Παρατηρούµε ότι το µόριο του νερού και στις τρείς φάσεις παραµένει αναλλοίωτο.
|
|
- Χλόη Νικολαΐδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΤΙ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ; ΓΙΑΤΙ ΜΕΤΡΑΜΕ; Την Φύση (δηλ. το σύνολο του υλικού κόσµου µέσα στον οποίο ζούµε και µέρος του οποίου αποτελούµε κι εµείς), την αντιλαµβανόµαστε µέσω µεταβολών που συµβαίνουν µέσα της. Η αντίληψη αυτή, φυσικά γίνεται µέσω των πέντε αισθήσεών µας (ακοή, όραση, αφή, γεύση και όσφρηση), όπως όλοι γνωρίζουµε. Οι µεταβολές αυτές ονοµάζονται φαινόµενα (η ετυµολογία της λέξεως φαινόµενο προέρχεται απο την έκφραση: ό,τι φαίνεται ), και για την καλύτερη και συστηµατικότερη µελέτη τους τα χωρίσαµε γενικά στις εξής τέσσερις κατηγορίες: Φυσικά φαινόµενα Χηµικά φαινόµενα Βιολογικά φαινόµενα και Πυρηνικά φαινόµενα Φυσικά φαινόµενα: Ονοµάζονται τα φαινόµενα κατά την διάρκεια των οποίων δεν αλλάζει η σύσταση των σωµάτων που συµµετέχουν. Πχ η µετατροπή του πάγου σε ατµό Παρατηρούµε ότι το µόριο του νερού και στις τρείς φάσεις παραµένει αναλλοίωτο. Χηµικά φαινόµενα: Ονοµάζονται τα φαινόµενα κατά την διάρκεια των οποίων αλλάζει η σύσταση των σωµάτων που συµµετέχουν. Πχ η πλήρης καύση του άνθρακα Παρατηρούµε ότι κατά την διάρκεια µιάς χηµικής αντίδρασης αλλάζει η σύσταση των µορίων των συµµετεχόντων ουσιών. Βιολογικά φαινόµενα: Ονοµάζονται τα φαινόµενα που παρατηρούνται στους έµβιους οργανισµούς, και είναι συνδιασµός χηµικών και φυσικών φαινοµένων, άρα όχι νέα φαινόµενα! Τι είναι η ζωή δεν το γνωρίζουµε ακόµη, αλλά εµπειρικά µπορούµε να πούµε ότι µια οντότητα ζει αν ακολουθεί τους εξής πρακτικούς κανόνες συµπεριφοράς: να γεννιέται, να αναπτύσσεται, να τρέφεται, να πολλαπλασιάζεται και να πεθαίνει. Πυρηνικά φαινόµενα: Ονοµάζονται τα φαινόµενα κατά την διάρκεια των οποίων αλλάζει ριζικά η φύση των σωµάτων µέσω αλλαγών που λαµβάνουν χώρα στους πυρήνες των ατόµων των σωµάτων. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται µεταστοιχείωση των ατόµων. Πχ η µετατροπή του υδρογόνου ( 1 H ) σε ήλιο ( 4 1 2He ) µέσω πυρηνικής σύντηξης, είναι η βασικότερη αντίδραση η οποία συµβαίνει σε τέτοια φαινόµενα, όπως στα αστέρια του ουρανού. 1
2 Για να περιγράψουµε τα φαινόµενα (εδώ θα περιοριστούµε στα φυσικά φαινόµενα, αλλά ό,τι πούµε γι αυτά ισχύει και για τα υπόλοιπα), χρησιµοποιούµε διάφορες έννοιες όπως απόσταση, δύναµη, ένταση ηλεκτρικού ρεύµατος κτλ. Πχ το φαινόµενο της κίνησης των νεφών στον ουρανό, το περιγράφουµε µε φράσεις όπως: τα σύννεφα κινούνται γρήγορα ή αργά εννοώντας την ταχύτητά τους, ή τα σύννεφα βρίσκονται πολύ ψηλά σε σχέση µε το έδαφος εννοώντας την απόσταση (ή ύψος). Επίσης, οι εκφράσεις γρήγορα ή αργά και πολύ ψηλά στα προηγούµενα παραδείγµατα δηµιουργούν διαφορετικές εντυπώσεις έντασης του φαινοµένου σε κάθε ακροατή/τρια των ανωτέρω εκφράσεων. Μπορούµε να αναφέρουµε πάρα πολλά παραδείγµατα φαινοµένων αν κοιτάξουµε τον κόσµο γύρω µας (ένα άλλο παράδειγµα µπορεί να είναι η κατάταξη των αθλητών σε µια κούρσα των 100 m) και να διαπιστώσουµε ότι υπάρχει επιτακτική ανάγκη να εφεύρουµε έναν τρόπο ακριβούς περιγραφής και σύγκρισης των φαινοµένων, ώστε να αποφεύγουµε τις παρανοήσεις! Αυτός ο τρόπος είναι ένας και µοναδικός και