2. BROJNI SISTEMI I PREVOĐENJE BROJEVA

Transcript

1 BROJNI SISTEMI I PREVOĐENJE BROJEVA Dgtaln ačuna opeše samo sa bojevma Načn na koj mašna opeše sa ovm bojevma zavs od toga šta ov bojev pedstavljaju (sam sebe, duge bojeve l alfanumečke znakove) u kojem su oblku on pedstavljen Il, nešto konketnje, dzajn centalne pocesoske jednce, tj dela ačunaa koj manpulše svm atmetčkm logčkm opeacjama, se ne može ealzovat bez poznavanja fome u kojoj se bojev pedstavljaju od stane mašne Šta vše, ova foma može da bude dastčno azlčta od oblka u kome se t bojev pezentaju opeatou, pa je zbog toga nepohodno obavt neku vstu konvezje u ulazno/zlaznom delu ačunaa U ovoj glav ćemo ukazat na azlčte načne pezentacje bojeva dugh velčna u ačunau 1 Konvezja baze Bojn sstem koj čovek najčešće kost je decmaln sstem Iz većeg boja azloga na koje ćemo ukazat kasnje, decmaln bojn sstem nje pogodan za košćenje od stane ačunaa Računa ade mnogo efkasnje sa podacma koj maju bnan oblk S obzom da za ačunae nsu pogodn decmaln "bojev", a "opeate nsu navknut na bnane bojeve", potebno je ostvat nek vd konvezje zmeđu ovh bojnh sstema koja će pedstavljat ntefejs zmeđu čoveka mašne 11 Pozcon bojn sstem Notacja koja se zasnva na pozcj bojeva odavno se kost za psanje bojeva Kod pozconh bojnh sstema se bojev pedstavljaju vektoom od n cfaa, p čemu je svakoj cf pdužena težna saglasna njenoj pozcj u vektou Ovo nje slučaj kod takozvanh nepozconh bojh sstema, kakav je, na pme, msk bojn sstem, gde pozcja cfe nje u dektnoj vez sa njenom težnom Ilustacje ad, boj 4138 se ntepeta kao 4*1 + 1* *1 + 8*1-1 = 4138 Razlčt stepen boja 1 koj se koste kod ove pezentacje, a u saglasnost sa odgovaajućm težnama, ukazuju na petpostavku da je boj 4138 napsan kao decmaln boj, l boj napsan u bojnom sstemu sa bazom 1 Baza bojnog sstema poznata je kao osnova tog sstema Pme 1 Osnova (base l adx) bojnog sstema je boj smbola u sstemu Decmaln bojn sstem ma deset smbola, 1,,, 9, tj ma 1 cfaa Svaka cfa decmalnog sstema je 1 puta značajnja od pethodne pozcje Na pme, pozcja 1 pozcja 1 1 pozcja 1 pozcja 1 3 Uočmo da 3 na pozcj 1 3 ma azlčto značenje od 3 na pozcj 1 1 Vednost decmalnog boja odeđuje se množenjem svake cfe boja vednošću pozcje na kojoj se javlja cfa, a nakon toga vš se sabanje pozvoda Shodno tome, boj 343 se ntepeta kao 3*1 3 +4*1 +3*1 +*1 =343 U konketnom slučaju, kajnja desna cfa je cfa najmanje težne (LSD - least sgnfcant dgt), a kajnja leva cfa je cfa najveće težne (MSD - most sgnfcant dgt) Za decmaln azlomak N=6341 mamo N=6*1-1 +3*1 - +4*1-3 +1*1-4 Svak pozcon bojn sstem kaakteše se osnovom bojnog sstema (ona se označava sa N l B) Cfe bojnog sstema sa osnovom uzmaju vednost z skupa {, 1,, 1} Neka je nek boj A pedstavljen sledećm nzom od n cfaa:

