ñ T.K TËÏ.: (5 ÁÚ Ì.) - Fax: info@ziti.gr AÚÌÂÓÔappleÔ ÏÔ 27 ñ ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË TËÏ , Fax sales@ziti.gr
3 3 TÔ È Ï Ô ÊÈÂÚÒÓÂÙ È ÛÙË ÌÓ ÌË ÙÒÓ appleô Ê Á Ó ÙfiÛÔ Û ÓÙÔÌ applefi ÎÔÓÙ Ì ÙÔÓ apple Ù Ú ÌÔ È ÏË TÛ ÎÏ Ë ÙÔ Ê ÏÔ ÌÔ P Ô K. ÓÈÎ ÙÔ Ê ÏÔ ÌÔ KÒÛÙ Á
4 4 «Tα πνεύματά μας, δέκτες και πομποί παιρνούν και στέλνουν των καιρών το πνεύμα σε μιαν αρχαία και νέα ζωής πομπή που ακολουθεί της ιστορίας το νεύμα» Γιάννης Pίτσος
5 5 ΠPΛΓΣ Στο βιβλίο αυτ δίνεται μια ολοκληρωμένη συλλογή ασκήσεων (+400 ασκήσεις) πάνω σε θέματα Eπιχειρησιακής Έρευνας. Στον πρώτο τ μο οι ασκήσεις αφορο ν το Γραμμικ Προγραμματισμ. Για τις περισσ τερες απ αυτές δίνεται και ο τρ πος λ σης του απ κάποιο λογισμικ (LIND, QSB+ ή EXCEL) οι οδηγίες λειτουργίας των οποίων υπάρχουν σε ειδικ παράρτημα του βιβλίου. ενδιαφερ μενος αναγνώστης μπορεί να αποκτήσει τα αρχεία δεδομένων τους κάνοντας ανώνυμο ftp στον εξυπηρετή του αθηματικο Tμήματος (ftp://ftp.math.auth.gr directory/pub/or). Στο δε τερο τ μο έχουν συγκεντρωθεί ασκήσεις Δυναμικο Προγραμματισμο κι Aκέραιου Προγραμματισμο, καθώς επίσης και ασκήσεις απ τη θεωρία των μη Γραμμικών εθ δων Bελτιστοποίησης, των αρκοβιανών Aλυσίδων, τη θεωρία υρών, τις Hμιαρκοβιανές Aλυσίδες, τη θεωρία Aνανέωσης και τη θεωρία των αρκοβιανών Διαδικασιών. συμβολισμ ς και η ορολογία που χρησιμοποιείται είναι απ τα βιβλία των Tσάντα και Bασιλείου (1996), Bασιλείου (1990, 1991, 1996). ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË, X. B ÛÈÏÂ Ô. TÛ ÎÏ Ë N. TÛ ÓÙ
6 6
7 7 ΠEPIEXENA έρος 1 ΔYNAIKΣ ΠPΓPAATIΣΣ...9 έρος 2 H ΓPAIKEΣ EΘΔI BEΛTIΣTΠIHΣHΣ έρος 3 ΣTXAΣTIKEΣ EΘΔI ΣTHN EΠIXEIPHΣIAKH EPEYNA ο Kεφάλαιο ÌÔÁÂÓ ÚÎÔ È Ó AÏ Û Â ο Kεφάλαιο ÚÎÔ È Ó Ï Û Â appleôúúfiêëûë ο Kεφάλαιο ÚÎÔ È Ó È ÈÎ Û Â ο Kεφάλαιο EÈÛ ÁˆÁ ÛÙË ıâˆú Ô ÚÒÓ ο Kεφάλαιο Ó ıâè Ô Ú ο Kεφάλαιο ÂˆÚ Ó Ó ˆÛË ο Kεφάλαιο HÌÈ- ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Στατιστικοί πίνακες BÈ ÏÈÔÁÚ Ê...459
8 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 213 Kεφάλαιο 1 ο ΓENEIΣ APKBIANEΣ AΛYΣIΔEΣ 1.1. μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες PIΣΣ 1.1 È ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Â Ó È ÌÈ ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ Ù ˆÓ ÌÂÙ ÏËÙÒÓ ÔÚÈÛÌ ÓˆÓ Û Ó ÒÚÔ appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ (ø, F, P). E Ó apple Ú ÂÈ ÚÈıÌ ÛÈÌÔ appleï ıô ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ ÙË ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ ÙfiÙÂ Ë È ÈÎ Û Û Ì ÔÏ ÂÙ È Ì X 1, X 2, X 3,. E Ó ÙÔ appleï ıô ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ ÙË ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ ÂÓ Â Ó È ÚÈı- Ì ÛÈÌÔ ÙfiÙÂ Ë È ÈÎ Û Û Ì ÔÏ ÂÙ È Ì {X(t) : t 0} {X t } t 0. ÙËÓ appleúòùë appleâú appleùˆûë Ë È ÈÎ Û ÔÓÔÌ ÂÙ È ÌÈ È ÈÎ Û Û ÚfiÓÔ È ÎÚÈ- Ùfi ÂÓÒ ÛÙË Â ÙÂÚË appleâú appleùˆûë ÌÈ ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Û ÚfiÓÔ Û ÓÂ. PIΣΣ 1.2 ÒÚÔ ÙˆÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ S, Â Ó È Ô ÒÚÔ appleô ËÌÈÔ ÚÁÂ Ù È apple fiïâ ÙÈ appleèı Ó ÙÈÌ X i. E Ó S = (0, 1, 2, ) Ó ÊÂÚfiÌ ÛÙ ÛÙË ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Û ÌÈ È ÈÎ Û ÌÂ Î Ú È ÙÈÌ ÌÈ È ÎÚÈÙÒÓ Î Ù ÛÙ - ÛÂˆÓ È ÈÎ Û. E Ó S = (, ) ÙfiÙÂ Ë ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Î ÏÂ Ù È ÌÈ ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Ì appleú ÁÌ ÙÈÎ ÙÈÌ. PIΣΣ 1.3 È ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Î ÏÂ Ù È ÚÎÔ È Ó Ó ÁÈ Î ıâ t 1, t 2,, t Î appleèı{ < X t < X t1 = x 1, X t2 =x 2,, X tn = x n} = prob{ < X t < X tn = x n} fiappleô t 1 < t 2 < < t n < t. H Î ÙËÁÔÚ ÙˆÓ ÚÎÔ È ÓÒÓ È ÈÎ ÛÈÒÓ appleô Â Ó È Û ÚfiÓÔ È - ÎÚÈÙfi Î È Ì ÒÚÔ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ È ÎÚÈÙfi Î ÏÔ ÓÙ È ÚÎÔ È Ó Ï Û Â.
9 214 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ŒÙÛÈ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÔÚ ÛÔ Ì ÌÈ Ï Û ÙÔ arkov Û Ó ÌÈ ÎÔÏÔ ı X 0, X 1, X 2, È ÎÂÎÚÈÌ ÓˆÓ Ù ˆÓ ÌÂÙ ÏËÙÒÓ Ì ÙËÓ È ÈfiÙËÙ fiùè Ë applefi Û Óı ÎË Î Ù ÓÔÌ ÙË X n+1 fiù Ó ÓÔÓÙ È ÔÈ X 0, X 1,, X n ÂÍ ÚÙ - Ù È ÌfiÓÔ applefi ÙËÓ ÙÈÌ ÙË X n ËÏ appleèı{x n+1 =j X n =i,, X 0 =Ï} = appleèı{x n+1 =j X n =i} = p ij (n). È appleèı ÓfiÙËÙ p ij (n) ÁÈ i, j=1, 2,, k Î È n=0, 1, ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Î È πιθαν τητες μετάβασης ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û. appleï ÔÓ ÔÏÈÎfi ÙÚfiappleÔ Ó ÊÔÚ Û Ù ÙÈ appleèı ÓfiÙËÙÂ Â Ó È Ì ÙË ÌÔÚÊ ÂÓfi apple Ó Î P(t) Ì appleâappleâú ÛÌ ÓÂ È ÛÙ ÛÂÈ fiù Ó Ô ÒÚÔ ÙˆÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ S Â Ó È appleâappleâú ÛÌ ÓÔ. ËÏ P(t) = Ê Á Á Ë p 11 (t) p 12 (t) p 1k (t) p 21 (t) p 22 (t) p 2k (t) p k1 (t) p k2 (t) p kn (t) apple Ó Î P(t) ÔÓÔÌ ÂÙ È πίνακας μετάβασης ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ÁÈ ÙÔ ÚÔÓÈÎfi È ÛÙËÌ [t 1, t). PIΣΣ 1.4 È ÚÎÔ È Ó Ï Û Î ÏÂ Ù È στατική ομογενής Ó Ë appleèı Ófi- ÙËÙ ÌÂÙ ÛË applefi ÙË ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË ÛÙËÓ ÏÏË Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙË applefi ÙÔ ÚfiÓÔ appleô Á ÓÂÙ È Ë ÌÂÙ ÛË. ŒÙÛÈ Ô Ì ÁÈ fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ i Î È j appleèı{x n =j X n 1 =i} = p ij ÁÈ Î ıâ t=1, 2,. È ÌÈ ÔÌÔÁÂÓ ÚÎÔ È Ó Ï Û {X t } t=0 ÔÚ Ô Ì ÙÈ appleèı ÓfiÙËÙ p j (t) = appleèı{x t =j}, j=0, 1,, k, t=0, 1,. ŒÛÙˆ ÙÔ È Ó ÛÌ Θεώρημα 1.1 p(t) = [p 0 (t), p 1 (t),, p k (t)]. E Ó Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ appleâappleâú ÛÌ ÓË ÔÌÔÁÂÓÔ ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È P ÙfiÙ ÈÛ Ô Ó Ù apple Ú Î Ùˆ P(t) = p(0) P t p ij (m+n) =  k l=0 ÁÈ t=1, 2, p il (m) p lj (n). H  ÙÂÚË Û ÛË Â Ó È ÁÓˆÛÙ Î È Û Ó Ë Chapman-Kolmogorov Û ÛË ÁÈ ÙÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û Â. ˆ.
10 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες Στατιστική συμπερασματολογία σε πεπερασμένες αρκοβιανές Aλυσίδες Ì ÔÏ Ô Ì Ì n ij ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÂÙ ÛÂˆÓ applefi ÙÔ i ÛÙÔ j Î È Ì n i =  k i=1 n ij,  k i=1  k n ij = n. j=1 È ÂÎÙÈÌËÙ Ì ÁÈÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ ÙˆÓ appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ ÌÂÙ ÛË p ij Â Ó È ^p ij = n ij i, j = 1, 2,, k. n i ŒÛÙˆ fiùè ı ÏÔ ÌÂ Ó ÂÏ ÁÍÔ ÌÂ Ó Ù Â ÔÌ Ó Ì appleúô Ú ÔÓÙ È applefi ÌÈ Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓË ÚÎÔ È Ó Ï Û P* ÛÂ Û ÛË Ì ٠appleâèú Ì ÙÈÎ Ì Â ÔÌ Ó applefi fiappleô ÂÎÙÈÌÔ Ì fiùè Ô apple Ó Î Â Ó È P. H ÌË ÂÓÈÎ applefiıâûë ËÏ Â Ó È H 0 : ^P = P*. È ÌÈ Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓË ÌÂÙ ÛË Ó ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÂÏ Á Ô applefiıâ- ÛË ÌappleÔÚÂ Ó ÛÙËÚÈ ıâ ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè ÙÔ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi  k n i (^p ij p ij) * 2 i=1 p ij * j=1, 2,, k ÂÈ ÙË 2 Î Ù ÓÔÌ Ì k 1 ıìô ÂÏ ıâú. È ıìô ÙÔ ÂÏ ıâ- Ú appleôïôá ÔÓÙ È Ì ÙËÓ appleúô applefiıâûë fiùè ÂÓ apple Ú Ô Ó ÌË ÂÓÈÎ ÛÙÔÈ Â p * ij ÛÙÔ apple Ú apple Óˆ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi. AÓ apple Ú Ô Ó ÌË ÂÓÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÙËÓ i ÁÚ ÌÌ ÙfiÙ appleú appleâè Ó ÏËÊıÔ Ó applefi Ë ÌfiÓÔ Ù ÌË ÌË ÂÓÈÎ ÛÙÔÈ Â. È ÙËÓ appleâú appleùˆûë appleô ı ÏÔ ÌÂ Ó ÂÏ ÁÍÔ Ì fiïâ Ì ÙÈ ÌÂÙ ÛÂÈ ÙfiÙÂ Ó ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÂÏ Á Ô applefiıâûë ÌappleÔÚÂ Ó ÛÙËÚÈ ıâ ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè ÙÔ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi  k  k n i (^p ij p ij) * 2 i=1 j=1 p ij * ÂÈ ÙËÓ 2 Î Ù ÓÔÌ Ì k(k 1) ıìô ÂÏ ıâú, fiappleô Â Ó È Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌË ÂÓÈÎÒÓ ÛÙÔÈ Â ˆÓ ÛÙÔÓ apple Ó Î P *. TÔ Â ÙÂÚÔ ÛÎ ÏÔ ÙÔ ÂÏ Á Ô ÛÙ ÙÈÛÙÈÎ applefiıâûë appleô ı Ì apple - Û ÔÏ ÛÂÈ Â Ó È Ô ÏÂÁ Ô ÔÌÔÁ ÓÂÈ. Ù Ó ÙËÓ appleâú appleùˆûë ÛÙˆ fiùè P(t) Â Ó È Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û Î Ù ÙË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ t. TfiÙÂ Ô ÂÎÙÈÌËÙ Ì ÁÈ-
11 216 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ ÁÈ ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ ÌÂÙ ÛË p ij (t) Û ÌÈ Â ÔÌ ÓË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ Â Ó È ^p ij (t) = n ij(t) n i (t 1). ŸÙ Ó Ô ÌÂ Ó Û ÓÔÏÔ applefi apple Ú ÙËÚ ÛÂÈ ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û ÛÂ Ó ÌÂÁ ÏÔ ÚÔÓÈÎfi È ÛÙËÌ [0, T] Î È appleôı ÙÔ Ì fiùè ÔÈ appleèı ÓfiÙËÙ ÌÂÙ ÛË Â Ó È ÔÌÔÁÂÓ ÙfiÙÂ Ô ÂÎÙÈÌËÙ Ì ÁÈÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ ÁÈ ÔappleÔÈ appleôùâ ÌÂÙ ÛË ÓÂÙ È applefi  T n ij (t) t=1 ^p ij =  T n i (t) t=1 AÓ ıâˆú ÛÔ Ì ÙË ÌË ÂÓÈÎ applefiıâûë fiùè ÔÈ appleèı ÓfiÙËÙ ÌÂÙ ÛË ÁÈ ÌÈ Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓË Î Ù ÛÙ ÛË apple Ú Ì ÓÔ Ó ÛÙ ıâú Ì Û ÛÙÔ ÚfiÓÔ ÙfiÙ H 0 : p ij (t) = p ij ÁÈ fiï Ù jœf(i) Î È t,  ÔÌ ÓÔ ÙÔ i fiappleô F(i) Â Ó È ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ j ÁÈ ÙÔ ÔappleÔ Ô p ij (t) > 0 Î È ÛÙˆ n(i) Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ ÙÔ Û ÓfiÏÔ F(i). TfiÙ Πو applefi Ù ÙËÓ applefiıâûë ÙÔ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi 2(i) =  T t=1  n i (t) [^p ij (t) ^p ij ] 2 F(i) ^p ij ÂÈ Î Ù appleúôû ÁÁÈÛË ÙËÓ 2 Î Ù ÓÔÌ Ì (T 1) [F(i) 1] ıìô ÂÏ ıâú Kατηγοροποίηση των καταστάσεων μιας αρκοβιανής Aλυσίδας PIΣΣ 1.5 È Î Ù ÛÙ ÛË i Î ÏÂ Ù È προσιτή applefi ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j Â Ó ÁÈ Î - appleôèô Î Ú ÈÔ n 0 ÈÛ ÂÈ p ij (n) 0. Ô Î Ù ÛÙ ÛÂÈ appleô Â Ó È appleúôûèù ÌÂ- Ù Í ÙÔ Ï Ì fiùè Ú ÛÎÔÓÙ È Û επικοινωνία. H Û ÛË ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Ô Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ i, j Û Ì ÔÏ ÂÙ È i j.
