PO O O. και Oλοκληρωτικ Λογισμ για συναρτήσεις μιας και περισσοτέρων
|
|
- Δήλια Κόρακας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 iii PO O O Mέχρι το 4ο εξάμηνο σπουδών οι φοιτητές του Tμήμτος Mθημτικών του Πνεπιστημίου Θεσσλονίκης διδάσκοντι το Διφορικ κι Oλοκληρωτικ Λογισμ γι συνρτήσεις μις κι περισσοτέρων μετβλητών. Στ μθήμτ υτά η μελέτη περιορίζετι κυρίως στις συνεχείς, τις πργωγίσιμες κι τις συνεχείς ολοκληρώσιμες κτά Riemann συνρτήσεις κι δίνετι μεγλ τερη βρ τητ στους υπολογισμο ς κι τις εφρμογές πρά στη θεωρί. μως οι πρπάνω κτηγορίες συνρτήσεων είνι μάλλον η εξίρεση πρά ο κν νς μέσ στο σ νολο των πργμτικών συνρτήσεων. Γι υτ έν μάθημ υστηρά θεμελιωμένης πργμτικής Aνάλυσης είνι πρίτητο γι κθέν που σπουδάζει τ Mθημτικά. Έν τέτοιο μάθημ εκτ ς του τι διδάσκει την υστηρή μθημτική σκέψη, δίνει γενικε σεις γνωστών εννοιών πολλές π τις οποίες έδωσν τεράστι ώθηση στην νάπτυξη της Mθημτικής Aνάλυσης κι των εφρμογών της, πως π.χ. η έννοι του μέτρου κι του ολοκληρώμτος του Leesgue. Στο βιβλίο υτ νπτ σσοντι διεξοδικά πολλά κεφάλι της Πργμτικής Aνάλυσης, πως οι μον τονες συνρτήσεις, οι συνρτήσεις περτωμένης μετβολής, οι π λυτ συνεχείς συνρτήσεις, οι κυρτές κι κοίλες συνρτήσεις, οι κολουθίες συνρτήσεων κι το ολοκλήρωμ του Riemann. Kεντρική μως θέση τ σο στο βιβλίο υτ σο κι στο ντίστοιχο μάθημ των Πργμτικών Συνρτήσεων γι το οποίο ποτελεί βοήθημ, κτέχουν τ κεφάλι του μέτρου, των μετρητών συνρτήσεων κι του ολοκληρώμτος του Leesgue. Γι την εισγωγή του ολοκληρώμτος του Leesgue χρησιμοποίησ τη μέθοδο των άνω κι κάτω θροισμάτων ενώ άφησ τη μέθοδο των πλών συνρτήσεων γι το κτ επιλογήν μάθημ "θεωρί μέτρου κι Oλοκλήρωσης" η λη του οποίου περιέχετι στο ομώνυμο βιβλίο μου που έχει κυκλοφορήσει ήδη π πεντετίς. Aυτ έγινε γι το λ γο τι η μέθοδος των θροισμάτων είνι, κτά τη γνώμη μου, πιο ε ληπτη π τους φοιτητές που διδάσκοντι γι πρώτη φορά το ολοκλήρωμ του Leesgue κι έχουν ως μονδικ εφ διο το ολοκλήρωμ του Riemann. Nομίζω τι η ομοι τητ των ορισμών των
3 iv δ ο ολοκληρωμάτων βοηθά πολ περισσ τερο το φοιτητή ν κτνοήσει τη νέ έννοι, π τον ορισμ με τη χρήση των πλών συνρτήσεων που βρίσκετι στ ρι εν ς μετπτυχικο μθήμτος. H νέ υτή έκδοση του βιβλίου διφέρει σημντικά της προηγουμένης. Διορθώθηκν ορισμένες τυπογρφικές βλεψίες κι προστέθηκν νέες πράγρφοι. Στο κεφάλιο 6 προστέθηκε η με το Kριτήριο των Cauchy-Maclaurin που συνδέει τη σ γκλιση ριθμητικών σειρών κι μη γνησίων ολοκληρωμάτων κι η 6.10 που δίνοντι ενλλκτικοί ορισμοί του ολοκληρώμτος του Riemann κι ποδεικν ετι η ισοδυνμί τους. Στο κεφάλιο 7 προστέθηκν η 7.7 που περιέχει το σημντικ θεώρημ προσέγγισης του Weierstrass κι η 7.8 με το θεώρημ των Arzela-Ascoli των ισοσυνεχών συνρτήσεων. Στο κεφάλιο 8 προστέθηκε η με μι συντομ τερη π δειξη του θεωρήμτος του Lusin. Στο κεφάλιο 9 προστέθηκε η με έν θεώρημ σχετικ με το βσικ θεώρημ του ολοκληρωτικο λογισμο. Tέλος προστέθηκε ολ κληρο το κεφάλιο 10 στο οποίο νπτ σσετι μι κ μη γενίκευση του ολοκληρώμτος του Riemann, το ολοκλήρωμ του Stieltjes. Eκεί γενικε ουμε τους 3 ορισμο ς της κι πρτηρο με με έκπληξη τι τρεις ισοδ νμοι ορισμοί οδηγο ν σε τρεις μη ισοδ νμες γενικε σεις, δηλδή σε τρί διφορετικά ολοκληρώμτ τ που Stieltjes. Kτεβλήθη προσπάθει ώστε τ διάφορ ποτελέσμτ ν διτυπωθο ν με τις λιγ τερες (κτά το δυντ ) προϋποθέσεις. Aρκετά πρδείγμτ κι άλυτες σκήσεις πλισιώνουν τ διάφορ κεφάλι. Eκτ ς μως π τις σκήσεις των διφ ρων κεφλίων υπάρχει στο τέλος του βιβλίου πράρτημ με 92 λυμένες σκήσεις. Σε ορισμένες π τις λ σεις πρλείποντι κάποιες λεπτομέρειες. Aν ο νγνώστης συμπληρώσει μ νος του τις λεπτομέρειες υτές θ έχει π τις λυμένες υτές σκήσεις το μεγλ τερο δυντ φελος. Oι σκήσεις των διφ ρων κεφλίων που σημειώνοντι με το σημείο λ νοντι πίσω στο πράρτημ χι νγκστικά με την ίδι σειρά. Στο πράρτημ μως υπάρχουν συχνά κι άλλες σκήσεις που δεν εμφνίζοντι στ διάφορ κεφάλι. Tελειώνοντς θέλω ν ευχριστήσω κι π τη θέση υτή το τυπογρφείο της κ. Π. Zήτη γι την ωρί εμφάνιση του βιβλίου. Θεσσλονίκη Iνουάριος 1996 Π. Iκ. Ξενικάκης
4 v EPIEXOMENA 1. Σ νολ κι συνρτήσεις 1.1. H ÓÓÔÈ ÙË Û Ó ÚÙËÛË IÛÔ Ó Ì Û ÓÔÏ - appleïëı ÚÈıÌÔÈ - ÚÈıÌ ÛÈÌ Û ÓÔÏ YappleÂÚ ÚÈıÌ ÛÈÌ Û ÓÔÏ - ÙÔ Û Ó ÕÏÁ ÚÂ Î È Û- ÏÁ ÚÂ Û ÓfiÏˆÓ AÓÔÈÎÙ Û ÓÔÏ - Û ÓÔÏ ÙÔ Borel ÛÙÔ ó Ú ÁÌ ÙÈÎÔ Î È ÂappleÂÎÙ Ì ÓÔÈ appleú ÁÌ ÙÈÎÔ ÚÈıÌÔ AÎÔÏÔ ı  appleú ÁÌ ÙÈÎÒÓ ÚÈıÌÒÓ AÎÔÏÔ ı Â Û ÓfiÏˆÓ - ÎÈ ˆÙÈÛÌÔ Ú ÁÌ ÙÈÎ Î È ÂappleÂÎÙÂÙ Ì Ó appleú ÁÌ ÙÈÎ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ...21 Aσκήσεις Tο μέτρο του Leesgue 2.1. TÔ Ì ÎÔ È ÛÙ Ì ÙÔ H ÓÓÔÈ ÙÔ Ì ÙÚÔ TÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi Ì ÙÚÔ ÙÔ Leesgue MÂÙÚËÙ Û ÓÔÏ - ÙÔ Ì ÙÚÔ ÙÔ Leesgue ÓÔÏ ÌË ÂÓÈÎÔ Ì ÙÚÔ KÚÈÙ ÚÈ ÌÂÙÚËÛÈÌfiÙËÙ - appleúôû ÁÁÈÛË EÛˆÙÂÚÈÎfi Ì ÙÚÔ - ÌÈ ÏÏË Ì ıô Ô Ó appleù ÍË MË ÌÂÙÚËÙ Û ÓÔÏ K Ï Ë Û ÓfiÏˆÓ Î Ù Vitali ŒÎÙ ÛË Û ÓfiÏÔ - Ó appleâappleâú ÛÌ Ó appleúôûıâùèîfi Ì ÙÚÔ M ÙÚÔ Î È ÎÙ ÛË ÛÙÔÓ ó Aσκήσεις Πράγωγοι 3.1. OÚÈ ÎÔ ÚÈıÌÔ Û Ó ÚÙËÛË Ú ÁˆÁÔÈ ÚÈıÌÔ ÙÔ Dini I ÈfiÙËÙÂ ÙˆÓ apple Ú ÁÒÁˆÓ Ú ÁˆÁÔÈ ÙˆÓ Û Ó ÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ Ó ÚÙ ÛÂÈ Lipschitz...70 Aσκήσεις...70
5 vi 4. Mον τονες συνρτήσεις κι συνρτήσεις περτωμένης μετβολής 4.1. MÔÓfiÙÔÓÂ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ Ó ÂÈ ÙˆÓ ÌÔÓÔÙfiÓˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ KÚÈÙ ÚÈ ÌÔÓÔÙÔÓ AapplefiÏ Ù Û ÓÂ Â Û Ó ÚÙ ÛÂÈ Ú ÁÒÁÈÛË ÙˆÓ ÌÔÓÔÙfiÓˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ Ó ÚÙ ÛÂÈ appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ ÔÏ ÛË ÌÔÓÔÙfiÓˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ Î È Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ Ô- Ï Ó ÂÈ ÙˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ ÔÏ Ú ÁÒÁÈÛË ÙˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ ÔÏ...99 Aσκήσεις Kυρτές κι κοίλες συνρτήσεις 5.1. K ÚÙ Û ÓÔÏ - Î ÚÙ Î È ÎÔ ÏÂ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ I ÈfiÙËÙÂ ÙˆÓ Î ÚÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ Ó ÂÈ Î È apple Ú ÁÒÁÈÛË ÙˆÓ Î ÚÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ KÚÈÙ ÚÈ Î ÚÙfiÙËÙ Aσκήσεις Tο ολοκλήρωμ του Riemann 6.1. AÓÒÙÂÚÔ Î È Î ÙÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann KÚÈÙ ÚÈ ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ B ÛÈÎ È ÈfiÙËÙ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann To fiúèûùô ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ OÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙˆÓ apple Ú ÁÒÁˆÓ - ÛÈÎfi ıâòúëì ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ ÏÔ- ÁÈÛÌÔ Â ÙÂÚÔ ıâòúëì Ì ÛË ÙÈÌ TÚfiappleÔÈ appleôïôáèûìô ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ŒÎÙ ÛË Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann MË ÁÓ ÛÈ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù EÓ ÏÏ ÎÙÈÎÔ ÔÚÈÛÌÔ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann Aσκήσεις Aκολουθίες κι σειρές συνρτήσεων 7.1. AÎÔÏÔ ı Â Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ - ÛÈÎÔ ÔÚÈÛÌÔ ËÌÂÈ Î Û ÁÎÏÈÛË OÌÔÈfiÌÔÚÊË Û ÁÎÏÈÛË Ú ÁÒÁÈÛË Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙˆÓ ÎÔÏÔ ıèòó Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ ÂÈÚ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...176
6 vii 7.6. KÚÈÙ ÚÈ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û ÁÎÏÈÛË OÌÔÈfiÌÔÚÊË appleúôû ÁÁÈÛË ÙˆÓ Û Ó ÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ IÛÔÛ Ó ÂÈ Aσκήσεις Mετρητές συνρτήσεις 8.1. H ÓÓÔÈ ÙË ÌÂÙÚËÙ Û Ó ÚÙËÛË I ÈfiÙËÙÂ ÙˆÓ ÌÂÙÚËÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ AÎÔÏÔ ı  ÌÂÙÚËÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ - appleï Û Ó ÚÙ ÛÂÈ Â fió ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û ÁÎÏÈÛË - Û ÁÎÏÈÛË Î Ù Ì ÙÚÔ ÓÙÂÙ ÁÌ Ó Û ÓÔÏ ÌÂÙÚËÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ Aσκήσεις Tο ολοκλήρωμ του Leesgue 9.1. TÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÊÚ ÁÌ ÓË Û Ó ÚÙËÛË ÛÂ Û ÓÔÏÔ appleâappleâú ÛÌ ÓÔ Ì - ÙÚÔ I ÈfiÙËÙ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ OÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÙˆÓ ÎÔÏÔ ıèòó Î È ÛÂÈÚÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ TÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙˆÓ ÌË ÚÓËÙÈÎÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ TÔ ÁÂÓÈÎfi ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Leesgue I ÈfiÙËÙÂ ÙˆÓ ıúôèû ÌˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ M ÙÚÔ Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÁÎÚÈÛË ÔÏÔÎÏËÚˆÌ ÙˆÓ Riemann Î È Leesgue Ú ÁÒÁÈÛË Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË OÈ ÒÚÔÈ L Î È L P Û ÁÎÏÈÛË Î Ù norm Aσκήσεις Tο ολοκλήρωμ του Stieltjes EÈÛ ÁˆÁ TÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes H Û ÁÎÏÈÛË Î Ù Cauchy OÚÈÛÌ ÓÂ Û Óı Πappleô Û ÓÂapple ÁÔÓÙ È ÙËÓ apple ÚÍË ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ - ÙÔ ÙÔ Stieltjes I ÈfiÙËÙ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Stieltjes OÏÔÎÏ ÚˆÛË Î Ù apple Ú ÁÔÓÙ AÏÏ Á ÌÂÙ ÏËÙ Ô ıâˆú Ì Ù apple ÚÍË ŒÓ ıâòúëì ÁÈ ÌË ÊÚ ÁÌ Ó ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Â Û Ó ÚÙ ÛÂÈ TÔ ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes O ÚfiÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ ˆÓ Û Ó ÂÈ ÛÙÔ ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes OÏÔÎÏ ÚˆÛË ˆ appleúô ÎÏÈÌ ÎˆÙ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ TÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Riemann - Stieltjes...339
7 viii ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ÔÚÈÛÌÒÓ TÔ fiúèûùô ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ B ÛÈÎ ıâˆú Ì Ù ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ ÏÔ- ÁÈÛÌÔ OÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙˆÓ ÎÔÏÔ ıèòó Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ Aσκήσεις Πράρτημ (Ï Ì Ó ÛÎ ÛÂÈ ) BÈ ÏÈÔÁÚ Ê OÈ Î ÚÈÒÙÂÚÔÈ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ E ÚÂÙ ÚÈÔ fiúˆó...451
8 297 Tο ολοκλήρωμ του Stieltjes Eισγωγή ÙÔ KÂÊ Ï ÈÔ 6 ÔÚ Û ÌÂ Î È ÌÂÏÂÙ Û Ì ÈÂÍÔ ÈÎ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann. OÈ È ÊÔÚÔÈ ÔÚÈÛÌÔ Û ÛÙËÎ Ó Û appleâappleâú ÛÌ Ó ıúô ÛÌ Ù ÙË ÌÔÚÊ Â n m i l(i i ),  n M i l(i i ) i=1 i=1 appleô Â Ó È ÁÓˆÛÙ ˆ ıúô ÛÌ Ù ÙÔ Daroux. OÈ ÚÈıÌÔ l(i i ) appleô ÂÌÊ - Ó ÔÓÙ È ˆ apple Ú ÁÔÓÙÂ ÙˆÓ fiúˆó ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ ÙÒÓ, Â Ó È Ù Ì ÎË ÙˆÓ È ÛÙËÌ ÙˆÓ I i Î È ÌappleÔÚÔ Ó Ó ÛËÌÂȈıÔ Ó Âapple ÛË Ì ÙÔ Û Ì ÔÏÈÛÌfi Δx i = x i x i 1. AÓ ÛÙ apple Ú apple Óˆ ıúô ÛÌ Ù ÂÈÛ Á ÁÔ Ì ÙÔ ÚÈıÌÔ Δg i = g(x i ) g(x i 1 ) ÛÙË ı ÛË ÙˆÓ l(i i ) = Δx i = x i x i 1, fiappleô g Ì appleâúèûûfi- ÙÂÚÔ ÏÈÁfiÙÂÚÔ ı ÚÂÙË Û Ó ÚÙËÛË, apple ÚÓÔ Ì ÌÈ ÁÂÓ Î ÛË ÙË Î Ù - ÛΠÙÔ Riemann Ë ÔappleÔ Ó ÁÂÙ È ÛÙËÓ Î Ù ÛΠÙÔ ÁÓˆÛÙÔ ÔÏÔ- ÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann ÛÙËÓ ÂÈ ÈÎ appleâú appleùˆûë appleô Ô Ì ÙË Û Ó ÚÙËÛË g(x)=x. XÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ Ù Ù ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ ıúô ÛÌ Ù ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó Ò- ÛÔ Ì ÔÚÈÛÌÔ Ó ÏÔÁÔ Ì ÂΠÓÔ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann, ÔÈ ÔappleÔ ÔÈ Ô ËÁÔ Ó Û ÁÂÓÈΠÛÂÈ ÁÓˆÛÙ ˆ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù ÙÔ Stieltjes (1). Ù ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù ÙÔ Stieltjes ÌÈ Û Ó ÚÙËÛË f appleô ÔÓÔÌ ÂÙ È ολοκληρωτέ συνάρτηση, ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ È ˆ appleúô ÌÈ ÏÏË Û Ó ÚÙËÛË g appleô ÔÓÔÌ ÂÙ È ολοκληρωτής. OÈ ÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ ÌÂÓÔÈ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ Ú fdg (1) O Thomas Joannes Stieltjes ( ) Ù Ó OÏÏ Ó fi Ì ıëì ÙÈÎfi Î È ÛÙÚÔÓfi- ÌÔ. appleô Û ÛÙÔ Ú ÛÈ ÎÔÓÙ ÛÙÔÓ Hermite Î È ÁÈÓ Πıëáëù ÛÙËÓ TÔ ÏÔ Ë. OÈ Î ÚÈfiÙÂÚ ÂÚÁ Û Â ÙÔ Ù Ó, Ó applefiìóëì ÛÙ Û Ó ÎÏ ÛÌ Ù, ÙÔ appleúfi ÏËÌ ÙˆÓ ÚÔappleÒÓ Î È ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes appleô ËÌÔÛÈ ıëîâ ÙÔÓ ÙÂÏÂ Ù Ô ÚfiÓÔ ÙË Û ÓÙÔÌË ˆ ÙÔ.