2 1 RAČUNARSKI SISTEMI: Pncp dgtalnh sstema A = a n-1 a n- a 1 a, (1) gde je a {, 1,, 1}, n-1, tada se vednost boja A može odedt kao A = a n-1 n-1 + a n- n- + + a a, () odnosno A = a Osm za cele bojeve, ovo se može pment za azlomljene bojeve, tj = (3) n 1 = m A = a n-1 n-1 + a n- n- + + a a + a a a -m -m = (4) U ačunaskm sstemma se, osm decmalnog bojnog sstema, najčešće kost bnan bojn sstem ( = ), oktaln ( = 8) l heksadecmaln ( = 16) bojn sstem U pncpu, osnova bojnog sstema može bt blo koja; 7, 11, -3, l čak aconalan boj kakav je π l e Ipak, občno se za bojnu osnovu sstema uzma poztvna celobojna vednost Paksa je da se, kada se boj napše u sstemu sa bojnom osnovom azlčtom od 1, posebno naglas o kojoj se bojnoj osnov ad Standadno se to označava tako što se boj stavlja u zagade, a nakon desne zagade pdužuje se ndeks koj ukazuje na bazu, kao na pme (13) 4 = 1*4 3 + *4 + 3*4 1 + *4 što je ekvvalentno boju 18, l (36413) 7 = 3*7 + 6* *7 + * * *7-3 = ( ) 1 a Pevođenje bojeva z jednog bojnog sstema u dug U osnov, azlkujemo dva postupka pevođenja boja z bojnog sstema sa osnovom 1 u bojn sstem sa osnovom Jedan je kada se opeacje zvšavaju u bojnom sstemu sa osnovom (tj cljnom bojnom sstemu), a dug je kada se opeacje zvšavaju u bojnom sstemu sa osnovom 1 (polaznom bojnom sstemu) 1 Pevođenje bojeva kod koga se opeacje zvšavaju u bojnom sstemu sa osnovom Ovaj postupak se odvja sasvm jednostavno, pema već opsanom postupku (na pmeu konvezje boja (13) 4 u decmaln) za odeđvanje vednost boja na osnovu zadatog nza cfaa 1 = m X = x (5) Izačunavanje ovog zaza odvja se u bojnom sstemu sa osnovom Kako smo navkl da admo u dekadnom bojnom sstemu, jasno je da se ovaj postupak kost kada se boj z nekog dugog bojnog sstema pevod u dekadn bojn sstem Pevođenje bojeva kod koga se opeacje zvšavaju u bojnom sstemu sa osnovom 1 Ovde je stuacja komplkovanja, pa se na azlčte načne vš pevođenje celh azlomljenh bojeva Pevođenje celh bojeva Neka je ceo boj X u bojnom sstemu sa osnovom 1 pedstavljen na sledeć načn: n 1 n K 1 1 = ( X) = x x x x = x Neka se taj st boj u bojnom sstemu sa osnovom pedstavlja na sledeć načn: = p p 1 1 = = ( X) y y y y y (6) K (7) Ako poslednj zaz podelmo osnovom dobjamo sledeće: X y p 1 p 1 = y p + yp 1 + K + y + y 1 + (8) Pmetmo da su sv sabc sa leve stane zaza celobojn, osm poslednjeg koj je sguno azlomljen, je je svaka cfa bojnog sstema manja od osnove bojnog sstema Dugm ečma, cfa najmanje težne u