12 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 217 PIΣΣ 1.6 È Î Ù ÛÙ ÛË i ÔÓÔÌ ÂÙ È μη βασική Â Ó ÁÈ Î appleôè Î Ù ÛÙ ÛË j ÁÈ ÙËÓ ÔappleÔ i j ÈÛ ÂÈ j -Æ / i. Eapple ÛË Ë i ÔÓÔÌ ÂÙ È ÌË ÛÈÎ Â Ó ÂÓ apple Ú ÂÈ Î ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË j Ù ÙÔÈ ÒÛÙ iæj. È Î Ù ÛÙ ÛË ÔÓÔÌ Â- Ù È βασική Â Ó ÂÓ Â Ó È μη βασική. K Ù Û Ó appleâè Â Ó Ë i Â Ó È ÛÈÎ Î È iæj ÙfiÙ i j. Πρ ταση 1.1 (i) È Î ıâ Î Ù ÛÙ ÛË i appleô ÂÓ Â Ó È Î Ù ÛÙ ÛË appleôúúfiêëûë apple Ú- Ô Ó ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË j Ù ÙÔÈ ÒÛÙ iæj. (ii) AÓ Ë Î Ù ÛÙ ÛË i Â Ó È ÛÈÎ ÙfiÙ i i. (iii) AÓ i j Î È j k ÙfiÙ i k. (iv) AÓ Ë i Î Ù ÛÙ ÛË Â Ó È ÛÈÎ Î È iæj ÙfiÙÂ Î È Ë j Â Ó È ÛÈÎ Î È i j. (v) ŒÛÙˆ B ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï - Û. H Û ÛË ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Â Ó È ÌÈ Û ÛË ÈÛÔ Ó Ì ÁÈ ÙÔ Û - ÓÔÏÔ B. AÊÔ Ë Û ÛË ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ appleôùâïâ ÌÈ Û ÛË ÈÛÔ Ó Ì ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ˆÚ ÂÙ È Ì ÛË ÙË Û ÛË ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Û ÎÏ ÛÂÈ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛˆÓ. K Ù ÛÙ ÛÂÈ ÛÈÎ appleô Ó ÎÔ Ó ÛÂ È - ÊÔÚÂÙÈÎ ÎÏ ÛÂÈ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ÂÓ Â Ó È appleúôûèù ÌÂÙ Í ÙÔ. H  ÚÂÛË ÙˆÓ ÛÈÎÒÓ Î È ÌË ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ÂÓfi apple Ó Î, Î ıò Î È ÙˆÓ ÎÏ ÛÂÒÓ ÙÔ, ÌappleÔÚÂ Ó Á ÓÂÈ Ì ÙËÓ apple Ú Î Ùˆ È ÈÎ Û. Φάση 1 ÂÎÈÓ Ì Ì ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË 1 ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ ÛÂ Ó È ÁÚ ÌÌ ÚÔ fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ j ÔÈ ÔappleÔ Â Â Ó È appleôûèù applefi ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË 1, ËÏ 1 Φάση 2 ÓÂ Ô Ì ÙÔ È ÁÚ ÌÌ ÚÔ ÁÈ Î ıâ Î Ù ÛÙ ÛË ÛÙËÓ ÔappleÔ Ô Ó Î Ù Ï ÍÂÈ ÙfiÍ applefi ÙËÓ 1, ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ appleô Â Ó È appleúôûèù applefi Ù Ó. ÓÂ Ô ÌÂ Ì ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiappleÔ ÙÔ È ÁÚ ÌÌ ÚÔ ÁÈ fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ ÔÈ ÔappleÔ Â ÂÌÊ Ó ÔÓÙ È ÛÙÔ ÂÍ ÎÚÔ, ÂÎÙfi applefi j k
13 218 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα Ù appleô Ô Ó Ë ÂÌÊ ÓÈÛı Û appleúôëáô ÌÂÓË Ê ÛË. TÂÏÂÈÒÓÔ Ì ÙË È ÈÎ Û fiù Ó Ô Ó ÂÌÊ ÓÈÛı fiïâ ÔÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ. E Ó apple Ú Ô Ó Î - Ù ÛÙ ÛÂÈ, appleô ÂÓ Ô Ó ÂÌÊ ÓÈÛÙ ÛÙÔ È ÁÚ ÌÌ ÚÔ, ÍÂÎÈÓ Ì Ì Π- appleôè applefi Ù Ó Î ÓÔ ÚÁÈÔ È ÁÚ ÌÌ Ì ÚÈ appleô Ó ÂÍ ÓÙÏËıÔ Ó fiïâ. Διαδικασία γραφής της κανονικής μορφής H κανονική μορφή ÂÓfi ÛÙÔ ÛÙÈÎÔ apple Ó Î appleúôî appleùâè applefi ÙËÓ Ú ÈÎ ÙÔ ÌÔÚÊ ÙËÚÒÓÙ ÙËÓ apple Ú Î Ùˆ ÛÂÈÚ ÁÚ Ê ÙˆÓ Î Ù ÛÙ ÛˆÓ: ) Ú ÊÔ Ì appleúòù ÙÈ ÎÏ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Ì ÍÔ Û ÛÂÈÚ ˆ appleúô ÙÔ appleï ıô ÙˆÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÎÏ ÛˆÓ. ) Ú ÊÔ Ì ÌÂÙ ÙÈ ÎÏ ÛÂÈ ÙˆÓ ÌË ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Ì ٠ÙÔÈ ÛÂÈÚ, ÒÛÙÂ Ó Â Ó È appleúòùâ ÂΠӠappleô Â Ó È appleúôûèù applefi ÏÏÂ. Ë- Ï ÂÓ appleú appleâè Ó apple Ú ÂÈ ÛÙÔÓ apple Ó Î ÌË ÛÈÎ ÎÏ ÛË Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Ë ÔappleÔ Ó Â Ó È appleúôûèù applefi ÏÏË ÎÏ ÛË appleô Ú ÛÎÂÙ È " ËÏfiÙÂÚ " ÛÙÔÓ apple Ó Î. PIΣΣ 1.7 È ÚÎÔ È Ó Ï Û Î ÏÂ Ù È È ÒÚÈÛÙË Ó ÂÈ ÌfiÓÔ ÌÈ - ÛÈÎ ÎÏ ÛË Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Î È ÂÓ ÂÈ ÌË ÛÈÎ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ. PIΣΣ 1.8 H Î Ù ÛÙ ÛË j ÂÈ appleâú Ô Ô d Â Ó ÔÈ apple Ú Î Ùˆ Ô Û Óı ΠÈÛ Ô Ó (i) p jj (n) = 0 ÁÈ Î ıâ n ÂÎÙfi Â Ó n=md ÁÈ Î appleôèô ıâùèîfi Î Ú ÈÔ m (ii) d Â Ó È Ô Ì ÁÈÛÙÔ Î Ú ÈÔ Ì ÙËÓ È ÈfiÙËÙ (i). H Î Ù ÛÙ ÛË i ÔÓÔÌ ÂÙ È appleâúèô ÈÎ fiù Ó d=1. Ì ÔÏ Ô Ì ÙËÓ appleâ- Ú Ô Ô ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË Ì apple(i) = d. ŒÓ ÈÛÔ Ó ÌÔ ÔÚÈÛÌfi ÙË appleâúèfi Ô ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË ÌÈ ÚÎÔ È Ó AÏ Û Â Ó È Ô apple Ú Î Ùˆ. PIΣΣ 1.9 ÂÚ Ô Ô ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË j Â Ó È Ô Ì ÁÈÛÙÔ ÎÔÈÓfi È ÈÚ ÙË (Ì.Î..) fiïˆó ÙˆÓ n 1 ÁÈ ÙÔ ÔappleÔ Ô p jj (n) > 0. Θεώρημα 1.2 E Ó i j ÙfiÙÂ Î È apple(i) = apple(j). ŒÛÙˆ Ì È ÒÚÈÛÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û n Ì ÛÈÎ ÎÏ ÛË Î Ù - ÛÙ ÛÂˆÓ E Ì appleâú Ô Ô d. È Â ÔÌ ÓÔ iœe ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ıâˆú ÛÔ Ì ÙÔ appleôû ÓÔÏÔ C b (i) ÙÔ E ÙÔ ÔappleÔ Ô appleôùâïâ Ù È applefi fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙËÓ È ÎÏ ÛË appleôïô appleô b (mod d) ËÏ
14 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 219 C b (i) = {jœe : p ij (n) > 0, ÁÈ fiï Ù n b (mod d)}, 0 b d 1. TfiÙÂ Ù Û ÓÔÏ C b (i), 0 b d 1 ÂÓ ÂÍ ÚÙÒÓÙ È applefi ÙÔ i. ÓÔÌ Ô Ì ÙÈ ÎÏ ÛÂÈ C b (0 b d 1) ÙˆÓ ÔappleÔ ˆÓ Ë ÙÔÌ ÙÔ Â Ó È Ó Ô ÙÔ ÎÂÓfi Û ÓÔÏÔ Î È Ë ÓˆÛ ÙÔ Ë ÛÈÎ ÎÏ ÛË Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ E, Î ÎÏÈÎ appleôîï - ÛÂÈ ÙË ÎÏ ÛË E. Θεώρημα 1.3 ŒÛÙˆ ÌÈ È ÒÚÈÛÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û n Ì ÎÏ ÛË ÛÈÎÒÓ Î - Ù ÛÙ ÛÂˆÓ E Ì appleâú Ô Ô d. E Ó ÎŒC b, 0 b d 1 Î È p Îj > 0 ÙfiÙ jœc b 1. apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ È ÒÚÈÛÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û appleâúèfi- Ô d ÌappleÔÚÂ Ó ÁÚ Ê ÛÙË ÌÔÚÊ P = C 0 C 1 C d 2 C d 1 Ë ÁÁ Ê C 0 C 1 C 2 K C d 1 P d 1 P 1 P 2 K K K K ˆ P d 2 fiappleô P 1, P 2,, P d 1 ÛÙÔ ÛÙÈÎÔ apple Ó Î ÁÂÓÈÎ ÔÚıÔÁÒÓÈÔÈ. Ú Ô Ì Ì f ii (n) ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ Âapple Ó ÊÔÚ ÙÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ÌÂÙ n- Ì Ù ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ ËÏ f ii (n) = appleèı{x n = i, X r π i, r=1,, n 1 X 0 =i}. ŒÛÙˆ f jî (n) Ë appleèı ÓfiÙËÙ ÙÔ Û ÛÙËÌ Ó ÌÂÙ Â applefi ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË Î Û n- Ì Ù ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ ËÏ. f jî (n) = appleèı{x n =Î, X r π Î, r=1,, n 1 X 0 =j}. È apple Ú apple Óˆ ÔÚÈÛÌÔ Û ÌappleÏËÚÒÓÔÓÙ È Î È applefi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè ÔÚ Ô Ì f ii (0) = f ij (0) = 0. E Ó È appleúôê Ó fiùè Ó Û Ì ÔÏ ÛÔ Ì Ì f i ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ Âapple Ó ÊÔÚ ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ ÙfiÙ f i =  f ii (n). n=1 Eapple ÛË Û Ì ÔÏ ÔÓÙ Ì f jî ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ ÌÂÙ ÛË ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ
15 220 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα applefi ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË Î Ì ÙÔ ÈÔ ÛÎÂappleÙÈÎfi Ô Ì fiùè f jî =  f jî (n). n=1 PIΣΣ 1.10 Î Ù ÛÙ ÛË i Î ÏÂ Ù È Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Â Ó f i = 1. E Ó f i < 0 ÙfiÙÂ Ë Î Ù ÛÙ ÛË Î ÏÂ Ù È apple ÚÔ ÈÎ. ÙËÓ appleâú appleùˆûë appleô Ë Î Ù ÛÙ ÛË i Â Ó È Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ ÂÈ ÓfiËÌ Ó Û ËÙ Ì ÁÈ ÙÔ Ì ÛÔ ÚfiÓÔ ÙË appleúòùë Âapple Ó ÊÔÚ ÙÛÈ Ô Ì ÛÔ ÚfiÓÔ Ì i ÙË appleúòùë Âapple Ó ÊÔÚ ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i Â Ó È Ì i =  n f ii (n). n=1 PIΣΣ 1.11 E Ó Ì i Â Ó È appleâappleâú ÛÌ ÓÔ ÚÈıÌfi ÙfiÙÂ Ë Î Ù ÛÙ ÛË i Î ÏÂ Ù È ıâùè- Î -Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ, ÏÏÈÒ Î ÏÂ Ù È Û ÊÒ -Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ. Πρ ταση 1.2 IÛ ÂÈ Ë Û ÛË Θεώρημα 1.4 p ij (n) =  n Î=0 f ij (Î) p jj (n Î) n 1. H Î Ù ÛÙ ÛË i Â Ó È Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Â Ó Î È ÌfiÓÔ Â Ó Θεώρημα 1.5  p ii (n) =. n=0 E Ó ÔÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ i Î È j Ú ÛÎÔÓÙ È Û ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ ÙfiÙÂ Â Ó È ÙÔ È Ô Ù appleô ËÏ Â Ó È Î È ÔÈ Ô apple ÚÔ ÈÎ Û ÊÒ Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ ıâùèî Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Î È ÂappleÈappleÏ ÔÓ Ô Ó ÙËÓ È appleâú Ô Ô. Θεώρημα 1.6 Î Ù ÛÙ ÛË Î ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È apple ÚÔ ÈÎ Â Ó Î È ÌfiÓÔÓ Â Ó Â n p ÎÎ (n) <, Î È Û Ù Ó ÙËÓ appleâú appleùˆûë  n p jî (n) < ÁÈ Î ıâ j.