ονοµάζεται µέτρηση των µεγεθών. Πώς όµως γίνεται η µέτρηση ένός µεγέθους; Απο τις µέχρι στιγµής γνώσεις µας µπορούµε να πούµε ότι µία µέτρηση περιλαµβάνει δύο θεµελιώδη στάδια ενεργειών τα οποία είναι τα εξής: 1. Η εκλογή της µονάδας µετρήσεως η οποία πρέπει να είναι οµοειδής µε το µέγεθος που µετράµε. Πχ αν µετράµε µήκος, η µονάδα πρέπει να είναι µήκος, αν µετράµε ταχύτητα, η µονάδα πρέπει να είναι ταχύτητα, ενώ αν µετράµε δέµατα η µονάδα πρέπει να είναι το ένα δέµα κτλ. 2. Κάνουµε σύγκριση το µέγεθος το οποίο µετράµε µε την µονάδα µετρήσεως. Απο την σύγκριση αυτή προκύπτει ένας καθαρός αριθµός (µε την εννοια ότι δεν έχει διαστάσεις). Το µέγεθος (ή ποσό) που αποτελείται απο ανεξάρτητα µέρη, τα οποία λαµβάνονται όλα ως ίδια και το ένα απο αυτά λαµβάνεται ως µονάδα µετρήσεώς του λέγται διακριτό µέγεθος (ή ποσό). Πχ ο αριθµός των δένδρων σ ένα δάσος, ή ο αριθµός των σπιτιών ενός χωριού, κλπ. Το µέγεθος (ή ποσό) το οποίο δεν αποτελείται απο ανεξάρτητα µέρη και έχει ως µονάδα µετρήσεως ένα αυθαίρετα επιλεγµένο τµήµα του, λέγεται συνεχές µέγεθος (ή ποσό). Πχ το εµβαδό µιας επιφάνειας, το βάρος ενός φορτίου, ο χρόνος υλοποίησης ενός έργου, κτλ. Για να γίνουµε πιό συγκεκριµένοι, όταν λέµε σύγκριση του προς µέτρηση µεγέθους µε την µονάδα µετρήσεως, εννοούµε την διαίρεση µετρήσεως (υπάρχει και η διαίρεση µερισµού) µεταξύ µεγέθους και µονάδας µετρήσεως! Έτσι, αν επιθυµούµε να µετρήσουµε τα βιβλία µιάς βιβλιοθήκης, διαιρούµε τα βιβλία µε το ένα βιβλίο το οποίο έχουµε διαλέξει ως µονάδα µετρήσεως. Παρατήρηση: Όταν πρόκειται για µέτρηση διακριτού µεγέθους, όπως πχ είναι τα βιβλία µιάς βιβλιοθήκης, τότε είναι σωστό να λέµε ότι κάνουµε απαρίθµηση του συνόλου των βιβλίων παρά διαίρεση µετρήσεως! Αν όµως το µέγεθος που µετράµε είναι συνεχές, όπως πχ το µήκος ΑΒ µιάς ράβδου, τότε εδώ πρέπει να λέµε ότι κάνουµε διαίρεση µετρήσεως του µήκους ΑΒ µε ένα (αυθαίρετα) επιλεµένο µήκος α ο το οποίο είναι η µονάδα µετρήσεως. 2
3 Αν υποθέσουµε ότι το µήκος α ο χωράει 8,72 φορές στο µήκος ΑΒ, τότε µπορούµε να γράψουµε: AB 8,72 α =, ή ισοδύναµα: AB= (8, 72) α0 (1) 0 Η σχέση (1) µας λέει ότι το µήκος ΑΒ είναι ίσο µε την αριθµητική τιµή (8,72) φορές την µονάδα µετρήσεως α ο, µε αποτέλεσµα το µήκος ΑΒ να θεωρείται µετρηµένο, και να µην υπάρχει σύγχυση απο οποιονδήποτε στο αν είναι µεγάλο ή µικρό µήκος! Η µέθοδος γραφής της σχέσης (1) µπορεί να γενικευθεί για οποιοδήποτε φυσικό µέγεθος, αρκεί να επιλεγεί η κατάλληλη µονάδα µετρήσεως, ως εξής: Φυσικό µέγεθος = (αριθµητική τιµή) (µονάδα µετρήσεως) Πχ Θερµοκρασία θ = 15,7 Ροπή τ = 0,45 N m Ηλεκτρική τάση V = 9 V Παροχή νερού Q = 59 m 3 /s κτλ. Για να εκφραζόµαστε σωστά, πρέπει να γράφουµε απαραιτήτως δίπλα στην αριθµητική τιµή ενός µεγέθους και την µονάδα µετρήσεώς του. Αυτή είναι και µια κοινή παράληψη που κάνουν αρκετοί φοιτητές/τριες στα γραπτά τους, και πολλές φορές στις εργασίες τους. Έτσι, µε τον τρόπο αυτό, πραγµατοποιούµε τις µετρήσεις των διαφόρων φυσικών µεγεθών. Όµως τα µεγέθη αυτά αυξήθηκαν υπερβολικά σε πλήθος µετά απο τις µελέτες των νέων φαινοµένων, τα οποία έρχονταν στο προσκήνιο της έρευνας, τα τελευταία 250 περίπου χρόνια έντονων επιστηµονικών ανακαλύψεων και τεχνολογικών εφευρέσεων! Έτσι, πλέον