ÂÚÈ fiìâó ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ. Οι εξισώσεις της απλής αρμονικής ταλάντωσης Η δύναμη στην απλή αρμονική ταλάντωση...

Transcript

1 ÂÊ Ï ÈÔ 1 ÂÚÈ fiìâó ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ Οι εξισώσεις της απλής αρμονικής ταλάντωσης... 9 Η δύναμη στην απλή αρμονική ταλάντωση... 6 Η ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση Συστήματα που εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση Ο απλός αρμονικός ταλαντωτής Hλεκτρικές ταλαντώσεις Φθίνουσες ταλαντώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις... 4 Σύνθεση ταλαντώσεων Ô Âapple Ó ÏËappleÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË Ô Âapple Ó ÏËappleÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË ÂÊ Ï ÈÔ Ì Ù Τα χαρακτηριστικά του κύματος... 1 Εξίσωση αρμονικού κύματος Στιγμιαία φάση κύματος Στιγμιότυπο αρμονικού κύματος Συμβολή κυμάτων Στάσιμα κύματα Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Ανάκλαση και διάθλαση Ô Âapple Ó ÏËappleÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË Ô Âapple Ó ÏËappleÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÍÈÔÏfiÁËÛË Aapple ÓÙ ÛÂÈ

2

3 ÎÂÊ Ï ÈÔ 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ

4

5 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË 1 ÂÚÈÔ ÈÎ Î ÓËÛË Î È Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ ÌÂÁ ıë Περιοδική ονομάζεται κάθε κίνηση η οποία επαναλαμβάνεται πανομοιότυπα σε ίσα χρονικά διαστήματα. Περιοδική κίνηση είναι η περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο, η περιφορά της Σελήνης γύρω από τη Γη, η κίνηση του λεπτοδείκτη και του ωροδείκτη του ρολογιού κτλ. Περίοδος Τ μιας περιοδικής κίνησης ονομάζεται το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να ολοκληρωθεί μια πλήρης επανάληψη της περιοδικής κίνησης. Η περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο έχει περίοδο 65 ημέρες, η περιφορά της Σελήνης γύρω από τη Γη έχει περίοδο 8 ημέρες, μια πλήρης περιφορά του λεπτοδείκτη διαρκεί 60 λεπτά και του ωροδείκτη 1 ώρες κτλ. Υπολογισμός της περιόδου μιας περιοδικής κίνησης Αν σε χρονικό διάστημα t πραγματοποιούνται Ν πλήρεις επαναλήψεις της περιοδικής κίνησης, η περίοδός της υπολογίζεται από τη σχέση: Τ = t N Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο σύστημα μονάδων S.I. είναι το 1 δευτερόλεπτο (1 s). Συχνότητα f μιας περιοδικής κίνησης ονομάζεται το πηλίκο του αριθμού N των επαναλήψεων της περιοδικής κίνησης προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα t: N f = t Μονάδα μέτρησης της συχνότητας στο σύστημα μονάδων S.I. είναι το 1 Hertz (1 Hz) Hz = = s s Σχέση περιόδου συχνότητας Από τους ορισμούς της συχνότητας και της περιόδου προκύπτει ότι τα δύο μεγέθη είναι αντίστροφα. Ισχύει, δηλαδή: Τ = 1 ή f = 1 f T Γωνιακή (ή κυκλική) συχνότητα ω ονομάζεται το μέγεθος που εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων της περιοδικής κίνησης σε χρονικό διάστημα π s. Μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας στο σύστημα μονάδων S.I. είναι το 1 rad/s. ÂÙÈÎ ΔÂ ÓÔÏÔÁÈÎ Î ÙÂ ı ÓÛË 9

6 Σχέση της γωνιακής συχνότητας με την περίοδο και τη συχνότητα της περιοδικής κίνησης Ισχύει ότι: Δ Ï ÓÙˆÛË Î È Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ ÌÂÁ ıë Tαλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση κατά την οποία ένα σώμα παλινδρομεί γύρω από μια χαρακτηριστική θέση, που ονομάζεται θέση ισορροπίας, και μεταξύ δύο ακραίων θέσεων. Θέση ισορροπίας μιας ταλάντωσης ονομάζεται η θέση γύρω από την οποία πραγματοποιείται η ταλάντωση ενός σώματος. Το εκκρεμές ενός ρολογιού τοίχου ή ο δείκτης του μετρονόμου πραγματοποιούν ταλάντωση γύρω από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας τους. Στη θέση ισορροπίας η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα ισούται με μηδέν: ΣF = 0 Αν το σώμα αφεθεί στη θέση ισορροπίας, θα παραμείνει ακίνητο, αφού η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται στη θέση αυτή είναι ίση με μηδέν. Ακραίες θέσεις ταλάντωσης είναι οι θέσεις στις οποίες μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητα του σώματος και αντιστρέφεται η φορά κίνησής του. Οι ακραίες θέσεις ταλάντωσης είναι συμμετρικές ως προς τη θέση ισορροπίας (ισαπέχουν από τη θέση ισορροπίας). Ú ÌÌÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË π ω = και ω = πf T Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση (δηλαδή η περιοδική κίνηση γύρω από μια θέση ισορροπίας και μεταξύ δύο ακραίων θέσεων) της οποίας η τροχιά είναι ευθύγραμμη. Πλάτος (ή μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας) Α μιας γραμμικής ταλάντωσης ονομάζεται η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης από τη θέση ισορροπίας. Απομάκρυνση x ονομάζεται η μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του σε κάθε χρονική στιγμή. Η απομάκρυνση είναι διάνυσμα με αρχή τη θέση ισορροπίας και τέλος το σημείο της ταλάντωσης στο οποίο βρίσκεται το σώμα. Η απομάκρυνση έχει πάντοτε φορά προς τις ακραίες θέσεις ταλάντωσης. 10 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

7 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï È Ô 4 Ú ÌÌÈÎ ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Γραμμική αρμονική ή απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η γραμμική ταλάντωση στην οποία η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι αρμονική (τριγωνομετρική) συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή περιγράφεται από μια εξίσωση της μορφής: x = Aημωt ή γενικότερα: x = Aημ(ωt + φ 0 ) Όπως θα δούμε στη συνέχεια, η εξίσωση x = Aημωt ισχύει όταν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του (x = 0) και κινείται προς τη μέγιστη θετική απομάκρυνση (x = +A). Φάση φ στην απλή αρμονική ταλάντωση Φάση φ στην απλή αρμονική ταλάντωση ενός σώματος, του οποίου η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας υπολογίζεται από την εξίσωση x = Aημωt, ονομάζεται η ποσότητα ωt. φ = ωt Η ποσότητα φ = ωt είναι μια γωνία της οποίας το ημίτονο μας δίνει την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το πλάτος Α. Η φάση φ είναι ανάλογη του χρόνου t, οπότε η γραφική παράσταση της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο είναι μια ευθεία γραμμή. Αν η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας υπολογίζεται από την εξίσωση x = Aημ(ωt + φ 0 ), φάση φ ονομάζεται η ποσότητα ωt + φ 0. φ = ωt + φ 0 ενώ η ποσότητα φ 0 ονομάζεται αρχική φάση και εκφράζει τη φάση της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Αρχική φάση φ 0 είναι μια γωνία της οποίας το ημίτονο μας δίνει την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το πλάτος Α, τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η αρχική φάση μπορεί να πάρει τιμές: 0 φ 0 < π ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 11