16 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 221 Πρ ταση 1.3 Î Ù ÛÙ ÛË ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È ÛÈÎ Ó Î È ÌfiÓÔ Â Ó Â Ó È Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ appleôúúfiêëûë. È ÌË ÛÈÎ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ Â Ó È apple ÚÔ ÈÎ. È ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ì apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P = Í È P 1 Î R Q. ÔÓÔÌ ÔÓÙ È indecomposable ÚÎÔ È Ó Ï Û Â. Θεώρημα 1.7 (Eργοδικ θεώρημα) ŒÛÙˆ Î Ì Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Î Ù ÛÙ ÛË Î È ÛÙˆ Ì Î =  n f ÎÎ (n) n Ô Ì ÛÔ ÚfiÓÔ Âapple Ó ÏË Ë. i) E Ó Î Â Ó È ÌË appleâúèô ÈÎ Î Ù ÛÙ ÛË ÙfiÙÂ Î È lim næ p ÎÎ (n) = 1 Ì Î lim p jî (n) = F jî (1) næ Ì Î fiappleô F jî (s) Ë appleèı ÓÔÁÂÓÓ ÙÚÈ Û Ó ÚÙËÛË ÙˆÓ appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ f jk (n). ii) E Ó Î ÂÈ appleâú Ô Ô d ÙfiÙ lim næ p ÎÎ(nd) = d Ì Î Î È ÁÈ Î ıâ Î Ù ÛÙ ÛË j appleô Ú ÛÎÂÙ È Û ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Ì ÙËÓ Î Ô - Ì lim p jî (r jî+nd) = d F jî(1). næ Ì Î PIΣΣ 1.12 ŒÛÙˆ P Ó ÛÙÔ ÛÙÈÎfi apple Ó Î. Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÂÚÁÔ ÈÎfiÙËÙ ÙÔ P Ô ÔappleÔ Ô Û Ì ÔÏ ÂÙ È Ì (P) ÔÚ ÂÙ È Û Ó (P) = 1 sup i, Î Â [p ij p Îj ] + j=1
17 222 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα fiappleô [p ij p Îj ] + = max (0, p ij p Îj ). Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÂÚÁÔ ÈÎfiÙËÙ ÂÈ ÙÈ apple Ú Î Ùˆ È ÈfiÙËÙÂ. i) 0 (P) 1. ii) (P) = 1 Ë Ê 1 ˆ 2 sup i, Î Â p ij p Îj. j=1 iii) ŒÛÙˆ P Ó ÛÙÔ ÛÙÈÎfi apple Ó Î, ÙfiÙ (P) = inf i, Î Â min (p ij, p Îj ). j=1 PIΣΣ 1.13 È ÒÚÈÛÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ı Ï Ì fiùè Â Ó È Î ÓÔÓÈÎ Ó Î È ÌfiÓÔ Ó appleôùâïâ Ù È applefi Ó ÎÏÂÈÛÙfi Û ÓÔÏÔ Âapple Ó ÏËappleÙÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ - ÛÂˆÓ Ì ÎÏ ÛË ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Î È Â Ó È appleâúèô ÈÎ. Θεώρημα 1.8 ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ì apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P ÙfiÙ ÙÔ fiúèô ÙÔ apple Ó Î P n Î ıò ÙÔ næ Â Ó È Ó Â ÛÙ ı apple Ó Î Π fiappleô π Â Ó È Ë ÁÚ ÌÌ ÙÔ apple Ó Î Ë ÔappleÔ ÂÈ ıâùèî ÛÙÔÈ Â. H Ù - ÙËÙ Û ÁÎÏÈÛË Â Ó È Ù ÙÔÈ ÒÛÙ p ij (n) apple j (1 (P n 0)) n/n 0 1 fiappleô n 0 Â Ó È Ô ÂÏ ÈÛÙÔ Î Ú ÈÔ Ù ÙÔÈÔ ÒÛÙ (P n 0 ) > 0. ÌÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì ÙˆÓ Chapman - Kolmogorov Ô Ì fiùè lim p(n) = p(0) lim næ næ Pn = p(0) Π = π = (apple 1, apple 2,, apple Î ) ËÏ. Û ÌappleÙˆÙÈÎ ÔÈ appleèı ÓfiÙËÙÂ Ë ÚÎÔ È Ó Ï Û Ó Â Ó È ÛÙÈ Î - Ù ÛÙ ÛÂÈ 1, 2,, Î ÓÔÓÙ È applefi ÙË ÁÚ ÌÌ ÙÔ apple Ó Î Π. TÔ Û ÌappleÙˆÙÈÎfi È Ó ÛÌ π appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È appleôï  ÎÔÏ applefi ÙË Ï ÛË ÙÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ π P = π  Πapple i = 1. i=1
18 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 223 PIΣΣ 1.14 Ï Ì ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ì apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P fiùè Â Ó È μικτή Ó Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P Â Ó È Ù ÙÔÈÔ ÒÛÙ ÁÈ Î appleôèô Î Ú ÈÔ n 0 Ó ÈÛ ÂÈ (P n 0) > 0. Θεώρημα 1.9 E Ó P Â Ó È Ó apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ ÌÈÎÙ ÚÎÔ È Ó Ï Û - ÙfiÙÂ Ô apple Ó Î P n Î ıò ÙÔ n Æ Û ÁÎÏ ÓÂÈ ÛÂ Ó Â ÛÙ ı ÛÙÔ - ÛÙÈÎfi apple Ó Î Π ÙÔ ÔappleÔ Ô Ë ÁÚ ÌÌ π ÂÓ Á ÓÂÈ ÂÓ ÂÈ fiï Ù ÛÙÔÈ Â ıâùèî. T ıâùèî ÛÙÔÈ Â ÙÔ ÛÙÔ ÛÙÈÎÔ È Ó ÛÌ ÙÔ π ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙÈ Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û. Œ Ô Ì Âapple ÛË fiùè p ij (n) apple j (1 (P n 0 )) n/n 0 1 ÁÈ Î ıâ Î Ù ÛÙ ÛË i Î È j appleô Ó ÎÔ Ó ÛÙÔ S Î È ÁÈ Î ıâ Î Ú ÈÔ n. ˆÚÔ Ì ÙÒÚ ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ë ÔappleÔ Â Ó È È ÒÚÈÛÙË Î È appleâúèô ÈÎ Ì appleâú Ô Ô d. apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ Ù ÙÔÈ ÚÎÔ È - Ó Ï Û ÌappleÔÚÂ Ó ÁÚ Ê ÛÙË ÌÔÚÊ C 0 C 1 Θεώρημα 1.10 C d 2 C d 1 Ë ÁÁ Ê C 0 C 1 C 2 K C d 1 P d 1 P P 2 K K K K ˆ P d 2 ŒÛÙˆ Ì È ÒÚÈÛÙË appleâúèô ÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ì appleâú Ô Ô d. ŒÛÙˆ P Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ÙfiÙÂ Ë ÎÔÏÔ ı {P n } n=0 È Ûapple Ù È Û d Û ÁÎÏ ÓÔ Û apple ÎÔÏÔ ı  Ì fiúè Ù P*P r ÁÈ r = 0, 1,, d 1 fiappleô P* = lim P nd. næ ŒÛÙˆ C 0, C 1,, C d 1 ÔÈ Î ÎÏÈÎ appleôîï ÛÂÈ ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û - Î È P 1, P 2,, P d 1 ÔÈ ÓÙ ÛÙÔÈ ÔÈ apple Ó Î ÌÂÙ ÛË. TfiÙ ÛÙˆ X i = P i P i+1 P d 1 P 1 P i 1 ÁÈ i=1, 2,, d 1. È apple Ó Î X i (i=1, 2,, d 1) ÔÚ Ô Ó d Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï -
19 224 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα Û Â Î È Π i = lim næ X n i  ÛÙ ıâ ÛÙÔ ÛÙÈÎÔ apple Ó ÎÂ Î È P* = C 0 C 1 Ê C d 1 Ë Á C 0 C 1 K C d 1 Π 1 Π 2 K K K ˆ Π d 1 ŒÛÙˆ π i Ë ÁÚ ÌÌ ÙÔ apple Ó Î Π i. H ÎÔÏÔ ı {P n } n=0 Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cesaro ÛÙÔÓ apple Ó Î Π d = 1 d Âd 1 P*P r r=0 fiappleô Π d Â Ó È Ó Â ÛÙ ı ÛÙÔ ÛÙÈÎfi apple Ó Î ÙÔ ÔappleÔ Ô Ë ÁÚ ÌÌ π d ÓÂÙ È applefi π d = 1 d (π 0, π 1,, π d 1 ). ι μέσοι χρ νοι πρώτης εισ δου Û Ì ÔÏ ÛÔ Ì Ì m ij ÙË Ì ÛË ÙÈÌ ÙÔ ÚfiÓÔ appleúòùë ÂÈÛfi Ô ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j  ÔÌ ÓÔ fiùè Ë ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i Î È Ì ÙÔÓ apple Ó Î ÙˆÓ m ij, i, jœs. Θεώρημα 1.11 ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û ÙfiÙ m ij, i, jœs appleâappleâú ÛÌ ÓÔÈ. AÓ Û Ì ÔÏ ÛÔ Ì ÙÔÓ apple Ó Î E appleô ÂÈ fiï Ù ÛÙÔÈ Â ÙÔ ÌÔÓ Â ÙfiÙ ΠPIΣA 1.1 ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û ÙfiÙ = P( dg ) + E. Θεώρημα 1.12 ŒÛÙˆ P Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û Î È ÛÙˆ fiùè lim næ Pn = Π.