έπαψε να είναι διαχειρίσιµος ο αριθµός τους απο την άποψη των ονοµάτων και των συµβολισµών, και τέθηκε το ερώτηµα: πώς θα λύσουµε αυτό το πρόβληµα; Η λύση που δόθηκε ήταν ανάλογη µε αυτό της λύσης στο πρόβληµα της αριθµήσεως στα µαθηµατικά, το οποίο εκφράζονταν ως εξής: Επειδή οι αριθµοί είναι άπειροι στο πλήθος, θα πρέπει να έχουµε άπειρα ονόµατα και συµβολισµούς για τον κάθε ένα; Η λύση δόθηκε απο φωτισµένους ανθρώπους οι οποίοι έζησαν στην αρχαιότητα, και εισήγαγαν τα συστήµατα αριθµήσεως. Όπως όλοι γνωρίζουµε σήµερα χρησιµοποιούµε το δεκαδικό σύστηµα αριθµήσεως, αλλά υπάρχουν και άλλα, όπως το δυαδικό, το οκταδικό, το δεξαεκαδικό κτλ. Μπορεί δε κάποιος/α να κατασκευάσει και το προσωπικό του/της σύστηµα αριθµήσεως! Εµείς ας ασχοληθούµε µε το γνωστό µας δεκαδικό σύστηµα και να δούµε πως έδωσε απάντηση στο ανωτέρω ερώτηµα. Ό,τι όµως αναφέρουµε εδώ ισχύει και για τα υπόλοιπα συστήµατα! 3 ο C
4 Το δεκαδικό σύστηµα: 1. υιοθετεί δέκα σύµβολα, τα οποία είναι τα: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, και 2. υιοθετεί κανόνες γραφής για κάθε αριθµό. ηλαδή, ανάλογα µε την θέση του κάθε ψηφίου σ έναν αριθµό έχουµε τα ψηφία των µονάδων, των δεκάδων, των εκατοντάδων, των χιλιάδων, των δεκάδων χιλιάδων κοκ. Ας δώσουµε ένα παράδειγµα: 3 δέκα µονάδες µιάς τάξεως αποτελούν µία µονάδα ανώτερης τάξεως. Πχ. έκα µονάδες αποτελούν µια ανώτερη τάξη, την τάξη των δεκάδων, δέκα δεκάδες αποτελούν µία ανώτερη τάξη την τάξη των εκατοντάδων κοκ. Κατά συνέπεια µε τον τρόπο αυτό µπορούµε να γράψουµε και να ονοµάσουµε έναν οποιονδήποτε αριθµό όσο µεγάλος ή µικρός κι αν είναι! Κάτι ανάλογο κάναµε και µε τα φυσικά µεγέθη! Υιοθετήσαµε µερικά µεγέθη ως θεµελιώδη µεγέθη και τις αντίστοιχες µονάδες τους ως θεµελιώδεις µονάδες. Έτσι, προέκυψαν τα συστήµατα µονάδων. Για την ιστορία, αναφέρουµε ότι πριν απο την δεκαετία του 1970 χρησιµοποιούνταν τρία συστήµατα: Το σύστηµα CGS Το σύστηµα MKS Το ΤΣ (Τεχνικό Σύστηµα) µε τα εξής χαρακτηριστικά: ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ΘΕΜΕΛΙΩ Η ΜΕΓΕΘΗ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Εκατοστό (cm) CGS Μάζα Γραµµάριο µάζας (gr) Μέτρο (m) MKS Μάζα Χιλιόγραµµο (kg) Μέτρο (m) ΤΣ ύναµη Χιλιόγραµµο βάρους (kgr * ) Τα υπόλοιπα µεγέθη και οι αντίστοιχες µονάδες τους καθορίζονται βάσει των µεγεθών του ανωτέρω πίνακα και των τύπων ορισµού τους, όπως θα εξηγήσουµε παρακάτω. 4
5 Λίγο πρίν την δεκαετία του 1970, το σύστηµα MKS επεκτάθηκε, συµπεριλαµβάνοντας ως θεµελιώδες µέγεθος και την ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος, µε µονάδα το 1 Α, και έτσι σχηµατίστηκε το σύστηµα MKSA. Η επέκταση αυτή κρίθηκε αναγκαία επειδή η ηλεκτρική τεχνολογία αναπτύσσονταν µε γρήγορους ρυθµούς και είχε µεγάλη απήχηση στην τεχνολογία και την καθηµερινή ζωή! Στις Αγγλοσαξωνικές χώρες χρησιµοποιούσαν το λεγόµενο Αγγλοσαξωνικό σύστηµα µονάδων (the British system) µε τα εξής χαρακτηριστικά: ΠΙΝΑΚΑΣ 2 ΘΕΜΕΛΙΩ Η ΜΕΓΕΘΗ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Πόδι (foot) ύναµη Πάουντ (pound) Το 1971 το 14ο συνέδριο Μέτρων και Σταθµών θέσπισε το λεγόµενο σήµερα ιεθνές Σύστηµα µονάδων (S.I.) (προερχόµενο απο την Γαλλική έκφραση: Le Système International d Unités), το