8 5 ªÂÏ ÙË ÙË ÂÍ ÛˆÛË x = AË̈t Έστω ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, κατά την οποία η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας, σε κάθε χρονική στιγμή, υπολογίζεται από την εξίσωση x = Aημωt, όπου Α η μέγιστη απομάκρυνση (πλάτος) του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. Όπως προκύπτει από την εξίσωση, το πρόσημο της απομάκρυνσης x είναι ίδιο με το πρόσημο του ημιτόνου της φάσης ωt. Επειδή το ημίτονο παίρνει τιμές: 1 ημωt +1 συμπεραίνουμε ότι και η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του θα παίρνει τιμές: Α x +Α Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 είναι φ = ωt = 0 άρα και ημωt = 0, επομένως και x = 0, δηλαδή το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται, για διάφορες χρονικές στιγμές στη διάρκεια μιας περιόδου, οι τιμές της φάσης (φ = ωt), του ημιτόνου (ημωt) και της απομάκρυνσης x από τη θέση ισορροπίας για ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = Aημωt. Χρονική στιγμή t Φάση (φ = ωt) ημωt Απομάκρυνση x t = x = 0 T π 0 < t < 0 < ωt < 4 0 < ημωt < +1 0 < x < +A T π t = ωt = 4 +1 x = +Α T Τ π < t < 4 < ωt < π +1 > ημωt > 0 +A > x > 0 Τ t = ωt = π 0 x = 0 Τ Τ π < t < π < ωt < 4 0 > ημωt > 1 0 > x > A Τ π t = ωt = 4 1 x = Α Τ π < t < T 4 < ωt < π 1 < ημωt < 0 A < x < 0 t = T ωt = π 0 x = 0 1 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

9 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï Με βάση τον προηγούμενο πίνακα, στο σχήμα που ακολουθεί παριστάνεται γραφικά η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = Aημωt, σε συνάρτηση με το χρόνο t και σε συνάρτηση με τη φάση φ. È Ô Ú ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË ÙË appleôì ÎÚ ÓÛË x ÛÂ Û Ó ÚÙËÛË Ì ÙÔ ÚfiÓÔ t Ú ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË ÙË appleôì ÎÚ ÓÛË x ÛÂ Û Ó ÚÙËÛË Ì ÙË Ê ÛË Ê = ˆt 6 Ù ÙËÙ ÛÙËÓ appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Η ταχύτητα ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της απομάκρυνσης του σώματος, δηλαδή: υ = dx dt Αν η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας υπολογίζεται σε κάθε χρονική στιγμή από εξίσωση της μορφής: x = Aημωt η ταχύτητα θα έχει αλγεβρική τιμή η οποία σε κάθε χρονική στιγμή θα υπολογίζεται από την εξίσωση: υ = υ max συνωt όπου υ max = ωa η μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητας (πλάτος της ταχύτητας). Όταν x = Aημωt τότε υ = υ max συνωt applefi ÂÈÍË ÙË Û ÛË = max Û Óˆt Είναι: dx da ( ημωt) Ad( ημωt) υ= ή υ= ή υ = ή dt dt dt υ = ωασυνωt ή υ = υ συνωt max Όπως προκύπτει από την εξίσωση, το πρόσημο της ταχύτητας υ είναι ίδιο με το πρόσημο του συνημιτόνου της φάσης ωt. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 είναι ημωt = 0 (άρα και x = 0), αλλά συνωt = +1 (άρα και υ = +υ max = +ωα), δηλαδή το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη μέγιστη θετική απομάκρυνση (x = +A) και έχει ταχύτητα με μέγιστη θετική αλγεβρική τιμή (υ = +υ max = +ωα). ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 1

10 Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται, για διάφορες χρονικές στιγμές στη διάρκεια μιας περιόδου, οι τιμές της φάσης (φ = ωt), του συνημιτόνου (συνωt) και της ταχύτητας για ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση ταχύτητας υ = υ max συνωt. Χρονική στιγμή t Φάση (φ = ωt) συνωt Ταχύτητα υ t = υ = +υ max T π 0 < t < 0 < ωt < +1 > συνωt > 0 +υ max > υ > 0 4 T π t = ωt = 0 υ = 0 4 T Τ π < t < < ωt < π 0 > συνωt > 1 0 > υ > υ max 4 Τ t = ωt = π 1 υ = υ max Τ Τ π < t < π < ωt < 1 < συνωt < 0 υ max < υ < 0 4 Τ π t = ωt = 0 υ = Α 4 Τ π < t < T < ωt < π 0 < συνωt < +1 0 < υ < +υ max 4 t = T ωt = π +1 υ = +υ max Στο διπλανό σχήμα παριστάνονται γραφικά, σε συνάρτηση με το χρόνο, η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας και η ταχύτητα υ ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση (φ 0 = 0). 14 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

11 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï Û ÛË υ=± ω Α x appleô Û Ó ÂÈ ÙËÓ Ù ÙËÙ Î È ÙËÓ appleôì ÎÚ ÓÛË x applefi ÙË ı ÛË ÈÛÔÚÚÔapple ÛÙËÓ appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Έστω ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σώματος υπολογίζονται σε κάθε χρονική στιγμή από τις εξισώσεις: x = Aημωt και υ = υ max συνωt Επιλύουμε τις εξισώσεις ως προς το ημωt και το συνωt και υψώνουμε στο τετράγωνο: x x ημωt = ή ημ ωt = A A υ υ και συνωt = ή συν ωt = υ max υmax και προσθέτουμε κατά μέλη: x υ ημ ωt + συν ωt = + Α υ και επειδή ημ ωt + συν ωt = 1, έχουμε: x υ + =1 A υ max Ισχύει επίσης ότι υ max = ωα, οπότε: x υ ω x + υ + =1 ή = 1 ή υ = ω ( Α x ) ή υ = ± ω Α x A ω Α ω Α max È Ô Στη θέση ισορροπίας x = 0 υ = ±ωα = ±υ max (το πρόσημο της ταχύτητας εξαρτάται από την κατεύθυνση κίνησης) Στις ακραίες θέσεις ταλάντωσης x = ±Α υ = 0 Η σχέση υ=± ω x αποδειχθεί. Α μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μια άσκηση μόνο εφόσον ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 15

12 7 ÂappleÈÙ ÓÛË ÛÙËÓ appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Η επιτάχυνση ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του σώματος, δηλαδή: υ α = d dt Αν η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας υπολογίζεται σε κάθε χρονική στιγμή από εξίσωση της μορφής: υ = ωaσυνωt η επιτάχυνση θα έχει αλγεβρική τιμή η οποία σε κάθε χρονική στιγμή θα υπολογίζεται από την εξίσωση: α = α max ημωt όπου α max = ω A η μέγιστη τιμή του μέτρου της επιτάχυνσης (πλάτος της επιτάχυνσης). Όταν x = Aημωt τότε υ = υ max συνωt και α = α max ημωt applefi ÂÈÍË ÙË Û ÛË = max Ë̈t Είναι: dυ d( ωaσυνωt) ωad( συνωt) α = ή α = ή α = dt dt dt ή Α max α= ω ημωt ή α= α ημωt Η σχέση που συνδέει την επιτάχυνση και την απομάκρυνση στην απλή αρμονική ταλάντωση Έστω ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. Η επιτάχυνση του σώματος υπολογίζεται σε κάθε χρονική στιγμή από την εξίσωση: α = α max ημωt ή α = ω Αημωt Επειδή η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας υπολογίζεται από την εξίσωση x = Aημωt, θα έχουμε: α = ω x Από την εξίσωση αυτή παρατηρούμε ότι η επιτάχυνση έχει πάντοτε αντίθετο πρόσημο από την απομάκρυνση, άρα το διάνυσμα της επιτάχυνσης έχει πάντοτε αντίθετη κατεύθυνση από το διάνυσμα της απομάκρυνσης. Επειδή το διάνυσμα της απομάκρυνσης έχει πάντοτε φορά προς τις ακραίες θέσεις ταλάντωσης, συμπεραίνουμε ότι η επιτάχυνση έχει πάντοτε φορά προς τη θέση ισορροπίας. Γι αυτό το λόγο η επιτάχυνση στην απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται επιτάχυνση επαναφοράς: τείνει να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας του. 16 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

