ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΑΠΛΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ, ΙΔΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΑ ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ.

Transcript

1 ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΑΠΛΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ, ΙΔΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΑ ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Έστω ότι δύο ταλαντώσεις έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: 1 η περίπτωση: > 1 = ημ(ωt+ ) και 2 = 2 ημ(ωt+ ) Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων, η απομάκρυνση του σώματος θα είναι: = ή = ημ(ωt+ )+ 2 ημ(ωt+ ) Με κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία καταλήγουμε ότι η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης =f(t) του σώματος από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από μια εξίσωση της μορφής =ημ(ωt+φ) Στην περίπτωση που >, η φάση της σύνθετης ταλάντωσης (φ) είναι ίση με τη μικρότερη φάση ( ) αυξημένη κατά μια γωνία θ (όπου θ η γωνία που σχηματίζει η σύνθετη ταλάντωση με την ταλάντωση που έχει τη μικρότερη φάση ( 2 ). Άρα τελικά, η φάση της σύνθετης ταλάντωσης θα είναι φ= +θ και η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι =ημ(ωt+ +θ) θ 2 '

2 Αποδεικνύεται ότι το πλάτος Α και η γωνία θ της σύνθετης ταλάντωσης δίνονται από τις σχέσεις: Α = Α 2 + Α 2 + 2Α Α συνδφ και εφθ = Α 1 ημδφ Α 2 + Α 1 συνδφ όπου Δφ= 2 η περίπτωση: > Και στην περίπτωση αυτή, η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης =f(t) του σώματος από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από μια εξίσωση της μορφής =ημ(ωt+φ) Στην περίπτωση που >, η φάση της σύνθετης ταλάντωσης (φ) είναι ίση με τη μικρότερη φάση ( ) αυξημένη κατά μια γωνία θ (όπου θ η γωνία που σχηματίζει η συνισταμένη ταλάντωση με την ταλάντωση που έχει τη μικρότερη φάση ( 1 ). Άρα τελικά, η φάση της σύνθετης ταλάντωσης θα είναι φ= +θ και η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι =ημ(ωt+ +θ) θ '

3 Αποδεικνύεται ότι το πλάτος Α της σύνθετης ταλάντωσης και η γωνία θ δίνονται από τις σχέσεις: Α = Α 2 + Α 2 + 2Α Α συνδφ και εφθ = Α 2 ημδφ Α 1 + Α 2 συνδφ όπου Δφ= *Προσοχή!!! Οι παραπάνω σχέσεις δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην περίπτωση που είναι Δφ=π και Α 1 =Α 2 γιατί προκύπτει απροσδιοριστία στην εφθ. Η ειδική αυτή περίπτωση θα μελετηθεί αναλυτικά παρακάτω. 3 η περίπτωση: = =φ ο δηλαδή, Δφ=0 Έστω ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: 1 = ημ(ωt+φ ο ) και 2 = 2 ημ(ωt+φ ο ) Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων, η απομάκρυνση του σώματος θα είναι: = ή = ημ(ωt+φ ο )+ 2 ημ(ωt+φ ο ) ή = ( + 2 ) ημ(ωt + φ ο ) t 0 ά ξο ν α ς τα λ α ν τώ σ εω ν t φ ο ά ξο ν α ς φ ά σ εω ν Όπως φαίνεται και στο σχήμα, οι ταλαντώσεις έχουν την ίδια φάση.

4 4 η περίπτωση: Δφ=π/2 rad Έστω ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: 1 = ημ(ωt+ ) και 2 = 2 ημ(ωt+ ) με Δφ=π/2 Σε αυτή την περίπτωση, συμφέρει η μελέτη να γίνει με τη βοήθεια των περιστρεφόμενων διανυσμάτων. Διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις: > 2 θ ' Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης θα είναι: = Η γωνία θ (διαφορά φάσης μεταξύ της σύνθετης ταλάντωσης και αυτής που έχει τη μικρότερη φάση δηλαδή την 2 ) υπολογίζεται με τη σχέση: εφθ = Α 1 Α 2 Τότε, η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης θα είναι: =ημ(ωt+θ+ ) ή = ημ(ωt + θ + φ ) 1 2 2

5 > 2 θ ' Σε αυτή την περίπτωση πάλι το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης θα είναι: = Ενώ τώρα, γωνία θ (διαφορά φάσης μεταξύ της σύνθετης ταλάντωσης και αυτής που έχει τη μικρότερη φάση δηλαδή την 1 ) υπολογίζεται με τη σχέση: εφθ = Α 2 Α 1 Και η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης θα είναι: =ημ(ωt+θ+ ) ή = ημ(ωt + θ + φ ) η περίπτωση: Δφ=π rad Έστω ότι οι δύο ταλαντώσεις έχουν αντίστοιχα εξισώσεις: 1 = ημ(ωt+ ) και 2 = 2 ημ(ωt+ )

6 Εδώ διακρίνουμε τις εξής υποπεριπτώσεις: Αν > οπότε =π Α 1 >Α 2 = ή = ημ(ωt+ )+ 2 ημ(ωt+ ) ή = ημ(ωt+ )+ 2 ημ(ωt+ +π) ή = ημ(ωt+ ) 2 ημ(ωt+ ) ή = ( 2 )ημ(ωt + ) 2 Α 1 >Α 2, =0 και =π rad = ή = ημ(ωt)+ 2 ημ(ωt+π) ή = ημ(ωt) 2 ημ(ωt) ή = ( 2 ) ημ(ωt)

7 2 t 2 = π 2 Α 2 >Α 1 = ή = ημ(ωt+ )+ 2 ημ(ωt+ ) ή = ημ(ωt+ +π)+ 2 ημ(ωt+ ) ή = ημ(ωt+ )+ 2 ημ(ωt+ ) ή = ( 2 )ημ(ωt + ) 2 Α 2 >Α 1, =0 και =π rad = ή = ημ(ωt) + 2 ημ(ωt+π) ή = ημ(ωt+π) + 2 ημ(ωt+π) ή = ( 2 )ημ(ωt + π)

8 2 t 2 = π 2 Αν > οπότε =π Α 1 >Α 2 = ή = ημ(ωt+ )+ 2 ημ(ωt+ ) ή = ημ(ωt+ ) 2 ημ(ωt+ +π) ή = ημ(ωt+ ) 2 ημ(ωt+ ) ή = ( 2 )ημ(ωt + ) 2

9 Α 2 >Α 1 = ή = ημ(ωt+ ) + 2 ημ(ωt+ ) ή = ημ(ωt+ +π) + 2 ημ(ωt+ ) ή = ημ(ωt+ ) + 2 ημ(ωt+ ) ή = ( 2 )ημ(ωt + ) 2 g_katopodis@yahoo.gr