οποίο αποτελεί επέκταση του συστήµατος MKSA. Το σύστηµα αυτό χρησιµοποιείται παγκοσµίως απο την επιστηµονική κοινότητα, αν και ακόµη µερικές χώρες (κυρίως οι Αγγλοσαξωνικές) χρησιµοποιούν τα παλαιά συστήµατα για την καθηµερινή δραστηριότητα! Το σύστηµα SI περιέχει επτά θεµελιώδη µεγέθη και επτά θεµελιώδεις µονάδες, όπως φαίνεται απο τον κατωτέρω πίνακα 3: ΠΙΝΑΚΑΣ 3 ΘΕΜΕΛΙΩ Η ΜΕΓΕΘΗ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΜΟΝΑ ΕΣ Μέτρο (m) Μάζα Χιλιόγραµµο (kg) ευτερόλεπτο (s) Ένταση ηλεκτρικού ρεύµατος Αµπέρ (A) Θερµοκρασία Κέλβιν (K) Ένταση φωτεινής πηγής Καντέλα (cd) Ποσότητα ύλης Μόουλ (mol) ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ ΜΟΝΑ ΕΣ Επίπεδη γωνία Ακτίνιο (rad) Χωρική γωνία Στερακτίνιο (sr) Έχοντας ως βάση τα θεµελιώδη µεγέθη και θεµελιώδεις µονάδες του συστήµατος SI, µπορούµε (όπως και στους αριθµούς) να ορίσουµε οποιοδήποτε άλλο µέγεθος και την αντίστοιχη µονάδα του. Αυτά τα µεγέθη ονοµάζονται παράγωγα µεγέθη και οι µονάδες τους παράγωγες µονάδες. Ο ορισµός των µεγεθών αυτών γίνεται απο τον τύπο ορισµού του µεγέθους. Για παράδειγµα ας προσπαθήσουµε να ορίσουµε την ισχύ ( P ) καθώς και την αντίστοιχη µονάδα της. Εκ της θεωρίας είναι γνωστό ότι η ισχύς είναι ο ρυθµός παραγωγής ή κατανάλωσης έργου ( dw / dt ) απο µια δύναµη η οποία ενεργεί σε ένα σώµα. ηλαδή: 5
6 dw W P= ή απλά P= όταν η παραγωγή έργου είναι dt t σταθερή µε τον χρόνο. Το έργο (µε µονάδα το 1J ) ορίζεται ως η δύναµη ( F ) που ενεργεί σε ένα σώµα επί την µετατόπισή του ( x ). ηλαδή: W= F x. Η δύναµη (µε µονάδα το 1N ), µε την σειρά της, ορίζεται ως το γινόµενο της µάζας του σώµατος που κινείται και παράγει (ή καταναλίσκει) έργο επί την επιτάχυνσή του ( a ). ηλαδή: F= m a. Η επιτάχυνση του 2 κινουµένου σώµατος (µε µονάδα 1 m / s ) ορίζεται ως ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ( dυ / dt ) και η ταχύτητά του (µε µονάδα 1 m / s ) ως ο ρυθµός µεταβολής της µετατόπισης ( dx / dt ). Τα µεγέθη: έργο, δύναµη, επιτάχυνση και ταχύτητα είναι παράγωγα µεγέθη και οι αντίστοιχες µονάδες τους, παράγωγες µονάδες. Επειδή στο σύστηµα SI η µονάδα ισχύος είναι το 1W, m kg m J N m µπορούµε να γράψουµε διαδοχικά: W s = = = = kg m s ή s s s 1 W= 1 kg m s 2 3 Έτσι, βλέπουµε την σχέση των παράγωγων µονάδων µε τις θεµελιώδεις, όπως και στην αναγραφή των αριθµών βλέπουµε την σχέση του αριθµού µε τα βασικά σύµβολα του συστήµατος. Μερικά παραδείγµατα τέτοιων µεγεθών φαίνονται στον πίνακα 4: 6
Μετρήσεις. Η διαδικασία να μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε εκείνο για το οποίο μιλάμε και να το εκφράσουμε με αριθμούς ονομάζεται μέτρηση.
Μετρήσεις Η διαδικασία να μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε εκείνο για το οποίο μιλάμε και να το εκφράσουμε με αριθμούς ονομάζεται μέτρηση. 1 Οι ποσότητες που μετράμε ονομάζονται Φυσικές Ποσότητες και είναι
Διαβάστε περισσότεραΜέγεθος είναι κάθε ποσότητα που μπορεί να μετρηθεί.
Μέγεθος είναι κάθε ποσότητα που μπορεί να μετρηθεί. μέγεθος οι διαστάσεις, η ποσότητα, η ένταση, το ποσό, η ποιότητα, κάποιου πράγματος (σώματος) Φυσικά μεγέθη λέγονται τα μεγέθη που χρησιμοποιούμε για
Διαβάστε περισσότεραΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ (S.I.)