13 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï È Ô 8 appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË ÌÂ Ú ÈÎ Ê ÛË Ê 0 0 Όταν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα δεν βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του με κατεύθυνση προς τη μέγιστη θετική απομάκρυνση (x = 0 και υ = +υ max ), η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φ 0 και οι εξισώσεις απομάκρυνσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης έχουν την εξής μορφή: Απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας: x = Aημ(ωt + φ 0 ) Ταχύτητα: υ = υ max συν(ωt + φ 0 ) Επιτάχυνση: α = α max ημ(ωt + φ 0 ) Συνοψίζοντας: Έστω ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση (φ 0 = 0). Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο, είναι: Απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας: x = Aημωt Ταχύτητα: υ = υ max συνωt, όπου υ max = ωα Επιτάχυνση: α = α max ημωt, όπου α max = ω A Στο σχήμα απεικονίζονται τα διανύσματα της απομάκρυνσης x, της ταχύτητας υ και της επιτάχυνσης α σε διάφορες θέσεις της ταλάντωσης του σώματος. ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 17

14 Στα διαγράμματα που ακολουθούν παριστάνονται γραφικά, σε συνάρτηση με το χρόνο, η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση (φ 0 = 0). Χρονική στιγμή t Απομάκρυνση x Ταχύτητα υ Επιτάχυνση α t = 0 x = 0 υ = +υ max α = 0 T 0 < t < 4 x > 0 υ > 0 α < 0 T t = 4 x = +A υ = 0 α = α max T Τ < t < 4 x > 0 υ < 0 α < 0 Τ t = x = 0 υ = υ max α = 0 Τ Τ < t < 4 x < 0 υ < 0 α > 0 Τ t = 4 x = Α υ = 0 α = +α max Τ 4 < t < T x < 0 υ > 0 α > 0 t = T x = 0 υ = +υ max α = 0 ª π π Δ À Δø ø 1 Η κλίση της γραφικής παράστασης φ = f(t) εκφράζει τη γωνιακή συχνότητα ω της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Δφ εφθ = = ω Δt α. Αν δίνεται η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, αντιπαραβάλλουμε με τη γενική μορφή της εξίσωσης της απομάκρυνσης x = Aημ(ωt + φ 0 ) και υπολογίζουμε το πλάτος Α, τη γωνιακή 18 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

15 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï È Ô συχνότητα ω (καθώς και την περίοδο Τ = π και τη συχνότητα f = ω ) και ω π την αρχική φάση φ 0 της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Ê ÚÌÔÁ Η εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι: x = 0, ημ π t + π, SI.. 4 Να υπολογίσετε το πλάτος Α, τη γωνιακή συχνότητα, την περίοδο, τη συχνότητα και την αρχική φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Αντιπαραβάλλουμε τη δοθείσα εξίσωση: x = 0, ημ π t + π 4 με τη γενική μορφή της εξίσωσης της απομάκρυνσης της απλής αρμονικής ταλάντωσης: x = Aημ(ωt + φ 0 ) Έχουμε: Το πλάτος ταλάντωσης είναι Α = 0, m. Η γωνιακή συχνότητα είναι ω = π/4 rad/s. π π Η περίοδος της ταλάντωσης είναι: Τ = = = 8 s ω π/4 1 1 Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι: f = = Hz = 0, 15 Hz Τ 8 Η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι: φ π = rad β. Αν δίνεται η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, μπορούμε να προσδιορίσουμε και τις εξισώσεις όλων των υπόλοιπων μεγεθών της ταλάντωσης. Αν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση: x = Aημ(ωt + φ 0 ) τότε η ταχύτητα δίνεται από την εξίσωση: υ = ωασυν(ωt + φ 0 ) και η επιτάχυνση από την εξίσωση: α = ω Αημ(ωt + φ 0 ) ή α = ω x Ê ÚÌÔÁ Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται σε συνάρτηση με το χρόνο από τη σχέση: x = π 0ημ 10t + ( x σε cm, t σε s) 0 ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 19

16 α. Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα και τη μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα. β. Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις σε βαθμολογημένους άξονες. α. Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος υπολογίζεται από τη σχέση υ max = ωα. Το πλάτος ταλάντωσης του σώματος είναι Α = 0 cm = 0, m και η γωνιακή συχνότητα ισούται με ω = 10 rad/s. Επομένως: υ max = ωα ή υ max = 10 0, m/s ή υ max = m/s Η μέγιστη επιτάχυνση του σώματος υπολογίζεται από τη σχέση α max = ω Α. Οπότε: α max = 10 0, m/s ή α max = 0 m/s β. Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από σχέση της π μορφής x = Αημ ωt +. Επομένως οι χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας και της απομάκρυνσης είναι, αντίστοιχα: π υ= υ συν max ωt + π ή υ= συν 10t +, S.. I α= α π maxημ ωt + ή α= ημ π 0 ωt +, SI.. Οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνονται στα αντίστοιχα διαγράμματα. Διαφορά φάσης και χρονική διαφορά μεταξύ των μεγεθών της ταλάντωσης Έστω ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στην οποία η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας περιγράφεται από την εξίσωση x = Aημ(ωt + φ 0 ). Τότε, οι εξισώσεις ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι της μορφής: 0 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

17 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï π υ= ωασυν( ωt + φ υ= ω ημ ω + φ + 0) ή Α t 0 και α = ω Αημ( ωt + φ ) ή α = ω Αημ( ωt + φ + π) 0 Δηλαδή: α. η ταχύτητα προηγείται σε φάση της απομάκρυνσης κατά π/ rad ή χρονικά κατά: Δ φ ω π π = Δt = Τ Δ t Δ T ή ή t = 4 β. η επιτάχυνση προηγείται σε φάση της ταχύτητας κατά π/ rad ή χρονικά κατά: Δ φ ω π π = Δt = Τ Δ t Δ T ή ή t = 4 γ. η επιτάχυνση προηγείται σε φάση της απομάκρυνσης κατά π rad ή χρονικά κατά: Δ φ ω Δ π π = t = Τ Δ t Δ T ή ή t = Αυτές οι διαφορές φάσης ερμηνεύονται ως εξής: Όταν κάποιο μέγεθος, για παράδειγμα η επιτάχυνση, έχει ορισμένη τιμή (π.χ. α = +α max ), η ταχύτητα θα αποκτήσει την αντίστοιχη τιμή (υ = +υ max ) με χρονική καθυστέρηση Τ/4 και η απομάκρυνση θα αποκτήσει την αντίστοιχη τιμή (x = +A) με χρονική καθυστέρηση Τ/. 0 È Ô 4 Αν δίνονται οι αλγεβρικές τιμές απομάκρυνσης ταχύτητας ή επιτάχυνσης ταχύτητας, μπορούμε να προσδιορίσουμε το τμήμα της ταλάντωσης στο οποίο βρίσκεται το σώμα καθώς και το είδος της κίνησής του (επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη) και αντίστροφα. Πρόσημα απομάκρυνσης ταχύτητας ή επιτάχυνσης ταχύτητας x > 0 και υ > 0 ή α < 0 και υ > 0 x > 0 και υ < 0 ή α < 0 και υ < 0 x < 0 και υ < 0 ή α > 0 και υ < 0 x < 0 και υ > 0 ή α > 0 και υ > 0 Το σώμα κινείται από τη θέση ισορροπίας προς τη θετική ακραία θέση ταλάντωσης από τη θετική ακραία θέση ταλάντωσης προς τη θέση ισορροπίας από τη θέση ισορροπίας προς την αρνητική ακραία θέση ταλάντωσης από την αρνητική α- κραία θέση ταλάντωσης προς τη θέση ισορροπίας Είδος κίνησης Επιβραδυνόμενη κίνηση (το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται) Επιταχυνόμενη κίνηση (το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται) Επιβραδυνόμενη κίνηση (το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται) Επιταχυνόμενη κίνηση (το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται) ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 1