20 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 225 TfiÙÂ Ô apple Ó Î Z = [I (P Π)] 1 apple Ú ÂÈ Î È Â Ó È ÙÔ fiúèô ÙË apple Ú ÛÙ ÛË I +  n=1 (P n Π). Θεώρημα 1.13 ŒÛÙˆ P Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û ÙfiÙ i) PZ = ZP ii) Z1 = 1 iii) π Z = π iv) I Z = Π PZ fiappleô 1 = [1, 1,,1]. Θεώρημα 1.14 ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ì apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P ÙfiÙ m ij = 1 fiappleô Π = lim P n Î È π Ë ÁÚ ÌÌ ÙÔ Î È Ù ÏÔ apple i næ = (I Z + E Z dg ) Π 1 dg. Ì ÔÏ Ô Ì Ì w ij ÙË Ì ÛË ÙÈÌ ÙÔ ÙÂÙÚ ÁÒÓÔ ÙÔ ÚfiÓÔ appleúòùë ÂÈÛfi Ô ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j  ÔÌ ÓÔ fiùè Ë ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i. ŒÛÙˆ W Ô apple Ó Î {w ij } i, jœs ÙfiÙ ÈÛ ÂÈ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ ıâò- ÚËÌ. Θεώρημα 1.15 ŒÛÙˆ ÌÈ Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û, P Ô apple Ó Î appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ ÌÂ- Ù ÛË lim P n = Π Î È Z = [I (P Π)] 1 ÙfiÙ næ Θεώρημα 1.16 W = P [W W dg ] 2P [Z E Z dg ] Π 1 dg + E. ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û, P Ô apple Ó Î appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ ÌÂ- Ù ÛË lim næ P n = Π Î È Z = [I (P Π)] 1 ÙfiÙ W = (2Z dg Π 1 dg I)+2 (Z E(Z) dg ).
21 226 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα 1 PB HATA Bρείτε τον πίνακα μετάβασης P για την παρακάτω αλυσίδα του arkov: N μα ρες μπάλες και N λευκές τοποθετο νται σε δ ο δοχεία έτσι ώστε σε κάθε δοχείο να υπάρχουν N μπάλες. Σε κάθε βήμα μία μπάλα εκλέγεται τυχαία απ κάθε δοχείο και οι δ ο μπάλες αλλάζουν δοχεία. H κατάσταση του συστήματος είναι οι λευκές μπάλες στο πρώτο δοχείο. ΛYΣH Ú Ô ÌÂ Û Ó (j, k) ÛÙÔÈ Â Ô ÙÔ apple Ó Î P ÙÔ p jk = appleèı {Î ÏÂ Î Ìapple ÏÂ ÛÙÔ appleúòùô Ô Â Ô ÌÂÙ n+1 ÓÙ ÏÏ Á / j ÏÂ Î Ìapple ÏÂ ÛÙÔ appleúòùô Ô Â Ô ÌÂÙ n ÓÙ ÏÏ Á }. ÁÈ n=1, 2,, 2 Ï Ë Ê 2 j N ˆ 2 Ê j ˆ p jk = Ë NË Ê N j N ˆ Ô Ì Ô Ó 2 Â Ó k = j 1 Â Ó k=j j=1, 2,, N j=0, 1,, N Ê1 j ˆ Â Ó k = j+1 j=0, 1,, N 1 Ë N 0 ÛÙÈ ÏÏÂ appleâúèappleùòûâè Θεωρο με δ ο δοχεία A και B τα οποία περιέχουν N μπάλες. Στο χρ νο t (t = 1, 2, ) διαλέγουμε μία μπάλα τυχαία. ετά διαλέγουμε ένα δοχείο, το A με πιθαν τητα p και το B με πιθαν τητα q (p+q = 1), και η μπάλα τοποθετείται στο δοχείο που διαλέξαμε. ρίζουμε σαν κατάσταση του συστήματος τον αριθμ απ μπάλες που περιέχει το δοχείο A. Nα βρεθεί ο πίνακας μετάβασης της αλυσίδας του arkov που περιγράψαμε. ΛYΣH Ú Ô ÌÂ Û Ó (i, j) ÛÙÔÈ Â Ô ÙÔ apple Ó Î P ÙÔ p ij = {i Ìapple ÏÂ ÛÙÔ Ô Â Ô A ÛÙÔ ÚfiÓÔ t+1 j Ìapple ÏÂ ÛÙÔ Ô Â Ô A ÛÙÔ ÚfiÓÔ t}
22 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 227 ÁÈ t=1, 2,, 3 Ï N j p Â Ó i = j+1 N j p ij = N p + N j q Â Ó i=j N j q Â Ó i = j 1 N 0 ÛÙÈ ÏÏ appleâúèappleùòûâè Ô Ì Ô Ó Δείξτε τι σε μια αρκοβιανή Aλυσίδα το παρελθ ν και το μέλλον είναι υπ συνθήκη ανεξάρτητα δεδομένου του παρ ντος. ΛYΣH ŒÛÙˆ Ó Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô A appleúôáâó ÛÙÂÚÔ ÙÔ ÚfiÓÔ n ÁÈ Ì ÚÎÔ È Ó AÏ Û {X n } n=0 Î È B Ó Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô ÌÂÙ ÁÂÓ - ÛÙÂÚÔ ÙÔ ÚfiÓÔ n ÁÈ ÙËÓ È ÚÎÔ È Ó AÏ Û.  fiì ÛÙ fiùè Ë ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ n Â Ó È ÙÔ apple ÚfiÓ ÁÈ ÙËÓ ÚÎÔ È Ó AÏ Û Î È fiùè X n =i. TfiÙ appleúôê ÓÒ Ô Ì fiùè ÙÔ A Â Ó È Ó ÔappleÔÈÔ- appleôùâ Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô applefi ÙÔ apple ÚÂÏıfiÓ Î È ÙÔ B Â Ó È Ó ÔappleÔÈÔ - appleôùâ Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô applefi ÙÔ Ì ÏÏÔÓ. ÕÚ ÚÎÂ Ó Â ÍÔ Ì fiùè Ù ÂÓ Â- fiìâó A Î È B Â Ó È applefi Û Óı ÎË ÓÂÍ ÚÙËÙ Â ÔÌ ÓÔ ÙÔ ÂÓ Â ÔÌ - ÓÔ X n =i. Œ Ô Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè Prob{B«A X n =i} = Prob{B X n =i, A} Prob{A X n =i}. B ÛË ÙË appleúfiù ÛË 3 ÙÔ B ÛÈÏÂ Ô (1994) Ô Ì fiùè Î Ù Û Ó appleâè Prob{B X n =i, A} = Prob{B X n =i} Prob{B«A X n =i} = Prob{B X n =i} Prob{A X n =i}. 4 Έστω ένα τυχαίο ενδεχ μενο B μεταγενέστερο του χρ νου n για μια αρκοβιανή Aλυσίδα {X n } n=0. Δείξτε τι ΛYΣH Œ Ô Ì fiùè: Prob{X n 1 = i n 1 X n =i n, B} = Prob{X n 1 = i n 1 X n =i n }.
23 228 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα Prob{X n 1 = i n 1 X n =i n, B} = Prob{X n 1 = i n 1, X n =i n, B} Prob{X n =i n, B} = Prob{B X n=i n, X n 1 = i n 1 } Prob{X n =i n, X n 1 = i n 1 } Prob{B X n =i n } Prob{X n =i n } (ÂappleÂÈ ÙÔ Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô B Â Ó È ÌÂÙ ÁÂÓ ÛÙÂÚÔ ÙÔ ÚfiÓÔ n) = Prob{B X n=i n } Prob{X n =i n, X n 1 = i n 1 } = Prob{B X n =i n } Prob{X n =i n } = Prob{X n 1 = i n 1 X n =i n }. 5 Έστω μία ομογενής αρκοβιανή Aλυσίδα και X 0 =i. Δείξτε τι i) Prob(X n =i για τουλάχιστον m φορές X 0 =i) = (f i ) m. ii) Δείξτε επίσης τι αν η κατάσταση i είναι επαναληπτική, τ τε η πιθαν τητα επαναφοράς στην κατάσταση i άπειρες φορές είναι ίση με 1. Aντίθετα, εάν η κατάσταση i είναι παροδική, τ τε η πιθαν τητα επαναφοράς στην κατάσταση i άπειρες φορές είναι ίση με το 0. ΛYΣH i) È m=1 Ô Ì Prob(X n =i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ Ì ÊÔÚ X 0 =i) = Âf (Î) ii = f i, Î 1 appleô ÈÛ ÂÈ applefi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙË f i. ˆÚÔ Ì fiùè Ë (i) ÈÛ ÂÈ ÁÈ m 1, ËÏ fiùè Prob(X n =i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X 0 =i) = (f i ) m 1, Î È ı  ÍÔ Ì fiùè Ë (i) Â Ó È ÏËıÈÓ Î È ÁÈ m ÊÔÚ. Œ Ô Ì fiùè Prob(X n =i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m ÊÔÚ X 0 =i) = = = =  Prob(Ù i =r, X Ùi +r=i r 1 ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X 0 =i) =  Prob(Ù i =r X 0 =i) Prob(X Ùi +r=i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ Ù i =r, X 0 =i) r 1 = (ÂappleÂÈ X Ùi +r = i Â Ó È ÙÔ ÈÔ ÁÂÁÔÓfi )
24 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 229 =  f (r) i Prob(X Ùi +r=i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X Ùi =i, Ù i =r, x 0 =i) r 1 = (ÂappleÂÈ ÙÔ ÂÓ Â fiìâóô Ù i =Î Â Ó È appleúôáâó ÛÙÂÚÔ ÙÔ X Ùi =i) =  f (r) i Prob(X Ùi +r=i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X Ùi =i, X 0 =i) r 1 = (Û ÌÊˆÓ Ì ÙËÓ ÈÛ Ú È ÈfiÙËÙ ÙÔ arkov) =  f (r) i Prob(X n =i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X 0 =i) r 1 = (Û ÌÊˆÓ Ì ÙËÓ applefiıâûë ÙË Âapple ÁˆÁ ) =  f (r) i (f i ) m 1 = (f i ) m 1  f (r) i = (f i ) m. r 1 r 1 ii) ŒÛÙˆ E ÙÔ ÂÓ Â fiìâóô E = {Ë.A Âapple Ó Ú ÂÙ È ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i appleâèúâ ÊÔÚ }. TfiÙÂ, Prob(E) = = lim Prob{Ë.A Âapple Ó Ú ÂÙ È ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ r ÊÔÚ } = ræ = lim(f i ) r = Ì Ï 1 Â Ó f i =1 ËÏ i Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ ræ Ó 0 Â Ó f i <1 ËÏ i apple ÚÔ ÈÎ. 6 Έστω μία ομογενής αρκοβιανή Aλυσίδα και X 0 =i. Δείξτε τι i) H πιθαν τητα τι η κατάσταση j θα εμφανισθεί τουλάχιστο r φορές είναι ίση με f ij (f j ) r 1. ii) Eάν η κατάσταση j είναι παροδική, τ τε ανεξάρτητα απ την αρχική κατάσταση, η πιθαν τητα να εμφανισθεί άπειρες φορές είναι ίση με το 0. iii) Aν T το σ νολο των παροδικών καταστάσεων της αρκοβιανής Aλυσίδας (TÃS), δείξτε τι η πιθαν τητα η αρκοβιανή Aλυσίδα να παραμείνει για πάντα στο σ νολο T είναι ίση με το 0.
25 230 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ΛYΣH i) H Ï ÛË Â Ó È Ó Ù Î Ù ÙÚfiappleÔ Ó ÏÔÁÔ Ì ÙËÓ ÛÎËÛË 4. ii) Œ Ô Ì Prob (Ë Î Ù ÛÙ ÛË j Ó ÂÌÊ ÓÈÛı appleâèúâ ÊÔÚ ) = =  Prob(X 0 =i) Prob(Ë Î Ù ÛÙ ÛË j Ó ÂÌÊ ÓÈÛı appleâèúâ ÊÔÚ X 0 =i) kœs =  Prob(X 0 =i)ø0 = 0, iœs (Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔ (i) Î È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè Ë j Â Ó È apple ÚÔ ÈÎ (f i <1)). iii) Œ Ô Ì appleúôê ÓÒ Prob(X n ŒT ÁÈ fiï Ù n 0) 7  Prob (Ë Î Ù ÛÙ ÛË j Ó ÂÌÊ ÓÈÛı appleâèúâ ÊÔÚ ) = 0 jœt Έστω P = {p ij } k k ένας στοχαστικ ς πίνακας. i) Δείξτε τι για κάθε ακέραιο n 2 ο πίνακας P n είναι επίσης στοχαστικ ς. ii) Δείξτε τι αν οι γραμμές του πίνακα P n συμπίπτουν, τ τε P l =P n για κάθε ακέραιο l n. iii) Bρείτε το μέσο χρ νο παραμονής στην j-κατάσταση, που jœ{1, 2,, k}. ΛYΣH i) ŒÛÙˆ 1 = (1, 1,, 1) ÙÔ È Ó ÛÌ -ÁÚ ÌÌ appleô fiï ÙÔ Ù ÛÙÔÈ Â Â Ó È ÌÔÓ Â. TfiÙÂ, ÊÔ Ô P Â Ó È ÛÙÔ ÛÙÈÎfi, Ô Ì PØ1 = 1, Î È appleôïï appleï ÛÈ ÔÓÙ applefi ÚÈÛÙÂÚ Ì P P 2 Ø1 = PØ1 = 1,, P n Ø1 = 1, Ú Ô P n Â Ó È ÛÙÔ ÛÙÈÎfi ÁÈ Î ıâ n 2.