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ (S.I.) Το 1960 καθορίστηκε μετά από διεθνή συμφωνία το Διεθνές Σύστημα Μονάδων S.I. (από τα αρχικά των γαλλικών λέξεων Système International d Unités). Το σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΈλεγξε τις γνώσεις σου
Έλεγξε τις γνώσεις σου ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. (α) Να μετατρέψεις το χρόνο των 45 min που σου δόθηκε για να απαντήσεις σε αυτό το διαγώνισμα σε s. (β) Να αναφέρεις όλα τα θεμελιώδη μεγέθη του S.I. και τις
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 3: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΤΙ ΕΝΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ; Μάθημα
Διαβάστε περισσότερα1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1
1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ
ΕΝΟΤΗΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Συστήµατα µονάδων Για το σχηµατισµό ενός συστήµατος µονάδων είναι απαραίτητη η εκλογή ορισµένων µεγεθών που ονοµάζονται θεµελιώδη. Στις επιστήµες χρησιµοποιείται αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Σημειώσεων : Ελένη Κασούτσα ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ
ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Σημειώσεων : Ελένη Κασούτσα ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ Περιεχόμενα Μαθηματικό Βοήθημα... 3 Μονόμετρα και Διανυσματικά Μεγέθη... 7 Το Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.)...
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις
Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι
Διαβάστε περισσότεραkg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)
ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό
Διαβάστε περισσότεραΜεγέθη και Μονάδες. Ειδικά Θέµατα Φυσικής
Μεγέθη και Μονάδες Ειδικά Θέµατα Φυσικής 1 Γενικές Πληροφορίες Βιβλίο: Ειδικά Θέµατα Φυσικής, Ι.Ε. Φραγκιαδάκης, Εκδόσεις ΖΗΤΗ Ώρες Μαθήµατος: Πέµπτη 17:00 19:00 / Αίθουσα Γ (Ισόγειο Κτηρίου Γεωπονίας)
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1
Εκπαιδευτικός Οργανισµός Ν. Ξυδάς 1 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1: ΟΓΚΟΣ Εισαγωγή Παρατήρησε τις δύο εικόνες. Σε τι διαφέρουν; Παρατηρείς ότι το δεύτερο αυτοκίνητο έχει περισσότερο χώρο για τις αποσκευές. Μια χαρακτηριστική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα)
ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΕΙ / Λ, ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΙΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η Μηχανική, εκτός απο θεωρητικός, είναι και εφηρµοσµένος κλάδος της Φυσικής. Αποτελεί την ραχοκοκαλιά της σύγχρονης Μηχανολογίας και διαιρείται
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα
Διαβάστε περισσότεραΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος
Περιεχόμενα ΦΕ1 ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ 2015-16 6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ Τα φυσικά μεγέθη Η Μέτρηση των φυσικών μεγεθών Μια μονάδα μέτρησης για όλους Το φυσικό μέγεθος Μήκος Όργανα μέτρησης
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µέτρηση αναφέρεται στη λήψη µιας πληροφορίας σχετικά µε την τιµή ενός φυσικού µεγέθους. Οι µετρήσεις αποτέλεσαν τη βάση για την ανάπτυξη του τεχνολογικού
Διαβάστε περισσότεραΒ. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ
Α. Μια σύντοµη περιγραφή της εργασίας που εκπονήσατε στο πλαίσιο του µαθήµατος της Αστρονοµίας. Β. ΘΕΜΑΤΑ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ Για να απαντήσεις στις ερωτήσεις που ακολουθούν αρκεί να επιλέξεις την ή τις σωστές
Διαβάστε περισσότεραΑ. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής
Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 : Θεμελιώδη και παράγωγα φυσικά μεγέθη
Κεφάλαιο 1 : Θεμελιώδη και παράγωγα φυσικά μεγέθη 1.1 Φυσικές επιστήμες Με τον όρο επιστήμη εννοούμε την απόκτηση και ταξινόμηση της γνώσης γύρω από κάθε τι που μας περιβάλει. Μια ομάδα σχετικών επιστημών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα
Διαβάστε περισσότεραΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 3
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 3 12 Σεπτεµβρίου, 2005 Ηλίας Κυριακίδης Λέκτορας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 2005Ηλίας Κυριακίδης,
Διαβάστε περισσότεραΣχετικά µε τα ατοµικά σωµατίδια πρέπει να γνωρίζουµε ότι: και αρνητικού φορτίου q e. που εκπέµπονται από τους ατοµικούς πυρήνες λέγονται σωµατίδια β.