18 Γενικά, κατά την κίνηση του σώματος από ακραία θέση ταλάντωσης προς τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν αλγεβρικές τιμές ίδιου πρόσημου (τα διανύσματα έχουν ίδια κατεύθυνση) και η κίνηση του σώματος είναι επιταχυνόμενη, ενώ κατά την κίνηση του σώματος από τη θέση ισορροπίας προς ακραία θέση ταλάντωσης, η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν αλγεβρικές τιμές αντίθετου πρόσημου (τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση) και η κίνηση του σώματος είναι επιβραδυνόμενη. 5 Η χρήση του περιστρεφόμενου διανύσματος στην απλή αρμονική ταλάντωση α. Απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση (φ 0 = 0) Έστω ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και γωνιακής συχνότητας ω. Θεωρούμε ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα ΟΡ το οποίο: α. έχει μήκος ίσο με το πλάτος Α της απλής αρμονικής ταλάντωσης, β. έχει αρχή Ο που ταυτίζεται με τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης και γ. στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω ίση με τη γωνιακή συχνότητα ω της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Έστω επίσης ότι το περιστρεφόμενο διάνυσμα, τη χρονική στιγμή t 0 = 0, βρίσκεται στον οριζόντιο θετικό ημιάξονα (άξονας των φάσεων). Σε μια επόμενη χρονική στιγμή t το διάνυσμα θα έχει στραφεί κατά γωνία φ = ωt. H προβολή του περιστρεφόμενου διανύσματος ΟΡ στον κατακόρυφο άξονα (άξονας ημιτόνων) είναι ίση με: ΟΡ ημφ = ή ΟΡ = Αημφ ή ΟΡ = Αημωt ή x = Aημωt Α Θεωρούμε, λοιπόν, ότι η προβολή Ρ του άκρου Ρ του περιστρεφόμενου διανύσματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α και εκφράζει την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του Ο. Στο σχήμα που ακολουθεί παρακολουθούμε παράλληλα τη στροφή του διανύσματος και την αντίστοιχη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης x σε μία απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση. º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

19 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï È Ô β. Απλή αρμονική ταλάντωση με αρχική φάση (φ 0 0) Αν η απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φ 0, τότε τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το περιστρεφόμενο διάνυσμα ΟΡ θα σχηματίζει με τον οριζόντιο ημιάξονα (άξονας των φάσεων) γωνία φ 0. Σε μια επόμενη χρονική στιγμή το διάνυσμα θα έχει στραφεί κατά γωνία ωt και θα σχηματίζει γωνία φ = ωt + φ 0 με τον οριζόντιο ημιάξονα. H προβολή του περιστρεφόμενου διανύσματος ΟΡ στον κατακόρυφο άξονα (άξονας ημιτόνων) είναι ίση με: ΟΡ ημ( ωt + φ ) = 0 ή ΟΡ = Αημ( ωt + φ0) ή x = Αημ( ωt + φ 0 ) Α Η γωνία την οποία σχηματίζει σε κάθε χρονική στιγμή το περιστρεφόμενο διάνυσμα με τον άξονα των φάσεων ισούται με τη φάση της ταλάντωσης. Ουσιαστικά το άκρο Ρ του περιστρεφόμενου διανύσματος διαγράφει έναν (τριγωνομετρικό) κύκλο με ακτίνα όχι ίση με μονάδα αλλά ίση με Α. Στο σχήμα που ακολουθεί παρακολουθούμε παράλληλα τη στροφή του διανύσματος και την αντίστοιχη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης x σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με αρχική φάση φ 0. Επίσης, στο επόμενο σχήμα αντιστοιχίζονται τα τμήματα της απλής αρμονικής ταλάντωσης ενός σώματος με τις θέσεις του περιστρεφόμενου διανύσματος, του οποίου η προβολή στην κατακόρυφη διάμετρο εκφράζει την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË

20 ÓËÛË applefi ÙË ı ÛË ÈÛÔÚÚÔapple appleúô ÙË ıâùèî ÎÚ ı ÛË Ù Ï ÓÙˆÛË ÓËÛË applefi ÙË ıâùèî ÎÚ ı ÛË Ù Ï ÓÙˆÛË appleúô ÙË ı ÛË ÈÛÔÚÚÔapple ÓËÛË applefi ÙË ı ÛË ÈÛÔÚÚÔapple appleúô ÙËÓ ÚÓËÙÈÎ ÎÚ ı ÛË Ù Ï ÓÙˆÛË ÓËÛË applefi ÙËÓ ÚÓËÙÈÎ ÎÚ ı ÛË Ù Ï ÓÙˆÛË appleúô ÙË ı ÛË ÈÛÔÚÚÔapple 6 Προσδιορισμός αρχικής φάσης φ 0 Ένα σώμα το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση φ 0 = 0 όταν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του (x = 0) με μέγιστη θετική ταχύτητα (υ = +υ max ), δηλαδή όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη θετική ακραία θέση ταλάντωσης. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση η ταλάντωση έχει αρχική φάση η οποία παίρνει τιμές μεταξύ 0 < φ 0 < π rad. Για τον προσδιορισμό της αρχικής φάσης της ταλάντωσης χρήσιμοι είναι οι επόμενοι πίνακες. Α. Όταν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας ή σε ακραία θέση ταλάντωσης Όταν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται Απομάκρυνση Ταχύτητα Επιτάχυνση Αρχική φάση Παράσταση με περιστρεφόμενο διάνυσμα στη θέση ισορροπίας κινούμενο προς τη θετική ακραία θέση ταλάντωσης x = 0 υ =+υ max = +ωa α = 0 φ 0 = 0 στη θετική ακραία θέση ταλάντωσης x = +A υ = 0 α = α max = ω Α φ 0 = π στη θέση ισορροπίας κινούμενο προς την αρνητική ακραία θέση ταλάντωσης x = 0 υ = υ max = ωa α = 0 φ 0 = π 4 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

21 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï È Ô στην αρνητική ακραία θέση ταλάντωσης x = A υ = 0 α = +α max = +ω Α φ 0 = π Β. Όταν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα δεν βρίσκεται στη θέση ισορροπίας ή σε ακραία θέση ταλάντωσης Όταν τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ισχύουν Η αρχική φάση φ 0 της ταλάντωσης βρίσκεται στο διάστημα Παράσταση με περιστρεφόμενο διάνυσμα x > 0 και υ > 0 ή α < 0 και υ > 0 π 0 < φ 0 < rad x > 0 και υ < 0 ή α < 0 και υ < 0 π rad < φ 0 < π rad x < 0 και υ < 0 ή α > 0 και υ < 0 π rad < φ 0 < π rad x < 0 και υ > 0 ή α > 0 και υ > 0 π rad < φ 0 < π rad Για να προσδιορίσουμε την αρχική φάση της ταλάντωσης εργαζόμαστε ως εξής: Έστω ότι δίνονται η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του σώματος τη χρονική στιγμή t 0 = 0. 1ος τρόπος (χρήση περιστρεφόμενου διανύσματος) Έστω ότι τη χρονική στιγμή t 0 = 0 είναι x > 0 και υ < 0. Σχεδιάζουμε το περιστρεφόμενο διάνυσμα στη θέση που βρίσκεται τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Η αρχική φάση φ 0 είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον οριζόντιο θετικό ημιάξονα. ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 5