26 Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 231 ii) ŒÛÙˆ fiùè p (n) ij = apple j " i, jœs. TfiÙÂ, applefi ÙÔ ıâòúëì ÙˆÓ Chapman - Kolmogorov Ô Ì p ij (n+1) =  k p il p lj (n) = apple j  k p il = apple jø1 = apple j, l=1 l=1 ÊÔ Ô P Â Ó È ÛÙÔ ÛÙÈÎfi Î È Î Ù Û Ó appleâè  k EappleÔÌ Óˆ P n+1 =P n. Eapple ÛË, P n+2 = PØP n+1 = PØP n = P n+1 = P n, ÔapplefiÙ ÙÂÏÈÎ P l =P n ÁÈ Î ıâ Î Ú ÈÔ l n. l=1 p il = 1. iii) AappleÔ ÂÈÎÓ ÂÙ È fiùè Ô Ì ÛÔ ÚfiÓÔ apple Ú ÌÔÓ Û Πıâ Î Ù ÛÙ ÛË - ÓÂÙ È applefi ÙÔÓ apple Ó Î (I P) 1. TËÓ applefi ÂÈÍË ı ÙËÓ appleôê ÁÔ ÌÂ Û Ù ÙË Ê ÛË. 8 Στη θέση "Kατάρα" του δρ μου Iωάννινα - Tρίκαλα μια μέρα κατά την περίοδο του χειμώνα μπορεί να χαρακτηριστεί σαν χιονισμένη ή σαν καθαρή. Kάθε αυτοκίνητο που θα προσπαθήσει να περάσει τον δρ μο αυτ μια χιονισμένη ημέρα, θα πρέπει να έχει οπωσδήποτε αλυσίδες. Aν μια χιονισμένη ημέρα διαδέχεται μια καθαρή με πιθαν τητα και μια καθαρή διαδέχεται μια χιονισμένη ημέρα με πιθαν τητα 0.25, να βρεθεί. i) H πιθαν τητα ένα αυτοκίνητο να χρειαστεί αλυσίδες στις 28 Δεκεμβρίου, αν τα Xριστο γεννα ήταν χιονισμένα. ii) Ποιο είναι το μέσο μήκος μια χιονισμένης περι δου και ποιο το μέσο μήκος μιας καθαρής περι δου. ΛYΣH Ú Ô ÌÂ Û Ó Î Ù ÛÙ ÛË 0 fiù Ó Ô ÚfiÌÔ Â Ó È Î ı Úfi, Î È Î Ù ÛÙ ÛË 1 fiù Ó Ô ÚfiÌÔ Â Ó È ÈÔÓÈÛÌ ÓÔ. TfiÙÂ Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÙË ÚÎÔ- È Ó Ï Û Â Ó È 0 1 P = 0 1 Î È
27 232 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα Œ Ô ÌÂ Û Ó Â ÔÌ ÓÔ fiùè Ù XÚÈÛÙÔ ÁÂÓÓ Ù Ó ÈÔÓÈÛÌ Ó Î È ı ÏÔ ÌÂ Ó ÚÔ Ì ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ Ó Â Ó È ÈÔÓÈÛÌ ÓË Î È Ë 28 ÂÎÂÌ Ú Ô, ËÏ 25 Æ 26 Æ 27 Æ 28 ÌÂÙ 3- Ì Ù ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û. EappleÔÌ Óˆ ËÙ ÌÂ Ó ÚÔ Ì ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ p (3) 11. E Ó È ÁÈ Ù p 11 (3) = Â1 p 1j (1) p(2) j1 = p 10 p(2) 01 +p 11 p(2) 11 = 0.603, j=0 p 01 (2) = Â1 p 0j p j1 = p 00 p 01 +p 01 p 11 = 0.474, j=0 p 11 (2) = Â1 p 1j p j1 = p 10 p 01 +p 11 p 11 = j=0 ŒÛÙˆ W 1 Ë Ù ÌÂÙ ÏËÙ appleô ËÏÒÓÂÈ ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÙˆÓ Û Ó fiìâ- ÓˆÓ ÈÔÓÈÛÌ ÓˆÓ ËÌÂÚÒÓ. TfiÙÂ Ô Ì Prob{W=n} = Prob{X 1 =X 2 = =X n =1, X n+1 =0 X 1 =1} = = Prob{X 2 =1 X 1 =1} Prob{X 3 =1 X 2 =1} Prob{X n =1 X n 1 =1}ØProb{X n+1 =0 X n =1} = p n 1 11 Ø p 10, ËÏ Ë Î Ù ÓÔÌ ÙË Ù ÌÂÙ ÏËÙ W Â Ó È Ë ÁˆÌÂÙÚÈÎ Ì appleèı ÓfiÙËÙ ÂappleÈÙ p 11, Î Ù Û Ó appleâè Ë Ì ÛË ÙÈÌ Ù ı Â Ó È E(W) =  n=1 n p11 n 1 p 10 = p 10 1 = 4.0 ËÌ ÚÂ.  ÙÔÓ ÈÔ ÙÚfiappleÔ Ú ÛÎÔ Ì fiùè ÙÔ Ì ÛÔ Ì ÎÔ ÌÈ Î ı Ú appleâúèfi Ô Â Ó È 2.96 ËÌ ÚÂ. 9 Ένα άσπρο ποντίκι του εργαστηρίου ψυχολογίας τοποθετείται στο λαβ ρινθο του σχήματος 1. Tο ποντίκι κινείται μέσα στα διαμερίσματα τυχαία, δηλαδή αν υπάρχουν K έξοδοι σ ένα διαμέρισμα κάθε έξοδος εκλέγεται με πιθαν τητα 1, ενώ σε κάθε χρονική στιγμή αλλάζει διαμέρισμα μ νο μια φορά. Aφο ορίσετε τον πίνακα μεταβά- K σεων να υπολογίσετε την πιθαν τητα Prob[X ν =7 / X ν 2 =9].
Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ.
χωνευτοί σ. 56 Nedbox χωνευτοί από 12 έως 56 στοιχεία σ. 58 από 1 έως 6 στοιχεία σ. 62 XL 3 160 από 48 έως 144 στοιχεία και ερµάρια διανοµής ισχύος XL 3 σ. 68 Ράγες, πλάτες στήριξης και µετώπες σ. 77 0
Διαβάστε περισσότεραÀ π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À à ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË
ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË À π Àªµ 2008-2010 π À à ª ªπ À À À appleâíëáëì ÙÈÎ apple Ú Â ÁÌ Ù Η υπογραφή της νέας Συλλογικής Σύµβασης µεταξύ ΕΤΥΚ ΚΕΣΤ για τα έτη 2008 2010 θεωρήθηκε µια µεγάλη
Διαβάστε περισσότεραΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π
ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ «Η ΕΘΝΙΚΗ» ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1891 ΕΤΑΙΡΙΑ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡ.Μ.Α.Ε.: 12840/05 B 86/20 Α.Φ.Μ.: 094003849 Δ.Ο.Υ.: ΜΕΓΑΛΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΛΕΩΦ.
Διαβάστε περισσότεραƒ π ø π ø - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ...
ƒ π ø π ø - Ô ÚÂÙÈÚ Â Â ÙËÓ ˆÚ ÈfiÙÂÚË ı appleãfiï Î È Ù Ó Î È ÛÙËÓ Î Ï ÙÂÚË appleâúèô. - È, ÁÈ Ùfi Ù Ó Î È ÙÔ ÎÚÈ fiùâúô! - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ...
Διαβάστε περισσότεραÓfiÙËÙ 1. ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ
ÓfiÙËÙ ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ ª ı Óˆ: ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ º ÛÈÎÔ ÚÈıÌÔ È ÚÈıÌÔ 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Ê ÛÈÎÔ. ıâ Ê ÛÈÎfi ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi applefi ÙÔ 0, appleúôî appleùâè applefi ÙÔÓ appleúôëáô
Διαβάστε περισσότερα(ON THE JOB TRAINING) ΟΡΓΑΝΩΝΕΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ «ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΧΩΡΩΝ /
Επαγγελµατικό προφίλ: ΠΡΟΪΣΤΑΜΕΝΟΣ ΟΡΟΦΩΝ (ΟΡΟΦΟΚΟΜΟΣ) Επίπεδο: 2 εξιότητες Θέµατα Συνδεδεµένες δεξιότητες C1 ΗΓΕΙΤΑΙ, ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΖΕΙ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
Διαβάστε περισσότεραÂÚÈ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô
ÂÚÈ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô È ÚÈıÌÔ Ì ÚÈ ÙÔ ÃÒÚÔ Î È Û Ì Ù ÂÊ Ï ÈÔ : ÚÔÛ Ó ÙÔÏÈÛÌfi ÛÙÔ ÒÚÔ... ÂÊ Ï ÈÔ : ˆÌÂÙÚÈÎ Û Ì Ù... ÂÊ Ï ÈÔ : ÁÎÚÈÛË Î È ÂÎÙ ÌËÛË appleôûôù ÙˆÓ... ÂÊ
Διαβάστε περισσότεραΓεωγραφία Ε Δημοτικού. Μαθαίνω για την Ελλάδα
Γεωγραφία Ε Δημοτικού Μαθαίνω για την Ελλάδα ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ ΚΡΙΤΕΣ-ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝOΣ TOY ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ KAI ΥΠΕΥΘΥΝOΣ TOY ΥΠΟΕΡΓΟΥ ΕΞΩΦΥΛΛΟ Κωστής Κουτσόπουλος,
Διαβάστε περισσότεραISBN 960-431-204-9. K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993
2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993 Copyright 1989, 1993,. ËÌËÙÚÔappleÔ ÏÔ - æˆìôappleô ÏÔ ISBN 960-431-204-9 Φωτοστοιχειοθεσία-Eκτ πωση: Bι λιοπωλείο: Π. ZHTH
Διαβάστε περισσότεραwww.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet.
www.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet.gr www.ebusinessforum.gr www.sch.gr www.ika.gr www.ekt.gr www.ktpae.gr
Διαβάστε περισσότεραΓεια σου, ήταν να ήξερες κάποιους γενικούς κανόνες συγγραφής (Â Ó È Î appleôèôè applefi ÙÔ appleô
Γεια σου, Είμαι ο Δαμιανός. Το πρώτο μου βιβλίο Ο αδελφός της Ασπασίας έγινε best seller ή ευπώλητο όπως λένε άλλοι, μα αυτό δε χρειάζεται να σου το πω, μιας και το ξέρεις κι εσύ πολύ καλά. Κι εγώ ο πιο
Διαβάστε περισσότεραÂÚÈ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô
2 3 ÂÚÈÂ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ÂÊ Ï ÈÔ : Ì Ì È fi,ùè Ì ı applefi ÙËÓ ã Ù ÍË... ÂÊ Ï ÈÔ 2: È ÂÈÚ ÔÌ È ÚÈıÌÔ ˆ ÙÔ 0.000... 5 ÂÊ Ï ÈÔ 3: ÓˆÚ ˆ ÙÔ ÚÈıÌÔ ˆ ÙÔ 20.000... 9 ÂÊ Ï ÈÔ
Διαβάστε περισσότεραª π.. ƒ ø π º ƒ. È ËÙÔ ÌÂÓÂ ÂÈ ÈÎfiÙËÙÂ, Ù apple Ú ÙËÙ appleúôûfióù Î È ÙÔ Â Ô ÙË Û Ì ÛË appleâúèáú ÊÔÓÙ È Î ÙˆÙ Úˆ. π π À & ƒ π ƒ π & π ƒπ ª
ª π.. ƒ ø π º ƒ «ª π.» appleâ ı ÓË ÁÈ ÙË Û ÓÙ ÍË ÙÔ ıóèîô ÙËÌ ÙÔÏÔÁ Ô appleúôûî Ï ÙÔ ÂÓ È ÊÂÚfiÌÂÓÔ ÁÈ ÙËÓ appleô ÔÏ ÈÙ ÛÂˆÓ ÂΠψÛË ÂÓ È Ê ÚÔÓÙÔ, appleúôîâèì ÓÔ Ó ÛÙÂÏ ÒÛÂÈ ÙÈ ÂÓÙÚÈÎ ÙË ÀappleËÚÂÛ Â.
Διαβάστε περισσότεραÒ Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ ÂÈıÒ
Ò Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ appleâèıò Ÿσοι διαθέτουν το χάρισμα της πειθούς έχουν τη δύναμη να αιχμαλωτίζουν το κοινό, να μεταβάλλουν τις απόψεις των άλλων και να μεταπείθουν τους αντιπάλους τους προς όφελός τους.
Διαβάστε περισσότερακαι φυσικά υπάρχει πληθώρα νέων ασκήσεων. H ανάγκη βελτίωσης προέκυψε απ την δεκαετή διδασκαλία του μαθήματος απ τη συγγραφέα.