9 298 Î È Ú f(x) dg(x) ÁÈ Ù ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù Ù, ÙÔÓ Ô Ó Ùfi ÎÚÈ Ò ÙÔ appleú ÁÌ. ÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ 6  Ì fiùè ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann ÌappleÔÚÂ Ó ÔÚÈ- ÛÙ Ì ÙÚÂÈ È ÊÔÚÂÙÈÎÔ ÙÚfiappleÔ appleô ÂÎÊÚ ÔÓÙ È Ì ÙÔ ÔÚÈÛÌÔ (A), (B) Î È (C). E Ó È fiìˆ ÍÈÔÛËÌ ˆÙÔ Î È appleúfiûìâóô ÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè ÂÓÒ ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ Â Ó È ÈÛÔ Ó ÌÔÈ ÁÈ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann, ÛÙË ÁÂ- Ó Î ÛË Ô ËÁÔ Ó Û ÙÚ È ÊÔÚÂÙÈÎ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù Ù appleô Stieltjes Ù ÔappleÔ ÂÓ apple ÈÙÔ Ó ÙÔ ÈÔ appleâúèôúèûìô ÁÈ ÙÈ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f Î È g. Ÿappleˆ ı Ê Ó appleèô Î Ùˆ, ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ appleô appleúôî appleùâè applefi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (C) Â Ó È ÙÔ appleèô ÁÂÓÈÎfi applefi Ù ÙÚ. AÓÙ ıâù apple fiùè ÁÈÓ ÛÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ 6, Â Ò ı Ú ÛÔ Ì ÙË ÌÂÏ ÙË Ì Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B) appleô Û ÂÙ È ÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ Î È ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ Tο ολοκλήρωμ του Stieltjes ˆÚÔ ÌÂ Ô Ù Â Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f Î È g ÔÚÈÛÌ Ó ÛÙÔ È - ÛÙËÌ [, ] Î È Ì È ÚÂÛË D : = x 0 < x 1 < < x n = ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [, ]. ËÌÂÈÒÓÔ Ì Ì [x i 1, x i ] i=1, 2,, n Ù È ÛÙ - Ì Ù ÙË È ÚÂÛË D Î È ÁÈ Î ıâ i=1, 2,, n ÂÎÏ ÁÔ ÌÂ Ó Ù fió ÛË- ÌÂ Ô ξ i Œ[x i 1, x i ]. TÔ Û ÓÔÏÔ P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } ÔÓÔÌ ÂÙ È ενδιάμεση διίρεση ÙË D. TÔ ıúôèûì ( ) S(f, g, D, P) =  n f(ξ i )Δg i fiappleô Δg i = g(x i ) g(x i 1 ) ÔÓÔÌ ÂÙ È άθροισμ Stieltjes ( Û ÓÙÔÌ S- ıúôèûì ) ÙË f ˆ appleúô ÙË g appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Â ÛÙË È ÚÂÛË D Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P. H ÔÌÔÈfiÙËÙ ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ ( ) Ì ٠ıúô ÛÌ Ù Riemann appleô Û Ó ÓÙ Û Ì ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B) ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann (KÂÊÏ ) Î È ÙÔ ıâòúëì Â Ó È Ê ÓÂÚ. TÔ ÌfiÓÔ ÂappleÈappleÏ ÔÓ ÛÙÔÈ- Â Ô Â Ó È Ë apple ÚÔ Û ÙË Â ÙÂÚË Û Ó ÚÙËÛË g. ÒÛÔ Ì ÙÒÚ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Stieltjes ÙÔÓ ÔappleÔ Ô ı ÔÓÔÌ ÛÔ Ì ÔÚÈÛÌfi (B) ÁÈ Ó ı ÌfiÌ ÛÙ ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B) ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ - ÙÔ ÙÔ Riemann. Oρισμ ς (B). Ì fiùè Ô ÚÈıÌfi I B Â Ó È ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes ÙË Û Ó ÚÙËÛË f ˆ appleúô ÙË Û Ó ÚÙËÛË g ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Î È Ë f ı i=1
10 299 Ï ÁÂÙ È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ] ÎÚÈ Ò ÙfiÙ fiù Ó ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ó ÈÛ ÂÈ S(f, g, D, P) I B < ε. TÔÓ ÚÈıÌfi I B ı ÙÔÓ ÛËÌÂÈÒÓÔ Ì Ì ÙÔ Û Ì ÔÏÔ fdg. TÔ ÁÚ ÌÌ S ÛÙÔ Û Ì ÔÏÔ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ Ìapple ÓÂÈ ÁÈ Ó È ÎÚ - ÓÔ Ì ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Ùfi applefi ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann Î ıò Î È applefi ÙÈ ÏÏÂ Ô ÌÔÚÊ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ ÙˆÓ appleô ı ÔÚÈÛÙÔ Ó appleèô Î Ùˆ Ì ÙÔ ÔÚÈÛÌÔ (A) Î È (C). Ÿappleˆ Î È ÛÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann ÙÛÈ Î È Â Ò ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ıâˆ- Ú ÛÔ Ì ÙÔÓ ÚÈıÌfi I B ˆ ÙÔ fiúèô ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ Î È Ó ÁÚ - Ô Ì ( ) fdg = lim S(f, g, D, P). λ(d)æ0 Ú appleâè Ó ÙÔÓ ÛÔ ÌÂ Â Ò fiùè apple Ú ÂÈ Î appleôè È ÊÔÚ ÌÂÙ Í ÙÔ ÔÚ Ô Û Ó ÚÙËÛË Î È ÙÔ ÔÚ Ô ÙË ÈÛfiÙËÙ ( ). H È ÊÔÚ Ù ÔÊ ÏÂÙ È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè Ù ıúô ÛÌ Ù ÂÓ ÂÍ ÚÙÒÓÙ È ÌfiÓÔ applefi ÙË È - ÚÂÛË D ÏÏ Î È applefi ÙËÓ ı ÚÂÙË ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P. Ú ÊÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ˆ fiúèô ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ, ÁÈ Ù ÙÔ fiúèô Ùfi Û ÌappleÂÚÈÊ ÚÂÙ È fiappleˆ ÙÔ fiúèô Û Ó ÚÙËÛË Î È Ì ÓÂÈ Ù ÂappleÈı - ÌËÙ appleôùâï ÛÌ Ù, ÂÓ ÁÓÒÛÂÈ Ì fiùè ÂÓ Ù Ù ÂÙ È applefiï Ù Ì ÙÔ fiúèô Û Ó ÚÙËÛË. OappleÔÙ appleôùâ ÚÂÈ fiì ÛÙ ÙËÓ ÎÚÈ ÛËÌ Û ÙÔ ÔÚ Ô ÙË Û ÛË ( ) appleú appleâè Ó Ó ÙÚ Ô Ì ÛÙÔ appleâúèâ fiìâóô ÙÔ ÔÚÈÛÌÔ (B). T ÏÔ ÔÚ Ô Ì fdg = fdg Î È fdg = 0 fiù Ó <  ÍÔ Ì ÙÔ ÎfiÏÔ ıô ıâòúëì : Θεώρημ. H συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ] κριβώς τ τε τν υπάρχει ένς ριθμ ς IŒó τέτοιος ώστε γι κάθε κολουθί διιρέσεων {D n } του διστήμτος [, ] με limλ(d n ) = 0 ν είνι næ lims(f, g, D n, P n ) = I næ οποιδήποτε κι ν είνι η ενδιάμεση διίρεση P n της D n.
11 300 Aπ δειξη. ŒÛÙˆ fiùè Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. TfiÙ apple Ú ÂÈ IŒó ÒÛÙÂ, ÁÈ Î ıâ ε>0 Ó apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ fiù Ó λ(d)<δ Î È ÁÈ ÔappleÔÈ appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ó Â Ó È (1) S(f, g, D, P) I < ε. AÓ {D n } ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ ÙÔ [, ] Ì lim λ(d n ) = 0 Î È P n næ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D n, ÙfiÙ apple Ú ÂÈ n 0 Œƒ ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ n n 0 Ó Â Ó È λ(d n ) < δ Î È ÚË ÛÙËÓ (1) Â Ó È S(f, g, D n, P n ) I < ε. ÓÂappleÒ lim næ S(f, g, D n, P n ) = I. AÓÙ ÛÙÚÔÊ, appleôı ÛÔ Ì fiùè ÈÛ ÂÈ ÙÔ Û Ìapple Ú ÛÌ ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÏÏ fiùè Ë f ÂÓ Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. TfiÙ apple Ú ÂÈ ε 0 >0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ δ>0 Ó apple Ú ÂÈ È ÚÂÛË D δ ÙÔ [, ] με λ(d δ )<δ Î È ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P δ ÙË D δ ÒÛÙÂ Ó Â Ó È (2) S(f, g, D δ, P δ ) I ε 0. AÓ ı ÛÔ Ì δ = 1, nœƒ ÙfiÙ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÂÎÏ ÍÔ Ì ÎÔÏÔ ı È Èn Ú ÛÂˆÓ {D n } Ì λ(d n ) < 1 n Î È ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P n ÙË D n ÒÛÙÂ, ÚË ÛÙË (2), Ó Â Ó È S(f, g, D n, P n ) I ε 0, " nœƒ. A Ùfi fiìˆ Ú ÂÙ È Û ÓÙ Ê ÛË Ì ÙËÓ applefiıâûë fiùè ÙÔ Û Ìapple Ú ÛÌ ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÈÛ ÂÈ Î È ÙÔ ıâòúëì ÂÈ appleô ÂÈ ıâ ÒÛÔ Ì ÙÒÚ Ô appleï apple Ú Â ÁÌ Ù appleôïôáèûìô ÔÏÔ- ÎÏËÚˆÌ ÙˆÓ ÙÔ Stieltjes appleô Â Ó È Ú ÛÈÌ ÁÈ Ù ÂapplefiÌÂÓ. Πράδειγμ 1. A ıâˆú ÛÔ Ì ÌÈ ÔappleÔÈ appleôùâ Û Ó ÚÙËÛË f Î È ÌÈ ÛÙ ıâú Û Ó ÚÙËÛË g=k. OÚÈÛÌ Ó ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ]. È Ù È - ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ô ÌÂ, S(f, g, D, P) =  n i=1 f(ξ i )Δg i =  n i=1 f(ξ i ) [g(x i ) g(x i 1 )] = 0. ÕÚ appleúôî appleùâè fiùè Î ıâ Û Ó ÚÙËÛË f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô Ó ÛÙ ıâúfi ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Î È Â Ó È
12 301 fdk = 0. Πράδειγμ 2. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ ÌÈ ÛÙ ıâú Û Ó ÚÙËÛË f=k ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Î È ÌÈ Ù Û Ó ÚÙËÛË g ÛÙÔ ÈÔ È ÛÙËÌ. È Ù È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ô Ì S(f, g, D, P) =  n f(ξ i ) [g(x i ) g(x i 1 )] = k  n [g(x i ) g(x i 1 )] = i=1 = k[g() g()]. ÕÚ fiïâ ÔÈ ÛÙ ıâú Û Ó ÚÙ ÛÂÈ ÛÙÔ [, ] Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌ Π٠Stieltjes ˆ appleúô Ù Ô ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Î È ÈÛ ÂÈ kdg = k[g() g()]. EÈ ÈÎ ÁÈ k=1 Ô Ì i=1 dg = g() g(). Aapplefi ÙÈ Ô ÙÂÏÂ Ù Â Û ÛÂÈ appleúôî appleâè Ë È ÈfiÙËÙ kdg = k dg ÁÈ ÔappleÔÈÔ appleôùâ kœó Î È ÔappleÔÈ appleôùâ Û Ó ÚÙËÛË g ÔÚÈÛÌ ÓË ÛÙÔ [, ] H σ γκλιση κτά Cauchy Oρισμ ς. A appleôı ÛÔ Ì fiùè ÓÔÓÙ È Ô Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f, g ÔÚÈÛÌ Ó ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Î È ıâˆú ÛÔ Ì ÙÔ Û ÓÔÏÔ fiïˆó ÙˆÓ S- ıúôèûì - ÙˆÓ ( Ï ). Ï Ì fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S- ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy ÎÚÈ Ò ÙfiÙ fiù Ó ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 Ù ÙÔÈÔ ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ  ÁÔ È ÈÚ ÛÂˆÓ D 1, D 2 ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [, ] Ì λ(d 1 )<δ Î È λ(d 2 )<δ Î È ÁÈ ÔappleÔÈÂÛ appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P 1, P 2 ÙˆÓ D 1 Î È D 2 ÓÙ ÛÙÔÈ, Ó ÈÛ ÂÈ S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D 2, P 2 ) < ε  ÍÔ Ì ÙÔ ÎfiÏÔ ıô ıâòúëì : Θεώρημ. Mι συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς μι συνάρτηση g στο διάστημ [, ] κριβώς τ τε τν το σ νολο των θροισμάτων S(f, g, D, P) συγκλίνει κτά Cauchy.