22 Επομένως, στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται θα έχουμε: ημθ = x Α Από τη σχέση αυτή υπολογίζουμε τη γωνία θ. Για την αρχική φάση φ 0 ισχύει: φ 0 = π θ ος τρόπος (επίλυση εξισώσεων) α. Γράφουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης στη μορφή x = Aημ(ωt + φ 0 ). β. Θέτουμε στην εξίσωση της απομάκρυνσης τη χρονική στιγμή t 0 = 0 και την απομάκρυνση που δίνεται. Επιλύουμε την τριγωνομετρική εξίσωση, από την οποία προκύπτουν δύο δέσμες λύσεων: φ0 = κπ+ θ ημφ0 = ημθ ή φ0 = κπ+ π θ γ. Από κάθε θέση της ταλάντωσής του το σώμα διέρχεται κινούμενο και προς τις δύο κατευθύνσεις. Έτσι, αν δίνεται η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t 0 = 0, θα δίνεται ταυτόχρονα και ένας περιορισμός σχετικός με την ταχύτητά του: αν η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας είναι θετική (υ > 0), δεκτή γίνεται η 1η δέσμη λύσεων, ενώ αν η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας είναι αρνητική (υ < 0), δεκτή γίνεται η η δέσμη λύσεων. Αν δεν δίνεται σχετικός περιορισμός, θα έχουμε δύο λύσεις για την αρχική φάση. δ. Αν δίνεται η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 0 = 0, ακολουθούμε αντίστοιχη διαδικασία: γράφουμε υ = υ max συν(ωt + φ 0 ) και επιλύουμε την εξίσωση των συνημιτόνων, οι λύσεις της οποίας είναι: φ0 = κπ+ θ συνφ0 = συνθ ή φ0 = κπ θ Ê ÚÌÔÁ 1 Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η απομάκρυνση του σώματος είναι x =+ Α και η ταχύτητά του έχει θετική αλγεβρική τιμή (υ > 0). Να προσδιορίσετε την αρχική φάση φ 0 της απλής αρμονικής ταλάντωσης. 1ος τρόπος (χρήση περιστρεφόμενου διανύσματος) Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι x = + Α και η ταχύτητά του έχει θετική αλγεβρική τιμή (δηλαδή το σώμα κινείται προς τη θετική ακραία θέση ταλάντωσης). 6 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

23 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï È Ô Με βάση τα προηγούμενα, σχεδιάζουμε το περιστρεφόμενο διάνυσμα στη θέση που βρίσκεται τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Η αρχική φάση φ 0 είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον οριζόντιο θετικό ημιάξονα τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Έχουμε: A ημφ π 0 = ή ημφ0 = ή φ0 = rad Α ος τρόπος (επίλυση εξισώσεων) Έστω x = Aημ(ωt + φ 0 ) η εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης του σώματος. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι x = + Α. Με αντικατάσταση στην εξίσωση της απομάκρυν- σης έχουμε: + Α = Αημφ0 ή ημφ0 = + ή ημφ0 = ημ π ή π φ0 = κπ +, με κ = 0, 1,, φ0 = κπ+ π π, με κ = 0, 1,, π π Για κ = 0 προκύπτουν οι γωνίες φ 0 = rad και φ 0 = rad, ενώ για κ > 0 προκύπτουν γωνίες φ 0 > π rad, οι οποίες απορρίπτονται αφού πρέπει 0 φ 0 < π rad. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η ταχύτητα του σώματος έχει θετική αλγεβρική τιμή. Από την εξίσωση της ταχύτητας υ = υ max συν(ωt + φ 0 ), για τη χρονική στιγμή t 0 = 0 έχουμε: υ = υ max συνφ 0. π Για φ rad είναι υ υ συν π 0 = = max >0 (δεκτή) Για φ 0 π = rad εναιυ ί = υ συν π max <0 ( απορρίπτεται) π Ά ρα, η αρχική φά ση εί ναι φ0 = rad. Ê ÚÌÔÁ Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α και μέγιστη ταχύτητα υ max. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα έχει ταχύτητα υ = υ max / και βρίσκεται σε αρνητική απομάκρυνση. Να προσδιορίσετε την αρχική φάση φ 0 της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Έστω υ = υ max συν(ωt + φ 0 ) η εξίσωση της ταχύτητας του σώματος. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 είναι υ = υ max /. Με αντικατάσταση στην εξίσωση της ταχύτητας έχουμε: ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 7

24 υmax = υmaxσυνφ0 ή 1 συνφ0 = ή π συνφ0 = συν π + ή 4π φ0 = κπ+, με κ = 0, 1,, = = φ κπ 4π 0, με κ 0, 1,, Επειδή πρέπει να είναι 0 φ 0 < π rad, από τις δύο δέσμες λύσεων έχουμε: Από την 1η δέσμη λύσεων, για κ = 0: 4π φ 0 = rad Από τη η δέσμη λύσεων, απορρίπτεται η λύση για κ = 0 (από την οποία προκύπτει φ 0 = rad), ενώ για κ = 1: φ 0 = π ή φ 0 = rad 4π 4π π Από τις δύο λύσεις, δεκτή είναι εκείνη για την οποία προκύπτει αρνητική απομάκρυνση. Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι x = Aημ(ωt + φ 0 ), ενώ για t 0 = 0 προκύπτει x = Aημφ 0. 4π 4π Για φ 0 = rad είναι: x = Aημ < 0 (δεκτή) π π Για φ 0 = rad είναι: x = Aημ > 0 (απορρίπτεται) 4π Άρα, η αρχική φάση είναι φ 0 = rad. 7 Προσδιορισμός χρόνου μετάβασης από μια θέση της τροχιάς σε μια άλλη α. Χρόνος μετάβασης μεταξύ θέσης ισορροπίας και ακραίων θέσεων ταλάντωσης Η απευθείας μετάβαση ενός σώματος από τη θέση ισορροπίας σε ακραία θέση ταλάντωσης ή από ακραία θέση ταλάντωσης στη θέση ισορροπίας διαρκεί χρονικό διάστημα Τ/4. Γενικότερα, όταν το σώμα μεταβαίνει από τη θέση ισορροπίας σε ακραία θέση ταλάντωσης ή αντίστροφα, το χρονικό διάστημα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του Τ/4. β. Χρόνος μετάβασης από μια τυχαία θέση της τροχιάς σε μια άλλη 1ος τρόπος: Προσδιορίζουμε τη θέση του περιστρεφόμενου διανύσματος για καθεμία από τις θέσεις της τροχιάς. Ο χρόνος μετάβασης του σώματος από 8 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

25 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï È Ô τη μία θέση στην άλλη ισούται με το χρόνο στον οποίο το περιστρεφόμενο διάνυσμα διαγράφει την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία Δθ. Η γωνία αυτή διαγράφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, οπότε ο χρόνος μετάβασης θα είναι: Δθ Δθ = ω Δt ή Δt = ω ος τρόπος: Ο υπολογισμός μπορεί να γίνει επίσης με επίλυση των τριγωνομετρικών εξισώσεων. Ê ÚÌÔÁ Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ω και πλάτος Α. Να υπολογίσετε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για την απευθείας μετάβαση του σώματος από τη θέση x =+ Α μέχρι τη θέση x =. Α Το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για την απευθείας μετάβαση του Α σώματος από τη θέση + στη θέση Α αντιστοιχεί στη στροφή του διανύσματος από τη θέση (1) στη θέση (). Η γωνία στροφής του διανύσματος που αντιστοιχεί στην προηγούμενη μετάβαση είναι Δθ = θ 1 + θ. Υπολογίζουμε τις γωνίες θ 1 και θ. Είναι: Α/ 1 ημθ1 = ή ημθ1 = ή Α ημθ ημ π π 1 = ή θ1 = rad 6 6 και ημθ ημθ Α = ή ημθ = Α = ημ π ή θ π = rad Η γωνία που διαγράφει το περιστρεφόμενο διάνυσμα είναι: π π π Δθ = θ1 + θ ή Δθ = + ή Δθ = rad 6 Ο χρόνος που απαιτείται για την περιστροφή αυτή είναι: Δθ Δθ π ω = ή Δt = ή Δt = Δt ω ω ή ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 9