3 Bojn sstem pevođenje bojeva 11 pezentacj boja X u sstemu sa osnovom pojavljuje se kao ostatak p ovakvom deljenju Ostale cfe se dobjaju teatvnm ponavljanjem postupka nad celobojnm delom kolčnka Algotam se zavšava kada taj celobojn deo postane jednak nul Da b ukazal na ovaj postupak nešto detaljnje, analzaćemo sledeć pme Neka B 1 bude decmalan boj koj se konvetuje u boj A osnove, tj B 1 = A = (a n a n-1 a 1 a ) (9) l B 1 = a n n + a n-1 n a a (1) Sada, ako B 1 podelmo sa, dobćemo B1 a = ( a n + K+ a + a1) + Int B Fac B (11) 1 1 = ( ) + ( ) gde Int Fac ukazuju na celobojn azlomljen deo B 1 / Na osnovu jednačne (11) mamo da je 1 a Rem B = ( ) (1) gde Rem označava ostatak od B 1 / Ako se ovaj poces sada ponov počev sa Int(B 1 /), naedn ostatak bće a 1 a naedn celobojn deo bće a n n- + a n-1 n a Poces se podužava dok se ne geneše cfa a Analzajmo slučaj kada je potebno odedt boj u baz 3 ekvvalentan boju (78) 1 Poces konvezje je sledeć: kolčnk 3 78 ostatak 3 9 = a 3 3 = a = a = a = a 4 1 = a 5 Zaustav Pema tome, (78) 1 = (11) 3 Da b povel da l smo zvšl konvezju koektno, zvšmo ponovo konvezju boja (11) 3 u decmaln boj (11) 3 = 1*3 5 + * *3 3 + *3 + *3 1 + *3 = (78) 1 Pevođenje azlomljenh bojeva Neka je sada azlomljen boj X u stemu sa bojnom osnovom 1 pedstavljen na sledeć načn: dok je taj st boj u sstemu sa osnovom pedstavljen sa: m 1 1 m+ 1 m 1 = 1 ( X) = x x x x = x ( X) = x x x x = x K, (13) n 1 n 1 1 = K (14) Ako ovaj zaz pomnožmo osnovom bojnog sstema, tada dobjamo 1 q+ 1 X = y + y + y + K y (15) 1 Pv sabak je sguno celobojn deo pozvoda (to je cfa bojnog sstema) dok ostal sabc pedstavljaju azlomljen deo (cfe podeljene osnovom bojnog sstema) U stva, celobojn deo pozvoda pedstavlja pvu cfu posle tačke osnove Ako postupak nastavmo sa azlomljenm delom pozvoda dobćemo ostale cfe Kaj algotma je kada azlomljen deo pozvoda postane jednak nul Teba napomenut da se ovde ne dobja uvek apsolutna tačnost, je nek aconaln bojev plkom pevođenja postaju aconaln Genealno, s obzom da se kod ovog postupka pevođenja, kako celh tako azlomljenh bojeva, opeacje zvšavaju u bojnom sstemu sa osnovom 1 (tj u sstemu z koga se pevod), možemo eć da je pogodno da se ovaj postupak pmen kada se bojev pevode z dekadnog u nek dug bojn sstem 3 q

4 1 RAČUNARSKI SISTEMI: Pncp dgtalnh sstema Pme Bojev u opštem slučaju maju azlomljen deo celobojn deo Konvezja azlomljenog dela u ekvvalentnu pezentacju osnove zvod se na već pkazan načn, slčno konvezj celobojnog dela Neka B 1 pedstavlja azlomljen decmaln boj ekvvalentan azlomljenom boj A u sstemu sa bojnom osnovom, tj B 1 = A = (a -1 a - a -m ) = a a a -m -m (16) Množenjem jednačne (16) sa dobjamo B 1 = a -1 + (a a -m -m+1 ) (17) odakle vdmo da je celobojna vednost a -1 Ako se sada azlomljen deo (a a -m -m+1 ) pomnož sa, dobćemo a -, td To znač da se epettvnm množenjem sa dobjaju sukcesvne cfe azlomljenog boja B 1 u pezentacj osnove Izvšt konvezju (7) 1 = (?) 