13 302 Aπ δειξη. ŒÛÙˆ fiùè Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ]. TfiÙÂ, Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B), ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È Ù - ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ó Ô ÌÂ, (1) ÔS(f, g, D, P) Ô Ô ε fdg < Ô 2. AÓ ÙÒÚ D 1, D 2 Â Ó È Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ Ì λ(d 1 )<δ Î È λ(d 2 )<δ Î È P 1, P 2 Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙˆÓ D 1 Î È D 2 ÓÙ ÛÙÔÈ, ÙfiÙ ÚË ÛÙËÓ (1) Ô Ì (2) ÔS(f, g, D 1,P 1 ) Ô Ô ε fdg < Ô 2 Î È ÔS(f, g, D 2,P 2 ) Ô Ô ε fdg < Ô 2. ÓÂappleÒ Û Ó ÔÓÙ ÙÈ (2) Ô Ì S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D 2, P 2 ) < ε appleô ÛËÌ ÓÂÈ fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S - ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy. AÓÙ ÛÙÚÔÊ, appleôı ÛÔ Ì fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S - ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ - ÓÂÈ Î Ù Cauchy. ËÏ ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ ÁÈ Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ D 1, D 2 Ì λ(d 1 )<δ, λ(d 2 )<δ Î È Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ - ÛÂÈ P 1, P 2 ÙˆÓ D 1, D 2 ÓÙ ÛÙÔÈ, Ó Â Ó È (3) S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D 2, P 2 ) < ε 2. ˆÚÔ Ì ÙÒÚ ÙËÓ ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ D n = {x 0, x 1,, x n } fiappleô x i = + i( ) Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË ÎÔÏÔ ı P n = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } fiappleô n ξ i =x i, i=1, 2,, n. H ÎÔÏÔ ı appleú ÁÌ ÙÈÎÒÓ ÚÈıÌÒÓ {S(f, g, D n, P n )} n=1 ˆ appleôû ÓÔÏÔ ÙÔ Û ÓfiÏÔ ÙˆÓ S - ıúôèûì ÙˆÓ appleô Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy, Â Ó È ÌÈ ÎÔÏÔ ı ÙÔ Cauchy Î È ÂappleÔÌ Óˆ ( ÚË ÛÙËÓ appleïëúfiùëù ÙÔ ó) Û Á- ÎÏ ÓÂÈ Û Ó appleú ÁÌ ÙÈÎfi ÚÈıÌfi L. ÕÚ ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ n 0 Œƒ ÒÛÙÂ Ó Â Ó È (4) S(f, g, D n, P n ) L < ε 2 ÁÈ Î ıâ n n 0. A apple ÚÔ Ì ÙÒÚ δ = min Ï Ì Ó δ, 1 n 0, n 0 Î È ıâˆú - ÛÔ Ì n > 1 δ. TfiÙÂ Â Ó È n>n 0 Î È Û ÓÂappleÒ ÁÈ Ù D n, P n ÈÛ ÂÈ Ë (4).
14 303 EappleÈappleÏ ÔÓ λ(d n ) = 1 n < δ. AÓ ÙÒÚ D Ù È ÚÂÛË ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È P Ù ÂÓ- È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D, ÙfiÙ ÁÈ ÙÈ D, D n Î È ÙÈ P, P n ÈÛ ÂÈ (ÂappleÂÈ δ <δ) Ë (3). ËÏ (5) S(f, g, D, P) S(f, g, D n, P n ) < ε 2. AÓ Û Ó ÛÔ Ì ÙËÓ (5) Ì ÙËÓ (4) apple ÚÓÔ Ì S(f, g, D, P) L < ε ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D. ÕÚ Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B) Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ] Oρισμένες συνθήκες που συνεπάγοντι την πρξη του ολοκληρώμτος του Stieltjes ÙËÓ apple Ú ÁÚ ÊÔ Ù ı ÒÛÔ ÌÂ Ô ıâˆú Ì Ù, fiappleô Î appleôèâ appleï Û Óı ΠÛÙËÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Û Ó ÚÙËÛË Î È ÙÔÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Û ÓÂapple ÁÔÓÙ È ÙËÓ apple ÚÍË ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Stieltjes Θεώρημ. Aν f είνι συνεχής συνάρτηση κι g ξουσ συνάρτηση στο [, ], τ τε η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ]. Aπ δειξη. EappleÂÈ Ë f Â Ó È Û Ó ÛÙÔ Û Ìapple Á È ÛÙËÌ [, ]  - Ó È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ Û ÓÂ Û Ùfi. ŒÙÛÈ Ôı ÓÙÔ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ  ÁÔ ÛËÌ ˆÓ ξ, ξ Œ[, ] ÁÈ Ù ÔappleÔ Â Ó È ξ ξ < δ Ó ÈÛ ÂÈ f(ξ ) f(ξ ) < ε. A Â Ó È ÙÒÚ D, D ÔÈ apple Ú Î Ùˆ Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ ÙÔ [, ] D : = x 0 < x 1 < < x n = D : = x 0 < x 1 < < x m = Ì ÏÂappleÙfiÙËÙ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙÔ δ, Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } P = {ξ 1, ξ 2,, ξ m} Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙˆÓ D Î È D ÓÙ ÛÙÔÈ. ˆÚÔ Ì ÙË
15 304 È ÚÂÛË D : = y 0 < y 1 < < y ν = fiappleô D = D»D Î È P = {t 1, t 2,, t ν } Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D. T ıúô ÛÌ Ù Stieltjes ÙˆÓ D Î È D S(f, g, D, P ) =  n f(ξ i ) (g(x i ) g(x i 1 )), i=1 Î È S(f, g, D, P ) =  m k=1 f(ξ k)(g(x k) g(x k 1)) ÌappleÔÚÔ Ó, ÌÂ È Ô ÈÎ appleúôûı Ê ÈÚ ÛÂÈ Ì Û ÛÙÈ apple ÚÂÓı ÛÂÈ ÙÔ Ì - ÏÔ, Ó ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÙÔ Ó ÒÛÙÂ Ó appleâúè Ô Ó fiï Ù ÛËÌ ÙË È ÚÂÛË D. ŒÙÛÈ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÁÚ Ô Ì S(f, g, D, P ) =  ν f(ξ 1 j ) (g(y j) g(y j 1 )) (1) j=1 S(f, g, D, P ) =  ν j=1 f(ξ 2 j ) (g(y j) g(y j 1 )) fiappleô ÙÔ ξ 1 j Â Ó È Ó applefi Ù ξ i Î È ÙÔ ξ 2 j είνι έν π τ ξ k, j=1, 2,, ν Î È fiappleô Á ÓÔÓÙ È ÔÈ apple ÈÙÔ ÌÂÓ Âapple Ó Ï ÂÈ. TÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Ô S - ıúôèûì ÁÈ ÙËÓ D Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P Â Ó È (2) S(f, g, D, P ) =  ν f(t j ) (g(y j ) g(y j 1 )). Aapplefi ÙÈ (1) Î È (2) Ô Ì ÚË ÛÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û Ó ÂÈ, (3) S(f, g, D, P) S(f, g, D, P )  ν f(ξ 1 j ) f(t j) (g(y j ) g(y j 1 )) < j=1 Î È < ε[g() g()] (4) S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P )  ν f(ξ 2 j) f(t j ) (g(y j ) g(y j 1 )) < j=1 j=1 Ó ÔÓÙ ÙÈ (3) Î È (4) apple ÚÓÔ Ì < ε [g() g()].
16 305 S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P ) < 2ε[g() g()] ËÏ ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S - ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy. ÕÚ Û Ì ÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì ÙË ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ. Πράδειγμ 1. EappleÂÈ Ë Û Ó ÚÙËÛË f(x)=x Â Ó È Û ÓÂ Î È Ë g(x)=x 2 1 Â Ó È ÍÔ Û ÛÙÔ È ÛÙËÌ [0, 1], ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ xdx 2 apple Ú ÂÈ Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔ appleúôëáô ÌÂÓÔ ıâòúëì. È ÙÔÓ appleôïôáèûìfi ÙÔ ıâ- ˆÚÔ Ì ÙËÓ ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ {D n } fiappleô, D n : 0 < 1 n < 2 n < < n 1 n < 1 ÙË ÔappleÔ Ù È ÛÙ Ì Ù Â Ó È È ν 1 Î n, ν, ν=1, 2,, n, Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË n Ï ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ {P n } fiappleô P n = ν Ì Ó n : ν=1, 2,, n. ËÏ Ë P n appleôùâïâ Ù È applefi Ù ÂÍÈ ÎÚ ÙˆÓ È ÛÙËÌ ÙˆÓ ÙË D n. Œ Ô ÌÂ, S(x, x 2, D n, P n ) =  n ν=1 ν në Ê n 2 (ν 1)2 n 2 = ˆ 1 n 3 Ân ν 2 ν=1 (2ν 2 ν) = 1 n 3 Î ÍÈ 2  n ν 2  n ν = 1 n 3 Î È 2n(n+1) (2n+1) n(n+1) 6 2 = ν=1 ν=1 0 ÓÂappleÒ 0 = (n+1) (4n 1) 6n 2. 1 xdx 2 = lim næ (n+1) (4n 1) 6n 2 = 2 3. E Ó È ÁÓˆÛÙfi fiùè ÌÈ Û ÓÂ Û Ó ÚÙËÛË ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Riemann ÛÙÔ [, ]. EappleÂÈ Ó ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Riemann ÌappleÔÚÂ Ó ıâˆúëıâ ˆ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Stieltjes ˆ appleúô ÙË Û Ó Ú- ÙËÛË g(x)=x, ÌappleÔÚ ΠÓÂ Ó ÈÂÚˆÙËıÂ Ó ÌÈ Û ÓÂ Û Ó ÚÙËÛË ÂÈ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÔappleÔÈÔ appleôùâ Û Ó ÔÏÔÎÏËÚˆÙ. E Ó È Ûˆ ÂÎappleÏËÎÙÈÎfi fiùè Ùfi ÂÓ ÈÛ ÂÈ fiappleˆ Ì Â ÓÂÈ ÙÔ ÂapplefiÌÂÓÔ apple Ú ÂÈ- ÁÌ. Πράδειγμ 2. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÈ Û ÓÂ Â Û Ó ÚÙ ÛÂÈ appleô ÔÚ ÔÓÙ È ÛÙÔ È ÛÙËÌ [0, 1] Ì ÙË Û ÛË
17 306 f(x) = g(x) = `x ημ 1 x fiù Ó xπ0 Î È f(0)=g(0)=0. A ıâˆú ÛÔ ÌÂ, ÁÈ Î ıâ nœƒ, ÙË È ÚÂÛË D 1 Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË È - ÚÂÛË P 1, fiappleô D 1 = 0, 1 2nπ, 1 n, 2 n,, 1 Î È P Ï 1 = 1 Ì Ó 2nπ, 1 n, 2 n,, 1. Ï Ì Ó H ÏÂappleÙfiÙËÙ ÙË D 1 Â Ó È λ(d 1 ) = 1 Î È ÂappleÂÈ g(0) = g(1/2nπ) = 0 n ÙÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Ô S - ıúôèûì Â Ó È S(f, g, D 1, P 1 ) =  n f Ê ν ˆ Ë n Î È g Ê ν ˆ Ë n g Ë Ê ν 1. n ˆ ν=1 ˆÚÔ Ì ÙÒÚ, apple ÏÈ ÁÈ Î ıâ nœƒ, ÌÈ Â ÙÂÚË È ÚÂÛË D 2 Î È ÌÈ ÓÙ ÛÙÔÈ Ë ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P 2 fiappleô Ë D 2 appleúôî appleùâè applefi ÙËÓ D 1 Ì appleâú ÈÙ Úˆ È ÚÂÛË ÙÔ appleúòùô È ÛÙ Ì Ùfi ÙË. D 2 = P 2 = Ï Ì Ó Ï Ì Ó 0, 2 (8n+1)π, 2 8nπ, 2 (8n 1)π,, 2 (4n+1)π, 2 4nπ, 1 n, 2 n,, 1 2 (8n+1)π, 2 8nπ, 2 (8n 1)π,, 2 (4n+1)π, 2 4nπ, 1 n, 2 n, 1. EappleÂÈ g(0) = g Ê 2 ˆ Ë 4nπ = g Ë Ê 2 (8n+2)π ˆ = 0, ÁÈ Î ıâ nœƒ ÈÛ ÂÈ: S(f, g, D 2, P 2 ) S(f, g, D 1, P 1 ) = 4n+1 =  f Ê 2 ˆ Ë (4n+ν)π Î È g Ê 2 ˆ g Ê 2 ˆ Ë (4n+ν)π Ë (4n+ν+1)π ν=0. Aapplefi ÙË Û ÛË Ù Ï appleô Ì fiùè Ë È ÊÔÚ ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ ÙÔ Stieltjes ÂÍ ÚÙ Ù È ÌfiÓÔ applefi fiúô appleô appleúôî appleùô Ó applefi ÙËÓ appleô È ÚÂÛË ÙÔ appleúòùô ÙÌ Ì ÙÔ ÙË D 1, ÂÓÒ fiïôè ÔÈ ÏÏÔÈ fiúôè Ê ÁÔ Ó Î Ù ÙËÓ Ê ÚÂÛË. EappleÂÈ f Ê 2 ˆ Ë 2pπ = g Ë Ê 2 = 0 ÁÈ Î ıâ Î Ú ÈÔ p Î È ÂappleÂÈ ÂÍ 2pπ ˆ ÔÚÈÛÌÔ Â Ó È f(x)=g(x) ÁÈ Î ıâ x, ÙÔ ÂÍÈfi Ì ÏÔ ÙË ÙÂÏ ٠ÈÛfiÙË- Ù appleïôappleôèâ Ù È Î È apple ÚÓÔ ÌÂ
18 307 S(f, g, D 2, P 2 ) S(f, g, D 1, P 1 ) =  2n p=0 Î Èf Ê 2 ˆ Ë (4n+2p+1)π 2 = = 2 π Â2n p=0 1 4n+2p+1 2 2n+1 π 8n+1 > 1 2π ÁÈ Î ıâ n. ŒÙÛÈ ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ Stieltjes ÂÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù 1 Cauchy Î È Û ÓÂappleÒ ÙÔ fdg ÂÓ apple Ú ÂÈ TÔ ÂappleÔÌ ÓÔ ıâòúëì Ì Ï ÂÈ fiùè Ó ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Ù appleô Stieltjes Ó ÁÂÙ È Î Ùˆ applefi ÔÚÈÛÌ Ó appleúô appleôı ÛÂÈ Û ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann. Θεώρημ. Aν η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Riemann στο διάστημ [, ] κι η g έχει συνεχή πράγωγο g στο ίδιο διάστημ, τ τε τ ολοκληρώμτ Ú fg κι fdg υπάρχουν κι είνι ίσ. Aπ δειξη. EappleÂÈ Ë apple Ú ÁˆÁÔ g Â Ó È Û Ó ÛÙÔ Û Ìapple Á È - ÛÙËÌ [, ] Ôı ÓÙÔ ε>0 apple Ú ÂÈ δ 1 >0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ  ÁÔ ÛËÌ ˆÓ ξ, ξ*œ[, ] Ó ÈÛ ÂÈ (1) g (ξ) g (ξ*) < ε fiù Ó ξ ξ* < δ 1. EÍ ÏÏÔ ÂappleÂÈ ÔÈ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f, g Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌ Π٠Riemann ÛÙÔ [, ], ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ fg Â Ó È Âapple ÛË ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Riemann ÛÙÔ [, ]. ÕÚ ÁÈ ÙÔ apple Ú apple Óˆ ε apple Ú ÂÈ δ 2 >0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 2 Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ó Â Ó È (2) ÔS(fg, D,P) Ô Ô Ú fg < ε. Ô AÓ δ = min{δ 1, δ 2 } ÙfiÙ ÔÈ (1) Î È (2) ÈÛ Ô Ó Ó Ù δ 1, δ 2 ÓÙÈÎ Ù - ÛÙ ıô Ó Ì ÙÔ δ. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ Ù È ÚÂÛË D = {, x 1, x 2,, x n 1, } Ì λ(d)<δ Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } ÙË D. TfiÙ ÙÔ ıúôèûì Stieltjes Î È ÙÔ ıúôèûì Riemann appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙË D Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P Â Ó È ÓÙ ÛÙÔÈ, (3) S(f, g, D, P) =  n f(ξ i ) (g(x i ) g(x i 1 )) i=1
19 308 Î È (4) S(fg, D, P) =  n i=1 f(ξ i ) g (ξ i ) (x i x i 1 ). X ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙË Ì ÛË ÙÈÌ ÙÔ È ÊÔÚÈÎÔ ÏÔÁÈÛÌÔ, Û Πıâ È ÛÙËÌ [x i 1, x i ] ÙË D apple Ú ÂÈ Ó ÛËÌÂ Ô ξ* i ÒÛÙÂ Ó Â Ó È (5) g(x i ) g(x i 1 ) = g (ξ* i ) (x i x i 1 ). H (3) ÚË ÛÙËÓ (5) Á ÓÂÙ È: (6) S(f, g, D, P) =  n i=1 f(ξ i ) g (ξ* i ) (x i x i 1 ). Aapplefi ÙÈ (4) Î È (6) appleúôî appleùâè fiùè ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ È ÛÙ Ì - ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ÈÛ ÂÈ, (7) S(f, g, D, P) S(fg, D, P)  n i=1 f(ξ i ) g (ξ i ) g (ξ* i ) (x i x i 1 ) M( )ε Aapplefi ÙÈ (2) Î È (7) appleúôî appleùâè fiùè ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ÈÛ ÂÈ S(f, g, D, P) Ú fg < [M( )+1]ε. Aapplefi ÙËÓ ÓÈÛfiÙËÙ Ù appleâù È fiùè ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Stieltjes ÂÈ Î È Â Ó È ÛÔ Ì ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Riemann Ú fg. fdg apple Ú Iδι τητες του ολοκληρώμτος του Stieltjes T Ô appleúòù ıâˆú Ì Ù ÙË apple Ú ÁÚ ÊÔ Ù appleô ÂÈÎÓ Ô Ó fiùè ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes Â Ó È ÁÚ ÌÌÈÎ Û Ó ÚÙËÛË Î È ˆ appleúô ÙËÓ ÔÏÔ- ÎÏËÚˆÙ Û Ó ÚÙËÛË Î È ˆ appleúô ÙÔÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ. E Ó È ËÏ, fiappleˆ Ï - ÌÂ, ÌÈ ÈÁÚ ÌÌÈÎ Û Ó ÚÙËÛË Θεώρημ. Aν οι συνρτήσεις f 1, f 2 είνι ολοκληρώσιμες κτά Stieltjes ως προς τη συνάρτηση g στο διάστημ [, ], τ τε γι κάθε ζε γος στθερών k 1, k 2 η συνάρτηση k 1 f 1 +k 2 f 2 είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο [, ] κι ισχ ει