26 8 Κατασκευή γραφικής παράστασης Αν η απλή αρμονική ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση (φ 0 = 0), τότε οι γραφικές παραστάσεις έχουν την ακόλουθη μορφή. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, οι γραφικές παραστάσεις μετατοπίζονται ανάλογα με την αρχική φάση της ταλάντωσης. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να υπολογίσουμε τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα φτάνει για πρώτη φορά στην ακραία θέση ταλάντωσης ή διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του. Στα διαγράμματα που ακολουθούν απεικονίζονται η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητα και η επιτάχυνση σε συνάρτηση με τη φάση της ταλάντωσης. 0 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

27 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï È Ô ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 1

28 Ê ÚÌÔÁ Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α, περίοδο Τ και αρχική φάση φ 0 = π/ rad. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις x = f(t), υ = f(t) και α = f(t) σε βαθμολογημένους άξονες. Οι εξισώσεις της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας, της ταχύτητας υ και της επιτάχυνσης α έχουν την ακόλουθη μορφή: x = Αημ π t + π υ= υ συν π t + π, Τ max =, α α ημ π + π Τ max Τ t Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ίση με: Η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του είναι: υ= υ συν π υ max = + Η επιτάχυνση του σώματος είναι: α α ημ π = max = α Θα προσδιορίσουμε τη χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία το σώμα φτάνει για πρώτη φορά στη θετική ακραία θέση ταλάντωσης. Σχεδιάζουμε το περιστρεφόμενο διάνυσμα στη θέση που βρίσκεται τη χρονική στιγμή t 0 = 0. Η αρχική φάση είναι φ 0 = π/ rad, επομένως η γωνία στροφής του διανύσματος μέχρι τη χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία το σώμα φτάνει στη θετική ακραία θέση ταλάντωσης είναι π π π θ = ή θ = rad. Οπότε: 6 π/6 T θ = ωt1 ή t1 = ή t1 = ω 1 Στη συνέχεια, το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, με κατεύθυνση προς την αρνητική ακραία θέση ταλάντωσης, τη χρονική στιγμή t = Τ t 1 + κ.ο.κ. 4 Οι γραφικές παραστάσεις έχουν ως εξής: x = Aημ π = + Α max max º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

29 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï 9 Στιγμιαίοι ρυθμοί μεταβολής dx Ο ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης είναι η ταχύτητα της ταλάντωσης: dt Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας dx dt = υ dυ dt dυ = α dt είναι η επιτάχυνση της ταλάντωσης: È Ô Àª ƒ π ª Δ Ú ÂÈÁÌ 1 Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται σε κάθε χρονική στιγμή από την εξίσωση x = 0,ημπt, S.I. α. Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης, τη γωνιακή συχνότητα και την περίοδο της ταλάντωσης. β. Να υπολογίσετε τις μέγιστες τιμές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης της ταλάντωσης. γ. Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης της ταλάντωσης. δ. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις x = f(t), υ = f(t) και α = f(t) σε βαθμολογημένους άξονες. ε. Να υπολογίσετε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, την ταχύτητα και την επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές: i. t 1 = 1/4 s και ii. t = 1/ s Δίνεται: π = 10. α. Όπως προκύπτει από την εξίσωση της απομάκρυνσης, το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = 0, m και η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης είναι ω = π rad/s. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι: π π Τ = = = 1 s ω π β. Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση υ max = ωα. Επομένως: υ max = ωα ή υ max = π 0, m/s ή υ max = 0,4π m/s Η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση α max = ω Α. Επομένως: α max = ω Α ή α max = (π) 0, m /s ή α max = 8 m /s γ. Εφόσον η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι της μορφής x = Aημωt, η εξίσωση της ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË

30 ταχύτητας θα είναι της μορφής υ = υ max συνωt και η εξίσωση της επιτάχυνσης θα είναι της μορφής α = α max ημωt. Επομένως: υ = υ max συνωt ή υ = 0,4πσυνπt, S.I. α = α max ημωt ή α = 8ημπt, S.I. δ. Στα σχήματα που ακολουθούν παριστάνονται γραφικά η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο. ε. i. Αντικαθιστούμε τη χρονική στιγμή t 1 = 1/4 s στις εξισώσεις x = f(t), υ = f(t) και α = f(t). Έχουμε: 1 x = 0, ημπ t ή x = 0, ημπ ή x = 0, ημ π ή x =+0, m 4 Δηλαδή τη χρονική στιγμή t 1 = 1/4 s το σώμα βρίσκεται στη θετική ακραία θέση ταλάντωσής του, οπότε θα είναι υ = 0 και α = α max = 8 m/s. Πράγματι: 1 υ= 04, πσυνπt ή υ= 04, πσυνπ ή υ= 04, πσυν π ή υ = και α = 8ημπ t ή α = 8ημπ ή α= 8ημ π ή α = 8 m/s 4 ii. Όμοια, για τη χρονική στιγμή t = 1/ s έχουμε: 4 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

31 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï x = 0 t x = 0 1, ημ π ή, ημ π ή x = 0, ημ π ή x = 0, ημ π ή x = + 0, m ή x = + 01, m υ = 04 = 04 1, πσυν πt ή υ, πσυν π ή υ = 04, πσυν π ή υ= 04π συν π 1, ή υ = 0,4π m/s ή υ= 0, π m/s È Ô α = ημ πt ή α = ημ π ή α = 8ημ π ή α = 8ημ π α= 8 m/s ή α= 4 m/s ή Ú ÂÈÁÌ Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δίνεται σε κάθε χρονική στιγμή από την εξίσωση α. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία το σώμα διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση x 1 = 0,5 m με αρνητική ταχύτητα. β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος την ίδια χρονική στιγμή. α. 1ος τρόπος (προσδιορισμός χρονικής στιγμής με χρήση περιστρεφόμενου διανύσματος) Επειδή η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι φ 0 = 0, τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το περιστρεφόμενο διάνυσμα βρίσκεται στον άξονα των φάσεων (θέση (1)). Τη χρονική στιγμή t 1 το σώμα βρίσκεται σε αρνητική απομάκρυνση (x = 0,5 m) και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του είναι αρνητική (δηλαδή το σώμα κινείται προς την αρνητική ακραία θέση ταλάντωσης). Με βάση τα προηγούμενα σχεδιάζουμε το περιστρεφόμενο διάνυσμα στη θέση (), στην οποία βρίσκεται τη χρονική στιγμή t 1. Υπολογίζουμε τη γωνία θ 1. Είναι: x ημθ1 = ημθ1 = ημθ1 = A ή, 05, ή ή ημθ1 = ημ π π ή θ1 = rad 6 6 x = 0,5ημ π t, S.I. Επομένως η στροφή του διανύσματος από τη θέση (1) στη θέση () είναι: π 7π Δθ = π+ θ1 ή Δθ = π+ ή Δθ = rad 6 6 ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 5

32 Το αντίστοιχο χρονικό διάστημα περιστροφής του διανύσματος είναι: Δθ 7π/6 Δθ = ω Δt ή Δt = ή Δt = Δt = ω π/ ή 7 s Η χρονική στιγμή t 1 που το περιστρεφόμενο διάνυσμα βρίσκεται στη θέση () είναι ίση με το χρονικό διάστημα που απαιτείται ώστε το διάνυσμα να στραφεί από τη θέση (1) στη θέση (). Επομένως: 7 t1 = s ος τρόπος (προσδιορισμός χρονικής στιγμής με επίλυση εξισώσεων) Η απομάκρυνση του σώματος δίνεται σε κάθε χρονική στιγμή από την εξίσωση x = 05, ημ π t. Τη χρονική στιγμή t 1 η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι x 1 = 0,5 m. Με αντικατάσταση στην εξίσωση της απομάκρυνσης έχουμε: 1 05, = 05, ημ π 1 ημ π 1 = ημ π π t ή t ή t1 = ημπ ημ π 7 + ή t ημ π 1 = 6 6 Από τη λύση της τριγωνομετρικής εξίσωσης προκύπτουν δύο δέσμες λύσεων: π 7π t1 = κπ +, με κ = 0, 1,, 6 π 7π t1 = κπ + π ή π t κπ π 1 =, με κ = 0, 1,, 6 6 Από την πρώτη δέσμη λύσεων για κ = 0 είναι: π 7π t 1 = και με αντικατάσταση στην 6 εξίσωση της ταχύτητας έχουμε: Επομένως η χρονική στιγμή t 1 είναι: Από τη δεύτερη δέσμη λύσεων για κ = 0 είναι: π π t 1 = ( η οπο ί α απορρ ί πτεται γιατ ί προκ ύ π τει t 1 < 0) 6 και για κ = 1 είναι: υ υ συν π 7 = υ υ συν π max t 1 ή = max < 0 ( δεκτή λύση) 6 π t π 7π 7 t1 = ή t1 = s 6 π π π 11 = ή t = π και με αντικατάσταση στην εξίσωση της ταχύτητας έχουμε: υ υ συν π 11π = max t 1 ή υ= υmaxσυν > 0 6 (απορρίπτεται, αφού από την εκφώνηση έχουμε ότι τη χρονική στιγμή t 1 είναι υ < 0). 6 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