Ηλεκτρόνιο - σωµατίδιο β Πρωτόνιο m p 840 m e Νετρόνιο m p m n Ποζιτρόνιο Σχετικά µε τα ατοµικά σωµατίδια πρέπει να γνωρίζουµε ότι: Το ηλεκτρόνιο είναι σωµατίδιο µάζας m e και αρνητικού ορτίου q e =-,6
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ- ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ταχύτητα συνήθως δεν παραµένει σταθερή Ας υποθέσουµε ότι ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραµµο δρόµο µε ταχύτητα k 36. Ο δρόµος είναι ανοιχτός και ο οδηγός αποφασίζει
Διαβάστε περισσότεραΓραµµοµοριακός όγκος. Ο Νόµος του Avogadro
ΤΟ MOL ΣΤΑ ΑΕΡΙΑ Γραµµοµοριακός όγκος Ο Νόµος του Avogadro Ελένη ανίλη, Χηµικός, Msc., Ph.D 2 Η ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΟΥ MOL ΣΤΑ ΑΕΡΙΑ Όπως ήδη ξέρεις τα αέρια είναι πολύ ελαφρά. Είναι δύσκολο να τα ζυγίσουµε όµως
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται
Διαβάστε περισσότερα1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία
1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν
Διαβάστε περισσότεραΦυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Φυσικά μεγέθη Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα Β. τα διανυσματικά Μονόμετρα ονομάζουμε τα μεγέθη εκείνα τα οποία για να τα γνωρίζουμε χρειάζεται να ξέρουμε
Διαβάστε περισσότεραΌσο χρονικό διάστηµα είχε τον µαγνήτη ακίνητο απέναντι από το πηνίο δεν παρατήρησε τίποτα.
1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ (Ε επ ). 5-2 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ Γνωρίζουµε ότι το ηλεκτρικό ρεύµα συνεπάγεται τη δηµιουργία µαγνητικού πεδίου. Όταν ένας αγωγός διαρρέεται από ρεύµα, τότε δηµιουργεί γύρω του
Διαβάστε περισσότερα1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ
1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ως γνωστόν, οι χηµικές ενώσεις προκύπτουν από την ένωση δύο ή περισσοτέρων στοιχείων, οπότε και έχουµε σηµαντική µεταβολή του ενεργειακού περιεχοµένου του συστήµατος.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική;
ράφει το σχολικό βιβλίο: Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική; Μια πρώτη ένσταση θα µπορούσε να διατυπωθεί, για την απουσία της δυναµικής ενέργειας από τον παραπάνω ορισµό. ιατί να µην
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονική µέθοδος. Πείραµα, Γαλιλαίου. Εφαρµογή: επιστηµονικής µεθόδου. Βήµα 2: Υπόθεση
Επιστηµονική µέθοδος Η Φυσική για να µελετήσει ένα φαινόµενο εφαρµόζει την λεγόµενη επιστηµονική µέθοδο. Η επιστηµονική µέθοδος αποτελείται από τα εξής βήµατα: Βήµα 1: Παρατήρηση Χρησιµοποιώντας τις αισθήσεις
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ Διαλ.12. Παράδειγμα Τάσεων
ΦΥΣ 111 - Διαλ.1 1 Παράδειγμα Τάσεων Το παιδί της διπλανής εικόνας θέλει να φθάσει ένα µήλο στο δέντρο χωρίς να σκαρφαλώσει. Χρησιµοποιεί ένα σχοινί αµελητέας µάζας και µια αβαρή τροχαλία. Τραβάει το σχοινί
Διαβάστε περισσότεραΣΚΕΦΤΕΙΤΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ:
Πω πω δύσκολη η Φυσική!!!! Μπορεί κάποιος να µου τα κάνει λιανά µήπως και καταλάβω κάτι;;;; ΝΑ ΠΡΟΣΠΑΘΗΣΟΥΜΕ;;;;;; ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΝΤΑΣΗ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΚΕΦΤΕΙΤΕ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ: Μια παλιά
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 6
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 6 25 επτεµβρίου, 2006 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΒαγγέλης Κουντούρης Φυσικός 1 ο Γυµνάσιο Ιλίου. Μια διδακτική προσέγγιση της έννοιας «δύναµη»
Φυσικός 1 ο Γυµνάσιο Ιλίου Μια διδακτική προσέγγιση της έννοιας «δύναµη» Νίκαια 24/04/2004 Έννοια δύναµη 1. Ορισµός 2. Χαρακτηριστικά δύναµης 3. Μέτρηση δύναµης 4. Συνισταµένη δυνάµεων 5. Πειραµατικός
Διαβάστε περισσότερα7ο Μάθημα Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ
7ο Μάθημα Η ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ Συμβαίνει κι αυτό: ο όγκος ενός σώματος να 'ναι μεγάλος, αλλά η μάζα του να 'ναι μικρή Από την καθημερινή μας ζωή, ξέρουμε τι σημαίνει πυκνό και αραιό: πυκνό δάσος, αραιά
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Επιστήµονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή και Κεφάλαιο Μ1 Φυσική και µετρήσεις
Φυσική για Επιστήµονες και Μηχανικούς Εισαγωγή και Κεφάλαιο Μ1 Φυσική και µετρήσεις Φυσική Θεµελιώδης επιστήµη Ασχολείται µε τις βασικές αρχές του σύµπαντος. Αποτελεί τη βάση γι άλλες επιστήµες. Οι βασικές
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΔΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΔΙΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΥΛΗ Οτιδήποτε έχει μάζα και καταλαμβάνει χώρο Μάζα είναι η ποσότητα αδράνειας ενός σώματος, μονάδα kilogram (kg) (σύνδεση( δύναμης & επιτάχυνσης) F=m*γ Καταστάσεις της ύλης Στερεά,
Διαβάστε περισσότεραΠοια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση;
Ποια μπορεί να είναι η κίνηση μετά την κρούση; ή Η επιτάχυνση και ο ρυθµός µεταβολής του µέτρου της ταχύτητας. Ένα σώµα Σ ηρεµεί, δεµένο στο άκρο ενός ελατηρίου. Σε µια στιγµή συγκρούεται µε ένα άλλο κινούµενο
Διαβάστε περισσότερα2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008
2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης
Διαβάστε περισσότερα16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι...