20 309 (k1 f 1 +k 2 f 2 )dg = k 1 f1 dg+ k 2 f2 dg. Aπ δειξη: AÓ D = {, x 1, x 2,, x n 1, } Â Ó È Ù È ÚÂÛË ÙÔ [, ] Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D ÙfiÙÂ Â Ó È, fiappleˆ  ÎÔÏ È appleèûùòóâù È, S(k 1 f 1 +k 2 f 2, g, D, P) = k 1 S(f 1, g, D, P)+k 2 S(f 2, g, D, P). EappleÂÈ apple Ú Ô Ó Ù fiúè ÙˆÓ Ô ıúôèûì ÙˆÓ ÙÔ ÂÍÈÔ Ì ÏÔ ÙË apple Ú apple Óˆ ÈÛfiÙËÙ, appleâù È fiùè apple Ú ÂÈ Î È ÙÔ fiúèô ÙÔ ÂÍÈÔ Ì ÏÔ. ŒÙÛÈ apple ÚÓÔÓÙ Ù fiúè Î È ÙˆÓ Ô ÌÂÏÒÓ ÙË ÈÛfiÙËÙ Ù, Ô Ì ÙÔ appleôù - ÏÂÛÌ Θεώρημ. Aν η συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς κάθε μι π τις συνρτήσεις g 1 κι g 2 στο διάστημ [, ] τ τε η f είνι ολοκληρώσιμη κι ως προς τη συνάρτηση k 1 g 1 +k 2 g 2, που k 1, k 2 στθερές, κι επιπλέον ισχ ει fd[k1 g 1 +k 2 g 2 ] = k 1 fdg1 +k 2 fdg2. Aπ δειξη. È Ù È ÚÂÛË D = {, x 1, x 2,, x n 1, } ÙÔ È ÛÙ - Ì ÙÔ [, ] Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ô Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ, S(f, k 1 g 1 +k 2 g 2, D, P) = k 1 S(f, g 1, D, P)+k 2 S(f, g 2, D, P). ÚÓÔÓÙ fiúè ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ Ù Ô Ì ÙÔ appleôù ÏÂÛÌ. Πρτήρηση: YappleÂÓı Ì Ô Ì fiùè ÌÈ Û Ó ÚÙËÛË g Â Ó È appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ ÔÏ ÛÙÔ [, ] ÎÚÈ Ò ÙfiÙ fiù Ó g = g 1 g 2 fiappleô g 1, g 2 Â Ó È - ÍÔ ÛÂ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ. AÓ ÏÔÈapplefiÓ Ë g Â Ó È Û Ó ÚÙËÛË appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ Ô- Ï ÛÙÔ [, ] ÙfiÙÂ Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì ÙË Ù ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù fdg1 Î È fdg2 apple Ú Ô Ó Ó Ë f Â Ó È Û Ó ÛÙÔ [, ]. ÓÂappleÒ, ÚË ÛÙÔ ıâòúëì , Î ıâ Û ÓÂ Û Ó ÚÙËÛË f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ÛÙÔ [, ] ˆ appleúô ÌÈ Û Ó ÚÙËÛË g appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ Ô- Ï E Ó È ÁÓˆÛÙfi fiùè Ë ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ Î Ù Riemann ÌÈ Û Ó- ÚÙËÛË ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Û ÓÂapple ÁÂÙ È ÙËÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ ÙË ÛÙ appleô È ÛÙ Ì Ù [, c] Î È [c, d] Î È ÓÙ ÛÙÚÔÊ, fiappleô <c<. M ÏÈÛÙ
21 310 ÈÛ ÂÈ ÛÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Ë appleï ÁÚ ÌÌÈÎ Û ÛË ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÙË TÔ ıâòúëì Ùfi ÈÛ ÂÈ ÌÂÚÈÎÒ ÌfiÓÔ ÁÈ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes. Θεώρημ. Aν η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ] κι ν <c<, τ τε η f είνι ολοκληρώσιμη ως προς τη g σε κθέν π τ διστήμτ [, c] κι [c, ] κι ισχ ει, c fdg = fdg + fdg. c Aπ δειξη. EappleÂÈ Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ], ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙË , ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S- ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy. ÕÚ Ôı ÓÙÔ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙÂ Ó ÈÛ ÂÈ (1) S(f, g, D, P) S(f, g, D*, P*) < ε ÁÈ ÔappleÔÈÂÛ appleôùâ È ÈÚ ÛÂÈ D, D* Ì λ(d)<δ Î È λ(d*)<δ Î È ÔappleÔÈÂÛ- appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P, P* ÙˆÓ D Î È D* ÓÙ ÛÙÔÈ. A Â Ó È ÙÒÚ D 1, D* 1 Ô Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ ÙÔ [, c] Ì λ(d 1 )<δ Î È λ(d* 1 )<δ Î È P 1, P* 1 ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙÒÓ ÓÙ ÛÙÔÈ. EappleÈappleÏ ÔÓ, Â Ó È D 2 ÌÈ È ÚÂÛË ÙÔ [c, ] Ù ÙÔÈ ÒÛÙ λ(d 2 ) < λ(d 1 ) Î È λ(d 2 ) < λ(d* 1 ) Î È P 2 ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D 2. ÚÔÊ ÓÒ Ë D = D 1»D 2 Î È D* = D* 1»D 2 Â Ó È È ÈÚ ÛÂÈ ÙÔ [, ] Ì λ(d) = λ(d 1 ) < δ Î È λ(d*) = λ(d* 1 ) < δ. Eapple ÛË Ë P = P 1» P 2 Â Ó È ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D Î È Ë P* = P* 1»P 2 Â Ó È ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D*. E ÎÔÏ È appleèûùòóâù È fiùè: S(f, g, D, P) = S(f, g, D 1, P 1 )+S(f, g, D 2, P 2 ) (2) S(f, g, D*, P*) = S(f, g, D* 1, P* 1 )+S(f, g, D 2, P 2 ) ÕÚ S(f, g, D, P) S(f, g, D*, P*) = S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D* 1, P* 1 ) Î È ÂappleÂÈ λ(d)<δ Î È λ(d*)<δ ÙÔ ÚÈÛÙÂÚfi Ì ÏÔ ÙË ÙÂÏ ٠ÈÛfiÙË- Ù ÈÎ ÓÔappleÔÈ ÙËÓ (1) Î È ÂappleÔÌ Óˆ S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D* 1, P* 1 ) < ε. ÌappleÂÚ ÓÔ Ì ÂappleÔÌ Óˆ fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S- ıúôèûì ÙˆÓ ÙË f ˆ c appleúô ÙË g ÛÙÔ [, c] Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy Î È Ú ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ. M fiìôèô ÙÚfiappleÔ appleô ÂÈÎÓ ÂÙ È fiùè Î È ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ. c
22 311 A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ ÌÈ ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ {D n } ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [, c] Î È ÌÈ ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ {D n} ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [c, ] Î ıò Î È Ù Â ÂÓ È ÌÂÛ ÎÔÏÔ ı  {P n } Î È {P n} ÙˆÓ {D n } Î È {D n} ÓÙ ÛÙÔÈ Ù ÙÔÈ ÒÛÙ limλ(d n ) = limλ(d n ) = 0. AÓ D n = D n»d n Î È næ næ P n = P n»p n ÙfiÙ appleúôê ÓÒ lim λ(d n ) = 0 Î È Ë P n Â Ó È ÂÓ È ÌÂÛË næ È ÚÂÛË ÙË D n. E Ó È Â ÎÔÏÔ Ó È appleèûùòûô Ì fiùè (3) S(f, g, D n, P n ) = S(f, g, D n, P n )+S(f, g, D n, P n). EappleÂÈ apple Ú Ô Ó Ù ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù ÙË f ˆ appleúô ÙË g ÛÙ È ÛÙ Ì Ù [, ], [, c] Î È [c, d] apple ÚÓÔÓÙ Ù fiúè ÙˆÓ Ô ÌÂÏÒÓ ÙË (3) Ô ÌÂ, ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙË , ÙËÓ appleô ÂÈÎÙ ÈÛfiÙËÙ. Π ρισμ. Aν η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ] κι [c, d]ã[, ] τ τε η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο [c, d]. AÓÙ ıâù Ì fiùè Û Ì ÓÂÈ ÛÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann Ë apple ÚÍË ÙˆÓ c ÔÏÔÎÏËÚˆÌ ÙˆÓ fdg κι fdg ÂÓ Û ÓÂapple ÁÂÙ È ÙËÓ apple ÚÍË ÙÔ fdg fiappleˆ Ì Â ÓÂÈ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ apple Ú ÂÈÁÌ. c Πράδειγμ. A appleôı ÛÔ Ì fiùè ÔÈ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f Î È g ÔÚ ÔÓÙ È ÛÙÔ È ÛÙËÌ [0, 2] Ì ÙÈ Û ÛÂÈ : f(x) = Ó Ì Ï 0 ν 0 x<1 1 ν 1 x 2 g(x) = Ó Ì Ï 0 ν 0 x 1 1 ν 1<x 2. EappleÂÈ Ë g Â Ó È ÛÙ ıâú ÛÙÔ [0, 1], ÚË ÛÙÔ apple Ú ÂÈÁÌ 1 ÙË ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ Î È Ë ÙÈÌ ÙÔ Â Ó È 0. 0 Eapple ÛË Ë f Â Ó È ÛÙ ıâú ÛÙÔ [1, 2] Î È ÚË ÛÙÔ apple Ú ÂÈÁÌ 2 ÙË ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ Î È Ë ÙÈÌ ÙÔ Â Ó È g(2) g(1) = 1. 1 ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì ÙÒÚ ÙËÓ apple ÚÍË ÙÔ 2 fdg. A ıâˆú ÛÔ Ì ÌÈ ÔappleÔÈ - appleôùâ È ÚÂÛË D = {x 0 =0, x 1,, x n =2} ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [0, 2] appleô ÂÓ 0
23 312 appleâúè ÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ Ô 1. TfiÙ apple Ú ÂÈ νœ{0, 1, 2,, n} ÒÛÙ x ν 1 <1<x ν. ŒÛÙˆ ÙÒÚ Ë ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } ÙË D fiappleô ξ i = x i 1 i=1, 2,, n. TfiÙ g(x ν ) g(x ν 1 ) = 1 Î È g(x i ) g(x i 1 ) = 0 ÁÈ iπν. TÔ S- ıúôè- ÛÌ appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Â ÛÙÈ D Î È P Â Ó È S(f, g, D, P) = 0. ÚÓÔÓÙ ÙÒÚ ˆ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙËÓ P* = {ξ* 1, ξ* 2,, ξ* n } fiappleô ξ* i = x i Ô Ì S(f, g, D, P*) = 1. ŒÙÛÈ ÔÛÔ appleôùâ ÌÈÎÚ ÎÈ Ó Â Ó È Ë ÏÂappleÙfiÙËÙ ÙË D ı Ô Ì S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) = 1. A Ùfi ÛËÌ ÓÂÈ fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ ÙÔ Stieltjes ÂÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy Î È ÚË ÛÙÔ ıâò- 2 ÚËÌ ÙË ÙÔ fdg ÂÓ apple Ú ÂÈ. Ú Î Ùˆ ı Ô Ì fiùè Ë ÌË apple ÚÍË ÙÔ ÎÔÈÓÔ ÛËÌÂ Ô Û Ó ÂÈ ÙˆÓ f Î È g. 0 2 fdg ÔÊ ÏÂÙ È ÛÙËÓ apple ÚÍË Oλοκλήρωση κτά πράγοντες ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes ÈÛ ÂÈ Ó ıâòúëì appleô ı Ì ÂÈ ÙÔÓ Ù appleô ÙË ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË Î Ù apple Ú ÁÔÓÙÂ. TÔ ıâòúëì Ùfi Â Ó È Ú ÛÈÌÔ ÁÈ Ù ÂÓ ÏÏ ÛÛÂÈ ÙÔ ÚfiÏÔ ÙË ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Û Ó ÚÙËÛË Î È ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Θεώρημ. Aν η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ], τ τε κι η g είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς την f στο [, ] κι ισχ ει fdg = f() g() f(a) g(a) gdf. Aπ δειξη. A Â Ó È D = {x 0, x 1,, x n } ÌÈ È ÚÂÛË ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [, ] Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } ÌÈ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D. ÙÔ Ì ξ 0 = Î È ξ n+1 = Î È ıâˆúô Ì ÙÔ Û ÓÔÏÔ P* = P»{ξ 0, ξ n+1 }. TfiÙ ÙÔ P* appleôùâïâ ÌÈ È ÚÂÛË ÙÔ [, ]. ( ÙËÓ appleú ÁÌ ÙÈÎfiÙËÙ ÙÔ P* ÂÓ Â - Ó È apple ÓÙ È ÚÂÛË ÁÈ Ù Â Ó È Ó Ùfi Î appleôè È Ô ÈÎ ÛËÌ ÙÔ Ó Ù Ù ÔÓÙ È.  ÌÈ Ù ÙÔÈ appleâú appleùˆûë apple Ú Ï appleô Ì ÙÈ Âapple Ó Ï ÂÈ. E ÎÔÏ È appleèûùòóâù È ÙfiÙ fiùè Ë applefi ÂÈÍË ÂÓ Ï appleùâù È applefi ÙÈ apple Ú Ï - ÂÈ Ù, ÁÈ Ù È Ô ÈÎ Ù ÙÈ fiìâó ÛËÌ ËÌÈÔ ÚÁÔ Ó ÂÎÊ ÏÈÛÌ Ó È ÛÙ Ì Ù appleô ÓÔ Ó ÌË ÂÓÈÎÔ fiúô ÛÙ ÓÙ ÛÙÔÈ ıúô ÛÌ Ù ). IÛ ÂÈ ξ i 1 x i 1 ξ i, i=1, 2,, n+1. ÕÚ Ë P* ÌappleÔÚÂ Ó ıâˆúëıâ ˆ È ÚÂÛË ÙÔ [, ] Î È Ë D ˆ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË P*. T ıúô - ÛÌ Ù S(f, g, P*, D) Î È S(g, f, D, P) Û Ó ÔÓÙ È Ì ÙË Û ÛË
24 420 KEºA AIO 10 Άσκηση 71. Έστω g ξουσ συνάρτηση στο [, ]. Δείξτε τι ν ισχ ει μί π τις πρκάτω υποθέσεις (i) H f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g. (ii) " ε>0 $ δ>0 ώστε S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) < ε γι κάθε διίρεση D με λ(d)<δ κι τυχίες ενδιάμεσες διιρέσεις P, P* της D. T τε υπάρχει δ 0 >0 κι φργμένη συνάρτηση h στο [, ] ώστε ν ισχ ουν (1) S(f, g, D, P) = S(h, g, D, P) (2) S( f, g, D, P) = S( h, g, D, P) (3) S(f 2, g, D, P) = S(h 2, g, D, P) γι κάθε διίρεση D με λ(d)<δ 0 κι γι κάθε ενδιάμεση διίρεση P της D. Λ ση. X ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙË Ë applefiıâûë (i) Û ÓÂapple ÁÂÙ È ÙË (ii). ÓÂappleÒ ÚÎÂ Ó ÂÈ ıâ fiùè Ë applefiıâûë (ii) Û ÓÂapple ÁÂÙ È ÙÔ Û Ìapple Ú ÛÌ. AÓ ÈÛ ÂÈ Ë applefiıâûë (ii) ÙfiÙ apple Ú ÂÈ δ 1 >0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 1 Î È ÁÈ ÔappleÔÈÂÛ appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P Î È P* ÙË D Ó Â Ó È (4) S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) < 1. A ÛËÌÂÈÒÛÔ Ì Ì A ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ ˆÓ xœ[, ] ÁÈ Ù ÔappleÔ ÂÓ apple Ú ÂÈ appleâúèô Âapple ÙË ÔappleÔ Ë f Ó Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË. AÓ Ë f Â Ó È ÊÚ - ÁÌ ÓË ÛÙÔ [, ] ÙfiÙ appleúôê ÓÒ A = Δ. ŸÌˆ ÙfiÙ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ı ÛÔ Ì h=f Î È ÙÔ Û Ìapple Ú ÛÌ ÈÛ ÂÈ. YappleÔı ÙÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè Ë f ÂÓ Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË ÛÙÔ [, ]. TfiÙ apple Ú ÂÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ Ó ÛËÌÂ Ô xœa. È ÊÔÚÂÙÈÎ " xœ[, ] ı apple Ú Â ÓÔÈÎÙ appleâúèô ÙÔ x fiappleô Ë f ı Ù Ó ÊÚ ÁÌ ÓË. EappleÂÈ ÙÔ [, ] Â Ó È Û Ìapple Á, ı apple Ú Ó appleâappleâú - ÛÌ ÓÔ appleï ıô Ù ÙÔÈ appleâúèô appleô ı ÂÎ Ï appleù Ó ÙÔ [, ], Î È ÙfiÙÂ Ë f ı Ù Ó ÊÚ ÁÌ ÓË ÛÙÔ [, ]. ŒÛÙˆ cœa«(, ) Î È appleôı ÛÔ Ì fiùè Ë g ÂÓ Â Ó È ÛÙ ıâú ÛÙËÓ appleâúèô Π Êc, δ 1 ˆ «[, ]. Ë 2 TfiÙ apple Ú Ô Ó ÛËÌ s, tœ[, ] Ì c δ 1 2 < s < c < t < c+ δ 1 2 Ù ÙÔÈ ÒÛÙ g(s) π g(t). È ÊÔÚÂÙÈÎ, ÏfiÁˆ ÙË ÌÔÓÔÙÔÓ, ı Ù Ó ÛÙ ıâú ÛÙËÓ appleâúèô Ù. ÙÔ È ÛÙËÌ [s, t] Ë f ÂÓ Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË.