33 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË β. Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t 1 είναι: 7 υ υ συν π 7 ω συν π π = max = =, ή υ Α ή υ m/s ή υ = Η επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t 1 είναι: π α= ω = x ή α ( 05, ) m/s ή α =+ π m/s 8 π 8 m/s Î Â Ê Ï È Ô Ú ÂÈÁÌ Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α = 0,5 m. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 της έναρξης των ταλαντώσεων το σώμα βρίσκεται σε απομάκρυνση x = +0,5 m από τη θέση ισορροπίας του, ενώ στη συνέχεια διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t = 1/4 s. Να γράψετε τις εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο για την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος και να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις σε βαθμολογημένους άξονες. Δίνεται π = 10. Έστω x = Aημ(ωt + φ 0 ) η εξίσωση της απομάκρυνσης. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = 0,5 m, ενώ τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι x = +0,5 m. Με αντικατάσταση έχουμε: + 05, = 05, ημφ0 ή ημφ0 = 1 ή ημφ0 = ημ π ή Για κ = 0 προκύπτει, και από τις δύο δέσμες λύσεων, π η γωνία φ 0 = rad. Επομένως τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται στην ακραία θέση ταλάντωσής του. Το χρονικό διάστημα που απαιτείται μέχρι να διέλθει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του είναι Δt = Τ/4. Τ 1 Άρα: = s ή T =1 s 4 4 φ 0 π = κπ +, με κ = 0, 1,, φ0 = κπ+ π π, με κ = 0, 1,, Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης είναι: π ω = ω = π Τ ή rad/s Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: x = A t + x = π ημ( ω φ0) ή 05, ημ πt +, SI.. Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο: υmax = ωα = π 0, 5 = π m/s π Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: υ= υ συν ω + φ υ= πσυν π + max ( t 0) ή t, SI.. Η μέγιστη επιτάχυνση του σώματος έχει μέτρο: αmax = ω Α = ( π) 0, 5 = 0 m/s ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 7

34 π Η εξίσωση της επιτάχυνσης είναι: α= α ημ ω + φ α= ημ π + max ( t 0) ή 0 t, S.. I Οι γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο έχουν ως εξής: Ú ÂÈÁÌ 4 Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι της μορφής x = 0,5ημ(ωt + π/), S.I. Το σώμα φτάνει για πρώτη φορά στη θετική ακραία θέση ταλάντωσής του τη χρονική στιγμή t 1 = 1/6 s. α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω και την περίοδο της ταλάντωσης. β. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. Δίνεται: π = 10. α. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το περιστρεφόμενο διάνυσμα βρίσκεται στη θέση (1), σχηματίζοντας γωνία φ 0 = π/ rad με τον οριζόντιο θετικό ημιάξονα (άξονας των φάσεων). Το σώμα φτάνει για πρώτη φορά στη θετική ακραία θέση ταλάντωσής του τη χρονική στιγμή t 1 = 1/6 s, οπότε την ίδια χρονική στιγμή το περιστρεφόμενο διάνυσμα βρίσκεται στη θέση (). Η γωνία στροφής του διανύσματος από τη 8 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

35 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï θέση (1) στη θέση () είναι: π π π Δθ = ή Δθ = 6 rad È Ô Η γωνία αυτή διαγράφεται σε χρόνο Δt = t 1 t 0 = t 1 με γωνιακή ταχύτητα ω. Είναι: Δθ π/6 π/6 ω = ή ω = ή ω = ω = π Δt t 1/6 ή rad /s 1 Η περίοδος της ταλάντωσης είναι: π Τ = Τ = ω ή s β. Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση υ max = ωα. Επομένως: υ max = ωα ή υ max = π 0,5 m/s ή υ max = 0,5π m/s Η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση α max = ω Α. Επομένως: α max = ω Α ή α max = (π) 0,5 m /s ή α max = 5 m /s Εφόσον η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι της μορφής x = Aημ(ωt + π/), η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι της μορφής υ = υ max συν(ωt + π/) και η εξίσωση της επιτάχυνσης θα είναι της μορφής α = α max ημ(ωt + π/). Επομένως: π υ= υ συν max ωt + ή π υ= 05, πσυν πt +, S.. I α= α π t + maxημ ω ή α= ημ π 5 πt +, SI.. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι: x = 05, ημ π = + 05, m Η ταχύτητα του σώματος είναι: υ= 05, πσυν π = + 05, π m/s H επιτάχυνση είναι: α= 5ημ π = 5, m/s Στα διπλανά σχήματα παριστάνουμε γραφικά την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο. ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 9

36 ƒøδ π øƒπ 1. α. Ποια κίνηση ονομάζεται περιοδική; Να αναφέρετε σχετικά παραδείγματα. β. Τι ονομάζεται περίοδος μιας περιοδικής κίνησης και με τι είναι ίση; Ποια είναι η μονάδα μέτρησης της περιόδου στο S.I.;. α. Τι ονομάζεται συχνότητα μιας περιοδικής κίνησης και με τι είναι ίση; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ περιόδου και συχνότητας; Ποια είναι η μονάδα μέτρησης της συχνότητας στο S.I.;. α. Ποιο μέγεθος ονομάζεται γωνιακή (ή κυκλική) συχνότητα μιας περιοδικής κίνησης; Ποια είναι η μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας στο S.I.; β. Ποια είναι η σχέση της γωνιακής συχνότητας με την περίοδο και τη συχνότητα της περιοδικής κίνησης; 4. α. Ποια κίνηση ονομάζεται ταλάντωση; Να αναφέρετε παραδείγματα ταλαντώσεων. β. Ποια κίνηση ονομάζεται γραμμική ταλάντωση; γ. Ποιο μέγεθος ονομάζεται πλάτος μιας γραμμικής ταλάντωσης; 5. α. Ποια κίνηση ονομάζεται γραμμική (ή απλή) αρμονική ταλάντωση; β. Να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, την ταχύτητα και την επιτάχυνση, σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να θεωρήσετε ότι τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το ταλαντούμενο σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με κατεύθυνση προς τη θετική ακραία θέση ταλάντωσης. γ. Να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. 6. α. Τι ονομάζεται φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης και τι αρχική φάση; Ποιες τιμές μπορεί να πάρει η αρχική φάση; β. Να γράψετε τις εξισώσεις για την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, την ταχύτητα και την επιτάχυνση, σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να θεωρήσετε ότι τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το ταλαντούμενο σώμα διέρχεται από ένα τυχαίο σημείο της τροχιάς του. 7. α. Ποιες σχέσεις συνδέουν τις μέγιστες τιμές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με τη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας; β. Σε ποιες θέσεις της τροχιάς ενός ταλαντούμενου σώματος, η ταχύτητα και η επιτάχυνση αποκτούν τις μέγιστες τιμές τους; 8. α. Ποια σχέση συνδέει την επιτάχυνση ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας; Να παραστήσετε γραφικά τη σχέση αυτή. β. Τι γνωρίζετε για τις κατευθύνσεις των διανυσμάτων της απομάκρυνσης και της 40 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