Tο βιβλίο αυτ απευθ νεται στους τεταρτοετείς φοιτητές των Mαθηματικών τμημάτων και σε σους ασχολο νται με τη Στατιστική και έχουν καλ υπ βαθρο στη Mαθηματική Aνάλυση και στη θεωρία των Πιθανοτήτων Tο βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΠρώτες Ύλες Χρ νος Παραγωγής (min ανά 12-άδα) Μείγμα Πλαστικο
Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 7 Μια βιοτεχνία παιγνιδιών διαθέτει σε πανελλήνια βάση δ ο διαφορετικά είδη νεροπίστολων, το Space Ray και το Super X-Ray. Τα δ ο παιγνίδια, αποδείχτηκαν ιδιαίτερα δημοφιλή μεταξ
Διαβάστε περισσότεραÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË
ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË Δ Àƒ π ø ø º π π π ª Δ ƒàªª π μàƒπ π ø π π π ª Δ Δƒ À π ƒ Àà ƒ ªÀ π π ª ª Δπ ø, π Δ Ã π, ø ƒ ºπ, ƒ Δ ƒ Δπ Δ Δ, ƒπ π ª ª ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ Με το πέρασμα του χρόνου
Διαβάστε περισσότεραISBN K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë
K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë ISBN 960-31-679-6 Copyright,.-X.. B ÛÈÏÂ Ô,. TÛ ÎÏ Ë, N. TÛ ÓÙ, EÎ fiûâè Z ÙË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 000 Aπαγορε εται η με κάθε τρ πο αντιγραφή
Διαβάστε περισσότερα6. Aπόκριες 7. Πάσχα
TÈ Ù ÍË Â Ó È ÌÔ Ô appleôïèùèûìfi ; 1. O πολιτισµός του τόπου µας 2. Mια επίσκεψη στο µουσείο 3. Tι συµβαίνει στην περιοχή µας; 4. Kάθε τόπος τα έθιµά του και ο χρόνος τα δικά του... 5. Tο βιβλίο των παροιµιών
Διαβάστε περισσότεραINTERACTIVE PHYSICS. Εισαγωγή κειµένου
INTERACTIVE PHYSICS Εισαγωγή εικόνας Μπορούµε να εισάγουµε εικόνα στην προσοµοίωση µας και να την συνδέσουµε µε κάποιο σώµα που έχουµε δηµιουργήσει. 1.Αντιγράφουµε την εικόνα στο πρόχειρο µε αντιγραφή
Διαβάστε περισσότεραAries Dual ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙÂ ÂÚ Ô C 145-01 BRAND NAME
GR Aries Dual ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô BRAND NAME C 145-01 apple ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô Aries Dual π º π À π Ã π À ƒ π π ªπ Àæ π Ï ËÙ ARIES DUAL LINE ÛÙËÓ Î ÔÛË CTFS Ó ÎÂÈ ÛÙËÓ Î ÙËÁÔÚ ÙÚÈÒÓ ÛÙÂÚÈÒÓ ( ) Ë ÔappleÔ
Διαβάστε περισσότεραÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ ÓÔÏÔ , , , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,
A ºA EIE KAPY AKH E..E. AP..E.MH 71686220000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá. MË Î ÎÏÔÊÔÚÔ
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 7.593, ,15 ÓÔÏÔ 7.593,15 7.
ÂÓÔ Ô ÂÈ Î - TÔ ÚÈÛÙÈÎ Î È EÌappleÔÚÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ AMYP IA A.E. M.A.E 15987/80/B/87/90 - AP..E.MH 121765820000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ
Διαβάστε περισσότεραTO ΠΑΡΟΝ ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΩΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΥΓΕΝΙΚΗ ΧΟΡΗΓΙΑ ΤΗΣ
Ομιλητές Αναστάσιος Ωρολογάς Καθηγητής Νευρολογίας Α.Π.Θ., Πρόεδρος της Ελληνικής Εταιρίας για τη ΣΚΠ. Βασιλική Γαροπούλου Καθηγήτρια Ειδικής Φυσικής Αγωγής M.Sc-Ph.D Αστέριος Συλλόπουλος Φυσικοθεραπευτής
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟ ΟΧΗΣ ΥΠΟ ΟΧΗ C10 ΑΝΑΧΩΡΗΣΕΙΣ C11 ΧΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΙΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΩΜΑΤΙΩΝ C9 ΑΦΙΞΕΙΣ C8 ΦΡΟΝΤΙΖΕΙ ΤΟΥΣ ΠΕΛΑΤΕΣ ΣΤΗΝ ΥΠΟ ΟΧΗ
Επαγγελµατικό Προφίλ: ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΜΙΚΡΟΥ ΞΕΝΟ ΟΧΕΙΟΥ Επίπεδο: 3 Ικανότητες Θέµατα C1 ΣΧΕ ΙΑΖΕΙ M2 Συνδεδεµένες δεδιότητες M1 ιοίκηση ξενοδοχείου C1 Βασικές εφαρµογές ηλεκτρονικών υπολογιστών C2 ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ
Διαβάστε περισσότεραÎ È appleúô Ï Ì Ù ÓÙ ÍË 36
ƒπ ÃOª ƒo O π O ª πøª 9 º πo ƒøδo: Δ À ƒª Δ π ÀΔπ π π π 1.1 ÓÓÔÈ ÙÔ appleâúì ÛÔ 16 1.2 ÀappleÂÚÌ Û, ÎÔÈÓˆÓ Î È ÂÎapple  ÛË 18 1.3 ÂˆÚ Â Ì ıëûë Î È appleâúì Û 27 1.4 ÚfiÙ apple Ú ÛË appleôïôáèûùòó Î È
Διαβάστε περισσότεραÎÔÏÔ ıòóù ÙËÓ ÏË ÙÔ Û ÔÏÈÎÔ È Ï Ô
Á appleëùô ÁÔÓÂ Ô È Ï Ô Ùfi ÂÈ ÛÎÔapplefi Ó Ê ÚÂÈ ÙÔ Ì ıëù ÙË µã ËÌÔÙÈÎÔ Û Âapple Ê ÌÂ È ÊÔÚ Â Ë ÎÂÈÌ ÓˆÓ Î È Ù Ùfi ÚÔÓ Ó ÙÔ ÔËı ÛÂÈ Ó Ó appleù ÍÔ Ó ÙËÓ ÈÎ ÓfiÙËÙ ÙÔ Ó apple Ú ÁÔ Ó Î È ÔÈ ÈÔÈ Ó ÏÔÁ ÎÂ
Διαβάστε περισσότεραΔÔ Ì Ó Ì ÙÔ Û Ì Ô ÏÔ :
ΔÔ Ì Ó Ì ÙÔ Û Ì Ô ÏÔ : Í ÙË appleôùâïâûì ÙÈÎ È Â ÚÈÛË ÎÚ ÛÂˆÓ ÛÙÈ ÂappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ Τι θα έκανες αν αύριο υπέβαλλε την παραίτησή του ο καλύτερος συνεργάτης σου; Αν το κτίριο των γραφείων όπου εργάζεσαι έπιανε
Διαβάστε περισσότερα'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,72
TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ EappleÈappleÏˆÌ ÓˆÓ È ÌÂÚÈÛÌ ÙˆÓ TAM. TZøPTZH E..E. AP..E.MH 71601820000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ
Διαβάστε περισσότεραPictor Dual C 146-01. Επίτοιχοι λέβητες αερίου θέρμανσης και παραγωγής ζεστού νερού χρήσης BRAND NAME
GR Pictor Dual Επίτοιχοι λέβητες αερίου θέρμανσης και παραγωγής ζεστού νερού χρήσης BRAND NAME C 146-01 Επίτοιχοι λέβητες αερίου Pictor Dual π º π À π Ã π À ƒ π π ªπ Àæ π È Ï ËÙ PICTOR DUAL LINE ÛÙÈ
Διαβάστε περισσότεραÈ ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË )
π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί
ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Πραγματικοί αριθμοί ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ª ÚÈ ÙÒÚ Ô ÌÂ Û Ó ÓÙ ÛÂÈ Ê ÛÈÎÔ, Î Ú ÈÔ Î È ÚËÙÔ ÚÈıÌÔ. ÙÔ ÙÂÏÂ Ù Ô Â ÌÂ ÂÍÂÙ ÛÂÈ ÙË ÂÎ ÈÎ ÙÔ apple Ú ÛÙ ÛË, Ë ÔappleÔ Ù Ó ÁÓˆÛÙ ÛÂ appleï appleâúèô
Διαβάστε περισσότεραΈκπτωση -30% Συγκρότημα Σακόφιλτρων με Φυγοκεντρικό Απορροφητήρα Υψηλής Πίεσης. ÁÎÚfiÙËÌ ÎfiÊÈÏÙÚˆÓ ÌÂ º ÁÔÎÂÓÙÚÈÎfi
Συγκρότημα Σακόφιλτρων με Φυγοκεντρικό Απορροφητήρα Υψηλής Πίεσης ÁÎÚfiÙËÌ ÎfiÊÈÏÙÚˆÓ ÌÂ º ÁÔÎÂÓÙÚÈÎfi appleôúúôêëù Ú À ËÏ ÂÛË Ù ÏÏËÏÔ ÁÈ appleôúúfiêëûë Î È ÊÈÏÙÚ ÚÈÛÌ ÚÔ ÌÂ ÛÎfiÓË, appleúèôó È, ÓÔ È,
Διαβάστε περισσότεραPO O O. και Oλοκληρωτικ Λογισμ για συναρτήσεις μιας και περισσοτέρων
iii PO O O Mέχρι το 4ο εξάμηνο σπουδών οι φοιτητές του Tμήμτος Mθημτικών του Πνεπιστημίου Θεσσλονίκης διδάσκοντι το Διφορικ κι Oλοκληρωτικ Λογισμ γι συνρτήσεις μις κι περισσοτέρων μετβλητών. Στ μθήμτ υτά
Διαβάστε περισσότεραΚαινοτομία και Επιχειρήσεις
Καινοτομία και Επιχειρήσεις Πηγές Καινοτομίας Παράγοντες ενίσχυσης Καινοτομίας Καινοτομία και Επιχειρήσεις Οικονομικό Περιβάλλον και Καινοτομία Πηγές Καινοτομίας Ενδογενεις - Επιχείρησεις - Απροσμενο εξωτερικό
Διαβάστε περισσότερανα ραβδόμορφο μαγνήτη σε διάφορες θέσεις κοντά στη οθόνη και παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο μετατοπίζεται το φωτεινό ίχνος πάνω στην Εικόνα 1.
ΜΑΓΝΗτΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 9 να ραβδόμορφο μαγνήτη σε διάφορες θέσεις κοντά στη οθόνη και παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο μετατοπίζεται το φωτεινό ίχνος πάνω στην οθόνη. ~ (ΞΥ ' IJ= Ο Εικόνα 1.3 Τα ηλεκτρόνια
Διαβάστε περισσότεραkefalaio 1_2 26-07-06 18:22 Page 7 Eισαγωγή
kefalaio 1_2 26-07-06 18:22 Page 7 Eισαγωγή kefalaio 1_2 26-07-06 18:22 Page 8 8 kefalaio 1_2 26-07-06 18:22 Page 9 1. È Ù Î È appleò ÌÂÏÂÙÔ ÌÂ ÙËÓ πûùôú ÙÔ Ì ıëì Ùfi ı appleïëúôêôúëıô ÌÂ: τι είναι η Ιστορία
Διαβάστε περισσότεραΚΥΤΤΑΡΟ: H ΜΟΝΑΔΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ
º π 2 ΚΥΤΤΑΡΟ: H ΜΟΝΑΔΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ μ ÛÈÎ ÂÚˆÙ ÛÂÈ ıâˆú 2.1 Ποιος χρησιμοποίησε πρώτος τον όρο «κύτταρο»; Τον όρο «κύτταρο» τον χρησιμοποίησε πρώτος ο Ρόμπερτ Χουκ, το 1665, παρατηρώντας με ένα μικροσκόπιο,
Διαβάστε περισσότερα'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,96 ÓÔÏÔ , ,96 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,99
TOYPI TIKAI E IXEIPH EI «PO.KA.Kø A.E.» AP.M.A.E. 12152/80/B/86/115 - AP..E.MH 123448420000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ
Διαβάστε περισσότεραÓ Ë Ó ÚÔÓÈ ı ÙË È ÊËÌ ÙÂ;
Ó Ë Ó ÚÔÓÈ Ù Ó appleúô fió appleò ı ÙË È ÊËÌ ÙÂ; ΤΙ ΩΡΑΙΑ ΠΟΥ ΘΑ ΗΤΑΝ ΝΑ ΕΚΡΥΒΕ ΤΟ 2011 ΠΟΛΛΑ ΚΙ ΟΜΟΡΦΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ, ΝΑ ΗΤΑΝ Η ΧΡΟΝΙΑ-ΟΡΟΣΗΜΟ ΣΤΗ ΝΕΩΤΕΡΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ, ΟΠΩΣ Η ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,04 0,04 ÓÔÏÔ 0,04 0,04 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,32
"A. KONTOYZO OY-A. MAPA I H " AÓÒÓ ÌË-EÌappleÔÚÈÎ Î È BÈÔÙÂ ÓÈÎ EÙ ÈÚÂ AP. M.A.E. 34608/62/B/95/274 - AP..E.MH 71995320000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015)
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 549,87 993,42 ÓÔÏÔ 549,87 993,42 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,48
ÂÓÔ Ô ÂÈ Î EÌappleÔÚÈÎ TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ ˆ ÂÎ Ó ÛÔ A OYT H A.E. AP. M.A.E.12060/80/B/86/23 - AP..E.MH 71457120000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016)
Διαβάστε περισσότεραº ø 36 π MEGASTORE K. ΑΠΟΘΗΚΕΣ - ΕΚΘΕΣΗ. 17ο χλμ Λεωφ. Μαραθώνος, Παλλήνη. 17ο χλμ Λεωφ. Σπατών, Παλλήνη
MEGASTORE 17ο χλμ Λεωφ. Μαραθώνος, Παλλήνη ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΑΠΟ ΑΤΤΙΚΗ ΟΔΟ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣ ΑΕΡΟΔΡΟΜΙΟ: Έξοδος Νο 15 (Παλλήνη), αριστερά για 2.5 km. ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΑΠΟ ΑΤΤΙΚΗ ΟΔΟ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣ ΕΛΕΥΣΙΝΑ: Έξοδος
Διαβάστε περισσότεραXÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 0, ,79 ÓÂÈ Î È apple ÈÙ ÛÂÈ , ,00 ÓÔÏÔ ,
EÌappleÔÚÈÎ BÈÔÙÂ ÓÈÎ ÂÓÔ Ô ÂÈ Î TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ. OY H A.E. AP. M.A.E. 24169/80/B/91/15 - AP..E.MH 71727120000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015)
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,14 0,14 ÓÔÏÔ 0,14 0,14. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 0, ,65 ÓÔÏÔ 0,00 29.