4 Odgovo: Poces konvezje se obavlja na sledeć načn celobojna vednost azlomljen deo 7*4 a -1 = 1 8*4 a - = 3*4 a -3 = 1 8*4 a -4 = 1 1 Pema tome (7) 1 = (111) 4, a spovedenom poveom ćemo dobt (111) 4 = 1*4-1 + * * *4-4 + = (695) 1 Na osnovu dobjenog ezultata vdmo da se pocesom konvezje geneše ekvvalent koj nje dentčan Ova čnjenca moa da se uzme u obz kada se začunavanje vš od stane ačunaa koj ne kost decmaln bojn sstem Pme 3 U opštem slučaju, konvezja decmalnh bojeva koj maju celobojn azlomljen deo se može zvest tako što se posebno vš konvejza svakog dela a zatm kombnuju ezultat Na pme, konvezja (1356) 1 = (?) 7 se vš na sledeć načn Pvo se vš konvezja celobojne vednost 7 13 Nakon toga se vš konvezja azlomljenog dela *7 3 9*7 6 44*7 3 8*7 Za ezultat dobjamo 56 (1356) 1 = (34346) 7

5 Bojn sstem pevođenje bojeva 13 p čemu '' ukazuje da ezultat nje tačan Pme 4 Na koj načn se najlakše vš konvezja zmeđu dva nedecmalna sstema? Odgovo: Konvezja zmeđu dva nedecmalna sstema se najlakše spovod ako se kao međukoak kost decmaln sstem Na pme, konvezja (13544) 6 = (?) 4 spovod se najpe konvezjom z baze 6 u bazu 1, a zatm konvezjom baze 1 u bazu 4, tj (13544) 6 = ( ) 1 = (111131) 4 3 Bojanje u sstemu osnove U toku pocesa konvezje koj smo pethodno opsal je nteesantno uočt da se numečke vednost koje cfe mogu da uzmaju nalaze u gancama od do -1 Šta vše, 1 = 1* 1 + * = 1 (18) Na osnovu ovh sagledavanja, možemo zaključt da bojanje u osnov geneše sekvencu, 1,,, (-1), 1, 11, 1,, 1(-1), Na slc 1 pkazana je bojačka sekvenca za azlčte osnove (najčešće košćene kod ačunaa) decmalna = =3 =8 = A B C D E F Sl 1 Bojanje kod azlčth sstema osnove (Napomena: bojna osnova =3 skoo da se ne kost kod ačunaa) Kada je >1 javlja se poblem kod pezentacje onh cfaa x koje se nalaze u opsegu 9 < x <, s obzom da ne postoje standadn smbol za ove bojeve Dogovono, za pezentacju ovh cfaa se koste velka slova Tako, na pme, za =16 (heksadecmal sstem) bojačka sekvenca će bt, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 1, 11,, gde je (A) 16 = (1) 1, (B) 16 = (11) 1, td 4 Bnane, oktalne heksadecmalne konvezje U samom ačunau se začunavanja občno zvode u bnanom sstemu (sstem osnove ) Razlog je jednostavan Dgtalna kola koja zvode opeacje nad bojevma koste dva stanja Ova kola mogu adt sa vše od dva stanja, al je tada njhov ad nepouzdan što je nephvatljvo sa aspekta ada sstema U pncpu, konvezja z bnanog u decmaln bojn sstem, obatno, zvod se lakše u odnosu na konvezju zmeđu decmalnog sstema sstema sa osnovom većom od dva

6 14 RAČUNARSKI SISTEMI: Pncp dgtalnh sstema Osnova bnanog bojnog sstema je dva Za = potebne su samo dve cfe, a one su 1 Bnana cfa, l 1, zove se bt Pozcja svakog bta odgovaa nekom stepenu boja (kod decmalnog je to bo stepen boja 1) Ljudma je svojstvena manpulacja sa decmalnm bojevma, pa zbog toga dgtaln sstem teba da obezbede konvezju zmeđu decmalnh bnanh bojeva Decmalna vednost bnanog boja foma se množenjem svakog stepena dvojke sa l 1, sabanjem