25 421 AÓ ÂÓ Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË applefi apple Óˆ ÙfiÙ apple Ú ÂÈ c*œ[s, t] ÒÛÙÂ Ó Â Ó È f(c*) > f(c)+1 / g(t) g(s). AÓ ÂÓ Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË applefi Î Ùˆ ÙÔ c* ÌappleÔÚÂ Ó ÂÎÏÂÁ ٠ÙÔÈÔ ÒÛÙÂ Ó ÈÛ ÂÈ f(c*) < f(c) 1 / g(t) g(s).  Πıâ ÌÈ applefi ÙÈ appleâúèappleùòûâè Ù ÈÛ ÂÈ (5) f(c*) f(c) g(t) g(s) > 1. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ ÌÈ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] appleô appleâúè ÂÈ Ù ÛËÌ s, t ˆ È Ô ÈÎ ÛËÌÂ Î È λ(d) < δ 1 Î È ıâˆú ÛÔ ÌÂ Ô ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D, ÙËÓ P appleô ÂÈ ˆ ÂappleÈÏÂÁfiÌÂÓÔ ÛËÌÂ Ô ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [s, t] ÙÔ c Î È ÙËÓ P* appleô ÂÈ Ù È ÛËÌ Ì ÙËÓ P ÂÎÙfi ÙÔ c appleô ÙÔ ÓÙÈÎ ıèûùô Ì Ì ÙÔ c*. TfiÙÂ Ô Ì (6) S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) = f(c) f(c*) g(t) g(s) > 1 ÚË ÛÙËÓ (5). H (6) Ú ÂÙ È Û ÓÙ Ê ÛË Ì ÙËÓ (4). ÓÂappleÒ Ë g Â Ó È Ó ÁÎ ÛÙÈÎ ÛÙ ıâú ÛÙËÓ appleâúèô Π Êc, δ 1 ˆ«[, ] Ë 2 È ÊÔÚÂÙÈÎ ÂÓ ÌappleÔÚÂ Ó ÈÛ ÂÈ Ë (4) Î È Û ÓÂappleÒ Ë applefiıâûë (ii). EÏ ÊÚ ÙÚÔappleÔappleÔ ËÛË ÙË applefi ÂÈÍË Ù ÓÂÈ ÙÔ ÈÔ Û Ìapple Ú ÛÌ fiù Ó c= c=. EappleÔÌ Óˆ Ó ÈÛ ÂÈ Ë applefiıâûë (ii), ÙfiÙÂ Ë g Â Ó È ÛÙ ıâú Û Π٠ÏÏËÏË appleâúèô Î ıâ ÛËÌÂ Ô xœa. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ ÙÔ Û ÓÔÏÔ B =» Π(c, δ 1 / 4). cœa TÔ B Â Ó È ÓÔÈÎÙfi Û ÓÔÏÔ appleô appleâúè ÂÈ ÙÔ A. ÙÔ Û Ìapple Á Û ÓÔÏÔ ÃB«[, ], Ë f Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙˆÓ Heine-Borel. OÚ Ô Ì ÙÒÚ ÙË Û Ó ÚÙËÛË, ÔÏ f(x) ν xœãb«[, ] h(x) = Ì ÓÔ 0 ν xœb«[, ]. ŒÛÙˆ ÙÒÚ Ù È ÚÂÛË D = {x 0, x 1,, x n } ÙÔ [, ] Ì λ(d) < δ 1 4 = δ 0 Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D. Œ Ô ÌÂ,
26 422 (7) S( f, g, D, P) S( h, g, D, P) =  n =  [ f(ξ ν ) h(ξ ν ) ] Δg ν + ξ ν ŒÃB«[, ] =  f(ξ ν ) Δg ν. ξ ν ŒB«[, ] ν=1 [ f(ξ ν ) h(ξ ν ) ] Δg ν =  [ f(ξ ν ) h(ξ ν ) ] Δg ν = ξ ν ŒB«[, ] È Î ıâ ξ ν ŒB«[, ] apple Ú ÂÈ cœa ÒÛÙ ξ ν c < δ 1 / 4. EappleÂÈ [x ν 1, x ν ] à Π(ξ ν, δ 1 / 4)à Π(c, δ 1 / 2). Î È Ë g Â Ó È ÛÙ ıâú ÛÙËÓ appleâúèô Π(c, δ 1 / 2). appleâù È fiùè Δg ν =0. ÕÚ applefi ÙËÓ (7) appleúôî appleùâè fiùè S( f, g, D, P) = S( h, g, D, P) ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d) < δ 1 / 4 = δ 0 Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È - ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D. ŒÙÛÈ appleô  ıëîâ Ë Û ÛË (2). OÈ (1) Î È (3) appleô ÂÈÎÓ ÔÓÙ È Ì ÙÔÓ ÈÔ ÎÚÈ Ò ÙÚfiappleÔ Ì ÂÏ ÊÚ ÙÚÔappleÔappleÔ ËÛË ÙË ÈÛfiÙËÙ (7). ÛÙÂ Î È ÙËÓ appleô ÂÈÍË ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÙË Άσκηση 72. Aς είνι g ξουσ συνάρτηση στο [, ]. N δειχθεί τι η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο [, ] ν κι μ νο ν γι κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε ν ισχ ει (1) S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) < ε γι κάθε διίρεση D με λ(d)<δ κι γι τυχίες ενδιάμεσες διιρέσεις P κι P* της D. Λ ση. AÓ Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ], ÙfiÙ ٠ıúô ÛÌ Ù S(f, g, D, P) Û ÁÎÏ ÓÔ Ó Î Ù Cauchy ( Ï. ıâòú ) Î È ÙfiÙ appleúôê ÓÒ ÈÛ ÂÈ Ë (1). AÓÙ ÛÙÚÔÊ, ÛÙˆ fiùè ÈÛ ÂÈ Ë (1). TfiÙÂ, ÚË ÛÙËÓ appleúôëáô ÌÂÓË ÛÎËÛË apple Ú ÂÈ δ 0 >0 Î È ÊÚ ÁÌ ÓË Û Ó ÚÙËÛË h ÛÙÔ [, ] ÒÛÙÂ Ó ÈÛ ÂÈ, (2) S(f, g, D, P) = S(h, g, D, P) ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 0 Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D. ŒÛÙˆ ε>0, δ 1 = min{δ 0, δ} Î È D = {x 0, x 1,, x n } È ÚÂÛË ÙÔ [, ]
27 423 Ì λ(d)<δ 1. AÓ m ν, M ν ÙÔ Î ÙÒÙÂÚÔ Î È ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ apple Ú ÙË h ÛÙÔ [x ν 1, x ν ] ÓÙ ÛÙÔÈ, ÙfiÙ apple Ú Ô Ó ξ ν, ξ ν Œ[x ν 1, x ν ] ÒÛÙÂ, (3) h(ξ ν ) < m ν + ε 2K fiappleô K = max{1, g() g()}. Î È h(ξ ν ) > M ν ε 2K ν=1, 2,, n, ÙÔ Ì P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n} appleôïï appleï ÛÈ ÔÓÙ ÙÈ (3) Âapple Δg ν = g(x ν ) g(x ν 1 ) Î È appleúôûı ÙÔÓÙ Î Ù Ì ÏË apple ÚÓÔ Ì (4) S(h, g, D, P ) <  n m ν Δg ν + ε ν=1 2 ε hdg+ Î È 2 (5) S(h, g, D, P ) >  n ν=1 M ν Δg ν ε 2 hdg ε 2. Aapplefi ÙÈ (2), (4) Î È (5) apple ÚÓÔ ÌÂ, (6) S(f, g, D, P ) <  n m ν Δg ν + ε ν=1 2 ε hdg+ 2 (7) S(f, g, D, P ) >  n ν=1 M ν Δg ν ε 2 hdg ε 2 Î È Î È Û ÓÂappleÒ (8) S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P ) > hdg hdg ε. X ÚË ÛÙËÓ (1) ÙÔ Ì ÏÔ ÙË (8) Â Ó È <ε Î È ÂappleÔÌ Óˆ 0 hdg hdg < 2ε. EappleÂÈ Ùfi ÈÛ ÂÈ ÁÈ Î ıâ ε>0, appleúôî appleùâè fiùè Ë h Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒ- ÛÈÌË Î Ù Riemann-Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. Aapplefi ÙÈ (6) Î È (7) appleúôî appleùâè, (9) S(f, g, D, P ) ε 2 < RS (h, g, D) RS (h, g, D) < S(f, g, D, P ) + ε 2 Î È ÂappleÂÈ ÁÈ ÔappleÔÈ appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ÙÔ ıúôèûì
28 424 S(f, g, D, P) = S(h, g, D, P) Î ıò Î È Ô ÚÈıÌfi hdg Â Ó È Ó ÌÂÛ ÛÙÔ ÚÈıÌÔ RS(h, g, D) Î È RS (h, g, D), Ë (9) ÓÂÈ ÔS(f, g, D, P) Ô fdg Ô S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P )+ε Ô Î È ÚË ÛÙËÓ (1) Â Ó È ÔS(f, g, D, P) fdg Ô < 2ε Ô Ô ÁÈ Î ıâ D Ì λ(d)<δ 1 Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D. ÓÂappleÒ Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. Άσκηση 73. Έστω g ξουσ κι f, φ ολοκληρώσιμες συνρτήσεις ως προς τη g στο [, ]. Δείξτε τι οι συνρτήσεις f, f 2, fφ είνι ολοκληρώσιμες ως προς τη g στο [, ] κι ισχ ει Ô Ô Ú fdg Ú f dg. Ô Ô Λ ση. Î ÓÔ Ì ÙËÓ applefi ÂÈÍË ÁÈ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes. È ÙÔ ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Ë appleôúâ Â Ó È Ó ÏÔÁË ÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ ÙËÓ ÛÎËÛË 10.3, ÂÓÒ ÁÈ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Riemann-Stieltjes Ë applefi ÂÈÍË Â Ó È appleïô ÛÙÂÚË Ó ÏËÊı applefi Ë Ë ÛÎËÛË ŒÛÙˆ f ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. TfiÙ ( Ï. ÛÎ. 72) " ε>0 $ δ 1 >0 ÒÛÙÂ Ó ÈÛ ÂÈ (1) S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P ) < ε 2 ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 1 Î È Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P, P ÙË D. X ÚË ÛÙËÓ (1) $ δ 0 >0 Î È ÊÚ ÁÌ ÓË Û Ó ÚÙËÛË h ÛÙÔ [, ] ÒÛÙÂ Ó Ô ÌÂ, (2) S(f, g, D, P) = S(h, g, D, P), S( f, g, D, P) = S( h, g, D, P) Î È S(f 2, g, D, P) = S(h 2, g, D, P), ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 0 Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ( Ï. ÛÎ. 71). ÙÔ Ì δ = min{δ 0, δ 1 }. AÓ λ(d)<δ ÙfiÙ ÈÛ Ô Ó Ù Ùfi ÚÔÓ ÔÈ (1) Î È (2) Î È Û ÓÂappleÒ ÈÛ ÂÈ
29 425 (3) S(h, g, D, P ) S(h, g, D, P ) < ε 2 fiù Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D. EappleÂÈ Ù RS (h, g, D) Î È RS (h, g, D) Â Ó È ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ Î È Î ÙÒÙÂÚÔ apple Ú ÙˆÓ S(h, g, D, P) ÓÙ ÛÙÔÈ, ÁÈ fiïâ ÙÈ ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P ÙË D, apple ÚÓÔÓÙ ÓÒÙÂÚÔ apple Ú ÛÙËÓ (3) appleúôî appleùâè, (4) RS (h, g, D) RS (h, g, D) ε 2 < ε ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ. AÓ M ν, m ν Â Ó È ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ Î È Î ÙÒÙÂÚÔ apple Ú ÙË h Î È M ν, m ν ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ Î È Î ÙÒÙÂÚÔ apple Ú ÙË h ÛÙÔ [x ν 1, x ν ] ν=1, 2,, n, apple ÚÓÔ- ÓÙ ÓÒÙÂÚÔ apple Ú ÛÙË Û ÛË appleúôî appleùâè, h(x) h(y) h(x) h(y) ÁÈ x, yœ[x ν 1, x ν ] (5) M ν m ν M ν m ν ν=1, 2,, n. ÔÏÏ appleï ÛÈ ÔÓÙ ÙÈ (5) Âapple Δg ν Î È Ï Ì ÓÔÓÙ applefi Ë ÙËÓ (4) Ô Ì (6) RS ( h, g, D) RS ( h, g, D) < ε fiù Ó λ(d)<δ. H (6) Û ÓÂapple ÁÂÙ È fiùè Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D, ÙfiÙ S( h, g, D, P ) S( h, g, D, P ) < ε Î È ÚË ÛÙËÓ (2), S( f, g, D, P ) S( f, g, D, P ) < ε fiù Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D. TfiÙÂ, ÚË ÛÙËÓ ÛÎËÛË 72, Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ [, ].  ÍÔ Ì ÙÒÚ fiùè Ë f 2 Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. ÚÔ ˆÚÔ Ì ÙËÓ applefi ÂÈÍË fiappleˆ apple Ú apple Óˆ Ì ÚÈ ÙË Û ÛË (4). A Â Ó È ÙÒÚ D È ÚÂÛË ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ. AÓ M = sup h(x), ÙfiÙ ÁÈ ÙËÓ [, ] h 2 ÈÛ ÂÈ, (7) h 2 (x) h 2 (y) 2M h(x) h(y).