NYMºH E IXEIPH EI E..T.. & EMºIA ø H A.E. AP. MAE 26878/80/B/92/23 - AP..E.MH 71708520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ
Διαβάστε περισσότεραYπεύθυνη και συνεπής
Π ε λ ά τ η ς, Π ο ι ό τ η τ α, Έ ρ ε υ ν α, Α ν ά π τ υ ξ η Yπεύθυνη και συνεπής Καινοτομία Yψηλή προστιθέμενη αξία Aνάπτυξη ανθρωπίνου δυναμικού Ο σεβασμός στο περιβάλλον και τους φυσικούς πόρους αποτελεί
Διαβάστε περισσότεραΟ ecotec pro με μία ματιά
Επιτοίχιοι λέβητες αερίου συμπύκνωσης ecotec pro Προηγμένη τεχνολογία θέρμανσης για όλους Ο λέβητας ecotec pro με την πρωτοποριακή τεχνολογία συμπυκνώσεως φτάνει σε βαθμό απόδοσης, ο οποίος ξεπερνά κατά
Διαβάστε περισσότεραTα παιχνίδια άλλοτε και σήµερα. Πώς λέγεται κάθε παιχνίδι; Nα το γράψεις κάτω από κάθε εικόνα.
T Ù ÍË apple È Ó È ÌÔ ÏÏÔÙÂ Î È Û ÌÂÚ Tα παιχνίδια άλλοτε και σήµερα Σ. Σαββίδης, Γύρω γύρω όλοι Πώς λέγεται κάθε παιχνίδι; Nα το γράψεις κάτω από κάθε εικόνα. Ποια παιχνίδια έπαιζαν τα παιδιά άλλοτε,
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,37 ÓÔÏÔ , ,37
A ITE A.E. ÂÓÔ Ô ÂÈ Î Î È TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ A.E. AP. M.A.E. 14557/80/B/86/376 - AP..E.MH 124316620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ
Διαβάστε περισσότεραΓιατί Πλαίσιο; Οι διακρίσεις μας!
ΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Γιατί Πλαίσιο; 1. Ασυναγώνιστη υποστήριξη. Service Η/Υ μέσα σε 4 ώρες σε 20 σημεία στην Ελλάδα. 12ωρη δωρεάν τηλεφωνική υποστήριξη. Συναρμολόγηση Η/Υ στα μέτρα σας. ιαρκής αναβάθμιση Η/Υ 4ωρη
Διαβάστε περισσότεραº πo 2: À ª π Ã πƒπ OπO π π ª ƒπø
º πo 2: À ª π Ã πƒπ OπO π π ª ƒπø Η βασική απαίτηση για ένα σύστηµα διαχείρισης ποιότητας είναι ότι ο οργανισµός θα πρέπει να προσδιορίσει και να διαχειριστεί την οικογένεια των απαραίτητων διεργασιών
Διαβάστε περισσότεραHMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30
HMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30 Συµπληρώνονται φέτος 100 χρόνια από τη γέννηση του Γιώργου Θεοτοκά στην Kωνσταντινούπολη το 1905 από Xιώτες γονείς και σχεδόν 40 χρόνια από το θάνατό
Διαβάστε περισσότερα ÙÂÚË Î ÔÛË 1998. Copyright 1993, 1998, øma A. KYBENTI H
ii øma A. KYBENTI H ñ ÂÓÓ ıëîâ ÙÔ 947 ÛÙÔ N Ô ÂÙÚ ÙÛÈ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ. ñ TÔ 965 appleôêô ÙËÛÂ applefi ÙÔ ÂÍ Ù ÍÈÔ ÌÓ ÛÈÔ È ËÚÔÎ ÛÙÚÔ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ Î È ÂÁÁÚ ÊËÎÂ ÛÙÔ TÌ Ì M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ ÓÂappleÈÛÙËÌ Ô ÂÛÛ ÏÔÓ
Διαβάστε περισσότεραC 213-02. made in Italy. Tahiti Dual. Επίτοιχοι λέβητες αερίου μόνο για θέρμανση ή και με στιγμιαία παραγωγή ζεστού νερού χρήσης
C 213-02 made in Italy Tahiti Dual Επίτοιχοι λέβητες αερίου μόνο για θέρμανση ή και με στιγμιαία παραγωγή ζεστού νερού χρήσης GR apple ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô Tahiti Dual π ªπ π º π À π Ã π À ƒ π Àæ π È Ï ËÙÂ
Διαβάστε περισσότεραΦίλε μαθητή, φίλη μαθήτρια
Φίλε μαθητή, φίλη μαθήτρια Το βιβλίο αυτό αποτελεί βοήθημα για το μάθημα της Τεχνολογίας της Β Γυμνασίου και φιλοδοξεί να σε βοηθήσει να γνωρίσεις τον τρόπο οργάνωσης και λειτουργίας των σύγχρονων παραγωγικών
Διαβάστε περισσότεραΡ Α ΡΤ ΠΑ ΣΗΜΑ ΣΤΑΣΗΣ ΝΕΡΟΥ
Π Μ 1 ΣΜ ΣΣΣ ΝΕ 1. Κουνήστε το σώμα σας Ζητήστε από τα παιδιά να σταθούν δίπλα στην καρέκλα τους και να ακολουθήσουν τις οδηγίες σας: 1. κουνήστε τα δάχτυλά σας 2. έπειτα, τα δάχτυλα και τους καρπούς σας
Διαβάστε περισσότεραΟΜΙΛΟΣ ΙΝΤΕΑΛ ΑΒΕΕ ΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
ΟΜΙΛΟΣ ΙΝΤΕΑΛ ΑΒΕΕ ΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σχετικά µε την τροποποίηση της χρήσης των αντληθέντων κεφαλαίων σύµφωνα µε την Απόφαση 64 του ιοικητικού Συµβουλίου του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών Αθήνα, Ιούλιος
Διαβάστε περισσότεραΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση και µέτρα αντιµετώπισης
TEE TKM ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΜΙΚΡΗΣ ΙΑΡΚΕΙΑ ΣΤ ΚΥΚΛΟΣ2005 ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση και µέτρα αντιµετώπισης Ν. Μαραγκός Μηχανολόγος Mηχ. Msc ΚΙΛΚΙΣ 2005 ΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΥΑΛΟΚΑΘΑΡΙΣΤΗΡΕΣ ΕΠΙΒΑΤΙΚΩΝ STANDARD
ΥΑΛΟΚΑΘΑΡΙΣΤΗΡΕΣ ΕΠΙΒΑΤΙΚΩΝ STANDARD Με προσυναρμολογημένο πολλαπλό προσαρμογέα Επανακλειόμενη, μεμονωμένη συσκευασία Δυνατότητα συνδυασμού διαφόρων μηκών Χαμηλό κόστος αποθήκευσης και ελάχιστες ανάγκες
Διαβάστε περισσότεραΑυτοπροσωπογραφίες του Van Gogh
BÈÔÁÚ ÊÈÎ Â Ë Αυτοπροσωπογραφίες του Van Gogh µèôáú ÊÈÎ Â Ë ÙËÓ Ê ÁËÛË, ÂÎÙfi applefi ÙËÓ ËÛË, appleô ÌÂÏÂÙ Û Ì ÛÙËÓ appleúôëáô ÌÂ- ÓË ÂÓfiÙËÙ, Ó ÎÔ Ó Î È ÔÈ ÈËÁ ÛÂÈ Î È ÔÈ Ì ÚÙ Ú Â (appleúôêôúèî ÁÚ -
Διαβάστε περισσότεραXÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple , ,00 ÓÔÏÔ , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,
XPY OXO H - TAMATO OY & IA E..E. - ÂÓÔ Ô Â Ô MIMOZA AP..E.MH 71283020000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP
Διαβάστε περισσότεραΣΥΛΛΟΓΟΣ ΓΑΒΑΘΑ ΨΑΡΑΔΕΣ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2011
ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΓΑΒΑΘΑ ΨΑΡΑΔΕΣ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ µ Àª È Ó Í applefiï ÙÔ Á Ú ˆ, ÌË ÌÂ Ï appleâè Î È ÁÂÏ Ì È Ï ÁÔ Ï ÓÈ ÚË, Û Ó Ú Î È Û Ó ÚÎ ÚË... I ÓÔ ÚÈÔ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 8.782, ,41 ÓÔÏÔ 8.782, ,41
ECO PRIME SOLUTIONS E..E. AP..E.MH 72730920000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá.
Διαβάστε περισσότεραXÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 1.260, ,94 ÓÔÏÔ 1.260, ,94 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,
A KYøN E Y HPETH EI AEPO KAºøN A.E. AP. M.A.E. 35208/80/B/96/11 - AP..E.MH 71946920000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ
Διαβάστε περισσότεραÈ ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË )
π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ
Διαβάστε περισσότεραÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,52
ÂÓÔ Ô ÂÈ Î - TÔ ÚÈÛÙÈÎ - EÌappleÔÚÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ ME O EIAKO H IO A.E. AP. M.A.E. 16644/80/B/88/19 - AP..E.MH 123660320000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY
Διαβάστε περισσότεραÈ ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË )
π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ
Διαβάστε περισσότεραπûùôú Â applefi ÙË ÂÌÔÓÔ appleôïë
πûùôú Â applefi ÙË ÂÌÔÓÔ appleôïë «Ìapple ÚÌapple - ÈÁ È ÚË Â Ó È ÙÔ appleèô ÛÙÂ Ô È Ï Ô appleô ˆ È ÛÂÈ. ŸÏË ÌÔ Ë ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ ÎÏ ÈÁÂ applefi Ù Á ÏÈ, fiù Ó ÙÔ È Û ÌÂ! Ó Ï - ÙÚÂ ÂÙÂ ÙÈ ÈÛÙÔÚ Â ÌÂ appleâïòúè
Διαβάστε περισσότεραÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,29
KONAN ANøNYMO ENO OXEIAKH KAI TOYPI TIKH ETAIPEIA AP. M.A.E. 49180/80/B/01/26 - AP..E.MH 072308220000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 00 ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α3 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία
Διαβάστε περισσότεραÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,11
. XPY OXO H - M. XA KIO OY O A.E. - ÂÓÔ Ô Â ÔÓ AYPA M HT AP. M.A.E. 12048/80/B/86/11 - AP..E.MH 71289620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ
Διαβάστε περισσότερα7 Ελεύθερος χρόνος. Δείτε, πείτε και δείξτε. Aσχολούμαι με τα σπορ, με. το καράτε την ποδηλασία το γουίντ-σέρφινγκ
7 Ελεύθερος χρόνος Δείτε, πείτε και δείξτε Aσχολούμαι με τα σπορ, με το κολύμπι την ιππασία το καράτε την ποδηλασία το γουίντ-σέρφινγκ 61 Μαζεύω γραμματόσημα νομίσματα κοχύλια φωτογραφίες Παρακολουθώ τηλεόραση
Διαβάστε περισσότεραΗ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΡΔΙΖΕΙ! Kωδ. αρ. 0893 140 Βιομηχανικό καθαριστικό 500ml. Kωδ. αρ. 0890 25 Ενεργό καθαριστικό υαλοπινάκων 500ml
Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΡΔΙΖΕΙ! Οι αναγνώστες των γερμανικών περιοδικών Auohaus & Auo Service Praxis επέλεξαν τη Würh ως την καλύτερη μάρκα στο χώρο προϊόντων περιποίησης. Αποκτήστε τώρα κι εσείς την ποιότητα της
Διαβάστε περισσότεραXÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 957,27 957,27 ÓÔÏÔ 957,27 957,27 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,94
BÈÔÙÂ Ó EappleÂÍÂÚÁ Û Ï ÛÙÈÎÒÓ YÏÒÓ MIX. K A A A.E. AP. M.A.E.17769/B/88/094 - AP..E.MH 71607620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ
Διαβάστε περισσότερα11ο. Παγκρήτιο Περιφερικό Συμπόσιο Γενικής Ιατρικής. 7 9 Οκτωβρίου 2011 Ξενοδοχείο Candia Maris Hράκλειο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ Περιφερικό Τμήμα Κρήτης 11ο Παγκρήτιο Περιφερικό Συμπόσιο Γενικής Ιατρικής 7 9 Οκτωβρίου 2011 Ξενοδοχείο Candia Maris Hράκλειο ΟΡΓΑΝΩTIKH KAI EΠIΣTHMONIKH EΠITPOΠH Αντώνης
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ 2007-2013 TA ΝΕΑ Ε ΟΜΕΝΑ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ 2007-2013 TA ΝΕΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Με βάση τους Κανονισµούς για τα διαρθρωτικά ταµεία, που ορίζουν κοινούς κανόνες διαχείρισης, οι κοινοτικές στρατηγικές κατευθυντήριες
Διαβάστε περισσότεραI O O I MO 31Ë EKEMBPIOY ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ
ZETA E..E. AP..E.MH72127620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá. MË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ
Διαβάστε περισσότερα/ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ ΚΟΣΙΚΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ / http://www.kosikidis.gr. ªπ ƒ SMALL πã πƒ π
ªπ ƒ SMALL πã πƒ π BUSINESSES Essential apple Ú ÙËÙÂ Professional Âapple ÁÁÂÏÌ ÙÈÎ Telecommunications ÙËÏÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Â Alcatel OmniPCX Office Compact Edition Alcatel OmniPCX Office Compact Edition *
Διαβάστε περισσότεραCopyright 1998, 2001 øma A. KYBENTI H (Aπαγορε εται η ολική ή µερική ανατ πωση, µε οποιοδήποτε µέσο, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα).