1. Ο νόµος του Hooke υποστηρίζει ότι οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι.των...που τις προκαλούν. 2. Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα υποστηρίζει ότι οι δυνάµεις που αναφέρονται στο νόµο αυτό έχουν... µέτρα,......
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Α Λυκείου. Σημειώσεις από τη θεωρία του σχολικού βιβλίου (βοήθημα για μια γρήγορη επανάληψη)
Φυσική Λυκείου Σημειώσεις από τη θερία του σχολικού βιβλίου (βοήθημα για μια γρήγορη επανάληψη) Εισαγγή στις φυσικές επιστήμες Οι φυσικές επιστήμες αποτελούν την προσπάθεια του ανθρώπου να περιγράψει και
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΙΑ ΙΑΦΑΝΕΙΩΝ ΙΑΛΕΞΗΣ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ»
ΣΧΟΛΙΑ ΙΑΦΑΝΕΙΩΝ ΙΑΛΕΞΗΣ ΜΕ ΤΙΤΛΟ: «ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ» ιαφάνεια 4 Ας θυµηθούµε τι είναι η ροπή. Στο σχήµα έχουµε µια ράβδο, η οποία µπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version
Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 3ο Φυλλάδιο - Ορµή / Κρούση
Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Ορµή / Κρούση Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Σύστηµα Σωµάτων - Εσωτερικές & Εξωτερικές υνάµεις ύο ή περισσότερα
Διαβάστε περισσότεραΓενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα
Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραx=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).
3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1. Τι είναι το υλικό σηµείο και σε τι διαφέρει από το στερεό σώµα; Γνωρίζουµε ότι αν σε υλικό σηµείο ασκηθούν δυνάµεις, τότε θα µεταβληθεί η κινητική του
Διαβάστε περισσότεραΑ/Α Ερώτησης Ερώτηση Α/Α Απάντησης Επιλογές Απάντησης 1 Το σύστηµα µονάδων που χρησιµοποιείται σήµερα περιλαµβάνει ως θεµελιώδη µεγέθη: 1 1 Μήκος,
Α/Α Ερώτησης Ερώτηση Α/Α Απάντησης Επιλογές Απάντησης 1 Το σύστηµα µονάδων που χρησιµοποιείται σήµερα περιλαµβάνει ως θεµελιώδη µεγέθη: 1 1 Μήκος, Μάζα, Χρόνος, Ένταση Μαγνητικού Πεδίου, Θερµοκρασία 1
Διαβάστε περισσότεραΟι πραγµατικοί αριθµοί
Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην έννοια Μole
Εισαγωγή στην έννοια Μole Σχεδιασµός Εκπαιδευτικού Υλικού : Ελένη Δανίλη, Σχολική Σύµβουλος ΠΕΟ4 Υλοποίηση Διδακτικής Πρότασης: Γιάννης Παπαδόπουλος, Χηµικός, 2ο Λύκειο Λαµίας Εισαγωγή στην έννοια Μole
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΦ Υ Σ Ι Κ Η Τ Α Ξ Η Σ Β 1 ο υ Κ Υ Κ Λ Ο Υ
Φ Υ Σ Ι Κ Η Τ Α Ξ Η Σ Β 1 ο υ Κ Υ Κ Λ Ο Υ Ε π ι σ η μ ά ν σ ε ι ς Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Σ Μ Ο Σ a. Σ τ α τ ι κ ό ς Η λ ε κ τ ρ ι σ µ ό ς Ερ.1 Τι είναι το ηλεκτρικό φορτίο; Απ.1 Κανείς δεν γνωρίζει τι είναι το
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015
Φ230: Αστροφυσική Ι Λύσεις: Τελική Εξέταση 28 Αυγούστου 2015 1. Ο Σείριος Α, έχει φαινόμενο οπτικό μέγεθος mv - 1.47 και ακτίνα R1.7𝑅 και αποτελεί το κύριο αστέρι ενός διπλού συστήματος σε απόσταση 8.6
Διαβάστε περισσότεραΌνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291
ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων
Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη
Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για
Διαβάστε περισσότεραΟ µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρησης της ορµής πρέπει:
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρησης της ορµής πρέπει: Να γνωρίζει ποιες δυνάµεις λέγονται εσωτερικές και ποιες εξωτερικές ενός συστήµατος σωµάτων. Να γνωρίζει ποιο σύστηµα λέγεται µονωµένο.