30 426 AÓ ÛËÌÂÈÒÛÔ Ì Ì M ν, m ν ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ Î È ÙÔ Î ÙÒÙÂÚÔ apple Ú ÙË h 2 ÛÙÔ È ÛÙËÌ [x ν 1, x ν ] ν=1, 2,, n, Î È M ν, m ν Ù ÓÙ ÛÙÔÈ ÙË h, ÙfiÙ apple ÚÓÔÓÙ ÓÒÙÂÚÔ apple Ú ÛÙË Û ÛË (7) Ô ÌÂ, (8) M ν m ν 2M [M ν m ν ], ν=1, 2,, n Î È appleôïï appleï ÛÈ ÔÓÙ Âapple Δg ν appleúôî appleùâè RS (h 2, g, D) RS (h2, g, D) 2M [RS (h, g, D) RS (h, g, D)] Î È ÚË ÛÙËÓ (4) ı Â Ó È (9) RS (h 2, g, D) RS (h2, g, D) 2Mε fiù Ó λ(d)<δ. H (9) Û ÓÂapple ÁÂÙ È fiùè Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È È- Ú ÛÂÈ ÙË D, ÙfiÙ S(h 2, g, D, P ) S(h 2, g, D, P ) < 2Mε Î È ÚË ÛÙËÓ (2) S(f 2, g, D, P ) S(f 2, g, D, P ) < 2Mε fiù Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D. ŒÙÛÈ ÚË ÛÙËÓ ÛÎËÛË 72, Ë f 2 Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ [, ]. È Ó Â ÍÔ Ì fiùè Ë fφ Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÁÚ ÊÔ Ì fφ = 1 4 [(f+φ)2 (f φ) 2 ]. AÊÔ ÔÈ f, φ Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌ ˆ appleúô ÙË g, ÔÈ f+φ Î È f φ Â Ó È Âapple ÛË ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌ ˆ appleúô ÙË g Î È ÚË ÛÙËÓ appleúôëáô ÌÂÓË appleâú appleùˆûë ÔÈ (f+φ) 2 Î È (f φ) 2 Â Ó È Âapple ÛË ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌÂ. ÕÚ Î È Ë fφ Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ˆ appleúô ÙË g. T ÏÔ ÁÈ Ó Â ÍÔ Ì ÙËÓ ÓÈÛfiÙËÙ apple Ú ÙËÚÔ Ì fiùè ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ÈÛ ÂÈ S(f, g, D, P) = Ô Ô Ô Â n ν=1 f(ξ ν ) Δg ν Ô ÔÔ Â n ν=1 Î È apple ÚÓÔÓÙ fiúè appleúôî appleùâè Ë ËÙÔ ÌÂÓË ÓÈÛfiÙËÙ. f(ξ ν ) Δg ν = S( f, g, D, P) Άσκηση 74. Έστω <c<. Oρίζουμε μι κλιμκωτή συνάρτηση g : [, ]Æ ó ως εξής: Oι τιμές g(), g(c) κι g() είνι υθίρετες. Στ υπ λοιπ σημεί θέτουμε
ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π
ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ «Η ΕΘΝΙΚΗ» ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1891 ΕΤΑΙΡΙΑ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡ.Μ.Α.Ε.: 12840/05 B 86/20 Α.Φ.Μ.: 094003849 Δ.Ο.Υ.: ΜΕΓΑΛΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΛΕΩΦ.
Διαβάστε περισσότεραÀ π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À à ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË
ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË À π Àªµ 2008-2010 π À à ª ªπ À À À appleâíëáëì ÙÈÎ apple Ú Â ÁÌ Ù Η υπογραφή της νέας Συλλογικής Σύµβασης µεταξύ ΕΤΥΚ ΚΕΣΤ για τα έτη 2008 2010 θεωρήθηκε µια µεγάλη
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ.
χωνευτοί σ. 56 Nedbox χωνευτοί από 12 έως 56 στοιχεία σ. 58 από 1 έως 6 στοιχεία σ. 62 XL 3 160 από 48 έως 144 στοιχεία και ερµάρια διανοµής ισχύος XL 3 σ. 68 Ράγες, πλάτες στήριξης και µετώπες σ. 77 0
Διαβάστε περισσότεραISBN 960-431-204-9. K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993
2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993 Copyright 1989, 1993,. ËÌËÙÚÔappleÔ ÏÔ - æˆìôappleô ÏÔ ISBN 960-431-204-9 Φωτοστοιχειοθεσία-Eκτ πωση: Bι λιοπωλείο: Π. ZHTH
Διαβάστε περισσότεραΓεωγραφία Ε Δημοτικού. Μαθαίνω για την Ελλάδα
Γεωγραφία Ε Δημοτικού Μαθαίνω για την Ελλάδα ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ ΚΡΙΤΕΣ-ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝOΣ TOY ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ KAI ΥΠΕΥΘΥΝOΣ TOY ΥΠΟΕΡΓΟΥ ΕΞΩΦΥΛΛΟ Κωστής Κουτσόπουλος,
Διαβάστε περισσότερακαι φυσικά υπάρχει πληθώρα νέων ασκήσεων. H ανάγκη βελτίωσης προέκυψε απ την δεκαετή διδασκαλία του μαθήματος απ τη συγγραφέα.
Tο βιβλίο αυτ απευθ νεται στους τεταρτοετείς φοιτητές των Mαθηματικών τμημάτων και σε σους ασχολο νται με τη Στατιστική και έχουν καλ υπ βαθρο στη Mαθηματική Aνάλυση και στη θεωρία των Πιθανοτήτων Tο βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραÓfiÙËÙ 1. ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ
ÓfiÙËÙ ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ ª ı Óˆ: ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ º ÛÈÎÔ ÚÈıÌÔ È ÚÈıÌÔ 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Ê ÛÈÎÔ. ıâ Ê ÛÈÎfi ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi applefi ÙÔ 0, appleúôî appleùâè applefi ÙÔÓ appleúôëáô
Διαβάστε περισσότεραÂÚÈ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô
ÂÚÈ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô È ÚÈıÌÔ Ì ÚÈ ÙÔ ÃÒÚÔ Î È Û Ì Ù ÂÊ Ï ÈÔ : ÚÔÛ Ó ÙÔÏÈÛÌfi ÛÙÔ ÒÚÔ... ÂÊ Ï ÈÔ : ˆÌÂÙÚÈÎ Û Ì Ù... ÂÊ Ï ÈÔ : ÁÎÚÈÛË Î È ÂÎÙ ÌËÛË appleôûôù ÙˆÓ... ÂÊ
Διαβάστε περισσότεραΓεια σου, ήταν να ήξερες κάποιους γενικούς κανόνες συγγραφής (Â Ó È Î appleôèôè applefi ÙÔ appleô
Γεια σου, Είμαι ο Δαμιανός. Το πρώτο μου βιβλίο Ο αδελφός της Ασπασίας έγινε best seller ή ευπώλητο όπως λένε άλλοι, μα αυτό δε χρειάζεται να σου το πω, μιας και το ξέρεις κι εσύ πολύ καλά. Κι εγώ ο πιο
Διαβάστε περισσότερα(ON THE JOB TRAINING) ΟΡΓΑΝΩΝΕΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ «ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΧΩΡΩΝ /
Επαγγελµατικό προφίλ: ΠΡΟΪΣΤΑΜΕΝΟΣ ΟΡΟΦΩΝ (ΟΡΟΦΟΚΟΜΟΣ) Επίπεδο: 2 εξιότητες Θέµατα Συνδεδεµένες δεξιότητες C1 ΗΓΕΙΤΑΙ, ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΖΕΙ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
Διαβάστε περισσότεραƒ π ø π ø - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ...
ƒ π ø π ø - Ô ÚÂÙÈÚ Â Â ÙËÓ ˆÚ ÈfiÙÂÚË ı appleãfiï Î È Ù Ó Î È ÛÙËÓ Î Ï ÙÂÚË appleâúèô. - È, ÁÈ Ùfi Ù Ó Î È ÙÔ ÎÚÈ fiùâúô! - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ...
Διαβάστε περισσότεραÂÚÈ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô
2 3 ÂÚÈÂ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ÂÊ Ï ÈÔ : Ì Ì È fi,ùè Ì ı applefi ÙËÓ ã Ù ÍË... ÂÊ Ï ÈÔ 2: È ÂÈÚ ÔÌ È ÚÈıÌÔ ˆ ÙÔ 0.000... 5 ÂÊ Ï ÈÔ 3: ÓˆÚ ˆ ÙÔ ÚÈıÌÔ ˆ ÙÔ 20.000... 9 ÂÊ Ï ÈÔ
Διαβάστε περισσότεραΠρώτες Ύλες Χρ νος Παραγωγής (min ανά 12-άδα) Μείγμα Πλαστικο
Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 7 Μια βιοτεχνία παιγνιδιών διαθέτει σε πανελλήνια βάση δ ο διαφορετικά είδη νεροπίστολων, το Space Ray και το Super X-Ray. Τα δ ο παιγνίδια, αποδείχτηκαν ιδιαίτερα δημοφιλή μεταξ
Διαβάστε περισσότεραÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË
ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË Δ Àƒ π ø ø º π π π ª Δ ƒàªª π μàƒπ π ø π π π ª Δ Δƒ À π ƒ Àà ƒ ªÀ π π ª ª Δπ ø, π Δ Ã π, ø ƒ ºπ, ƒ Δ ƒ Δπ Δ Δ, ƒπ π ª ª ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ Με το πέρασμα του χρόνου
Διαβάστε περισσότεραK ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë
2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ Ê ÙÔÓ ÂÎ fiùë ISBN set 960-431-499-8 ISBN T.2 960-431-501-3 Copyright,.-X.. B ÛÈÏ Ô,. TÛ ÎÏ Ë, N. TÛ ÓÙ, EÎ fiûâè Z ÙË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 1998, ÈÔÚıˆÌ
Διαβάστε περισσότεραÒ Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ ÂÈıÒ
Ò Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ appleâèıò Ÿσοι διαθέτουν το χάρισμα της πειθούς έχουν τη δύναμη να αιχμαλωτίζουν το κοινό, να μεταβάλλουν τις απόψεις των άλλων και να μεταπείθουν τους αντιπάλους τους προς όφελός τους.
Διαβάστε περισσότεραª π.. ƒ ø π º ƒ. È ËÙÔ ÌÂÓÂ ÂÈ ÈÎfiÙËÙÂ, Ù apple Ú ÙËÙ appleúôûfióù Î È ÙÔ Â Ô ÙË Û Ì ÛË appleâúèáú ÊÔÓÙ È Î ÙˆÙ Úˆ. π π À & ƒ π ƒ π & π ƒπ ª
ª π.. ƒ ø π º ƒ «ª π.» appleâ ı ÓË ÁÈ ÙË Û ÓÙ ÍË ÙÔ ıóèîô ÙËÌ ÙÔÏÔÁ Ô appleúôûî Ï ÙÔ ÂÓ È ÊÂÚfiÌÂÓÔ ÁÈ ÙËÓ appleô ÔÏ ÈÙ ÛÂˆÓ ÂΠψÛË ÂÓ È Ê ÚÔÓÙÔ, appleúôîâèì ÓÔ Ó ÛÙÂÏ ÒÛÂÈ ÙÈ ÂÓÙÚÈÎ ÙË ÀappleËÚÂÛ Â.
Διαβάστε περισσότεραINTERACTIVE PHYSICS. Εισαγωγή κειµένου
INTERACTIVE PHYSICS Εισαγωγή εικόνας Μπορούµε να εισάγουµε εικόνα στην προσοµοίωση µας και να την συνδέσουµε µε κάποιο σώµα που έχουµε δηµιουργήσει. 1.Αντιγράφουµε την εικόνα στο πρόχειρο µε αντιγραφή
Διαβάστε περισσότερα6. Aπόκριες 7. Πάσχα
TÈ Ù ÍË Â Ó È ÌÔ Ô appleôïèùèûìfi ; 1. O πολιτισµός του τόπου µας 2. Mια επίσκεψη στο µουσείο 3. Tι συµβαίνει στην περιοχή µας; 4. Kάθε τόπος τα έθιµά του και ο χρόνος τα δικά του... 5. Tο βιβλίο των παροιµιών
Διαβάστε περισσότεραwww.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet.
www.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet.gr www.ebusinessforum.gr www.sch.gr www.ika.gr www.ekt.gr www.ktpae.gr
Διαβάστε περισσότερα ÙÂÚË Î ÔÛË 1998. Copyright 1993, 1998, øma A. KYBENTI H
ii øma A. KYBENTI H ñ ÂÓÓ ıëîâ ÙÔ 947 ÛÙÔ N Ô ÂÙÚ ÙÛÈ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ. ñ TÔ 965 appleôêô ÙËÛÂ applefi ÙÔ ÂÍ Ù ÍÈÔ ÌÓ ÛÈÔ È ËÚÔÎ ÛÙÚÔ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ Î È ÂÁÁÚ ÊËÎÂ ÛÙÔ TÌ Ì M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ ÓÂappleÈÛÙËÌ Ô ÂÛÛ ÏÔÓ
Διαβάστε περισσότεραÎ È appleúô Ï Ì Ù ÓÙ ÍË 36
ƒπ ÃOª ƒo O π O ª πøª 9 º πo ƒøδo: Δ À ƒª Δ π ÀΔπ π π π 1.1 ÓÓÔÈ ÙÔ appleâúì ÛÔ 16 1.2 ÀappleÂÚÌ Û, ÎÔÈÓˆÓ Î È ÂÎapple  ÛË 18 1.3 ÂˆÚ Â Ì ıëûë Î È appleâúì Û 27 1.4 ÚfiÙ apple Ú ÛË appleôïôáèûùòó Î È
Διαβάστε περισσότεραΈκπτωση -30% Συγκρότημα Σακόφιλτρων με Φυγοκεντρικό Απορροφητήρα Υψηλής Πίεσης. ÁÎÚfiÙËÌ ÎfiÊÈÏÙÚˆÓ ÌÂ º ÁÔÎÂÓÙÚÈÎfi
Συγκρότημα Σακόφιλτρων με Φυγοκεντρικό Απορροφητήρα Υψηλής Πίεσης ÁÎÚfiÙËÌ ÎfiÊÈÏÙÚˆÓ ÌÂ º ÁÔÎÂÓÙÚÈÎfi appleôúúôêëù Ú À ËÏ ÂÛË Ù ÏÏËÏÔ ÁÈ appleôúúfiêëûë Î È ÊÈÏÙÚ ÚÈÛÌ ÚÔ ÌÂ ÛÎfiÓË, appleúèôó È, ÓÔ È,
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί
ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Πραγματικοί αριθμοί ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ª ÚÈ ÙÒÚ Ô ÌÂ Û Ó ÓÙ ÛÂÈ Ê ÛÈÎÔ, Î Ú ÈÔ Î È ÚËÙÔ ÚÈıÌÔ. ÙÔ ÙÂÏÂ Ù Ô Â ÌÂ ÂÍÂÙ ÛÂÈ ÙË ÂÎ ÈÎ ÙÔ apple Ú ÛÙ ÛË, Ë ÔappleÔ Ù Ó ÁÓˆÛÙ ÛÂ appleï appleâúèô
Διαβάστε περισσότεραÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ ÓÔÏÔ , , , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,
A ºA EIE KAPY AKH E..E. AP..E.MH 71686220000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá. MË Î ÎÏÔÊÔÚÔ
Διαβάστε περισσότεραΔÔ Ì Ó Ì ÙÔ Û Ì Ô ÏÔ :
ΔÔ Ì Ó Ì ÙÔ Û Ì Ô ÏÔ : Í ÙË appleôùâïâûì ÙÈÎ È Â ÚÈÛË ÎÚ ÛÂˆÓ ÛÙÈ ÂappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ Τι θα έκανες αν αύριο υπέβαλλε την παραίτησή του ο καλύτερος συνεργάτης σου; Αν το κτίριο των γραφείων όπου εργάζεσαι έπιανε
Διαβάστε περισσότεραΑυτοπροσωπογραφίες του Van Gogh
BÈÔÁÚ ÊÈÎ Â Ë Αυτοπροσωπογραφίες του Van Gogh µèôáú ÊÈÎ Â Ë ÙËÓ Ê ÁËÛË, ÂÎÙfi applefi ÙËÓ ËÛË, appleô ÌÂÏÂÙ Û Ì ÛÙËÓ appleúôëáô ÌÂ- ÓË ÂÓfiÙËÙ, Ó ÎÔ Ó Î È ÔÈ ÈËÁ ÛÂÈ Î È ÔÈ Ì ÚÙ Ú Â (appleúôêôúèî ÁÚ -
Διαβάστε περισσότεραΟΜΙΛΟΣ ΙΝΤΕΑΛ ΑΒΕΕ ΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
ΟΜΙΛΟΣ ΙΝΤΕΑΛ ΑΒΕΕ ΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σχετικά µε την τροποποίηση της χρήσης των αντληθέντων κεφαλαίων σύµφωνα µε την Απόφαση 64 του ιοικητικού Συµβουλίου του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών Αθήνα, Ιούλιος
Διαβάστε περισσότεραΟ ecotec pro με μία ματιά
Επιτοίχιοι λέβητες αερίου συμπύκνωσης ecotec pro Προηγμένη τεχνολογία θέρμανσης για όλους Ο λέβητας ecotec pro με την πρωτοποριακή τεχνολογία συμπυκνώσεως φτάνει σε βαθμό απόδοσης, ο οποίος ξεπερνά κατά
Διαβάστε περισσότεραÈ ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË )
π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,37 ÓÔÏÔ , ,37
A ITE A.E. ÂÓÔ Ô ÂÈ Î Î È TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ A.E. AP. M.A.E. 14557/80/B/86/376 - AP..E.MH 124316620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 7.593, ,15 ÓÔÏÔ 7.593,15 7.