ii øma A. KYBENTI H ñ ÂÓÓ ıëîâ ÙÔ 947 ÛÙÔ N Ô ÂÙÚ ÙÛÈ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ. ñ TÔ 965 appleôêô ÙËÛÂ applefi ÙÔ ÂÍ Ù ÍÈÔ ÌÓ ÛÈÔ È ËÚÔÎ ÛÙÚÔ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ Î È ÂÁÁÚ ÊËÎÂ ÛÙÔ TÌ Ì M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ A... ñ ÚÂ ÙÔ appleù Ô
Διαβάστε περισσότεραΗ. Εκπαιδευτική δραστηριότητα: Ελληνικό Τραπεζικό Ινστιτούτο (ΕΤΙ)
Η. Εκπαιδευτική δραστηριότητα: Ελληνικό Τραπεζικό Ινστιτούτο (ΕΤΙ) Το 2005 ήταν χρονιά προκλήσεων και αυξηµένων απαιτήσεων για το ΕΤΙ. Το εκπαιδευτικό πρόγραµµα εµπλουτίστηκε µε νέα θεµατολογία, σηµαντικό
Διαβάστε περισσότεραø Ó ÒÛÂÙÂ π Δƒ ÛÙÔ apple ÏÏ ÏÔ Û 24 πª ª Δ Δπ π Δ ø Δ ƒ ø π Δ Δ Δ Ãøƒ ƒ π ANNE BRUCE
ø Ó ÒÛÂÙ π Δƒ ÛÙÔ apple ÏÏ ÏÔ Û 24 πª ª Δ Δπ π Δ ø Δ ƒ ø π Δ Δ Δ Ãøƒ ƒ π ANNE BRUCE Àªμ À π ƒ Ã π Δƒø Δ ƒ Δπ À ªπ π Δ ƒ ø π Δ À ƒπ ƒ π π Δ ª ƒ ƒ ª πδàãπ Δ Δ πƒ π Ως διευθυντής, η επαγγελματική
Διαβάστε περισσότεραΣυγκεκριμένα, το βιβλίο αυτό περιέχει: Απαντήσεις σε όλες τις ερωτήσεις, τις δραστηριότητες και τα θέματα συζήτησης του σχολικού βιβλίου.
Φίλη μαθήτρια, Φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό αποτελεί ένα χρήσιμο βοήθημα για το μάθημα της Πληροφορικής της Β Γυμνασίου. Στόχος του είναι να σε βοηθήσει να κατανοήσεις τις βασικές έννοιες της Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραŒÓ ı Ì Ì ÂÚˆÙ ÛÂÈ Î È apple ÓÙ ÛÂÈ
Ï ÛÛÈÓfi Û ÔÏÂ Ô ŒÓ ı Ì Ì ÂÚˆÙ ÛÂÈ Î È apple ÓÙ ÛÂÈ ı Ï ÛÛÈÓfi ıfi ÛÙÔ Û ÔÏÂ Ô ÌÔ! Ù appleô Î Ù Ï applefiùâ apple Ú Û ÎÈ Ùfi ÙÔ Î ÏÔÎ ÚÈ. Ú - Û Ì ÎÈfiÏ ÛÙÔ Û ÔÏ Ô. ΔÔ Ì Ïfi ÌÔ fiìˆ Â Ó È ÛÙË ı Ï ÛÛ
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ενότητα 3: 28η Οκτωβρίου Η πορεία προς το μέτωπο... 85 Η Ιταλία μάς κήρυξε τον πόλεμο!... 89 Η πείνα... 96 Κατοχή...
Αγαπητοί γονείς Σκοπός του βιβλίου αυτού είναι να βοηθήσει τους μαθητές της Ε Δημοτικού στο μάθημα της Γλώσσας. Κάθε μάθημα περιλαμβάνει: Ερωτήσεις για την κατανόηση του κειμένου του σχολικού βιβλίου.
Διαβάστε περισσότεραΣυστη ματα επιισκέψιμων οροφών & Betoboard
Συστη ματα επιισκέψιμων οροφών & Betoboard Ô ˆ ÈÎfi Â Ô ÂÚÈÁÚ Ê Â Ô ª ÎÔ Ï ÙÔ ÈÌ Á µ ÚÔ (kg) 5.1 Ï Î ÔÚÔÊ Πλάκες ορυκτών ινών AMF* ( κατηγορία ακαυστότητας Α2 - s1,d0 ) Σύστημα C - Εμφανές σύστημα Σειρά
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ. Γλώσσα Γλώσσες και πολιτισμοί του κόσμου
2η ΕΝΟΤΗΤΑ Γλώσσα Γλώσσες και πολιτισμοί του κόσμου Θέματα της ενότητας Α Είδη δευτερευουσών προτάσεων Ονοματικές και επιρρηματικές προτάσεις Οι δευτερεύουσες προτάσεις, οι προτάσεις δηλαδή που εξαρτώνται
Διαβάστε περισσότεραIT NL PT SW ES DE FR RU EN GR DK
IT NL PT SW ES DE FR RU EN GR DK 3 3 5 6 7 8 8 9 Καλάθι του καταψύκτη Fresh 0 Zone (Αφορά μόνο ορισμένα μοντέλα) 10 10 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 ÚÔÙ ÛÂÈ ÂÍÔÈÎÔÓfiÌËÛË ÂÓ ÚÁÂÈ 22 23 23 24 26 27 28
Διαβάστε περισσότεραÛÊ ÏÂÈ Î È appleôûù ÚÈÍË
EL ÛÊ ÏÂÈ Î È appleôûù ÚÈÍË Πριν χρησιμοποιήσετε αυτό το προϊόν, διαβάστε προσεχτικά όλο το πληροφοριακό υλικό του προϊόντος και κρατήστε το για μελλοντική αναφορά. 7011287 ƒ π π π È Ó appleôê ÁÂÙÂ ËÏÂÎÙÚÔappleÏËÍ,
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,40
BA I EIA H - ME MAPH E..E. AP..E.MH 71769620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá.
Διαβάστε περισσότεραÓfiÙËÙ 1 ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô
ÓfiÙËÙ ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô Ì Ì È: ÀappleÂÓı ÌÈÛË ã T ÍË È Ó ÂappleÈÏ ÛÔ ÌÂ Ó appleúfi ÏËÌ, ÙÔ È Ô ÌÂ appleúôûâîùèî ÒÛÙÂ Ó Î Ù ÓÔ ÛÔ - ÌÂ ÙÈ appleïëúôêôú
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 5.406, ,95 ÓÔÏÔ 5.406, ,95
K. AM H ANøNYMH ETAIPEIA AP. M.A.E. 50473/80/B/01/43 - AP..E.MH 72352520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË )
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Παρουσίαση εταιρείας Υπηρεσίες Ιστορικό Ιδρύτρια Μέλος Συνεργασίες Συνέδρια - Ημερίδες Αρθρογραφία Ενδεικτικά άρθρα
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Παρουσίαση εταιρείας Υπηρεσίες Ιστορικό Ιδρύτρια Μέλος Συνεργασίες Συνέδρια - Ημερίδες Αρθρογραφία Ενδεικτικά άρθρα Άψον σημαίνει άναψε στην ποντιακή διάλεκτο. Γι αυτό και το λογότυπό μας είναι
Διαβάστε περισσότεραÈ ÛÙ ÚÔÛÂÎÙÈÎ Ù ÙÔ È ÏÈ Ú ÎÈ Ô ËÁÈÒÓ ˉÚ ÛË
È ÛÙÂ ÚÔÛÂÎÙÈÎ Ù ÙÔ È ÏÈ Ú ÎÈ Ô ËÁÈÒÓ ˉÚ ÛË ÚÈÓ ÂÁÎ Ù ÛÙ ÛÂÙÂ Î È ˉÚËÛÈÌÔ ÔÈ ÛÂÙÂ ÙË Û ÛÎÂ. ª ÓÔÓ ÙÛÈ ı ÂÙ ˉÂÙÂ Ù Î Ï ÙÂÚ ÔÙÂÏ ÛÌ Ù Î È ÙË Ì ÁÈÛÙË ÛÊ ÏÂÈ Î Ù ÙË ˉÚ ÛË. Πριν τη χρήση, βεβαιωθείτε ότι η
Διαβάστε περισσότεραΦτιάχνουμε προσκλήσεις Από το ημερολόγιο του Ελτόν Το χαρούμενο λιβάδι Φτιάξε μου ένα σιδερένιο άνθρωπο...
Αγαπητοί γονείς, Το βιβλίο αυτό έχει στόχο να μάθει ο μαθητής της Γ τάξης του Δημοτικού ν αποτυπώνει και να εκφράζει σωστά τις γνώσεις και τις εμπειρίες του μέσα από το γραπτό λόγο. Να μάθει ν αξιοποιεί
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ 0,04 0,03. EÌappleÔÚÂ Ì Ù , ,59 ÓÔÏÔ ,94 67.
KøN/NO XA KIO OY O MONO PO ø H E..E. AP..E.MH 72768520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ.
Διαβάστε περισσότεραΠPOΛOΓOΣ Δυναμικ ς Yλικ ν Σωμ των Mηχανικ ς Στατικ ς Kλασικ ς Δυναμικ ς σ στημα αναφορ ς
v ΠPOΛOΓOΣ Tο βιβλίο αυτ κ ριο σκοπ έχει να παρουσιάσει τις βασικές αρχές της Δυναμικής Yλικών Σωμάτων, καθώς και την επίδειξη της εφαρμογής τους στη συστηματική επίλυση πρακτικών προβλημάτων. H Δυναμική
Διαβάστε περισσότεραÙÂÁ ÓfiÙËÙ appleô ÍÂ ˆÚ ÂÈ
PLEXO IP 55 ÙÂÁ ÓfiÙËÙ appleô Í ˆÚ ÂÈ apple ÙÔÈ Ë ÙÔappleÔı ÙËÛË > ÎÙ ÏÈÔ ÛÙÂÁ ÓÔappleÔ ËÛË >>>  ÎÙË appleúôûù Û πƒ 1Ô ÚÈıÌfi appleúôûù Û applefi ÛÙÂÚÂ ÛˆÌ Ù È IP tests ÎÙ ÏÈÔ ÛÙÂÁ ÓÔappleÔ ËÛË ÎÙ ÏÈÔ
Διαβάστε περισσότερα(ª ) :54 ÂÏ 1. ª ıëì ÙÈÎ Àª π À
001-008 (ª ) 16-09-08 14:54 ÂÏ 1 ª ıëì ÙÈÎ Àª π À 001-008 (ª ) 16-09-08 14:54 ÂÏ 2 À ƒ º π ƒπ - π π ƒ º ºπ π πª π À À À À ª ª π À À ƒ À À ƒ º øºà πˆ ÓÓË µ Ó Ô Ï ÎË, ª ıëì ÙÈÎfi, È ÛÎˆÓ ÌÂ Û Ì ÛË ÂÚÁ Û
Διαβάστε περισσότεραapplefi ÙË ÏÈÎÔÓ µ ÏÏÂ ÛÙÔÓ ÕÏÈÌÔ ÙË ÙÙÈÎ ÔÈ ÂÚÂ ÓËÙ ÙË Regulon ÛÙËÓ appleúòùë ÁÚ ÌÌ Ì Ë Î Ù ÙÔ Î ÚÎ ÓÔ
applefi ÙË ÏÈÎÔÓ µ ÏÏÂ ÛÙÔÓ ÕÏÈÌÔ ÙË ÙÙÈÎ ÔÈ ÂÚÂ ÓËÙ ÙË Regulon ÛÙËÓ appleúòùë ÁÚ ÌÌ Ì Ë Î Ù ÙÔ Î ÚÎ ÓÔ ÃÙ appleòóù ÙÔÓ Î ÚÎ ÓÔ ÌÂ «ÔÚÊ Ó» Ê ÚÌ Î ÙˆÓ N ÛÔ ÏÂ È fiappleô ÏÔ, ÓÈ ªappleÔ Ï Î * ÓÂ Â Ó È Ô
Διαβάστε περισσότερα