37 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï επιτάχυνσης; Πώς ονομάζεται η επιτάχυνση στην απλή αρμονική ταλάντωση και για ποιο λόγο; È Ô ÚˆÙ ÛÂÈ ÎÏÂÈÛÙÔ Ù appleô Στις ερωτήσεις 9 0 που ακολουθούν υπάρχει μόνο μία σωστή απάντηση. Να την επιλέξετε. 9. H σχέση που συνδέει την περίοδο (T) και τη συχνότητα (f) σε ένα περιοδικό φαινόμενο είναι: α. f = T β. f T = 1 γ. T f = 1 δ. T f = 1 Εξετάσεις Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και σε χρονικό διάστημα 4 s πραγματοποιεί 0 πλήρεις ταλαντώσεις. Η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος είναι: α. Τ = 5 s β. Τ = 0,5 s γ. Τ = 0,5 s δ. Τ = 0, s 11. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το χρονικό διάστημα που απαιτείται για την απευθείας μετάβαση του σώματος από την ακραία θέση ταλάντωσης έως τη θέση ισορροπίας του είναι 0,5 s. Η γωνιακή συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης του σώματος είναι: α. 0, rad/s β. π rad/s γ. Hz δ. π rad/s 1. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η απομάκρυνση και η επιτάχυνση την ίδια χρονική στιγμή α. έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο β. έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο γ. θα έχουν το ίδιο ή αντίθετο πρόσημο, ανάλογα με την αρχική φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης δ. μερικές φορές έχουν το ίδιο και άλλες φορές έχουν αντίθετο πρόσημο Εξετάσεις Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι x = 0,ημ10πt, S.I. A. Η απόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων ταλάντωσης του σώματος είναι: α. 0,1 m β. 0, m γ. 0,4 m δ. 0,8 m B. Η μέγιστη ταχύτητα την οποία αποκτά το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του είναι: α. 0,1 m/s β. 0, m/s γ. 0,π m/s δ. π m/s Γ. Η μέγιστη επιτάχυνση την οποία αποκτά το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του είναι: α. 100 m/s β. π m/s γ. 10π m/s δ. 0π m/s ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 41

38 14. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α = 5 cm και περίοδο Τ = 0,5 s. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται στη θετική ακραία θέση ταλάντωσής του. Η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: α. υ = 0,5πσυν t + π, S.I. β. υ = πσυν4πt, S.I. π γ. υ = πσυν 4πt +, S.I. δ. υ = πσυν4t, S.I. 15. Η εξίσωση της επιτάχυνσης ενός σώματος το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι α = 0ημ10t, S.I. A. Η περίοδος της απλής αρμονικής ταλάντωσης του σώματος είναι: α. 10 s β. π/5 s γ. 0,1 s δ. π s B. Το πλάτος ταλάντωσης του σώματος είναι: α. 0,1 m β. 0, m γ. 0,4 m δ. 0,5 m Γ. Η μέγιστη ταχύτητα την οποία αποκτά το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του είναι: α. 0,1 m/s β. 0, m/s γ. m/s δ. π m/s 16. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. H απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του περιγράφεται από την εξίσωση x = Aημ(ωt + π/). Α. Η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και η ταχύτητα του σώματος έχουν θετική αλγεβρική τιμή, στη διάρκεια μιας περιόδου, κατά το χρονικό διάστημα: α. 0 t Τ/4 β. Τ/4 t Τ/ γ. Τ/ t Τ/4 δ. Τ/4 t Τ Β. Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος έχουν θετική αλγεβρική τιμή, στη διάρκεια μιας περιόδου, κατά το χρονικό διάστημα: α. 0 t Τ/4 β. Τ/4 t Τ/ γ. Τ/ t Τ/4 δ. Τ/4 t Τ 17. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. H απομάκρυνση του σώματος από π π τη θέση ισορροπίας του περιγράφεται από την εξίσωση x = Aημ. T t + 6 A. Η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή: α. t = T/1 β. t = T/6 γ. t = T/ δ. t = 5T/1 B. Η επιτάχυνση του σώματος μηδενίζεται για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή: α. t = T/1 β. t = T/6 γ. t = T/ δ. t = 5T/1 18. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. H ταχύτητα του σώματος δίνεται από την εξίσωση υ = συν π 5t +, S.I. Α. Η απόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων ταλάντωσης του σώματος είναι: α. d = 4 m β. d = m γ. d = 0,8 m δ. d = 0,4 m 4 º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ

39 1 ÏÂÎÙÚÈÎ ªË ÓÈÎ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ 1.1 È ÂÍÈÛÒÛÂÈ ÙË appleï ÚÌÔÓÈÎ Ù Ï ÓÙˆÛË Î Â Ê Ï Β. Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι: α. Δt = 5 s β. Δt =,5 s γ. Δt = π/5 s δ. Δt = π/5 s Γ. Η ταχύτητα του σώματος μηδενίζεται για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή: α. t = π/0 s β. t = π/15 s γ. t = π/15 s δ. t = π/40 s Δ. Τη χρονική στιγμή t = π/15 s η ταχύτητα του σώματος είναι ίση με: α. υ = m/s β. υ = 1 m/s γ. υ = m/s δ. υ = 1 m/s È Ô 19. Ποιο από τα επόμενα διαγράμματα αποδίδει σωστά τη σχέση μεταξύ της επιτάχυνσης ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και της απομάκρυνσής του από τη θέση ισορροπίας του; α. β. γ. δ. 0. Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η απομάκρυνση ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. α. Τις χρονικές στιγμές 0, 0,8 s και 1,6 s το σώμα έχει ταχύτητα μέγιστου μέτρου. β. Τις χρονικές στιγμές 0,4 s και 1, s το σώμα έχει επιτάχυνση μέγιστου μέτρου. γ. Τις χρονικές στιγμές 0,4 s και 1, s το σώμα έχει ταχύτητα μέγιστου μέτρου. δ. Από τη χρονική στιγμή 0,4 s έως τη χρονική στιγμή 0,8 s το σώμα επιβραδύνεται. 1. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Σε κάποια χρονική στιγμή το σώμα βρίσκεται σε θετική απομάκρυνση και κινείται με κατεύθυνση προς τη θετική ακραία θέση ταλάντωσης. Α. Η ταχύτητα του σώματος: α. έχει θετική αλγεβρική τιμή και το μέτρο της αυξάνεται β. έχει θετική αλγεβρική τιμή και το μέτρο της μειώνεται ÂÙÈÎ Δ ÓÔÏÔÁÈÎ Î Ù ı ÓÛË 4

40 γ. έχει αρνητική αλγεβρική τιμή και το μέτρο της αυξάνεται δ. έχει αρνητική αλγεβρική τιμή και το μέτρο της μειώνεται Β. Η επιτάχυνση του σώματος: α. έχει θετική αλγεβρική τιμή και το μέτρο της αυξάνεται β. έχει θετική αλγεβρική τιμή και το μέτρο της μειώνεται γ. έχει αρνητική αλγεβρική τιμή και το μέτρο της αυξάνεται δ. έχει αρνητική αλγεβρική τιμή και το μέτρο της μειώνεται. Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται η απομάκρυνση ενός σώματος, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, σε συνάρτηση με το χρόνο. Ποια από τις επόμενες γραφικές παραστάσεις απεικονίζει σωστά την ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο; α. β. γ. δ.. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, σε συνάρτηση με το χρόνο. Στην περίπτωση αυτή: α. στα σημεία 1 και 5 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση β. στα σημεία και 4 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση γ. στα σημεία 4 και 5 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας δ. στα σημεία και 4 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας Εξετάσεις º ÛÈÎ ã ÓÈ Ô ÎÂ Ô Aã ÙfiÌÔ