svh vednost Na pme, decmaln ekvvalent bnanog boja 111 je N = 111 = 1* 5 +* 4 +1* 3 +* +1* 1 +* = = 4 Ovaj načn konvezje je pogodan za čoveka, al ne za mašnsku mplementacju, je zahteva elatvno složenu (sa aspekta ugađenog hadvea l vemena začunavanja) opeacju stepenovanja da b se začunao svak stepen dvojke Stepenovanje se može zbeć košćenjem všestukog množenja sa dva To znač N = b = = ( b ) + b = 1 = (( b + b ) + b = Košćenjem pethodne elacje mamo da je 1 = ( K(( bn 1 + bn ) K) + b1) + b 111 = *(*(*(*(*1+)+1)+)+1)+ = *(*(*(*+1)+)+1)+ = *(*(*5+)+1)+ = *(*1+1)+ = *1+ = 4 (19) Konvezja se svod na sekvencu od n-1 množenja sa dva n-1 sabanja (gde je n boj cfaa bnanog boja) Poces konvezje se može zazt sledećom polufomalnom poceduom l algotmom koj je poznat pod menom BINDEC (BINay to DECmal ntege) 1 Neka je N = b n-1 b n- b bnana celobojna vednost koju teba konvetovat u decmaln oblk N 1 Postav N 1 na ncjalnu vednost Analzaj N sa desne stane ulevo; za svak bt b začunaj * N 1 + b a zatm dodel ovu vednost pomenljvoj N 1 Konačna vednost N 1 koja se dobje nakon n koaka pedstavlja željen ezultat Kosteć BINDEC poces konvezje 8-cfene bnane celobojne vednost u decmaln oblk sastoj se u sledećem: Najpe ćemo zazt N kao N = = b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b b 1 b Saglasno algotmu, najpe postavljamo N 1 na nulu Poces konvezje koj sled nakon ncjalzacje čn sledećh osam koaka = 7 N 1 = * + b 7 = = 6 N 1 = * + b 6 = 1 = 5 N 1 = *1 + b 5 = 3 = 4 N 1 = *3 + b 4 = 6 = 3 N 1 = *6 + b 3 = 1 = N 1 = *1 + b = 5 = 1 N 1 = *5 + b 1 = 5 = N 1 = *5 + b = 11 Zaključujemo da je N 1 = 11 1 Konvezja decmalnog boja u bnan se zvod na sledeć načn Decmaln boj se azlaže na dva dela - jedan deo odgovaa maksmalnoj potencj boja koja nje veća od datog boja a dug deo ostatku Nakon toga se, ponovo, ostatak azlaže na dva dela: na maksmalnu potencju boja dva koja nje veća od boja na ostatak Poces se ponavlja sve dok se ne dobje ostatak koj je jednak nul Bnaana vednost se dobja zapsvanjem 1 na bt pozcjama čje težne odgovaaju potencjama dvojke dobjenm tokom konvezje Pmea ad analzajmo konvezju decmalnog boja 46 u bnan

7 Bojn sstem pevođenje bojeva = = = = Pema tome, 46 1 = Altenatvn metod konvezje decmalnog boja u bnan zasnva se na sukcesvnom deljenju decmalnog boja bojnom osnovom Ostac deljenja, napsan u obnutom edosledu daju bnan ekvvalent decmalnog boja Poces konvezje boja u bnan je sledeć: 353 : = 176, ostatak : = 88, ostatak 88 : = 44, ostatak 44 : =, ostatak : = 11, ostatak 11 : = 5, ostatak 1 5 : =, ostatak 1 : = 1, ostatak 1 : =, ostatak 1 Shodno pethodnom, =1111 Konvezja azlomljenog boja se vš na slčan načn Pmea ad, posmatajmo konvezju bnanog boja 1111 u decmaln N = 1111 = 1* -1 +* - +1* -3 +* -4 +1* -5 +1* -6 gde su a -1 =1, a - =, a -3 =1, a -4 =, a -5 =1 a -6 =1 Pema tome, N = 1111 = 1/ + 1/8 + 1/3 + 1/64 = Decmaln azlomljen boj se može konvetovat u bnan, sukcesvnm množenjem sa Ceo deo svakog pozvoda, l 1, se pamt na taj načn se foma azlomljen boj Pmea ad, bnan ekvvalent decmalnog azlomka 315 se dobja sukcesvnm množenjem azlomka sa dva, na sledeć načn 315 a -1 = 65 a - = 815 a -3 =1 65 a -4 =1 5 a -5 = 5 a -6 =1 Bnan ekvvalent boja je 111 Ukažmo da decmalnom boju sa konačnm bojem cfaa za decmalne tačke može da odgovaa bnan boj sa beskonačno mnogo bnanh cfaa u azlomljenom boju U takvm slučajevma množenje sa dva se podužava sve dok se decmaln boj ne potoš l se ne postgne željena tačnost Utcaj na tačnost ma tenutak zaustavljanja pocesa konvezje Na pme, ako stanemo nakon

8 16 RAČUNARSKI SISTEMI: Pncp dgtalnh sstema četvtog koaka, tada usvajamo da je 11 apoksmatvno jednak 315, dok je ustva taj boj jednak 1875, a geška znos oko 77% U pncpu, ad sa bnanm bojevma je zasta zametan, zbog toga što se, čak za pezentacju malh decmalnh vednost, zahteva velk boj btova Iz ovog azloga se za pezentacju bnanh bojeva češće koste oktaln heksadecmaln bojev Da b ukazal na odnos zmeđu bnanh, oktalnh heksadecmalnh bojeva azmotćemo sledeć bnan boj = 1* 8 + 1* 7 + * 6 + 1* 5 + * 4 + 1* 3 + * + 1* 1 + 1* = (1* + 1* 1 + * )* 6 + (1* + * 1 + 1* )* 3 + (* + 1* 1 + 1* )* = 6*( 3 ) + 5*( 3 ) 1 + 3*( 3 ) = 6*8 + 5* *8 = (653) 8 Ovm pmeom je na jedan ekstemn načn pkazan postupak konvezje boja z bnanog u oktaln sstem Ipak, konvezja se zvod jednostavnjm postupkom Vš se gupsanje btova u gupe od po t bta svakoj gup se dodeljuje decmalna vednost Tako, na pme, ( ) = (6 5 3) 8 Analognm postupkom se vš konvezja bnanog boja u heksadecmaln Postupak se spovod na taj načn što se btov gupšu po čet, kao na pme ( ) = (9 E 3 8) 16 Ako je neophodno všt konvezju boja z heksadecmalne u oktalnu bojnu pezentacju, l obatno, lakše je kostt bnanu decmalnu pezentacju kao međukoak Tako, na pme (1A8E) 16 = (?) 8 = ( ) = ( ) =( ) 8 Kao što se može uočt, ezultat se ne dobja kao posledca obavljanja neke opeacje, već pepsvanjem heksadecmalnog boja u bnan, a zatm pegupsanjem btova sa cljem da se foma oktaln ezultat 5 Poblem 1 Koj decmaln ekvvalent odgovaa najvećem bnanom boju koj se može zazt sa: a) 8 btova; b) 16 btova; c) 3 bta Izvšt konvezju sledećh bnanh bojeva u decmalne: a) 1111; b) ; c) Izvšt konvezju sledećh bnanh bojeva u bnane: a) 1946; b) 5; c) 138; d) Izvš konvezju sledećh bojeva: a) (7647) 8 u heksadecmaln; b) (F6DC) 16 u oktaln; c) (1475) 8 u sstem sa osnovom 4 5 Izvšt konvezju sledećh bojeva z naznačene baze u decmalne: a) (11) 3, b) (431) 5, c) (A98) 1 6 Izvšt konvezju zadath bojeva z date baze u ostale t baze shodno sledećoj tabel decmaln bnan oktaln heksadecmaln ???? ???? 365???? F3C7A