ÂÓÔ Ô ÂÈ Î - TÔ ÚÈÛÙÈÎ Î È EÌappleÔÚÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ AMYP IA A.E. M.A.E 15987/80/B/87/90 - AP..E.MH 121765820000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ
Διαβάστε περισσότεραPictor Dual C 146-01. Επίτοιχοι λέβητες αερίου θέρμανσης και παραγωγής ζεστού νερού χρήσης BRAND NAME
GR Pictor Dual Επίτοιχοι λέβητες αερίου θέρμανσης και παραγωγής ζεστού νερού χρήσης BRAND NAME C 146-01 Επίτοιχοι λέβητες αερίου Pictor Dual π º π À π Ã π À ƒ π π ªπ Àæ π È Ï ËÙ PICTOR DUAL LINE ÛÙÈ
Διαβάστε περισσότεραAries Dual ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙÂ ÂÚ Ô C 145-01 BRAND NAME
GR Aries Dual ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô BRAND NAME C 145-01 apple ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô Aries Dual π º π À π Ã π À ƒ π π ªπ Àæ π Ï ËÙ ARIES DUAL LINE ÛÙËÓ Î ÔÛË CTFS Ó ÎÂÈ ÛÙËÓ Î ÙËÁÔÚ ÙÚÈÒÓ ÛÙÂÚÈÒÓ ( ) Ë ÔappleÔ
Διαβάστε περισσότεραø Ó ÒÛÂÙÂ π Δƒ ÛÙÔ apple ÏÏ ÏÔ Û 24 πª ª Δ Δπ π Δ ø Δ ƒ ø π Δ Δ Δ Ãøƒ ƒ π ANNE BRUCE
ø Ó ÒÛÂÙ π Δƒ ÛÙÔ apple ÏÏ ÏÔ Û 24 πª ª Δ Δπ π Δ ø Δ ƒ ø π Δ Δ Δ Ãøƒ ƒ π ANNE BRUCE Àªμ À π ƒ Ã π Δƒø Δ ƒ Δπ À ªπ π Δ ƒ ø π Δ À ƒπ ƒ π π Δ ª ƒ ƒ ª πδàãπ Δ Δ πƒ π Ως διευθυντής, η επαγγελματική
Διαβάστε περισσότερα'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,72
TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ EappleÈappleÏˆÌ ÓˆÓ È ÌÂÚÈÛÌ ÙˆÓ TAM. TZøPTZH E..E. AP..E.MH 71601820000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ
Διαβάστε περισσότεραISBN K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë
K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë ISBN 960-31-679-6 Copyright,.-X.. B ÛÈÏÂ Ô,. TÛ ÎÏ Ë, N. TÛ ÓÙ, EÎ fiûâè Z ÙË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 000 Aπαγορε εται η με κάθε τρ πο αντιγραφή
Διαβάστε περισσότεραXÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 0, ,79 ÓÂÈ Î È apple ÈÙ ÛÂÈ , ,00 ÓÔÏÔ ,
EÌappleÔÚÈÎ BÈÔÙÂ ÓÈÎ ÂÓÔ Ô ÂÈ Î TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ. OY H A.E. AP. M.A.E. 24169/80/B/91/15 - AP..E.MH 71727120000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015)
Διαβάστε περισσότεραYπεύθυνη και συνεπής
Π ε λ ά τ η ς, Π ο ι ό τ η τ α, Έ ρ ε υ ν α, Α ν ά π τ υ ξ η Yπεύθυνη και συνεπής Καινοτομία Yψηλή προστιθέμενη αξία Aνάπτυξη ανθρωπίνου δυναμικού Ο σεβασμός στο περιβάλλον και τους φυσικούς πόρους αποτελεί
Διαβάστε περισσότερανα ραβδόμορφο μαγνήτη σε διάφορες θέσεις κοντά στη οθόνη και παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο μετατοπίζεται το φωτεινό ίχνος πάνω στην Εικόνα 1.
ΜΑΓΝΗτΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 9 να ραβδόμορφο μαγνήτη σε διάφορες θέσεις κοντά στη οθόνη και παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο μετατοπίζεται το φωτεινό ίχνος πάνω στην οθόνη. ~ (ΞΥ ' IJ= Ο Εικόνα 1.3 Τα ηλεκτρόνια
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραXÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple , ,00 ÓÔÏÔ , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,
XPY OXO H - TAMATO OY & IA E..E. - ÂÓÔ Ô Â Ô MIMOZA AP..E.MH 71283020000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP
Διαβάστε περισσότεραkefalaio 1_2 26-07-06 18:22 Page 7 Eισαγωγή
kefalaio 1_2 26-07-06 18:22 Page 7 Eισαγωγή kefalaio 1_2 26-07-06 18:22 Page 8 8 kefalaio 1_2 26-07-06 18:22 Page 9 1. È Ù Î È appleò ÌÂÏÂÙÔ ÌÂ ÙËÓ πûùôú ÙÔ Ì ıëì Ùfi ı appleïëúôêôúëıô ÌÂ: τι είναι η Ιστορία
Διαβάστε περισσότεραº ø 36 π MEGASTORE K. ΑΠΟΘΗΚΕΣ - ΕΚΘΕΣΗ. 17ο χλμ Λεωφ. Μαραθώνος, Παλλήνη. 17ο χλμ Λεωφ. Σπατών, Παλλήνη
MEGASTORE 17ο χλμ Λεωφ. Μαραθώνος, Παλλήνη ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΑΠΟ ΑΤΤΙΚΗ ΟΔΟ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣ ΑΕΡΟΔΡΟΜΙΟ: Έξοδος Νο 15 (Παλλήνη), αριστερά για 2.5 km. ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΑΠΟ ΑΤΤΙΚΗ ΟΔΟ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣ ΕΛΕΥΣΙΝΑ: Έξοδος
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 549,87 993,42 ÓÔÏÔ 549,87 993,42 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,48
ÂÓÔ Ô ÂÈ Î EÌappleÔÚÈÎ TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ ˆ ÂÎ Ó ÛÔ A OYT H A.E. AP. M.A.E.12060/80/B/86/23 - AP..E.MH 71457120000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016)
Διαβάστε περισσότεραΚΥΤΤΑΡΟ: H ΜΟΝΑΔΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ
º π 2 ΚΥΤΤΑΡΟ: H ΜΟΝΑΔΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ μ ÛÈÎ ÂÚˆÙ ÛÂÈ ıâˆú 2.1 Ποιος χρησιμοποίησε πρώτος τον όρο «κύτταρο»; Τον όρο «κύτταρο» τον χρησιμοποίησε πρώτος ο Ρόμπερτ Χουκ, το 1665, παρατηρώντας με ένα μικροσκόπιο,
Διαβάστε περισσότεραΥΑΛΟΚΑΘΑΡΙΣΤΗΡΕΣ ΕΠΙΒΑΤΙΚΩΝ STANDARD
ΥΑΛΟΚΑΘΑΡΙΣΤΗΡΕΣ ΕΠΙΒΑΤΙΚΩΝ STANDARD Με προσυναρμολογημένο πολλαπλό προσαρμογέα Επανακλειόμενη, μεμονωμένη συσκευασία Δυνατότητα συνδυασμού διαφόρων μηκών Χαμηλό κόστος αποθήκευσης και ελάχιστες ανάγκες
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟ ΟΧΗΣ ΥΠΟ ΟΧΗ C10 ΑΝΑΧΩΡΗΣΕΙΣ C11 ΧΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΙΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΩΜΑΤΙΩΝ C9 ΑΦΙΞΕΙΣ C8 ΦΡΟΝΤΙΖΕΙ ΤΟΥΣ ΠΕΛΑΤΕΣ ΣΤΗΝ ΥΠΟ ΟΧΗ
Επαγγελµατικό Προφίλ: ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΜΙΚΡΟΥ ΞΕΝΟ ΟΧΕΙΟΥ Επίπεδο: 3 Ικανότητες Θέµατα C1 ΣΧΕ ΙΑΖΕΙ M2 Συνδεδεµένες δεδιότητες M1 ιοίκηση ξενοδοχείου C1 Βασικές εφαρµογές ηλεκτρονικών υπολογιστών C2 ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ
Διαβάστε περισσότεραÓ Ë Ó ÚÔÓÈ ı ÙË È ÊËÌ ÙÂ;
Ó Ë Ó ÚÔÓÈ Ù Ó appleúô fió appleò ı ÙË È ÊËÌ ÙÂ; ΤΙ ΩΡΑΙΑ ΠΟΥ ΘΑ ΗΤΑΝ ΝΑ ΕΚΡΥΒΕ ΤΟ 2011 ΠΟΛΛΑ ΚΙ ΟΜΟΡΦΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ, ΝΑ ΗΤΑΝ Η ΧΡΟΝΙΑ-ΟΡΟΣΗΜΟ ΣΤΗ ΝΕΩΤΕΡΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ, ΟΠΩΣ Η ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΡ Α ΡΤ ΠΑ ΣΗΜΑ ΣΤΑΣΗΣ ΝΕΡΟΥ
Π Μ 1 ΣΜ ΣΣΣ ΝΕ 1. Κουνήστε το σώμα σας Ζητήστε από τα παιδιά να σταθούν δίπλα στην καρέκλα τους και να ακολουθήσουν τις οδηγίες σας: 1. κουνήστε τα δάχτυλά σας 2. έπειτα, τα δάχτυλα και τους καρπούς σας
Διαβάστε περισσότερα'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,96 ÓÔÏÔ , ,96 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,99
TOYPI TIKAI E IXEIPH EI «PO.KA.Kø A.E.» AP.M.A.E. 12152/80/B/86/115 - AP..E.MH 123448420000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 8.782, ,41 ÓÔÏÔ 8.782, ,41
ECO PRIME SOLUTIONS E..E. AP..E.MH 72730920000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá.
Διαβάστε περισσότερα(ª ) :54 ÂÏ 1. ª ıëì ÙÈÎ Àª π À
001-008 (ª ) 16-09-08 14:54 ÂÏ 1 ª ıëì ÙÈÎ Àª π À 001-008 (ª ) 16-09-08 14:54 ÂÏ 2 À ƒ º π ƒπ - π π ƒ º ºπ π πª π À À À À ª ª π À À ƒ À À ƒ º øºà πˆ ÓÓË µ Ó Ô Ï ÎË, ª ıëì ÙÈÎfi, È ÛÎˆÓ ÌÂ Û Ì ÛË ÂÚÁ Û
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ 2007-2013 TA ΝΕΑ Ε ΟΜΕΝΑ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ 2007-2013 TA ΝΕΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Με βάση τους Κανονισµούς για τα διαρθρωτικά ταµεία, που ορίζουν κοινούς κανόνες διαχείρισης, οι κοινοτικές στρατηγικές κατευθυντήριες
Διαβάστε περισσότεραCopyright 1998, 2001 øma A. KYBENTI H (Aπαγορε εται η ολική ή µερική ανατ πωση, µε οποιοδήποτε µέσο, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα).
ii øma A. KYBENTI H ñ ÂÓÓ ıëîâ ÙÔ 947 ÛÙÔ N Ô ÂÙÚ ÙÛÈ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ. ñ TÔ 965 appleôêô ÙËÛÂ applefi ÙÔ ÂÍ Ù ÍÈÔ ÌÓ ÛÈÔ È ËÚÔÎ ÛÙÚÔ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ Î È ÂÁÁÚ ÊËÎÂ ÛÙÔ TÌ Ì M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ A... ñ ÚÂ ÙÔ appleù Ô
Διαβάστε περισσότεραÎÔÏÔ ıòóù ÙËÓ ÏË ÙÔ Û ÔÏÈÎÔ È Ï Ô
Á appleëùô ÁÔÓÂ Ô È Ï Ô Ùfi ÂÈ ÛÎÔapplefi Ó Ê ÚÂÈ ÙÔ Ì ıëù ÙË µã ËÌÔÙÈÎÔ Û Âapple Ê ÌÂ È ÊÔÚ Â Ë ÎÂÈÌ ÓˆÓ Î È Ù Ùfi ÚÔÓ Ó ÙÔ ÔËı ÛÂÈ Ó Ó appleù ÍÔ Ó ÙËÓ ÈÎ ÓfiÙËÙ ÙÔ Ó apple Ú ÁÔ Ó Î È ÔÈ ÈÔÈ Ó ÏÔÁ ÎÂ
Διαβάστε περισσότεραΓιατί Πλαίσιο; Οι διακρίσεις μας!
ΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Γιατί Πλαίσιο; 1. Ασυναγώνιστη υποστήριξη. Service Η/Υ μέσα σε 4 ώρες σε 20 σημεία στην Ελλάδα. 12ωρη δωρεάν τηλεφωνική υποστήριξη. Συναρμολόγηση Η/Υ στα μέτρα σας. ιαρκής αναβάθμιση Η/Υ 4ωρη
Διαβάστε περισσότεραTO ΠΑΡΟΝ ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΩΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΥΓΕΝΙΚΗ ΧΟΡΗΓΙΑ ΤΗΣ
Ομιλητές Αναστάσιος Ωρολογάς Καθηγητής Νευρολογίας Α.Π.Θ., Πρόεδρος της Ελληνικής Εταιρίας για τη ΣΚΠ. Βασιλική Γαροπούλου Καθηγήτρια Ειδικής Φυσικής Αγωγής M.Sc-Ph.D Αστέριος Συλλόπουλος Φυσικοθεραπευτής
Διαβάστε περισσότεραº πo 2: À ª π Ã πƒπ OπO π π ª ƒπø
º πo 2: À ª π Ã πƒπ OπO π π ª ƒπø Η βασική απαίτηση για ένα σύστηµα διαχείρισης ποιότητας είναι ότι ο οργανισµός θα πρέπει να προσδιορίσει και να διαχειριστεί την οικογένεια των απαραίτητων διεργασιών
Διαβάστε περισσότεραXÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 957,27 957,27 ÓÔÏÔ 957,27 957,27 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,94
BÈÔÙÂ Ó EappleÂÍÂÚÁ Û Ï ÛÙÈÎÒÓ YÏÒÓ MIX. K A A A.E. AP. M.A.E.17769/B/88/094 - AP..E.MH 71607620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ
Διαβάστε περισσότεραÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,52
ÂÓÔ Ô ÂÈ Î - TÔ ÚÈÛÙÈÎ - EÌappleÔÚÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ ME O EIAKO H IO A.E. AP. M.A.E. 16644/80/B/88/19 - AP..E.MH 123660320000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY
Διαβάστε περισσότεραΠPOΛOΓOΣ Δυναμικ ς Yλικ ν Σωμ των Mηχανικ ς Στατικ ς Kλασικ ς Δυναμικ ς σ στημα αναφορ ς
v ΠPOΛOΓOΣ Tο βιβλίο αυτ κ ριο σκοπ έχει να παρουσιάσει τις βασικές αρχές της Δυναμικής Yλικών Σωμάτων, καθώς και την επίδειξη της εφαρμογής τους στη συστηματική επίλυση πρακτικών προβλημάτων. H Δυναμική
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές
Διαβάστε περισσότεραŒÓ ı Ì Ì ÂÚˆÙ ÛÂÈ Î È apple ÓÙ ÛÂÈ
Ï ÛÛÈÓfi Û ÔÏÂ Ô ŒÓ ı Ì Ì ÂÚˆÙ ÛÂÈ Î È apple ÓÙ ÛÂÈ ı Ï ÛÛÈÓfi ıfi ÛÙÔ Û ÔÏÂ Ô ÌÔ! Ù appleô Î Ù Ï applefiùâ apple Ú Û ÎÈ Ùfi ÙÔ Î ÏÔÎ ÚÈ. Ú - Û Ì ÎÈfiÏ ÛÙÔ Û ÔÏ Ô. ΔÔ Ì Ïfi ÌÔ fiìˆ Â Ó È ÛÙË ı Ï ÛÛ
Διαβάστε περισσότεραÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,29
KONAN ANøNYMO ENO OXEIAKH KAI TOYPI TIKH ETAIPEIA AP. M.A.E. 49180/80/B/01/26 - AP..E.MH 072308220000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ
Διαβάστε περισσότεραÓfiÙËÙ 1 ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô
ÓfiÙËÙ ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô Ì Ì È: ÀappleÂÓı ÌÈÛË ã T ÍË È Ó ÂappleÈÏ ÛÔ ÌÂ Ó appleúfi ÏËÌ, ÙÔ È Ô ÌÂ appleúôûâîùèî ÒÛÙÂ Ó Î Ù ÓÔ ÛÔ - ÌÂ ÙÈ appleïëúôêôú
Διαβάστε περισσότεραTα παιχνίδια άλλοτε και σήµερα. Πώς λέγεται κάθε παιχνίδι; Nα το γράψεις κάτω από κάθε εικόνα.
T Ù ÍË apple È Ó È ÌÔ ÏÏÔÙÂ Î È Û ÌÂÚ Tα παιχνίδια άλλοτε και σήµερα Σ. Σαββίδης, Γύρω γύρω όλοι Πώς λέγεται κάθε παιχνίδι; Nα το γράψεις κάτω από κάθε εικόνα. Ποια παιχνίδια έπαιζαν τα παιδιά άλλοτε,
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,14 0,14 ÓÔÏÔ 0,14 0,14. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 0, ,65 ÓÔÏÔ 0,00 29.
NYMºH E IXEIPH EI E..T.. & EMºIA ø H A.E. AP. MAE 26878/80/B/92/23 - AP..E.MH 71708520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ
Διαβάστε περισσότεραÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,11
. XPY OXO H - M. XA KIO OY O A.E. - ÂÓÔ Ô Â ÔÓ AYPA M HT AP. M.A.E. 12048/80/B/86/11 - AP..E.MH 71289620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ
Διαβάστε περισσότεραC 213-02. made in Italy. Tahiti Dual. Επίτοιχοι λέβητες αερίου μόνο για θέρμανση ή και με στιγμιαία παραγωγή ζεστού νερού χρήσης
C 213-02 made in Italy Tahiti Dual Επίτοιχοι λέβητες αερίου μόνο για θέρμανση ή και με στιγμιαία παραγωγή ζεστού νερού χρήσης GR apple ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô Tahiti Dual π ªπ π º π À π Ã π À ƒ π Àæ π È Ï ËÙÂ
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,04 0,04 ÓÔÏÔ 0,04 0,04 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,32
"A. KONTOYZO OY-A. MAPA I H " AÓÒÓ ÌË-EÌappleÔÚÈÎ Î È BÈÔÙÂ ÓÈÎ EÙ ÈÚÂ AP. M.A.E. 34608/62/B/95/274 - AP..E.MH 71995320000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015)
Διαβάστε περισσότεραHMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30
HMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30 Συµπληρώνονται φέτος 100 χρόνια από τη γέννηση του Γιώργου Θεοτοκά στην Kωνσταντινούπολη το 1905 από Xιώτες γονείς και σχεδόν 40 χρόνια από το θάνατό
Διαβάστε περισσότεραÈ ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË )
π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,40
BA I EIA H - ME MAPH E..E. AP..E.MH 71769620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá.
Διαβάστε περισσότεραΚαινοτομία και Επιχειρήσεις
Καινοτομία και Επιχειρήσεις Πηγές Καινοτομίας Παράγοντες ενίσχυσης Καινοτομίας Καινοτομία και Επιχειρήσεις Οικονομικό Περιβάλλον και Καινοτομία Πηγές Καινοτομίας Ενδογενεις - Επιχείρησεις - Απροσμενο εξωτερικό
Διαβάστε περισσότεραA Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ 0,04 0,03. EÌappleÔÚÂ Ì Ù , ,59 ÓÔÏÔ ,94 67.
KøN/NO XA KIO OY O MONO PO ø H E..E. AP..E.MH 72768520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Για την ασφάλειά σας... Σελίδα 17 Προδιαγραφόμενη χρήση... Σελίδα 17 Παραδοτέο / παρεχόμενα εξαρτήματα... Σελίδα 18
Πίνακας περιεχομένων Πριν ξεκινήσετε την ανάγνωση, ανοίξτε τη σελίδα με τις εικόνες και εξοικειωθείτε με όλες τις λειτουργίες της συσκευής. Στις παρούσες οδηγίες χρήσης χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα εικονογράμματα/
Διαβάστε περισσότεραÈ ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË )
π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ
Διαβάστε περισσότεραXÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 1.260, ,94 ÓÔÏÔ 1.260, ,94 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,
A KYøN E Y HPETH EI AEPO KAºøN A.E. AP. M.A.E. 35208/80/B/96/11 - AP..E.MH 71946920000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ
Διαβάστε περισσότερα7 Ελεύθερος χρόνος. Δείτε, πείτε και δείξτε. Aσχολούμαι με τα σπορ, με. το καράτε την ποδηλασία το γουίντ-σέρφινγκ
7 Ελεύθερος χρόνος Δείτε, πείτε και δείξτε Aσχολούμαι με τα σπορ, με το κολύμπι την ιππασία το καράτε την ποδηλασία το γουίντ-σέρφινγκ 61 Μαζεύω γραμματόσημα νομίσματα κοχύλια φωτογραφίες Παρακολουθώ τηλεόραση
Διαβάστε περισσότεραI O O I MO 31Ë EKEMBPIOY ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ
ZETA E..E. AP..E.MH72127620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá. MË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΛΛΟΓΟΣ ΓΑΒΑΘΑ ΨΑΡΑΔΕΣ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2011
ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΓΑΒΑΘΑ ΨΑΡΑΔΕΣ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ µ Àª È Ó Í applefiï ÙÔ Á Ú ˆ, ÌË ÌÂ Ï appleâè Î È ÁÂÏ Ì È Ï ÁÔ Ï ÓÈ ÚË, Û Ó Ú Î È Û Ó ÚÎ ÚË... I ÓÔ ÚÈÔ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Διαβάστε περισσότεραMathimata 01-22 04-08-06 14:50 Page 1. Δ ÛÔ Ï ÈÙÛ ÓÔ - apple ÁÚËÁÔÚ Ô ÏÒÛÛ ËÌÔÙÈÎÔ. ª ı Óˆ Ó È ˆ Î È Ó ÁÚ Êˆ  ÎÔÏ Î È ÁÚ ÁÔÚ
Mathimata 01-22 04-08-06 14:50 Page 1 Δ ÛÔ Ï ÈÙÛ ÓÔ - apple ÁÚËÁÔÚ Ô ÏÒÛÛ ËÌÔÙÈÎÔ ª ı Óˆ Ó È ˆ Î È Ó ÁÚ Êˆ  ÎÔÏ Î È ÁÚ ÁÔÚ ø Mathimata 01-22 04-08-06 14:50 Page 9 ÚÔapple Ú ÛΠÛÙÈÎ ª ı Ì Ù Mathimata
Διαβάστε περισσότεραΗ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΡΔΙΖΕΙ! Kωδ. αρ. 0893 140 Βιομηχανικό καθαριστικό 500ml. Kωδ. αρ. 0890 25 Ενεργό καθαριστικό υαλοπινάκων 500ml
Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΡΔΙΖΕΙ! Οι αναγνώστες των γερμανικών περιοδικών Auohaus & Auo Service Praxis επέλεξαν τη Würh ως την καλύτερη μάρκα στο χώρο προϊόντων περιποίησης. Αποκτήστε τώρα κι εσείς την ποιότητα της
Διαβάστε περισσότεραΦτιάχνουμε προσκλήσεις Από το ημερολόγιο του Ελτόν Το χαρούμενο λιβάδι Φτιάξε μου ένα σιδερένιο άνθρωπο...
Αγαπητοί γονείς, Το βιβλίο αυτό έχει στόχο να μάθει ο μαθητής της Γ τάξης του Δημοτικού ν αποτυπώνει και να εκφράζει σωστά τις γνώσεις και τις εμπειρίες του μέσα από το γραπτό λόγο. Να μάθει ν αξιοποιεί
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότεραΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση και µέτρα αντιµετώπισης
TEE TKM ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΜΙΚΡΗΣ ΙΑΡΚΕΙΑ ΣΤ ΚΥΚΛΟΣ2005 ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση και µέτρα αντιµετώπισης Ν. Μαραγκός Μηχανολόγος Mηχ. Msc ΚΙΛΚΙΣ 2005 ΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση
Διαβάστε περισσότεραΗ. Εκπαιδευτική δραστηριότητα: Ελληνικό Τραπεζικό Ινστιτούτο (ΕΤΙ)
Η. Εκπαιδευτική δραστηριότητα: Ελληνικό Τραπεζικό Ινστιτούτο (ΕΤΙ) Το 2005 ήταν χρονιά προκλήσεων και αυξηµένων απαιτήσεων για το ΕΤΙ. Το εκπαιδευτικό πρόγραµµα εµπλουτίστηκε µε νέα θεµατολογία, σηµαντικό
Διαβάστε περισσότερα/ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ ΚΟΣΙΚΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ / http://www.kosikidis.gr. ªπ ƒ SMALL πã πƒ π
ªπ ƒ SMALL πã πƒ π BUSINESSES Essential apple Ú ÙËÙÂ Professional Âapple ÁÁÂÏÌ ÙÈÎ Telecommunications ÙËÏÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Â Alcatel OmniPCX Office Compact Edition Alcatel OmniPCX Office Compact Edition *
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ. Γλώσσα Γλώσσες και πολιτισμοί του κόσμου
2η ΕΝΟΤΗΤΑ Γλώσσα Γλώσσες και πολιτισμοί του κόσμου Θέματα της ενότητας Α Είδη δευτερευουσών προτάσεων Ονοματικές και επιρρηματικές προτάσεις Οι δευτερεύουσες προτάσεις, οι προτάσεις δηλαδή που εξαρτώνται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραM ıëì ÙÈÎ ã ËÌÔÙÈÎÔ. ª ıëì ÙÈÎ ÙË º ÛË Î È ÙË ˆ TÂÙÚ ÈÔ EÚÁ ÛÈÒÓ Áã ÙÂ Ô
M ıëì ÙÈÎ ã ËÌÔÙÈÎÔ ª ıëì ÙÈÎ ÙË º ÛË Î È ÙË ˆ TÂÙÚ ÈÔ EÚÁ ÛÈÒÓ Áã ÙÂ Ô Y PAºEI Ã Ú Ï ÌappleÔ ÂÌÔÓ Ë, ıëáëù ÙÔ ÓÂappleÈÛÙËÌ Ô ÙÈÎ ª ÎÂ ÔÓ Ù ÚappleË ÂÔ ÒÚÔ, Îapple È Â ÙÈÎfi ˆÓÛÙ ÓÙ ÓÔ ÈÎÔÏ ÓÙˆÓ ÎË, ÎÙÔÚ
Διαβάστε περισσότεραΣυγκεκριμένα, το βιβλίο αυτό περιέχει: Απαντήσεις σε όλες τις ερωτήσεις, τις δραστηριότητες και τα θέματα συζήτησης του σχολικού βιβλίου.
Φίλη μαθήτρια, Φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό αποτελεί ένα χρήσιμο βοήθημα για το μάθημα της Πληροφορικής της Β Γυμνασίου. Στόχος του είναι να σε βοηθήσει να κατανοήσεις τις βασικές έννοιες της Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραÛÊ ÏÂÈ Î È appleôûù ÚÈÍË
EL ÛÊ ÏÂÈ Î È appleôûù ÚÈÍË Πριν χρησιμοποιήσετε αυτό το προϊόν, διαβάστε προσεχτικά όλο το πληροφοριακό υλικό του προϊόντος και κρατήστε το για μελλοντική αναφορά. 7011287 ƒ π π π È Ó appleôê ÁÂÙÂ ËÏÂÎÙÚÔappleÏËÍ,
Διαβάστε περισσότεραΣυστη ματα επιισκέψιμων οροφών & Betoboard
Συστη ματα επιισκέψιμων οροφών & Betoboard Ô ˆ ÈÎfi Â Ô ÂÚÈÁÚ Ê Â Ô ª ÎÔ Ï ÙÔ ÈÌ Á µ ÚÔ (kg) 5.1 Ï Î ÔÚÔÊ Πλάκες ορυκτών ινών AMF* ( κατηγορία ακαυστότητας Α2 - s1,d0 ) Σύστημα C - Εμφανές σύστημα Σειρά
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ενότητα 3: 28η Οκτωβρίου Η πορεία προς το μέτωπο... 85 Η Ιταλία μάς κήρυξε τον πόλεμο!... 89 Η πείνα... 96 Κατοχή...
Αγαπητοί γονείς Σκοπός του βιβλίου αυτού είναι να βοηθήσει τους μαθητές της Ε Δημοτικού στο μάθημα της Γλώσσας. Κάθε μάθημα περιλαμβάνει: Ερωτήσεις για την κατανόηση του κειμένου του σχολικού βιβλίου.
Διαβάστε περισσότεραÈ ÛÙ ÚÔÛÂÎÙÈÎ Ù ÙÔ È ÏÈ Ú ÎÈ Ô ËÁÈÒÓ ˉÚ ÛË
È ÛÙÂ ÚÔÛÂÎÙÈÎ Ù ÙÔ È ÏÈ Ú ÎÈ Ô ËÁÈÒÓ ˉÚ ÛË ÚÈÓ ÂÁÎ Ù ÛÙ ÛÂÙÂ Î È ˉÚËÛÈÌÔ ÔÈ ÛÂÙÂ ÙË Û ÛÎÂ. ª ÓÔÓ ÙÛÈ ı ÂÙ ˉÂÙÂ Ù Î Ï ÙÂÚ ÔÙÂÏ ÛÌ Ù Î È ÙË Ì ÁÈÛÙË ÛÊ ÏÂÈ Î Ù ÙË ˉÚ ÛË. Πριν τη χρήση, βεβαιωθείτε ότι η
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010
ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 00 ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α3 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία
Διαβάστε περισσότερα