Διαβάστε περισσότεραΤο Θ.Μ.Κ.Ε. και η σύνθετη κίνηση
Το Θ.Μ.Κ.Ε. και η σύνθετη κίνηση Με αφορµή µια συζήτηση στο βαθµολογικό Ερώτηµα 1 ο : Όταν µιλάµε για έργο, τι διαφορά έχει το έργο µιας δύναµης και το έργο µιας ροπής; Στην πραγµατικότητα έργο παράγει
Διαβάστε περισσότεραΤα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια
8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ 2017
ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ 2017 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.3 Τα φυσικά μεγέθη και οι μονάδες τους 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται θεμελιώδη; Θεμελιώδη ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία δεν ορίζονται με
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΚΑΝΑΠΙΤΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΛΑΜΙΑ, 2006
ιαλέξεις στη ΦΥΣΙΚΗ Α. ΚΑΝΑΠΙΤΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΛΑΜΙΑ, 2006 Σηµειώσεις εποπτικό υλικό για το µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ. Τα παρακάτω είναι βασισµένα στις διαλέξεις του διδάσκοντα. Το υλικό αποτελεί
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. 2 cm. = Q. Q 2 = q. I 1 = ω 1 Q =
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΗΡΙΩΝ ΕΞΕΑΣΕΩΝ Γ ΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 6 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΙΚΗΣ - ΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. δ Α. γ Α3. β Α4. α Α5. α) Λ β) Λ γ)
Διαβάστε περισσότεραΚ τελ Κ αρχ = W αντλ. + W w 1 2 m υ2-0 = W αντλ. - m gh W αντλ. = 1 2 m υ2 + m gh. Άρα η ισχύς της αντλίας είναι: dw m υ + m g h m υ + g h
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα Α Κυριακή 19 Φεβρουαρίου 2017 Α1. δ Α2. β Α3. β Α4. γ Α5. α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ Θέµα Β Β1. Σωστή απάντηση είναι η γ. Στο δίσκο ασκούνται τρεις δυνάµεις:
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.
http://elear.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση
Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2. Ηλεκτροτεχνία Ι. Κυκλώματα συνεχούς και Ηλεκτρομαγνητισμός. Α. Δροσόπουλος
Ηλεκτροτεχνία Ι Κυκλώματα συνεχούς και Ηλεκτρομαγνητισμός Α Δροσόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδος Α Δροσόπουλος Ηλεκτροτεχνία Ι Θεμελιώδεις έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Η µαθηµατική ανάλυση των οικονοµικών σχέσεων µπορεί να πάρει τη µορφή ποιοτικής, παραµετρικής και ποσοτικής ανάλυσης.
1 Πρόλογος Σκοπός του παρόντος συγγράµµατος είναι να αναδείξει τη συµβολή των καθαρών µαθηµατικών στην ανάπτυξη και λειτουργία οποιουδήποτε οικονοµικού συστήµατος. Σε κάθε βήµα των µαθηµατικών µεθόδων
Διαβάστε περισσότεραΚαλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα.
Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Αν. Καθηγητής Γεώργιος Παύλος ( Φυσικός) - ρ.καρκάνης Αναστάσιος (Μηχανολόγος Μηχανικός) Με τι θα ασχοληθούμε στα πλαίσια του μαθήματος: Α. Μαθηματική θεωρία ιανυσματικά μεγέθη,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Διαβάστε περισσότερα( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α
. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΡαδιομετρία. Φωτομετρία
Ραδιομετρία Μελετά και μετρά την εκπομπή, τη μεταφορά και τα αποτελέσματα της πρόσπτωσης ΗΜ ακτινοβολίας σε διάφορα σώματα Φωτομετρία Μελετά και μετρά την εκπομπή, τη μεταφορά και τα αποτελέσματα της πρόσπτωσης
Διαβάστε περισσότεραΠροηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων
Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η 1. Φ υ σ ι κ ά μ ε γ έ θ η Η Φυσική είναι η θεμελιώδης επιστήμη που εξετάζει τα φυσικά φαινόμενα που συντελούνται στο σύμπαν. Παραδείγματα φυσικών φαινομένων είναι οι κινήσεις των πλανητών,
Διαβάστε περισσότεραΗ πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας.
Η πρόβλεψη της ύπαρξης και η έµµεση παρατήρηση των µελανών οπών θεωρείται ότι είναι ένα από τα πιο σύγχρονα επιτεύγµατα της Κοσµολογίας. Παρ' όλα αυτά, πρώτος ο γάλλος µαθηµατικός Λαπλάςτο 1796 ανέφερε
Διαβάστε περισσότεραδιατήρησης της μάζας.
6. Ατομική φύση της ύλης Ο πρώτος που ισχυρίστηκε ότι η ύλη αποτελείται από δομικά στοιχεία ήταν ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Δημόκριτος. Το πείραμα μετά από 2400 χρόνια ήρθε και επιβεβαίωσε την άποψη αυτή,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΙΝΑ ΒΑΓΙΑΝΟΥ ΓΛΥΚΕΡΙΑ ΔΕΝΔΡΙΝΟΥ 20-ΝΟΕ
Ορισμός : Κάθε υλικό σώμα περικλείει ενέργεια, που μπορεί να μετατραπεί σε έργο. Η ιδιότητα των σωμάτων να παράγουν έργο ονομάζεται ενέργεια. Η ενέργεια που ορίζεται ως η ικανότητα για παραγωγή έργου,
Διαβάστε περισσότερα